Apostila de funções

Prévia do material em texto

FUNÇÕES
- PAR ORDENADO E PRODUTO CARTESIANO;
- CONCEITO DE RELAÇÃO;
- DOMÍNIO E IMAGEM;
- FUNÇÕES INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA;
- FUNÇÕES COMPOSTA E INVERSA;
- FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES.
PAR ORDENADO 
	Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b).
ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO
	Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento, segunda coordenada ou segunda projeção.
IGUALDADE DE PARES ORDENADOS
	Se x e y são pares ordenados, a igualdade x = y significa por definição que a abscissa de x é igual a abscissa de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y. De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a = c e b = d.
O PLANO CARTESIANO
	O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.
	Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
	O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).
	O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b)(b,a) se ab.
	Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.
	Segundo  quadrante
	Primeiro quadrante
	Terceiro quadrante
	Quarto quadrante 
	
	Quadrante
sinal de x
sinal de y
Ponto
 
não tem
não tem
(0,0)
Primeiro
+
+
(2,4)
Segundo
-
+
(-4,2)
Terceiro
-
-
(-3,-7)
Quarto
+
-
(7,-2)
PRODUTO CARTESIANO
	Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por A X B (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) pertencem a B. 
	Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:
AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}
RELAÇÕES 
	São quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação especifíca que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.
	Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por . O conjunto A é chamado de domínio da relação (conjunto de partida), o conjunto B é chamado de contradomínio da relação (O conjunto de chegada).
Exemplos:
Representações gráficas de relações em AxB:
R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}
R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
	As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:
, 
	Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } 
B = { 1,2,3,4,5,6 } 
	A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
C = { 1,2,4,8 } 
D = { 0,1,2 } 
R = { (1,2) } 
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	
	Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.
	Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.
REPRESENTANDO RELAÇÕES BINÁRIAS
A relação R1 de A = {0, 1, 2, 3} em B = {a, b, c, d} dada por
R1 = {(0; a), (1; b), (2; c), (2; d)} pode ser representada dos seguintes modos:
Diagrama Sagital
Representação Cartesiana
R1 
	Na representação cartesiana os elementos do conjunto de partida são representados no eixo horizontal e os elementos do conjunto de chegada são representados no eixo vertical. Para representar uma relação R qualquer, marcamos um ponto para cada elemento (par ordenado) que está em R. Por exemplo, para indicar que o par ordenado (2, c) está em R1, marcamos um ponto na posição (2, c), de abscissa 2 e ordenada c.
Representação matricial
	R1
	a
	b
	c
	d
	0
	1
	0
	1
	0
	1
	0
	1
	0
	0
	2
	0
	0
	1
	0
	3
	0
	0
	0
	0
	A representação matricial de uma relação R de A em B, consiste numa tabela de dupla entrada, uma matriz cujo elemento da primeira linha e primeira coluna é o nome da relação, os demais elementos da primeira coluna são os elementos do conjunto de partida A, e os outros elementos da primeira linha são os elementos do conjunto de chegada B. Cada um dos outros elementos da matriz representará um par ordenado do produto cartesiano A X B. Indica-se por 1 os pares que pertencem à relação, e por 0 os pares que não pertencem. Alguns autores usam um asterisco (*) no lugar do 1, para dizer que determinado par pertence a relação, e deixam vazio os outros espaços.
 FUNÇÃO
	Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).
	Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação.
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES E FUNÇÕES NO COTIDIANO
	Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.
	O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).
	Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenosfísicos, biológicos, sociais...
	Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.
RELAÇÕES INVERSAS
	Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R
 = { (y,x) 
BxA: (x,y)
 R }
Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então: R
= {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
RELAÇÕES QUE NÃO SÃO FUNÇÕES
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }
não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.
Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais.
FUNÇÃO AFIM E LINEARES
Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:RR que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.
Exemplos:
f(x)=-3x+1
f(x)=2x+7
f(x)=(1/2)x+4
Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).
Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:RR que para cada x em R, associa f(x)=ax.
Exemplos:
f(x)=-3x
f(x)=2x
f(x)=x/2
O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).
FUNÇÃO IDENTIDADE
É uma função f:RR que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.
FUNÇÕES CONSTANTES
Seja b um número real. A função constante associa a cada xR o valor f(x)=b.
Exemplos:
f(x)=1
f(x)=-7
f(x)=0
O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função f:AB é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:
x1 
x2 implica que f(x1) 
f(x2)
ou de forma equivalente
f(x1)=f(x2) implica que x1=x2
Exemplos:
A função f:RR definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).
A função f:RR definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
FUNÇÕES SOBREJETORAS
Uma função f:AB é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).
Exemplos:
A função f:RR definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.
A função f:RR definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.
FUNÇÕES BIJETORAS
Uma função f:AB é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A função f:RR dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.
FUNÇOES CRESCENTES E DECRESCENTES
Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.
Exemplo: Seja a função f:RR definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.
Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
Exemplo: Seja a função f:RR definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.
FUNÇÕES COMPOSTAS
Dadas as funções f:AB e g:BC, a composta de f com g, denotada por gof, é a função definida por (gof)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". 
Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:
(fog)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14
(gof)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10
Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:
(gof)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10
Observação:Em geral, fog é diferente de gof.
Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:
(fog)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17
(gof)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2
FUNÇÕES INVERSAS
Dada uma função bijetora f:AB, denomina-se função inversa de f à função g:BA tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.
Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:AB definida por f(x)=2x e g:BA definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
�� INCLUDEPICTURE "../Unisuampen%20drive/fundamentos%20da%20mat%20I/Matematica%20Essencial%20Medio%20Relacoes%20e%20Funcoes_arquivos/zrf27.png" \* MERGEFORMAT 
Obtenção da inversa: Seja f:RR, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. 
�PAGE �
�PAGE �1�
_1235252997.unknown
_1235253130.unknown
_1235254046.unknown
_1235254058.unknown
_1235253015.unknown
_1235252979.unknown