livro Giovanni 2 grau Documento de Eduardo Cassim

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José Roberto
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FUNDAMENTAL
2° GRAU
VOLUME ÚNICO4 = ( x + z ) C x - 2 )
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Todos os direitos de edição reservados á
EDITORA FTD S.A.
Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 ■ São Paulo
CEP 01326-010 • Tel. (011)253 5011 ■ Caixa Postal 8242
Telex 1130129 ■ Fax: [011] 288 0132
COORDENAÇÃO DE REVISÃO
Rosa Maria Mangueira
REVISÃO
Angela Cristina D. Garcia 
Célia Regina N. Camargo 
Lia Hemandes 
Márcia Ferreira Anjo 
Milena Ribeiro Leal 
Sõrel Hemandes L. Silva 
Zuleide M. V. M. Talarico
EDIÇÃO DE ARTE
Edilson Felix Monteiro
CAPA
Keystone - C. Madc Gottlieb
COORDENAÇÃO DE EDITORAÇÃO ELETRÔNICA
Typelaser Desenvolvimento Editorial Ltdo.
ASSESSORES TÉCNICOS
Ayrfon Olivares 
Odair "fercino
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (C1P) 
(Câmara Brasileira do Livra, SP, Brasil)
Giovanni, José Ruy, 1937 ■
Matemática fundamental, 2e grau ; volume único / José Ruy Giovanni, 
José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. — Sâo Paulo : FTD, 1994
' Suplementado por livra do professor.
t . Matemática (2e grau] I. Bonjorno, José Roberto, 1946- II. Giovanni 
Júnior, José Ruy, 1963- lit. Título.
94-3820 CDD-372.7
Indices para catálogo sistemático:
i , Matemática : Ensino de 2s grau 372.7
161 698-01
Prezado professor:
Esta obra contém, em um único volume, o que há de 
fundamental nos programas de Matemática para o segundo . 
grau.
Além dos assuntos conhecidos, procuramos introduzir 
dois novos temas: o estudo das porcentagens e noções de 
estatística, de grande aplicação no nosso dia-a-dia.
Procuramos organizar uma obra de bom nível, com 
uma leitura plenamente acessível aos alunos. Sem fugir do 
rigor matemático, a abordagem dos assuntos é feita de 
maneira simples, com exercícios obedecendo a uma 
graduação de dificuldades.
Fizemos este livro com o intuito de que o professor 
possa desenvolver um curso relativamente abrangente-nos 
três anos que se destinam ao segundo grau, mesmo que,
ÍNDICE
Unidade A
Ó
Capítulo 1 - Revisão 7
Capítulo 2 - Conjuntos numéricos 12
Capítulo 3 - Funções 31
Capítulo 4 - Função polinomial do 1° grau 57
Capítulo 5 - Função polinomial do 2- grau
(função quadrática) 75
Capítulo 6 - Função modular 100
Capítulo 7 - Função exponencial 109
Capítulo 8 - Função logarítmica 120
Capítulo 9 - Sucessão ou seqüência 141
Capítulo 10 - Progressões aritméticas 143
Capítulo 11 - Progressões geométricas 155
Capítulo 12 - Estudo das matrizes 169
Capítulo 13 - Determinantes 184
Capítulo 14 - Sistemas lineares 197
Capítulo 15 - Análise combinatória 209
Capítulo 16 - Binômio de Newton 226
Capítulo 17 - Teoria das probabilidades 237
Capítulo 1 8 - 0 conjunto dos números complexos 249
Capítulo 19 - Polinómios 267
Capítulo 20 - Equações polinomiais ou algébricas 285
Unidade B
Dõrcentaaem 3 1 ’
Tri
Unidade C
Capítulo 1 - A trigonometria no 
triângulo retângulo 
Capítulo 2 - Conceitos básicos 
Capítulo 3 - As funções circulares 
Capítulo 4 - Relações e identidades trigonométricas 
Capítulo 5 - Transformações trigonométricas 
Capítulo 6 - Equações trigonométricas 
Capítulo 7 - Inequações trigonométricas 
Capítulo 8 - Resolução de triângulos quaisquer
onometrin
318
325
338
362
371
381
392
395
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Capítulo 3
Geometria
408 Capítulo 8 ■ Capítulo 9 
Capítulo 10
• Semelhança de figuras geométricas planas 409
• Relações métricas no triângulo retângulo 414 
■ Polígonos regulares inscritos na
circunferência: relações métricas 421
Capítulo 4 - Área das figuras
geométricas planas 426
Capítulo 5 - Noções sobre poliedros 438
Capítulo 6 - Estudo do prisma 442
Capítulo 7 - Estudo da pirâmide 452
- Estudo do cilindro 463
- Estudo do cone 468
- Estudo da esfera 476
Unidade Es n «m i > ^ ^Geometria
481
Capítulo 1 - Introdução à Geometria analítica plana 
Capítulo 2 - Estudando a reta no piano cartesiano 
Capítulo 3 - Estudando a circunferência no plano 
cartesiano
482
493
526
Capítulo 1 - Organizando os dados em tabelas 
Capítulo 2 - Média e mediana
540
551
EULER (1707- 1783)
Leonhard EULER nasceu na Basiléia, Suíça. 
Sua formação foi abrangente, 
tendo estudado Matemática,
Teologia, Medicina e 
Astronomia, entre outras 
disciplinas. Aos 26 anos 
tornou-se o principal 
matemático da Academia 
de São Petersburgo,
Rússia, tendo trabalhado 
também, por um 
período, na Alemanha.
Com uma produção de 
artigos e livros inigualável, Euler 
desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos 
da Matemática - Pura e Aplicada -, com 
destaque para a Análise - estudo dos processos 
infinitos desenvolvendo a idéia de função, 
que passou a ser fundamental. ,
Euler foi o responsável pela adoção, entre 
. outros símbolos, da letra e 
como símbolo matemático para 
representar a base do sistema de 
logaritmos naturais; adotou a 
letra grega k para representar a 
razão entre o comprimento de 
uma circunferência e o seu 
diâmetro e o símbolo f(x) para 
representar uma função de x.
Unidade A
GAUSS (1777- 1855)
Carl Friedrich GAUSS nasceu em 
Brunswick, Alemanha, onde realizou seus 
primeiros estudos. De família humilde, 
Gauss logo cedo mostrou grande
genialidade, decidindo dedicar-se à 
Matemática quando 
descobriu, aos 18 
anos, o método 
ara construir o 
olígono regular de 
17 lados utilizando 
apenas régua e 
compasso. A partir de 
ntão, Gauss fez 
mportantes 
ontribuições em 
uase todos os ramos 
da Matemática, da Álgebra à Geometria. 
Dentre essas contribuições está o Teorema 
Fundamental da Álgebra, tema de sua tese de 
doutorado. Gauss inventou 
também a representação gráfica 
dos números complexos, 
pensando nas partes real e 
imaginária como coordenadas 
de um plano. Foi ainda o 
principal responsável pelo 
desenvolvimento da Teoria dos 
Números, tornando-se o maior matemático de 
seu tempo.
D esde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da Álgebra continua o mesmo: 
permitir a solução de problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos. O desconhe­
cido - ou incógnita - é traduzido por um símbolo abstrato que se manipula até que seu valor possa 
ser estabelecido. Para desenvolver o problema e mantê-lo inalterável, enquanto as manipulações 
procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a relação entre números conhecidos e desconhecidos por 
meio de uma equação. Um papiro egípcio de 3 600 anos, chamado Papiro de Rhind (em homenagem a 
um antiquário escocês, Henry Rhind, que o adquiriu em uma loja de Luxor, no Egito, em 1858), 
mostra, através do famoso problema “Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem 19”, que o homem já se 
aventurava, desde aquela época, nos domínios da Álgebra.
Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar resolver 
uma só equação algébrica. Mas, no mundo em que vivem, tais equações são indispensáveis para 
reduzir problemas complexos a termos simples. Uma empresa, por exemplo, usa equações 
algébricas para calcular quanto tempo deve manter uma máquina que deprecia tantos reais por ano 
antes de trocá-la por outra que custa tantos reais. Outra empresa usa uma equação algébrica para 
relacionar a venda de um produto com o número de vezes em que este produto aparece anunciado, 
como propaganda, na tela de um televisor.
Os processos da Álgebra levados para a vida moderna são decisivos, muitas vezes, para resumir 
experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza.
CAPITULO 1
Revisão
0 objetivo deste capítulo é fazer uma revisão, através da resolução de alguns exercí­
cios, dos principais tópicos estudados no l e grau. Você pode utitizar-se desta revisão sem­
pre que necessário durante o seu curso de 2e grau. Se tiver dificuldades na resolução de 
algum exercício, recorra à teoria aprendida nas séries anteriores.
Os tópicos selecionadospara esta revisão são:
1. Cálculo numérico.
2. Cálculo algébrico.
3. Equações, inequações e sistemas do Ia grau.
4. Equações e sistemas do 2- grau.
1. Cálculo numérico
1 Calcule o valor numérico das expressões: 
a) 20 - (- 45): (- 3)? + (- 2) • ( - l)5 27
c) _(_2)3 + (- l)°— ^25 —32 - 53 :25 0
2 Calcule o valor das expressões:
c) (0.5)2: 5 - 2-(0,3 1 2 -0 ,7 2 : 2.4) -0.07
b) + (_ 2)4 - (- 2)3 + 07 + 32° + 8 ■ 22 58
- (- 2 f - \ÍW
d) (-3 + 5)° - 2
d) - 1 + 0,19: 
4
4 - 0 .8 :0,5 -
]_
20
e)
(?)
0,1-0,01 i
0,02 y0,2
etemnine o valor das expressões:
a) 2~5 + ó ■ | y 17
4 Aplicando as propriedades des potências, simplifique as expressões 
256-4a) 87 2‘ = 32
b) ’ ’V 7' - 3-' y . 9
(52) ■ 257
5‘ = 625 d)
T ' 243
12 -10~3 • 10" -10" 
3-10‘ ! -104
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5 Escreva os números abaixo como o produto de um número inteiro por uma potência de 10:
a )0,3 3 10 b)3 000 3 10' c ) 0,005 5 10 d)0,0ó25 Ó25 10
e )3,45 345 10 f)312,51 31251 10 g)8000000 8 10'
6 Determine o volor da expressão 3.2 ■ 4 000 ■ 0,0008 2Q0
25,6 ■ 0,002
7 Calcule o valor de:
h) 6,001 6 001.10
a) f6 4 8 
f) 25T 5
b ) F T
g ) 8 3 2
((^Calcule o valor das expressões: 
({ a )) -p " + 16T -( -2 ) + 273 5
c) V 64 2 d) f ã ] 3 
h ) ( - 2 7 ) T 9 |)(_|)T
e) / C 32 2
c) 4 ■ (0,5)4 + fÕ /25 + 8 3 
9 Simplifique os radicais:
,___ ~L , , .-2 -± 23
b ) - V ^ r + 16 4 - ( - ± ) +8 3
c) V I 024 4 d) (3-1 )* _ L ,a) V 2352 b) f3 2 2 l"4
Implifique as expressões
Q vr8Õ + J W à<T ( b ) 3 / T + f4 5 - 2 /2 0 2vT Q ) 2 f Í 9 Õ - 4/54" + 6/24" lOCó 
V 24'- fã \
d)
V7 T . W i e ,< i r T r n 7 T 7 W 2
acionalize os denominadores das expressões:
12 Efetue.
1 ' 3 
/ 3 " 3
, e \ 5 
C 2 / 5 2
1 \ 4
f 2 & f - 2 ' 5 * 2 ^ f 2 +f ã
c i l i J L . l z f
] - f s i + f ã
C ) ^ + . 1 1
2 ',15
2
5 \~2'
12
b)
\ 6 2
-2 \ 2
1 - f 2 / 2 + 1
f 2 / f iT /8 "
2. Cálculo algébrico h m m
13 Calcule o valor numérico das expressões:
a) x2 - 3x + 1, para x = -4 29
b) a3 + b3 - 2a2 + 4ab + 1, para a = 2 e b = -3
c ) 2x3 - x 2 + © _ - i, parax = V3 i 3%y 8
2 2
^ xy - x2 1 1 11
d) — = - , para x = - — e y = — —
10 ' 100 100
50
8
14 Se o^ + b 2 
a"' + b '1
e y c f2 + b~3 , calcule o valor numérico de x • y quando a = 2 e b = 1.
4
1 5 Simplifique as expressões, reduzindo-as ao máximo:
a) 2x + 3 (3 - 2x) -2 (1 - x) -2x + 7
b) 3 (a2 + a + 1} + 2 (a2 + 2a - 2) - (a2 + 3a - 3) 4a + 4a + 2
c ) x (x2 - xy + y2) + y (x2 - xy + y2) x + y
d) a (a + b - c) + b (b + c - a) + c (a - b + c) a-1 + b- + c2
16 Dados os polinómios P = x2 1,P, = 2xJ + 3 x - l eP ,= —3 2 5, determine:
a) P, + P2 + P3 2x + — + 3x 7 b) P, — P; — P3 2x + — 3x + 5 c) P, ■ P; 2x' + x x- 3x + 1
3
X
17 Determine o quociente e o resto da divisão de x3 - 2x + 1 por x + 1, quociente: x-
^ l^Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
0 ^ 2 x + 3)2 4x- + 12x + 9 (0 X 2 a 2 - 3)2 4a : 12a + 9
T M H I T )
19 Simplifique as expressões:
a) (a + b)2 + (a - b)2 2a- + 2b- 
C) (m - l)2 - (m + 1} - (m - 1) 2m + 2
20 Fatore ao máximo as expressões: 
a) 4ax - 8ay 4a (x 2y)
c) ax - ay + 2x - 2y (x y) ■ (a + 2)
e )S la2 -1 8 a + l (9a !)■
g) a4 - b4 (a- + b-) (a + b) (a b) 
i) 5x2 + 20x + 20 5 (x + 2)-
21 Simplifique as frações:
rft x2 + xy x + y 
2x 2
c) a4 + a3b - ab3 - b4 G; + ob + b 
a2 - b2
22 Efetue as operações indicadas:
a) * +1 + * ~~ 1 2 (x- * 1)
x - 1 x + 1 x2 1
^d^j(2a2 + 3b) • (2a2 - 3b) 4 c : 9b-
b) (x - 2)2 + x2 - 2 (x - 1 )2 2
d) (a + l)3 - (a - 2)3 9 (a- a + 1)
b) X2 - 64 (x + 8) (x 8)
d) X2 + óx + 9 (x + 3)-
f)— a - — b — (3o b)
5 5 5
h) 2am2 - 32a 2a (m + 4} (m 4) 
j) X3 - 10x2 + 25x x(x 5)
^ 4 a c + 10ac! 2 + 5c
12a2c 6a
^ 7ax + ay + 7bx + by ■ ■ . 
ax - ay + bx - by ■ y
b )0 + 213 a ~ 2b 4bx - 2a2 Q 
x + a x - a x2- a 2
x - 1; resto: 2
^ X + 3 (X + l) 2 x + 1
2 (x + 1) (x + 3) (x - 3) Tc* 3)
e) ^
\ a + b / \. a + b / b
^ x2 + 8x+16 x2- 4 (x + 4) (x 2)
3x + ó 5x + 20 15
f)
1 - x + ^ 
1 + x
1
1 - X 1 - X3
(x 1)-
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3. Equações, inequações e sistemas do grau
23 Dê o conjunto solução das equações do 15 grau em !R:
b) (3x + 1) ■ (x - 1) - 3 (x + 2)2 = -9 j J L ja) Xj h 2 _ 2 {2}
c) + = 5 (6} d ) Ü l + = 3
4 5
24 Resolva a equação em R: 
x + 1 x - 2 17
x - 1 x - 3 (VJ
{4}
X X + 1 X2 + X
25 Resolva as equações literais na variável x: 
a) ax + bx + c = 2a + 2b + c (2) com a * -0
26 Resolva as inequações, em IR: 
a ) 3 ( x - 7 ) - 2 x > 0 (xe nt |x > 21}
b) _ JL = 2 S ■= {a + 0}
c ) * -+ l> J L _ ± f 
2 5 3 '■
x 6 Jí I x > - 401
a + b
b) 2 + 5 • (x - 1) < óx fxe mix> 3}
j , x + 1 x — 2 1 , m, E,d ) ---------------- í — (x e IR]x ? 5 í
4 3 2
27 Qual o menor número inteiro que satisfaz a desigualdade 3(x + 1) - 43 > 2x ? i 
Resolva os sistemas de equações do 19 grau:
a)
©
x + y = 5 f(4, 1}}
3x - y = 11
x - y = 2 ( x - y ) - 2 
4x - 3y = 7
{(1. - D l
b)
d)
2jt + 3y = 8 
[5x -2y= l £
^ - ^ = 0 
x y + 2
4 4 H + 3 = ^ ± 1
3 2
{(8, 2)}
29 Calcule x e y nos sistemas: 
'2x + 1 _ y + 2 +1
a) x - 4 y - 1 
3x - 1 _ 2y + 8 
y+ 1
{(7, 2}} b)
x - 3
x - 1 y + 1 
-£_+—— = 12 {(4-4)}
X - 1 y + 1
30 Se o par (a, b) é a resolução do sistema J3x + 2y 4 , calcule o valor de a + b. zero
2x + 5y = -12
31 A soma de dois números é 21 e sua diferença é 51. Calcule os dois números. 15 e 36
?
32 Sabendo que a fração — é equivalente a — e que o dobro do numerador menos o denominador
b 5 ■
é Igual a 4, calcule o valor de a ■ b. '240
33 Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 
exercícios tinha 130 pontos. Quantos exercícios ele acertou? 35
34 (Faap-SP) Ache os números reais x e y, sabendo que a diferença do maior para o menor é 632 e 
que na divisão de y por x temos quociente 4 e resto 50. x = 194 y = 82ó
10
4. Equações e sistemas do 2- grau
Resolva as seguintes equações do 2e grau, em IR:
a) 2x2 - 50 = 0 {-5,5} b) 3x2 - 8x = 0 {°-^} c)x2 + 9 = 0
^d)X2x + 1)2 - 5 (2x + 1) + 4 = 0 [o. -§-} e) t + -y- = -|
36 Considere as expressões: A = 5 (x -3) - 2x (x - 3) e B = 4 - (3x + l)2.
0
x - 3 1
l - v Z v ^ l 0 ^ + 1 = — 1— { 3,3} 
' ' x - 2
Resolva a equaçao A = B - 18. H- 17 , 0
(^3^Determine, em IR, o conjunto solução das equações:
a)x2 - x - ó = 0 { 2.3} b)2x2 + 2x = - 1 0
c) px2 + 6x + 1 = 0
1 5.
e))tx2 + 9 = 12x |
d) 3x (x + 1) ~ x = 33 - (x - 3)2 2. 3}
38 Determine o domínio de validade e resolva as seguintes equações:
3x 3, 3 , 6 D = IRa ) ------4 = x+ -— -
x 2x s = { 4}
. 3x - 1 3x + 2 „ 1c ) --------- + -------- = 3 ■
b)
D - Hl x + 22x - 1 2x + 1 4x2 — 1 s = 0
39 Resolva os seguintes sistemas de equações: 
x + y — 2 
x2 + y3 = 10 
(3 + x) ■ (4 + y) = 20 
x + y = 2
d) ■
3
— . 1 
2
D= IK - {-2} 
S={1.5}
3
a)
C)
{( 1 3). (3. 1)}
{(2. 0). (1. 1)}
x - 2 x - 1 
x + y = 9
x2 - 3x + 2 D= Bí {1 2 } 
s = {3} ■
b > 2 x - 2 y = 23 lw a ( & 4 » 
1 1 _ 1_
T +7 ~ l 2 ‘ t(3.4).{4,3)} 
xy= 12
b) xa - 5x2 + 10 = 0 0
d)
x2 - 4
+ 2 = x2 {- \ 2. + \ 2, \ 5. + \ 5 }
40 Resolva, em IR, a seguinte equação literal do 2S grau na variável x;
2x2 - 3ax + a2 = 0
41 Resolva as equações blquadradas em IR:
a) x4 + x2 - 2 = 0 { 1.1}
c)óxJ + (2x! - 3 ) 2 = (2x2+ l)2+14 { ^ \ 3 }
42 Resolva, em IR, as equações Irracionais:
a) V x2 - 5x - 20 = 2 {- 3, 8}
c )x + V x - T = 13 {10}
43 Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é
481, I5 e ló
44 O produto dos dois termos de uma fração é 224. Subtraindo 1 do denominador e adicionando 
1 ao numerador os dois termos ficam iguais. Determine essa fração. 14
"Tó
45 Um jardim de forma retangular tem 96 m2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim 
em 3 m e a largura em 2 m, a área do jardim passa a ter 150 m2. Calcule as dimensões originais do 
jardim. Comprimento: 12 m
Largura: 8 m
b) V 2x2 + x - 6 = x + 2 { 2. 5}
d) V 1 + x + VI - x = 2 {0}
2
11
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Conjuntos numéricos
1. Introdução
Como o próprio nome indica, conjunto dá uma idéia de coleção. Assim, toda coleção 
de objetos, pessoas, animais ou coisas constitui um conjunto.
Os objetos que formam um conjunto são denominados elementos.
Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c, ... e os 
conjuntos, por letras maiúsculas A, B, C , ...
Alguns termos e definições são importantes para o nosso estudo dos conjuntos:
• Pertinência
I Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. 
Para indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o símbolo 
g e quando não pertence usamos o £.
x g A (lê-se: x pertence a A) 
x £ B (lê-se: x não pertence a B)
Observação:
Os símbolos g e £ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.
• Igualdade de conjuntos
I Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Indica-se: A = B (A é igual a B).
* • Conjunto vazio
■ Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos.
Representa-se o conjunto vazio por { } ou 0 .
• Conjunto universo
I Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte do nosso estudo.
12
• Subconjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemen­
to do conjunto A é, também, um elemento do conjunto B.
Indicamos esta relação por:
A c B lê-se: A está contido em B.
Ou também por:
B 3 A lê-se: B contém A.
Observações:
l 3) Escreveremos A a B (A não está contido em B) ou Bz> A (B não contém A), se A 
não for subconjunto de B.
2-) Os símbolos c , 3 , <t são utilizados para relacionar conjunto com conjunto.
2. Como representar um conjunto
Um conjunto pode ser representado de três formas:
* l ã forma: por extensão
Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por 
vírgulas. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana:
A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}
Podemos também utilizar a representação por extensão mesmo que 0 conjunto seja 
infinito ou seja finito mas com um número elevado de elementos.
Exemplos: a) conjunto dos números ímpares:
A = { 1,3, 5,...} -^»conjunto infinito
b) conjunto dos números pares positivos menores que 200:
B = [2,4, 6....198} —»conjunto finito
• 2- forma: por compreensão
O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus 
elementos.
Exemplos: a)A = { x f x e l N e x < 8 } b)B = {xlxévogal}
Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um 
dado elemento pertence ou não ao conjunto.
• 33 forma: por figuras
Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venn*. 
Por exemplo, 0 conjunto A = {1, 2, 3, 4} pode ser representado pelo diagrama:
Os elementos de A são representados por 
•7 pontos internos desta figura.
Observe que 2 e A (é um ponto interno);
7 g A (é um ponto externo).
* John Venn, lógico inglês; 1834-1923
13
U
ni
da
de
 A
V
Exercícios propostos
Classifique os cçniuntos abaixo em vazio, unitário, finito ou infinito,
a) B = {0,1,2, „„ .70} finito b) C = {x | x é um número par positivo} nfinito
c) E = {x | x é úmhqmero ímpar, solução do equação x2 = 4} vazio
Sejam A = {x j x é n.úmeferjiar compreendido entre 3 e l5 } , B = {x f x é número par menor que 15} 
e C = {x I x é número par diferente de 2), Usando os símbolos c ou <t, relacione entre si os conjuntos: 
a) A e B A - B b ) A e C A c C c ) 6 e C B r C
No diagrama seguinte. A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou F a cada uma das 
seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa:
a ) A c B ,• b ) C c B V
c ) B c A ( " d ) A c C F
e) B <z A f ) A a C V
g) B z> A V h ) A j B V
Seja D (a) o conjunto dos divisores inteiros e positivos do número real a. Escreva, por extensão, os 
conjuntos D(18) e D(50), D . = {i . 2. 3. 6. 9, 18} D . = {l . 2. 5. 10, 25. 50}
Considere os diagramas abaixo:
Dê, por extensão, os conjuntos A e B,
A = {1, 2, 3) B={3, 4. 5}
6 Considere o diagrama. Escreva, por extensão, os conjuntos X e Y.
X = {1. 2, 3. 4. 5} 
Y = (1. 2}
7 Represente os conjuntos a seguir, por meio de uma propriedade: 
a) A = { -3 ,-2 ,-1 ,0 ,1} b) B = {0, 2.4,6,8,10...} c ) C = j l -J-, .J-, ± -1 ...}
C = x = Q I x = 1
k + 1
k s IN IA = {*<= 1 1 - 3 x « T} 8 = {x b IN I x = 2 k, W lN }
3. Operações com conjuntos tmm m
União de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6] e B = { 0,1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou a 
B ou a ambos: ‘
A = {0, 2, 4, 6}
B = {0,1,2, 3,4} C = {0, 1, 2, 3,4, 6}
O conjunto C, assim formado, é chamado união de A e B.
14
Então:
I A união de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
Designamos a união de A e B por A u B (lê-se: A união B).
A u B = { x l x e A o u x e B}Exemplos:
a) A = {0,1, 2,3,4}
B = {1,3, 5, 7}
A u B = {0,1,2, 3, 4, 5, 7}
b) A = {0, 1,2}
B = {0, 1,2, 3,4}
A u B = {0, 1,2, 3, 4} = B
c) A = {0. 2}
B = {1,3,5}
A u B = {0, 1, 2,3,5}
Intersecção de conjuntos
Em diagrama:
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0,1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que são comuns a 
A e a B, ou seja, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B:
A = {0, 2, 4,6}
B = {0, 1,2, 3,4}
C = {0, 2, 4}
O conjunto C, assim formado, é chamado intersecção de A e B. 
Então:
I A intersecção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos 
que são comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também 
pertencem a B.
Designamos a intersecção de A e B por A n B (lê-se: A inter B).
A n B = {x I x e A e x E B}
Exemplos:
a) A = {0, 1,2, 3,4}
B = {1,3, 5, 7}
A n B = {1, 3}
15
CA
PI
TU
LO
"U
nidade A
b) A = {0, 1,2}
B = {0,1,2,3, 4} 
A n B = {0,1,2} = A
c) A = {O, 2}
B = {1, 3, 5} 
A n B = 0
Observação:
Quando A n B = 0 , os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
£xercijjo$ propostos
1 Sendo A = {0,1,2,3), B = {0,2,3,5}, C = {x | x é número par positivo menor que 10} e D = {x | x é número 
ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine:
Q )A uB {0 .1 2 .3 .5 } b )A u C {0. 1.2. 3,4. ó. 8} c )A u D {0. 1.2. 3. 5. 7.9}
d) B u C {0.2. 3 .4 5. 6, 8} e )B u D ( 0. 2. 3, 5. 7. 9} f ) C u D (0.2.4, 5.6. 7,8.9}
2 Sendo A = (0, 1,2, 3,4}, B = {0,1,2}, C = {x | x é par positivo menor que 10} e D = {x ] x é ímpar 
compreendido entre 0 e ó}, determine:
a) A n B {0, 1.2} b ) A n C { 0.2.4} c ) A n D {1,3}
d )B n C {0, 2} e ) (A n B )n C {0, 2} f ) ( A n C ) n l> 0
3 Responda:
a) Se A n B = 0 , como se chamam os conjuntos A e B? disjuntos
b) Se um conjunto A tem 3 elementos e um conjunto B tem 5 elementos, quantos elementos, no 
máximo,terá o conjunto A n B ? 3
c) Se A e B são disjuntos, quantos elementos terá o conjunto A n B ? zero
4 Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:
a ) A u 0 = 0 , qualquer que seja A. F 
c) (A u B) u C = A u (B u C). V
e) A c X e B c X,então (A u B )c X .V 
g) A c B, então A n B = A. V 
i ) A c X e B c X ,en tão (A n B )cX . V
b JA c B ,e n tã o A u B = A. F 
d } A u B = B u A ,V 
0 A n 0 = 0. V 
h ) A n B / B n C .V para A ■■ C 
j) A n (B n C) = (A n B) n C. V
5 Dados A = {0, 1, 2,3}, B = {0,2,4}, C = {1,3,5} e D = {2, 3}, determine: 
a ) { A n B )u C {0, 1. 2. 3. 5} b )(Bu D ) n A {0,2.3} c ) ( A u C ) n D {2, 3}
d ) (A n B)u (C n D) (0, 2. 3} e ) ( A u D ) n ( B u C ) {0, 1. 2. 3} f ) (A n C )n (B u D ) {3}
6
7
Sendo A o conjunto dos divisores naturais de 18 e B o conjunto dos divisores naturais de 30, escreva: 
a) o conjunto A. A ={ 1. 2, 3,6, 9. 18] b) o conjunto B. B = {1. 2,3, 5,6. 10. 15. 30}
c) o conjunto dos divisores comuns de 18 e 30. d) o máximo divisor comum de 18 e 30.
{i, 2, 3. ó}
(Mack-SP) Sabe-se que:
A u B u C = {ne lN |l =sns 10} A n B = {2, 3, 8}
A n C = (2, 7} B n C = {2, 5,0}
A u B = {n s IN 11 n « 8}
Determine o conjuntoC. C = (2. 5, ó, 7, 9. 10}
16
8 Determine o conjunto A, sabendo que A c Z e que:
A n {1,4, 5, 10} = (4, 5)
{ó, 7 } c A
9 Considere os conjuntos:
A = {divisores naturais de 30}; 
Calcule:
0 ) A n C {3,6.15.30} 
d) A n B n C {6.30}
A u {0, 4, 5, 8, 9} = {0, 4, 5, ó, 7, 8. 9}
A c {1.3,4,5. ó. 7, 10,12} A = {4,5, ó, 7}
B = {múltiplos de 6}: C = {múltiplos de 3}.
b J B n C fl c ) A n ( B u C ) {3,6,15,30}
e) quais os elementos de A que não pertencem a B.
{1. 2, 3, 5, 10, 15}
‘ 7*'a) A U B {1, 2. 3,4, 6, 7.9} b) A n C {2,4} f
c) A u C {1,2.3,4, 5,6, 8, 9} d) B n C {2,6} / ] S
e lB u C {2. 4, 5, 6. 7. 8. 9} O A o B n C {2} VA / V *2 /
g j A u B u C {1,2, 3, 4. 5. 6. 7. 8. 9} h ) (A u B )n C { 2 ,4 ,à } V 3 [ »4 \ < f *
i) A n B {2, 9} j) ( A n B )u C {2, 4, 5, ó, 8. 9 } V — ^ ^ 8
c
Diferença de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Vamos determinar um conjunto C formado peios elementos que pertencem a A mas 
não pertencem a B:
A = {1,2, 3, 4,5} 
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5}
O conjunto C, assim formado, é chamado diferença de A e B.
Então;
A diferença de dois conjuntos, A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem 
a A mas não pertencem a B.
Designamos a diferença de A e B por A — B (lê-se: A menos B),
A - B = { x l x e A e x g B }
Em diagrama:
B está sombreado
Observação:
Se B c A, a diferença A — B denomina-se complementar de B em relação a A, e 
indica-se Cab .
Exemplo:
Cab = A — B-
Se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3,4}, então Cab = A - B = (0, 1, 4}.
Por diagrama, temos:
O complementar de B em relação a A é o que falta para o B ficar igual ao A.
f|xercícios propostos
1 Dados A = {0,1,2,3}, B = (1,2,3} e C = {2,3,4,5}. determine:
a) A - B {0) b) A - C {0, l } c) B - C {}}
d ) ( A n B ) - C ( i ) e ) ( A - C )n (B - C) {1} f ) A - 0 {0.1,2.3}
g)CAB {0) h) CA<BnQ {0,1} ■ i)(0 -B )u C c0 {2.3,4,5}
2 Diga quaí proposição é verdadeira e qual é falsa:
a) A n 0 = 0 V b) A - 0 = A V c) 0 - A = 0 v d ) ( A - A ) u A = A v
e) (A - A) n A = A F f ) ( A n A ) u 0 = 0 F g) CA<c,.j = B v s e B cA
3 Dados U = {0,1,2,3,4,5, ó, 7), A = {0, 2,5). B = {1,3. 5. 7} e E = {2,4,6), determine:
a) CUA {1. 3. 4. 6. 7} b) CjjB {0, 2, 4, 0} C) C„e fO. 1, 3. 5. 7}
4 Dados X = {0,1,2,3,4,5, ó], Y = {0,1} e M = {1,2,3), determine:
a)Cx(Mrvo {0. 2.3. 4. 5. ó} b)Cx(MuY) {4.5.6} C) (yv-M) {1. 2. 3, 4, 5, 6}
5 Dado o diagrama, determine os seguintes conjuntos, escrevendo seus elementos:
a) Cea (6, 7, 8, 9, 10, 11} 
c) C j(AnB)
{1, 2,3, 6. 7, 8, 9, 10, 11}
b ) C EB{l,2, 3.9, 10, 11}
d) C e{AuB)
{9 10. 11}
Resolução de problemas
Vamos ver neste item como podemos aplicar a teoria dos conjuntos na resolução de 
alguns problemas.
I9 exemplo: Sejam os conjuntos A = {0,1, 2, 3, 4, 5} e B = (1, 3, 5, 7, 9}. Sendo n (A) = 
número de elementos de A; n (B) = número de elementos de B; n ( A n B ) = 
número de elementos d e A n B e n ( A u B ) = número de elementos de 
A u B , mostre que: n ( A u B ) - n ( A ) + n ( B ) - n ( A n B ) .
18
Resolução: A = {0,1, 2, 3, 4, 5} => n (A) = 6 
B = {1,3, 5, 7, 9} n (B) = 5 
A n B = [1, 3, 5} => n (A n B) = 3 
A u B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} => n (A u B} = 8
Então: n ( A u B ) = n (A) + n (B) - n (A n B)
¿ 4 1 ¿
8 = 6 + 5 - 3
8 = 11 - 3
8 = 8
Podemos generalizar essa relação através da observação do diagrama.
Note que n ( A n B ) foi somado duas vezes: uma quando tomamos n (A) e outra 
quando tomamos n (B). Daí a necessidade de subtrair uma vez n ( A n B).
2- exemplo: Numa escola de 630 alunos, 350 deles'estudam Matemática, 210 estudam 
Física e 90 deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? (Estudam Matemática mas 
não estudam Física.)
b) Quantos alunos estudam apenas'Física? (Estudam Física mas não estudam
Matemática.) .
c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?
d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
Resolução: São dados:
n (U) = número total de alunos = 630 
n (M) = número de alunos que estudam Matemática = 350 
n (F) = número de alunos que estudam Física = 210 
n (M n F) = número de alunos que estudam Matemática e Física = 90
19
U
nidade A
s
Vamos fazer um diagrama:
Resposta: a) Se 350 alunos estudam Matemática e 90 deles estudam Matemática e Física, 
então o número de alunos que estudam apenas Matemática é:
350 - 90 = 260
b) Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física, então 
o número de alunos que estudam apenas Física é:
210 - 90 = 120
c) Se 260 alunos estudam apenas Matemática, 120 estudam apenas Física e 90
estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam 
Matemática ou Física é: .
■260 + 120 + 90 = 470
d) Se a escola tem 630 alunos e 470 deles estudam Matemática ou Física, então 
o número de alunos que não estudam nenhuma das duas matérias é:
630 - 470 = 160
^xercícios propostos
1 Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consuitadas, 100 liam o jornal A, 150 tiam o jornal B, 
20 liam os dois jornais (A e B) e 110 nõo liam nenhum dos dois jornais, Quantas pessoas foram 
consultadas? 340
2 Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2 000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto
B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo, Quantas 
pessoas usam o produto A? i 520 .
3 Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. 
Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 
deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB, Nestas condições, pede-se 
o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O. 59
4 Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis,
18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades, O número de pessoas que jogam xadrez é 
igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? 3ó
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? 59
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? 20
20
5 Em uma universidade são iidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 
60%, o jornai B, Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o 
percentual de alunos que lêem ambos, 40%
6 Numa cidade são consumidos três produtos. A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre 
o consumo desses produtos, obteve-se o resultado disposto na tabela abaixo:
PRODUTOS NÚMERO DE 
CONSUMIDORES
A 150
B 200
C 250
A e B 70
A e C 90
B e C 80
A. B e C 60
NENHUM 
DOS TRÊS
180
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A? 50
b) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B ou o produto C? 420
c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B? 280
d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C? 140
e) Quantas pessoas foram consultadas? óoa
7 (Faap-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos 
problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. 
Quantos alunos fizeram a prova? 450
8 Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e3 mulheres 
jogam xadrez, Calcule o número de homens que não jogam xadrez. 20
9 Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e 
o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 o jornal B e 60, os jornais A e B,
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A? 190
b) Quantas lêem apenas o jornal В? 120
c) Quantas lêem jornais? 370
d) Quantas não lêem jornais? l oo
10 Uma cidade com 10 000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B, Numa pesquisa feita com 
seus habitantes, constatou-se que 1 200 pessoas não apreciam nenhum dos dois clubes, 1 300 
apreciam os dois clubes e 4 500 apreciam o clube A,
a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A? 3 200
b) Quantas apreciam o clube B? 5 600
c) Quantas apreciam apenas o clube B? 4 3GG
2111 (Unesp-SP) Considere os pacientes da Aids classificados em três grupos de risco: hemofílicos, 
homossexuais e toxicômanos. Num certo país, de 75 pacientes, verificou-se que:
— 41 são homossexuais, •
— 9 são homossexuais e hemofílicos, e não são toxicômanos;
— 7 são homossexuais e toxicômanos, e não são hemofílicos;
— 2 são hemofílicos e toxicômanos, e não são homossexuais;
— 6 pertencem apenas ao grupo de risco dos toxicômanos;
— o número de pacientes que são apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes que são 
apenas homossexuais;
— o número de pacientes que pertencem simultaneamente aos três grupos de risco é a metade 
do número de pacientes que não pertencem a nenhum dos grupos de risco.
Quantos pacientes pertencem simultaneamente aos três grupos de risco? i
4. Conjuntos numéricos ¡ « h h 
Conjunto dos números naturais (IN)
IN = {0,1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} —> o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar os números naturais ordenados sobre uma reta, conforme o 
gráfico a seguir:
• -------1------ 1------- <_____i____ i_____i_____ _
0 1 2 3 4 5
Conjunto dos números inteiros (E) .
£ = { . . . -3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 , . . .}
Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes subconjuntos deZ:
Z * = Z - {0}
Zt = conjunto dos números inteiros não negativos = {0,1,2, 3, 4,...}.
Z_ = conjunto dos números inteiros não positivos = {0, -1 , -2 , -3 , -4,...}.
Observe queZt = N.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme o 
gráfico a seguir:
-«-----------1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1_______ i_______i_______i_______ i_______ .
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
22
Conjunto dos números racionais (Q)
Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos 
os números racionais.
£ 1 O o
Então: -2, - — , -1, - — , 0, — , 1, y , por exemplo, são números racionais.
Todo número racional pode ser colocado na forma A , com a e l , b e Z e b ^ O .
, b
Exemplos:
a ) - 2 = 4 = 4 = f b>° = i = | = f
c) =
C 4 4
Assim, podemos escrever:
d) 1 _ 1 _ 2 _ 3
I Q = {x I x = com a e l . b e Z e b ^ O }
É interessante considerar a representação decimal de um número racional — , que 
. . . b
se obtém dividindo-se a por b:
J_ - 0 5 - - 5 - — 1 2 5 -ZíL
2 “ U,b 4 " b 20
3,75
Esses exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.
-1 = 0,333... 1 = 1,1666... -1 = 0,857142857142...
3 6 7
Esses exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.
Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número
racional b ■
0,5 - - 1 - 1 0,333... = 1 = 1
10 2 " 9 3
Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta, 
conforme o gráfico:
---L
- 2 32
___ L
- 1
X.
i
3
J_I____I__l____I_L
1 A 1 1 15 9
5 4 2 8
Observamos no gráfico que:
• entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro;
• entre dois racionais sempre existe outro racional.
Exemplos:
Entre l e 4 - existe
4 5
Entre -Í- e -2- existe
Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso não significa que 
preencha todos os pontos da reta, conforme veremos a seguir.
23
n
U
n
idade A
Conjunto dos números irracionais
Consideremos, por exemplo, os números ~i2 e V 3 e vamos determinar a sua 
representação decimal:
V T = 1,4142135...
V T = 1,7320508...
Observamos, então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o
nome de números irracionais, que não podem ser escritos na forma J L .
b
Observe a seguinte construção, que nos mostra a representação dos números 
irracionais \ 2, V 3 e — \ 2 na reta:
Um número irracional bastante conhecido é o número n = 3,1415926535...
Conjunto dos números reais (IR)
Dados Q e {irracionais}, define-se o conjunto dos números reais como:
| IR = Q u {irracionais} = {x i x é raciona! ou x é irracional}
Assim, são números reais:
• os números naturais;
• os números inteiros;
• os números racionais;
• os números irracionais.
Como subconjuntos importantes de IR, temos: 
IR* = IR - {0}
IR. = conjunto dos números reais não negativos. 
IR_ = conjunto dos números reais não positivos.
24
Como os números reais resultam da união dos números racionais com os números 
irracionais, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta 
e os números reais: cada ponto representará um único número real e cada número real 
será representado por um único ponto.
A essa reta nos referimos como reta real.
i i________ i______ i i JL
0
JL
1 2
J__I_____ LL
3 4
- n _ _5_ 1 Vã TT
4 2
5. Relação de ordem no conjunto IR h b b h h h h b b b b
Sejam dois números reais quaisquer, a e b:
• Entre a e b poderá ocorrer uma, e somente uma, das relações:
a = b o u a > b o u a < b
• A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o 
número real b.
Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real:
j .
a b
* A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o 
número real b.
Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real:
_________i__________________________ i_________
b a •
• Também é comum escrevermos: ■
a b (lê-se: a é menor que b ou a é igual a b) 
a ^ b (lê-se: a é maior que b ou a é igual a b)
• Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar 
isto como uma dupla desigualdade: ã < c < b.
Assim:
• A notação x < 2 significa que x é um número real que é menor que 2 e, portanto, x se 
situa à esquerda de 2 na reta real.
• A notação y > - 1 significa que y é um número real que é maior que - 1 e, portanto, y se 
situa à direita de - 1 na reta real.
• A notação - 3 < x < 4 significa que - 3 < x e, também, x < 4; assim x se situa entre - 3 
e 4 na reta real.
25
||xercícios propostos
1 Determine, relacionando seus elementos, os seguintes conjuntos:
a) {xe IN 11 x 4} {1, 2, 3, 4} b) {x eZ* • | -3 < x 3} (-2, - l 1,2,3}
c ) { x e Z J - 2 « X < 5} [0. 1. 2, 3, 4} d ){xe í_ | x s -1} (-1.0)
e) {x e TL | 2 < x < 3} 0
2 Dentre os números abaixo, determine os que são racionais e os que são irracionais:
-3 ; 0,222,,.; íP T ; ji:;V9~ racionais: - 3. - |̂-2_ : 0,222. . .. . 8
irracionais: 'l 2 , K , \ 9
3 Usando a notação de desigualdade, escreva as seguintes relações:
a) x está situado à direita de 10 na reta real. x >10
b) y estã situado entre - 1 e 6 na reta real, 1 < y < ó
c) x está situado à esquerda de -2 na reta real, x < 2
d) z é um número positivo, ou seja, se situa à direita de 0 na reta real. z > 0
e) x está situado entre 2 e 7 na reta real. 2 < x < 7
f) x é um número negativo, ou seja, se situa à esquerda de 0 na reta real. x < 0
6. Intervalos M M
Denominamos intervalo qualquer subconjunto dos números reais. 
Assim, dados dois números reais, a e b, com a < b, temos:.
• Intervalo aberto
representação geométrica:
o --------------------O
a b
representação algébrica:
{x e IR I a < x < b) ou ]a, b[
A bolinha vazia 0 é para indicar que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. 
Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b.
• Intervalo fechado ,
representação geométrica: representação algébrica:
------ • ---------------- • -------------------- (xe IR I a =£ x b} ou [a, b]
a b
A bolinha cheia • indica que os extremos pertencem ao intervalo.
• Intervalo semi-aberto à direita
representação geométrica: representação algébrica:
------*---------------- o-------------------- {x € IR I a x < b) ou [a , b[
a b
26
• Intervalo semi-aberto à esquerda
representação geométrica representação algébrica
■------------- o---------------- *--------------------- (xe IR I a < x b} ou ]a, b]
| ¡ I P i b
Definimos como intervalos infinitos os seguintes subconjuntos de IR, com sua 
representação na reta real:
{x e IR 1 x > a} - ]a, + »[ ------------------ o --------- .
a
a
{x e lR 1 x ^ a} = ] - » , a] — ---------
a
a
Considera-secomo intervalo ] —», + «[ = ]R,
£xercícios propostos
1 Escreva usando as duas notações: .
a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1, (* ih i -2 < x < 1) ou 1 2. l [
b) o intervalo semi-aberto à esquerda de extremos 3 e 8. i i u | 3 - ■ 8| .] j. o!
c) o intervalo fechado de extremos 0 e 5. ■ u< o ■ - 5) ou [o. 5]
d) o intervalo semi-aberto à direita de extremos -5 e 1. {x - iu i 5 x < i } ou [ 5. 11
í Usando a notação de intervalo, escreva:
a) o subconjunto de IR formado pelos números reais maiores que 3. ■ [
b) o subconjunto de IR formado pelos números reais menores que - 1. ] - -, - 1 [
c) o subconjunto de IR formado pelos números reais que são maiores ou iguais a 2. ■
d) o subconjunto de IR formado pelos números reais que são menores ou iguais a -L
3 Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos: Ver respostas no final desta Unidade.
a) 16, 10] b) 1-1,51 c) 1-6, 01
01-5,21 g) ] - 10, 10[ h) [ -V~3, V”3
Represente, na reta real, os intervalos: 
a) [2, 8]
c) ]— », 2] ------- •-------------
d) [0, + «[ 
i) ]- °°, l]
e) ] -" , 31
e) {x c IR I x — 1} 
g) {x e IR 13 < x 7}
1
b) {x e IR I 2 < x < 5} 
d) {x e IR I -2 x « 2} 
0 10 51
- 0 — 0 ­
2 5
-2 2
-O
3
I 5
5 ' /
Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão representados na
,e,a,Ml; 0 . K I 2 , 4|
---------- • 1 '■ * ------------ b) -a)
c)
e)
g)-
V2
{x e i[< | \ 2 < x < 5}
-o-------- d)'
- o
1
{x e llí | 3 , : x < 6}
0 Cf
“ {x e IR I x > 1} 
*{X - llí I x -
-1
ÍX e D< IX 3. 2)
x'3 fx e IR I 1< x ,3 )
8
27
U
ni
da
de
Operações com intervalos
Observe os exemplos:
l s exemplo: SeA = { x e I R ! 2 < x < 5 ] e B = { x e ] R Í 3 ^ x < 8],determinar A n B e A u B. 
Resolução: A n B A u B
B
—10- l-------
1
3; ■
------ o-----i1
1_______ tfc,_____
AnB 12
1
11
3
1____
5
____ 1
-► intersecçào pedida
Resposta: A n B = {x e IR 13 x < 5} = [3, 5[
B
----P---
i
I 3
O-------
8
A u B
111----O—
ii
-------0--------
-► união pedida
Resposta: A u B = {x e IR ¡2 < x < 8} = ]2, 8[
2- exemplo: SeA = { x e I R I - l < x < 4 } e B = {xeIRIx=£2}, determinar A n B e A u B . 
Resolução: A n B A u B
—o -
4-o -
A n B
-1 
I__
I intersecçào pedida
Resposta: A n B= {x e IR I — 1 <x 2} = ] — 1,
- 1
B
------- O------------
2
— 9-----------
¡i
A uB
iii----O-----------
I ^ união pedida
2] Resposta:A u B = {xeIRIx<4}= ]- « j,4[
ixercícios propostos 1
1 Determine A n B quando:
a) A = {x e ÍRI - 1 < x í 2)e 
B = (x e IR 10 « x«5} {*' m]°' ‘ 2t
b) A = {x e K I x < 3} e jx e IR 11 < x < 3)
B = { x e IR | l< x < 4 } 
d) A = ]— 5] © B = ]—<», 2] I .2]
‘ {x c D? 1 0 < x < 5} b) A = {x e IR I -4 <x =s 1} e
B = [x elRI -2 =s x =s 3} 
d) A = [-2 ,2[ e B = [0, + «[ i -2:, + «[
c) A = [ -3 ,1 [ e B = [0,3] [0. K
2 Determine A u B quando: 
a )A = {xe IRI 0< x< 3)e
B = {x e IR |1 < x < 5} 
c) A = 12.5[ e B = ]1,4[ ]1.5[
3 Dados: A = (x elR I -2 « x « 0} e B = [2,3[, determine:
a ) A n B 0 b )A u B [ -2,0] u [2,3[
4 Dados A = ] - 4 ,3], B = [ -5 ,5] e E = ] - », 1 [ , calcule:
a) A n B n E 1-4, TI b ) A u B u E i -.5]
c ) (A u B)n E [ 5, l[
{X e IR I - 4 < x ■ 3}
28
"■ ■
. ; f:'7 ■: ' ' ■-> V'
exercícios de
1 Determine os conjuntos X que satisfazem
{1, 2} c X c {1, 2. 3, 4) {1. 2}. {1, 2. 3). {1. 2. 4} e
{1. 2.3,4)
2 Caracterize por meio de uma propriedade de 
seus elementos os seguintes conjuntos:
a) M = {1, 3, 5, 7,9}
, . „ Resposta n o final
b) P = {100, 200, 300,400} desta Unidade.
c) S = {0. 2,4, 6.... 300}
3 Dados A = {1, 3,5}, В = {О, I 2, 4}, E = {2,4} e 
F = {3, 5}, calcule:
a) (А и В) n E {2, 4}
b ) (A n B )uF (l, 3. 5}
c) (A n В n E) vj (E n F)
d) (A - B) u (E - F) {2, 3. 4, 5}
e ) C6E n C Af {1}
f) (F - А) и (E - B) 0
4 Analisando-se as carteiras de vacinação das 
/ B4 crianças de uma creche, verificou-se que
68 receberam vacina Sabia 50 receberam 
vacina contra sarampo e 12 não foram vaci­
nadas. Quantas dessas crianças receberam 
as duas vacinas? 46
5 (Faap-SP) Segundo a teoria, um conjunto com 
m elementos tem exatamente 2™ subcon­
juntos, Usando este resuitado, determine o 
número de elementos do conjunto A, sabendo 
que: 2
1} B é um conjunto de três elementos;
2) A n B é vazio; -
3) o número de subconjuntos de А и B é 32.
6 Uma editora estuda a possibilidade de lançar 
novamente as publicações: Helena Senhora 
e A M oreninha. Para isto, efetuou uma 
pesquisa de mercado e concluiu que em 
cada 1 000 pessoas consultadas:
600 leram A Moreninha;
400 leram Helena;
300 leram Senhora; ■
200 leram A Moreninha e Helena;
150 leram A Moreninha e Senhora;
100 leram Senhora e Helena;
20 leram as três obras.
Calcule:
a) o número de pessoas que leu apenas uma 
das três obras. 4ó0
b) o número de pessoas que não leu nenhuma 
das três obras. 130
c) o número de pessoas que leu duas ou mais 
obras. 410
7 Dados A = 
calcule:
4. 3]. B = [-5, 5] e E = ] -» ,![ , 
b J A u B u E ]—. 5]a) A n B n E ] 4. ll 
c) (A u B) n E [-5, 1[
8 DadosM = {x|xslReO<x<5}eS = {x|xe IRe 
1 < x =£ 7}, calcuie:
a) M - S jO, 1] b)S - M [5. 7]
c) Determine os números inteiros que perten­
cem ao conjunto M nS , {2. 3.4}
d) Determine o maior número inteiro que per­
tence aeyzonjunto M uS ,
(PUC-SP) Um número racional qualquer:
a) tem sempre um número finito de ordens 
(casas) decimais.
b) tem sempre um número infinito de ordens 
(casas) decimais,
c) não pode expressar-se em forma decimal 
exata.
d) nunca se expressa em forma de uma deci­
mal inexata.
e) nenhuma das anteriores.
2 (Efoa-MG) Seja IR o conjunto dos números 
reais, IN o conjunto dos números inteiros e Q 
o conjunto dos números racionais. Qual a 
afirmativa faisa?
a ) Q u lN c lR d) Q n IR = Q
b ) Q n ! N c K e) Q n IR * 0 
x c) Q u IN = IR
3 (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x 
e o irracional y, pode-se dizer que:
a) x • y é racionai.
b) y - y é irracional.
c) x + y é racional.
d) x - y + \ 2 è irracional.
e ) x + 2yé irracional.
29
U
ni
da
de
 A
4 Dados os conjuntos A = {1,3,4,7,8}. B = {2,4, 
6, 7) e C = {2, 3, 5, 7, 8}, então o conjunto 
( A n C ) - B é :
a) {1,3. 5, 8} b) [2, 3, 4, ó, 8) c) {3} 
■d) {3,8} e )0
5 (Vunesp-SP) Se A = {x e IN I x = 4n, com n e IN)
e 8 = {x e IN* I ~ = n, com n e IN}, então o 
x
número de elementos de A nB é:
a) 3 x b) 2 c) 1
d) 0 e) Impossível de determinar
6 (Fatec-SP) Se A - {x! x e l. -3 < x 1} e B = 
{x I x e IN, x2 < 16}, então (A uB) - (A n B) é o 
conjunto:
a) {-2, - 1 ,0 ,1,2,3} d) {0,1,2.3}
b) {-2 ,-1 ,2 ,3} e){0, 1}
c ) {-3, -2, -1,0}
7 (Acafe-SC) Se M = {1. 2, 3, 4, 5} e N são 
conjuntos tais que M u N = {1, 2, 3, 4, 5} e 
M n N = {1,2, 3}, então o conjunto-N é:
a) vazio, b) impossível de ser determinado.
c){4,5}. d) {1,2,3}. e) {1,2,3,4,5}.
8 (PLIC-RS) Se A, B e A n B são conjuntos com 
90,50 e 30 elementos, respectivamente, en­
tão o número de elementos do conjunto 
A u B é :
a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e)170
9 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B 
com 3 elementos e C com 4 elementos; 
então, podemos afirmar que:
a) A o B tem no máximo 1 elemento.
' b ) A u C tem no máximo5 elementos,
c) A u B tem no máximo 3 elementos.
d) (A r i B) n C tem no máximo 2 elementos.
e) (A u B) u C tem sempre 9 elementos.
10 (FCC-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as 
emissoras de TV a que habitualmente assis­
tem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pes­
soas assistem ao canal A, 250 assistem ao 
canal B e 70 assistem a outros canais distintos 
de A e B. O número de pessoas que assistem 
a A e não assistem a B é:
a) 30 b) 150 c) 180 d) 200 e)210
11 (Mack-SP) Numa escola há n alunos, Sabe- 
se que 56 alunos lêem o jorna! A, 21 lêem os 
jornais A e 8,106 lêem apenas-um dos dois 
jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n 
é:
a) 249 b) 137 'c)158 d) 127 e) 183
12 (Santa Casa-SP) Feito exame de sangue em
30
um grupo de 200 pessoas, constatou-se o 
seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh 
negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm 
sangue tipo O com fator Rh negativo. O 
númerode pessoas com sangue de tipo 
diferente de O e com fator Rh positivo é: 
a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135
13 (Vunesp-SP) Numa classe de 30 alunos, 16 
gostam de Matemática e 20, de História. 
O número de alunos desta classe que 
gostam de Matemática e de História é:
a) exatamente 16. b) exatamente 10. 
c) no máximo 6. d) no mínimo 6.
e) exatomente 18.
14 (Uniube-MG) Numa pesquisa realizada num
colégio sobre o gosto musical dos alunos, 
foram feitas duas perguntas: Você gosta 
de rock? Você gosta de música clássica? 
Após a tabulação, foram obtidos os seguin­
tes resultados: ____________________ .
Número de alunos
Rock 458
Música clássica ' 112
Ambos 62
Nenhum 36
Com base nesses dados, determ ine o 
número de alunos consultados.
a) 540 b) 544 c)444 d) 412 e)284
15 (Fuvest-SP) O número x não pertence ao in­
tervalo aberto de extremos - 1 e 2. Sabe-se 
que x < 0 ou x > 3. Pode-se então concluir 
que:
a )x = s - lo u x > 3 b)xs= 2oux< 0
c) x s: 2 ou x -1 d )x> 3 e)n.d.a,
16 (FGV-SP) Sejam os Intervalos A = ]-« , 1], 
B= ¡0,2] e C = [ -1 ,1].
O intervalo C u (A n B )é :
a) 1-1; H b) [-1; 1] c)[0 ;l!
d) 10; 11 ©)] — ; - ! ]
17 (Mack-SP) Sejam os conjuntos:
A = {x e IR I 0 =£ X 3}; B = {x e IR i x =s 3};
C = {x e IR I -2 =s x=s3}.
O conjunto (B - A) n C é:
a) 0 b) {x e IR IX < 0} c) {x e IR I x >~ 2}
d) (xe IR | -2 € x < 0} e){xe ER i - 2 < x < 3}
18 (PUC-RJ) A e B são conjuntos. O número de 
elementos de A é 7 e o de A u B é 9. Os va­
lores mínimo e máximo possíveis para o 
número de elementos do conjunto B são, 
respectivamente:
a ) 0 e 2 b )0 e 9 c ) 2 e 2 d ) 2 e 9 e )2e 16
■ • M J I I U W
Funções
1. Noção intuitiva de função
Com freqüência encontramos em Matemática relações entre duas grandezas variáveis. 
Observemos uma situação:
Exemplo: Seja um quadrado cujo lado mede L
Designando por p a medida do perímetro 
desse quadrado, podemos estabelecer entre 
p e i' a seguinte relação expressa pela fórmu­
la matemática:
p = 4 • í
r
(
Notamos, então, que a medida p do perímetro depende da medida í do lado do quadra­
do, o que pode ser verificado pela tabela seguinte:
MEDIDA DO 
LADO (t1)
MEDIDA DO 
PERÍMETRO (p)
0,5 2
1 4
1,2 4,8
2 8
3 12
4,5 18
Pela tabela, observamos que:
• a medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável;
• a medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável;
• a todos os valores de f estão associados valores de p;
• a cada valor de E está associado um único valor de p.
Dizemos, então:
a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida 1' do 
lado.
b) A relação p = 4 ■ í chama-se lei da associação ou fórmula matemática desta
função. -
31
U
nidade A
Na lei de associação dessa função, temos:
I P = 4-eI---------------variável independente:------►variável dependente
|^xercícios propostos
1 Num triôngulo equilátero, a medida do lado é representada por x e a medida do perímetro é 
representada por y Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre x e y? y = 3x
2 Numa circunferência, a medida do raio é representada por x e a medida do comprimento da 
circunferência é representada por y. Qual a fórmula matemática que expressa a relação entre x
e y? y = 2nx
3 Num quadrado de lado f, a medida da diagonal é igual a d, Qual a fórmula matemática que 
expressa a relação entre f e d? d = r \T
4 Num quadrado, a ãrea S é dada em função da medida r do lado. Qual a fórmula matemática 
que expressa a relação entre r e S? s = i
2. A noção de função através de conjuntos
Vamos, agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas 
nas tabelas do item anterior representam conjuntos numéricos.
Observemos os exemplos:
l 9 exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 5,15} e B = {0, 5 ,10 ,15,20, 25}, seja a relação de 
A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x e A e y e B .
0 => y 
5 => y 
15 => y
0 + 5 
5 +5 
15 + 5
5
10
20
X y
0 5
5 ■ 10
15 20
Observamos que:
• todos os elementos de A estão associados a elementos de B;
• cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
Nesse caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5 é uma função 
de A em B.
32
29 exemplo: Dados os conjuntos A = {—2, 0, 2, 5} e B - {0, 2, 5,10, 20}, seja a relação de 
A em B expressa pela fórmula y = x, com x e A e y e B.
Esse exemplo não expressa uma função de A em B, pois ao elemento —2 do 
conjunto A não está associado nenhum elemento de B.
3e exemplo: Dados os conjuntos A = {-3 , - 1 , 1 , 3}e B = {1,3,6,9}, seja a relação de A em 
B expressa pela fórmula y = x2, com x e A e y e B.
A relação expressa pela fórmula y = x2, nesse caso, representa uma função de 
A em B, pois:
• todos os elementos de A estão associados a elementos de B;
• cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
4e exemplo: Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {-2 , 2, 3}, seja a relação de A em B 
expressa pela fórmula y1 = x, com x e A e y e B,
Esse exemplo não representa uma função de A em B, pois ao elemento 16 
do conjunto A estão associados dois elementos (—2 e 2) do conjunto B.
Definição:
Em vista dos exemplos dados, define-se: .
I Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f 
é umà função de A em B quando a cada elefhento x do conjunto A está associado 
um e um só elemento y do conjunto B.
33
V
 apopiu
n
Pode-se escrever:
f: A —> B (lê-se: f é uma função de A em B).
Observação:
Podemos usar a seguinte notação para a iei de associação que define uma função:
y = x + 5 ou f(x) = x + 5
y = x2 ou f(x) = x2
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f(x) significam 
o mesmo na linguagem matemática.
flxercícios propostos
1 Observe os diagramas abaixo, que representam relações de A em B. Assinale com F aquelas que 
são funções e com a letra R as que não são funções:
2 Seja f uma relação de A = {0,1,2} em B = {0,1,2,3,4,5,6] expressa peia fórmula y = x + 3, com 
x ê A e y e B. Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B, função
3 Seja f uma relação de A = { -1,0,1,2} em B = {0,2,4,6, 8} expressa pela fórmula y = 2x. Faça um 
diagrama e diga se f é uma função de A em B. não e ¡uncòo
4 Dados A = {-2, - 1 ,1,2} e B = {-8, -4, -1,0,1,4,8},e uma relação f de A em B expressa pela fór­
mula y = xJ, com x e A e y e B. Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. - funçâc
5 São dados A = {4,9} e B = {-3, -2 ,2 ,3} e uma relação expressa pela fórmula y = Vx , com x e A 
e y e B, Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B, ' -' ca
6 A tabela a seguir representa o consumo em km/f de um carro em movimento.
VELOCIDADE 
(em km/h)
CONSUMO 
(em km/f)
40 8
60 10
80 13
90 10
100 9
120 8
Faça um diagrama de flechas e diga se a tabela representa ou não uma função.
Ver resposta no final desta Unidade.
34
3. Domínio, imagem e contradomínio
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5); vamos considerar a função 
f : A —» B definida por y = x + 1 ou f(x) = x + 1.
Observando o diagrama da função, vamos definir:
• O conjunto A é denominado domínio da função, que indicamos por D. No exemplo 
acima, D = {0, 1, 2).
O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição ou campo de 
existência da função.
• O conjunto {1, 2, 3), que é um subconjunto de B, é denominado conjunto imagem da
função, que indicamos por: Im = {1, 2, 3}.
No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função; indica-se f(0) = 1;
2 é a imagem de 1 pela função; indica-se f(l) = 2;
3 é a imagem de 2 pela função; indica-se f(2) = 3.
• O conjunto B, tal que Im c B, é denominado contradomínio da função.
Vejamos alguns exemplos:
19 exemplo: Dados os conjuntos A = {-3 , — 1, 0 ,2}eB = { — 1 ,0 ,1,2, 3,4}, determinar o 
conjunto imagem da função f : A —>B definida por f(x) = x + 2.
Resolução:
Resposta:
f(—3) = ( -3 ) + 2 = —1 
f(—1) = (—1) + 2 = 1 
f(0) = 0 + 2 = 2 
f(2) = 2 + 2 = 4
Observando o diagrama, temos: 
Im = { — 1 ,1, 2, 4}
Im = {—1,1,2,4}
29 exemplo: Seja a função f : IR —> IR definida por f(x) = x2 -10x + 8. Calcular os valores reais 
de x para que se tenha f(x) = - 1, ou seja, tenha imagem - 1 pela função f dada.
Resolução: f(x) = x2 - 10x + 8 
f(x) = - 1
Logo: x = 9 ou x = 1. 
Resposta: x = 9 ou x = 1
=> x2 - 10x + 8= - 1
x2 - 10x + 9 = 0
A = b2 - 4ac = 100 - 36 = 64
10 ± 8
x = ---------
2
fx’ = 9
j x ” = 1
35
v
 a
pn
pi
uf
n
f(x) = ax + b => f(—1) = a ■ (—1) + b => —2 = —a + b
3Q exemplo: D a d a a f u n ç ã o f: IR —> IR d e f in id a p o r f(x ) = a x + b , c o m a , b e IR, c a lc u la r a
e b , s a b e n d o - s e q u e f ( l ) = 4 e f( — 1 ) = - 2 .
Resolução: f (x ) = a x + b => f ( l ) = a ( l ) + b = > 4 = a + b
Vamos, então, resolver o sistema ía + b = 4
{ —a + b= -2 .
a + b = 4 a + 1 = 4
- a + b = - 2 a = 4 — 1
" 2b = 2 a = 3
b = l
Logo: a = 3 e b = 1.
Resposta: a = 3 e b = 1
^xercícios propostos
1 Seja f uma relação de A = {-4, -3, -2, - 1 ,0} em 8 = {-3, -2, - 1 .0 ,1,3,4,5} definida por f(x) = 
2x + 5. Fazendo o diagrama de f, verifique se f é uma função de A em B e, em caso afirmativo, 
determine: é f u n ç ã o
a) D A b )lm { 3, 1,1,3,5} c ) f ( - 2 ) l d)f(0)5
2 Dados os conjuntos A = {-2, - 1 ,0 ,1} e B = {-3, -2, —1,0,1,2,3,4}, determine:
a) o conjunto imagem da função f: A -»B definida por f(x) = x3 {0, i . 4}
b) o conjunto imagem da função f: A ^ B definida por f(x) = 2x + 2 { 2, o, 2,4}
c) o conjunto imagem da função f: A -4 B definida por f(x) = x2-1 { 1,0,3)
3 Dada a função f: IR —> IR definida por f(x) = 3x + 1, calcule:
a)f(-2) 5 b)f(0)i c>f ( y ) 2
4 Sendo f: IR IR uma função definida por f(x) = x2 - 3x - 10, calcule:
5
6
45
4a)f(-2) 0 b ) f( - l) -6 c)f(0) 10 d)f(3) -10 e) f(5) 0 f)f(-I-)
Determine o conjunto imagem da função f : j~2, 0, \ 2 > IR definida por f(x) = x2 + 3. {3.5, 7}
Dada a função f: IR -> IR definida por f(x) = -4x + 3, determine o valor de x para que:
a) f(x) = - 4 - j b) f(x) = - I |
7 Seja a função f: IR -> IR definida por f(x) = x2 - 3x - 4, Determine os valores de x para que se tenha: 
a) f(x) = -4 0,3 b) f(x) = 0 -1 ,4
8 Dada a função f(x) = - ̂1
a)f(D f
_ 1 - , calcule:2X-3
b) x de modo que f(x) = 1
3
' 3
X = o u 
8
x = 2
9 Dados as funções definidas por f(x) = y x + 1 e g(x) = x2 - 1, cafcule f(ó) + g(-2). 7
3 6
10 Sâo dadas as funções f(x) = 3x + 1 e g(x) = -4-x + a. Sabendo que f(1) - g(1) =
38 5 ^calcule o valor de a. —
15
11 Seja a função definida por f(x) = mx + a com m, n e R Se f(2) = 3 e f( - l) = -3, calcule m e n.
m = 2 e n = - l
12 (Faap-SP) Sendo f(x) = QX :J - , x e IR - (b), determine a e b reais paro que tenhamos
x - b
f(0)= y e f ( l ) = 2. a = 5 e b = -2
13 Se f(x) = x2 - 2x + 1, determine f (h + 1). h2
14 Dada a função f : IR -»JR definida por f(x) = x2 - x - 12, determine a para que f{a + 1) = 0.
a = -4 ou a = 3
15 (EEM-SP) Seja f : IR -> R a função tal que f(x) = x2. Seja g : IR ->IK a função tal que
g(x) = + ^ ~ ^ . Calcule g(x). g(x) = 2x + h
h
16 (ITA-SP) Seja f : ]R —»IR a função definida por f(x) = ax + b onde a e IR* e b e IR.
Se a e IR, B e IR e a / (i, demonstre que = a.
a — p
17 Seja a função f definida em K por f(x) = (x - ó)2. Calcule, para h real, o valor de k, sendo • 
k = f(4 + h) + f(4 -h ). 8
18 Seja f : IN ->/L a função definida por: 
f(0) = 2
f( l) = 3
f(n + 1) = 2f(n) - f(n - 1)
Calcule o valor de f(5). 7
4. Estudo do domínio de uma função
Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto de todos os valores 
possíveis da variável independente x, pode ser dado explicita ou implicitamente.
Assim:
• Se é dado.apenas f(x) = 2x — 5, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser
qualquer número real, ou seja, D = IR. .
• Se é dado f(x) = 2x - 5, com 1 =£ x «£ 10, está explícito que o domínio da função dada 
consiste em todos os números reais entre 1 e 10, incluindo-os, ou seja,
D = {x £ K l l ^ x ^ lO ) .
• Se é dado apenas f(x) = -------— . sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode
X 6
ser qualquer número real. com exceção de 2, pois, se x = 2, teremos:
f(2) _ 2(2) 3 _ J_ e _1_ ng0 £ definido.
—i Lt U U
Logo: D = {x £ IR I x 2}.
37
• Se é dado apenas f(x) = Vx - 2, sem explicitar o domínio D, está implícito que (x - 2) 
pode ser qualquer número real não negativo, ou seja, x - 2 ^ 0 o u x ^ 2 , pois, se 
{x - 2) < 0, obtém-se a raiz quadrada de um número negativo e, portanto, não existe 
um número real f(x) correspondente.
Logo: D = {x e IR I x 3* 2},
Assim, quando o domínio de uma função não está explícito, devemos considerar 
para esse dominio todos os valores reais de x que tornam possíveis em IR as operações 
indicadas na fórmula matemática que define a função.
Vejamos alguns exemplos:
1® exemplo:
Resolução:
Resposta:
2® exemplo:
Resolução:
Resposta:
3® exemplo:
Resolução:
Resposta:
_l O
Determinar o domínio da função f(x) = , —
v x2- 1 6
5x + 3
x J- 1 6
só é possível em IR se x2 — 16 0.
2 16?t0= > x? i—4 e x 5*4X '
D = {xe IR I x * - 4 e x * 4}
Determinar o domínio da função f(x) = V5 - 3x .
'h ~ 3x só é possível em IR se 5 - 3x & 0.
5 - 3x 3* 0 -3 x 3= - 5 =>3x =£ 5 =^x —
3
D =1X € IR I X -----3
Determinar o domínio da função f(x) = Vx - 4 + 
Vx - 4 só é possível se x - 4 0 => x s? 4.
Vx - 2 só é possível s e x - 2 > 0 = > x > 2 . 
x 3= 4 -------------------------------------
4
x > 2
D
II-o
I) = (x e IR I x 4}
X
X
X
||xercícios propostos
1 Determine o domínio D da função definida por: 
a) f(x) = % - 5 (x,; ̂ I x * 5}
C ) fcx) = ■ ; x - {Xe IRI X * - 2 e X í2 ) x - 4
e) f(x) = — ------!--------- (X e IR t x *4 e x *5}
x - 9x + 20
b) f(x) = IR
d ) W - i A t
38
X + 1 1g)f(x) = ----- - + ——! {x F Hí i x í - 3, x ; l e x * 3}
X - l x - 9
x -1¡ ) f ( x ) = - ¡ = = - {x - IK I x > 2}
Vx - 2
2 Ache o campo de existência (domínio) da função
3 Qual o domínio da função f (x) = \'4x + 1 ? ir
5. Gráfico de uma função no plano cartesiano
Sistema cartesiano ortogonal
É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si.
0 eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas. Esses 
eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
y,
2- quadrante Ia quadrante
b ----------1 P (a, b)
1
t
1
1
*1 ! r
0 a x
3a quadrante 4a quadrante
h) f(x) = V2x -1 |xe R| x S* — j
j)f(X): X - l , 13x yj)T+b (x e IR' I x > -5}
f ( x ) = Í ^ l + 2x
ÍV K
■„ { X 6 l ( | X 1}
Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a, b) 
indicado na figura tem abscissa a e ordenada b.
Os números reais a e b colocados entre parênteses e separados por vírgula formam o 
que denominamos par ordenado e representam as coordenadas do ponto P.
(a, b)
► 2° elemento do par (ordenada) 
I---------- ► l s elemento do par (abscissa)
Observando o gráfico ao lado, note que 
o par (4, 1) é diferente do par (1, 4), isto é:
(a, b) a (b, a) se a * b.
~ T ( 1 ,4 )
(4, 1)
2 3 4li X
39
U
n
id
ad
e A
Exemplo: Localizar no plano cartesiano os pontos A(2, 3), B ( -2 , 5), C(0, -4 ) e
D(3, 0).
Resolução:
A(2, 3)
!-► ordenada (eixo y) 
— ►- abscissa (eixo x)
B(—2, 5}
L ordenada (eixo y) 
abscissa (eixo x)
y y>
B(-2,5)
T— “ . 5—►ordenada
ordenada-*— 3 —
'
‘
—t—(
A(2, 3)
1 1 1 1 1»
1 ' 
1 
í
r1
0.
'
x -2 0, 
I
X
-►abscissa a b s c i s s a ,
C(0. -4 )
L ordenada (eixo y) 
abscissa (eixo x)
D(3,0)
L ordenada (eixo y) 
abscissa (eixo x)
Vi: y
’ D(3,0)
0 x 1 11 1 1 1 'o. 1 ' 3 ' 1 ' 1 *X
cio, -4) :
Observações:
Ia) Quando a abscissa é zero, 0 ponto está sobre 0 eixo y.
2~) Quando a ordenada é zero, o ponto está sobre o eixo x.
3a) Se a abscissa e a ordenada forem zero, o ponto está na origem (0, 0) do sistema
cartesiano.
40
«remostos
1 Quais as coordenadas dos pontos indicados na figura?
yj
-C
3«»
E.
F
i3
A B Xa
1 ■
A(0, 0)
D(0, 2) 
G(-3, - 2}
B(3, 0) C(2, 3)
E(-3 . 1) F(-5, 0)
H(0. -4} 1(1. -1)
2 Marque os pontos A(0,0), 8(3,0), C{3,3) e D(0,3) num sistema cartesiano ortogonale calcule a 
área da figura formada pela união desses quatro pontos, 9
3 Na figura seguinte, quais são as coordenadas do ponto P?
P(5C3, 5)
(Sugestão: use o teorema de Pitágoras.) 
4 Considere os pontos A, B, C, D, E e F.
a) Quais são as coordenadas desses pontos?
A ( - ó. 3), B(-3. 3), C(0; 3), D(2, 3), E(4 3), F(ó, 3)
b) Qual é o ponto de menor abscissa? E o de maior?
A, F
c) Quais deies têm abscissa negativa? A e B
S s e a e Z e b e Z , determine a e b para que se tenha:
a) (2a + b, 5a - 3b) = (3. 2) a = t b) (a + 2b, 17) = (6, a + b) o = 28
b = l b = - 11
Gráfico
Neste item vamos aprender a construir e a interpretar o gráfico de uma função num 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
O gráfico tem a vantagem da comunicação visual imediata, isto é, com a prática, 
basta olharmos o gráfico de uma função para dele retirarmos informações importantes.
41
Vejamos alguns exemplos:
1Q exemplo: Construir no plano cartesiano o gráfico da função f : IR —> IR definida por 
y = 2x.
Resolução: Neste caso, vamos atribuir valores arbitrários para x e IR e obter os valores 
correspondentes para y, conforme mostra a tabela:
X y = 2 x (x, y)
- 2 ><: II (O i to II 1 4*
» ( -2 , -4 )
- 1 y = 2 ( - l ) . = - 2 ( - 1 , - 2 )
0 y = 2(0) = 0 (0, 0)
1 y = 2 ( 1 ) = 2 (1, 2)
2 y = 2(2) = 4 (2,4)
Como D = IR e Im - IR, unimos 
pontos e o gráfico de f é uma reta.
4
2
- 2 - 1
fy
/ 1 1 
/ 1 1/ 1 1 r
' i / 0 1 2 x
/ _ - 2
OS i /
- 4
2- exemplo: Construir no plano cartesiano o gráfico da função f(x) = -5—
2
Resolução'. Vamos construir uma tabela, atribuindo valores arbitrários a x e obtendo os 
valores correspondentes de y, tendo em vista que para esta função D = IR.
X
X ^
« x ) = ; (x, y)
- 2 (-2 ,2 )
- 1 ( - ■ D
0 f(x) = | - = 0 (0, 0)
1 f(x) = | ( ■ • i )
2
CNJII
•̂
|cm
II2 (2,2)
f(x) =
Você pode notar que nessa função Im = 1R+.
3g exemplo: Construir no plano cartesiano o gráfico da função f : IR —̂ IR definida por 
' x, se x 2
2, se x < 2
Resolução: Nesse caso, temos uma função definida por duas sentenças, ou seja: 
f(x) = x, se x 2 
f(x) = 2, se x < 2
42
Para a construção do gráfico, vamos observar as tabelas:
X f(x) = x ( x , y )
2 2 (2,2)
3 3 (3,3)
4 4 (4, 4)
X f ( x ) = 2 ( X , y )
1 2 (U2)
x< 2 0 2 (0,2)
- 1 2 (-1 ,2 )
y
4 /
3 A
2
Xj
1111! 11ii
!< / ! - X \ * ' ! 1 i
-1 0 1 2 3 4 X
Como D = IR, podemos unir todos os pontos. 
Podemos ainda notar que Im - {y <= IR I y 2).
49 e x e m p l o : Um depósito, contendo inicialmente 600 litros de água, dispõe de uma válvula 
na sua parte inferior. Um dispositivo foi utilizado para registrar o volume de 
água no reservatório, a cada instante, a partir do momento em que a válvula 
foi aberta. Os valores obtidos durante a operação permitiram construir o 
gráfico do volume de água (em litros) em função do tempo (em minutos). 
Observando o gráfico, vamos responder:
600
500
400
300
200
100
T
volume 
(em f)
i
. j _ _i i- -L _ i _ is^ t i i i
5 10 15 20 25 30 35
te m p o (em m in )
a) O volume de água permaneceu constante no depósito?
b) Decorridos 10 minutos do início da operação, qual o volume de água 
existente no depósito?
c) Quantos minutos decorreram até que o volume da água existente no 
depósito caísse pela metade?
d) Entre quais instantes o volume da água no depósito foi menor que 100 
litros?
e) Em quanto tempo o depósito foi esvaziado?
Resposta: a) Não, o volume de água dim inui no decorrer do tempo.
b) 200 l
c) 5 minutos.
d) No intervalo ]25 min, 30 min],
e) Em 35 minutos.
43
U
nidade A
laxereicios propostos
1 Construa num sistema de coordenadas cartesianas o gráfico:
a) da função f : IR -» ¡R dada por f(x) = x + 1
b) da função f : IR -» IR dada por f(x) = x - 1
Nos dois itens, escreva o domínio D e o conjunto imagem lm da função.
Ver g rá fico s n o final 
desta Unidade.
2 Construa num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais o gráfico:
a) da função dada por f(x) = xJ + 3
b) da função dada por f(x) = 2*
Nos dois itens, escreva o domínio D e o conjunto imagem lm do função.
Ver g rá fico s no final 
desta Unidade.
A í X S G X S : “ 23 Faça a função f : [R —> IR definida por f(x) = / ' o ■ Construa num sistema de
coordenadas cartesianos ortogonais o grãfico dessa função. Ver gráfico no final desta Unidade.
4 Construa num sistema de coordenadas cartesianas o gráfico da função f : IR -» IR definida por
f(x) = ín I se x - 1 g rgfjCO no fjn a | (jgjta Unidade.
w \0, se x < 1 y
_ f_0 50 v <; 3
5 Seja a função definida por g(x) = \ ‘ " . Construa o gráfico dessa função num sistema
z , SG X > O
d e c o o rd e n a d a s cartesianas ortogonais. Ver gráfico no final desta Unidade.
6 Faça o gráfico da função definida por f(x) = j x ' se x ̂ num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais. Ver gráfico no final desta Unidade.
7 O espaço de frenagem de um veículo é a distância que ele percorre até parar, depois de 
acionado o freio. Para um Chevette, o gráfico que representa o espaço de frenagem, em função 
da velocidade, é o indicado na figura.
espaço de frenagem (m)
velocidade (km/h)
Pede-se:
a) Qual o espaço de frenagem para a velocidade de 100 km/h? 50 m
b) Qual a velocidade do Chevette para que seu espaço de frenagem seja 30 m? 70 km/h
44
Estudo do gráfico no plano cartesiano
Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, podemos determinar o seu 
domínio e a sua imagem da seguinte forma:
No gráfico ao lado, temos:
D - { x e ]R I 2 x 7} = [2, 7]; 
Im = (y e IR 11 *£ y =£ 4} = (1, 4].
No gráfico ao lado, temos:
D = {x e IR I —3 =£ x < 2} = [ -3 , 2[;
Im = {y e IR I - 1 y < 3} - [ —1, 3[.
1 0 domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção 
do gráfico sobre o eixo das ordenadas.
^xercício proposto
Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio D e o conjunto 
imagem Im de cada funçõo:
a)
D = {xe IR I -2 -^ x < 3 } 
Im = {y e IK I - 2 y < 2}
b) y,
D = {Xe№M 2 < x < 4} 
Im = (y e Di I 2 < y < 3}
C)
D = jx s 1? I 0 s * í 5) 
Im = (ye IK I 0 « y « 2}
D = {x e IR I 3 < x < 3} D = {x e IR I 3 s X fi A e
Im ■= {y e IR i I s y t 3} Im = {y e B( I - 2 < y « 3}
0
y ,
l \
1 \
1 v_
!
3
, 9 
/ 1
■ / i
. , / 1 -
- 3 0 
- 1
D= {Xe m 1 -3 < x c 3 e x i l )
Im = jy 6 IR 1 - 1 < y < 3}
45
U
ni
da
de
 A
6. Função par e função ímpar ■
Função par
Seja a função f: IR -> IR definida por f(x) = x2. 
Vamos calcular:
f ( l ) = ( 1 ) 2 = 1 
f ( - l ) = ( - l ) 2 = l
1 e - 1 têm a mesma imagem (1).
f(2) (2)2 4 l 2 e - 2 têm a mesma imagem (4)-
f( — 2) = (—2)2 = 4j
f(42) = (-j2)2 = 2 
f(—V2") = (- V 2" )2 = 2 
Você observa que:
- V2" e 42 têm a mesma imagem (2).
I Qualquer que sejax e D ocorre f(x) = f(—x); neste caso, dizemos que a 
função f é par.
Isto é:
f(x) = x2 .\f(x) = f(-x )
f( x) = (—x)2 — X2
N0 plano cartesiano:
Função ímpar
Seja a função f : IR definida por f(x) = 2x. 
Vamos calcular:
f(l) = 2 ■ (1) = 2 
f( — 1) = 2 • ( —1) = - 2
11 e —1 têm imagens opostas.
f(2) = 2 ■ (2) = 4 
f(—2) = 2 • ( -2 ) - - 4
- 2 têm imagens opostas.
46
= 2 •
v 2 y
= 1
2 ;
Você observa que:
= 2 ' l ' = - l
1 e — — têm imagens opostas.
2 2
I
Para todo x e D ocorre que f(x) = - f ( - x ) ; neste caso, dizemos que a 
função f é ímpar.
Isto é:
,\ f(x) = — f(— x)
f(—x) = 2 (-x ) = — 2x 
No plano cartesiano:
• Os n ú m e ro s x e -x têm imagens opostas.
• O gráfico é simétrico em relação à origem 
do sistema cartesiano.
Observação importante:
Uma função cujo gráfico não satisfaz nenhuma das condições acima, não é função 
par nem função ímpar.
47
U
ni
da
de
 A
U
nidade A
^xercícios propostos
1 Seja a função f : IR -> IR dada por f(x) = 3x, Calcule:
a)f( l) 3 b )K -D -3
d) f(—2) ó e)f(3)9
Agora, responda: a função dado é por ou ímpar? impar
2 Seja a função f : IR —> IR dada por f(x) = x2 + 1. Calcule:
a) K l) 2 b ) f (- l ) 2
d) f(-2) 5 ^
Agora, responda: a função dada é par ou ímpar? par 
3 Classifigue em par ou ímpar as funções: 
a) f : IR -> IR definida por y = x! - 4, par
c)f(2) ó 
f)f(-3) 9
c)f<2) 5
o f l )
b) f : IR -» IR definida por f{x) = — . ímpar
2
c) f : IR IR definida por f(x) = x2 + 2x + 1. riem par nem ímpar
d) f : IR ->IR definida por y = 2'. nem par nem ímpar
e) f : IR -> IR definida por f(x) = x. ímpar 
0 f : IR -> IR definida por y = x3. ímpar
4 Observando os gráficos no plano cartesiano, classifique em par ou ímpar as funções:
V
16
7. Função crescente e função decrescente* *
Função crescente
Seja a função f : IR —> IR definida por f(x) = x + 2.
Vamos considerar dois valores (\i e x2) de x e D tais que x, < x2, como, por exemplo, 
- 3 e - 2 ( - 3 < -2 ) e calcular
f(x,) = f(-3 ) = ( -3 ) + 2 = - l l ^ j < 0< Então; f(x ) < f(v ). 
f(x2) = f(—2) = (-2 ) + 2 = 0 í 
Nesse caso, dizemos que a função f é crescente.
Então:
Uma função y = f(x) é crescente num conjunto Ase, e somente se, para quaisquer 
Xj e *2 pertencentes ao conjunto A, com x, < x,, tivermos f(x,) < f(x2).
48
Função decrescente
Seja a função f : IR —> IR definida por y = -2 x + 3.
Vamos considerar dois valores quaisquer (xt eXj) d e xe D tais que x, < x2, como, por 
exemplo, - 3 e - 1 { -3 < - 1) e calcular:
f(-3 ) = —2(—3) +3 = 9 
f(—1) = —2(—1) + 3 = 5
|=í*9 > 5. Então: ffx,) > f(x2).
Nesse caso, dizemos que a função é decrescente.
Então:
Í Uma função y = f(x) é decrescente num conjunto A se, e somente se, para 
quaisquer x1 e ^ pertencentes ao conjunto A, com x, < x2, tivermos f(Xj) > f(x2).
Podemos também estudar o crescimento ou o decrescimento de uma função através 
do seu gráfico, conforme os exemplos a seguir:
■
y fu n ç ã o y
c re sce n te d e c re s c e n te
\
f ( x l)
A
f 11
*
\
/ T
\
f ( x , ) f(x 2)
\
______ 1__________ _____________
x i ^ X2 X X X
Se as imagens também aumentarem, aumentando-se os valores de x do domínio, a 
função é crescente.
Se as imagens diminuírem, aumentando-se os valores de x do domínio, a função é 
decrescente.
|£xercícios propostos
1 Diga se cada uma das seguintes funções f : IR -> IR é crescente ou decrescente.
a) y - x crescente 
d )y = - x + 3 d ecrescen te 
g) y = -4- crescente
b) y = x - 5 crescente c) y = 2x crescen te
e)y = 2' crescen te f)y = x + t crescente
h) y = - x 3 d ecre sce n te
49
U
ni
da
de
 A
U
nidade
2 Diga qual dos gráficos a seguir representa uma função crescente, a
3 Observando os gráficos no plano cartesiano, determine os intervalos em que as funções são 
crescentes ou decrescentes.
decrescente: |3, 4).
8. Função composta
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {0, 1, 4, 9, 16}, vamos 
considerar as funções:
f : A —> B definida por f(x) = 2x 
g : B —>C definida por g(x) = x2
h
g = {(0, 0), {1,1), (2, 4), (3, 9), (4,16)}
50
Observamos que:
• a cada x € A associa-se um único y e B tal que y = 2x;
• a cada y e B associa-se um único z e C tal que z = y2;
• a cada x e A associa-se um único z e C ta! que z = y2 = (2x)2 = 4x2.
Então podemos afirmar que vai existir uma função h de A em C definida por 
h(x) = 4x2, que indicamos por g o f ou g(f(x)) (lê-se: g composta com f).
Logo: h(x) = g o f = g(f(x)) = {(0, 0), (1, 4), (2,16)} ou h(x) = 4x2.
I A função h(x) chama-se composta de g com f.
Vejamos alguns exemplos:
l e exemplo: Sendo dados f(x) = x2 + 2 e g(x) = 3x, calcular g(f(x)) e f(g(x)). 
Resolução: g(f(x)) = g(x2 + 2) = 3{x2 + 2) = 3x2 + 6 
f(g(x)) = f(3x) = (3x)2 + 2 = 9x2 + 2 
Resposta: g{f(x)} = 3x2 + 6
f(g(x)) = 9x2 + 2
2- exemplo: Dados f(x) = 2x - 1 e y(x) = 3x + 2, calcular f(g(l)). 
Resolução: Vamos calcular f(g(x)):
f(g(x)) = f(3x + 2) = 2(3x + 2 ) - l = 6x + 4 — l = 6x + 3 
Então: f(g(l)) = 6(1} + 3 = 6 + 3 = 9 
Resposta-. 9
39 exemplo: Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, pede-se:
a) Calcular f(g{x)).
b) Achar x de modo que f(g(x)) = 0.
Resolução: a) f(g(x)) = f(x + 1) = (x + l) 2 - 5(x + 1) + 6
f(g(x)) = x2 + 2 x + l - 5 x - 5 + 6 
f(g(x)) = x2 - 3x + 2 
b) f(g(x)) = 0 = x̂2 - 3x + 2 = 0 
A = 9 - 8 - 1
3±1 ^ x’ = 2
X _ 2 x” = 1
Resposta: a) f(g(x)} = x2 - 3x + 2
b) x’ = 2 e x” = 1
49 exemplo: Dados f(x) = 3x - 1 e f(g(x)) = 6x + 8, calcular g(x).
Resolução: Substituindo em f(x) x por g(x), temos:
3 • g(x) - 1 = 6x + 8 => 3 ■ g(x) = 6x + 9 => g(x) = — _ + 9 g(x) = 2x + 3
3
Resposta: g(x) = 2x + 3
51
^xercícios propostos
1 Dados f(x) = x2 - 4 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(x)) e g(f(x)). f(g(x)) = 4x- + 4x 3: g(f(x)) = 7
2 Se f(x) = 5x - 2 e h(x) = 2 - 3x, calcule f(f(x)) e h(h(x)). f(f(x)},= 25x - 12; h(h(x)) = 9x 4
3 Sendo f(x) = 3x - 2 e g(x) = 2x + 1, calcule f(g(2)) e g (f(-1)). f(g(2)) = 13, g(f( - 1}) = - 9
4 Dadas as funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3x - 1, calcule f(f(x)) e g(g(x)).
f(f(x)) = xJ+ 2x- + 2; g(g(x)) = 9x - 4
5 Se f(x) = 5x + 1 e h(x) = 1 + 4x, calcule f(h(2)) + h(f(2)). 91
6 Sabendo que f{x) = 2x -5 e g(x) = 3x + m, determine m de modo que f(g(x)) = g(f(x)). - 10
7 Sabendo que f(x) = x3+ le g(x) = x - 1, calcule — 9№0).; se x * 1. -2
x - 1
8
9
10
11
12
13
Se f(g(x)) = óx - 13 e f(x) = 3x + 2, calcule g(x). g(x) = 2x 5
Dados f(x) = 3x - 1 e g{x) = 2x + 4, para quais valores de x temos f(g(x)) = -1 ? 2
Sendo f(x) = 2x - 10 e g(x) = x2 - 100, calcule x para que se tenha g(f(x)) = 0. {0, 10}
f(D -g (x )Dadas as funções f(x) = x! - 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, resolva a equação:
f(g(2))
Sejam f:IR^lReg:IRH>IR definidas por f(x) = x2 - 2x - 3 e g(x) = 4x + m. Sabendo que 
f(g(-l))= 12, calcule m, {1, 9}
Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 4, pede-se:
a) x de modo que f(g(x)) = 0. {- 2, 1} b) x para que f(2) + g(x) = g{f(4)). {2}
14 Dada a função f(x) = x + 3 e g(x) = x2, determine: 
a) f(f(f(x))) x + 9 b) g(f(g(x))) + 6x2 + 9
9* Função inversa
Dados A = {1, 2, 3,4} e B = {2, 4, 6, 8}, consideremos as funções:
f: A —> B definida por y = 2x;
g: B —> A definida por y = -r~.
f z g
■ H M
f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} 
D ={1, 2, 3, 4}
Im = {2, 4, 6, 8}
g= {(2 ,l) , (4,2), (6, 3), (8, 4)} 
D = {2, 4, 6, 8}
Im = {1, 2, 3,4}
5 2
Vamos observar que:
• A função g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares 
ordenados que pertencem à função f.
• Df= Img e Dg = Imf
Então, dizemos:
I A função g é chamada função inversa da função f.
Indica-se a função inversa de f por f _1.
Observação importante:
A função y = f(x) define uma correspondência de x para y, isto é, dado um valor de x 
podemos obter o valor de y que lhe corresponde através da função f.
Essa correspondência é unívoca, ou seja, cada x terá em correspondência um 
único y.
A função inversa de f, que é indicada por f_1, define uma correspondência contrária, 
isto é, de y para x, e indicamos:
x = f-i (y)
Essa função somente existirá se a correspondência de y para x for também unívoca, 
o que não ocorre com qualquer função. As funções onde isso ocorre são denominadas 
funções bijetoras.
As funções que possuem inversas são chamadas funções inversíveis.
Então, podemos definir:
I Dada uma função bijetora f: A h > B, chama-se função inversa de f a função f_1: B -»A tal que (a, b ) e f o (b, a) e f-1.
Processo algébrico para o cálculo da função inversa
Observe os exemplos:
l g exemplo: Achar a expressão que representa a inversa da função y = x + 2.
Resolução: y = x + 2
l l
x = y + 2 —> Trocamos x por y. 
x — 2 = y —> Isolamos y. 
y = x - 2
Resposta: y = x — 2 é a expressão que representa a inversa da função y = x + 2.
5 3
U
ni
da
de
 A
U
nidade A
29 exemplo: Determinar a função inversa da função y =
x + 5
2x - 3
com x *
Resolução: Vamos trocar x por y:
x = y + 5„ => x (2y - 3) = y + 5 => 2xy - 3x = y + 5 
2y — 3
Vamos isolar y:
2xy - y = 3x + 5 => y(2x - l ) = 3x + 5=^y =
3x + 5 
2x - 1
Resposta: y = 3x + 5 f com x * J - lé a função inversa da função y = x + 5
2x 1 v, 2 ) ¿x á
^xercícios propostos
1 Determine a função inversa das seguintes