Capacitores: Armazenadores de Energia

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Prof. Paulo Ricardo 
Instituto Politécnico UNA 
Elementos Armazenadores 
de Energia 
Aula 04 
Capacitores 
 Consiste em dois condutores separados por um isolante, ou 
material dielétrico. 
 Capacitores armazenam energia elétrica por meio do 
acumulo de cargas positivas e negativas, cada qual em seu 
respectivo condutor. 
 O acúmulo de cargas ocorre por meio 
do campo elétrico que surge entre os 
terminais do capacitor. 
 O mesmo campo elétrico tem o papel re 
de polarizar as moléculas do material 
dielétrico (isolante). 
 É correto dizer que o capacitor é um 
dispositivo usado para armazenar 
energia elétrica na forma de campo 
elétrico. 
O Conceito de Capacitância 
 Em eletrostática, tem-se que a carga Q de uma carga 
puntiforme (esférica) é diretamente proporcional ao seu 
potencial elétrico V (d.d.p. em relação ao infinito). 
 Define-se capacitância como a medida da capacidade de um 
condutor armazenar carga para uma dada d.d.p. (tensão) 
aplicada em seus terminais. Logo, para um condutor isolado, 
tem-se que: 
 
 
 A unidade de capacitância no SI é o farad (F), 
escolhida em homenagem ao filósofo natural Michael 
Faraday, que estudou a indução eletromagnética em 
um condutor percorrido por uma corrente contínua 
(DC). 
 
 
Q – carga do condutor (C) 
V – potencial elétrico do condutor (V) 
C – capacitância elétrica (F). 
𝐶 =
𝑄
𝑉
 
Michael Faraday 
(1791 – 1867) 
Capacitor de 
Placas Planas Paralelas 
 Em um capacitor de placas planas paralelas, tem-se uma d.d.p. 
entre as placas dada por: 
 
 Pela Lei de Gauss, obtém-se um campo elétrico E em cada placa: 
 
 
 Sendo o campo resultante no interior das placas: 
 
 
 Desta forma, pode-se calcular a capacitância 
entre as placas do capacitor: 
 
E – campo elétrico entre as placas (V/m) 
d – distancia entre as placas (m) 𝑉 = 𝐸𝑑 
𝜑𝐸 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 
𝑆
=
𝑞
𝜖0
 
𝜖0 – permissividade elétrica do vácuo (F/m) 
A – área de uma placa (m2) 𝐸 =
𝑄
2𝜖0𝐴
 
𝐸 =
𝑄
𝜖0𝐴
 𝑉 =
𝑄𝑑
𝜖0𝐴
 
𝐶 =
𝑄
𝑉
=
𝜖0𝐴
𝑑
=
𝜖0𝜖𝑟𝐴
𝑑
 
d.d.p. 
𝜖𝑟 – permissividade elétrica 
relativa ou constante 
dielétrica (F/m). 
Lei de Gauss 
Capacitor de 
Placas Planas Paralelas 
 Logo, a capacitância no capacitor está relacionada com: 
 a área; 
 a distância entre as placas; 
 a permissividade elétrica no vácuo; 
 a constante dielétrica ou permissividade relativa do isolante. 
 Quando conectado a uma fonte CC, tem-se que o 
capacitor terá uma d.d.p. aplicada às suas placas. 
 O que provoca a sua polarização e o posterior 
acúmulo de cargas (carregamento) positivas e 
negativas em suas respectivas placas, conforme 
a polaridade da fonte. 
 Quando a tensão (d.d.p.) entre as placas 
do capacitor for igual à tensão da fonte, 
o fluxo de elétrons se interrompe e o 
capacitor se comporta como um circuito aberto. 
 
Capacitor Cilíndrico 
de Placas Concêntricas 
 Para um capacitor cilíndrico placas concêntricas, tem-se: 
 
 
Pela Lei de Gauss, para r1 < r < r2 obtém-se um campo elétrico E entre 
placas: 
 
 A d.d.p. entre as placas é dada por: 
 
 
 Desta forma, pode-se calcular a capacitância 
entre as placas do capacitor por: 
 
𝐸𝑅 – campo elétrico resultante entre as placas (V/m) 
𝑑𝑟 – distancia (raio) diferencial entre as placas (m) 
𝑑𝑉 = −𝐸𝑅 ∙ 𝑑𝑟 
𝜖0 – permissividade elétrica do vácuo (F/m) 
L – comprimento do condutor (m) 
𝐸𝑅 =
𝑄
2𝜋𝜖0𝑟𝐿
 
𝑽 = 𝑑𝑉
𝑟2
𝑟1
= 𝐸𝑟 ∙ 𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
=
𝑄
2𝜋𝜖0𝑟𝐿
 
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
=
𝑸
𝟐𝝅𝝐𝟎𝒓𝑳
𝐥𝐧
𝒓𝟐
𝒓𝟏
 
𝑪 =
𝑄
𝑉
=
2𝜋𝜖0𝐿
ln(𝑟2 𝑟1 )
=
𝟐𝝅𝝐𝟎𝝐𝒓𝑳
𝒍𝒏(𝒓𝟐 𝒓𝟏 )
 
𝜖𝑟 – permissividade elétrica 
relativa ou constante dielétrica 
(F/m). 
Eletrodo 
interno 
(r1) 
Dielétrico 
Eletrodo 
externo 
(r2) 
-Q +Q 
L 
 Símbolos: 
 
 
 Dielétricos utilizados: 
 Mica; 
 Cerâmica; 
 Celulose; 
 Porcelana; 
 Teflon e 
 Ar. 
 
Tipos de Capacitores 
Capacitor de 
Polaridade Variável 
Capacitor de 
Polarizável Fixa 
Dimensões de Capacitores 
 
Tipos de Capacitores 
Cerâmica (valores 
baixos até cerca de 1µF) 
Poliestireno (geralmente na 
escala de pF) 
Poliéster (de 
aproximadamente 
1nF até 1µF) 
Eletrolítico (de alta potência, 
compacto mas com muita perda, 
na escala de 1µF-1000µF) 
Polipropileno (baixa perda, alta 
tensão, resistente a avarias) 
Tântalo (compacto, dispositivo de 
baixa voltagem, de até 100µF 
aproximadamente); 
Corrente Elétrica em um Capacitor 
 No processo de carregamento de um capacitor, uma corrente 
i(t) flui enquanto a carga flui de uma placa para outra. 
Lembrando que a corrente elétrica é dada por: 
 
 Pode-se substituir na expressão anterior: 
 Sendo a corrente elétrica em um capacitor de capacitância C 
dada por: 
 
 
 A medida em que a corrente flui de um terminal (+) para (-), 
ela faz com que o terminal (+) tenha uma tensão positiva 
relativa ao terminal (-). 
 Esta é a relação tensão-corrente em um capacitor. Trata-se de 
uma relação linear, demonstrando que o capacitor é um 
elemento linear. 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
𝑞(𝑡) = 𝐶𝑣(𝑡) 
𝑖 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑣 =
1
𝐶
 𝑖 𝑑𝜏
𝑡
−∞
 
A tensão sobre um 
capacitor não pode variar 
instantaneamente 
Capacitores em Série 
 Tensão nos capacitores C1 e C2: 
 
 
 Tensão total do conjunto 
 
 
 Capacitância equivalente é dada por: 
 
 
 Logo, a capacitância em série é dada por: 
 
 
 
𝑉1 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑚 =
𝑄
𝐶1
 𝑉2 = 𝑉𝑚 − 𝑉𝑏 =
𝑄
𝐶2
 
𝑉 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑉1 + 𝑉2 =
𝑄
𝐶1
+
𝑄
𝐶2
= 𝑄
1
𝐶1
+
1
𝐶2
 
V2 
V1 
Vm 
Va 
Vb 
C1 
C2 
V 
+ 
– 
i 
C1 
C2 
Ceq V V 
+ 
+ 
– – 
𝐶𝑒𝑞 =
𝑄
𝑉
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+ ⋯+
1
𝐶𝑛
 
1
𝐶𝑒𝑞
= 
1
𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Expressão geral 
A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em 
série é sempre menor que qualquer capacitância da associação. 
Igualando V 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
 
Capacitores em Paralelo 
 
 
 
 
 
 Carga nos capacitores C1 e C2: 
 
 Carga total do conjunto: 
 
 Capacitância equivalente: 
 
 Logo, a capacitância em paralelo é dada por: 
 
 
 
𝑄1 = 𝐶1𝑉 
V1 
Vb 
C1 C2 
– 
i 
V2 
 
 
Va 
V 
+ 
C1 C2 Ceq V V 
+ + 
– – 
𝐶𝑒𝑞 =
𝑄
𝑉
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯+ 𝐶𝑛 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Expressão geral 
Igualando Q 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 
A capacitância equivalente de uma associação de capacitores em 
paralelo é sempre maior que qualquer capacitância da associação 
𝑄2 = 𝐶2𝑉 
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 𝐶1𝑉 + 𝐶2𝑉 = 𝑉(𝐶1 + 𝐶2) 
Energia em um Capacitor 
 No processo de carregamento 
de um capacitor, uma carga q 
é transferida do condutor 
negativo para o positivo, 
sendo a d.d.p. 𝑉 = 𝑞/𝐶. Seja 
uma pequena quantidadede 
carga dq transferida neste 
carregamento por meio da d.d.p. V. Logo, a energia potencial  
desta carga é dada por: 
 
 
 Resolvendo para q de 0 até Q, tem-se: 
 
 
 
 
𝑑𝜀𝐶 = 𝑉𝑑𝑞 =
𝑞
𝐶
𝑑𝑞 
𝜀𝐶 = 
𝑞
𝐶
𝑑𝑞
𝑄
0
=
1
2
𝑄2
𝐶
 
𝜀𝐶 =
1
2
𝑄2
𝐶
=
1
2
𝑄𝑉 =
1
2
𝐶𝑉2, 𝐹 ∙ 𝑉2 = 𝐽 𝜀𝐶 =
1
2
𝐶𝑉2 
Indutores 
 Consiste em um condutor enrolado com N voltas (espiras) na 
forma de um solenoide, ou de um toroide. Pode conter ou não 
um núcleo ferromagnético. 
 Indutores armazenam energia magnética por meio da 
circulação de uma corrente elétrica no condutor. A corrente 
elétrica no indutor produz um campo magnético uniforme em 
seu interior, limitado pela 
região das espiras. 
 O campo magnético 
produzido no interior das 
espiras de um indutor é 
análogo ao campo elétrico 
produzido entre as placas 
de um capacitor. 
 
 
 
Indutores 
 Da mesma forma, o núcleo dielétrico de um capacitor cumpre 
papel semelhante ao núcleo ferromagnético de um indutor, 
i.e., disponibilizar um meio para armazenamento da energia 
em forma de campo (elétrico/ magnético). 
 É correto dizer que 
o indutor é um 
dispositivo usado 
para armazenar 
energia elétrica na 
forma de campo 
magnético. 
 
 
 
O Conceito de Indutância 
 Fora da presença de imãs permanentes, o fluxo magnético 
que atravessa um circuito elétrico depende apenas da corrente 
elétrica no circuito e das correntes em outros circuitos próximos. 
 Considerando um indutor do tipo solenoide percorrido por uma 
corrente I, tem-se que esta corrente produz um campo 
magnético B que pode variar de um ponto para outro, todavia 
sendo sempre proporcional à corrente neste ponto. Logo, o 
fluxo magnético que atravessa o indutor é proporcional a I: 
 
 
 A unidade de indutância no SI é o henry (H), escolhida 
em homenagem ao cientista americano Joseph Henry, 
que estudou o fenômeno da autoindutância, assim 
como a indutância mútua e indução eletromagnética 
em um condutor percorrido por uma corrente (DC). 
 
 
N – número de espiras do indutor. 
𝜑𝐵 – fluxo magnético no interior do indutor (Wb) 
I – corrente elétrica no indutor (A) 
L – Autoindutância ou indutância (H = Wb/A). 
𝑁𝜑𝐵 = 𝐿𝐼 
Joseph Henry 
(1797 – 1878) 
Indutor do tipo Solenoide 
 Em um indutor tipo solenoide, aplica-se a lei de Biot-Savart para 
encontrar o campo magnético B em seu interior (eixo x): 
 
 
 
 
 
 Para um solenoide de comprimento 𝑙, tem-se: 
 
 
 Resolvendo, obtém-se: 
𝑑𝑩 =
𝜇0
4𝜋
𝐼𝑑𝒍 × 𝒓 
𝑟2
 
Bx – campo magnético no eixo x, no interior do solenoide (A/m) 
𝜇0 – permeabilidade magnética do vácuo (H/m). 
R – raio da espira (m). 
I – corrente elétrica na espira (A). 
n – espiras N por unidade de comprimento 𝑙 do solenoide 
Lei de Biot-Savart 
 𝐵𝑥 =
𝜇0
4𝜋
2𝜋𝑅2𝑛𝐼
(𝑥2 + 𝑅2)3/2
 
 𝑑𝐵𝑥 =
𝜇0
4𝜋
2𝜋𝑅2𝑛𝐼
(𝑥2 + 𝑅2)3/2
𝑑𝑥 
No ponto P, tem-se B no eixo x: 
Para apenas 
uma espira 
N = 1 𝐵𝑥 =
𝜇0
4𝜋
2𝜋𝑅2𝑛𝐼 
𝑑𝑥 
(𝑥2 + 𝑅2)3/2
𝑏
−𝑎
 
 𝐵𝑥 = 𝜇0𝑛𝐼 
a e b são dois pontos 
no eixo x 
𝑙 = b -(-a) = a + b 
𝑛 =
𝑁
𝑙
 
Indutor do tipo Solenoide 
 Inserir um núcleo ferromagnético, pode proporcionar um 
campo magnético centenas de vezes maior 
 
 
 
 
𝐵 = 𝑘𝜇0𝑛𝑙 𝐵 = 𝜇0𝑛𝑙 
Indutor do tipo Solenoide 
 O fluxo magnético em um indutor tipo solenoide, pode ser encontrado 
aplicando-se a lei de Gauss para o campo magnético B em um única 
espira: 
 
 
 Para um solenoide de comprimento 𝑙 e N espiras, 
tem-se que o fluxo magnético em seu interior: 
 
 Substituindo B, obtém-se: 
 
 Logo, a indutância em um indutor tipo solenoide pode ser calculada 
substituindo o fluxo magnético: 
B – campo magnético que atravessa a espira (A/m). 
A – área transversal da espira (m2) 
𝜃 – ângulo que 𝑩 faz com a área A 
 𝜑𝐵 = 𝐵𝑛
𝑆
𝑑𝐴 = 𝐵𝐴 cos 𝜃 
 𝜑𝐵 = 𝑁𝐵𝐴 𝜃 
𝑩 
No interior do solenoide 𝜃 = 0 
 𝜑𝐵 = 𝑁𝜇0𝑛𝐼𝐴 =
𝜇0𝑁
2𝐼𝐴 
𝑙
 
𝐿𝐼 =
𝜇0𝑁
2𝐼𝐴 
𝑙
 𝐿 =
𝜇0𝑁
2𝐴 
𝑙
 𝜑𝐵 = 𝐿𝐼 
 Símbolo: 
 
 
 Núcleos utilizados: 
 Ar; 
 Ferro; 
 Permaloy; 
 Somaloy; 
 Aço-silício; 
 Aço-silício grão orientado. 
 
Tipos de Indutores 
Indutor 
Tensão Elétrica em um Indutor 
 A lei de Faraday, estabelece que a tensão em um indutor é 
proporcional a taxa de variação do fluxo magnético em seu 
interior, multiplicada pelo número de espiras N: 
 
 
 Pode-se substituir na expressão anterior: 
 Sendo a tensão elétrica em um indutor de indutância L dada 
por: 
 
 
 Esta é a relação tensão-corrente em um indutor. Trata-se de 
uma relação linear, demonstrando que o indutor também é um 
elemento linear. 
 Uma corrente variante no tempo, que circula por um indutor 
produz um tensão sobre ele. 
𝑣 = −𝑁
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 
𝑁𝜑(𝑡) = 𝐿𝑖(𝑡) 
𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 𝑖 =
1
𝐿
 𝑣 𝑑𝜏
𝑡
−∞
 
A corrente sobre um 
indutor não pode variar 
instantaneamente 
A tensão induzida sempre possui polaridade 
oposta à fonte de tensão que indutora. 
Indutores em Série 
 Fluxo magnético nos indutores L1 e L2: 
 
 
 Fluxo total do conjunto: 
 
 
 Indutância equivalente é dada por: 
 
 
 Logo, a capacitância em série é dada por: 
 
 
 
𝜑1 = 𝐿1𝐼 
𝜑 = 𝜑1 + 𝜑2 = 𝐿1𝐼 + 𝐿2𝐼 = 𝐼 𝐿1 + 𝐿2 
L1 
L2 
V 
+ 
– 
𝐿𝑒𝑞 =
𝜑
𝐼
 
Expressão geral 
A indutância equivalente de uma associação de indutores em série 
é sempre maior que qualquer indutância da associação. 
Igualando I 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 
𝜑2 = 𝐿2𝐼 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + ⋯+ 𝐿𝑛 𝐿𝑒𝑞 = 𝐿𝑖
𝑛
𝑖=1
 
V 
+ 
– 
I 
L1 
L2 
Leq V 
+ 
– 
Indutores em Paralelo 
 
 
 
 
 
 Tensão nos indutores L1 e L2: 
 
 Corrente total do conjunto: 
 
 Indutância equivalente: 
 
 Logo, a indutância em paralelo é dada por: 
 
 
 
L1 L2 
v 
+ 
– 
Expressão geral 
A indutância equivalente de uma associação de indutores em 
paralelo é sempre menor que qualquer indutância da associação 
V 
+ 
– 
i 
i2 
i1 L1 
L2 
Leq v 
+ 
– 
𝑣 = 𝐿1
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
= 𝐿2
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
=
𝑣
𝐿1
+
𝑣
𝐿2
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑣
𝐿𝑒𝑞
 
i i 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+ ⋯+
1
𝐿𝑛
 
1
𝐿𝑒𝑞
= 
1
𝐿𝑖
𝑛
𝑖=1
 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
 
𝑣 =
𝑑𝜑1
𝑑𝑡
=
𝑑𝜑2
𝑑𝑡
 
Energia em um Indutor 
 A equação de energia em um indutor é dada por: 
 
 
 
 Resolvendo de 0 a I, tem-se que: 
 
 
 
 A energia em um indutor é então: 
 
 
 
 O indutor, assim como o capacitor é um 
elemento passivo, i.e., ele não gera nem dissipa 
energia, ele apenas armazena. 
 
 
 
 
 
 
 
𝑑𝜀𝐼
𝑑𝑡
= 𝐿𝐼
𝑑𝐼
𝑑𝑡
 
𝜀𝐼 =
1
2
𝐿𝐼2 
𝑑𝜀𝐼 = 𝐿𝑖 𝑑𝑖 
𝜀𝐼 = 𝐿 𝑖
𝐼
0
𝑑𝑖 = 𝐿
𝐼2
2
, 𝐻 ∙ 𝐴2 = 𝐽 
Exercícios 
 Lista de Exercícios 03 e 04: 
 
 Livro Análise de Circuitos – O’Malley, 
 Exercícios Cap. 8: 8.37, 8.38, 8.40, 8.41, 8.42, 8.44, 
8.45, 8.46, 8.47, 8.48, 8.49 e 8.50. 
 Exercícios Cap. 9: 9.31, 9.32, 9.34, 9.35, 9.36, 9.37, 
9.38, 9.40, 9.42, 9.43 e 9.44. 
 
ReferênciasTIPLER, P. A. Física. 4ª. Edição, LTC, RJ, 2000. 
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos 
Circuitos Elétricos. 5ª. Edição. Editora LTC. 
Rio de Janeiro, RJ, 2003 
O’MALLEY, J. Análise de Circuitos. 2ª. Edição, 
Makron Books, SP, 1994. 
GUSSOW, M. Eletricidade Básica. 2ª. Edição, 
Pearson Makron Books, SP, 1997.