Lista de técnicas de derivação

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Universidade Federal de Campina Grande - Campus de Cuité
Centro de Educação e Saúde
Unidade Acadêmica de Educação
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Prof.a Maria de Jesus
Lista de Exercícios I - Unidade I
A) Prove que a função linear de…nida por f(x) = ax + b com a 6= 0, tem uma inversa e
determine f�1(x):
B) Use f 0 para provar que f tem uma inversa e determine o coe…ciente angular da reta
tangente ao grá…co de f�1 em P .
1) f(x) = x5 + 3x3 + 2x� 1; P (5; 1)
2) f(x) = �2x+ 8
x3
; x > 0; P (�3; 2)
3) f(x) = x3 + 4x� 1; P (15; 2)
C) Ache a equação da reta tangente ao grá…co de y = x2 + ln(2x� 5) no ponto P (3; 9):
D) Ache a equação da reta tangente ao grá…co de y = x + ln x perpendicular à reta de
equação 2x+ 6y = 5.
E) Seja f(x) =
x3 � 1
x2 + 1
; para x > 0. Use o fato de f(1) = 0 e o teorema da derivada da
função inversa para determinar [f�1(0)]0.
F) Calcule a derivada das seguintes funções:
1) f(x) = esenx 2) f(�) = 7sec � ln 7 3) f(�) = log7
�
sen � cos �
e�2�
�
4) f(t) = t(ln t)2 5) f(x) =
lnx
1 + lnx
6) f(�) = �[sen(ln �) + cos(ln �)]
7) f(x) = ln
1
x
p
x+ 1
8) f(�) = ln(sec(ln �)) 9) f(x) = e�
2
3
x
10) f(x) = e4(
p
x+x2) 11) g(v) = 5v cosec v 12) g(t) = t� t3 cos t
13) f(�) =
sen �
�
14) f(x) =
1 + sec x
tg x+ sen x
15) g(�) =
1� cos�
�
16) t(�) = (sen � + cos �)2 17) f(�) = cos5(3�) 18) k(�) = cos2(
p
3� 8�)
1
19) f(x) = arcsen
p
x 20) f(x) = arctg(3x� 5) 21) f(x) = x2 arctg(x2)
22) f(x) = arcsec(
p
x2 � 1) 23) f(x) = 1
arcsenx
24) f(x) = (1 + arccos 3x)3
25) f(x) =
arctg x
x2 + 1
26) f(x) =
p
x arcsec
p
x 27) f(x) = arcsec 5x+ arccosec 5x
28) f(x) = arccotg
2
x
+ arctg
x
2
29) f(x) = x arcsen 2x 30) f(x) = x2 arcsec
1
x
31) f(x) =
p
1 + e2x 32) f(x) = e
p
x+1 33) f(x) = x2e�2x
34) f(x) =
ex
x2 + 1
35) f(x) =
ex � e�x
ex + e�x
36) f(x) = e�2x lnx
37) f(x) = ln cos e�x 38) f(x) = e3x tg
p
x 39) f(x) = xecotg x
40) f(x) = 7x 41) f(x) = 8x
2+1 42) f(x) = log(x4 + 3x2 + 1)
43) f(x) = (x2 + 1)101=x 44) f(x) = log(3x2 + 2)5 45) f(x) = 3 log5
����6x+ 42x� 3
����
46)f(x) = log ln x 47)f(x) = xe + ex 48)f(x) = (x+ 1)x
49) f(x) = 2sen
2x 50) f(x) = xtgx 51) f(x) = ln j4� 5x3j5
52) f(x) = e�x arcsec e�x 53) f(x) = senh 5x 54) f(x) = cosh x3
55) f(x) =
p
x tgh
p
x 56) f(x) =
sech x2
x2 + 1
57) f(x) = ln senh 2x
58) f(x) = ln arctg(x2) 59) f(x) = 3arcsenx
3
60) f(x) = cotgh
1
x
G) As funções trigonométricas hiperbólicas - seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente
hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica, cossecante hiperbólica - denotadas,
respectivamente por senh; cosh, tgh, cotgh, sech e cossech, são de…nidas pelas expressões:
senh x =
ex � e�x
2
coshx =
ex + e�x
2
tgh x =
senh x
coshx
=
ex � e�x
ex + e�x
cotgh x =
coshx
senh x
=
ex + e�x
ex � e�x
sech x =
1
coshx
=
2
ex + e�x
cosech x =
1
senh x
=
2
ex � e�x
2
Usando essas de…nições, mostre que:
cosh2 x� senh2 x = 1
d
dx
senh x = cosh x
d
dx
coshx = senhx
d
dx
tgh x = sech2 x
d
dx
cotgh x = � cosech2 x
d
dx
sech x = � sech x tgh x d
dx
cosech x = � cosechx cotgh x
H) Resolva as seguintes integrais:
1)
Z
senh x dx 2)
Z
coshx dx
3):
Z
sech2 x dx 4)
Z
cosech2 x dx
5)
Z
sech x tgh x dx 6)
Z
cosech x cotgh x dx
Bom Estudo!
3