Princípios Fundamentais da Mecânica

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1 Introduc¸a˜o
1.1 Princ´ıpios Fundamentais da Mecaˆnica
1. Lei do Paralelogramo para Adic¸a˜o de Forc¸as
Duas forc¸as atuantes sobre um ponto material podem ser substitu´ıdas por uma u´nica
forc¸a, chamada de resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo formado pelas
forc¸as.
R = F1 + F2
©©
©©
©©
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-£
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F2
R
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............
.............
..............
................
....................
.................. β
£
£
£
£
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£
£
£
£
£
£
£
£
2. Princ´ıpio da transmissibilidade
Condic¸o˜es de equil´ıbrio na˜o se alteram se uma forc¸a que atua num dado ponto do corpo
r´ıgido for substitu´ıda por outra de mesma intensidade, direc¸a˜o e sentido, mas que atua
em um ponto diferente, desde que as duas tenham a mesma linha de ac¸a˜o.
3. Primeira Lei de Newton (Lei da Ine´rcia)
Se a intensidade da forc¸a resultante que atua sobre um ponto material e´ zero, este
permanecera´ em repouso ou permanecera´ com velocidade constante e em linha reta.
4. Segunda Lei de Newton (F = m · a)
Se a forc¸a resultante que atua sobre um ponto material na˜o e´ zero, este tera´ uma
acelerac¸a˜o proporcional a` intensidade da resultante e na direc¸a˜o desta, com o mesmo
sentido.
5. Terceira Lei de Newton (Ac¸a˜o e Reac¸a˜o)
As forc¸as de ac¸a˜o e reac¸a˜o entre corpos em contato teˆm a mesma intensidade, mesma
linha de ac¸a˜o e sentido opostos.
6. Lei de Gravitac¸a˜o de Newton
Dois pontos materiais de massas M e m sa˜o mutuamente atra´ıdos com forc¸as iguais e
opostas F e -F de intensidade F dada pela fo´rmula:
F = G
Mm
r2
r = distaˆncia
G = Constante de Gravitac¸a˜o
g =
GM
R2
= 9, 81 m/s2
M = massa da terra
R = Raio da terra
P = mg
4 Momento de uma forc¸a
Uma forc¸a, ale´m de provocar um movimento de translac¸a˜o nos corpos r´ıgidos, tambe´m
provoca uma ac¸a˜o de rotac¸a˜o num determinado ponto material do corpo r´ıgido que esta´ fora
da linha de ac¸a˜o da forc¸a.
Esta ac¸a˜o de rotac¸a˜o e´ chamada de momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto. Sendo
resultado do produto do mo´dulo da forc¸a e a distaˆncia entre a linha de ac¸a˜o da forc¸a e o
ponto onde estamos calculando o momento, medida esta feita na projec¸a˜o ortogonal do ponto
sobre a linha de ac¸a˜o.
O momento provocado pode ser anti-hora´rio ou hora´rio, no plano define-se o sinal positivo
para o momento anti-hora´rio (Regra da Ma˜o-Direita).
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s
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-ff
¡
¡
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¡
¡
¡µ¡
¡
¡
¡
¡
¡ª
F1
F2
d1
d2
A
ΣMA =M1 +M2
ΣMA = F1 · d1 − F2 · d2
Figura 2: Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto
4.2 Momento de um Conjugado (Bina´rio)
A ac¸a˜o de duas forc¸as com o mesmo mo´dulo, linhas de ac¸a˜o paralelas e sentido contra´rio e´
um momento igual ao mo´dulo multiplicada pela distaˆncia entre as linhas de ac¸a˜o.
?
6
-ff
F1 F1’
d1
M = F1 · d
Figura 4: Momento de uma conjugado
O momento de um conjugado e´ um vetor ”livre”, tendo o mesmo efeito em todos os
pontos materiais do corpo r´ıgido.
5 Centro´ide e Baricentro
O ca´lculo de centro de a´reas (centro´ide) e centro de forc¸as (baricentro) de uma figura qualquer
e´ realizado usando o conceito de momento.
5.1 Centro´ide de Figuras Conhecidas
Retaˆngulo
6
?
-ff
6
?
-ff
c
h
b
h
2
b
2
Triaˆngulo reto
.............................................................................................................................................................................................................................................
6
?
-ff
6
?
-ff
c
h
b
h
3
b
3
C´ırculo
.............
.............
..............
..............
................
..................
.......................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................
..................
................
..............
..............
.............
.............
-ff
-ff
c
d
d
2
Semi-C´ırculo
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
-ff
-ff
c
d
2
2·d
3·pi
Quarto de C´ırculo
.................................................................................................................................................................
-ff
-ff
6
?
c
d
2
2·d
3·pi
2·d
3·pi
5.2 Ca´lculo do centro´ide
O centro´ide de uma figura qualquer pode ser determinado pela divisa˜o desta em figuras
conhecidas. Apo´s a fixac¸a˜o de eixos de refereˆncia, estes sa˜o usados para o ca´lculo do momento
das a´reas das diversas figuras divididas que por sua vez deve ser igual ao momento da figura
total em relac¸a˜o ao mesmo eixo. Assim o ca´lculo da posic¸a˜o do centro´ide em relac¸a˜o aos
eixos de refereˆncia sa˜o calculados:
x =
n∑
i=1
xi · Ai
n∑
i=1
Ai
y =
n∑
i=1
yi · Ai
n∑
i=1
Ai
Exemplo:
6
?
-ff
c1
60
30
.............................................................................................................................................................................................................................................
-ff
c2
30
Posicionando os eixos de refereˆncia no canto inferior esquerdo da figura temos:
1 2
x 15 40
y 30 20
A 1800 900
Calculando x:
x =
15 · 1800 + 40 · 900
1800 + 900
= 23, 33
Calculando y:
y =
30 · 1800 + 20 · 900
1800 + 900
= 26, 67
6 Equil´ıbrio de um corpo r´ıgido
Um corpo sujeito a um conjunto de forc¸as se mante´m em equil´ıbrio quando, ale´m da re-
sultante das forc¸as for nula, a somato´ria de momentos das forc¸as em relac¸a˜o a um ponto
determinado for tambe´m igual a zero.
6.1 Tipos de apoios
O ca´lculo do equil´ıbrio dos corpos r´ıgidos e´ feito considerando a conexa˜o deste com seu
sistema atrave´s de apoios, sendo que a ac¸a˜o do corpo r´ıgido sobre o sistema e´ resultado das
reac¸o˜es nos apoios.
Os apoios restringem determinados movimentos, a cada movimento impedido esta´ rela-
cionado uma reac¸a˜o. Assim os tipos de apoios esta˜o divididos dependendo do nu´mero e tipo
de reac¸a˜o que ele fornece.
6.1.1 Apoio simples
O apoio simples impede o movimento de translac¸a˜o na direc¸a˜o perpendicular do apoio, sendo
substituido por uma reac¸a˜o nesta direc¸a˜o.
±°²¯
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
A
6
RA
6.1.2 Apoio rotulado
O apoio rotulado impede o movimento de translac¸a˜o nas duas direc¸o˜es ortogonais, sendo
substitu´ıdo por duas reac¸o˜es.
@
@
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
A
6
RAy
-RAx
6.1.3 Apoio fixo (engastado)
O apoio engastado ale´m de impedir totalmente a translac¸a˜o, impede tambe´m o movimento
de giro, sendo substitu´ıdo por duas reac¸o˜es e uma reac¸a˜o de momento.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
A 6
RAy
-RAx
.............
.................
...........................................ª
MA
6.2 Tipos de cargas
Ale´m das cargas concentradas, podemos ter outros tipos de carregamentos como cargas
distribu´ıdas, uniforme ou na˜o, momentos aplicados e outros.
6.2.1 Carga distribu´ıda
A carga distribuida pode seruniforme:
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j
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200 N/m
-ff 4 m
O valor da carga distribu´ıda e´ fornecido por unidade de comprimento: 200 N/m. Para
o ca´lculo do equil´ıbrio do corpo r´ıgido a carga distribu´ıda e´ substitu´ıda por uma carga
concentrada posicionada no centro´ide da carga distribu´ıda com o mesmo valor da a´rea da
carga distribu´ıda. Assim para o exemplo: 4 · 200 = 800 N.
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800 N
-ff 4 m
A carga distribu´ıda pode ser triangular ou ainda parabo´lica.
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150 N/m
-ff 3 m
Substituindo por uma carga concentrada:
3 · 150
2
= 225 N.
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j
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?
225 N
-ff 2 m -ff 1 m
6.2.2 Momento aplicado
Os corpos r´ıgidos podem estar sujeitos ao efeito de momentos aplicados, provenientes de
conjugados ou algum eixo submetido a um momento torc¸or.
@@¡¡
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j
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r
..............
..................
....................................
...........................................................................................................................................................
100 N.m
R
-ff 2 m -ff 1 m
6.3 Exemplos
Os exemplos a seguir sa˜o baseados principalmente em vigas, mas a condic¸a˜o de equil´ıbrio
serve para todos os outros tipos de corpos r´ıgidos.
1. Calcular as reac¸o˜es de apoio da viga:
@@¡¡
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j
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500 N/m
-ff 6 m
A B
Substituindo os apoios pelas reac¸o˜es correspondentes, ale´m da carga distribu´ıda por
uma concentrada equivalente (P = 500 · 6 = 3000 N):
?
3000 N
-ff 3 m -ff 3 m
6
RAy
6
RBy
-
RAx
Aplicando as condic¸o˜es de equil´ıbrio:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMA = 0
RAx = 0 (1)
RAy +RBy − 3000 = 0 (2)
RBy · 6− 3000 · 3 = 0 (3)
Da (3) resulta RBy = 1500 N, aplicando o valor na (2) temos RAy = 1500 N.
2. Calcular as reac¸o˜es de apoio da viga engastada:
@@
@@
@@
@@
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100 N/m
-ff 3 m -ff 2 m
Substituindo os apoios pelas reac¸o˜es correspondentes, ale´m das cargas distribu´ıdas por
cargas concentradas equivalentes:
?
225 N
?
200 N
-ff 2 m -ff 2 m -ff 1 m
6
RBy
ff
RBx
r
...................
..............................
..............................................................................................................................................................................
MA
R
Aplicando as condic¸o˜es de equil´ıbrio:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMB = 0
RBx = 0 (1)
RBy − 425 = 0 (2)
225 · 3 + 200 · 1−MA = 0 (3)
Da (2) resulta RBy = 425 N, e da (3) MA = 875 N·m.
7 Esforc¸os em Vigas
Em uma viga, submetida a um determinado carregamento, aparecem dois tipos de esforc¸os,
o momento fletor e o esforc¸o cortante (cisalhamento).
..............
............
.............
.......µ
..............
............
.............
.......I
M M......................................................................................................................................................
....................................
....................................................................................................................................................................................
............
Momento Fletor (M)
?
6
Q
Q
Esforc¸o Cortante (Q)
7.1 Combate aos esforc¸os
Os esforc¸os em vigas de madeira, ac¸o e outros materiais sa˜o combatidos atrave´s da deter-
minac¸a˜o de geometria e propriedades adequados.
7.2 Relac¸a˜o entre cargas aplicadas e esforc¸os
Existe uma relac¸a˜o diferencial entre as cargas aplicadas e os esforc¸os nas vigas. Dada uma
viga submetida a uma carga distribu´ıda qualquer:
@@¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
j
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
.......................................................................................................................................
...................
..............
............
............
...........
..............
.................
.............................
...............................................................................................................
???????????
- ff∆x
????
q
- ff∆x
............
..........
..........
.........
.........
.........
..........
..........
............
.....
µ
............
..........
..........
.........
.........
.........
..........
..........
............
.....
I
M M+∆M
?
6
Q
Q+∆Q
rP
Aplicando as condic¸o˜es de equil´ıbrio:{
ΣFy = 0
ΣMP = 0{
Q+∆Q−Q− q ·∆x = 0 (1)
Q ·∆x+ q ·∆x · ∆x
2
+M +∆M −M = 0 (2)
Da Equac¸a˜o (1):
q =
∆Q
∆x
Aplicando limite ∆x→ 0
q = lim
∆x→0
∆Q
∆x
q =
dQ
dx
Da Equac¸a˜o (2):
Q =
−q · ∆x
2
2
−∆M
∆x
Aplicando limite ∆x→ 0
Q = lim
∆x→0
−q · ∆x
2
−∆M
∆x
Q = −dM
dx
7.3 Me´todo de determinac¸a˜o dos esforc¸os
Dentre os diversos me´todos, a ana´lise dos esforc¸os ao longo de uma viga pode ser feita gener-
icamente, formando as func¸o˜es que descrevem momento fletor e esforc¸o cortante, utilizando
diversas sec¸o˜es (Me´todo das Sec¸o˜es).
Ou ainda, utilizando o Me´todo dos Pontos, onde se determina o momento fletor e esforc¸o
cortante nos pontos principais da viga.
7.3.1 Me´todo das sec¸o˜es
A determinac¸a˜o de onde e quantas sec¸o˜es devam ser utilizadas depende do tipo de carrega-
mento, a cada variac¸a˜o de carga distribu´ıda uniforme, ou carga e momento concentrado,
determinamos uma nova sec¸a˜o.
Exemplo:
j
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
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¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
??????????????????????
100 N/m
?
200 N
-ff 2 m -ff 2 m -ff 4 m
A B
S1 S2 S3
7.4 Exemplos
1. Dada a viga, determinar os esforc¸os:
@@¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
j
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
?
800 N
-ff 2 m -ff 2 m
Determinac¸a˜o das reac¸o˜es e sec¸o˜es:
?
800 N
-ff 2 m -ff 2 m
6
400 N
6
400 N
S1 S2
Esforc¸os na Sec¸a˜o S1, considera-se as cargas a` esquerda da sec¸a˜o e os esforc¸os a` direita:
-ffx
6
400 N
S1
...............
.............
............
............
............
.............
...............
....
I
M6Q
Calculando o equil´ıbrio na Sec¸a˜o S1:{
ΣFy = 0
ΣMS1 = 0{
Q+ 400 = 0
M − 400 · x = 0{
Q = −400
M = 400 · x
A func¸a˜o Q na Sec¸a˜o S1 e´ va´lida para 0 < x < 2, devido a descontinuidade causada
pelas forc¸as concentradas no esforc¸o cortante.
Por outro lado, a func¸a˜o M na Sec¸a˜o S1 e´ va´lida para 0 ≤ x ≤ 2, ja´ que, somente
momento aplicados causam descontinuidade no momento fletor.
Esforc¸os na Sec¸a˜o S1, considera-se as cargas a` esquerda da sec¸a˜o e os esforc¸os a` direita:
?
800 N
-ff 2 m
-ff x
6
400 N
S2
...............
.............
............
............
............
.............
...............
....
I
M6Q
{
Q+ 400− 800 = 0
M − 400 · x+ 800 · (x− 2) = 0{
Q = 400 (2 < x < 4)
M = 1600− 400 · x (2 ≤ x ≤ 4)
Note, que a condic¸a˜o da relac¸a˜o diferencial Q = −dM
dx
, pode ser utilizada para en-
contrar a func¸a˜o esforc¸o cortante a partir da func¸a˜o momento fletor pela derivada, ou
de outro modo, encontrar a func¸a˜o momento fletor a partir da func¸a˜o esforco cortante
pela integral.
2. Dada a viga, determinar os esforc¸os:
@@¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
j
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
???????????????????????????
100 N/m
-ff 4 m
Determinac¸a˜o das reac¸o˜es e sec¸o˜es:
???????????????????????????
100 N/m
-ff 4 m
6
200 N
6
200 N
S1
Esforc¸os na Sec¸a˜o S1:
???????????
100 N/m
-ff x
6
200 N
S1
...............
.............
............
............
............
.............
...............
....
I
M6Q
{
Q = 100 · x− 200 (0 < x < 4)
M = 200 · x− 50 · x2 (0 ≤ x ≤ 4)
3. Dada a viga, determinar os esforc¸os:@@¡¡
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
j
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡
r
..............
..................
....................................
...........................................................................................................................................................
100 N.m
R
-ff 2 m -ff 2 m
Determinac¸a˜o das reac¸o˜es e sec¸o˜es:
r
..............
..................
....................................
...........................................................................................................................................................
100 N.m
R
-ff 2 m -ff 2 m
6
-25 N
6
25 N
S1 S2
Esforc¸os na Sec¸a˜o S1:
-ffx
6
-25 N
S1
...............
.............
............
............
............
.............
...............
....
I
M6Q
{
Q = 25 (0 < x ≤ 2)
M = −25 · x (0 ≤ x < 2)
Esforc¸os na Sec¸a˜o S2:
r
..............
..................
....................................
...........................................................................................................................................................
100 N.m
R
-ff 2 m
-ff x
6
-25 N
S2
...............
.............
............
............
............
.............
...............
....
I
M6Q
{
Q = 25 (2 ≤ x < 4)
M = 100− 25 · x (2 < x ≤ 4)
E´ importante notar os intervalos para o momento fletor, que tem uma descontinuidade
no ponto onde o momento e´ aplicado, sendo portanto indefinido neste ponto (x = 2), o
mesmo na˜o acontece para o esforc¸o cortante que e´ independente do momento aplicado.