Cálculo III Aula 09

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Cálculo III
Aula 09 – Funções Reais de Variáveis Reais
Máximo e Mínimo
MÁXIMOS E MÍNIMOS
1 - Introdução: 
Aplicação das funções de várias variáveis → máximos e mínimos com valores extremos de funções de duas variáveis.
Problema: 
Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a menor área de superfície possível?
Agora vamos definir este conceito funções de duas variáveis e depois para funções de várias variáveis.
2 - Definição a - Máximo e Mínimo Relativo 
Considere uma função real z = f(x ,y) definida em D 2 e (x0,y0) D.
b - Ponto de Máximo Relativo ou local
Dizemos que é um valor de máximo relativo de , se existir uma bola aberta B de centro , tal que 
para todo (x,y) pertencente a B.
Interpretação Geométrica
Em termos geométricos, um máximo relativo de uma função é um cume, um ponto da superfície z= f(x,y) que é mais alto do que todos os seus pontos vizinhos sobre a superfície. 
Um mínimo relativo é o fundo de um vale, um ponto que está mais baixo do que qualquer ponto vizinho da superfície.
Definição Ponto Crítico ou Ponto Estacionário 
Dizemos que (a,b) é um ponto crítico ou estacionário de f se (a,b) no domínio da f for 
 ou não exista. 
(Isto é, se ). 
Se o ponto crítico (a,b) é um ponto interior do domínio da f, então dizemos que este é um ponto crítico interior do domínio .
EXEMPLO
Encontre os pontos críticos da função
O domínio da função é (x,y) . Vamos então calcular fx e fy para podermos aplicar a definição de ponto crítico. 
fx = 3x2 -3 e fy = 3 y2 – 3. 
Aplicando a definição:  
3x2 -3 = 0 3x2 = 3 x = 1
3 y2 – 3 = 0 3y2 = 3 y = 1
Portanto, os pontos críticos serão todos os pares ordenados possíveis com x = 1 e y = 1:
(1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). 
OBSERVAÇÃO
Condição necessária para a existência de pontos extremantes
Z = f(x, y) ser diferenciável
Logo (x0, y0) é um ponto crítico de f.
Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local
Proposição
Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas num conjunto aberto que contém (x0 ,y0 ) e suponhamos que (x0 ,y0 ) seja um ponto crítico de f. Definimos então a HESSIANA – H(x,y) como um determinante.
Para calcularmos o(s) máximos e/ou mínimos relativos apresentaremos o teorema da segunda derivada, mas primeiro aprenderemos a calcular a Hessiana.
Definição: Seja f(x,y) de classe C2. A função H dada por 
Denomina-se hessiana de f.
TEOREMA DA SEGUNDA DERIVADA
Teorema 
Sejam f(x, y) de classe C2 e um ponto interior do D(f). Suponhamos que (a, b) seja ponto crítico de f. Então:
Se 
( ou f xx (a, b) > 0) e H(a, b) > 0 então (a,b) será ponto de mínimo local de f
Se
e H(a, b) > 0 então (a, b) será ponto de máximo local de f.
Se H(a, b) < 0 então (a, b) não será extremante local. Nesse caso, (a, b) será ponto de sela.
Se H(a, b) = 0 nada se pode afirmar. 
1º Passo: 
Podemos verificar que H(1,1) = 36 >0 e
Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,1) é ponto de mínimo local. 
Note que (1,1) não é o único ponto de mínimo, existem outros menores que ele, por exemplo. Pois f(-3,0) < f(1,1), veremos mais adiante que este será o ponto de mínimo global.
2ºPasso: 
Podemos verificar que H(1,-1) = -36 < 0 e 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,-1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
3ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,1) = -36 < 0 e 
Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela.
4ºPasso:
Podemos verificar que H(-1,-1) = 36 > 0 e 
 Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) é ponto de máximo local.
Pergunta: O que é ponto de sela ?
Agora vamos partir para a situação onde queremos saber quem é o maior ou o menor de todos os pontos, para isto, vamos conhecer mais algumas definições. 
Definição:  
Ponto de fronteira
Um ponto (x0,y0) em A que não é um ponto interior. Denomina-se ponto de fronteira de A. 
Um ponto de fronteira de D(f) pode ser um extremante local sem que as derivadas parciais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente.
Teorema: Existência do extremo absoluto Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D não apenas seja limitado, mas também contenha todos os pontos de fronteira. Então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto.
 
Observação Um extremo absoluto que seja ponto interior do domínio da função f é automaticamente um extremo relativo de f . Também pode ser observado que um extremo absoluto de f que não é extremo relativo precisa necessariamente estar em um ponto de fronteira do domínio.
EXEMPLO
A temperatura em uma placa de metálica é dada por T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 graus Celsius, onde x e y estão em metros. A placa é circular de raio 1 e centro na origem. Supondo que a mesma é aquecida determine a maior e a menor temperatura da placa. 
1ª Parte)Primeiro devemos encontrar as derivadas parciais Tx , Ty e os pontos críticos. 
Tx = 6x – 2y 
Ty = -2x + 6y + 2
Portanto, os pontos críticos serão encontrados com a resolução do sistema:
Resolvendo tal sistema encontraremos x = -1/8 e y = -3/8 Agora vamos estudar esse ponto. Vamos calcular a Hessiana: 
Podemos verificar que
Logo pelo teorema da segunda derivada o ponto x = -1/8 e y = -3/8 é ponto de mínimo local.  
Portanto a temperatura mínima no ponto x = -1/8 e y = -3/8 será aproximadamente T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 = 4.625 graus.
2ª Parte) Anteriormente procuramos o ponto interior. Agora vamos procurar os pontos de fronteira da placa. A placa é uma circunferência centrada na origem ((a,b) = (0,0)) de raio um, portanto a equação que representa a placa será x2 + y2 = 1. Utilizando as coordenadas polares temos:
A temperatura será portanto: 
T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 T = 3 cos2 - 2 cos sen + 3 sen2 + 2 sen + 5 
Simplificando teremos: 
T = 3 - 2 cos sen + 2 sen + 5= 8 - 2 cos sen + 2 sen = 4 - cos sen + sen  
Os candidatos a máximo e mínimo da função T na fronteira da placa são os pontos correspondentes a dt/dӨ = 0 e Ө = 0.
Podemos ainda escrever que ( 2 cos + 1) (cos - 1 ) = 0 
Portanto 2cos = -1 cos = -1/2 = 2/3 ou = 4/3 
Logo cos = 1 = 0. 
sen 120º = sen (180º – 120º) sen 120º = sen 60º = 0,8660
cos 120º = – cos (180º – 120º) cos 120º = – cos 60º = – 0,5000
sen 240° = -√3/2
cos 240° = -1/2
Quando = 2/3 temos T = 4 - cos sen + sen = (16 + 3√3)/4.  
Quando = 4/3 temos T = 4 - cos sen + sen = (16 - 3√3)/4.  
Quando = 0 temos T = 4 - cos sen + sen = 4
Podemos então concluir que a temperatura mínima absolutas será em = 4/3 e a temperatura máxima absoluta será em = 2/3.