ESTATISTICA 8

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Introdução à Probabilidade
Definições
● Definição clássica de probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo Ω o seu espaço 
amostral, vamos admitir que todos os elementos de Ω 
tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que Ω é 
um conjunto equiprovável.
Define-se probabilidade de um evento A ( ) ao 
número real P(A), tal que:
P(A) = número de resultados favoráveis a A
 número de resultados possíveis
A⊂Ω
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Definição Axiomática de Probabilidade
Para um dado experimento, é necessário atribuir para 
cada evento A no espaço amostra Ω um número P(A) que 
indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer a 
definição matemática de probabilidade, este número P(A) 
deve satisfazer três axiomas específicos.
Axioma 1: Para qualquer evento P, 
Axioma 2: 
Axioma 3: Para qualquer sequência finita de eventos 
disjuntos 
 
P(A)⩾0
P(Ω)=1
A1, A2, ... , An
P(.∪A i)=∑
i=1
n
P(Ai)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Propriedades
P1-
P2- Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos
 
P3- Para qualquer evento A, temos
P4- Para qualquer evento A, 
P5- Se , então 
P6- Para quaisquer dois eventos A e B
P7- Se os eventos formam uma partição do 
espaço amostral, então: 
P(∅)=0
P(Ac)=1−P(A)
0≤P (A )≤1
A1, A2, .. . P(.∪A i)=∑
i=1
∞
P(Ai)
A⊂B P(A)≤P(B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
A1, A2, ... , An
∑
i=1
n
P(A i)=1
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: 
A = {soma dos números igual a 9}
B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4}
C = {soma dos números menor ou igual a 4}
Enumere os elementos de
A = ?
B = ?
C = ?
Obtenha e 
A∩B=?
A∩C=?
P(A∪B) P(A∪C)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Considere o lançamento de dois dados. Determine o espaço 
amostral : 
D1 | D2 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Considere o lançamento de dois dados. Determine o espaço 
amostral : 
D1 | D2 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: 
A = {soma dos números igual a 9}
B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4}
C = {soma dos números menor ou igual a 4}
Enumere os elementos de
A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}
B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} 
Obtenha e 
A∩B=?
A∩C=?
P(A∪B) P(A∪C)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: 
A = {soma dos números igual a 9}
B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4}
C = {soma dos números menor ou igual a 4}
Enumere os elementos de
A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} {(4,5),(5,4),(6,3)}
B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} 
Obtenha e 
A∩B=.
A∩C=∅
P(A∪B) P(A∪C)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Enumere os elementos de
A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 
B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),
(5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} 
 {(4,5),(5,4),(6,3)}
 
A∩B=. A∩C=∅
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A∪C)=P(A)+P(C)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Eventos Independentes
Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um 
do outro no sentido que a ocorrência ou não de um deles 
tenha nenhuma relação e nenhuma influência na ocorrência 
ou não ocorrência do outro. Nestas condições
Definição: Dois eventos são independentes se esta 
igualdade é verdadeira.
P(A∩B)=P(A) .P(B)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Problema
Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; 
P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos
b) independentes
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Problema
Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; 
P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos
b) independentes
P(A∩B)=0
P(A∩B)=P(A) .P(B)=0,2. P
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Problema
Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; 
P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos
b) independentes
P(A∩B)=0
P(A∩B)=P(A) .P(B)=0,2. P
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
0,6=0,2+P−0 P=0,4
0,6=0,2+P−0,2. P
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
0,4=0,8 P P=0,5
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Probabilidade Condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, 
depois de B ter acontecido, é representada por P(A/B) 
(probabilidade de A dado B) e é denominada probabilidade 
condicional de A depois de B ter ocorrido.
Se a não é definida. 
 Teorema do Produto: Sejam e . Então, 
. 
P(A/B)
P(A/B)=P(A∩B)/P (B) , dadoP (B)>0
P(B)=0
A⊂Ω B⊂Ω
P(A∩B)=P(B). P(A/B)ou P(A∩B)=P(A) .P (B/ A)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Um grupo com 86 pessoas está assim formado:
 
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a 
probabilidade de que seja:
a) Uma mulher que fez o curso de medicina?
b) Uma pessoa que fez o curso de medicina?
c) Um engenheiro dado que seja homem?
d) Não ser médico dado que não seja homem?
Médico Engenheiro Veterinário
Masculino 21 13 15
Feminino 12 08 17
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Um grupo com 86 pessoas está assim formado:
 
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a 
probabilidade de que seja:
a) Evento A: uma mulher que fez o curso de medicina
 P(A) = 12/86
b) Evento B: uma pessoa que fez o curso de medicina
 P(B) = 33/86
Médico Engenheiro Veterinário
Masculino 21 13 15
Feminino 12 08 17
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Um grupo com 86 pessoas está assim formado:
 
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a 
probabilidade de que seja:
c) Evento C: ser homem Evento E: ser engenheiro
d) Evento D: ser mulher Evento F: não ser médico
Médico Engenheiro Veterinário
Masculino 21 13 15
Feminino 12 08 17
P(E/C)=P (E∩C )/P(C)
P(F /D)=P(F∩D)/P (D)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Um grupo com 86 pessoas está assim formado:
 
Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a 
probabilidade de que seja:
c) Evento C: ser homem Evento E: ser engenheiro
d) Evento D: ser mulher Evento F: não ser médico
Médico Engenheiro Veterinário
Masculino 21 13 15
Feminino 12 08 17
P(E/C)=P (E∩C )/P(C)=(13 /86)/(49/86)=13/49
P(F /D)=P(F∩D)/P (D)=(25 /86)/(37 /86)=25 /37
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Probabilidade Total
Seja Ω o espaço amostral de um experimento, e considere K eventos 
 em Ω tal que sejam disjuntos e 
Diz-se, então, que estes eventos formam uma partição de Ω. 
Se os eventos formam uma partição de Ω, e B é 
qualquer outro evento em Ω, então:
Como os K eventosdo lado direito da equação anterior são disjuntos:
 
Mas em que Então 
. 
P(A j∩B)=P(A j) .P(B/ A j)
B=(A1∩B)∪(A2∩B)∪...∪(Ak∩B)
P(B)=∑
i=1
k
P (A i∩B)
j=1,2, ... , k .
P(B)=∑
j=1
k
P(A j). P(B /A j)
A1 , A2 ,... , Ak A1 , A2 ,... , Ak .∪(i=1)
n A i=Ω
A1 , A2 ,... , Ak
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma 
segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es-
colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a-
caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma 
segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es-
colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a-
caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
B: retirar uma bola branca
A1: escolher urna 1
A2: escolher urna 2
onde
urna 1: contém 3 bolas brancas e 2 amarelas
urna 2: contém 4 bolas brancas e 2 amarelas
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma 
segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es-
colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a-
caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
B: retirar uma bola branca
A1: escolher urna 1
A2: escolher urna 2
onde
urna 1: contém 3 bolas brancas e 2 amarelas
urna 2: contém 4 bolas brancas e 2 amarelas
P(B)=P (A 1) .P(B/ A1)+P(A2). P(B/A 2)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma 
segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es-
colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a-
caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
B: retirar uma bola branca
A1: escolher urna 1
A2: escolher urna 2
P(B)=P (A 1) .P(B/ A1)+P(A2). P(B/A 2)
P(B)=0,5.(3/5)+0,5(4/6)
P(B)=3/10+4 /12=0,3+0,3333...=0,6333. ..
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Teorema de Bayes
Sejam os eventos que formam uma partição do 
espaço amostral Ω tal que para todo e seja B 
qualquer evento tal que . Então, para , temos: 
.
 Prova: pela definição de probabilidade condicional,
O numerador da equação de Bayes é igual a 
O denominador é igual a , pela fórmula da probabilidade total. 
 
P(A j /B)=P(A j∩B)/P (B)
P(A j/B)=.
P(B)>0 i=1,2,... , k
A1 , A2 ,... , Ak
P(A j)>0 j=1,2, ... , k
P(A j) .P (B/ A j)
∑
i=1
k
P(A i) .P (B/ Ai)
P(A j∩B) .
P(B)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C 
produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, 
respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 
por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. 
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser 
defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso 
venha da máquina A? Da B? Da C?
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C 
produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, 
respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 
por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. 
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser 
defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso 
venha da máquina A? Da B? Da C?
B: parafuso é defeituoso
A1: parafuso vem da máquina A
A2: parafuso vem da máquina B
A3: parafuso vem da máquina C
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C 
produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, 
respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 
por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. 
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser 
defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso 
venha da máquina A? Da B? Da C?
B: parafuso é defeituoso
A1: parafuso vem da máquina A
A2: parafuso vem da máquina B
A3: parafuso vem da máquina C
P(A1/B)=. P(A1) .P (B /A1)
∑
i=1
3
P(Ai) .P (B /Ai)
 
Introdução à Probabilidade
Definições
● Exemplo
 = 0,3623188405 = 0,36 aproximadamente.
– B: parafuso é defeituoso
A1: parafuso vem da máquina A
A2: parafuso vem da máquina B
A3: parafuso vem da máquina C
P(A1/B)=. P(A1) .P (B /A1)
∑
i=1
3
P(Ai) .P (B /Ai)
P(A1/B)=. 0,25.0,05
0,25.0,05+0,35.0,04+0,4.0,02
P(A1/B)=.
0,0345
0,0125
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