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Introdução à Probabilidade Definições ● Definição clássica de probabilidade Dado um experimento aleatório, sendo Ω o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de Ω tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que Ω é um conjunto equiprovável. Define-se probabilidade de um evento A ( ) ao número real P(A), tal que: P(A) = número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis A⊂Ω Introdução à Probabilidade Definições ● Definição Axiomática de Probabilidade Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada evento A no espaço amostra Ω um número P(A) que indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer a definição matemática de probabilidade, este número P(A) deve satisfazer três axiomas específicos. Axioma 1: Para qualquer evento P, Axioma 2: Axioma 3: Para qualquer sequência finita de eventos disjuntos P(A)⩾0 P(Ω)=1 A1, A2, ... , An P(.∪A i)=∑ i=1 n P(Ai) Introdução à Probabilidade Definições ● Propriedades P1- P2- Para qualquer sequência infinita de eventos disjuntos P3- Para qualquer evento A, temos P4- Para qualquer evento A, P5- Se , então P6- Para quaisquer dois eventos A e B P7- Se os eventos formam uma partição do espaço amostral, então: P(∅)=0 P(Ac)=1−P(A) 0≤P (A )≤1 A1, A2, .. . P(.∪A i)=∑ i=1 ∞ P(Ai) A⊂B P(A)≤P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) A1, A2, ... , An ∑ i=1 n P(A i)=1 Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: A = {soma dos números igual a 9} B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} C = {soma dos números menor ou igual a 4} Enumere os elementos de A = ? B = ? C = ? Obtenha e A∩B=? A∩C=? P(A∪B) P(A∪C) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Considere o lançamento de dois dados. Determine o espaço amostral : D1 | D2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Considere o lançamento de dois dados. Determine o espaço amostral : D1 | D2 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: A = {soma dos números igual a 9} B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} C = {soma dos números menor ou igual a 4} Enumere os elementos de A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} Obtenha e A∩B=? A∩C=? P(A∪B) P(A∪C) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Considere o lançamento de dois dados, sendo os eventos: A = {soma dos números igual a 9} B = {número do primeiro dado maior ou igual a 4} C = {soma dos números menor ou igual a 4} Enumere os elementos de A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} {(4,5),(5,4),(6,3)} B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} Obtenha e A∩B=. A∩C=∅ P(A∪B) P(A∪C) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Enumere os elementos de A = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} B = {(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5), (5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} C = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} {(4,5),(5,4),(6,3)} A∩B=. A∩C=∅ P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A∪C)=P(A)+P(C) Introdução à Probabilidade Definições ● Eventos Independentes Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um do outro no sentido que a ocorrência ou não de um deles tenha nenhuma relação e nenhuma influência na ocorrência ou não ocorrência do outro. Nestas condições Definição: Dois eventos são independentes se esta igualdade é verdadeira. P(A∩B)=P(A) .P(B) Introdução à Probabilidade Definições ● Problema Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos b) independentes Introdução à Probabilidade Definições ● Problema Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos b) independentes P(A∩B)=0 P(A∩B)=P(A) .P(B)=0,2. P P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) Introdução à Probabilidade Definições ● Problema Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = P; P(AUB) = 0,6. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos b) independentes P(A∩B)=0 P(A∩B)=P(A) .P(B)=0,2. P P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 0,6=0,2+P−0 P=0,4 0,6=0,2+P−0,2. P P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 0,4=0,8 P P=0,5 Introdução à Probabilidade Definições ● Probabilidade Condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, depois de B ter acontecido, é representada por P(A/B) (probabilidade de A dado B) e é denominada probabilidade condicional de A depois de B ter ocorrido. Se a não é definida. Teorema do Produto: Sejam e . Então, . P(A/B) P(A/B)=P(A∩B)/P (B) , dadoP (B)>0 P(B)=0 A⊂Ω B⊂Ω P(A∩B)=P(B). P(A/B)ou P(A∩B)=P(A) .P (B/ A) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Um grupo com 86 pessoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja: a) Uma mulher que fez o curso de medicina? b) Uma pessoa que fez o curso de medicina? c) Um engenheiro dado que seja homem? d) Não ser médico dado que não seja homem? Médico Engenheiro Veterinário Masculino 21 13 15 Feminino 12 08 17 Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Um grupo com 86 pessoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja: a) Evento A: uma mulher que fez o curso de medicina P(A) = 12/86 b) Evento B: uma pessoa que fez o curso de medicina P(B) = 33/86 Médico Engenheiro Veterinário Masculino 21 13 15 Feminino 12 08 17 Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Um grupo com 86 pessoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja: c) Evento C: ser homem Evento E: ser engenheiro d) Evento D: ser mulher Evento F: não ser médico Médico Engenheiro Veterinário Masculino 21 13 15 Feminino 12 08 17 P(E/C)=P (E∩C )/P(C) P(F /D)=P(F∩D)/P (D) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Um grupo com 86 pessoas está assim formado: Escolhendo-se, ao acaso, uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de que seja: c) Evento C: ser homem Evento E: ser engenheiro d) Evento D: ser mulher Evento F: não ser médico Médico Engenheiro Veterinário Masculino 21 13 15 Feminino 12 08 17 P(E/C)=P (E∩C )/P(C)=(13 /86)/(49/86)=13/49 P(F /D)=P(F∩D)/P (D)=(25 /86)/(37 /86)=25 /37 Introdução à Probabilidade Definições ● Probabilidade Total Seja Ω o espaço amostral de um experimento, e considere K eventos em Ω tal que sejam disjuntos e Diz-se, então, que estes eventos formam uma partição de Ω. Se os eventos formam uma partição de Ω, e B é qualquer outro evento em Ω, então: Como os K eventosdo lado direito da equação anterior são disjuntos: Mas em que Então . P(A j∩B)=P(A j) .P(B/ A j) B=(A1∩B)∪(A2∩B)∪...∪(Ak∩B) P(B)=∑ i=1 k P (A i∩B) j=1,2, ... , k . P(B)=∑ j=1 k P(A j). P(B /A j) A1 , A2 ,... , Ak A1 , A2 ,... , Ak .∪(i=1) n A i=Ω A1 , A2 ,... , Ak Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es- colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a- caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es- colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a- caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? B: retirar uma bola branca A1: escolher urna 1 A2: escolher urna 2 onde urna 1: contém 3 bolas brancas e 2 amarelas urna 2: contém 4 bolas brancas e 2 amarelas Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es- colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a- caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? B: retirar uma bola branca A1: escolher urna 1 A2: escolher urna 2 onde urna 1: contém 3 bolas brancas e 2 amarelas urna 2: contém 4 bolas brancas e 2 amarelas P(B)=P (A 1) .P(B/ A1)+P(A2). P(B/A 2) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Es- colhe-se, ao acaso, uma urna e retira-se, também ao a- caso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? B: retirar uma bola branca A1: escolher urna 1 A2: escolher urna 2 P(B)=P (A 1) .P(B/ A1)+P(A2). P(B/A 2) P(B)=0,5.(3/5)+0,5(4/6) P(B)=3/10+4 /12=0,3+0,3333...=0,6333. .. Introdução à Probabilidade Definições ● Teorema de Bayes Sejam os eventos que formam uma partição do espaço amostral Ω tal que para todo e seja B qualquer evento tal que . Então, para , temos: . Prova: pela definição de probabilidade condicional, O numerador da equação de Bayes é igual a O denominador é igual a , pela fórmula da probabilidade total. P(A j /B)=P(A j∩B)/P (B) P(A j/B)=. P(B)>0 i=1,2,... , k A1 , A2 ,... , Ak P(A j)>0 j=1,2, ... , k P(A j) .P (B/ A j) ∑ i=1 k P(A i) .P (B/ Ai) P(A j∩B) . P(B) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? B: parafuso é defeituoso A1: parafuso vem da máquina A A2: parafuso vem da máquina B A3: parafuso vem da máquina C Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? B: parafuso é defeituoso A1: parafuso vem da máquina A A2: parafuso vem da máquina B A3: parafuso vem da máquina C P(A1/B)=. P(A1) .P (B /A1) ∑ i=1 3 P(Ai) .P (B /Ai) Introdução à Probabilidade Definições ● Exemplo = 0,3623188405 = 0,36 aproximadamente. – B: parafuso é defeituoso A1: parafuso vem da máquina A A2: parafuso vem da máquina B A3: parafuso vem da máquina C P(A1/B)=. P(A1) .P (B /A1) ∑ i=1 3 P(Ai) .P (B /Ai) P(A1/B)=. 0,25.0,05 0,25.0,05+0,35.0,04+0,4.0,02 P(A1/B)=. 0,0345 0,0125 Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28
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