Refração em Lentes

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Refrac¸a˜o em Lentes
Fabio Rasera Figueiredo
Componentes do grupo: Luan Bottin De Toni,
Ramo´n Kruger, Augusto Lassen, Fabio Rasera Figueiredo
5 de outubro de 2015
Resumo
Este experimento analisa a formac¸a˜o de imagens por lentes delga-
das convergentes e divergentes. Uma ana´lise qualitativa das imagens
formadas por uma lente convergente foi realizada, ale´m de va´rios ar-
ranjos montados com o intuito de se medir as distaˆncias focais de lentes
convergentes e divergentes, atrave´s da equac¸a˜o das lentes delgadas.
1 Introduc¸a˜o e Referencial Teo´rico
As lentes sa˜o dispositivos o´ticos que, por refrac¸a˜o, reconfiguram a dis-
tribuic¸a˜o de luz incidente, de forma que a luz emergente possa apresen-
tar diferentes caminhos, formando imagens que possam ter caracter´ısticas
diferentes do objeto original. As superf´ıcies das lentes podem apresentar
diversas combinac¸o˜es de curvatura que resultam em diferentes padro˜es de
refrac¸a˜o para a luz incidente e emergente. Dependendo destes padro˜es, essas
imagens podem ser virtuais ou reais, maiores ou menores e direitas ou in-
vertidas, como o experimento demonstrara´. Utilizamos aqui lentes delgadas,
que sa˜o lentes cuja espessura e´ desprez´ıvel em relac¸a˜o aos raios de curvatura
das superf´ıcies.
Figura 1: Combinac¸o˜es de diferentes superf´ıcies refratoras formando lentes
distintas. (a), (b) e (c) sa˜o lentes convergentes; (d), (e) e (f) sa˜o lentes
divergentes.
1
Acredita-se que existam modelos primitivos de lentes desde, pelo menos,
VII a.C, e ja´ no se´culo XIII haviam modelos de o´culos, mesmo que os efei-
tos de refrac¸a˜o na˜o fossem ainda inteiramente compreendidos fisicamente.
Depois da Lei de Snell para a refrac¸a˜o modelos matema´ticos foram desen-
volvidos para descrever a formac¸a˜o de imagens por lentes, e Rene´ Descartes
estabeleceu as bases teo´ricas da o´tica de superf´ıcies esfe´ricas. As aplicac¸o˜es
das lentes sa˜o muito importantes para o desenvolvimento da cieˆncia, pois
instrumentos como o microsco´pio e o telesco´pio refrator as utilizam para
obter imagens de objetos que antes na˜o eram poss´ıveis de serem vistos em
detalhes.
A equac¸a˜o para lentes delgadas e´ obtida pelo uso da Lei de Snell para a
refrac¸a˜o e utilizando a aproximac¸a˜o para raios paraxiais, que resulta em:
1
do
+
1
di
=
1
f
= (n− 1)
(
1
r1
− 1
r2
)
(1)
Onde do e´ a distaˆncia do objeto emissor de luz em relac¸a˜o a` lente, di e´ a
distaˆncia da imagem formada pelos efeitos de refrac¸a˜o em relac¸a˜o a` lente, f e´
a distaˆncia focal da lente, n e´ o ı´ndice de refrac¸a˜o do material que compo˜em
a lente, r1 e r2 sa˜o os raios de curvatura das superf´ıcies que limitam a lente.
As lentes sa˜o classificadas de acordo com suas superf´ıcies refratoras, len-
tes convergentes sa˜o aquelas nas quais raios incidindo paralelamente sa˜o
refratados e convergem para um u´nico ponto, enquanto as lentes divergentes
sa˜o aquelas nas quais os raios incidindo paralelamente sa˜o espalhados, ou
seja, divergem a partir da lente, de forma que o prolongamento destes raios
estejam convergindo para um u´nico ponto. Se os raios luminosos origina-
dos no objeto efetivamente se interceptarem em um ponto apo´s sofrerem o
efeito de uma lente ou um espelho, enta˜o existe uma imagem real. Caso
os raios luminosos originados no objeto na˜o se interceptarem em um ponto
apo´s sofrerem o efeito de uma lente ou espelho, mas os seus prolongamentos
se interceptarem em um ponto, enta˜o existe uma imagem virtual. Na Figura
2, a imagem formada em (a) e´ real, e a formada em (b) e´ virtual. O nosso
olho na˜o distingui imagens reais de virtuais, a percepc¸a˜o que temos e´ de que
a luz esta´ emergindo de um objeto que esta´ no local onde os seus raios ou
prolongamentos de raios esta˜o se encontrando. A figura a seguir representa
a refrac¸a˜o dos raios em lentes convergentes e divergentes.
2
Figura 2: Formac¸a˜o de imagens em lentes convergente (a) e divergente (b).
Neste experimento analisamos a formac¸a˜o de imagens por lentes conver-
gentes e divergentes e utilizamos da Equac¸a˜o 1 para determinar a distaˆncia
focal em ambos os tipos de lentes. Foram analisadas diversas configurac¸o˜es
diferentes.
2 Materiais Utilizados
• Banco o´tico com cavaleiros;
• laˆmpada;
• vela;
• lentes convergentes;
• lente divergentes;
• anteparos lisos;
• anteparos com orif´ıcios pequeno e grande.
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3 Coleta de Dados e Ana´lise
Os procedimentos esta˜o separados em 3 sec¸o˜es que correspondem a` ob-
servac¸a˜o de imagens formadas por uma lente convergente, a` coleta de dados
e posterior ana´lise para a determinac¸a˜o da distaˆncia focal para lentes conver-
gentes, e coleta de dados e ana´lise para lentes divergentes, respectivamente.
3.1 Observac¸a˜o de imagens formadas por uma lente conver-
gente
• Configurac¸a˜o 1: Utilizamos uma vela, uma lente convergente e um
anteparo para observarmos a formac¸a˜o de imagens por uma lente conver-
gente. Todos os objetos eram mo´veis, e portanto pod´ıamos posiciona´-los
como quise´ssemos. Observamos que a imagem real obtida no anteparo e´
sempre invertida, no entanto pode ser menor, maior ou do mesmo tamanho
que o objeto. Quando o objeto esta´ muito pro´ximo da lente, podemos notar,
olhando atrave´s da lente, em direc¸a˜o ao objeto, que ha´ uma imagem virtual
e maior que o objeto, que e´ exatamente o tipo de imagem desejada em uma
lupa. Analisando as distaˆncias em relac¸a˜o ao foco da lente convergente,
podemos resumir a formac¸a˜o de imagens em uma tabela.
Tabela 1: Formac¸a˜o de imagens observadas para a lente convergente.
Posic¸a˜o do objeto (do)
Imagem
Tipo Tamanho Orientac¸a˜o
do < f Virtual Maior Direita
do = f Imagem se forma no infinito
f < do < 2f Real Maior Invertida
do = 2f Real Igual Invertida
do > 2f Real Menor Invertida
Nota-se que quando a imagem esta´ exatamente na posic¸a˜o do foco da
lente, na˜o havera´ imagem a ser observada, pois ela se forma somente no
infinito.
3.2 Coleta de dados e determinac¸a˜o da distaˆncia focal de
lentes convergentes
• Configurac¸a˜o 2.a: Esta configurac¸a˜o consiste de uma vela, uma lente
convergente e um anteparo. Os objetos podiam ser movidos por um cor-
rima˜o, ate´ que imagens n´ıtidas se formassem no anteparo e posteriormente
med´ıssemos as distaˆncias do e di.
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Figura 3: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 2.a.
Com as distaˆncias coletadas basta isolar f na Equac¸a˜o 1 para obtermos
a distaˆncia focal do objeto. A tabela a seguir lista as distaˆncias medidas, a
distaˆncia focal calculada e o erro percentual em relac¸a˜o ao valor de distaˆncia
focal fornecido pelo fabricante (Lente convergente PHYWE, f = 20cm).
Tabela 2: Distaˆncias medidas e calculadas para a configurac¸a˜o 2.a.
do(cm) 40,15 (± 0,05)
di(cm) 39,55 (± 0,05)
f calculado (cm) 19,92 (± 0,05)
f fabricante (cm) 20,00
Erro percentual 0,40 %
A incerteza propagada para a distaˆncia focal resultou em um valor menor
que a incerteza do instrumento de medida, portanto, foi mantida a incerteza
do instrumento de medida como a incerteza para f .
Nota-se aqui, que este procedimento so´ e´ va´lido quando a vela esta´ posi-
cionada ale´m do foco objeto da lente convergente. Com a vela posicionada
exatamente no foco objeto, a imagem se forma no infinito, e com a vela
entre o foco objeto e a lente, a imagem formada e´ virtual, e portanto na˜o
aparecera´ no anteparo. Com os dados obtidos, verificou-se que a equac¸a˜o
para lentes delgadas ofereceu um resultado muito pro´ximo do alvo.
•Configurac¸a˜o 2.b: Existe um procedimento, chamado procedimento
de Bessel que e´ utilizado para calcular a distaˆncia focal utilizando apenas
a distaˆncia entre duas posic¸o˜es da lente em que a imagem se forma n´ıtida
no anteparo e a distaˆncia entre o objeto e o anteparo. Este procedimento
e´ conveniente pois pode eliminar poss´ıveisfontes de erro ao medirmos a
distaˆncia entre a lente e o objeto e a lente e a imagem.
Colcamos a vela a uma distaˆncia A do anteparo e mantemos ambos fixos
nestas posic¸o˜es. Em seguida movemos a lente e encontramos duas posic¸o˜es
da e db para as quais a imagem se forma n´ıtida no anteparo. A distaˆncia
entre essas duas posic¸o˜es sera´ D = db − da.
A figura a seguir ilustra a montagem para esta etapa.
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Figura 4: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 2.b.
Da figura, percebemos que ha´ uma relac¸a˜o entre a distaˆncia A e as
distaˆncias do objeto e da imagem: di = A−do. Como em ambas as situac¸o˜es
(a) e (b) da Figura 4 estamos tratando da mesma lente, sabemos que o foco
e´ o mesmo e apenas se modificam do e di. Assim, chamando a distaˆncia do
objeto em (a) e (b) de da e db , temos, atrave´s da Equac¸a˜o 1:
1
da
+
1
A− da =
1
db
+
1
A− db =
1
f
Isolando A:
A = da + db
Pela Figura 4, sabemos que D = db − da, assim, combinando com a
equac¸a˜o anterior, chega-se a:
da =
A−D
2
Substituindo na Equac¸a˜o 1, temos, finalmente, a seguinte relac¸a˜o:
1
f
=
2
A−D +
2
2A−A + D
Que resulta na expressa˜o:
f =
A2 −D2
4A
(2)
Foram feitas 4 medidas para da e db. A distaˆncia A fixada entre o
anteparo e a vela e´: 87, 55 (±0, 05) cm. A tabela a seguir lista as distaˆncias
medidas e a distaˆncia focal calculada utilizando a Equac¸a˜o 2, assim como
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o erro percentual de acordo com o valor fornecido pelo fabricante da lente
(Lente convergente PHYWE, f = 20cm).
Tabela 3: Distaˆncias medidas e calculadas para a configurac¸a˜o 2.b.
Distaˆncias
medidas
(± 0,05) (cm)
da db D
37,45 61,95 24,50
37,50 61,15 23,65
37,60 63,05 25,45
36,40 62,75 26,35
Me´dia (cm) 37,2 (± 0,3) 62,2 (± 0,4) 25,0 (± 0,6)
f calculado (cm) 20,1 (± 0,1)
f fabricante (cm) 20,0
Erro percentual 0,5 %
•Configurac¸a˜o 2.c: Uma lente possui dois focos: o foco objeto e o foco
imagem. Quando raios de luz veˆm do infinito, eles chegam paralelos a` lente,
e a imagem se formara´ no foco imagem; para que uma imagem se forme no
infinito, o objeto emissor de luz deve estar sobre o foco objeto. Utilizando
estes fatos montamos uma configurac¸a˜o cujo uma fenda pequena foi posta
em frente a uma laˆmpada e uma lente convergente foi posicionada distando
da fenda o equivalente a` distaˆncia focal da lente, ale´m de um espelho plano
posto apo´s a lente. Assim, os raios que saem da fenda, esta˜o saindo do
ponto onde esta´ o foco objeto da lente, de forma que, ao emergirem da
outra face da lente, estara˜o paralelos (a imagem se forma no infinito); em
seguida, refletem no espelho plano, voltando paralelos e convergindo para o
mesmo ponto de sa´ıda. Ajustamos a lente e o espelho ate´ o momento em que
conseguimos perceber uma imagem n´ıtida pro´xima a` fenda de sa´ıda. Apo´s
este ajuste, basta medimos a distaˆncia entre a fenda e a lente para obtermos
o foco objeto. A figura a seguir ilustra a montagem.
Figura 5: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 2.c., em que o foco
objeto e´ medido.
Para a obtenc¸a˜o do foco imagem, ajustamos a sa´ıda de luz de modo que
pude´ssemos considerar a imagem como se formando no infinto. Para isso
utilizamos uma parede a uma distaˆncia grande da sa´ıda dee luz (em relac¸a˜o
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ao foco da lente), e ajustamos este feixe ate´ que a imagem aperecesse focada
na parede. Em seguida, a lente convergente e o anteparo sa˜o posicionados
em frente ao feixe, e ajustamos ambos ate´ que a imagem aparec¸a focada
no anteparo. Desta forma temos, portanto, feixes paralelos saindo da fonte
de luz e convergindo atrave´s da lente para o anteparo. Assim, medidos a
distaˆncia entre a lente e o anteparo para determinar o foco imagem. A figura
a seguir ilustra a montagem.
Figura 6: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 2.c., em que o foco
imagem e´ medido
Para as lentes delgadas que utilizamos no experimento, a teoria preveˆ
que o foco imagem e objeto devem ser iguais em magnitude, pois e´ dada
pela seguinte equac¸a˜o:
1
f
= (n− 1)
(
1
r1
− 1
r2
)
Supomos que os raios de convergeˆncia r1 e r2 sa˜o iguais, pore´m de sinais
contra´rios, ja´ que um aponta para a direc¸a˜o em que os raios refratam e
o outro na˜o. Assim, o valor de f dependera´ apenas desse raio igual em
magnitude para ambas as faces e do ı´ndice de refrac¸a˜o do meio. Na tabela
a seguir esta˜o os valores medidos e calculados.
Tabela 4: Valores medidos para a configurac¸a˜o 2.c.
f medido (±0, 05) (cm) f fabricante (cm) Erro percentual
fobjeto 28,50 20,00 29,82 %
fimagem 20,50 20,00 2,44 %
Percebe-se que o foco objeto e o foco imagem na˜o esta˜o com magnitudes
muito pro´ximas, conforme o esperado, e o foco objeto apresenta um erro
significativo. A fonte desse erro pode estar em defeitos de simetria na lente
ou no espelho plano utilizado, assim como no ajuste do foco do feixe de luz
no infinito.
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3.3 Coleta de dados e determinac¸a˜o da distaˆncia focal para
lentes divergentes
• Configurac¸a˜o 3.a: Nesta configurac¸a˜o, foi utilizada uma combinac¸a˜o
de lentes. Primeiramente uma lente convergente foi posicionada entre uma
vela e um anteparo. Os objetos foram movidos ate´ que encontra´ssemos uma
configurac¸a˜o em que a imagem aparecesse n´ıtida no anteparo. Feito isso,
registramos a posic¸a˜o do anteparo e mantivemos fixos em suas posic¸a˜os a
lente convergente e a vela. Assim, ao posicionarmos uma lente divergente
entre a lente convergente e o anteparo, a imagem que era formada pela
lente convergente passara´ a servir de objeto virtual para a lente divergente.
Regulamos, em seguida, a posic¸a˜o da lente divergente e do anteparo ate´ que
a imagem formada pela lente divergente aparecesse n´ıtida no anteparo, e
medimos a distaˆncia da antiga posic¸a˜o do anteparo (que marca a posic¸a˜o do
objeto virtual) ate´ a nova posic¸a˜o do anteparo.
Assim, a distaˆncia do objeto (do) que serviu para a formac¸a˜o da imagem
para a lente divergente devera´ ser negativa, pois e´ um objeto virtual, que
estara´ do mesmo lado dos raios refratados, e a distaˆncia di sera´ a distaˆncia
entre o anteparo e a lente.
A imagem a seguir representa a configurac¸a˜o 3.a.
Figura 7: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 3.a.
Utilizando os dados coletados e a Equac¸a˜o 1, o foco da lente divergente
pode ser calculado. Na tabela abaixo, os dados medidos e calculados esta˜o
dispostos.
Tabela 5: Distaˆncias medidas e calculadas para a configurac¸a˜o 3.a.
do (±0, 05) (cm) di (±0, 05) (cm) f (cm)
-5,00 14,00 -7,80
Para esta lente, na˜o havia informac¸o˜es do fabricante, portanto na˜o poˆde
ser calculado um erro em comparac¸a˜o ao valor alvo.
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• Configurac¸a˜o 3.b: Nesta configurac¸a˜o, posicionamos uma lente
divergente entre uma fonte de luz com foco no infinito (raios saem paralelos)
e uma fenda circular de diaˆmetro d. Um anteparo foi posicionado a` frente
de forma que a imagem estivesse focada sobre ele. A imagem a seguir ilustra
a montagem.
Figura 8: Esquema de montagem para configurac¸a˜o 3.b.
Com o arranjo montado conforme a Figura 8, basta usar semelhanc¸a
de triaˆngulos para retirar uma relac¸a˜o entre as distaˆncias x, y, z e d e o
foco f da lente. Tomando os triaˆngulos retaˆngulos com catetos opostos no
anteparo e na fenda, temos:
y
2(x + f)
=
d
2(z + f)
Passando os denominadores a multiplicar nos lados opostos da igualdade,
temos:
y + yf = dx + df
Agrupando os termos com f e isolando f , obttemos, finalmente:
f =
dx− yz
y − d (3)
As distaˆncias x, y, z e d foram medidas, e o foco f calculado atrave´s da
Equac¸a˜o 3 para ser comparado com o valor do fabricante (Lente divergente
PHYWE, f = −10cm). Os dados esta˜o na tabela a seguir.
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Tabela 6: Valores medidos e calculados para a configurac¸a˜o 3.b.
Distaˆncias medidas
(cm)
f calculado
(cm)
f fabricante
(cm)
Erropercentual
x 38,90 (± 0,05)
-8,2 (± 0,1) -10,0 18,0%d 2,000 (± 0,003)
y 3,40 (± 0,05)
z 19,5 (± 0,05)
Como visto na Tabela 6, o erro percentual foi bastante grande para
essa medida; duas poss´ıveis fontes de erro esta˜o na medida da distaˆncia z,
devido a` posic¸a˜o da lente na˜o estar precisamente no ponto onde medimos
a sua posic¸a˜o atrave´s do suporte que a segura, e no diaˆmetro y, devido a`
etapa de focarmos a fonte do luz no infinito, ja´ que dependia inteiramente
da nossa manipulac¸a˜o e na˜o havia muita precisa˜o neste processo.
4 Conclusa˜o
Os resultados, em geral, se demonstraram coerentes com o que fora pre-
visto pela teoria, confirmando que a equac¸a˜o das lentes delgadas pode ser
aplicada para encontrar distaˆncias focais; no entanto, as distaˆncias focais
apresentaram erros percentuais grandes em algumas configurac¸o˜es. Nos ca-
sos em que houve necessidade de que a fonte de luz emitisse raios aproxima-
damente paralelos, nota-se que os resultados na˜o foram muito satisfato´rios,
enta˜o uma poss´ıvel fonte de erro pode ser o ajuste do foco da fonte de luz,
quando deseja´vamos que ela estivesse formando a imagem no infinito. Todos
os me´todos dependem, em algum n´ıvel, da precisa˜o do olho humano, pois
ajusta´vamos o foco conforme o observador percebia a imagem mais n´ıtida no
anteparo, assim, ha´ grande possibilidade de haver imprecisa˜o considera´vel
nessas medidas. Em geral, os me´todos para determinar a distaˆncia focal
das lentes divergentes foram mais complexos e apresentaram maiores erros,
enquanto os me´todos para lentes convergentes foram mais precisos. Como as
lentes divergentes podem formar apenas imagens virtuais, foram necessa´rios
arranjos mais complicados para analisa´-las, e, desse modo, houveram mais
fontes de erro nos processos.
11
Total. 10/10
Refereˆncias
[1] WIKIPEDIA. Lens (Optics). Dispon´ıvel em: <https://en.wikipedia.
org/wiki/Lens_(optics)> Acesso em: 02 de out. 2015.
[2] THE PHYSICS CLASSROM. The Mathematics of Lenses. Dispon´ıvel
em: <http://www.physicsclassroom.com/class/refrn/Lesson-5/
The-Mathematics-of-Lenses> Acessado em: 01 de out. 2015.
[3] H. M. NUSSENZVEIG, Curso de F´ısica ba´sica - vol. 4 - O´tica Rela-
tividade F´ısica Quaˆntica, (editora Edgard Blu¨cher, 1a edic¸a˜o, 1997. p.
149).
[4] D. HALLYDAY, R. RESNICK & J. WALKER, Fundamentos de F´ısica
vol.4 - O´ptica e F´ısica Moderna, (editora LTC, 8a edic¸a˜o, 2010).
12
	Introdução e Referencial Teórico
	Materiais Utilizados
	Coleta de Dados e Análise
	Observação de imagens formadas por uma lente convergente
	Coleta de dados e determinação da distância focal de lentes convergentes
	Coleta de dados e determinação da distância focal para lentes divergentes
	Conclusão