6ª Lista de Exercicios de Cálculo I - Aplicações de Derivadas

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Curso de Engenharia Biotecnológica
6ª Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I
Aplicações de Derivadas
1 – Determine 
2 – Ache 
3 – Ache 
4 – Mostre que 
 satisfaz 
5 – Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante.
6 – Calcular as derivadas múltiplas:
7 – Localize os pontos críticos:
8 – Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
9 – Ache os extremos relativos usando os testes da derivada primeira e segunda.
10 – Use qualquer método para achar os extremos relativos da função 
11 – Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de 
12 – Dada a função de posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo s, onde s(t) está em metros e t em segundos. Ache as funções velocidade e aceleração. Ache no instante t = 1 a posição, a velocidade, a rapidez e a aceleração. Em que instantes a partícula está parada? Quando a partícula está aumentando ou diminuindo a rapidez? Ache a distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5.
13 – Um alicate cai acidentalmente no poço do elevador de um prédio alto.
Quantos metros ele caiu em 1,5s?
Qual é a sua velocidade naquele instante?
Quanto tempo demora para o alicate atingir uma rapidez de 12m/s?
Quanto tempo leva para ele cair 100m?
14 – A quantidade de água em um tanque t minutos após ele começar a ser esvaziado é dada por 
Com que taxa a água está fluindo no final de 5 minutos?
Qual é a taxa média segundo a qual a água flui durante os 5 primeiros minutos ?
15 – Uma partícula move-se na direção positiva de um eixo de tal forma que, após t minutos, a sua distância é de 
centímetros de sua origem.
Ache a velocidade média da partícula no intervalo 
Ache a velocidade instantânea em t = 2.
16 – Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e, à medida que o tempo passa, o cubo se expandir, encontre 
 em termos de 
17 – Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16 cm²?
18 – Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo enchido com água a uma taxa de 3m³/min. Quão rápido estará aumentando a altura da água?
19 – Se 
 e 
 encontre 
 quando x = 2.
20 – Se 
 e 
 encontre 
 quando x = 5 e y = 12. 
21 – O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume estará aumentando quando o diâmetro for 80 mm?
22 – Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 km, a 800 km/h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 3 km além da estação.
23 – Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6 m/s de um ponto a 200 m a leste de P. A que taxa as pessoas estão se distanciando 15 minutos depois de a mulher começar a andar?
24 – A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm²/min. A que taxa varia a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área, 100 cm²?
25 – Se dois resistores com resistências R1 e R2 estão conectados em paralelo, então a resistência total R, medida em ohms (Ω) é dada por:
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0,3 Ω/s e 0,2 Ω/s, respectivamente, quão rápido estará variando R quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω.
26 – Um avião voando a uma velocidade constante de 300 km/h passa sobre uma estação de radar no solo a uma altitude de 1 km e subindo em um ângulo de 30º. A que taxa está crescendo a distância do avião em relação à estação de radar 1 minuto mais tarde?
27 – Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o sul a 35 km/h, e o B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido está variando a distância entre eles às 4 horas da tarde?
28 – Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10000 cm³/min. Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o diâmetro no topo é de 4 m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura da água for 2 m, encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque.
29 – A lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação P.V = C, onde C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é de 600 cm³, a pressão é 150 kPa e a pressão cresce a uma taxa de 200 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
30 – Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 5 km e passa diretamente sobre um telescópio no chão. Quando o ângulo de elevação for π/3, este ângulo estará decrescendo a uma taxa de π/6 rad/min. Quão rapidamente estará o avião se movendo naquele instante? 
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Campus de Assis