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12/03/2017
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CONJUNTOS
1 - Introdução, Notação e 
Propriedades de conjuntos
 Todos os ramos da matemática utilizam a noção de
conjuntos de diversas maneiras diferentes. Sendo assim,
a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no
ensino da matemática. As três noções básicas da teoria
dos conjuntos são: conjunto, elemento e pertinência, as
quais denominamos noções intuitivas. Reconhecer se
um elemento pertence ou não a um dado conjunto se
torna imprescindível. Nesta aula trataremos de
conceitos básicos da Teoria de Conjuntos.
Georg Cantor nasceu no dia 3 de março de 1845 em St.Petesburg,
Russia, e morreu no dia 6 de janeiro de 1918 em Halle, Alemanha.
 fundou a teoria dos conjuntos e introduziu o conceito de números
infinitos com a sua descoberta de números cardinais;
 também avançou o estudo das séries trigonométricas.
http://www.somatematica.com.br/biograf/cantor.php
1.1 - Conceitos Primitivos (não-
definidos) - Conjunto e Elemento
 A ideia de conjunto é a mesma de coleção.
Ex.:
a) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto;
cada aluno é um elemento desse conjunto.
b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do
time é um elemento desse conjunto.
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1.2 - Representação de um Conjunto
 Podemos representar os conjuntos de diversas maneiras.
Veremos as representações tabular, Diagrama de Venn
Euler e utilizando uma propriedade comum.
Representação tabular
Notação: Podemos representar um conjunto sob forma de tabela,
escrevendo seus elementos entre chaves {} e separados por vírgula.
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ...
É usual representarmos os elementos por letra minúsculasa,b,c,d, ...
Ex.:
A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 2, 3, 4}
1.2 - Representação de um Conjunto
Representação através de diagramas de Venn-Euler
Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores 
a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, 
uma linha que não se entrelaça.
Ex.:
John Venn nasceu no dia 4 de agosto de 1834 em Hull, Inglaterra, e morreu
no dia 4 de abril de 1923 em Cambridge, Inglaterra.
 desenvolveu a lógica matemática de Boole;
 conhecido pelo seu diagrama de representar conjuntos e as sua uniões
e interseções.
http://www.somatematica.com.br/biograf/venn.php
1.2 - Representação de um Conjunto
Representação através de uma propriedade
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um 
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o 
conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem 
a propriedade p".
Ex.: 
A = {x | x é par} 
- o conjunto A é formado por todos os pares
B = {x | x é cor da bandeira do Brasil} 
- o conjunto B é formado pelas cores da bandeira brasileira
v =verde a = amarelo z = azul b = branco
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1.3 - Relação de Pertinência
Nos exemplos:
• A = {a, e, i, o, u}
• B = {1, 2, 3, 4}
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do
conjunto B.
Tais fatos serão respectivamente indicados por:
u  A (lê-se "u pertence a A")
u  B (lê-se "u não pertence a B")
De modo geral, para relacionar elemento e conjunto,
devemos utilizar os símbolos:(pertence) e  (não pertence)
Exercícios
1) Indique se cada um dos elementos -4 ; 1/3 ; 3 ; 0,25
pertence ou não a cada um destes conjuntos:
a) A = {xx é um número inteiro}
b) B = {xx < 1}
c) C = {x15x – 5 = 0}
d) D = {x-2  x  1/4}
2 - Tipos de Conjuntos
 Conjunto unitário - Conjunto unitário é aquele formado por
um único elemento.
Ex.: A = {5}
B = {x  x é capital da França} = {Paris}
 Conjunto vazio - Conjunto vazio é o conjunto que não possui
elemento algum. Representa-se o vazio por Ø ou { }.
Ex.: C = {x | x é computador sem memória} = { }
D = conjunto das cidades de Goiás banhadas pelo 
oceano Atlântico = 
E = {x  x ≠ x} = 
2 - Tipos de Conjuntos
 Conjunto finito - Conjunto finito é aquele que conseguimos
contar do inicio ao fim todos os elementos.
Ex.: B = {1, 2, 3, 4}
 Conjunto infinito - é aquele que não é possível contar do inicio
até o fim todos os elementos.
Ex.: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
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2 - Tipos de Conjuntos
 Conjunto Universo (U) - Conjunto universo de um estudo é um
conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo,
ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os
quais se deseja trabalhar.
Ex.: Quais são os números menores que 5?
A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais,
teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais
pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}.
2 - Tipos de Conjuntos
 Conjuntos Iguais - Dois ou mais conjuntos são iguais quando
possuem os mesmos elementos.
Assim, se A é o conjunto das letras da palavra "arte":
A = {a, r, t, e}
e B é o conjunto das letras da palavra "reta":
B = {r, e, t, a},
temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos,
não importando a ordem em que os elementos foram escritos
nem as repetições. Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se
"A é diferente de B").
Ex.:
A = {g, a, r, r, a} e B = {a, g, a, r, r, a}
A = B
Exercícios
2) Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos
seguintes enumerando seus elementos.
A = {xx  H e x < 1}
B = {xx  H e (2x – 1)/3 = 1}
C = {xx  H e x é um quadrado perfeito}
D = {xx  H e x < 0}
E = {xx  H e 3x + 1 = 10}
2 - Tipos de Conjuntos
 Subconjunto - Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é
subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A
pertence a B.
Indica-se que A é subconjunto de B por: (lê-se "A está contido
em B"), ou ainda, por (lê-se "B contém A").
Ex.:
a) {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
b) {6, 9, 6, 5}  {9, 6}
c) A = {x  x é letra da palavra ralar} = { r, a, l}
B = {x  x é letra da palavra algazarra} = { a, l, g, z, r}
A  B ou B  A
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2 - Tipos de Conjuntos
A relação de inclusão também pode ser ilustrada por meio de
um diagrama de Venn
B  A ou A  B
   são as negações de  e , respectivamente
A  B se pelo menos um elemento de A não pertence a B
2 - Tipos de Conjuntos
 Propriedades da relação de inclusão
1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
Ex.:
a)   {1, 2, 3}
b)   
2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A  A,  A
3. Sejam os conjuntos A, B e C se, A  B e B  C , então A  C
4. Sejam os conjuntos A e B, A  B e B  A , então A = B
2 - Tipos de Conjuntos
 Conjunto das Partes de um Conjunto
Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser
conjuntos.
Ex.: Considere o conjunto A = {a, b}. Vamos determinar os
subconjuntos de A, pensando em termos de número de
elementos.
• Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
• Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}
• Subconjuntos com dois elementos: {a,b}
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto
cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Notação: P(A) (lê-se P de A)
P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}}
2 - Tipos de Conjuntos
Ex.: Determinando o conjunto das partes do conjunto 
B = {a, b, c}:
• Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
• Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}, {c}
• Subconjuntos com dois elementos: {a,b}, {a,c}, {b,c}
• Subconjuntos com três elementos: {a,b,c}
P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
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2 - Tipos de Conjuntos
 Número de Elementos do Conjunto das Partes de um
Conjunto
Observando os exemplos anterior, o conjuntoA tem dois
elementos e o conjunto das partes de A, ou seja P(A), possui 4
elementos. Podemos observar que 4 = 22 elementos.
No segundo exemplo, o conjunto B tem três elementos e o
conjunto das partes de B possui 8 subconjuntos. Podemos
observar que 8 = 23 elementos.
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os
números de elementos de P(A) é 2n
2 - Tipos de Conjuntos
 Observe que este procedimento de definir os subconjuntos e
mais ainda, sabendo quantos elementos um conjunto possui
podemos saber quantos subconjuntos o conjunto partes
deste terá, nos leva a lembrar que este é uma importante
definição no momento de programar e precisar definir o
espaço de uma tabela, espaço de um vetor, eficiência de
um procedimento, etc.
Exercícios
3) Sendo M = {0, 3, 5}, classifique as sentenças seguintes
em (V) ou falsas (F).
a) 5  M
b) 3  M
c)   M
d) 0  M
e)   M
f) 0 = 
g) 0  
h) 0  M
Exercícios
4) Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6, 8} e
Z ={0, 1, 2}
a) Determine todos os subconjuntos de X, cada qual
com exatamente três elementos;
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual
com apenas quatro elementos;
c) Determine o conjunto P(Z).
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3 - Operações Elementares em
Conjuntos
 3.1. Interseção de conjuntos ()
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A
com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao
conjunto A e ao conjunto B.
Notação: A  B (lê-se "A interseção B").
Simbolicamente: A  B = {x | x  A e x  B}
3.1. Interseção de conjuntos ()
 Propriedades da interseção de conjuntos:
- A ∩ ∅ = ∅
- A ∩ A = A (idempotente)
- A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)
O conectivo e indica que as condições que ambas
apresentam devem ser obedecidas.
 e pode ser substituído pelo símbolo ^
3.1. Interseção de conjuntos ()
Ex.: Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
e C = {1, 3, 5, 7}, temos:
A  B = {0, 2}
A  C = {1}
B  C =  B e C são disjuntos
3 - Operações Elementares em
Conjuntos
 3.2 União (ou Reunião) de conjuntos()
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião)
de A com B ao conjunto formado pelos elementos que
pertencem a A ou a B ou a ambos.
Notação: A  B (lê-se "A união B").
Simbolicamente: A  B = {x | x  A ou x  B}
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3.2. União de conjuntos()
 Propriedades da união de conjuntos:
- A  ∅ = A (elemento neutro);
- A  A = A (recíproca)
- A  B = B  A (comutativa)
- A  (B  C)=(A  B)  C (associativa)
O conectivo ou indica que pelo menos uma das
condições deve ser obedecida.
 ou pode ser substituído pelo símbolo v
3.2. União de conjuntos()
Ex.: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 7, 8},
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e D = {3, 4, 6, 8}, temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}
A  C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B  D = {3, 4, 6, 7, 8}
A  (C  D) = A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
Ex.: Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {3} e C = {2, 3, 4}, então:
n(A  B) = 0
n(A  C) = 1
3 - Operações Elementares em
Conjuntos
 3.3 Principio da Inclusão-Exclusão
Uma técnica importante para se resolver vários
problemas de Análise Combinatória é o Principio da
Inclusão-Exclusão, que é uma fórmula para contar o
número de elementos que pertencem à união de vários
conjuntos não necessariamente disjuntos.
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
Onde n( ) é o número de elementos do conjunto dado.
3.3 Principio da Inclusão-Exclusão
Observe que se os conjuntos possuem uma interseção, esta
é contada duas vezes ao fazermos n(A) + n(B) por esse
motivo subtraímos uma vez n(A  B).
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)-n(ABC)
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3.3 Principio da Inclusão-Exclusão
Ex.: Um certo número de alunos de uma escola de ensino
médio foi consultado sobre a preferência em relação às revistas
A ou B. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos leem a
revista A, 160 leem a revista B, 60 leem A e B e 40 não leem
nenhuma das duas.
(a) Quantos alunos foram consultados?
(b) Quantos alunos leem apenas a revista A?
(c) Quantos alunos não leem a revista A?
(d) Quantos alunos leem a revista A ou a revista B?
3.3 Principio da Inclusão-Exclusão
ESCOLA
REVISTA A
REVISTA B
NÃO LEEM NEM A NEM B = 40
60
160 – 60 = 100
180 – 60 = 120
Exercícios
5) Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C ={p, s, t},
determine:
a) A  B
b) A  C
c) B  C
d) A  B
e) A  C
f) B  C
Exercícios
6) Dados os conjuntos U = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam
A = {x  U  x < 0}, B = {x  U  -3 < x < 2} e
C = {x  U  x  -1}. Determine:
a) A  B  C
b) A  B  C
c) C  (B  A)
d) (B  A)  C
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Exercícios
7) Foram consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de
TV a que habitualmente assistem.
Obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao
canal Z, 270 assistem ao canal W e 80 assistem a outros
canais distintos de Z e W.
(a) Quantas pessoas assistem aos dois canais?
(b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W?
(c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z?
Exercícios
8) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4} e C = {1, 2, 4},
determine o conjunto X sabendo que:
A  X = {1, 2, 3}
B  X = {3, 4}
C  X = A  B
3 - Operações Elementares em
Conjuntos
 3.4 Diferença de conjuntos (-)
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e
B ao conjunto formado pelos elementos de A que não
pertencem a B.
Notação: A - B (lê-se "A menos B").
Simbolicamente: A - B = {x | x  A e x  B}
3.4 Diferença de conjuntos (-)
Ex.: Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9},
então:
A - B = {2, 6}
B -A = {9}
Ex.: Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então:
A - B = { } = Ø
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3 - Operações Elementares em
Conjuntos
 3.5 Complementar de um conjunto (C)
Se A e B são conjuntos tais que A  B, então a diferença B -
A é chamada complementar de A em B.
Notação: CB A (lê-se "complementar de A em B").
Simbolicamente: CB A = B - A = {x | x  B e x  A}, onde A  B
3.5 Complementar de um conjunto (C)
Ex.: Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então:
como A  B, existe o complementar de A em B
CB A = {2, 4, 6}
Ex.: Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9},
então:
como A  B, não existe o complementar de A em B
Exercícios
9) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, c, d, e}, C = { c, d}
e D = {a, d, e}, classifique cada uma das sentenças seguintes
em (V) ou falsas (F).
a) A – B = {b}
b) B – C = {a, e}
c) D – B = {c}
d) CA C = 
e) CB = {a, c, d, e}
f) CB D = {c}
g) (A  B) – D = {a, d, e}
h) B – (A  C) = {e}
i) (CB C)  (CB D) = {a, c, e}
4 - Conjuntos Numéricos
Conjuntos cujos elementos são números que apresentam
algumas características comuns entre si.
 4.1. Conjunto dos Números Naturais(N)
N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
 conjunto dos números naturais não nulos:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
O símbolo * retira o elemento zero do conjunto.
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4.1. Conjunto dos Números Naturais(N)
No conjunto dos números naturais estão definidas duas
operações: adição e multiplicação.
 m, n  N, m+n  N e m.n  N
Ou seja, N é fechado em relação à adição e à
multiplicação.
O mesmo raciocínio não vale para a subtração.
Ex.: não existe um número natural x tal que, x = 2 – 5
Faz-se então, necessária a ampliação do conjunto N.
4 - Conjuntos Numéricos
 4.2. Conjunto dos Números Inteiros(Z)
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Todo número natural é também um número inteiro, ou
seja,N é subconjunto de Z  N  Z
Z N
4.2. Conjunto dos Números Inteiros(Z)
 conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
 conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N
 conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} = N
*
 conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {... -4, -3, -2, -1, 0}
 conjunto dos números inteiros negativos:
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
4.2. Conjunto dos Números Inteiros(Z)
 Números inteiros opostos ou simétricos: quando sua
soma é zero
Ex.: 2 + (-2) = 0  -2 e 2 são simétricos
 Módulo de um número inteiro:
 Se x  0  𝑥 = 𝑥
 Se x < 0  −𝑥 = 𝑥
Ex.: −9 = 9 9 = 9
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4 - Conjuntos Numéricos
Ex.: Sejam os conjuntos A = {x  Z-3 < x  2} e B = {x  Nx  4}.
Determinar A  B e A  B.
A = {-2, -1, 0, 1, 2}
B = {0, 1, 2, 3, 4}
então:
A  B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} = {xZ-2 x 4} (entre outras formas)
A  B = {0, 1, 2} = {xNx 2} (entre outras formas)
Exercícios
10) Determine A  B e A  B, sendo:
a) A = {x  Nx  5} e B = {x  Nx < 7}
b) A = {x  Zx > 1} e B = {x  Zx  3}
c) A = {x  Zx < 10} e B = {x  N*x < 6}
d) A = {x  N2 < x  5} e B = {x  Z1  x < 4}
4.2. Conjunto dos Números Inteiros(Z)
No conjunto dos números inteiros estão definidas três
operações: adição, multiplicação e subtração.
Ou seja, Z é fechado em relação à adição, multiplicação
e à subtração.
O mesmo raciocínio não vale para a divisão.
Ex.: não existe um número inteiro x tal que, x = 4  12
Faz-se então, necessária a ampliação do conjunto Z.
4 - Conjuntos Numéricos
 4.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
Todos aqueles que podem ser expressos na forma de
fração. O conjunto dos quocientes entre dois números
inteiros.
Q = {p/q  p  Z e q  Z*}
 N  Z  Q
Q Z N
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4.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
 conjunto dos números racionais não nulos: Q*
 conjunto dos números racionais não negativos: Q+
 conjunto dos números racionais positivos: Q*+
 conjunto dos números racionais não positivos: Q-
 conjunto dos números racionais negativos: Q*-
4.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
No conjunto dos números racionais estão definidas três
operações: adição, multiplicação e subtração.
A não se define a divisão por zero, o conjunto Q não é
fechado em relação à divisão, apenas o conjunto Q* é
fechado em relação à divisão.
Representação decimal:
1º. Caso – o quociente obtido tem, após a vírgula, uma
quantidade finita de algarismos e o resto da divisão é zero.
Ex.: 2/5 = 0,4 35/4 = 8,75 decimais exatos
0,4 = 4/10 = 2/5
8,75 = 875 / 100 = 35/4
4.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
2º. Caso – o quociente obtido tem, após a vírgula, uma
infinidade de algarismos, nem todos iguais a zero, e não é
possível obter o resto da divisão zero.
Ex.: 2/3 = 0,666... 167/66 = 2,53030...  dízimas periódicas
 Representação fracionária das dízimas periódicas
Ex.: x = 0,888... ⇨ 10x = 10 . 0,888... = 8,888...
subtraindo:
10x - x = 8,888... – 0,888...
9x = 8
x = 8/9
4.3. Conjunto dos Números Racionais (Q)
 Representação fracionária das dízimas periódicas
Ex.: x = 0,969696... ⇨ 100x = 100 . 0,969696... = 96,9696...
subtraindo:
100x - x = 96,969696... – 0,969696...
99x = 96
x = 96/99 = 32/33
Ex.: x = 2,0454545...
 
10𝑥 = 20,454545…
1000𝑥 = 2045,4545…
990𝑥 = 2025 ⇒ 𝑥 =
2025
990
=
45
22
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Exercícios
11) Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F):
a) 10  Q
b) 1/3  Q e 3  Q
c) x  Q  x  Z ou x  N
d) 0,851  Q
e) -2,333...  Q
f) -2  Q – N
g) - 17/9  Q
h) -5,16666... Z
i) Q+  Q- = { }
j) Todo número racional é inteiro
Exercícios
12) Represente, na forma fracionária mais simples:
a) 0,05
b) 1,05
c) -10,2
d) 0,33
e) 3,3
f) -2,25
Exercícios
13) Ache a fração geratriz de cada dízima:
a) 0,444...
b) 0,141414...
c) 2,777...
d) 1,715715...
e) 1,12333...
f) 0,0232323...
g) 1,030303...
h) 1,0303030...
4 - Conjuntos Numéricos
 4.4. • Conjunto dos Números Irracionais (I)
Conjunto dos números decimais infinitos não periódicos.
Ex.:
 número  (resultado da divisão do perímetro de uma
circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265...
 também são irracionais todas as raízes não exatas, como
2 =1,4142135...
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4 - Conjuntos Numéricos
 4.5. Conjunto dos Números Reais (R)
união do conjunto dos racionais com os irracionais.
R = Q  I, sendo Q  I = 
 N  Z  Q  R e I  R
4.5. Conjunto dos Números Reais (R)
 conjunto dos números reais não nulos:
R* = {x  R  x ≠ 0} = R – {0}
 conjunto dos números reais não negativos:
R+ = {x  R  x  0}
 conjunto dos números reais positivos:
R*+ = {x  R  x > 0}
 conjunto dos números reais não positivos:
R- = {x  R  x  0}
 conjunto dos números reais negativos:
R*- = {x  R  x < 0}
Exercícios
14) Considere as seguintes equações abaixo:
(I) x² - 4 = 0
(II) x² - 2 = 0
(III) 0,3x = 0,1
Analisando as soluções destas equações, verifique a
veracidade das afirmativas abaixo.
(a) as soluções de II são números irracionais.
(b) a solução de III é número irracional.
(c) as soluções de I e II são números reais.
(d) as soluções de I e III são números não reais.
(e) as soluções de II e III são números racionais.
5 - Intervalos Numéricos
Podemos representar o conjunto dos números reais,
associando cada número x real a um ponto de uma reta r.
Convencionamos uma origem O, associando a ela o zero,
adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta
reta, teremos uma reta denominada reta orientada.
- 0 +
Definiremos alguns subconjuntos de R chamados intervalos.
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5 - Intervalos Numéricos
Consideremos dois números reais a e b, com a < b.
 Intervalo fechado:
Números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b.
Notação do Intervalo: [a, b]
Notação do Conjunto: {x  R | a  x  b}
Representação gráfica:
Ex.: [3, 5] = {x  R | 3  x  5}
 3 5 
5 - Intervalos Numéricos
 Intervalo aberto:
Números reais maiores do que a e menores do que b.
Notação do Intervalo: ]a, b[
Notação do Conjunto: {x  R | a < x < b}
Representação gráfica:
Ex.: ]3, 5[ = {x  R | 3 < x < 5}
 
3 5 
5 - Intervalos Numéricos
 Intervalo fechado à esquerda:
Números reais maiores ou iguais a a e menores do que b.
Notação do Intervalo: [a, b[
Notação do Conjunto: {x  R | a  x < b}
Representação gráfica:
Ex.: [3, 5[ = {x  R | 3  x < 5}
 3 5 
5 - Intervalos Numéricos
 Intervalo fechado à direita:
Números reais maiores do que a e menores ou iguais a b.
Notação do Intervalo: ]a, b]
Notação do Conjunto: {x  R | a < x  b}
Representação gráfica:
Ex.: ]3, 5] = {x  R | 3 < x  5}
 
3 5 
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5 - Intervalos Numéricos
 Semirreta esquerda, fechada, de origem a:
Números reais menores ou iguais a a.
Notação do Intervalo: ]-, a]
Notação do Conjunto: {x  R | x  a}
Representação gráfica:
Ex.: ]-, 3] = {x  R | x  3}
 3 
5 - Intervalos Numéricos
 Semirreta esquerda, aberta, de origem a:
Números reais menores a a.
Notação do Intervalo: ]-, a[
Notação do Conjunto: {x  R | x < a}
Representação gráfica:
Ex.: ]-, 3[ = {x  R | x < 3}
 3 
5 - Intervalos Numéricos
 Semirreta direita, fechada, de origem a:
Números reais maiores ou iguais a a.
Notação do Intervalo: [a, +[
Notação do Conjunto: {x  R | x  a}
Representação gráfica:
Ex.: [3, +[ = {x  R | x  3}
 3 
5 - Intervalos Numéricos
 Semirreta direita, aberta, de origem a:
Números reais maiores que a.
Notaçãodo Intervalo: ]a, +[
Notação do Conjunto: {x  R | x > a}
Representação gráfica:
Ex.: ]3, +[ = {x  R | x > 3}
 3 
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Exercícios
15) Descreva, por meio de uma propriedade
característica, cada um dos conjuntos representados a
seguir:
a)
b)
c)
d)
 
-2 
 𝟑 𝟐 
 −
𝟏
𝟒
 
𝟏 
 −
𝟑
𝟒
 
𝟎 
Exercícios
16) Sejam A = {x  R  x > -2} e B = −3,
4
3
. Determine:
a) A  B
b) A  B
c) A – B
d) B – A