Física experimental: Ondas estacionárias

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Objetivos
Nosso objetivo é, a partir de dados experimentais, obter uma relação entre a frequência de oscilação de uma corda e a tensão aplicada na mesma. 
Introdução 
Fundamentalmente, uma onda é uma oscilação ou perturbação que se propaga no espaço, carregando apenas energia, não havendo transporte de matéria (KNIGHT, 2009).
	Em se tratando de ondas mecânicas, aquelas que precisam de um meio material para poderem se propagar, pode-se diferenciá-las quanto à direção de propagação das ondas ou quanto à direção da vibração das ondas (HALLIDAY, 2003).
	Quanto à direção da vibração, pode-se ter ondas transversais, que são causadas por propagações perpendiculares à propagação da onda, e ondas longitudinais, que são causadas por vibrações com mesma direção da propagação.
	Quanto à direção da propagação, as ondas ainda podem ser classificadas como uni, bi e tridimensionais, de acordo com o número de dimensões em que ela transmite energia.
Ao caracterizar uma onda são importantes três características físicas: a velocidade de propagação da onda, a qual depende exclusivamente das propriedades físicas do meio, e outros dois parâmetros relacionados com a periodicidade da onda, tanto espaciais como temporais chamados de comprimento de onda e frequência, respectivamente.
O comprimento de onda é definido como a menor distância entre dois pontos consecutivos que estão em concordância de fase e é representado por fórmula, sendo inversamente proporcional ao número de onda k (Equações 1 e 2).
	fórmula
	(1)
	fórmula
	(2)
	
A frequência é a taxa de variação temporal na qual a perturbação se repete e é representada por fórmula, sendo o inverso do período (Equação 3).
	fórmula
	(3)
Onde fórmula é o tempo que um ponto qualquer da onda leva para fazer uma oscilação completa.
Outra característica a ser equacionada é a velocidade de propagação da onda que é representada por fórmula, sendo dependente essencialmente das propriedades do meio (Equação 4).
	fórmula
	(4)
As ondas mecânicas em uma corda são ondas unidimensionais do tipo transversal que se propagam ao longo da corda. A onda mecânica unidimensional é governada pela Equação da Onda, de acordo com a Equação 5.
	fórmula
	(5)
Onde a função de onda fórmula representa a evolução espaço-temporal da onda no meio, que no caso de um ponto qualquer, mostra o deslocamento dele em relação à sua posição de equilíbrio. Soluções desta equação podem ser do tipo progressiva à direita ou esquerda, assim como uma superposição delas (interferência). O perfil da onda depende da fonte de oscilação do tipo harmônico.
Esta equação dá uma completa descrição do movimento da onda, e a partir dela pode-se derivar uma expressão para a velocidade de propagação da onda.
Quando se tem uma corda presa e tensionada nas suas extremidades e nela aplica-se uma força, produz-se uma onda que irá se deslocar com uma velocidade fórmula (Figura 1).
Figura 1: Tensão aplicada nas extremidades de uma corda (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
Sabe-se que a velocidade depende das propriedades físicas do meio, sendo elas as propriedades elásticas e inerciais.
A propriedade elástica é a intensidade de força de tensão T, e a propriedade inercial é a relação entre a massa e o comprimento da corda, chamada de densidade linear da massa fórmula (Equação 6).
	fórmula
	(6)
Assim, a velocidade da onda não depende da amplitude da onda gerada (Equação 7).
	fórmula
	(7)
Numa corda, pode-se ter ondas progressivas propagando-se num sentido (para a direita ou para a esquerda) enquanto tais ondas não atingem as extremidades da corda. Ao atingir uma extremidade, uma onda progressiva num sentido é geralmente refletida, gerando outra progressiva em sentido oposto (Figura 2). Em geral, têm-se simultaneamente ondas progressivas propagando-se nos dois sentidos, como demonstrado na Equação 8.
	fórmula
	(8)
Figura 2: Descrição do movimento de reflexão de uma onda progressiva (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
Num fio condutor, de comprimento finito L, sob tensão fórmula e com seus extremos fixos, podem ser geradas ondas estacionárias, que são obtidas pela superposição de duas ondas idênticas, de mesma amplitude, mesma frequência, mesmo comprimento de onda e que se movem na mesma direção e sentidos opostos. A Equação 9 descreve o comportamento das ondas estacionárias.
	fórmula
	(9)
A condição de que as duas extremidades da corda permaneçam fixas se exprime pelas condições de contorno, seguindo a Equação 10 para qualquer fórmula.
	fórmula
	(10)
Isso implica que fórmula, se fórmula é um número inteiro isto só será satisfeito quando:
	fórmula
	(11)
Combinando as Equações (1) e (11), obtêm-se os valores de fórmula associados aos modos normais de vibração da corda, obtendo-se assim a Equação (12).
	fórmula
	(12)
A Figura 3 representa algumas ondas que podem ser obtidas variando-se os modos de vibração.
Figura 3: Relação entre comprimento de onda e os modos de vibração (ESPINOZA-QUIÑONES, 2011).
A partir dessas ondas pode-se estabelecer que a onda estacionária de comprimento fórmula exibe exatamente fórmula semi-comprimentos de onda para o modo de ordem fórmula. O número de ventres ou antinodos é exatamente fórmula e o número de nos é fórmula, incluindo os extremos.
É importante ressaltar que para que seja possível observar ondas mecânicas numa corda são necessários 3 parâmetros: uma fonte de perturbação, um meio que possa ser perturbado e alguma conexão física que sirva de elo entre partículas do meio.
Metodologia 
Material utilizado
Os materiais utilizados nesta prática foram um vibrador mecânico (modelo SF-9324 da Pasco) com capacidade máxima de 1A, gerador de sinal (Function Sinal Generator GV-2002), amplificador de amplitude (AZEHEB), corda com massa linear µ conhecida, dinamômetro, trena e régua milimetrada.
Procedimentos
1ª PARTE 
Os equipamentos estavam montados na mesa da seguinte forma: uma das extremidades livres da corda fixa ao vibrador mecânico e a outra extremidade ao dinamômetro num suporte móvel. 
Primeiramente, verificamos se a corda estava na horizontal e medimos o seu comprimento (0,76 m). Ajustamos o gerador de sinal com os seguintes dados, que devem ser fixos: onda do tipo senoidal, sinal na faixa de medidas 3 (range 3) e a frequência de aproximadamente 65Hz. 
Ao iniciar o experimento, zeramos o dinamômetro não aplicando nenhuma tensão na corda. Em seguida, movemos o suporte do dinamômetro de maneira a aplicar tensões suficientes para formar ondas estacionárias com 1 (um) a 7 (sete) ventres. Repetimos esse processo 3 vezes e obtemos a seguinte tabela:
	n
	1/n² 
	Valores medidos de τ(N)
	τmédio±Δ τmédio(N)
	7
	0,020
	0,070 | 0,080 | 0,075
	0,075 ± 0,003
	6
	0,029
	0,110 | 0,100 | 0,090 
	0,100 ± 0,006
	5
	0,040
	0,150 | 0,120 | 0,130
	0,13 ± 0,01
	4
	0,060
	0,240 | 0,220 | 0,200
	0,22 ± 0,01
	3
	0,110
	0,370 | 0,400 | 0,390
	0,39 ± 0,01
	2
	0,250
	0,790 | 0,830 | 0,810
	0,81 ± 0,01
	1
	1,000
	3,200 | 3,400 | 3,200
	3,27 ± 0,08
Tabela1 
2ª PARTE
Ajustamos o sistema da maneira descrita anteriormente e devemos manter fixa a tensão τ = (0,150±0,05)N durante todo o processo e formaram inicialmente cinco ventres na corda. Variamos a frequência de modo a obter, sucessivamente, quatro, três e dois ventres na corda, realizamos esse processo três vezes e anotamos os dados na tabela:
	n
	Valores medidos de f(Hz)
±0,02
	Valor médio de f (Hz)
	fmédio±Δ fmédio (Hz)
	5
	64,50 | 64,70 | 64,90
	64,70
	64,7 ± 0,1
	4
	54,90 | 55,90 | 56,00
	55,60
	55,6 ± 0,4
	3
	38,60 | 40,40 | 43,10
	40,70
	41 ± 2
	2
	25,60 | 26,00 | 23,70
	25,20
	25 ± 1
Tabela 2
Resultados, análises e discussão
PARTE 1:
A partir dos dados coletados nas tabelas, construímos um gráfico da função τ versus 1/n² citada (número da equação) e foi um gráfico com comportamento parabólico já esperado de acordo com a equação
teórica e linearizamos obtendo a função τ = a (1/n²) + b e traçamos a melhor reta visual, cujos parâmetros de sua equação foram calculados [anexo LETRA] e obtemos a partir dessa reta, seu coeficiente angular, a = 3,30 N, 
SIGNIFICADO FÍSICO DE A: μL²ʄ²
cujo significado físico é μL²ʄ² obtida pela comparação com o modelo teórico.
Também obtemos o coeficiente linear b = 0,0181 N 
SIGNIFICADO FÍSICO DE B: ERROS EXPERIMENTAIS 
e este valor representa fisicamente os erros experimentais (PERGUNTAR PRA PROFESSORA). 
Relação analítica:
τ = 3,30 N (1/n²) + 0,081N
Comparando os dados experimentais com a equação teórica e levando em consideração o significado físico de a, podemos encontrar a frequência. De acordo com os cálculos no anexo (LETRA), obtemos ʄexp = 60,5 Hz e tínhamos ʄesperado = (64,5 ± 0,02) Hz. O erro relativo percentual obtido foi 6,2%.
PARTE 2:
A partir dos dados coletados nas tabelas, construímos um gráfico da função ʄ versus n citada (número da equação) e foi um gráfico com comportamento linear já esperado de acordo com a equação teórica e linearizamos obtendo a função ʄ = a n + b e traçamos a melhor reta visual, cujos parâmetros de sua equação foram calculados [anexo LETRA] e obtemos a partir dessa reta, seu coeficiente angular, a = 11,4Hz, 
SIGNIFICADO FÍSICO DE A: √(τ/4µL²)
cujo significado físico é √(τ/4µL²) obtida pela comparação com o modelo teórico.
Também obtemos o coeficiente linear b = 8,69 N
SIGNIFICADO FÍSICO DE B: ERROS EXPERIMENTAIS 
e este valor representa fisicamente os erros experimentais (PERGUNTAR PRA PROFESSORA). 
Relação analítica:
ʄ = 11,4 Hz.N + 8,69 Hz
Comparando os dados experimentais com a equação teórica e levando em consideração o significado físico de a, podemos encontrar a frequência. De acordo com os cálculos no anexo (LETRA), obtemos τ exp = 0,12N e tínhamos τ esperado = (0,15 ± 0,05) N. O erro relativo percentual obtido foi 20%.
Conclusões 
A partir dos dados experimentais coletados observamos que há uma relação entre a tensão na corda e o número de nós formado na onda estacionária, conforme o estudo teórico já nos indicado. Além disso, observamos também uma relação entre a frequência média e o número de nós formados na onda estacionária. Nas duas partes da análise conseguimos estipular com uma aproximação razoável os valores da frequência e da tensão, respectivamente, portante nossos objetivos foram alcançados satisfatoriamente.