Nocoes de Atividades Atuariais 03

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Noções de Atividades Atuariais
Autora: Edson Conceição Júnior
Tema 03
A Matemática Atuarial e as Definições 
de Esperança Matemática e Tábuas de 
Mortalidade
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ões
Tema 03
A Matemática Atuarial e as Definições de Esperança 
Matemática e Tábuas de Mortalidade
Como citar este material:
CONCEIÇÃO JUNIOR, Edson. Noções de 
Atividades Atuariais: A Matemática Atuarial 
e as Definições de Esperança Matemática e 
Tábuas de Mortalidade. Caderno de Atividades. 
Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.
SeçõesSeções
Tema 03
A Matemática Atuarial e as Definições de Esperança 
Matemática e Tábuas de Mortalidade
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Conteúdo
Nessa aula você estudará: 
• A Esperança Matemática.
• As Tábuas de Mortalidade.
• O conceito de Vida Média Completa.
• As Tábuas de Comutação e sua utilização.
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
CONTEÚDOSEHABILIDADES
Introdução ao Estudo da Disciplina 
Caro(a) aluno(a).
Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro: Seguros, matemática atuarial e 
financeira, do autor Gustavo Henrique W. de Azevedo, editora Saraiva, 2008, PLT ------.
Roteiro de Estudo:
Prof. Esp. Edson Conceição 
Júnior
Noções de Atividades 
Atuariais 
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CONTEÚDOSEHABILIDADES
• Utilizando a Tábua de Mortalidade, qual a probabilidade de você viver até os 80 anos?
• Quais as utilidades da Tábua de Comutação?
CONTEÚDOSEHABILIDADES
A Matemática Atuarial e as Definições de Esperança 
Matemática e Tábuas de Mortalidade
Para você entender melhor alguns produtos do Ramo de Seguros será necessário o 
conhecimento de alguns conceitos de Matemática Atuarial. O primeiro desses conceitos é 
o da Esperança Matemática.
Esperança Matemática
Esperança Matemática pode ser entendida como o ganho esperado (Q) multiplicado pela 
probabilidade (p) de obtê-lo, e ainda multiplicado pelo fator de desconto (vn) correspondente 
ao período que medeia entre a aposta e o sorteio (AZEVEDO, 2008). Esperança matemática 
é o que produz o jogo honesto na acepção de jogo equilibrado. No que diz respeito a 
seguros, ela representa o prêmio puro, ou seja, sem nenhum carregamento, sem nenhuma 
sobrecarga. 
E = Q x p x vn
Sendo: 
E = Esperança matemática ou preço de custo
Q = Ganho esperado
p = Probabilidade de ganho, ou seja: p = n° de casos favoráveis 
 
n° de casos possíveis 
LEITURAOBRIGATÓRIA
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LEITURAOBRIGATÓRIALEITURAOBRIGATÓRIA
v = Fator de desconto, ou seja: v = 1 
 
(1+i)
n = Prazo.
Exemplificando a aplicação da fórmula, calculando qual seria o custo (Esperança Matemática) 
de se ganhar um prêmio de R$ 5.000,00 sabendo que a probabilidade de ganhá-lo é de 1 
caso em cada 10 casos, se for desconsiderado o prazo, ou seja, que o sorteio seria no ato, 
tem-se:
E = 5.000 x 1 = 5.000 x 0,1 = 500
 
10
Fator de desconto
O fator de desconto é determinado em função de uma taxa de juros e do prazo 
(preestabelecidos). Tem por objetivo apurar, na data atual, o valor de certo montante 
financeiro que será exigido daqui a n períodos. No exemplo anterior você viu que o sorteio 
seria imediato, mas, e se ele ocorresse após 6 meses e tiver uma taxa de juros de 1% a.m.?
E = 5.000 x 1 = 5.000 x 0,1 = x 1 x 6 = 297,02 
 
10 (1 + ,01)
Neste caso vale relembrar o conceito do Fluxo de Caixa. Dessa forma, tem-se: i = 6% ao 
mês
$10,00 $10,60 $11,236 $11,910 $12,625
| -------------------| ------------------|-------------------- |-------------------|
0 1 2 3 4
CAPITALIZAÇÃO ------------------------------------------------------------->
Se você tem R$ 10,00 hoje, no presente, e capitalizar a 6 % ao mês, terá, R$ 12,63.
DESCAPITALIZAÇÃO < ------------------------------------------------------------
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Se você tem daqui a 4 meses um valor de R$ 12,63, e a taxa mensal é de 6% ao mês, esse 
valor representaria R$ 10,00 ao descapitalizar.
Desta forma tem-se, em um ambiente de juros compostos:
S = P (1 + i)n
S = 10 (1,06)4 = 12,625
Em que,
S = P (r)n
r = (1 + i) ------> FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
E, por consequência:
v = 1 / r ---------> FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO
Prêmio de Tarifa ou Comercial
O prêmio de tarifa ou comercial de uma operação de esperança matemática será apurado 
mediante a agregação do “carregamento ou sobrecarga” ao prêmio puro (matemático). 
O carregamento tem por objetivo financiar as despesas decorrentes (agenciamento, 
corretagem, lançamento, administrativas, impostos e o lucro da operação). Pode-se 
encontrar o preço de venda ou comercial por intermédio dos seguintes métodos:
v = 1 / (1 + i)
• Método de Incidência do Carregamento sobre Preço de Custo
Onde:
E = Esperança matemática ou preço de custo
π = Preço Comercial 
C = Carregamento, expresso em $
β= Carregamento, expresso em %
Assim, tem-se: π = E + C
LEITURAOBRIGATÓRIA
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Sendo, C = E x β (incidente sobre o preço de custo)
Substituindo na equação: π = E + (E x β)
E finalmente: π = E + (1 + β)
• Método de Incidência do Carregamento sobre Preço de Venda
Sabe-se que: π = E + C
Onde: π = E x β (incidente sobre o preço de custo)
Substituindo na equação: π = E + (π + β)
E = π - (π + β)
E = π x (π - β)
Assim tem-se: π = E 
 
(1 - β)
Tábua de Mortalidade
A tábua de mortalidade, também chamada de tábua de vida, é um instrumento ou esquema 
teórico que permite calcular as probabilidades de vida e morte de uma população em 
função da sua idade (ORTEGA, 1987). Este instrumento é que dá sustentação a qualquer 
produto seja da área de Previdência ou da área de Vida. A Tábua de Mortalidade revela a 
quantidade de pessoas vivas anualmente em cada idade, ou seja, trata-se de uma tábua 
determinada pelas taxas estatísticas da mortalidade ou de sobrevivência (AZEVEDO, 
2008), e constitui a base de um modelo de população estacionária, sendo comumente 
utilizado por demógrafos, atuários e outros investigadores em uma grande variedade de 
problemas e questões relacionadas com a durabilidade da vida humana.
Normalmente, é apresentada em forma de tabela, na qual se registra a cada ano, 
partindo-se de um grupo inicial de pessoas com mesma idade, o número daquelas 
que vão atingindo as diferentes idades, até a extinção total do grupo inicial observado. 
Para que uma tábua apresente dados confiáveis, os indivíduos observados devem 
conviver em um mesmo espaço geográfico e possuir as mesmas condições de vida, 
durante a sua elaboração. Tais premissas devem ser consideradas, uma vez que 
LEITURAOBRIGATÓRIA
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LEITURAOBRIGATÓRIA
não tem sentido comparar probabilidades de sobrevivência entre indivíduos que não 
apresentam as mesmas condições de sobrevivência.
Ressalta-se que o cenário proposto por uma tábua é estacionário, ou seja, não se 
registram nascimentos nem outras formas de entrada de novos indivíduos. Assim, são 
registrados apenas os óbitos de indivíduos pertencentes ao grupo inicial. A primeira tábua 
de mortalidade construída sobre princípios realmente científicos foi, conforme já citado, a 
BreslawTable, elaborada por Edmund Halley em 1693.
Vida Média Completa
A Vida Média Completa para uma determinada idade indica a quantidade de anos, em 
média, que vive cada componente de um determinado grupo. É também conhecido como 
“esperança completa de vida” ou “expectativa completa de vida”. O número de anos vividos 
pelos mortos entre duas idades consecutivas pode ser representado por: (lx – lx+1)/2.
É possível calcular a vida média de uma pessoa de “x” anos da seguinte forma:
Tábuas de ComutaçãoAs tábuas de comutação são formuladas em função de lx e dx provenientes das tábuas de 
mortalidade, e por um fator de descapitalização , , ,conhecido como vx, apoiado em 
uma taxa de juros (i) (AZEVEDO, 2008). Os símbolos de comutação representam 
algumas relações matemáticas que ajudam a simplificar o cálculo de diversas operações 
atuariais relacionadas aos seguros de vida, mais precisamente na avaliação de prêmios, 
anuidades contingentes e reservas matemáticas. As funções de sobrevivência são 
representadas em Dx, Nx, e Sx e as funções de morte representadas com Cx, Mx, e Rx. 
As expressões matemáticas são apresentadas a seguir (AZEVEDO, 2008):
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LEITURAOBRIGATÓRIA
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LINKSIMPORTANTES
Quer saber mais sobre o assunto? 
Então:
Sites
Leia o artigo O Desenvolvimento da Atuária no Brasil e Seus Reflexos nas Últimas Duas 
Décadas, de Fernanda Chaves. 
Disponível em: <http://cadernosdeseguro.funenseg.org.br/secao.
php?e=33&s=artigo&m=537>. Acesso em: 02/01/2014. 
Consulte também as seguintes bibliografias: 
Assista ao vídeo Revisão sobre Tábuas de Mortalidade Geral. 
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=8D-SYOswWPg>. Acesso em: 
02/01/2014. 
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Instruções: 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão 
você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente 
os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto 
e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema.
Questão 1:
Explique de forma sucinta o que é Vida Mé-
dia Completa. Exemplifique.
Questão 2:
Qual a probabilidade, pela Tábua CSO-58, 
de uma pessoa com 25 anos falecer antes 
de atingir a idade 70?
Questão 3:
Utilizando a Tábua CSO-58, a probabili-
dade de uma pessoa com 40 anos chegar 
com vida aos 65 anos é de:
a) 61,325%
b) 73,588%
c) 83,222%
d) 63,125%
e) 75,388%
Questão 4:
Qual a probabilidade de uma pessoa com 
35 anos falecer com 36 anos (utilizar a Tá-
bua CSO-58)?
Questão 5:
A probabilidade de uma pessoa com 50 
anos falecer entre as idades 65 e 85 (utili-
zar a Tábua CSO-58) é:
a) 52,353%
b) 55,785%
AGORAÉASUAVEZ
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c) 62,645%
d) 65,238%
e) Nenhuma das alternativas. 
Questão 6:
Uma empresa tem a seguinte distribuição 
etária do seu quadro de funcionários:
Utilizando os dados acima e a Tábua CSO-
58 responda as questões 6 e 7:
a) Quantos funcionários, provavelmente, 
irão falecer ao longo deste ano?
b) Quantos funcionários, provavelmente, 
ainda estarão vivos no próximo ano?
Questão 7:
a) Quantos funcionários, provavelmente, 
irão falecer antes dos 55 anos de idade?
b) Quantos funcionários, provavelmente, 
sobreviverão 30 anos?
c) Quantos funcionários, provavelmente, 
chegarão com vida aos 65 anos de idade.
Questão 8:
Uma extração lotérica oferece como pre-
miação o valor de $ 20.000,00. Serão co-
locados à venda 1.000 bilhetes. A taxa de 
juros será de 4% ao mês e serão comer-
cializados, na data zero, todos os bilhetes 
colocados à venda e ainda que os bilhetes 
sejam numerados sequencialmente e sem 
repetição. O sorteio e entrega do prêmio 
ocorrerá daqui a 3 meses e será premiado 
apenas um bilhete. Além disso, a lotérica 
utiliza um carregamento de 30% para co-
brir seus gastos administrativos e impostos 
que deverá incidir sobre o preço de venda 
de cada bilhete. Considerando todos os da-
dos, calcule o preço de comercialização de 
cada bilhete.
Questão 9:
Uma raspadinha oferece as seguintes pre-
miações em uma determinada série: 1 (um) 
carro no valor de $ 50.000,00, 10 (dez) te-
levisores no valor de $ 1.000,00 cada e 
1.000 canetas no valor de $ 10,00 cada. 
Sabe-se que a administradora da raspadi-
nha pretende comercializar, na série, 7.000 
bilhetes. Sabe-se, também, que o sorteio 
será efetuado 1 ano após a venda das ras-
padinhas. Responda:
AGORAÉASUAVEZ
Idade 
Atual 
Nº de 
Empregados
20 1.000
30 2.000
40 1.500
50 500
Total 5.000
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AGORAÉASUAVEZ
a) Qual seria o preço unitário de venda 
da raspadinha, na eventualidade da 
administradora aplicar uma sobrecarga 
ou carregamento de 30% sobre o preço 
de venda e trabalhar com uma taxa de 
juros de 12% ao ano?
b) Qual seria o preço unitário de venda 
da raspadinha, na eventualidade da 
administradora aplicar uma sobrecarga 
ou carregamento de 50% sobre o preço 
de custo trabalhar com uma taxa de juros 
de 6% ao ano?
Questão 10:
Uma extração lotérica apresenta como pre-
miação:
- Um automóvel no valor de $ 10.000,00.
- Dez televisores no valor de $ 400,00 cada.
- Vinte rádios no valor de $ 80,00 cada.
A instituição administradora da extração 
acrescenta ao preço de cada bilhete uma 
margem para atender as despesas de lan-
çamento e o lucro, sendo 40% o montan-
te das despesas e 10% o montante dos 
lucros. O número de bilhetes a serem co-
mercializados é de 5.000. O sorteio deverá 
será daqui a um ano (utilize uma taxa de 
juros de 10% a.a.). Pergunta-se:
a) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? 
(aplicado o carregamento sobre o preço 
de custo).
b) Qual o preço a ser cobrado por bilhete? 
(aplicado o carregamento sobre o preço 
de venda).
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Neste tema você pôde conhecer melhor os cálculos utilizados no ramo de seguros, como 
calcular os riscos cobertos para os diversos tipos de seguro existentes, bem como calcular 
os carregamentos e percentuais para cobertura de despesas e impostos na contratação de 
seguros. 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar 
sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
AZEVEDO, G. H. Seguros, matemática atuarial e financeira. São Paulo: Saraiva, 2008.
FERREIRA, P. P. Modelos de precificação e ruína para seguros de curto prazo. Rio de 
Janeiro: Funenseg, 2002.
FERREIRA, W. J. Coleção introdução à ciência atuarial. Rio de Janeiro: IRB, 1985.
MENDES, J. A. Seguros Multirriscos. Rio de Janeiro: Funenseg, 2006.
ORTEGA, A. Tablas de mortalidad. San José: Celade, 1987.
SOUZA, S. Seguros: contabilidade, atuária e auditoria. São Paulo: Saraiva, 2002.
FINALIZANDO
REFERÊNCIAS
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GABARITO
Esperança Matemática: produto da quantia que um jogador aposta pela respectiva 
probabilidade de ganho.
Prêmio: é o custo pago à companhia de seguros por um segurado para que esta assuma 
a responsabilidade de determinado risco. O cálculo é feito com base no prazo do seguro, 
importância segurada e exposição ao risco.
Prêmio puro: é uma resultante do prêmio de risco, onde é agregado uma margem ou 
carregamento técnico de segurança para cobrir possíveis flutuações estatísticas do risco 
(FERREIRA, 2002).
Tábua de Mortalidade: também chamada de tábua de vida, é um instrumento ou esquema 
teórico que permite calcular as probabilidades de vida e morte de uma população, em 
função da sua idade (ORTEGA, 1987).
Questão 1
Resposta: Representa o número de anos que, em média, sobrevive um indivíduo de idade 
x até o final de sua vida.
Questão 2
Resposta: 0,41602%.
GLOSSÁRIO
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Questão 3
Resposta: Alternativa “B”.
Questão 4
Resposta: 0,00263%.
Questão 5
Resposta: Alternativa “C”.
Questão 6
Resposta: 
a) 15,51 
b) 4.986
Questão 7
Resposta: 
a) 553 
b) 3.589 
c) 3.631
Questão 8
Resposta: $ 25,40. 
Questão 9
Resposta: 
a) $ 12,76 
b) $ 14,15
Questão 10
Resposta: E = $ 2,84
a) Preço comercial do bilhete (carregamento sobre o preço de custo) = $ 4,25
b) Preço comercial do bilhete (carregamento sobre o preço de venda) = $ 5,67
GABARITO