Calculo numérico_Aulas e exerxícios

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CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
A disciplina Cálculo Numérico tem por objetivo a resolução de problemas 
cuja solução analítica é impossível ou complexa demais para ser obtida! 
Alguns exemplos são: 
a) 
xxyesen
dx
yd
ln)(
2
4
4








 
Esta equação diferencial ordinária é classificada como uma equação de 
ordem 4, grau 2 e não linear. Existem não linearidades no argumento da 
função seno e na própria quarta derivada. Certamente, não existe um 
método analítico para a obtenção desta solução ou se existe deve ser muito 
complexo. 
b) 

3
2
5sec xdx
é um outro cuja solução é relativamente complicada 
Nestes casos podemos utilizar as técnicas de Cálculo Numérico para a 
solução de problemas. 
Para a consulta de referências deste curso: 
a) Cálculo Numérico com aspectos Teóricos e Computacionais. 
Márcia Ruggiero 
Vera Lúcia Lopes 
 
b) Métodos Numéricos 
Peter Stark 
c) Material do Prof em pdf. 
Em termos de avaliação serão aplicadas duas provas ao final de cada 
bimestre letivo. 
Usaremos planilhas (Libreoffice), MatLab (Scilab), Geogebra, Graphmatic, 
Winplot. 
 
 
Capítulo 1 
ESTUDO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
Muitos fenômenos apresentam informações sequências!. Em Matemática 
estudamos o conceito de sequência, que são informações que se sucedem 
sob uma certa lei de formação. 
 
Iniciaremos este estudo por uma sequência numérica dada por: 
0,6;0,06;0,006;... Temos uma sequência infinitas. 
Podemos operar aritmeticamente sobre uma sequência obtendo uma série 
de termos. 
0,6+0,06+0,006+...=0,666...=2/3 
Temos neste exemplo uma série convergente! 
Um outro exemplo: 
1+2+3+4+5+... temos uma série divergente. 
Definição: Uma série é dita convergente quando ela apresenta soma 
parcial tendendo a um valor limite. Matematicamente, temos: 
Lna
n


lim
, onde 
na
representa o termo geral da série. 
Exemplo 1) Utilizando uma planilha determine se a série dada por 
0,6+0,06+0,006+... converge ou diverge. 
Iteração valor do termo soma parcial 
0 0,60000 0,60000 
1 0,06000 0,66000 
2 0,00600 0,66600 
3 0,00060 0,66660 
4 0,00006 0,66666 
5 0,00001 0,66667 
6 0,00000 0,66667 
7 0,00000 0,66667 
8 0,00000 0,66667 
9 0,00000 0,66667 
 
a série converge pois apresenta soma parcial 
tendendo a um valor limite. 
 
 
Iteração valor do termo soma parcial 
0 1,00000 1,00000 
1 -1,00000 0,00000 
2 1,00000 1,00000 
3 -1,00000 0,00000 
4 1,00000 1,00000 
5 -1,00000 0,00000 
6 1,00000 1,00000 
7 -1,00000 0,00000 
8 1,00000 1,00000 
9 -1,00000 0,00000 
 
a série diverge pois não apresenta soma parcial 
tendendo a um valor limite. 
E diverge oscilando em sua soma parcial. 
 
Exemplo 3) Utilizando um programa gráfico verifique o comportamento dos 
termos da sequência 1,-1,1,-1,1... 
 
Arquivo aula1graf1 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar 
a soma dos n primeiros termos da série 
0,6+0,06+0,006+ 
 
% nome do aluno 
% programa para determinar a soma 
% dos n primeiros termos da série 
% 0,6+0,06+0,006+... 
% a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado 
n=input(' entre com o número de termos '); 
% a próxima inicializa uma variável acumulativa 
fprintf('iteraçao valor do termo soma \n'); 
soma=0; 
for i=0:n 
 valor_do_termo= 0.6/10^i; 
 soma=soma+valor_do_termo; 
 fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma) 
end 
 
Exemplo 5) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar 
a soma dos n primeiros termos da série 
1-1+1-1+1-1+... 
 
% nome do aluno 
% programa para determinar a soma 
% dos n primeiros termos da série 
% 1-1+1-1+... 
% a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado 
n=input(' entre com o número de termos '); 
% a próxima inicializa uma variável acumulativa 
fprintf('iteraçao valor do termo soma \n'); 
soma=0; 
for i=0:n 
 valor_do_termo= (-1)^i; 
 soma=soma+valor_do_termo; 
 fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma) 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
CRITÉRIOS DE PARADA 
 
Todo Método Numérico exige algum critério de parada. 
Podemos utilizar dois critérios: 
a) Erro absoluto: 
 
 
epsValor
ValorE


 AnteriorValor-posterior 
o Aproximad Valor- Exato 
b) Erro relativo: 
 
eps
Valor
Valor
E


Posterior Valor
 AnteriorValor-posterior 
Exato Valor
o Aproximad Valor- Exato 
 
eps representa a precisão requerida de determinado método! 
 
Exemplo 1) Através de uma planilha verifique a convergência ou divergência de 
uma série, inclusive relacionando o erro relativo cometido. 




1
1
n
n
n 
Arquivo aula2plan1 
 
iteração 
valor do 
termo 
soma 
parcial 
erro 
1 2,00000 2,00000 
4,29E-
01 
2 1,50000 3,50000 
2,76E-
01 
3 1,33333 4,83333 
2,05E-
01 
4 1,25000 6,08333 
1,65E-
01 
5 1,20000 7,28333 
1,38E-
01 
 
6 1,16667 8,45000 
1,19E-
01 
7 1,14286 9,59286 
1,05E-
01 
8 1,12500 10,71786 
9,39E-
02 
9 1,11111 11,82897 
8,51E-
02 
10 1,10000 12,92897 
 
a série diverge pois não apresenta soma 
parcial tendendo 
 
a um valor limite 
 
 
Atividade para casa: Determine a soma parcial da série, de tal modo que o 
erro relativo cometido seja <=0,0001 





1
52
n
n
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
 
TEOREMAS SOBRE SÉRIES 
 
No estudo de convergência de séries podemos ter uma abordagem 
numérica (planilhas e programas), uma abordagem gráfica e a abordagem 
algébrica ou analítica. Esta última é feita por Teoremas. 
Não é o objetivo da disciplina a demonstração de Teoremas e sim a 
aplicação dos métodos numéricos. 
 
1) TEOREMA DAS SÉRIES ALTERNADAS 
Uma série alternada é uma série que se apresenta na forma: 
  ...1...321  na
naaaoa
 
Lembrando que as séries que iremos trabalhar são infinitas. 
Uma série alternada converge se e somente se duas condições forem 
satisfeitas: 
a) 
0lim 

na
n
 
b) 
nana 1
 
 
Exemplo 2) Utilizando Teoremas e planilha verifique se a série converge ou 
diverge. 
 



1
1
1
n
n
n
 
 
O Teorema da série alternada preocupa-se com a convergência absoluta 
da série. 
Em Cálculo estuda-se que se uma série converge absolutamente ela 
converge de qualquer forma. 
Para o Teorema e não planilhas e programas: 
n
na
1

 
a) 
0
1
limlim 


 nn
na
n
(satisfeita) 
b) 
nana 1
 
  
  0
2
1
'
1
)(



x
xf
x
xf
nfna
 
(satisfeita) 
Visto que as duas condições foram satisfeitas a série converge!. 
Vamos na sequência analisar numericamente a convergência desta série. 
Arquivo aula2plan2 
iteração valor do termo soma parcial 
1 -1,00000 -1,00000 
2 0,50000 -0,50000 
3 -0,33333 -0,83333 
4 0,25000 -0,58333 
5 -0,20000 -0,78333 
6 0,16667 -0,61667 
7 -0,14286 -0,75952 
8 0,12500 -0,63452 
9 -0,11111 -0,74563 
10 0,10000 -0,64563 
11 -0,09091 -0,73654 
12 0,08333 -0,65321 
13 -0,07692 -0,73013 
 
a série converge pois apresenta somaparcial 
 
tendendo a um valor limite. 
Entretanto, converge lentamente. 
 
2) TESTE DA INTEGRAL 
 
Este teste pode ser usado quando a série é constituída de termos positivos 
e decrescentes. 
Este teste nos diz que: 
 
a) Se a integral 
 

1
dxxf
converge, a série converge 
b) Se a integral 
 

1
dxxf
diverge, a série diverge 
Veremos este teste através de um exemplo: 
 
Exemplo 3) Verifique se a série dada por 


2
ln
1
nn
converge ou diverge. 
Inicialmente, vamos verificar se a série é positiva: Simplesmente 
observando o comportamento da variável n, a série é positiva. 
Agora, vamos verificar se a série é de termos decrescentes: 
 
 
 
   
 
0
2ln
ln1
'
2ln
1ln
1
10ln
'
ln
1
)(
ln
1













xx
x
xf
xx
x
x
xxx
xf
xx
xf
nn
nfna
 
Concluímos que a série é constituída de termos positivos e decrescentes. 
 
 



2
ln
1
Idx
xx
 
Verifico que a integral I é uma integral imprópria, visto que um dos extremos 
é infinito. 
  




















2lnlnlnlnlim
2
lnlnlimlnlimlim
1
ln
2
ln
1
lim
A
A
A
x
A
u
Au
du
A
I
dx
x
du
xu
A
dx
xxA
I
 
 
A série diverge pois a integral também diverge. 
 
Analise a convergência ou divergência desta série escrevendo um 
programa em Matlab. 
Arquivo aula2prog1 
% nome do aluno 
% programa para somar os n termos da série 
% 1/(n*lnn) de 2 até infinito. 
% a próxima linha permite a entrada de um 
% valor via teclado 
n= input(' entre com o número de termos '); 
% a próxima cria uma variável acumulativa 
fprintf(' iteraçao valor do termo soma parcial \n'); 
soma=0; 
for i=2:n 
 valor_do_termo=1/(i*log(i)); 
 soma=soma+valor_do_termo; 
 fprintf(' %5d %15.5f %12.5f \n',i,valor_do_termo,soma); 
end 
 
 
A sequência do exercício pedirá a elaboração de uma planilha. 
Arquivo aula2plan3 
 
 
iteração valor do termo soma parcial 
2 0,72135 0,72135 
3 0,30341 1,02476 
4 0,18034 1,20510 
5 0,12427 1,32936 
6 0,09302 1,42238 
7 0,07341 1,49580 
8 0,06011 1,55591 
9 0,05057 1,60648 
10 0,04343 1,64991 
11 0,03791 1,68782 
12 0,03354 1,72136 
13 0,02999 1,75135 
14 0,02707 1,77841 
15 0,02462 1,80303 
16 0,02254 1,82557 
17 0,02076 1,84633 
 
a série diverge pois não apresenta soma parcial 
tendendo a um valor limite. 
 
 
3) Teste da Razão. 
 
O teste da razão indica que: 
a) Um série converge se 
11lim 
 na
na
n
 
b) Um série diverge se 
11lim 
 na
na
n
 
c) Se 
11lim 
 na
na
n
, nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste 
ou fazer a análise numérica via programas ou planilhas analisando a soma 
parcial. 
Este teste é um dos mais importantes pois é utilizado no estudo de séries 
de potências de x, em particular, as séries de Taylor e McLaurin. 
 
 
 
 
 
AULA 3 
Exemplo) Verifique se a série 


1
n!
n2
n
converge ou diverge aplicando o teste 
da razão. 
 
Obs: sempre que aparecer fatorial pode-se tentar o uso do teste da razão. 
A mesma tentativa pode também ser aplicada quando no termo geral 
aparece potência. 
a) Um série converge se 
11lim 
 na
na
n
 
b) Um série diverge se 
11lim 
 na
na
n
 
c) Se 
11lim 
 na
na
n
, nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste 
 
 !1n
1n2
1
n!
n2




na
na
 
   
   
10
1
21lim
1n
1
lim2
1
1
1n
1
lim2
1
! 
n!1n
1
lim2
2
! 
!1n
1n2
lim1lim
















na
na
n
nn
n
nn
n
nna
na
n
 
Pelo Teste da Razão, como 
11lim 
 na
na
n
 a série converge. 
 
Observação: Embora o teste da razão tenha aplicação na determinação de 
convergência de séries puramente numéricas, ele também pode ser 
aplicado em séries de potências de x. 
 
SÉRIES DE POTÊNCIAS DE x 
Estudaremos agora intervalos de convergências para séries que envolvam 
potências de x. 
Seja o exemplo) Determine o intervalo de convergência da série dada por: 


1n
! n
nx 
Sempre que estudarmos uma série que envolva potências de x, iniciamos 
o estudo do intervalo de convergência pelo Teste da Razão. 
11lim 
 na
na
n
 
 ! 1
1
1
! 




n
nx
na
n
nx
na
 
Aplicando o teste, teremos: 
 
 
 
10
1
1n
!1
lim
1
! 1n
! 
lim
1
nx
! 
! 1
1
lim1lim













x
n
x
n
n
n
x
n
n
nx
nna
na
n
 
O intervalo de convergência é o campo dos Reais. 
Na sequência deste exemplo iremos criar uma planilha que determina a 
soma parcial dos n primeiros termos para qualquer valor de x a ser lido na 
planilha. 
Arquivo aula3plan1 
 
iteração 
valor do 
termo 
soma 
parcial 
erro x= 
-
1 
1 -1,00000 -1,00000 1,00E+00 
2 0,50000 -0,50000 2,50E-01 
3 -0,16667 -0,66667 6,67E-02 
4 0,04167 -0,62500 1,32E-02 
5 -0,00833 -0,63333 2,20E-03 
6 0,00139 -0,63194 3,14E-04 
7 -0,00020 -0,63214 3,92E-05 
8 0,00002 -0,63212 4,36E-06 
9 0,00000 -0,63212 4,36E-07 
10 0,00000 -0,63212 3,96E-08 
11 0,00000 -0,63212 3,30E-09 
12 0,00000 -0,63212 
 
A série converge pois apresenta 
soma 
 
parcial tendendo a um valor limite 
 
 
SÉRIE DE TAYLOR E McLAURIN 
Na Engenharia, uma das séries mais importantes é a chamada série de Taylor, 
que nos permite o desenvolvimento ou expansão de uma função em termos de 
potências de x. 
A série de Taylor é dada por: 
     
 
 
 
 
 
 
 
...
! 
0...
! 3
3
0'"
! 2
2
0"
! 1
0' 








n
nxx
ox
nf
xx
oxf
xx
oxf
xx
oxfoxfxf
O ponto 
ox
é chamado de ponto de expansão ou desenvolvimento. 
O ponto x é chamado ponto de interesse. 
Quando 
0ox
a série de Taylor recebe o nome de série de McLaurin. 
Exemplo) Expanda a função 
  xexf 
 em uma série de McLaurin. 
0ox
 
 
   
 
 
 
  100
.
.
.
100"
"
10)0('
'
100






enf
ef
xexf
ef
xexf
efoxf
 
     












0
!
...
! 3
3
! 2
2
!1
1
!0
0
...
! 3
3
! 2
2
1
...
! 3
30
1
! 2
20
1
! 1
0
11
n
n
nxxe
xxxxxx
xxe
xxxxe
 
Vamos aplicar o teste da Razão para a determinação do intervalo de 
convergência. 
11lim 
 na
na
n
 
 !1
1
1
!




n
nx
na
n
nx
na
 
 
 
 
10
1
1
1
1
1
lim
1
1
!
!1
1
lim
1
!
!1
1
lim1lim













x
nn
x
n
nnn
x
nx
n
n
nx
nna
na
n
 
A série converge no campo dos reais. 
 
Vamos montar uma planilha! Determine o valor da 1e de tal forma que o erro 
cometido seja 
0001,0
. 
Arquivo aula3plan2 
 
iteração valor do termo soma parcial erro x= 1 
0 1,00000 1,00000 5,00E-01 
1 1,00000 2,00000 2,00E-012 0,50000 2,50000 6,25E-02 
3 0,16667 2,66667 1,54E-02 
4 0,04167 2,70833 3,07E-03 
5 0,00833 2,71667 5,11E-04 
6 0,00139 2,71806 7,30E-05 
7 0,00020 2,71825 
 
o valor aproximado 
da 
exponencia de 
x= 1 
é igual a 2,71825 
com erro<= 7,30E-05 
 
Utilizando o software Geogebra, plote a curva original, e as séries com 1,2,3 
termos. 
y=1+x+\frac{x^{2}}{2} para escrever 
2
2x no editor látex do Geogebra. 
 
 
Exemplo) Desenvolva a função 
   .xsenxf 
em série de McLauri. 
Determine o valor de 






2

sen
de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001. 
     
 
 
 
 
 
 
 
...
! 
0...
! 3
3
0'"
! 2
2
0"
! 1
0' 








n
nxx
ox
nf
xx
oxf
xx
oxf
xx
oxfoxfxf 
0ox
 
   
   
   
 
 
 
00)0(
)()(
10cos)0("'
cos"'
0)0("
)("
10cos'
cos'
000










senIVf
xsenxIVf
f
xxf
senof
xsenxf
oxf
xxf
senfoxf
xsenxf
 
     
...
!5
5
!3
3
...0
! 3
30
1
! 2
20
0
! 1
0
10








xx
xsenx
xxx
senx
 
 
 
 





0
!12
12
1
n
n
nxnsenx
 
Vamos determinar o intervalo de convergência. 
 
 
 
 
  ! 112
112
111
!12
12
1






n
nxn
na
n
nxn
na
 
 
 
  
 
 
 
 
 
    
1
!122232n
 !12
lim2
1
12
! 12
! 32n
32
lim
1
121
! 12
! 112
112
11lim
11lim





















nn
n
n
x
nx
nnx
n
nxn
n
n
nxn
n
na
na
n
 
   
102
1
61024
 1
lim2
1
2232n
 1
lim2





x
nnn
x
nn
x
 
O intervalo de convergência é x pertencente aos Reais. 
 
Vamos calcular 






2

sen
de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001. 
Arquivo aula3plan3 
 
iteração valor do termo soma parcial erro x= 1,5707963267949 
0 1,57080 1,57080 6,98E-01 
1 -0,64596 0,92483 7,93E-02 
2 0,07969 1,00452 4,68E-03 
3 -0,00468 0,99984 1,60E-04 
4 0,00016 1,00000 3,60E-06 
 
5 0,00000 1,00000 
 
 
 
o valor aproximado 
da 
exponencia de 
x= 1,57080 
é igual a 1,00000 
com erro<= 3,60E-06 
 
 
Atividade para casa 1): Utilizando série de McLaurin determine o valor de cos(3,5) 
de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. 
Atividade para casa 2): Utilizando série de Taylor determine o valor de ln(3,5) de 
tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. 
Atividade para casa 3): Elabore um programa em Linguagem MatLab para as 
atividades 1 e 2. O programa deve ler o número de iterações, o valor do argumento 
e “printar” em tabela formatada as colunas iteração, valor do termo, soma parcial 
e erro relativo. 
 
Dúvidas: 
1) Sempre pelo face 
2) não resolvendo pelo face, marcamos horário 
3) teamviewer 11 (bom para dúvidas, reuniões online) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
CÁLCULO NUMÉRICO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA 
PROF OSWALDO COBRA 
TURMA quinta-feira 
CAPÍTULO II 
RAÍZES OU ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 
 
Equações transcendentes são aquelas que envolvem funções 
exponenciais, logarítmicas e ou trigonométricas, paras as quais 
eventualmente não existem fórmulas para a determinação de suas raízes 
ou zeros. Portanto, estaremos interessados na resolução de problemas do 
tipo 
  0xf
. 
Estudaremos dois métodos: 
a) Método da Bissecção 
b) Método de Newton-Raphson (N-R) 
O primeiro método vamos classificar, neste curso, como um método 
acadêmico. O segundo realmente como um método prático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Este método é baseado no Teorema: 
Seja uma função 
 xf
 que possui uma única raiz no intervalo 
],[ ba
. É 
condição suficiente para a existência desta raiz que 
    0 bfaf
. 
O método da bissecção tem por base a divisão sucessiva do intervalo que 
contenha a raiz pela metade de sua amplitude. 
Possui a seguinte interpretação Geométrica: 
Geo1aula4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeira iteração: 
Supõe que 
    0 bfaf
existe uma raiz no intervalo 
 ba,
 
2
ba
ox


 
Se 
    00  xfaf
 
A Raiz se encontra no intervalo 
 oxa,
. 
Então: 
oxb
aa

 
Senão raiz pertencente ao intervalo 
 box ,
 
bb
oxa


 
Segunda iteração 
2
1
ba
x


 
Se 
    01  xfaf
 a raiz está no intervalo 
 1, xa
 
1xb
aa

 
Senão 
 
bb
xa
bx

 1
,1
 
Faremos n iterações até que um determinado critério de parada seja 
atingido. 
Estabeleceremos o seguinte critério: 



1
1
nx
nxnx
 
Onde 

 é a precisão requerida do método. 
 
 
Exemplo 1) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma 
planilha a raiz de 
  33
2
xxxexf 
contida no intervalo  2;6,0 de tal 
forma que o erro cometido seja 310 . 
Vamos plotar esta função no MatLab. 
>> x= 0.4:0.1:2.1; 
>> y=exp(x.^2)-3*x+x.^3; 
>> plot(x,y) 
>> grid 
>> 
 
 
 
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 
0 0,60000 2,00000 1,30000 
-
0,15067 
56,59815 3,71648 
3,68E-
01 
1 0,60000 1,30000 0,95000 
-
0,15067 
3,71648 0,47313 
2,26E-
01 
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
 
2 0,60000 0,95000 0,77500 
-
0,15067 
0,47313 
-
0,03626 
1,01E-
01 
3 0,77500 0,95000 0,86250 
-
0,03626 
0,47313 0,15826 
5,34E-
02 
4 0,77500 0,86250 0,81875 
-
0,03626 
0,15826 0,04752 
2,75E-
02 
5 0,77500 0,81875 0,79688 
-
0,03626 
0,04752 0,00244 
1,39E-
02 
6 0,77500 0,79688 0,78594 
-
0,03626 
0,00244 
-
0,01769 
6,91E-
03 
7 0,78594 0,79688 0,79141 
-
0,01769 
0,00244 
-
0,00782 
3,44E-
03 
8 0,79141 0,79688 0,79414 
-
0,00782 
0,00244 
-
0,00274 
1,72E-
03 
9 0,79414 0,79688 0,79551 
-
0,00274 
0,00244 
-
0,00016 
8,59E-
04 
10 0,79551 0,79688 0,79619 
 
a raiz 
aproximada 
vale 
 0,79619 
 
com erro<= 
8,59E-
04 
 
 
 
Exemplo 2) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma planilha 
a raiz de 
    xxsenxf 323 
contida no intervalo 
 2,0
 de tal forma que o erro 
cometido seja 310 . 
Gráfico será feito no Geogebra 
Função[ 3*sen(x-2)+3*x, 0, 2] 
 
 
 
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 
0 0,00000 2,00000 1,00000 
-
2,72789 
6,00000 0,47559 1,00E+00 
1 0,00000 1,00000 0,50000 
-
2,72789 
0,47559 
-
1,49248 
3,33E-01 
2 0,50000 1,00000 0,75000 
-
1,49248 
0,47559 
-
0,59695 
1,43E-01 
3 0,75000 1,00000 0,87500 
-
0,59695 
0,47559 
-
0,08180 
6,67E-02 
4 0,87500 1,00000 0,93750 
-
0,08180 
0,47559 0,19178 3,45E-02 
5 0,87500 0,93750 0,90625 
-
0,08180 
0,19178 0,05369 1,75E-02 
6 0,87500 0,90625 0,89063 
-
0,08180 
0,05369 
-
0,01439 
8,70E-03 
7 0,890630,90625 0,89844 
-
0,01439 
0,05369 0,01957 4,37E-03 
8 0,89063 0,89844 0,89453 
-
0,01439 
0,01957 0,00257 2,19E-03 
9 0,89063 0,89453 0,89258 
-
0,01439 
0,00257 
-
0,00591 
1,09E-03 
10 0,89258 0,89453 0,89355 
-
0,00591 
0,00257 
-
0,00167 
5,46E-04 
11 0,89355 0,89453 0,89404 
a raiz 
aproximada 
vale 
 0,89404 
 
 
com erro<= 
5,46E-
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R) 
 
Este método também é conhecido como método das tangentes. Possui a 
seguinte interpretação geométrica: 
 
Figura no arquivo pdf. 
 
 
 
 
 
 
 
 oxf
oxf
oxx
oxf
xox
oxf
oxf
xox
oxftg
'
1
'
1
'
1






 
Para o segundo triângulo retângulo projetado teríamos: 
 
 1'
1
12
xf
xf
xx 
 
Para n triângulos: 
 
 nxf
nxf
nxnx
'
1 
 
Esta fórmula é conhecida como Método de Newton-Raphson 
 
Exemplo 3) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de 
uma planilha a raiz de   332 xxxexf  com 1ox , de tal forma que 
o erro cometido seja 310 . 
  233
2
2' xxxexf 
 
 
iteração xanterior função derivada xposterior erro 
0 1,00000 0,71828 5,43656 0,86788 1,52E-01 
1 0,86788 0,17388 2,94608 0,80886 7,30E-02 
2 0,80886 0,02633 2,07478 0,79617 1,59E-02 
3 0,79617 0,00109 1,90310 0,79560 7,23E-04 
4 0,79560 
 
a raiz vale aproximadamente 0,79560 
 
com erro<= 7,23E-04 
 
Exemplo 4) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de uma 
planilha a raiz de 
    xxsenxf 323 
contida com xo=1 de tal forma que o 
erro cometido seja 310 . 
    32cos3'  xxf
 
iteração xanterior função derivada xposterior erro 
0 1,00000 0,47559 4,62091 0,89708 1,15E-01 
1 0,89708 0,01365 4,35297 0,89394 3,51E-03 
2 0,89394 0,00001 4,34457 0,89394 3,39E-06 
3 0,89394 
 
 
a raiz vale aproximadamente 0,89394 
 
com erro<= 3,39E-06 
 
 
 
 
AULA DE EXERCÍCIOS 
Questão 1) Determine pelo método da bissecção da menor raiz positiva de 
22cos2
2
3





x
x
x
 de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 
0,001. 
Reescrevendo a função, teremos: 
0
22cos2
2
3
)( 





x
x
xxf
 
>> x=0.1:0.1:2; 
>> y=x.^(-1.5)+x./(2-cos(x.^2))-pi/2; 
>> plot(x,y) 
>> grid 
>> 
 
Refinando pela Planilha, teremos: 
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
 
0 0,60000 2,00000 1,30000 1,14472 
-
0,46356 
-
0,28262 
3,68E-
01 
1 0,60000 1,30000 0,95000 1,14472 
-
0,28262 
0,19741 
1,56E-
01 
2 0,95000 1,30000 1,12500 0,19741 
-
0,28262 
-
0,07080 
8,43E-
02 
3 0,95000 1,12500 1,03750 0,19741 
-
0,07080 
0,05558 
4,05E-
02 
4 1,03750 1,12500 1,08125 0,05558 
-
0,07080 
-
0,00938 
2,06E-
02 
5 1,03750 1,08125 1,05938 0,05558 
-
0,00938 
0,02265 
1,02E-
02 
6 1,05938 1,08125 1,07031 0,02265 
-
0,00938 
0,00652 
5,08E-
03 
7 1,07031 1,08125 1,07578 0,00652 
-
0,00938 
-
0,00145 
2,55E-
03 
8 1,07031 1,07578 1,07305 0,00652 
-
0,00145 
0,00253 
1,27E-
03 
9 1,07305 1,07578 1,07441 0,00253 
-
0,00145 
0,00054 
6,36E-
04 
10 1,07441 1,07578 1,07510 
 
a raiz 
aproximada vale 
 1,07510 
 
com erro<= 
6,36E-
04 
 
 
Podem acessar como montar a planilha do Método da Bissecção em: 
https://www.youtube.com/watch?v=oGcROBR6FfI&t=205s 
 
Questão 2) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a menor raiz 
positiva de 
05)ln(736  xx
 de tal forma que o erro cometido seja menor ou 
igual a 0,0001. 
O método de Newton-Raphson segue a seguinte fórmula: 
 
 
 nxf
nxf
nxnx
'
1 
 
 
A derivada é dada por: 
x
xxf
7218)(' 
 
O gráfico será criado no MatLab. 
 
>> x=0.1:0.1:2; 
>> y=6*x.^3+7*log(x)+5; 
>> plot(x,y) 
>> grid 
 
 
Pelo gráfico, vamos utilizar xo=0,2 
Na planilha, teremos: 
iteração xanterior função derivada xposterior erro 
0 0,20000 -6,21807 35,72000 0,37408 4,65E-01 
1 0,37408 -1,56896 21,23149 0,44798 1,65E-01 
2 0,44798 -0,08171 19,23813 0,45222 9,39E-03 
3 0,45222 -0,00017 19,16019 0,45223 1,92E-05 
4 0,45223 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
 
 
a raiz aproximada vale 0,45223 
 
com erro<= 1,92E-05 
 
 
 
 
Questão 3) Utilizando McLaurin, determine o valor de 
1
0
xsenxdx , de tal forma 
que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001. 
 
Sabemos que a série do seno de McLaurin é dada por: 
 
...
!5
5
!3
3

xx
xsenx 
 
   
























0
!1232
1
.1...
!5.7
1
!3.5
1
!1.3
1
1
0
...
!5.7
1
!3.5
1
!1.3
1
1
0
...
!5.7
7
!3.5
5
!1.3
3
...
!5
6
!3
4
2
1
0
1
0
n
nn
nxsenxdx
xxx
dx
xx
xxsenxdx
 
iteração valor do termo soma parcial erro 
0 0,33333 0,33333 1,11E-01 
1 -0,03333 0,30000 3,95E-03 
2 0,00119 0,30119 7,32E-05 
3 -0,00002 0,30117 
 
 
a integral vale aproximadamente 0,30117 
 
com erro<= 7,32E-05 
 
No Geogebra: 
Y=x*sen(x) 
Integral[f, 0, 1] 
Resultado=0,30117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6 
MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO 
 
Devemos aplicar métodos de interpolação quando possuímos uma tabela de 
dados e desejamos determinar um valor que não consta desta Tabela. 
Embora, possamos interpolar por diversas funções matemáticas, neste curso, 
estaremos interessados na interpolação polinomial. 
Existem diversos métodos de interpolação polinomial. 
Estudaremos: 
a) interpolação polinomial por sistemas lineares 
b) Interpolação polinomial unidimensional e bidimensional usando MATLAB 
c) interpolação linear por semelhança de triângulos 
d) Método de Newton-Gregory 
e) Polinômio Interpolador de Lagrange 
Devemos realçar que em pontos experimentais não devemos utilizar métodos de 
interpolação, como veremos no curso, visto que estes métodos podem conter 
erros. Em pontos provenientes de laboratório, devemos usar métodos que 
minimizam possíveis erros, como por exemplo mínimos quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES 
Seja a Figura dada por: 
 
 
Vamos supor que tenhamos uma tabela de dados da forma: 
Variável independente Variável dependente 
 xo yo 
 x1 y1 
Como possuímos dois pontos tabelados, vamos aproximar esta tabela por uma 
reta ou por um polinômio de grau 1 da forma 
xaoaxP 1)(1 
. 
Vamos que desejamos calcular qual seria o valor de y para um x no domínio da 
tabela. Nos pontos interpolados, como a figura apresenta, temos que: 
 xfxP )(1
 
Lembrando que a função geradora da tabela é desconhecida. 
Podemos então montar um sistema de equações para os pontos interpolados. 
 
 




111
01
xfxaoa
oxfxaoa 
Vamos observar que o sistema se apresenta na forma algébrica. 
Na forma matricial,este sistema linear ficaria como: 

 
 

B
resultados
dos
matriz
xf
oxf
R
incógnitas
das
matriz
a
a
A
scoefciente
dos
matriz
x
ox























11
0
11
1
 
 
Na resolução dos sistemas lineares, usaremos uma ferramenta ou comando do 
Matlab: 
R = A\B 
Este comando resolve por fatoração LU o sistema linear. Não entraremos na teoria 
de resolução de sistema linear, aplicaremos o método de resolução pelo Matlab. 
Nosso interesse estará na interpretação e cálculo dos resultados. 
Exemplo 1) Seja a tabela de dados 
X Y 
1,2 2,4 
4,4 5,5 
Desejamos determinar um polinômio de grau 1 que interpole esta tabela. 
Inicialmente, vamos plotar os pontos da Tabela. 
Usaremos o Matlab. 
Utilizaremos interpolação linear. 





5,514,4
4,212,1
aoa
aoa . Este sistema se apresenta na forma algébrica. 
Vamos converter o sistema para a forma matricial: 
 
B
resultados
dos
matriz
R
incógnitas
das
matriz
a
oa
A
scoefciente
dos
matriz























5,5
4,2
14,41
2,11
 
 x=[1.2 4.4]; 
y=[2.4 5.5]; 
plot(x,y) 
A=[1 1.2; 1 4.4]; 
B=[2.4;5.5]; 
R=A\B 
R = 
1.2375 
 
 0.9688 
Vamos criar variáveis no Matlab: 
Aoor =R(1); 
a1=R(2); 
x1=1.2:0.1:4.4; 
>> P1=ao+a1*x1; 
>> plot(x1,P1) 
 
 
Determine por interpolação linear P1(3)=? 
P1=ao+a1*3 
P1 = 4.143750000000000 
 
Para a interpolação quadrática, teríamos o seguinte sistema linear: 











)2(
)1(
2
2221
2
1211
)(221
xf
xf
xaxaoa
xaxaoa
oxfoxaoxaoa
 
 
 
 
 
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
 
Exemplo 2) Dada a tabela, interpole um polinômio de grau 2. 
X Y 
1,2 2,4 
4,4 5,5 
5,5 7,8 
Para um polinômio de grau 2, teremos o seguinte sistema linear 
 
 
 










8,7
5,5
25,5215,5
24,4214,4
4,222,1212,1
aaoa
aaoa
aaoa
 
 A=[1 1.2 1.2^2; 1 4.4 4.4^2; 1 5.5 5.5^2]; 
B=[2.4;5.5;7.8]; 
R=A\B 
R = 
 2.615406976744188 
 -0.492666490486260 
 0.260967230443975 
 ao=R(1); 
a1=R(2); 
a2=R(3); 
x=[1.2 4.4 5.5]; 
y=[2.4 5.5 7.8]; 
plot(x,y) 
hold on 
>> x1=1.2:0.1:5.5; 
>> P2=ao+a1*x1+a2*x1.^2; 
>> plot(x1,P2) 
 
 
 
 
O Matlab possui algumas ferramentas ou comandos que nos permitem interpolar 
sem montar um sistema linear. Vejamos um exemplo. 
Exemplo 2) 
 
Tabela consta no pdf de aula 
 
 
>> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000]; 
>> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ... 
14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ... 
-8 -7 -2 2 7 9 11 12]; 
>> size(hz) 
 
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Interpolação Quadrática
 
 
dados tabelados
Polinômio Interpolador Quadrático
 
ans = 
 
 1 28 
 
>> size(nps) 
 
ans = 
 
 1 28 
 
>> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000]; 
>> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ... 
14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ... 
-8 -7 -2 2 7 9 11 12]; 
>> size(hz) 
 
ans = 
 
 1 28 
 
>> size(nps) 
 
ans = 
 
 1 28 
 
>> plot(hz,nps) 
>> semilogx(hz,nps) 
>> grid 
>> 
 
 
Com estas informações, vamos estimar por interpolação linear o nível de 
pressão do som em uma frequência de 2,5 kHz. 
s=interp1(hz,nps,2.5e3) 
 
s = -5.5000 
 
Exemplo 3) Na maior parte dos casos de interpolação em problemas de 
engenharia, temos uma função z como dependente de duas variáveis x e y. Ou 
seja z=f(x,y). Este tipo de problema é classificado como uma interpolação 
bidimensional, quando desejamos obter o valor de z. 
 
Tabela consta no arquivo pdf. 
10
1
10
2
10
3
10
4
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
 
 
 
mesh(x,y,z) 
 
 
 
0
1
2
3
4
0
2
4
6
60
80
100
120
140
 
Utilizando este dados podemos utilizar a função interp2 do MatLab 
Z=interp2(x,y,z,2.2,3.3) 
Z = 99.4800 metros 
Observação: no comando interp2, o Matlab aproxima a tabela por retas e não por 
parábolas. Ou seja, se o problema for bidimensional não significa 
necessariamente que o modelo matemático que vai aproximar o comportamento 
seja uma parábola. 
Veremos um exemplo de interpolação bidimensional, sem usar o Matlab, na 
sequência do curso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 7 
CONTINUAÇÃO MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO 
Iniciamos esta aula pelo Método da Interpolação linear por semelhança de 
triângulos. Vamos supor a seguinte Tabela de dados não experimentais. 
ox
 
oy
 
Entrada de um valor x Saída seria y? 
1x
 
1y
 
2x
 
2y
 
. 
. 
. 
 
. 
. 
. 
 
 
nx
 
ny
 
 
Observação: lembre-se que as tabelas utilizadas em métodos de interpolação não 
devem ser experimentais. Caso, façamos a opção de usarmos interpolação em 
dados experimentais, façamos em cima da média de valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos representar dois pontos desta Tabela em gráfico. 
 
 
Por semelhança de Triângulos teremos: 
oyy
oyy
oxx
oxx





11
 
Exemplo 1) Seja a Tabela dada por: 
1,2 1,34 
x=1,7 Saída seria y? 
2,4 2,56 
3,7 4,8 
Por interpolação linear e usando semelhança de triângulos determine y (1,7). 
8483,1
34,156,2
34,1
2,14,2
2,17,1






y
y
 
 
y=((1.7-1.2)/(2.4-1.2))*(2.56-1.34)+1.34 
 
 
y = 1.8483 
 
Exemplo 2) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos uma certa 
química que depende de Temperatura e pressão: 
K=f(T,P) 
T (K) 
P (atm) 
T/P 3 atm 4 atm 5 atm 
30 1,23 2,57 3,78 
45 2,45 3,78 4,89 
60 3,67 4,78 6,12 
Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=35 K e 
a P=3,5 atm. 
Observação: como exercício use a função interp2 e depois compare os resultados 
com o procedimento de aula.. 
Para T= 30 K 
P K 
3 1,23 
3,5 K1 
4 2,57 
90000,11
23,157,2
23,11
34
35,3






k
k
 
Para T= 45 K 
P K 
3 2,45 
3,5 K2 
4 3,78 
 
115,32
45,278,3
45,22
34
35,3






k
k 
Para P= 3,5 atm 
T K 
30 1,9 
35 K3 
45 3,115 
 
No Matlab, teremos: 
3050,23
9,1115,3
9,13
3045
3035






k
k 
 x=[30 45 60]; 
y=[3 4 5]; 
z=[1.23 2.45 3.67 
2.57 3.78 4.78 
3.78 4.89 6.12] 
z = 1.2300 2.4500 3.6700 
 2.5700 3.7800 4.7800 
 3.7800 4.8900 6.1200 
interp2(x,y,z,35,3.5) 
ans = 2.3050 
 
Exemplo 3) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos a entalpia 
química que depende de Temperatura e pressão: 
h=f(T,P) 
T (K) 
P(atm) 
T/P 3 atm 4 atm 5 atm 
35 1,235 2,571 3,783 
49 2,455 3,782 4,894 
65 3,672 4,781 6,128 
Para casa! 
Resposta no pdf. 
Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=38 K e 
a P=3,5 atm. 
Observação: construa 3 tabelas unidimensionais. 
 
Pelo interp2, podemos comparar a resposta da solução das 3 semelhanças.x=[35 49 65]; 
 y=[3 4 5]; 
z=[1.235 2.455 3.672 
 
2.571 3.782 4.781 
3.783 4.894 6.128] 
 
z = 1.2350 2.4550 3.6720 
 2.5710 3.7820 4.7810 
 3.7830 4.8940 6.1280 
 
 interp2(x,y,z,38,3.5) 
ans = 2.1635 
 
Polinômio Interpolador de Newton-Gregory 
 
Seja uma tabela de dados com pontos igualmente espaçados na variável x. 
Este método, utiliza a seguinte série para a determinação do polinômio 
interpolador: 
 
Para obtermos polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton-Gregory, 
teremos que truncar a formula em certa ordem. 
Por exemplo, para uma interpolação linear, a fórmula de Newton-Gregory seria: 
       
h
oxf
oxxoxfxP

1
 
Nesta fórmula, h representa o passo ou incremento na variável x e deve ser 
constante. 
Na fórmula N-G, temos o operador 

, aqui chamado operador diferenças 
ordinárias avançadas. 
 
 
 
 
 
 
Este operador é definido da seguinte forma: 
 
Observação: vamos reescrever a última linha: 
     xfnhxfnxfn 11  
 
 x f(x) delta1 delta2 delta3 delta4 
xo 1,20000 3,52012 0,93508 0,16275 0,03603 0,00798 
x1 1,40000 4,45520 1,09783 0,19878 0,04401 
x2 1,60000 5,55303 1,29662 0,24279 
x3 1,80000 6,84965 1,53941 
x4 2,00000 8,38906 
 
Por interpolação linear e usando o método de Newton-Gregory, determine f(1,32). 
 
Para n=1 (n grau do polinômio interpolador), teremos: 
    08117,4
2,0
93508,0
2,132,152012,332,11 P
 
Exercício: Para casa: resolva este mesmo problema usando um polinômio 
interpolador de Newton-Gregory de grau 2. 
 
 
 
ESTIMATIVA DO ERRO COMETIDO NA INTERPOLAÇÃO 
 
Onde: 
   x
nfbaxmáxM
1
,


 
n é o grau do polinômio interpolador 
Esta fórmula de erro é chamada delimitante superior do erro. 
 
Usando semelhança de triângulos: 
77654,1)7,0(
1487,17183,2
1487,1
5,01
5,07,0






y
y
 
Cálculo do erro real: 
 
  06274,077654,171380,17,0
71380,117,07,0
aproximado valor - exato 



E
evalor
valorxE
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o máximo erro cometido. 
 
   x
nfbaxmáxM
1
,


 
1)(  xxexf
 
N=1 
    
2
17,05,07,07,01
M
E 
 
  3
1
1;5,0  e
xexmáxM
 
     09,0
2
3
17,05,07,07,01 E
 
Nesse caso eu tenho a função: 
Erro real= 
063,077654,117,07,0aproximado valor - exato 




  evalor
Conclusão: observe que o delimitante superior do erro realmente engloba, contém 
o erro real cometido.