INTEGRAÇÃO POR PARTES

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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: INTEGRAÇÃO POR PARTES
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Neste blog, postarei assuntos da área matemática e área tecnológica, explicação de fácil compreensão para todos. Sugestões são bem­vindas. "A matemática
não mente, mente quem faz mau uso dela" Albert Einstein
Referência Bibliográfica MATEMÁTICA (FUNDAMENTAL E MÉDIO) MATEMÁTICA (SUPERIOR) MATEMÁTICA FINANCEIRA
s á b a d o , 1 8 d e o u t u b r o d e 2 0 1 4
INTEGRAÇÃO POR PARTES
INTEGRAÇÃO POR PARTES
           Estudamos em integral indefinida vários métodos de resoluções de integrais, mas nem
todas integrais conseguimos resolver por aqueles métodos. Estudaremos a resolução de produtos
de duas funções, pelo método chamado de integração por partes.  
REGRA DO PRODUTO E A INTEGRAÇÃO POR PARTES
     Nosso objetivo é desenvolver um método para atacar integrais do tipo:
    Simbolizarei f(x) por u e v por g(x), então u = f(x) e v = g(x). Observe abaixo a regra de
derivação do produto, a partir da regra de integração por partes. Lembre­se que substituiremos
as funções por u e v.
  A aplicação dessa fórmula é denominada integração por partes.
GUIA DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
     O objetivo de escolher u e dv para obter uma nova integral que é mais fácil de calcular do
que a original. Em geral, não há regras imediatas e precisas para isso; é uma questão de
experiência que provém de muita prática. Uma estratégia que geralmente funciona é escolher u e
dv de tal modo que u fique "mais simples" ao derivar, enquanto dv seja fácil de integrar para
obter v.
     Existe um método para escolher u e dv, o acrônimo LIATE ajuda a lembrar desta ordem, que
significa:
  Logarítmica, trigonométrica Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial
  Nesse caso, costumamos ter sucesso tomando u como uma função que ocorre antes na lista
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GEOMETRI
A
ANALÍTICA
II CÔNICAS
GEOMETRI
A
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I RETAS
GEOMETRI
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S DA
INTEGRAL
DEFINIDA
NA
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: INTEGRAÇÃO POR PARTES
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(mais à esquerda) e dv como o resto do integrando. O método não funciona sempre, mas o
bastante para ser útil.
  Observe no exemplo 1, por esse método, devemos selecionar função algébrica (x) antes da
trigonométrica (cos x), obtemos u = x e dv = cos x (neste exemplo mostro uma escolha com os
elementos invertidos dessa nossa regra, observe que temos mais trabalho para calcular a
integral).
EXEMPLO 1: calcule a integral ∫ x cos x dx.
RESOLUÇÃO: Nessa integral, se fosse tentar usar os métodos que aprendemos em integral
indefinida, não funcionaria nenhum, pois sempre sobraria x na função. Utilizamos a sequência
de nosso guia, tenho que escolher u de modo que seja muito simples derivar, neste caso,
escolherei u = x, pois é muito simples derivar, veja como ficou (se u = x, deriva, cos x dx é
nosso v, integra):
O próximo passo é aplicar a fórmula:
  Se tivéssemos escolhido ao contrário, o u = cos x e o v = x dx, observe abaixo como ficaria o
cálculo:
Teríamos obtido:
    Para essa escolha de u e dv, a integral nova é, na verdade, até mais complicada do que a
integral original. Importante ressaltar que essa integral deu uma nova integral por partes ∫ x²
senx dx, resolvendo esta integral chegaremos à mesma resposta do u e dv que escolhemos antes,
mas de uma maneira bem mais difícil.
EXEMPLO 2: Calcule a integral ∫ ln x dx 
RESOLUÇÃO: Olho na tabela de integrais indefinidas, e não tenho tabelado essa integral, como
resolverei agora?
    Simplesmente, uso a integração por partes, posso escrever a equação como ∫ ln x dx = ∫ 1 . ln
x dx. Para escolher meu u e dv, lembre­se que u derivo e dv integro, não possuo a integral de ln
x, não posso usar ln x como v, esse será meu u e 1 o dv.
Aplicando na fórmula:
INTEGRAÇÃO POR PARTES REPETIDA
    Às vezes é necessário usar a integração por partes mais de uma vez no mesmo problema.
EXEMPLO 1: Calcule a integral  .
RESOLUÇÃO:
   Escolhemos x² como nosso u porque é mais fácil derivar, veja abaixo como ficou:
INTEGRAL
IMPRÓPRIA
INTEGRAÇ
ÃO POR
PARTES
TABELA DE
LOGARITM
OS
SÉRIE DE
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S
TABELA DE
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DE 0º A 90º
SÉRIE DE
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: INTEGRAÇÃO POR PARTES
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     Calculamos a integral por partes e a ultima integral é parecida com a original, mas é x² a
original e nesta nova integral obtemos x. As integrais são diferentes, por isso calculamos
novamente aplicando integração por partes na integral, nosso u nesse caso será x é o mais
simples de calcular.
EXEMPLO 2: Calcule  .
RESOLUÇÃO:
    Começamos escolhendo nosso u = cos x, pois será mais fácil derivar então nossa integral será:
      Observe que nossa integral é parecida com a inicial, mas não é igual então calculamos
novamente depois substituímos na equação acima (o "u" neste caso será sen x, u = sen x).
     Observe que a resposta da integral é igual a integral original. Se substituir essa resposta na
equação original para achar o valor de ∫ ex . cos x dx; basta isolar este termo já que possuímos
dois termos iguais. 
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17/07/2016 blogengenhariarodrigo: INTEGRAÇÃO POR PARTES
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UM MÉTODO TABULADA PARA INTEGRAÇÃO DE PARTES REPETIDAS
  As integrais do tipo
em que p(x) é um polinômio podem, às vezes, ser calculadas usando integração por partes
repetidas, em que u é tomado, em cada etapa, como sendo p(x) ou uma de suas derivadas. Como
du é calculada derivando u, a derivação repetida de p(x) vai acabar resultando em 0, quando
alcançamos um problema de integração simplificado. Um método conveniente para organizar as
contas em duas colunas é chamado integração por partes tabulado.
PASSOS DA INTEGRAÇÃO POR PARTES TABULADA
PASSO 1: Derive p(x) repetidamente até obter 0 e liste os resultados na primeira coluna.
PASSO 2: Integre f(x), repetidamente, e liste os resultados na segunda coluna.
PASSO 3: Trace uma seta desde cada entrada da primeira coluna para a entrada em uma linha
abaixo na segunda coluna. 
PASSO 4: Identifique as setas + e ­ alternadamente, começando com +.
PASSO 5: Para cada seta, forme o produto das expressões nos extremos inicial e final da seta e
multiplique­o por +1 ou ­1, de acordo com o sinal da seta. Somando esses resultados, obtemoso
valor da integral.
    Veja nos exemplos a aplicação do método.
EXEMPLO 1: Calcule ∫ (x² ­ x) cos x dx
RESOLUÇÃO:
   Um termo da integral o qual chamarei de p(x) = (x² ­ x), é um polinômio, aplicarei o método
de integração por partes tabular:
Derivação repetida                                 integração repetida      
   Montado a expressão, conforme nossas regras, obtemos:
EXEMPLO 2: calcule  .
RESOLUÇÃO:
   Veja que um termo da integral é um polinômio, chamarei de p(x), p(x) = x². Neste caso, como
é um polinômio, uso o método de integração por partes tabular:
Derivação repetida                    integração repetida      
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Montado a expressão, conforme nossas regras, obtemos:
FÓRMULAS DE REDUÇÃO
           A integração por partes pode ser usada para obter fórmulas de redução para integrais.
Essas fórmulas expressam uma integral com uma potência de uma função em termos de uma
integral que envolve uma potência mais baixa daquela função. Por exemplo, se n for um inteiro
positivo e n ≥ 2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução 
  
   Vou deduzir abaixo a fórmula do  , pois o mesmo procedimento pode ser
usado para muitas funções em que calculamos genericamente a integral da função (somente com
letras), quando tivermos esse modelo de função, somente aplicamos a fórmula do resultado e
substituímos valores sem precisar calcular a integral novamente (Observe que usei a identidade
trigonométrica sen² x + cos² x = 1 ­­­­> sen² x  = 1 ­ cos² x).
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   Os cálculos foram trabalhosos, mas conseguimos calcular uma fórmula genérica, somente
letras, em que podemos substituir valores quando aparecer este tipo de função ao invés de
calcular de novo.
EXEMPLO 1: Calcule a integral 
RESOLUÇÃO: Aplicamos a fórmula do cosseno com n = 4 em que aparece a integral de  ∫ cos²
x dx, conseguimos aplicar, novamente, a fórmula, acompanhe a resolução abaixo:
EXEMPLO 2: Calcule 
RESOLUÇÃO: 
(a) Para simplificar essa integral utilizo a tabela de identidade trigonométrica, 1 + tg² x  = sec² x,
para conseguir calcular por substituição e evitar a integração por partes, usei este procedimento.
(b) Para simplificar essa integral utilizo a tabela de identidade trigonométrica, 1 + tg² x  = sec² x,
e calculo por substituição:
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(c) Para simplificar essa integral utilizo a tabela de identidade trigonométrica, 1 + tg² x  = sec² x,
uso uma fórmula de redução em sec³ para calcular a integral, veja abaixo:
EXEMPLO 3: Calcule ∫ sen 7x cos 3x dx
RESOLUÇÃO: 
    Em geral, quando tivermos integrais trigonométricas, às vezes posso usar alguma identidade
para simplificar, procurando na tabela de identidades trigonométricas, achei a identidade número
27, cos x . sen y = 1/2 [sen (y + x) ­ sen (y ­ x)], observe a simplificação e o cálculo:
EXERCÍCIOS
1) Calcule as integrais
RESOLUÇÃO:
(a) Possuo a expressão x . ex, uso o método de integração por partes, se meu dv for x . ex, tenho
que usar integral por partes dentro de integral por partes será trabalhosa a resolução, ou seja,
essa expressão será meu u, pois é mais fácil derivar. Veja abaixo como fica:
(b) Nesta equação, temos uma integral definida. Para resolver é muito fácil, primeiro calculamos
a integral indefinida, que nesse caso é uma integral por partes, e depois aplicamos o intervalo.
Veja abaixo (nosso u será a função arcsen x, pois é mais fácil derivar. A resolução da integral
indefinida está destacada no quadrado):
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(c) Inicialmente, você deve pensar em pegar x² para ser seu "u", mas ln x não pode ser meu "v",
pois na tabela de integrais não possuo a integral de ln x. Portanto ln x é obrigatório ser nosso
"u", pois assim eu derivo e nosso v será x².
(d) Nesta questão, observe que a e b são constantes e x é minha variável. Através da integral por
partes, deduzirei a fórmula para essa equação e sempre que aparecer uma equação deste tipo,
basta pegar o resultado e substituir os valores. Observe abaixo o cálculo, meu u será a
exponencial, pois é mais fácil derivar:
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Postado por rodrigo schwanck às 16:34 
Marcadores: MATEMÁTICA (SUPERIOR)
(e) Para calcular a integral resultante da integração por partes, tive que somar dois e diminuir 2
para não alterar o resultado da equação e separar os termos. Observe abaixo como ficou (o
cálculo da integral, que usamos álgebra, para simplificar a equação e calcular a integral está
destacado dentro do quadrado). 
(f) A letra será calculada usando um artifício algébrico para o cálculo da integral dentro do
quadrado.
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2 comentários :
dryelle moura 19 de abril de 2016 16:53
a integração por partes tabulada é usada só para cosseno e e^x??? Pode ser usada com seno???
Responder