Rotação de um Corpo Rígido

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Rotação de um Corpo Rígido
Antes mesmo de começarmos uma discussão sobre o assunto, o que seria um corpo rígido? Bem, um corpo rígido para nosso estudo, seria um corpo ideal constituído de N partículas, cujas posições relativas permanecem fixas, possibilitando assim a não deformação do corpo, independente da força atribuída no mesmo. Se quisermos estudar o movimento de tal corpo, e concordar em ignorar o movimento do seu centro de massa, há apenas uma coisa que resta para ele fazer, temos que descrever isso. Como? Suponha que exista alguma linha no corpo e que o mesmo está girando sobre esta linha especial como um eixo. 
Mas como definimos uma rotação?
Facilmente podemos marcar um ponto em algum lugar do objeto ou em qualquer lugar, exceto no eixo. Podemos sempre dizer exatamente onde o objeto está se soubermos onde este ponto foi. A única coisa necessária para descrever a posição do ponto é um ângulo. Com isso, temos que a rotação é constituída por um estudo das variações do ângulo com o tempo. A fim de estudar a rotação, observa-se o ângulo através do qual um corpo transformou. Claro, não estamos nos referindo a qualquer ângulo particular dentro do próprio objeto, mas sim sobre a mudança angular da posição. 
De imediato, estudemos a cinemática das rotações. O ângulo mudará com o tempo, e assim como a posição e velocidade em uma dimensão, podemos falar sobre a posição angular e a velocidade angular da rotação. De fato, há uma relação muito interessante entre a rotação em duas dimensões e deslocamento unidimensional. Primeiro, temos o ângulo  que define o quanto o corpo passou se deslocou, o que substitui a distância y, que define o quanto ele teria se deslocado. Da mesma forma, temos uma velocidade de rotação o que nos diz o quanto o ângulo muda por segundo, assim como no movimento Retilíneo que temos , que nos informa o quão rápido um objeto se move em dado momento.  Se o ângulo é medido em radianos, então a velocidade angular  será medida em radianos por segundo. Sabemos também que, quanto maior for a velocidade angular, o mais rapidamente o objeto se move, e que as alterações do ângulo será mais rápido. Não esquecendo que podemos diferenciar a velocidade angular em relação ao tempo, chamando: de aceleração angular. Isso seria o análogo da aceleração normal em um movimento retilíneo. Na imagem abaixo, temos uma breve síntese descrita acima:
Agora, fazendo uma breve relação da dinâmica de rotação com as leis da dinâmica das partículas das quais o objeto é constituído, determinaremos que uma partícula, localizada a uma distância r a partir do eixo e está em um determinado ponto dado por P(x, y) em um dado instante. Se em certo momento após o ângulo de a partícula transformar-se com a , a primeira coisa que gostaríamos de saber é o quanto a distância x e y se alterou. Caso OP seja a distância r, temos que PQ é dado por r devido à forma como são definidos os ângulos. Então, temos que a mudança de x, é, simplesmente, a projeção de , na direção x:
 (I)
Similarmente em y, temos:
 (II)
Caso o objeto esteja preste a ganhar uma velocidade angular , nós a achamos divindo ambos os lados das equações dadas acima por e encontramos:
e (III)
Com o pequeno esquema da imagem abaixo, podemos perceber melhor o que foi dito acima, após a dedução das fórmulas das velocidades nos eixos x e y através da velocidade angular e deslocamento:
(a)
Torque
Com os dados obtidos acima, já podemos considerar a dinâmica de rotação. Um novo conceito, a força deve ser inserida em nossos estudos.  A força é extremamente necessária para fazer o movimento linear, podemos denominá-la de "força de rotação", ou uma "força de torção", ou seja, um torque. Qualitativamente, o torque é um "twist", mas o que é um torque quantitativamente? Torque, quantitativamente é dado pelo trabalho feito pela partícula. Uma boa maneira de se definir força é dizer o quanto de trabalho o objeto faz quando ele age através de um determinado deslocamento. Vamos tentar manter a analogia entre quantidades lineares e angulares. A definição de torque vai ser de tal forma que o teorema de trabalho tenha uma analogia absoluta: trabalho é dado por força vezes a distância, já o torque é definido como parte da força aplicada sobre um objeto que é utilizado para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central.  Consideramos agora, por exemplo, um corpo rígido com várias forças que agem sobre ele, e um eixo em torno do qual o mesmo gira. Vamos a primeira pergunta: Quanto trabalho seria feito se fosse para virar o objeto através de um ângulo muito pequeno? Sucintamente, dizemos que O trabalho feito será dado por: 
Substituindo as equações (I) e (II), por e , teremos:
Ou seja, a quantidade de trabalho que o objeto faz é, de fato, igual ao ângulo através do qual se o objeto gira. A multiplicação de força pela distância em uma rotação é o que chamamos de torque. Com isso, temos a fórmula para o torque em termos de forças. Quando existem várias forças que atuam, o trabalho que é feito, será a soma dos trabalhos realizados por todas as forças, de modo que  será uma série de condições, todos somados.  Podemos tomar exterior e, portanto, pode-se dizer que a mudança no trabalho é igual à soma de todos os torques devido a todas as diferentes forças que estão agindo no intervalo  . Esta soma poderia ser chamada de torque total, .  É como cinemática unidimensional, onde as forças simplesmente se adicionam algebricamente, mas só porque elas estão todas na mesma direção. Logo, para a rotação bidimensional, teremos: 
Ou seja,
Devemos prestar atenção que o torque é sobre um determinado eixo. Se um eixo diferente for escolhido, de modo que todo e é mudado, o valor do torque geralmente irá mudar muito.
Vendo que nossa introdução anterior de torque, pela ideia de trabalho, nos dá um resultado mais importante de um objeto em equilíbrio: se todas as forças em um objeto estão em equilíbrio, tanto para translação e rotação, não só a força resultante é zero, mas o total de todos os torques também é zero, pois, se um objeto está em equilíbrio, nenhum trabalho é feito pelas forças de um pequeno deslocamento. Portanto, , temos que a soma de todos os torques deve ser zero. Logo, há duas condições de equilíbrio: que a soma das forças é zero, e que a soma dos torques é zero.
Considerando agora uma única força, podemos descobrir geometricamente o que nos dá. Na imagem (b) mostrada acima, vemos uma força  atuando em um ponto. Quando o objeto foi girado em um pequeno ângulo , o trabalho feito, será a componente da força na direção dos eixos de deslocamento. Em outras palavras, é apenas a componente tangencial da força que conta, o que deve ser multiplicado pela distância . 
Portanto, vemos que o torque é também igual à componente tangencial da força (perpendicular ao raio) vezes o raio. Para, além disso, é evidente que dada uma força, é mais eficaz caso ela seja aplicada sobre um braço longo do que perto do eixo. Portanto, a quantidade de torção, ou torque, é proporcional tanto para a distância radial quanto para a componente tangencial da força.
Há ainda uma terceira fórmula para o torque que é muito interessante. Acabamos de ver que o torque é a força vezes o raio vezes o seno do ângulo   na figura (b). Se estendermos a linha de ação da força e desenhar a linha OS , a distância perpendicular à linha de ação da força (o braço de alavanca da força), notamos que este braço de alavanca é menor do que r apenas na mesma proporção em que a parte tangencial da força é menor do que a força total. Portanto, a fórmula para o torque também pode ser escrita como a magnitude das forças vezes o comprimento do braço de alavanca.
Momento Angular
Embora até agora, tenhamos considerado apenas o caso especial de um corpo rígido, as propriedades de torques e suas relações matemáticas são de grande importância mesmo quando o objeto não é um corpo rígido. Através do teorema: “Assimcomo a força externa é a taxa de mudança de uma quantidade p, o que nós chamamos o momento total de uma coleção de partículas, de modo que o torque externo é a taxa de mudança de uma quantidade L que chamamos de momento angular do grupo de partículas.”.
Para mostrar que o teorema acima é verídico, vamos supor que existe um sistema de partículas em que existam algumas forças atuando e descobrir o que acontece com o sistema com o resultado dos torques devido a essas forças. Primeiramente, devemos considerar apenas uma partícula. Na imagem (c), a partícula tem massa m, e pertence a um eixo O. Tal partícula não necessariamente roda em círculos, podendo se mover sobre a projeção de uma elipse ou alguma outra curva. Ela está se movendo de alguma forma, e há forças atuando na mesma. A partícula acelera de acordo com a fórmula na  componente x da força é a massa vezes a  componente x de aceleração. Neste caso, o que o Torque faz?  O torque é igual , e a força na direção do  x ou  y  é a massa vezes a aceleração em x:
Temos agora, com isso, a derivada da quantidade :
Logo, realmente temos que o torque é a taxa de mudança de algo com o tempo, dando o nome para a fórmula abaixo de momento angular:
 Assim, vemos que há também um análogo da rotação para o movimento, e que este análogo é o momento angular, do qual é dado pela expressão em termos de componentes de movimento linear que é apenas como a fórmula para o torque em termos de força componentes.  Se queremos saber o momento angular de uma partícula sobre um eixo, tomamos apenas a componente do momento que é tangencial e multiplicá-lo pelo raio. Em outras palavras, o que conta para o momento angular não é o quão rápido ele se movimentando desde a origem, mas o quanto isso está acontecendo em torno da origem.  Somente a parte tangencial do momento conta para o momento angular. 
Conservação de um Momento Angular
Passaremos a considerar quando não existe um grande número de partículas, quando um objeto é feita de muitas partes, com muitas forças que atuam entre si e nelas a partir do exterior. Claro, já sabemos que, sobre qualquer eixo fixo dado, o torque no i partículas é igual à taxa de variação do momento angular dessa partícula, e que o momento angular de i  partículas é a sua dinâmica vezes o seu braço de alavanca do momento. Agora, suponhamos que nós adicionamos para todas as partículas e chamá-lo de torque total  . Então esta será a taxa de mudança da soma dos momentos angulares de todas as partículas Li, e que define uma nova quantidade a que chamamos de momento angular total de L. Da mesma forma que o Momento Total de um objeto é a soma dos momentos de todas as partículas e que o Momento Angular é a soma do Momento Angular de todas as partes. Temos assim que a taxa de variação do total de L é o torque total: 
De acordo com a lei de Newton de ação e reação temos que os dois torques sobre os objetos reagem, devido a sua interação mútua, será igual e oposta, porque os braços de alavanca para qualquer eixo são iguais. Portanto, temos o teorema de que a taxa de variação do momento angular total sobre qualquer eixo é igual ao torque externo em torno desse eixo 
Um caso extremamente importante do teorema acima é a lei da conservação do momento angular: se não há torques externos que atuam sobre um sistema de partículas, o momento angular permanece constante.
Um caso especial de grande importância é a de um corpo rígido. Considere um objeto que está fixo em suas dimensões geométricas, e que está girando em torno de um eixo fixo. Várias partes do objeto tem a mesma relação em todos os momentos. Agora, vamos tentar encontrar o momento angular total do objeto. Se a massa de uma das suas partículas é e a sua posição é em . Para um objeto indo em torno de um círculo, o momento angular, naturalmente, é o tempo de massa dos tempos da velocidade, a distância a partir do eixo, e a velocidade é igual à velocidade angular vezes a distância entre o eixo:
A velocidade é substituída pela velocidade angular, e vemos que a massa é substituída por uma nova coisa que chamamos de momento de inércia I, que é análogo à massa. As equações acima querem dizer que um corpo tem inércia para torneamento que depende, não apenas sobre as massas, mas em quão longe eles estão do eixo. Então, se temos dois objetos de mesma massa, quando colocamos as massas mais longe do eixo, a inércia para girar será maior. Isto é facilmente demonstrado pelo aparelho mostrado na imagem logo abaixo, onde um peso M não caia muito rapidamente para girar a haste. Na primeira, as massas m estão perto do eixo, e M acelera em uma determinada taxa. Mas quando mudamos o momento de inércia, colocando as duas massas m  muito mais longe do eixo, então vemos que M  acelera muito menos rapidamente do que antes, porque o corpo tem muito mais inércia contra viragem. O momento de inércia é a inércia contra a viragem, e é a soma das contribuições de todas as massas, vezes suas distâncias ao quadrado, a partir do eixo.
Há uma diferença importante entre a massa e o momento de inércia.  A massa de um objeto nunca muda, mas o seu momento de inércia pode ser alterado. Se estamos em um suporte giratório, o atrito com os braços estendidos, e mantenhamos alguns pesos em nossas mãos, se girarmos lentamente, podemos mudar o nosso momento de inércia, desenhando nossos braços, mas nossa massa não muda.  Inicialmente, estávamos girando com um grande momento de inércia I1 em baixa velocidade angular , além do o momento angular ser de . Então mudamos o nosso momento de inércia, puxando os braços em, digamos, a um valor menor . Em seguida, o produto , que tem que permanecer o mesmo, porque o momento angular total deve permanecer o mesmo, foi . Isto é, se reduzirmos o momento de inércia, temos que aumentar a velocidade angular.
Movimento combinado Rotação-Translação de um corpo rígido
Quando um corpo rígido tem, ao mesmo tempo um movimento de Rotação e Translação, sua Ec pode ser expressa como a soma das Energias cinéticas da Translação em relação ao seu centro de massa e a Energia cinética da rotação em relação ao próprio eixo que passa pelo centro de massa. Esse é um movimento combinado no qual basta compreendermos o conceito de centro de massa. Temos um movimento de translação de um corpo que é o movimento próprio do centro de massa enquanto o sistema de partículas constituinte do próprio corpo rotaciona em torno do centro de massa. Portanto, no tratamento deste movimento, é suficiente que se faça essa separação. Como exemplo, podemos tomar a Terra, onde consideramos-a como um ponto no seu movimento de translação, devido às suas dimensões serem desprezíveis comparadas ao raio da trajetória (aproximadamente circular, elipsoidal), enquanto na análise de sua rotação é um corpo rígido, com massa distribuída ao redor do seu centro de massa que se movimenta ao redor deste.
BIBLIOGRAFIA
HALLIDAY – Fundamentos da Física Vol 1
MOYSÉS NUSSENZVEIG - Curso de Física Básica – 4 volumes 
Fórmulas produzidas por :
Daum Equation Editor – Extensão Google Chrome
Share LaTeX Editor – Extensão Google Chrome
TeX Editor – Edição de LaTeX
Universidade Federal da Bahia
Instituto de Física da UFBA
Felipe Gabriel Assunção Cruz
Estudo do movimento de Rotação e Translação – Descrição dos movimentos e momentos inerciais
Salvador
2014