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Física - Versão Base
2020
Militar Concursos - Física
Sumário
Fundamentos da Cinemática 7
Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Intervalo de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Instante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Ponto Material e Corpo Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Corpo Extenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Movimento e Repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Gráficos – MRU e MRUV 13
MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Lançamento Horizontal 20
Análise dos Movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tempo de Queda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Alcance Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
Militar Concursos - Física
Lançamento Oblíquo 24
Análise dos Movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Decomposição Vetorial da Velocidade Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tempo de Subida e Tempo Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Altura Máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Alcance Horizontal e Alcance Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Movimento Circular Uniforme 28
Posição Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Aceleração Centrípeta e Aceleração Tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Período e Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Equação Horária do MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Movimento Circular Uniformemente Variado 33
Relação entre as Grandezas Retilíneas e Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Equações Horárias do MCUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Movimento Uniforme 38
Conceitos Iniciais – Posição, Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Distância Percorrida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Velocidade Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Velocidade Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2
Militar Concursos - Física
Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Classificação do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40
Movimento Progressivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Movimento Retrógrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Equação Horária do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 43
Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Aceleração Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Aceleração Instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Classificação do MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Movimento Acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Movimento Retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Equações Horárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Equação de Torricelli – uma equação não-horária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Queda Livre e Lançamento Vertical 48
Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Lançamento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Cinemática Vetorial 52
Grandezas Vetoriais e Grandezas Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Vetor Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Vetor Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Aceleração Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
Militar Concursos - Física
Velocidade Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Terceira Lei de Newton – O par Ação-Reação 58
Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Interação Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Força Propulsora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Andar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Forças de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Atrito 62
Forças de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Blocos 65
Tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Blocos em Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Componentes da Resultante 70
Componente Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Componentes Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
Militar Concursos - Física
Nível 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Fundamentos da Dinâmica 74
Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Estudo dos Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Operações entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Decomposição de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Primeira Lei de Newton – Lei da Inércia 81
Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Equilíbrio, Referencial e a Lei da Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Plano Inclinado 85
Blocos no Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Plano Inclinado e Resultante Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Segunda Lei de Newton – Princípio Fundamental da Dinâmica 92
Conceito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Força Centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercícios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
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Militar Concursos - Física
Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6
Militar Concursos - Física
Fundamentos da Cinemática
Referencial
“Tudo depende do referencial”. Você já deve ter ouvido essa frase em algum momento da sua vida de estudante.
Mas o que seria esse referencial?
Grosso modo, referencial é a referência do sistema, podendo ser o ponto zero de uma reta real ou a origem do seu
plano cartesiano.
Quando dizemos que um carro está emmovimento (veremosmais tarde que omovimento está associado à variação
da posição em um intervalo de tempo), precisamos nos perguntar: movimento em relação a quem? E sabendo que
ele está em movimento, qual o valor dessa velocidade, ou seja, dessa taxa de variação da posição? Dessa forma, a
medida de determinadas grandezas poderá variar, a depender do referencial. Então basicamente, se um carro está se
movimentando em uma rua ele estará em movimento? Depende. Qual a sua velocidade? Depende.
Usando os conceitos de velocidade e de movimento que possuimos instintivamente (ainda definiremos formal-
mente esses conceitos nas próximas seções), podemos dizer que um carro se movimenta a 50 km/h com relação à
alguém parado em um ponto de ônibus. Isso é plausível de se admitir. Nesse “com relação à ALGUÉM”, esse ALGUÉM
é o nosso referencial.
Agora, qual seria a velocidade do carro com relação ao motorista? Sim, zero. Não há alteração de posição entre
esses dois elementos, eles estão parados um em relação ao outro. Se colocarmos o referencial no carro, o motorista
está parado (em repouso), e se colocarmos o referencial no motorista, o carro estará parado. Além disso, o que falar
sobre o valor da velocidade? Bom, dissemos que o carro está a 50 km/h para um objeto “preso” ao solo (alguém no
ponto de ônibus). Pois bem, sabemos ainda que essa velocidade vai a zero se considerarmos um referencial “preso”
ao carro (motorista). Qual seria essa velocidade com relação a um outro carro indo lado-a-lado com essa mesma
velocidade (com relação ao solo)? E se esse carro tivesse essa velovidade mas estivesse em sentido contrário? Esses
são conceitos de velocidade relativa (veremos mais à frente) mas ilustram muito bem a influência dos referenciais nos
problemas de Cinemática. Respondendo às perguntas, a primeira situação ilustra o repouso entre os dois carros, ou
seja, velocidade relativa igual a zero, uma vez que os carros não alteram de posição um com o outro. Já na segunda
situação, veremos que os carros se aproximam com uma velocidade relativa de 100 km/h. Lembre-se, por fim, que
o referencial sempre estará parado com relação a ele mesmo. Assim, conseguimos entender por que os carros se
movimentando no mesmo sentido em uma via parecem estar devagar com relação uns com os outros e, por outro
lado, por que os carros em sentido contrários parecem estar muito mais rápido.
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Militar Concursos - Física
Tempo
Sobre o tempo, iremos simplesmente fazer uma importante distinção. Além disso, apresentaremos os conceitos do
operador ∆ e de medidas infinitesimais.
Intervalo de tempo
Podemos definir os intervalos ou as variações, de qualquer grandeza, com a letra grega delta maiúsculo:∆. Esse
operador realiza a seguinte conta para a grandeza X:∆X = Xf −Xi. Temos duas situações, uma finalXf e uma inicial
Xi. Ao longo do curso iremos utilizar com frequência esse operador. Nesse caso de agora,∆t = tf − ti é o intervalo de
tempo, em que temos duas situações e queremos calcular quanto tempo se passou entre esses dois momentos. Se a
aula começou às 14h40min e terminou às 16h00min, a aula durou ∆t = 16− 14 23 =
48−44
3 =
4
3h = 80min.
Instante de tempo
Quanto tempo dura um instante? Pois bem, não pode ser zero, uma vez que zero significaria que algo não ocorreu.
Mas de fato esse “intervalo” de tempo do instante deve com certeza ser bem pequeno, você deve imaginar. Nesse caso,
iremos introduzir o conceito de grandezas infinitesimais, algo muito utilizadonos estudos de Cálculo. Simbolizado por
dt, o instante de tempo se diferencia do intervalo de tempo por ser tão pequeno quanto quisermos, não sendo, obvi-
amente, zero. Como exemplo de sua utilização em grandezas instantâneas, citamos o velocímetro do carro, marcando
sempre a velocidade intantânea do carro. Perceba que para esse “cálculo”, não há intervalos de tempo propriamente
ditos, e sim, instantes. Afinal, vemos a velocidade sendo “atualizada” a cada intante.
Ponto Material e Corpo Extenso
As dimensões dos corpos e objetos devem ser consideradas quando lidamos com um problema qualquer de física?
Depende. Dessa vez, não do referencial, mas sim se consideramos os corpos como Pontos Materiais ou Corpos Exten-
sos. Vejamos.
Ponto Material
Ao imaginarmos uma formiga atravessando uma mesa, podemos com um cronômetro medir o tempo que ela
demora para realizar essa jornada. Quando parar e quando começar a contar? Bom, se estamos observando de cima,
a uma certa distância, podemos considerar a formiga como um ponto, não fazendo diferença, para fins de medição, se
começamos ou terminamos de contar quando é a antena ou as patas da formiga que passam pelos limites da mesa.
Nesse caso, as dimensões da formiga são desconsideradas para nossa medição, dado que as dimensões da mesa são
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Militar Concursos - Física
muito maiores que as da formiga. Um ponto não possui dimensões e é o que será a formiga, nesse caso, mas saiba
que essa consideração será sempre uma aproximação, uma vez que sabemos que a formiga possui dimensões.
Corpo Extenso
E se ao invés de uma mesa, estivermos interessados em medir o tempo de travessia de uma formiga que anda
sobre a tela de um celular? De fato, houve uma grande mudança no problema, uma vez que o celular tem dimensões
muito menores que as da mesa. As dimensões entre a formiga e o celular ainda são bastante diferentes, mas dessa
vez percebemos com mais clareza que a formiga possui dimensões, nesse caso, não desconsideradas para a medição
que queremos. Significa, portanto, que importa para fins desse problema que a formiga atravesse seu corpo (extenso)
completamente pela superfície da tela. Pense que se a tela medir 15 cm e a formiga medir 1 cm, a formiga tem a saga
de percorrer 16 cm no total. Se fosse considerada um ponto, consideraríamos somente os 15 cm da tela. E sim, isso é
uma grande diferença.
Posição
A posição, representada na física geralmente como s⃗, é uma grandeza vetorial e depende do referencial, por
definição. Quando definimos uma origem para o sistema, para o problema com que estamos lidando, dizemos que os
objetos se posicionam tendo como referência esse centro, essa origem. Em problemas unidimensionais (uma dimen-
são), teremos apenas o eixo x, por exemplo, e os objetos possuem valores de posição conforme estão dispostos nessa
reta x. Já em problemas com duas dimensões (bidimensionais), teremos dois eixos, x e y, e as coordenadas dos pontos
colocados em um ponto cartesiano irão determinar as posições dos objetos (nesse caso, dos pontos), com relação à
origem, ou seja, com relação ao seu referencial.
Movimento e Repouso
Quando estamos viajando de carro, estamos emmovimento ou em repouso? Vimos que isso depende do referencial.
Se considerarmos o solo, estamos emmovimento. Já entre as pessoas que estão no carro não há alteração da posição,
logo, estão em repouso entre si. Definimos, portanto, que os conceitos de movimento e de repouso estão relacionados
com a variação de posição dos corpos em um determinado intervalo (ou instante) de tempo. Se a posição entre dois
corpos se altera, dado um referencial, eles estarão em movimento um com relação ao outro. Caso contrário, se essa
posição não se altera, dado um referencial, os dois corpos estarão em repouso.
Trajetória
O conceito de trajetória está associado ao conjunto de posições, dado um referencial, que determinado objeto
adquire durante um intervalo de tempo. Desse modo, percebemos que a trajetória também depende do referencial.
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Militar Concursos - Física
Aqui estamos preocupados com o desenho gerado pelas posições do objeto, quando esse se deslocar pelo espaço (ou
pela reta, em casos unidimensioniais, ou pelo plano, em casos bidimensionais, etc.). Podemos dizer, com as devidas
aproximações, por exemplo, que um avião descreve uma trajetória definida como uma linha reta, paralela ao solo, para
um referencial em repouso no solo. Agora, se uma caixa de suprimentos se destaca desse avião, o mesmo observador
irá perceber que essa caixa irá descrever uma trajetória de uma parábola. E se por acaso mudarmos o referencial?
Para um observador no avião, essa caixa se movimentaria somente na direção vertical. O mesmo ocorrendo se esse
observador estivesse no solo com a mesma velocidade do avião. Perceba, portanto, que a trajetória depende do
referencial, uma vez que as posições dos objetos dependem, também, de um referencial.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(EEAR) Duas esferas A e B que estavam em um balão, caem simultaneamente em direção ao solo. Com relação ao
seu estado de repouso ou movimento, desconsiderando o atrito e os deslocamentos de massa de ar atmosféricos,
pode-se afirmar que:
a) as duas esferas estão em repouso em relação a qualquer referencial.
b) as esferas estão em Movimento Uniformemente Variado uma em relação à outra.
c)as duas esferas estão em repouso, desde que se considere uma em relação à outra como referencial.
d) durante a queda o movimento de ambas será uniforme em relação a um referencial no solo terrestre.
Solução
1. Falsa – dado um intervalo de tempo, as esferas variam sua posição com relação ao balão, por exemplo.
2. Falsa – as esferas não sentem variação de posição uma com relação a outra.
3. Verdadeira – como a posição não se altera, uma com relação a outra, temos uma situação de repouso. A alter-
nativa ficaria mais bem escrita se ao invés de “desde que se” estivesse “caso se”. Afinal, qualquer corpo nas
mesmas condições das esferas poderia ser utilizado como referencial. Pense em uma pequena formiga sobre
uma das esferas, por exemplo. Falta um pouco de rigor na escrita.
4. Falsa – estando as esferas somente sujeitas à força peso (ambas estão inseridas em um campo gravitacional), o
movimento será uniformemente variado com relação ao solo.
(EEAR) Duas crianças resolvem apostar corrida em uma praça cuja geometria é representada na figura abaixo.
Sabendo que a criança I percorre o caminho ABC e que a criança II percorre o caminho AC, podemos afirmar que a
diferença entre a distância percorrida pela criança I e a criança II, vale, em metros:
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Militar Concursos - Física
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
Por pitágoras, tem-se que AC =
√
302 + 402 = 50m.
A criança I percorre um total de AB +BC = 30 + 40 = 70m e a criança II percorre AC = 50m.
Portanto, a diferença entre as distâncias vale 20m.
(EEAR) O avião identificado na figura voa horizontalmente da esquerda para a direita. Um indivíduo no solo ob-
serva um ponto vermelho na ponta da hélice. Qual figura melhor representa a trajetória de tal ponto em relação ao
observador externo?
a)
b)
c)
d)
Solução
Para um observador no solo teremos uma combinação de movimento: giro da hélice e avião. Assim, a alternativa
que mostra essa junção está representada na opção B em que temos uma trajetória helicoidal.
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Militar Concursos - Física
Nível 2
(EsPCEx - adaptada) Um automóvel percorre a metade de uma distância D, de modo que a razão entre a distância
percorrida e o intervalo de tempo gasto vale 24 m/s. Na outra metade, essa razão equivale a 8 m/s. Nesta situação, a
razão entre a distância total percorrida e o intervalo de tempo total gasto, é de:
a) 12 m/s
b) 14 m/s
c) 16 m/s
d) 18 m/s
e) 32 m/s
Solução
De acordo com as relações apresentados no enunciado, temos
(D2 )
∆t1
= 24 → ∆t1 = D48 e
(D2 )
∆t2
= 8 → ∆t2 = D16 .
Logo,
D
∆t1 +∆t2
=
D
D
48 +
D
16
=
48
1 + 3
= 12m/s2
Nível 3
(AFA - adaptada) Um turista, passeando de bugre pelas areias de uma praia de Natal – RN, percorre uma trajetória
triangular, quepode ser dividida em três trechos, conforme a figura abaixo.
Suponha que para os espaços percorridos ∆A, ∆B e ∆C, seja válida a relação v = ∆A∆tA =
1
2 .
∆B
∆tB
= ∆C∆tC , com
respeito aos respectivos intervalos de tempo de travessia para cada trecho. Sabendo-se que os trechos B e C possuem
o mesmo comprimento, determine o valor de ∆A+∆B+∆C∆tA+∆tB+∆tC
a) v
√
2
b) 2v
√
2
c) 4v
d)
(
4− 2
√
2
)
v
Solução
Trata-se de um triângulo isósceles, de modo que B = C = x → A = x
√
2. Assim, pela relação apresentada, temos
x
√
2
∆tA
= 12 .
x
∆tB
= x∆tC →
√
2
∆tA
= 12∆tB =
1
∆tC
. Pode-se, com isso, isolar somente uma variável e substituir expressão
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Militar Concursos - Física
pedida. Desse modo, temos
M =
∆A+∆B +∆C
∆tA +∆tB +∆tC
=
v.∆tA + 2v.∆tB + v.∆tC
∆tA +∆tB +∆tC
=
v.∆tA + 2v.
(
∆tA
2
√
2
)
+ v.
(
∆tA√
2
)
∆tA +
∆tA
2
√
2
+ ∆tA√
2
Portanto,
M = v.
1 + 2.
(
1
2
√
2
)
+
(
1√
2
)
1 + 1
2
√
2
+ 1√
2
 = v.
(
2+
√
2√
2
)
(
3+2
√
2
2
√
2
) = v.(4 + 2√2
3 + 2
√
2
)
= v.
(
4 + 2
√
2
) (
3− 2
√
2
)(
3 + 2
√
2
) (
3− 2
√
2
) = v.(4− 2√2)
Gráficos – MRU e MRUV
Nesta aula iremos realizar a análise gráfica dos movimentos estudados até o momento: MRU e MRUV. Saiba que
entender esses gráficos e saber construí-los é passo fundamental para a plena compreensão do estudo da Cinemática.
Vejamos.
MRU
Como bem sabemos, um corpo em MRU descreve uma trajetória segundo a equação s(t) = s0 + v. t. Ok, nessa
equação, vemos que a posição s está em função do tempo t, por isso escrevemos s(t). Mas não estaria também em
função de s0e de v? Não, uma vez que esses dois valores são fixos, constantes, dizemos que estará em função de t
somente. Pois bem, comparando a equação s(t) = s0+v. tcomuma função de primeiro grau f(x) = b+a . x, percebemos
a similaridade entre as equações. Logo, concluimos que o gráfico da posição em função do tempo de um MRU será
uma reta. Matematicamente, teremos s0 como coeficiente linear da reta (valor da posição quando a reta toca o eixo
y) e vcomo coeficiente angular da reta (valor que mede a inclinação da reta).
Analisando os tipos deMRU emMovimento Progressivo eMovimento Retrógrado, portanto, teremos retas inclinadas
positivamente (crescentes) para o caso de ser um Movimento Progressivo, em que v > 0, e teremos retas inclinadas
negativamente (descrescentes) para o caso de ser um Movimento Retrógrado, em que v < 0. Guilherme, e quando
v = 0? Nesse caso, o corpo está em repouso com relação ao referencial dado, ou seja, sempre teremoss(t) = s0(a
posição não varia).
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Militar Concursos - Física
Pergunto: como ficaria um suposto gráfico de aceleração em função do tempo para um MRU? Sabemos que em um
MRU a aceleração é nula, uma vez que a velocidade não varia. Logo, a aceleração será zero ao longo do tempo.
Para encerrar esse estudo gráfico no MRU, vejamos uma importante propriedade do gráfico de velocidade pelo
tempo. Dados dois instanstes t1e t2, a distância percorrida por um corpo em MRU será numericamente igual à área A
do retângulo formado pelo gráfico v x t, entre esses dois instantes. Perceba que esse valor NÃO é igual a ∆s, uma vez
que áreas são sempre positivas, e o deslocamento ∆s pode ser negativo. Então, cuidado. O deslocamento ∆s será
igual à área A quando v > 0, pois ∆s > 0 nesse caso. Por outro lado, ∆sserá igual a −Aquando v < 0, pois nesse caso
temos∆s < 0. A área A equivale à distância percorrida e áreas são sempre positivas, já deslocamentos, não. Lembre-se
disso!
MRUV
Analogamente às análises realizadas anteriormente para o MRU, iremos avaliar agora os gráficos para o MRUV,
pensando nos comportamentos de posição, velocidade e aceleração em função do tempo. A velocidade v em um
MRUV varia de modo constante a uma taxa fixa a, chamada bem sabemos de aceleração, de acordo com a equação
v(t) = v0+a. t. Vimos que tal equação possui o gráfico de uma reta. Nessa caso, v0 (velocidade inicial) é seu coeficiente
linear e a (aceleração) é seu coeficiente angular. Desse modo, se fizermos o gráfico de v x t para um MRUV, obteremos
para a > 0 uma reta positivamente inclinada (crescente). Caso a seja negativa, essa reta será negativamente inclinada,
ou seja, decrescente.
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Militar Concursos - Física
O que dizer sobre o gráfico de s x t? Nesse caso, devemos analisar a equação s(t) = s0 + v0. t + a2 . t2. Tal equação
nos lembra a funçãof(x) = C + B. x + A. x2, que descreve uma parábola no plano cartesiano, caso tenhamos A ̸= 0.
Assim, fazendo uma identidade entre as duas equações, temos C = s0,B = v0e A = a2 . Abaixo, a análise gráfica dos
casos em que a > 0 e a < 0, ou seja, gráficos de s x tde concavidades para cima e para baixo, respectivamente.
Verificamos anteriormente no MRU que a área sob a curva de um gráfico v x t será numericamente igual à distância
percorrida pelo corpo. Isso ainda será válido para o MRUV. No entanto, deveremos calcular áreas de trapézios agora,
uma vez que a velocidade não mais é constante. Ressalto ainda a importância de tomar cuidado com o sinal de ∆s:
áreas A calculadas com velocidades negativas, teremos ∆s = −A. Sugerimos que o cálculo de velocidade média seja
feito calculando o devido deslocamento (pode ser por área, mas se atentanto ao sinal) e dividindo pelo intervalo de
tempo. Além disso, podemos dizer que a área sob a curva de um gráfico a x t será igual a ∆v para a > 0 e igual a −∆v
para a > 0.
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Militar Concursos - Física
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(EEAR) O gráfico a seguir representa a posição (x), em metros, em função do tempo (t), em segundos, de um ponto
material. Entre as alternativas, aquela que melhor representa o gráfico velocidade média (v), em metros/segundo, em
função do tempo (t), em segundos, deste ponto material é
a)
b)
c)
d)
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Solução
Entre os instantes 0-10 e 20-30 não há variação de posição, logo a velocidade é nula nesses dois intervalos. Entre os
instantes 10-20, vemos uma reta negativamente inclinada, o que sugere uma velocidade negativa e constante. Temos
nesse intervalo que v = ∆s∆t → v =
−10
10 = −1m/s. A alternativa C é a correta.
(EsPCEx) O gráfico abaixo está associado ao movimento de uma motocicleta e de um carro que se deslocam ao
longo de uma estrada retilínea. Em t=0 h ambos se encontram no quilômetro 0 (zero) dessa estrada.
Com relação a esse gráfico, são feitas as seguintes afirmações:
1. A motocicleta percorre a estrada em movimento uniformemente retardado.
2. Entre os instantes 0 h e 2 h, o carro e a motocicleta percorreram, respectivamente, uma distância de 60 km e 120
km.
3. A velocidade do carro aumenta 30 km/h a cada hora.
4. O carro e a motocicleta voltam a estar na mesma posição no instante t=2 h.
Das afirmações acima está(ão) correta(s) apenas a(s)
a) IV.
b) II, III e IV.
c) I, III e IV.
d) II e III.
e) I e III.
Solução
1. Falsa – como a velocidade é constante e dada positivamente, diz-se que o movimento é progressivo. Como a
aceleração em MRU é nula, o movimento não é acelerado e não é retardado.
2. Verdadeira – as áreas serão numericamente iguais às distâncias percorridas. Assim, ∆scarro = 2.602 = 60 km e
∆smoto = 2.60 = 120 km.
17
Militar Concursos - Física
3. Verdadeira – a reta sugere um MRUV, em que sua inclinação indica a aceleração constante do carro. Desse modo,
a aceleração pode ser dada por a = ∆v∆t =
60
2 = 30 km/h
2. Ou seja, a cada segundo, a velocidade aumenta 30
km/h.
4. Falsa – temos que as equações horárias dos veículos serão dadas por scarro(t) = 60. t e smoto(t) = 15t2. Ao igualar
as duas equações, temos que t = 0 ou t = 4. Dessa maneira, voltarão a se encontrar em t = 4h.
Nível 2
(Escola Naval) Analise os gráficos abaixo.
Uma partícula executa um movimento, ao longo de uma trajetória retilínea, descrito pelos gráficos acima. Estando
todas as unidades no sistema internacional, com relação à descrição desse mesmo movimento, assinale a opção que
completa corretamente as lacunas da sentença abaixo.
”A partícula executa ummovimento retilíneo, _____________, _____________,cujas funções demovimento são: para
posição ____________ , para velocidade_____________ e para aceleração ___________ .”
a) retrógrado / acelerado / s(t)=2,0t² - 24t / v(t)=4,0t² - 24 / a(t)=8,0t
b) progressivo / desacelerado / s(t)=2,0t³-24t / v(t)=5,0t² -24 / a(t)=10t
c) retrógrado / desacelerado / s(t)=2,0t³-24t / v(t)=6,0t² -24 / a(t)=12t
d) progressivo / acelerado / s(t)=2,0t³-24t / v(t)=6,0t²-24 / a(t)=12t
e) retrógrado / acelerado / s(t)=2,0t²-24t / v(t)=6,0t²-24 / a(t)=8,0t
Solução
Nesse problema haverá uma aceleração variável. Durante o tempo determinado pela questão, o movimento é
retrógrado, uma vez que a velocidade é negativa. Como omódulo da velocidade está diminuindo, temos ummovimento
desacelerado (retardado). Com isso, a letra C é o gabarito e as curvas sugeridas são plausíveis. Perceba que não há
condições de chegarmos às equações das curvas, pois não temos sequer umponto. Resta julgar apenas a razoabilidade
das funções cinemáticas apresentadas.
Nível 3
(ITA) Os pontos no gráfico indicam a velocidade instantánea, quilômetro a quilômetro, de um carro em movimento
retilíneo. Por sua vez, o computador de bordo do carro calcula a velocidademédia dos últimos 9 kmpor ele percorridos.
18
Militar Concursos - Física
Então, a curva que melhor representa a velocidade média indicada no computador de bordo entre os quilômetros 11
e 20 é
a) a tracejada que termina acima de 50 km/h.
b) a cheia que termina acima de 50 km/h.
c) a tracejada que termina abaixo de 50 km/h.
d) a pontilhada.
e) a cheia que termina abaixo de 50 km/h.
Solução
Entre os kilômetros 11-12, 12-13, ..., 19-20, podemos atribuir uma velocidade média a cada um desses intervalos
como a média aritmética entre as velocidades do kilômetro percorrido. Com isso, temos os intervalos de tempo em
horas para percorrer cada um desses kilômetros segundo as relações:
∆t11−12 =
1
15
,∆t12−13 =
1
25
,∆t13−14 =
1
35
, ...,∆t19−20 =
1
95
Os intervalos de tempo em horas necessários para percorrer cada kilômetro anterior ao kilômetro 11 serão sempre
∆t′ = 110 . Desse modo as velocidades médias da forma vn =
∆s
∆t =
9
∆t9 ltimos km
serão da forma:
v11 =
9
9.
(
1
10
) , v12 = 9
8.
(
1
10
)
+ 115
, v13 =
9
7.
(
1
10
)
+ 115 +
1
25
, ..., v20 =
9
1
15 +
1
25 + ...+
1
95
Não precisamos fazer todas essas contas, basta perceber que estamos substituindo uma parcela do denominador
(1/10) por uma que é menor que 1/10. Isso faz com que o valor da velocidade média aumente de modo não linear
e sem tender a uma constante, como sugerem algumas curvas. Concluimos se tratar das linhas cheias, mas ainda
devemos saber se a média termina abaixo ou acima de 50 km/h. Desse modo, por desigualdade das médias temos
v20 =
9
1
15 +
1
25 + ...+
1
95
≤ 15 + 25 + ...+ 95
9
=
55 + 4.110
9
= 55.
Logo, a velocidade final deverá ser menor que 55 e apenas uma das linhas cheias cumpre esse requisito, restando a
letra E como gabarito.
19
Militar Concursos - Física
Lançamento Horizontal
Entraremos agora na análise bidimensional dos lançamentos. Para a Queda livre e para o Lançamento Vertical, as
trajetórias descritas eram retilíneas, unidimensionais. Agora, corpos serão lançado horizontalmente com uma veloci-
dade horizontal inicial e adquirirão, em função da gravidade, também uma velocidade vertical.
Análise dos Movimentos
Imagine a situação em que há o disparo de um projétil por meio de um dispositivo qualquer e esse disparo se dê
paralelamente ao solo (horizontal). Assim, o projétil é lançado com uma velocidade inicial v0x a uma altura h do solo,
supondo um eixo x horizontal e um eixo y vertical. São essas duas as variáveis do problema, além, é claro, da gravidade
local, que de modo geral será a gravidade da Terra dada por g. Pergunta inicial: essa velocidade inicial irá se alterar,
após o disparo, até o momento em que o projétil atinge o solo? A resposta é não. Há um importante princípio que
iremos aprender agora chamado Princípio da Independência dos Movimentos.
Segundo esse princípio, podemos analisar o movimento separadamente em cada eixo. Desse modo, se quisermos
saber o que ocorre em x, não devemos nos importar com o que se passa em y, mesmo sabendo que em y o movimento
estará sujeito a uma aceleração. Omotivo desse princípio ser válido nessas situações está ligado ao perpendicularismo
entre as Grandezas Cinemáticas envolvidas. A título de exemplo, caso a gravidade não fosse perpendicular ao solo,
não poderíamos avaliar desse modo.
Pois bem, em x. Em x não há qualquer tipo de aceleração ocorrendo, dado que o disparo é feito no vácuo, onde
não há resistência do ar. Desse modo, o movimento será um simples MRU.
Já em y, estaremos diante de um MRUV. Mais do que isso, um movimento de Queda Livre, já que a velocidade inicial
v0y é nula e o projétil é disparado de uma altura h em relação ao solo. Se em x temos um MRU e em y temos um MRUV,
qual será, finalmente, a trajetória do projétil? Vejamos as equações em x e em y, considerando o ponto do disparo
como referência e adotando como sentido positivo de x o sentido da velocidade inicial e o sentido positivo de y o
20
Militar Concursos - Física
sentido da gravidade g⃗.
Em x temos x(t) = x0 + v0y. t, logo x(t) = 0 + v0x. t = v0x. t.
Em y temos y(t) = y0 + v0y. t+ 12g. t2, logo y(t) = 0 + 0. t+
1
2g. t
2 = 12g. t
2.
Como queremos entender o comportamento da trajetória, basta termos x em função de y, ou ao contrário. Assim,
devemos eliminar o tempo das equações acima. Logo, x(t) = v0x. t → t = x(t)v0x . Substituindo na equação de y e
eliminando a dependência do tempo, teremos
y =
1
2
g.
(
x
v0x
)2
=
(
g
2 (v0x)
2
)
. x2,
o que nos mostra a equação de uma parábola voltada para baixo, uma vez que o coeficiente de x2 é positivo e, assim,
a concavidade segue os valores positivos de y.
Tempo de Queda
Da análise feita anteriormente, foi possível verificar, por meio do Princípio da Independência dos Movimentos, que
o movimento em y será uma Queda Livre. Assim, já sabemos como calcular esse tempo. O tempo de queda tq será
dado por tq =
√
2h
g . Perceba que o tempo necessário para que o objeto atinja o solo independe da velocidade inicial
no Lançamento Horizontal. No vácuo, se soltássemos uma pena do lado do projétil no mesmo instante e na mesma
altura em que ocorreu o disparo, pena e projétil atingiriam o solo no mesmo tempo. Cuidado, isso não é intuitivo.
Alcance Horizontal
O Alcance Horizontal atingido pode ser calculado utilizado o tempo em que o projétil permaneceu em movimento,
ou seja, tq =
√
2h
g , e substituir esse tempo na equação horária de x. Assim, temos que
AlcanceHorizontal = x(tq) = v0x. tq = v0x
√
2h
g
.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(EsPCEx) Uma esfera é lançada com velocidade horizontal constante de módulo v = 5 m/s da borda de uma mesa
horizontal. Ela atinge o solo num ponto situado a 5 m do pé da mesa conforme o desenho abaixo. Desprezando a
resistência do ar, o módulo da velocidade com que a esfera atinge o solo é de:Dado: Aceleração da gravidade: g=10
m/s².
21
Militar Concursos - Física
a) 4m/s
b) 5m/s
c) 5
√
2m/s
d) 6
√
2m/s
e) 5
√
5m/s
Solução
Tempo do movimento é dado por ∆t = ∆sv → ∆t =
5
5 = 1s.
Velocidade vertical com que a bola chega ao solo será v(t) = g.t → v(1) = 10m/s.
Módulo da velocidade final será dado por v =
√
102 + 52 =
√
125 = 5
√
5m/s
Nível 2
(AFA - adaptada) Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com velocidade constante, uma pedra presa a
um fio ideal. Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, essa pedra dá diversas voltas, até que,
em um dado instante, o fio arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura a seguir.
Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, então, a descrever uma trajetória parabólica, percor-
rendo uma distância horizontal x equivalente a 4R.
Determine a velocidade horizontal com que a pedra foi lançada, após o rompimento.
a)
√
R.g
b) 2
√
R.g
c) 3
√
R.g
d) 4
√
R.g
Solução
Saindo com velocidade exclusivamentehorizontal v, o tempo de permanência na trajetória parabólica será dada
22
Militar Concursos - Física
por ∆t = ∆sv =
4R
v . Nesse tempo, verticalmente a pedra em MRUV percorre a distância de 2R ao longo da parábola.
Logo,
y(t) = y0 + v0y. t+
1
2
g. t2 → 2R = 1
2
g.
(
4R
v
)2
o que nos leva a
v2 = 4R.g → v = 2
√
R.g
Nível 3
(EFOMM) Uma bola é lançada do topo de uma torre de 85 m de altura com uma velocidade horizontal de 5,0 m/s (ver
figura). A distância horizontal D, em metros, entre a torre e o ponto onde a bola atinge o barranco (plano inclinado),
vale:
a) 15
b) 17
c) 20
d) 25
e) 28
Solução
O tempo de permanência na trajetória será dado por ∆t = D5 . A distância vertical percorrida será 85− y, em que y
se relaciona com a medida D − 10 de modo que yD−10 =
8
1 . Assim, temos que
y
D − 10
=
8
1
→ y = 8 (D − 10)
Além disso, pelo movimento vertical em MRUV, temos
85− y = 1
2
g. t2 → 85− 8 (D − 10) = 1
2
.10.
(
D
5
)2
Obtemos, portanto, D2 + 40D − 825 = 0 em que há dois valores para D: 15 ou -55. Descartamos o valor negativo,
obtendo finalmente o gabarito.
23
Militar Concursos - Física
Lançamento Oblíquo
O Lançamento Oblíquo é caracterizado quando a velocidade inicial de lançamento de um corpo assume um certo
ângulo como plano horizontal. Nesse sentido, esse lançamento se difere dos demais visto até omomento, uma vez que
além da componente horizontal da velocidade inicial, também será percebida uma componente vertical da velocidade
inicial.
Análise dos Movimentos
Pelo Princípio da Independência dos Movimentos, iremos começar nossa abordagem avaliando os movimentos
separadamente em seus eixos. Assim, suponha que determinado projétil é lançado com uma velocidade inicial de
módulo v0. Essa velocidade possui uma componente horizontal dada por v0x e uma componente vertical dada por
v0y . Assim, podemos afirmar que v0x não sofrerá qualquer tipo de alteração ao longo da trajetória, uma vez que não
componentes de aceleração atuantes sobre esse eixo. Por outro lado, v0y irá variar, de modo retardado inicialmente, e
depois demodo acelerado. Portanto, teremos em x umMRU e em y umMRUV, assim como acontece em um Lançamento
Horizontal. No Lançamento Oblíquo, no entanto, teremos v0y ̸= 0, o que não ocorre em um Lançamento Horizontal.
Supondo o ponto de lançamento como referência do sistema e os sentidos positivos dos eixos x e y como sendo
os sentidos das respectivas componentes de v⃗0, formamos as equações horárias dos movimentos. Em x teremos
x(t) = x0 + v0x. t, logo x(t) = 0 + v0x. t = v0x. t. Para o módulo da aceleração da gravidade sendo g, teremos em y
y(t) = y0 + v0y. t− 12g. t
2 = 0 + v0y. t− 12g. t
2 = v0y. t− 12g. t
2.
Como queremos entender o comportamento da trajetória, basta termos x em função de y, ou ao contrário. Assim,
devemos eliminar o tempo das equações acima. Logo, x(t) = v0x. t → t = x(t)v0x . Substituindo na equação de y e
eliminando a dependência do tempo, teremos
y = v0y.
(
x
v0x
)
− 1
2
g.
(
x
v0x
)2
=
(
v0y
v0x
)
. x−
(
g
2 (v0x)
2
)
. x2,
o que nos mostra a equação de uma parábola voltada para baixo, uma vez que o coeficiente de x2 é negativo e,
assim, a concavidade segue os valores negativos de y. O Lançamento Oblíquo nos mostra que há uma simetria da
trajetória, de tal modo que o objeto lançado parte de sua posição original (centro do sistema cartesiano), após um
certo período atinge uma Altura Máxima e depois percorre uma trajetória simetrica à trajetória percorrida durante a
subida, performando uma parábola perfeita.
Decomposição Vetorial da Velocidade Inicial
Supondo que o vetor velocidade inicial assuma umânguloαcomoplano horizontal, devemos achar as componentes
v0x e v0y , velocidades iniciais em x e y, respectivamente, em função de α e de v0. Decompondo o vetor v⃗0segundo o
24
Militar Concursos - Física
ângulo α, obtemos, portanto, v0x = v0. cos(α) e v0y = v0. sen(α). Natural supor que α se trata de um ângulo agudo,
determinando corretamente o valor positivo das componentes acima calculadas. Recuperando a equação da parábola
determinada pela relação de x com y, podemos reescrevê-la de modo a inserir a decomposição vetorial encontrada.
Assim, y = tg(α). x−
(
g
2.v20 . cos
2(α)
)
. x2 será a equação da trajetória.
Tempo de Subida e Tempo Total
Sabemos que no eixo y o projétil descreverá um MRUV. Podemos, portanto, utilizar a equação vy = v0y − g. t para
calcular a velocidade vy ao longo do tempo. Sabendo que o tempo de subida ts se configura como sendo o tempo,
desde o início do lançamento, até o momento em que o projétil não sobe mais, ou seja, sua variação em y é nula
(vy = 0), teremos 0 = v0y − g. ts → ts = v0yg . Em termos de v0 e α, teremos ts =
v0. sen(α)
g . Pela simetria da trajetória,
podemos concluir que o tempo total tt durante o lançamento será dado por tt = 2.v0. sen(α)g , uma vez que o tempo de
descida é igual ao tempo de subida.
Altura Máxima
A Altura Máxima atingida poderá ser calculada avaliando, novamente, somente o eixo y, de modo que temos a
relação de Torricelli v2y = v20y−2.g.∆y. Vale lembrar que o sinal negativo advém do fato de a gravidade estar em sentido
contrário (para baixo) ao estipulado no início de nossa análise. O deslocamento∆y, por sua vez, deverá ser positivo, já
que o projétil se desloca no sentido positivo de y (para cima). Dessamaneira, temos que 0 = v20y−2.g. hmx → hmx =
v20y
2.g .
Em termos de v0 e α, teremos hmx = v
2
0 . sen
2(α)
2.g .
Alcance Horizontal e Alcance Máximo
Quando falamos de “alturas”, estamos envolvidos com o eixo y. No caso de “alcances”, teremos o eixo x como
foco. Nesse caso, estamos interessados em calcular a distância horizontalmente percorrida pelo projétil. Sabemos
que o projétil descreve um MRU no eixo x, de modo que temos x(t) = v0x. t = v0. cos(α). t. Se quisermos calcular o
25
Militar Concursos - Física
Alcance Horizontal do projétil, devemos utilizar nessa equação o tempo total tt gasto pelo projétil para percorrer toda
a trajetória. Assim, utilizando o valor de tt = 2.v0. sen(α)g , temos
alcance = v0. cos(α). tt =
2.v20 . sen(α)cos(α)
g
.
Retornando para os valores de v0x e v0y , temos alcance = 2.v0x.v0yg . Analisando a fórmula obtida para o alcance,
em que temos somente a dependência com o ângulo α, podemos avaliar quando esse alcance poderá ser máximo.
Pois bem, utilizando a identidade trigonométria sen(2α) = 2sen(α)cos(α)reescrevemos o alcance da seguinte forma:
alcance =
v20 . sen(2α)
g . Assim, sabendo que sen(2α) ≤ 1, temos que o alcance será máximo quando sen(2α) = 1.
Concluimos, portanto, que
alcancemx =
v20
g
.
Ainda falta um detalhe: para qual ângulo ocorrerá esse feito? Bom, precisamos resolver a equação trigonométrica
que criamos, sen(2α) = 1, dadas as devidas restrições do problema. Temos, então, que o ângulo procurado advém da
relação 2α = π2 → α =
π
4 . Em um Lançamento Oblíquo, portanto, o Alcance Máximo possível ocorrerá quando o ângulo
de inclinação do lançamento for igual a 45◦.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(EEAR) Um plano cartesiano é usado para representar a trajetória do lançamento de um projétil. O eixo vertical
representa a altura (y) e o eixo horizontal a posição (x) do projétil lançado com uma velocidade de módulo igual a “v”
sob um ângulo θ em relação à horizontal, conforme o desenho. Durante todo o deslocamento, não há nenhuma forma
de atrito. A trajetória resultante do lançamento é uma parábola.
Na altura máxima dessa trajetória, podemos afirmar que o projétil possui
a) apenas um vetor velocidade vertical de módulo igual a v.senθ.
b) apenas um vetor velocidade horizontal de módulo igual a v.cosθ.
c) vetor velocidade com componente vertical não nula e menor que v.senθ.
d) vetor velocidade com componente horizontal não nula e menor que v.cosθ.
Solução
A altura é máxima quando cessa a variação de deslocamento em y. Em outras palavras, a componente em y da
velocidade torna-se nula, o que ocorre devido à ação da gravidade. A componente horizontal, por outro lado, não se
altera ao longo da trajetória,de modo que se mantém constante e igual a v. cos(θ).
26
Militar Concursos - Física
Nível 2
(EFOMM - adaptada) Uma bola é lançada obliquamente e, quando atinge a altura de 10 m do solo, seu vetor veloci-
dade faz um ângulo de 60◦ com a horizontal e possui uma componente vertical de módulo 5,0 m/s .
Desprezando a resistência do ar, a altura máxima alcançada pela bola, em metros, é
a) 45/4
b) 45/4
c) 50/4
d) 50/4
e) 15
Solução
Podemos supor o lançamento oblíquo com referência em A. Assim, teremos a velocidade de lançamento indicada,
bem como o ângulo de inclinação. Assim, teremos
∆h = hmx − 10 =
v20y
2.g
→ hmx = 10 +
25
20
=
225
20
=
45
4
m
(EsPCEx) Umprojétil é lançado obliquamente, a partir de um solo plano e horizontal, com uma velocidade que forma
com a horizontal um ângulo α e atinge a altura máxima de 8,45 m. Sabendo que, no ponto mais alto da trajetória, a
velocidade escalar do projétil é 9,0 m/s, pode-se afirmar que o alcance horizontal do lançamento é:Dados: intensidade
da aceleração da gravidade g=10 m/s2 despreze a resistência do ar
a) 11,7 m
b) 17,5 m
c) 19,4 m
d) 23,4 m
e) 30,4 m
Solução
Com as informações do enunciado, temos que a velocidade horizontal ao longo da trajetória será de 9 m/s, uma
vez que é a única componente presente no ponto de altura máxima. Temos ainda que hmx =
v20y
2.g → v0y =
√
2.10.8, 45 =
13m/s. Concluimos, portanto, que alcance = 2.v0x.v0yg =
2.9.13
10 = 23, 4m.
27
Militar Concursos - Física
Nível 3
(ITA) Numa quadra de volei de 18m de comprimento, com rede de 2,24m de altura, uma atleta solitária faz um saque
com a bola bem em cima da linha de fundo, a 3,0 m de altura, num ângulo θ de 15◦ com a horizontal, conforme a figura,
com trajetória num plano perpendicular a rede. Desprezando o atrito, pode-se dizer que, com 12 m/s de velocidade
inicial, a bola
a) bate na rede.
b) passa tangenciando a rede.
c) passa a rede e cai antes da linha de fundo.
d) passa a rede e cai na linha de fundo.
e) passa a rede e cai fora da quadra.
Solução
Precisamos saber a altura da bola ao percorre metade da quadra. Para os valores fornecidos, temos a relação
y = y0 + tg(θ). x−
(
g
2.v20 . cos
2(θ)
)
. x2 → y = 3 + tg(15◦). 9−
(
10
2.122. cos2(15◦)
)
. 92
Para tg(15◦) = 2 −
√
3 ∼= 0, 27 e cos2(15◦) = 1+cos(30
◦)
2 =
2+
√
3
4
∼= 0, 93, temos y ∼= 2, 4m. Concluimos, portanto, que
a bola passa por cima da rede, que possui 2,24 m de altura. Agora, devemos saber em qual posição x a bola atinge o
solo. Na verdade, deveremos dizer somente se cairá antes ou depois de completar os 18m de quadra.
Substituimos x = 18m na equação da parábola e com a devida aproximação calculamos o valor de y. Se o valor de y
for positivo, a bola cairá depois. Caso y seja negativo, a bola cairá antes. Isso é possível devido à referência de y estar
na quadra. Percebe que o valor inicial de y foi considerado como 3. Assim,
y = 3 + tg(15◦). 18−
(
10
2.122. cos2(15◦)
)
. 182 ∼= −4, 2m
Logo, a bola passa a rede e cai antes da linha de fundo.
Movimento Circular Uniforme
Nesta seção iremos estudar o movimento dos corpos quando esses descrevem trajetórias circulares. Mais precisa-
mente, quando o módulo da Velocidade Tangencial não varia, apesar de descrever tal trajetória.
28
Militar Concursos - Física
Posição Angular
Em trajetórias circulares, é comum expressarmos as Grandezas Cinemáticas em termos angulares. Nesse sentido,
pense na situação em que uma partícula descreve uma trajetória circular. Se depois de um certo intervalo de tempo
essa partícula se move 360◦ ao longo da circunferência, ela com certeza retornará à posição original. Nesse exemplo,
em termos angulares, a partícula se movimentou 360◦ graus. O que dizer sobre o espaço percorrido? Sabemos da
Matemática que a partícula percorreu um espaço 2πR, ou seja, toda a circunferência (note que 360◦ = 2π radianos).
Assim, somos capazes de verificar a diferença entre posição linear se posição angular φ. No caso apresentado, ∆s =
2πRe ∆φ = 360◦ = 2π. Definimos, portanto, a relação entre ∆s e ∆φ: ∆φ = ∆sR , em que R é o raio da circunferência
descrita na trajetória.
Velocidade Angular
Em termos da velocidade, podemos analisar a Velocidade Angular como sendo a taxa com que a Posição Angular
varia, em um intervalo de tempo. Nesse sentido, definimos a Velocidade Angular ω como sendo ω = ∆φ∆t . Como visto
anteriormente, ∆φ = ∆sR , logo, ao substituir ∆φ na equação de ω , teremos ω =
∆s
R
∆t =
∆s
R∆t =
v
R . Perceba que v =
∆s
∆té
a Velocidade Tangencial e, em se tratanto de um Movimento Circular Uniforme, essa velocidade é constante. Desse
modo, dado que ω = vR , a Velocidade Angular também será constante.
Aceleração Centrípeta e Aceleração Tangencial
Quando uma partícula descreve um MCU, há uma aceleração perpendicular ao movimento. Essa aceleração é a
responsável por alterar a direção da partícula, sem alterar o valor do módulo de sua Velocidade Tangencial. Damos o
nome de Aceleração Centrípeta a esse tipo de aceleração devido à direção do vetor sempre apontar para o centro da
circunferência. O módulo da Aceleração Centrípeta é dado pela relação |⃗ac| = |v|
2
R , em que v é a Velocidade Tangencial
e R o raio da circunferência. Em termos da Velocidade Angular, podemos dizer também que |⃗ac| = |v|
2
R =
|ωR|2
R = ω
2R.
Cuidado! Os vetores Velocidade e Aceleração variam em um MCU, mas seus módulos são constantes. E quanto à
Aceleração Tangencial? No caso de um MCU, tal aceleração será nula, uma vez que não há variação da Velocidade
Tangencial. Estudaremos o caso em que existe uma Aceleração Tangencial diferente de zero na aula seguinte, em um
Movimento Circular Uniformemente Variado.
Período e Frequência
Em um Movimento Circular, podemos nos perguntar: quanto tempo a partícula leva para percorrer uma revolução
completa (360◦ = 2πrad)? Nesse caso, estaremos interessados em descobrir o Período Tdo movimento. De posse
da relação ω = ∆φ∆t , podemos substituir os valores de ∆φ = 2πe ∆t = T , obtendo ω =
2π
T . Em um MCU, como a
29
Militar Concursos - Física
Velocidade Angular ω é constante, o Período T também será constante. Dizemos, portanto, que o MCU é ummovimento
periódico. Poderíamos também fazer a seguinte pergunta: em um segundo, quantas voltas a partícula performa? Bom,
nesse caso estaríamos buscando a Frequência do movimento. Mais precisamente, sua Frequência f em uma unidade
chamada hertz (Hz), equivalente a rotações por segundo (RPS). Se um disco gira com uma Frequência f = 1Hz, por
exemplo, significa que o disco realiza uma volta por segundo. E se tal disco realiza as rotações a uma frequência
de 120 RPM (rotações por minuto), qual seria sua Frequência em hertz? Precisamos converter a Frequência em um
segundo (definição de Hz). Assim, f = 120RPM = 120 rotaçes
1 min =
120 rotaçes
60 segundos = 2Hz. A relação existente entre Período
e Frequência é a famosa “o Período é o inverso da Frequência”. Matematicamente, temos T = 1f . Assim, temos ainda
que ω = 2πf .
Equação Horária do MCU
De modo análogo ao MRU, podemos definir uma equação que descreva a trajetória circular em termos angulares.
De posse das Grandezas Cinemáticas Angulares vistas nesta seção, podemos verificar que ω = ∆φ∆t =
φ(t)−φ(0)
t−t0 . Se
considerarmos t0 = 0e φ(0) = φ0, obtemos φ(t) = φ0 + ω. t.
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(EEAR) Para explicar como os aviões voam, costuma-se representar o ar por pequenos cubos que deslizam sobre
a superfície da asa. Considerando que um desses cubos tenha a direção do seu movimento alterada sob as mesmas
condições de ummovimento circular uniforme (MCU), pode-se afirmar corretamente que a aceleração _____ do “cubo”
é _____ quanto maior for o módulo da velocidade tangencial do “cubo”.
a) tangencial; maior.
b) tangencial; menor.
c) centrípeta; menor.
d) centrípeta; maior.
Solução
A direção em um MCU é alterada devido a aceleração centrípeta, dada por ac = v
2
R . Assim, quanto maior for a
velocidade tangencial, maior será o valor da aceleração centrípeta.
(EEAR) Devido ao mau tempo sobreo aeroporto, uma aeronave começa a executar ummovimento circular uniforme
sobre a pista, mantendo uma altitude constante de 1000 m. Sabendo que a aeronave possui uma velocidade linear de
500 km/h e que executará o movimento sob um raio de 5 km, qual será o tempo gasto, em h, para que essa aeronave
complete uma volta.
30
Militar Concursos - Física
a) π/50.
b) π/10.
c) 10π.
d) 50π.
Solução
O tempo para completar uma volta é o período. Temos que v = ωR → v = 2πRT → T =
2πR
v . Substituindo a equação
do período com os valores dados na questão, temos T = 2π.5500 =
π
50 .
Nível 2
(EEAR) O movimento de rotação de uma polia de raio igual a 20 cm é transmitida a outra de raio 5 cm por meio de
uma correia que não desliza, conforme o desenho.
Como a polia maior gira com uma frequência igual a 400 rotações por minuto (rpm), a frequência, em rpm, da polia
menor é
a) 1600
b) 400
c) 100
d) 25
Solução
Estamos diante de um acoplamento. Como a correia possui um comprimento fixo, o comprimento que passa por
uma polia é igual ao comprimento que passa na outra polia. Assim, temos que ∆α.Rα = ∆β.Rβ → ∆α∆t .Rα =
∆β
∆t .Rβ .
Concluimos, portanto, que em situações desse tipo sempre teremos
ωα.Rα = ωβ .Rβ
Com os dados da questão, obtemos 400.20 = ωβ .5 → ωβ = 1600 rpm
(EEAR) Uma roda de bicicleta é composta de uma catraca (C), um pneu (P), 8 raios (R) e um aro (A). A distância
(D) do centro da catraca a borda do pneu é de 0,6 m, conforme o desenho. A catraca está unida aos raios que por
sua vez estão presos ao aro. O pneu é preso ao aro. Essa montagem permite que a catraca e o pneu girem juntos
e coaxialmente. Se a frequência de rotação da catraca é igual a 5 rotações por segundo, a velocidade tangencial do
pneu, em π m/s, é igual a
31
Militar Concursos - Física
1. 3
2. 5
3. 6
4. 10
Solução
Como a catraca e o pneu giram juntos, temos que ωC = ωP → ωP = 2πfC = 10π rad/s.
Como temos ωP = vPRP , concluimos, portanto, que vP = 10π.0, 6 = 6πm/s.
(EFOMM) Considere uma polia girando em torno de seu eixo central, conforme figura abaixo. A velocidade dos
pontos A e B são, respectivamente, 60 cm/s e 0,3 m/s. A distância AB vale 10 cm. O diâmetro e a velocidade angular
da polia, respectivamente, valem:
a) 10 cm e 1,0 rad/s
b) 20 cm e 1,5 rad/s
c) 40 cm e 3,0 rad/s
d) 50 cm e 0,5 rad/s
e) 60 cm e 2,0 rad/s
Solução
Nessa situação, os pontos giram ângulos iguais em um mesmo intervalo de tempo. Temos então ωA = ωB → vARA =
vA
RB
→ 60.RB = 30.RA. Logo, RA = 2RB . Além disso temos que diferença entre os raios vale 10 cm. De modo que
tenhamos RA = 20 cm e RB = 10 cm. Dessa forma, o diâmetro da polia será 20 cm e a velocidade angular poderá ser
dada por ωA = vARA =
60
20 = 3 rad/s.
32
Militar Concursos - Física
Nível 3
(IME)
A figura acima apresenta um cilindro que executa um movimento simultâneo de translação e rotação com veloci-
dades constantes no interior de um tubo longo. O cilindro está sempre coaxial ao tubo. A folga e o atrito entre o tubo
e o cilindro são desprezíveis. Ao se deslocar no interior do tubo, o cilindro executa uma rotação completa em torno
do seu eixo a cada 600 mm de comprimento do tubo. Sabendo que a velocidade de translação do cilindro é 6 m/s, a
velocidade de rotação do cilindro em rpm é:
a) 6
b) 10
c) 360
d) 600
e) 3600
Solução
Deslocando-se 600mm, o cilindro executa uma volta, de modo que ao determinar o tempo em que isso ocorre
estaríamos obtendo o período de rotação. O tempo necessário para percorrer 600mm é dado por T = 6006000 = 0, 1s. A
frequência será, portanto, f = 1T = 10Hz. Como Hz é uma unidade equivalente a rps, em rpm teremos f = 60.10 =
600 rpm.
Movimento Circular Uniformemente Variado
Em um MCU, o módulo da Velocidade Angular não varia, ou seja, é constante. Além disso, podemos concluir al-
gumas relações em função desse fato como: o módulo da Velocidade Tangencial não varia, assim como o módulo
da Aceleração Centrípeta, e a Aceleração Tangencial é nula. Em um Movimento Circular Uniformemente Variado, que
chamaremos de MCUV, a Velocidade Angular irá variar de modo uniforme, ou seja, a uma taxa constante. Bons estudos!
33
Militar Concursos - Física
Relação entre as Grandezas Retilíneas e Curvilíneas
Em um MCUV, além da conhecida Aceleração Centrípeta (que mantém a trajetória em curva), teremos uma Aceler-
ação Angular, que, por definição do movimento, será constante e não nula. Isso significa que se tomarmos intervalos
de tempos iguais uma partícula não mais percorrerá ângulos iguais, o que, vale lembrar, ocorria em um MCU. A Acel-
eração Tangencial at se relaciona com a Aceleração Angular α de acordo com a equação at = Rα. Ambas as grandezas
são vetoriais e orientadas tangencialmente à curva, no entanto, a abordagem em termos dos seus módulos será o
foco de nosso estudo. Além disso, vale lembrar que a Aceleração Centrípeta também é vetorial e tem direção radial
apontada para o centro da circunferência. Seu módulo ainda será dado pela relação |ac| = |v|
2
R , em que |v| indica o
módulo da Velocidade Tangencial em determinado instante. Sob o aspecto das derivadas (aqui tratadas como taxas de
variação instantânea das Grandezas Cinemáticas), temos que ω(t) = dφ(t)dt e α(t) = α =
dω(t)
dt =
d2φ(t)
dt2 . Note na última
equação que omitimos a dependência de α com o tempo, já que no MCUV a Aceleração Angular é constante. Perceba,
ainda, o paralelo que pode ser feito com as Grandezas Cinemáticas tangenciais. Em termos dessas grandezas, impor-
tante lembrar, teremosv(t) = ds(t)dt e at(t) = at =
dv(t)
dt =
d2s(t)
dt2 . Essas equações ainda serão válidas para o MCUV, se
quisermos uma abordagem tangencial (linear) e concluiremos esse fato quando falarmos logo mais sobre as equações
horárias. Isso significa que as equações horárias encontradas no estudo do MRUV são também válidas na análise tan-
gencial do MCUV. Uma vez que podemos Demonstra-se, contudo, que dv(t)dt = R
dω(t)
dt = R
d2φ(t)
dt2 = Rα. Assim, podemos
reconsiderar as equações horárias tangenciais com uma abordagem angular, como veremos a seguir.
Equações Horárias do MCUV
De acordo com o que foi discutido anteriormente, temos capacidade de obter as equações horárias do MCUV em
termos angulares. Para isso, devemos admitir α = d
2φ
dt2 constante além de admitir também as condições iniciais do
movimento, quais sejam a velocidade angular inicial ω0 = dφ(0)dt e a posição angular inicial φ0 = φ(0). Por fim, lem-
bramos da relação ω = dφdt para deduzirmos as equações horárias do MCUV: φ(t) = φ0 +ω0. t+
1
2α. t
2 e ω(t) = ω0 +α. t.
Bom, alguns comentários pertinentes acerca dessas equações.
1) Perceba a analogia imediata com relação às equações obtidas para o MRUV;
2) Note que também fizemos a consideração de t0 = 0, o que é bastante razoável;
3) Multiplicando ambas as equações pelo raio R, obtemos
Rφ(t) = Rφ0 +Rω0. t+
1
2Rα. t
2 e Rω(t) = Rω0 +Rα. t.
Com as relações conhecidas vistas anteriormente, concluimos que tais equações são equivalentes a s(t) = s0 +
v0. t+
1
2at. t
2 e v(t) = v0 + at. t, respectivamente, ambas equações de um MRUV; e
4) Por fim, pode-se ainda deduzir o paralelo angular de Torricelli, da mesmamaneira que fizemos em umMRUV, uma
vez que há uma analogia entre as equações. Assim, o “Torricelli Angular” é dado por ω2 = ω20 + 2α∆φ, uma equação
não-horária.
34
Militar Concursos - Física
Exercícios Resolvidos
Nível 1
(SEDU-ES) Uma partícula descreve uma circunferência de centro O, em movimento uniformemente retardado, no
sentido horário.
No ponto P, indicado na figura, a velocidade e a aceleração vetoriais da partícula estão melhor representadas em
a)
b)
c)
d)
e)
Solução
O vetor velocidade será orientado para baixo verticalmente, pois trata-se da velocidade tangencial. Com isso já
marcamos a letra C como gabarito, a única que apresenta um vetor nessa situação. Ademais, como o movimento é
retardado, o módulo da velocidade tangencial diminui. Isso significa que há aceleração tangencial contrária ao vetor
velocidade. Além da aceleração tangencial, há também a aceleraçãocentrípeta, que mantém o movimento circular. A
soma vetorial da aceleração para o centro e para cima configura o vetor apontado para noroeste indicado na letra C,
conforme esperado.
35
Militar Concursos - Física
Nível 2
(IME - adaptada) Um projétil é lançado obliquamente de um canhão, atingindo um alcance igual a 1000 m no plano
horizontal que contém a boca do canhão. Nesse canhão, o projétil parte do repouso executando um movimento
uniformemente variado dentro do tubo até sair pela boca do canhão. Ademais, a medida que o projétil se desloca no
interior do tubo, ele executa um movimento uniformemente variado de rotação, coaxial ao tubo. Tendo sido o projétil
rotacionado de 1 rad durante seu deslocamento dentro do canhão, sua aceleração angular, em rad/s2 , ao deixar o
canhão é:
Dados:
velocidade de saída do projétil: 100 m/s;
comprimento do tubo: 2 m;
a) 12,5
b) 25
c) 1250
d) 2500
e) 500
Solução
A velocidade de saída é obtida por meio de um MRUV dentro do tubo, assim v2 = 2.a.∆s → a = 10022.2 = 2500m/s2.
O tempo necessário adquirir a velocidade de saída é dado por v = a.t → t = 1002500 = 0, 04s.
Utilizando esse tempo para o deslocamento angular proposto no MCUV, temos
∆φ =
1
2
.α.t2 → α = 2.1
0, 042
= 1250 rad/s².
Nível 3
(AFA) A figura 1 abaixo apresenta um sistema formado por dois pares de polias coaxiais, AB e CD, acoplados por
meio de uma correia ideal e inextensível e que não desliza sobre as polias C e B, tendo respectivamente raios RA = 1
m, RB = 2 m , RC = 10 m e RD = 0,5 m.
A polia A tem a forma de um cilindro no qual está enrolado um fio ideal e inextensível de comprimento L = 10π m
em uma única camada, como mostra a figura 2.
36
Militar Concursos - Física
Num dado momento, a partir do repouso, o fio é puxado pela ponta P, por uma força constante que imprime uma
aceleração linear a, também constante, na periferia da polia A, até que o fio se solte por completo desta polia. A partir
desse momento, a polia C gira até parar após n voltas, sob a ação de uma aceleração angular constante de tal forma
que o gráfico da velocidade angular da polia D em função do tempo é apresentado na figura 3.
Nessas condições, o número total de voltas dadas pela polia A até parar e o módulo da aceleração a, em m/s2 ,
são, respectivamente,
a) 5n, π
b) 5n, 5π
c) 2(n – 1), 3π
d) 5(n + 1), 5π
Solução
A variação da velocidade angular de D será a mesma de C, uma vez que giram o mesmo espaço angular em um
dado intervalo de tempo. A reta indicada para a variação da velocidade angular de D em função do tempo obedece a
relação ω(t) = 2π − t5 . A aceleração de D e de C, portanto, será de intensidade
1
5 rad/s
2 e a velocidade angular inicial
será 2π.
Pelo acoplamento entre os dois pares de polias, temos αCRC = αBRB = αARB e ωCRC = ωBRB = ωARB .
Para a velocidade de 2π rad/s de D e C, teremos a velocidade angular de A, após o fio se soltar por completo, dada
pela relação ωA = ωCRCRB =
2π.10
2 = 10π rad/s.
A velocidade linear de A nessa situação será de vA = ωA.RA = 10πm/s.
Por Torricelli, teremos, portanto, que (10π)2 = 2.a.10π → a = 5πm/s2.
Pelas relações entre os raios de B e C, sabe-se que se C gira n voltas, B dará 5n voltas, dado que ωCRC = ωBRB →
ωB = 5ωC . Nesse sentido, A também dará 5n voltas.
Mas precisamos saber quantas voltas A girou durante a aplicação de F. Com o fio medindo 10πm e o raio de A
valendo 1m, sabe-se que cada volta custará 2πRA = 2πm de fio. Logo, A girou 5 voltas no início mais 5n voltas até
parar, totalizando 5(n+1) voltas.
37
Militar Concursos - Física
Movimento Uniforme
O movimento de um objeto é dito uniforme quando o módulo da velocidade desse objeto não varia ao longo do
tempo. Veremos primeiro o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), em que a velocidade do objeto é constante e a
trajetória por ele descrita é uma reta. Mas o que seria velocidade? E como sabemos se ela varia ou não?
Conceitos Iniciais – Posição, Velocidade e Aceleração
Posição
A posição de um objeto depende do referencial adotado, como vimos. Em termos unidimensionais, imaginemos
um eixo x, com o devido sentido positivo orientado, no qual são sinalizadas as posições de um determinado objeto
ao longo do tempo. Sendo assim, como exemplo, consideramos que esse objeto se desloca de modo retilíneo sobre
esse eixo x e temos então o referencial em x = 0.Podemos supor, portanto, que em algum momento o objeto ocupa
a posição x = 10,x = −5, etc. Se x indicar valores em metros, por exemplo, teremos uma boa noção de como esse
objeto se dispõe em relação ao referencial. Vejamos algumas outras definições:
Deslocamento
Em certas aplicações, não estaremos preocupados com a posição instantânea dos corpos, como visto, anterior-
mente, e sim no deslocamento. O deslocamento de um objeto pode ser definido como sendo a variação de sua posição
em dois instantes. Dessa forma, o deslocamento será dado por ∆s = sf − si, uma vez que teremos uma posição fi-
nal sfe uma posição inicial si. Imagine, por exemplo, um objeto com as seguintes posições em 5 instantes distintos:
s0 = 0m,s1 = 5m,s2 = 15m,s3 = −10me s4 = 0m. Podemos, dessa forma, calcular alguns deslocamentos, como por
exemplo entre s0e s1teremos∆st0→t1 = s1−s0 = 5−0 = 5m. Entre s3e s2teremos∆st2→t3 = s3−s2 = −10−15 = −25m.
Teremos ainda ∆st3→t4 = s4 − s3 = 0 − (−10) = 10me ∆st0→t4 = s4 − s0 = 0 − 0 = 0m. Percebemos que apesar dos
deslocamentos intermediários o deslocamento final será zero, uma vez que o objeto retorna para a posição inicial,
nesse caso, a origem. E se esse objeto fosse um atleta fazendo um treinamento em que se repetisse essa sequência
de posições, digamos, 100 vezes? Apesar de correto, parece injusto dizer que seu deslocamento foi zero. Vejamos a
próxima definição.
Distância Percorrida
No caso sugerido do atleta, o deslocamento seria 0 m, isso não é negociável, afinal, o atleta volta a sua posição
inicial. Mas o atleta está cansado, gastou energia, o que parece a princípio estranho dado que o deslocamento é zero.
O problema nessa análise reside no caráter de o deslocamento ser uma grandeza vetorial, dependendo do referencial,
38
Militar Concursos - Física
o que torna o seu valor às vezes negativo, como vimos. Precisamos de uma medida para sabermos quanto o atleta
percorreu. Desse modo, temos a distância percorrida como uma grandeza escalar, sempre positiva. Para calcular essa
distância percorrida, devemos somar os módulos dos deslocamentos para cada intervalo de tempo, ignorando, assim,
o sinal. Quando calculamos ∆st2→t3 = −25m no exemplo anteriormente visto, temos que a distância percorrida
será, portanto, 25 m. Temos, assim, que a distância total percorrida pelo objeto do exemplo durante o intervalo de
t0 → t4será dada por |∆st0→t1 |+ |∆st1→t2 |+ |∆st2→t3 |+ |∆st3→t4 | = 5 + 10 + 25 + 10 = 50m.
Velocidade
Finalmente, o conceito de velocidade. A velocidade de um corpo é definida como sendo a taxa de variação da
posição desse corpo ao longo do tempo com relação a um referencial dado. Como estamos falando de uma taxa ao
longo do tempo, estamos diante de duas possibilidades: a análise do tempo em termos de intervalos e em termos
instantâneos. Pois bem, temos a velocidade média e a velocidade instatânea.
Velocidade Média
Para o cálculo de uma velocidade média, basta aplicarmos a definição dada. Se supormos o deslocamento de um
corpo indo do ponto A para o ponto B, com relação a um referencial dado, teremos: vmA→B = ∆sA→B∆tA→B =
sB−sA
tB−tA . Se
estamos diante de um movimento retilíneo uniforme, temos que a velocidade do objeto não varia ao longo da reta
por ele percorrida, e, portanto, sua velocidade média será constante.
Uma conversão de unidades usual em exercícios é a conversão de km/h para m/s e vice-versa. A velocidade em
km/h deverá ser dividida por 3,6 para obtermos a velocidade convertida em m/s. Se por outro lado tivermos a veloci-
dade emm/s e quisermos convertê-la para km/h, basta multiplicar por 3,6. Lembre-se: a velocidade emm/s é sempre
“menor”.
Velocidade Instantânea
Como vimos anteriormente, às vezes estamos interessados