Resumo de Sequências - Cálculo 3

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1 
Notas de Aula de NB003 
Prof. Melquisedec F. da Silva 
Sequências e Séries 
2014 
Para entender séries, antes precisamos entender o que é uma sequência, vamos ver que 
uma série é um tipo de sequência. 
 
Sequências Infinitas (ou Sequências de números reais). 
O que é uma sequência? 
Uma sequência infinita, ou, simplesmente sequência é uma sucessão interminável de 
números, chamados termos. Para representar sequência utilizamos a notação: 
 
Imagem,,,,,,,a
Domínio,,,5,4,3,2,1n
54321n KKK
KKK
naaaaaa
n
 
Ou mais precisamente, sequência é uma função onde o seu domínio é o conjunto dos 
números naturais. 
Definição 
 Suponha uma função 
RRRR NNNN
→ f : , que para cada NNNN∈n associa um nnnnaaaa
 real. 
Escrevemos: n a=)) ))(( (( n f 
Onde: n é o índice da sequência e nnnn
aaaa
 n-ésimo termo da sequência. 
 
Exemplos de sequências: Gráficos com auxílio do Mathcad. 
Exemplo 1 Sequência {n 2}
n 1 10..:=
a
n
n
2
:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
a1 = 12 = 1
a2 = 22 = 4
a3 = 32 = 9
a4 = 42 = 16
a5 = 52 = 25
Representação gráfica
1 
 
2 
 
Exemplo 2 : Sequência { 1
n
 }
n 1 20..:=
a
n
1
n
:=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2,0
5
1
a
25,0
4
1
a
33333,0
3
1
a
5,0
2
1
a
1
1
1
a
5
4
3
2
1
≈=
≈=
≈=
==
==
Representação gráfica
 
 
 
 
Exemplo 3: Sequência { 1
n
 }
n 1 26..:=
a
n
1
n
:=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.44721
5
1
a
0.5
4
1
a
0.57735
3
1
a
0.70711
2
1
a
1
1
1
a
5
4
3
2
1
≈=
==
≈=
==
==
Representação gráfica
 
 
 
3 
Exemplo 4: Sequência {sin n }
n 0 50..:=
a
n
sin n( ):=
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1
0.5
0.5
1
an
n
( )
( )
( )
( )
( ) -0.958925sina
-0.75684sina
0.141123sina
0.90932sina
0.841471sina
5
4
3
2
1
≈=
≈=
≈=
≈=
≈=
Representação gráfica
 
 
Exemplo 5: Sequência { 1−( )n } 
 Os termos na sequência { 1−( )n} oscilam entre -1 e 1. 
b
n
1−( )n:=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
1
1
2
 
 
 
Qual é o nosso interesse quando estudamos sequências? 
 
Saber o comportamento da sequência ( convergente ou divergente ) 
quando n cresce, ou seja, o que ocorre com a sequência se ∞→ n . 
 
É intuitivo que a sequência do Exemplo 2 se aproxima de zero e, a 
sequência do Exemplo 4 e do Exemplo 5, não tende para nenhum valor, é 
oscilante. 
 
 
4 
Temos que formalizar essa escrita. 
Quantificar essa noção significa a sequência tender a um valor quando 
∞+→n . Isto é a noção de limite. 
 
Definição de Limite 
 
 Dizemos que uma sequência { }na converge para o limite L, se dado 
qualquer ε > 0, existe 00n ≥ tal que 
 
 ε<− Lna , para todo 0nn ≥ , )(0n εf= . 
 εεεε LLLou nana +<<−∴<−<− . 
 
Se Épsilon é muito pequeno, tem que andar mais com os termos da sequência para cair 
dentro da faixa. 
Essa é a noção formalizada de se dizer que: Llim queou L =
∞→
→
n
n
a
n
a . 
Se 
∞→n
n
alim existe, diz-se que a sequência converge (ou é convergente). 
Caso contrário, diz-se que a sequência diverge (ou é divergente). 
 
Exemplo 6: Tomemos a sequência 
12
a
+
=
n
n
n e provemos que o limite da 
sequência é 2
1
. Da definição de limite, temos: 
 
( )
( )
.6 portanto,5
4
2
05,0
1
 temosassim 0.5, de
 tornoem faixa numa cai que para 05.0
100
5
 tomandoexemplo,Por .
4
21
 tomarbasta assim,
4
21124
24
1
24
1
 o apresentar que temos,
24
1
122
122
todopara
2
1
12
00
0
.0
0
nn
n
n
n
=
>
>
−
>
==
−
−
>⇒>+⇒<
+
=
+
−
<
+
−⇒<
+
+−
≥<−
+
εε
ε
ε
ε
εε
ε
nn
nn
nn
nn
n
n
n
 
A partir do termo a6 estou dentro da faixa. Portanto, dado qualquerε 
sempre encontro n0, essa é a ideia de convergir para L. 
 
 
5 
Ilustração gráfica da sequência 
 
a
n
n
2n 1+
:= Valor de Épsilon: εεεε = 0.05 
0 3 6 9 12 15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
L + ε }Faixa em torno de 0.5
L - ε
Gráfico da sequência { n
2n 1+
} 
 
 
Notamos na representação gráfica que para esse épsilon 05.0=ε o 6n0 = 
resolve o meu problema, veja que para K,9,8,7,6n0 = todos estão 
dentro da faixa. Está dentro da faixa significa 
 ↓ ↓ 
 
( )55.0,45.0 seja,ou , LLoua naLn εεε +<<−<− . 
 
Exemplo 7. Seja a sequência 






+1n
n
 
Para a sequência 






+1n
n
, temos: 1
1
→
+n
n
. 
Da definição de limite, temos: 
 
10 seja,ou ,91.0 Tomando.11 tomar basta assim ,11
11
1
1
1
1
1
11
1
Então,
n todopara1
1
000
0
nnn
n
=>→=−≥−>
>+⇒<
+
→<
+
−∴<
+
−−
∴<−
+
≥<−
+
ε
εε
ε
εεεε
ε
n
n
nnn
nn
n
n
n
n
 
 
 
6 
Representação gráfica do Exemplo 7. 
 
 
n 0 20..:= ε 0.1:=
b
n
n
n 1+
:=
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
 
 
De fato, vemos que a partir de 100n = , todos índices que seguem estão na faixa 
( )1.1,9.0 . 
Outro valor para épsilon: 01.0=ε 
 
n 0 120..:= ε 0.01:= b
n
n
n 1+
:=
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0.9
0.91
0.93
0.94
0.95
0.96
0.98
0.99
1
1.01
1.03
1.04
1.05
1.06
1.08
1.09
1.1
 
 
Eventualmente se cai dentro da faixa e a faixa pode ser tão pequena quanto se queira, 
sempre encontramos um valor de 0n para cair na faixa. Aqui a faixa é ( )01.1;99.0 
 
7 
Podemos tirar conclusões sobre limites de sequências sem necessariamente fazer 
uso da definição de limite. O que permitirá tirar essas conclusões são as 
Propriedades e os Teoremas. 
 
Propriedades para limites de sequências 
 
Se constante. uma é e2L e1L knbna →→ Então, vale as seguintes propriedades: 
( ) 211 L L.P lim +=+
∞→ n
bnan Limites notáveis: 1. 0 então,1 Se nlim =< ∞→
naa 
( ) 212 L L.P lim −=−
∞→ n
bnan 2. ∞=> ∞→
naa
n
lim então,1Se 
( ) 213 L L.P lim ×=×
∞→ n
bnan 3. 
k
e
n
n
k
n
=+
∞→





1lim 
( ) 14 L.P lim ⋅=⋅
∞→
kk nan 
0Lse
L
L
.P 2
2
1
5 lim ≠=







∞→
n
b
n
a
n
 
 
Exemplo 8. 
Para as sequências que seguem, determine se as mesmas convergem ou divergem. Se 
convergir, ache o limite. 
 (a) { } ∞
=1
2
n
n (b) { }
∞
=
−
1
6
n
n (c) 
∞
=





+ 114 nn
n
 (d) ( ) ∞
=
+






+
−
1
1
14
1
n
n
n
n
 (e) ( )






−
+
n
n 11 1 
 
Teoremas 
 
Teorema 1. Limite de uma sequência por função extensão. 
 
 Seja a função )(xf (função extensão) definida no intervalo [ )∞,1 e seja a 
sequência{ }na definida por )(a nfn = para cada inteiro positivo n. Então, se 
 L)(lim =
∞→
xf
n
, segue-se que Llim =
∞→ n
a
n
. 
 
Qualquer função contínua vista no seu domínio sobreo conjunto dos números 
inteiros se torna uma sequência. 
 
 
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
2
3
4
 
Observação: Quando estivermos calculando 
limite no estudo das séries, as propriedades P3 
e P5 não valerão. 
 
O Teorema 1 não é demonstrado, 
mas o seu resultado é fácil de ser 
entendido. Basicamente ele diz que 
se uma função contínua converge 
para L quando ∞+→x , então 
considerando a sequência )(nf , 
teremos esta sequência convergindo 
para o mesmo número L. O gráfico 
ao lado mostra exatamente isto. 
 
8 
Nos casos em que é possível o uso do Teorema 1, o cálculo de limites de sequências 
torna-se simples, especialmente quando usamos a famosa regra de L’Hôpital. 
 
Exemplo 9. Seja calcular o limite da sequência 






n
nln
. 
Solução: 
 Tomemos a função extensão 
x
x
xf ln)( = definida para todo 1≥x e coincidente 
com a sequência dada em inteiros positivo. 
 
A função 
x
x
xf ln)( = é uma indeterminação da forma 
∞
∞
 com ∞+→x . 
Aplicando a regra L’Hôpital para obter 
 0
1
0
1
lim
)(
)ln(
limlnlim
1
====
∞→∞→∞→
x
xxx
x
dx
d
x
dx
d
x
x
. Concluímos que 0lnlim =
∞→ n
n
n
. 
Portanto a sequência é convergente. 
 
Observe que primeiro concluímos sobre o que ocorre com o limite da função 
contínua no infinito e depois, pelo Teorema 1, a sequência terá o mesmo limite. 
 
Exemplo 10. Idem para a sequência 






n
n
5
2
. 
 
Teorema 2. Teste da razão para sequência. 
Se uma sequência { }na de termos positivos satisfaz à condição 11lim <=+
∞→
l
na
n
a
n
, 
então ela converge para zero. 
 
Para provar que{ }na converge para zero, raciocinamos por absurdo admitindo que seu 
limite seja um número 0≠s . Como a sequência { }1a +n também converge para s, por 
ser uma subsequência de { }na , resulta que: 
 1
 l
1l
lim im
im
1
==
∞→
+∞→
==
+
∞→ s
s
n
a
n
n
a
n
a
al
n
n
n
 
 
Exemplo 11. Usando o Teorema 2 provaremos que as sequências 
 
{ } n
n
n
n
!
a = , { } 0,
!
b >= r
n
r
n
n
, { } ( )12531
!
c
−⋅⋅⋅⋅
=
n
n
n
K
 e { }
n
p
n
n 2
d = 
convergem todas para zero. 
 
 
9 
O Teorema a seguir é útil para encontrar o limite de sequências com termos positivos e 
negativos. 
 
Teorema 3. Convergência absoluta. 
 
 “ Se ,0lim =
∞→ n
a
n
 então 0lim =
∞→ n
a
n
” 
Ele estabelece que se a sequência 






n
a obtida tomando-se o valor absoluto de cada 
termo na sequência{ }na converge para zero, então{ }na também converge para zero. 
 
Exemplo 12. Considere as sequências: 
(a) ( ) LLL ,1,,
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1
n
n
−
−−− (b) ( ) LLL ,
2
1
,,
2
1
,
2
1
,
2
1
,
2
1
,1 432 n
n
−
−− 
 
Ordem de crescimento de uma função 
 
Se 





∞=
≠=
=
∞→
0
0
)(lim finitonf
n
 ou 





∞=
≠=
=
∞→
0
0
)(
)(lim finito
ng
nf
n
, supor essas condições. 
 
(a) ).( que domaior ocresciment de ordem)(,)()(0)(
)(lim nfngngnf
ng
nf
n
<⇔=
∞→
 
 
(b) ).( de ocresciment de ordem mesma)(,)()(0finito)(
)(lim ngnfngnf
ng
nf
n
≈⇔≠=
∞→
 
 
 
).( que domaior ocresciment de ordem)(
,)()(0)(
)(lime)(
)(lim (c)
ngnf
ngnf
nf
ng
ng
nf
nn
>⇔=∞=
∞→∞→
 
 
Exemplo da ordem de crescimento de algumas funções: 
 
1
!logconstate)(
>
<<<<<
a
nnannc nnka
 
Provar a ordem de crescimento olhando para os limites. 
Exemplo 13. Estudar o limite da sequência 






k
n
n
a
. 
Escrevendo a função na variável x contínua: 
( )
( ) ( ) knnaxa
xx
xxxx
k
k
a
k
k
a
x
a
k
xkk
a
x
a
k
xk
a
x
a
k
x
x
a
k
x
x
a
>⇒∞=
∞→∞→
∞→∞→∞→∞→
==
=
−
−
=
−
=→
∞
∞
=
limlim
limlimlimlim
!
ln
!
ln
11
2)(ln
1
ln
 HôpitalL'aplicar 
L
L