SPIN E MOMENTO MAGNÉTICO

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FIS102- Estrutura da Matéria II
Profa. Maria do Rosário Zucchi
2014.1
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Spin e Momento Magnético
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Níveis de energia do átomo de hidrogênio
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Desdobramento nos níveis de energia do átomo de hidrogênio
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Estrutura fina do hidrogênio
Quando as linhas espectrais do espectro do átomo de hidrogênio são examinadas em alta resolução, são encontrados dubletos. Essa separação é chamada estrutura fina e foi a primeira evidência experimental do spin.
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Experimento de Stern-Gerlach
Esse experimento (1921) confirma a quantização do spin eletrônico em duas orientações. Essa foi a maior contribuição para o desenvolvimento da teoria quântica do átomo.
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
Experimento de Stern-Gerlach
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
Momento de Dipolo Magnético
Da expressão clássica para o momento magnético, m = IA, 
pode ser deduzida uma expressão para o momento magnético de um e- circulando em uma órbita circular em torno do núcleo. 
O momento magnético é um vetor com direção perpendicular ao loop de corrente e a direção é dada pela regra da mão direita. 
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Na presença de um campo magnético externo, o torque é dado por:
O trabalho realizado na mudança de orientação, d, do momento magnético em relação a direção do campo magnético externo, é dado por:
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Esse torque tende alinhar o momento magnético com um campo magnético B, essa configuração representa o mais baixo estado de energia. A energia potencial associada com esse momento magnético é:
Essas relações para um loop de corrente finito se estende ao momento de dipolo para as órbitas eletrônicas e para momento magnético intrínseco associado ao spin eletrônico. Se aplicam também para momento magnético nuclear.
a diferença de energia entre spin alinhado e anti-alinhado é:
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Momento Magnético Orbital do Elétron
Da expressão clássica para o momento magnético, m = IA, pode ser deduzida uma expressão para o momento magnético de um elétron circulando em uma órbita circular em torno do núcleo. Ele é proporcional ao momento angular do elétron. A corrente efetiva é: 
Ou: 
Então o momento magnético é: 
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Utilizando a quantização do momento angular para essas órbitas, a magnitude do momento magnético pode ser:
                          
                                                                                                         
Uma unidade de momento magnético chamada " magneton de Bohr " é introduzida aqui. 
                                                                                                                                                 
A componente-z do momento magnético é dada por:
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Modelo vetorial para o momento angular orbital
O momento angular orbital para um elétron atômico pode ser visualizado em termos de um modelo vetorial onde o vetor momento angular precessiona em torno de uma direção no espaço. O vetor momento angular tem uma magnitude l, somente um máximo da unidade l pode ser medida ao longo de uma dada direção, onde l é o número quântico orbital. 
Desde que exista um momento magnético associado com o momento angular orbital, a precessão pode ser comparada com a precessão de um momento magnético clássico causado pelo torque externo por um campo magnético (precessão de Lamor)
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Enquanto esse "vetor“ é um tipo especial de vetor porque sua projeção ao longo da direção no espaço é quantizada em unidade de valores de momento angular. O diagrama a seguir ilustra as possibilidades de valores para o número quântico magnético, ml , para l=2 pode ter os valores:
ou generalizando:
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Componentes de L
Pela definição do momento angular orbital da mecânica clássica:
Em termos de suas coordenadas cartesianas, o quadrado do módulo é:
Na mecânica quântica mostra-se que o autovalor de L2 e o de Lz, associados aos harmônicos esféricos são:
onde l é o número quântico orbital e ml, o número quântico azimutal ou número quântico magnético, dado por:
Devido ao princípio da incerteza (Heisemberg), conhecida uma das componentes Lz, as outras ficam completamente indeterminadas.
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Experimento de Stern-Gerlach
Esse experimento (1921) confirma a quantização do spin eletrônico em duas orientações. Essa foi a maior contribuição para o desenvolvimento da teoria quântica do átomo.
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A energia potencial do momento magnético do spin eletrônico em um campo magnético aplicado na direção z é dado por:
onde g é o fator g do spin eletrônico e µB é o magneton de Bohr.
Usando a relação entre a força e a energia potencial:
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A deflexão é proporcional ao spin e a magnitude do gradiente de campo magnético.
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Exercício: Em um experimento de Stern-Gerlach, o gradiente de campo magnético dB/dz é 1.4 T/mm, e o feixe passa por uma distância de 3,5 cm. A temperatura do forno é ajustada para que os átomos de prata evaporados atinjam a velocidade de aproximadamente 750 m/s. Encontre a deflexão de um subfeixe que emerge do magneto. (Dado: a massa do átomo de prata 1,8.10-25 Kg e o momento magnético efetivo é 1 B ou 9,27.10-24 J/T. 
z = 0,16 mm
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Exercício: Determine o gradiente de campo de um ímã de um experimento de Stern-Gerlach de 50 cm que produzirá uma separação de 1 mm na extremidade do imã, entre as duas componentes de um feixe de átomos de Ag emitidos com Ec típica de um forno a 960ºC. O momento magnético da prata é devido a um único elétron (l=0) como no caso do H.
(Dado: massa do átomo de prata=1,8.10-25 Kg e B = 9,27.10-24 J/T. 
dB/dz ≈22 T/m
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O spin eletrônico
Elétrons possuem um momento angular intrínseco, o spin, caracterizado pelo número quântico, ½. O momento angular total é:
Com as duas possibilidades para a componente z do momento angular:
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O número quântico associado ao spin eletrônico, tem as seguintes características análoga aos outros números quânticos: 
Isso causa uma separação na energia devido o momento magnético do elétron:
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Como todo momento angular o spin S tem componentes cartesianas:
que obedecem a mesmas regra do momento angular orbital L:
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Momento Magnético do Spin Eletrônico 
Sendo que o elétron tem um momento angular intrínseco, esperava-se que o momento magnético o seguisse o mesmo padrão de um elétron orbital. A componente-z do momento magnético associado com o spin eletrônico então deveria ser:
mas o valor experimental encontrado foi duas vezes maior. Esse valor é dado por:
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onde g é chamado de razão giromagnética e o fator g do spin eletrônico tem o valor g=2.002319304386 e g=1 para o momento angular orbital. O valor de g foi previsto pela mecânica relativística na equação de Dirac e foi medido no experimento de deslocamento de Lamb (Lamb shift). 
Uma constante natural que aparece no tratamento do efeito magnético é chamada magnéton de Bohr. O momento magnético é usualmente expresso como um múltiplo do magnéton de Bohr.
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Momento angular orbital e CM(interno)
Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Interação Spin-Órbita
Interação entre o momento magnético do spin eletrônico e o campo magnético interno (movimento orbital).
Calcular
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Interação Spin-Orbita
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Níveis de energia do átomo de hidrogênio segundo Bohr , Sommerfeld e Dirac
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Exercício: Determine o valor da energia potencial orientacional
para o estado n=2, l=1 do átomo de hidrogênio e verifique se dá a mesma ordem de grandeza da estrutura fina observada nos níveis correspondentes. 
(OBS: Não existe energia de interação spin-órbita no estado n=1, pois nesse caso o único valor possível para l é l=0, portanto L=0). 
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Exercício: Calcule a intensidade do campo magnético B que age sobre o momento magnético de spin do elétron para o estado n=2, l=1 do átomo de hidrogênio. (Mesmo estado do exercício anterior). 
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Efeito Zeeman
Um campo magnético externo exerce um torque em um dipolo magnético, cujo resultado é:
O momento de dipolo magnético associado a um momento angular orbital é:
Para um campo magnético na direção z:
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Efeito Zeeman para o átomo de hidrogênio
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Em geral ambos o momento angular orbital e de spin estão envolvidos na interação Zeeman:
onde:
gL é o fator de Landé. 
 (Provar)
Em um campo magnético forte:
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Fator de Landé (gL) 
 (Provar)
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Modelo de Vetorial para o Momento Angular Total
Para um elétron com l =1 and s=1/2.
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Quando o momento angular L e o momento angular do spin eletrônico S são combinados produzem o momento angular total de um elétron atômico, essa combinação pode ser visualizada em termos de um modelo vetorial.
Ambos o momento angular orbital e de spin precessionam na direção do momento angular total J. Esse diagrama pode ser descrito para um ou mais elétrons. 
Esse acoplamento é chamado acoplamento L-S e é apropriado para átomos leves em baixo campo magnético externo.
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Efeito Zeeman Normal 
Efeito Zeeman Anômalo
Não há contribuição do spin
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Momento Angular em um Campo Magnético
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Efeito Paschen-Back 
Em um campo magnético forte:
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Blatt, Frank J, Modern Physics
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Espectro do Sódio
Padrão de interferência do dubleto de sódio formado em um interferômetro de Fabry-Perot.
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v
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Exercício: Calcule o deslocamento Zeeman para os estados do Na 3s½, 3p½ e 3p3/2 em um campo magnético de 1T.
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Átomos 
Multieletrônicos
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1
2
Partículas Idênticas
onde  e  são estados quânticos
Como as partículas são idênticas:
A densidade de probabilidade não é a mesma!
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No entanto é possível construir uma autofunção que satisfaça a ESIT e também não modifique a densidade de probabilidade por uma permutação. Considere as combinações lineares:
AUTOFUNÇÃO SIMÉTRICA
AUTOFUNÇÃO ANTISIMÉTRICA
S e A são degeneradas, ou seja correspondem ao mesmo valor de E.
Funções simétrica e anti-simétrica
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Permutando os índices:
As densidades de probabilidade:
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Consideremos a função total anti-simétrica, para o caso em que as partículas estão no mesmo estado quântico.
Conclusão: se duas partículas são descritas pela autofunção antisimétrica elas não podem estar no mesmo estado quântico espacial e de spin. As autofunções tem propriedades coerentes com o Princípio da Exclusão.
OBS: A simetria deve ser considerada como uma propriedade básica, como massa, carga e spin, a qual é determinada experimentalmente.
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Generalizando a autofunção total antisimétrica normalizada para um sistema de n partículas é: 
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INTERAÇÃO DE TROCA
Propriedades estranhas de partículas indistinguíveis.
Forças de troca só aparecem entre partículas cujas funções de onda se superponham. Partículas distantes não sofrem esses efeitos.
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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O átomo de Hélio
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Singletos e tripletos do átomo de hélio. O desdobramento dos tripletos é pequeno demais para ser visível na escala da figura. Observe que não existem transições entre níveis que não pertencem ao mesmo conjunto, pois isso violaria a regra de seleção S=0.
O átomo de Hélio
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Teoria de Hartree
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Átomos multi-eletrônicos são complicados tratamento: aproximações sucessivas.
Interação importante: coulombiana entre: e- com núcleo (Ze) e com os outros (Z-1)e-. São muitas e dependem das posições relativas. Não dá para resolver a ESIT.
Os e- são tratados como se seus movimentos fossem independentes. Com isso, a ESIT pode ser separada em 1 conjunto de equações, uma para cada e-.
Cada e- move-se independentemente em um potencial resultante V(r), que é esfericamente simétrico, e é a soma do potencial coulombiano do núcleo (atrativo) e do repulsivo dos (Z-1) outros e-.
A energia total do átomo é a soma destas energias totais dos e-. A autofunção
 total do átomo será o produto das Z autofunções dos e- independentes.
OBS: A forma de V(r) não é conhecida inicialmente.
 O tratamento é autoconsistente. 
 V(r) obtido a partir das distribuições de carga dos e- e deve 	concordar com o V(r) usado para resolver a ESIT.
Teoria de Hartree
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Perto do núcleo: ~ +Ze
Perto da borda: ~ +e (+Ze – [Z-1]e)
(1928) Douglas Hartree, resolveu a ESIT para Z elétrons movendo-se independentemente dentro do átomo sendo V(r) o potencial efetivo ao qual o e- está submetido.
Teoria de Hartree
Física Quântica – Eisberg & Resnick
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2) Resolve-se a ESIT para 1 e-, usando V(r) de 1). Com isso obtém-se as autofunções dos vários estados possíveis: (r,,); (r,,); (r,,)... com energias totais: Ea, Eb, Eg,... sendo que a, b, g, ... representam cada conjunto de 4 números quânticos para o e- (três nos quânticos espaciais e um de spin).
	interpolando para valores intermediários de r.
1) Em primeira aproximação:
Teoria de Hartree
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3) Estado fundamental do átomo: os estados quânticos são preenchidos de maneira a minimizar a energia total do sistema, obedecendo à condição fraca do princípio de exclusão. 
4) Calcula-se a distribuição de carga eletrônica: –e* para cada um dos e- e soma-se a contribuição dos (Z–1) outros e- à contribuição do núcleo (Ze), para definir a distribuição de carga vista por um determinado e-.
5) Calcula-se novo V(r) e faz-se a comparação com o V(r) de 1). Se estiver igual (dentro de uma precisão estipulada) FIM. Se não volta para o 2). Depois de alguns ciclos o potencial deve convergir e a solução final está determinada.
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Não são usadas autofunções totais anti-simétricas.
Autofunção total anti-simétrica (Z! termos)
Algumas mudanças, por causa das forças de troca alguns e- mais próximos, outros mais distantes, mas, na média, a distribuição seria muito parecida.
Fock cálculos de funções de onda totais anti-simétricas, para compararncom resultados de Hartree. Diferenças pequenas, mas significativas. 
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Toda discussão referente à dependência, em relação a  e a ,
das autofunções para um elétron em um átomo monoeletrônico 
se aplica diretamente à dependência, em relação a  e a , das
autofunções para um elétron em um átomo multieletrônico.
A dependência, em relação a r das autofunções para um elétron 
em um átomo multieletrônico NÃO é a mesma das autofunções 
para um elétron em um átomo monoeletrônico.
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Densidade de probabilidade radial (TH para os EQ preenchidos) para o Argônio
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
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Estados
Fundamentais de Átomos Multieletrônicos
Distribuição de Linnus Pauli
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TABELA PERIÓDICA
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TABELA PERIÓDICA
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ENERGIA DE IONIZAÇÃO
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RAIO ATÓMICO
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NÍVEIS DE ENERGIA
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REGRA DE HUND
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REGRA DE HUND #1
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REGRA DE HUND #2
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REGRA DE HUND #3
Para átomos com menos de meia camada cheia, o nível com o menor valor de J tem menor energia.
 
Quando a camada é mais do que menos cheia a rega é oposta. A base é o acoplamento spin-órbita. O produto escalar S·L é negativo se o momento angular e de spin tem direção opostas. Desde que o coeficiente S·L é posito, menor J corresponde menor em energia.
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Referências
	
Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
Rohlf, James William, Modern Physics from a to Z0, Wiley, 1994
Blatt, Frank J, Modern Physics, McGraw Hill, 1992. 
www.aventuradaspartículas.ift.br
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