Sistemas de Bombeamento Prof. Villar

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SISTEMAS 
FLUIDOMECÂNICOS 
Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 
2011 
 
 
Sumário 
 
 ii 
 
 
 
 
SISTEMAS 
FLUIDOMECÂNICOS 
 
Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 
Março de 2011 
Sumário 
 
 iii 
 
 
 PREFÁCIO 
 
 
 Nesta material são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de 
Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia 
Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de 
Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de 
Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos 
e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o 
conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação 
industrial é fornecido adicionalmente. 
 
 O Cap.1 apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap.2 é apresentada a equação 
geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número 
de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 
são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas 
máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim 
como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas 
as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos 
de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas 
de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida 
nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de 
bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o 
fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também 
inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar 
as atividades de aprendizado. 
 
 Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos 
devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal 
forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. 
 
 A primeira versão desta apostila foi lançada em 2001, modificada posteriormente em agosto 
de 2003 e sendo lançada em 2010 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada 
capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram 
preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que 
eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as 
correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. 
 
Porto Alegre, março 2010 
 
Prof. Jorge Villar Alé 
villar@ee.pucrs.br 
www.pucrs.br/ce-eolica 
 
Sumário 
 
 iv 
 
 
 
 
 
CAPÍTULOS 
 
 
Capítulo 1 - Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Capítulo 2 – Teoria de Bombas Centrifugas 
 
Capítulo 3 – Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo 
 
Capítulo 4 – Coeficientes Adimensionais e Leis de Semelhança 
 
Capítulo 5 – Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Capítulo 8 – Cavitação 
 
Referencias Bibliográficas 
 
Anexo – Tabelas e Propriedades dos Fluidos 
Sumário 
 
 v 
 
 SUMÁRIO 
 
 
Cap.1 Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Item Conteúdo Pag. 
 Introdução 3 
1. Máquinas de Fluxo 4 
1.1 Máquinas Motrizes 5 
1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 5 
1.3 Ventiladores e Compressores 6 
1.4 Turbinas 7 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 7 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 8 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 8 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 9 
1.5 Bombas Hidráulicas 9 
1.6 Bombas Volumétricas 10 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 10 
1.6.2 Bombas Rotativas 10 
1.7 Turbobombas 11 
1.7.1 Bombas Centrífugas 12 
1.7.2 Bombas Axiais 13 
 
Cap.2 Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Item Conteúdo Pag. 
2.1 Introdução 3 
2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 4 
2.2.1 Simplificações 4 
2.3 Potência e Energia Específica 7 
2.4 Equação de Euler 7 
2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 8 
2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 9 
2.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 12 
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 13 
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 14 
2.9 Grau de Reação 15 
2.10 Influência da Curvatura das Pás 16 
 Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 17 
 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 18 
 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 18 
 Resumo Gráfico dos Resultados. 19 
 Recomendações para Ângulo das Pás 19 
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 20 
2.12 Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - Q) 22 
 Resumo das curvas H-Q e P-Q 23 
2.13 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 24 
2.14 Importância do Número Finito de Pás 25 
 Escoamento com Número Finito de Pás 25 
 Desvio da Velocidade Relativa 26 
Sumário 
 
 vi 
 Dependência do Número de Pás 26 
2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 27 
 Fator de Correção do número finito de pás 27 
2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 28 
 Análise na entrada do canal das pás 28 
 Análise na saída do canal das pás: 29 
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 31 
2.18 Exemplos Resolvidos 33 
 
 
Cap.3 Curvas Características e Associação de 
 BBoommbbaass SSéérriiee ee eemm PPaarraalleelloo 
Item Conteúdo Pag. 
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 3 
3.2 Rendimentos 3 
 Rendimento Mecânico 3 
 Rendimento Hidráulico 
 Rendimento Volumétrico 
 Rendimento Total ou Global 
 Potência de acionamento 
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 5 
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 6 
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 6 
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 7 
3.7 Ponto de Operação das Bombas 8 
3.8 Outras Representações de Curvas Características 9 
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 10 
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores 12 
3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 13 
3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 15 
3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 16 
3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 17 
3.11 Associação de Bombas em Série 19 
3.11.1 Curva característica de bombas em serie 20 
3.11.2 Rendimento de duas bombas em série 21 
3.12 Associação de Bombas em Paralelo 22 
3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: 23 
3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 24 
3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 25 
3.14 Exemplo - Conexão Paralelo 26 
3.15 Exemplo - Conexão Série 27 
3.16 Outros Exemplos 28 
3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 29 
3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 30 
3.19 Problemas Propostos 34 
 
Sumário 
 
 vii 
 
Cap.4 Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
Item Conteúdo Pag. 
4.1 Coeficientes Adimensionais 3 
4.1.1 Número de Reynolds 4 
4.1.2 Número de Mach 4 
4.1.3 Rugosidade Relativa 5 
4.1.4 Coeficiente de Pressão ou AlturaEspecífica 5 
4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 5 
4.1.6 Coeficiente de Potência 5 
4.2 Efeitos de Escala 8 
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds 8 
4.2.2 Efeito do Número de Mach 8 
4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 8 
4.2.4 Efeito de Espessura 8 
4.3 Leis de Similaridade 9 
4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 9 
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade 10 
4.5 Modificação do Tamanho da Bomba 12 
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: 13 
4.7 Rendimento Global Variando a Rotação 14 
4.8 Determinação da Rotação Especifica 14 
4.9 Rotação Específica Característica - nq 15 
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto 17 
4.10.1 Relação entre ns - nq 17 
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 18 
4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 18 
4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 18 
4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 18 
4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 19 
4.11.5 Outras Relações 19 
4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 20 
4.12 Exemplos Resolvidos 20 
4.13 Atividade de Aprendizado 27 
4.14 Atividade Proposta No1 31 
4.15 Atividade Proposta No2 32 
 
Cap.5 Curvas Operacionais 
 DDee SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo 
Item Conteúdo Pag. 
5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 3 
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 4 
5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 4 
5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 5 
5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa 5 
5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga 6 
5.2 Controle de Desempenho das Bombas. 7 
5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 8 
5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 9 
5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 10 
5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 12 
5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 14 
5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 15 
5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 17 
Sumário 
 
 viii 
5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 19 
5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 19 
5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 20 
5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 21 
5.5 Exemplo do Procedimento 22 
5.6 Equações Complementares 27 
 
 
Cap.6 Sistemas de Bombeamento 
 
Item Conteúdo Pag. 
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 4 
6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 
6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 6 
6.3 Definição de Alturas Estáticas 7 
6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 8 
6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 8 
6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 9 
6.5 Altura Manométrica 10 
6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 12 
6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 12 
6.5.3 Altura Útil de Elevação 13 
6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 13 
6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 15 
6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 16 
6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 17 
6.8.1 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 18 
6.8.2 
 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do 
Sistema 19 
6.9 Exemplos Resolvidos 20 
6.10 Atividade de Aprendizado 25 
6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 26 
6.12 Exemplo de Resultados 27 
 
 
Cap. 7 Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Item Conteúdo pag 
7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 3 
7.2 Perda de Carga Total 3 
7.3 Perda de por Tubulações 4 
7.4 Diagrama de Moody 5 
7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 8 
7.5.1 Método do comprimento equivalente 8 
7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 9 
7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 10 
7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 11 
7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 12 
7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 13 
7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 15 
 
 
 
 
Capítulo 8 – Cavitação 
Sumário 
 
 ix
 
Cap. 8 Conceitos de Cavitação 
 
Item Conteúdo Pag. 
 Introdução 3 
8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 5 
8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 7 
8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 8 
8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 9 
8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 10 
8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 11 
8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 11 
8.4.2 Margem prática de segurança 12 
8.5 Exemplos de Cavitação 13 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IInnttrroodduuççããoo ààss MMááqquuiinnaass ddee FFlluuxxoo 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-2 
 
 
 
Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO.............................................................................................................................................. 3 
1. MÁQUINAS DE FLUXO...................................................................................................................... 4 
1.1 MÁQUINAS MOTRIZES ............................................................................................................................ 5 
1.2 MÁQUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES ............................................................................................ 5 
1.3 VENTILADORES E COMPRESSORES......................................................................................................... 6 
1.4 TURBINAS ............................................................................................................................................. 7 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) ........................................................... 7 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) ....................................................................................... 8 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento ............................................................................. 8 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás............................................................................................. 9 
1.5 BOMBAS HIDRÁULICAS........................................................................................................................... 9 
1.6 BOMBAS VOLUMÉTRICAS ..................................................................................................................... 10 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo ........................................................................................... 10 
1.6.2 Bombas Rotativas...................................................................................................................... 10 
1.7 TURBOBOMBAS.................................................................................................................................... 11 
1.7.1 Bombas Centrífugas ................................................................................................................. 12 
1.7.2Bombas Axiais .......................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-3 
Introdução 
 
Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação 
e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de 
transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de 
máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para 
acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para 
movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que 
esteja inserido. 
 
As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica 
possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que 
pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada 
energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores 
elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho 
mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo 
desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases 
ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com 
pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da 
variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. 
 
 Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o 
movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento 
da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das 
leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de 
operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer 
as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma 
noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o 
tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência 
requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto 
de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. 
 
 O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do 
assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de 
funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família 
ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais 
especializada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-4 
1. Máquinas de Fluxo 
 
As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser 
dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas 
volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na 
câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do 
fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas 
segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.1.1 
apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo. 
 
 
Pistão
Diafragma
Alternativas
Parafuso
Palhetas
Lóbulos
Engrenagens
Rotativas
Volumétricas
Centrífugas
Axiais
Mistas
Bombas
Centrífugas
Axiais
Mistas
Ventiladores
Hidráulicas
Vapor
Gás
Eólicas
Turbinas
Turbomáquinas
Máquinas de Fluxo
 
 
Figura 1.1 Esquema dos tipos de máquinas de fluxo 
 
As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. 
• Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. 
• Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. 
• Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos 
do rotor sobre a corrente de fluido. 
• As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) 
 
As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. 
• Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) 
• Rotor Impulso ou Impelidor 
• Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. 
• Corpo, voluta ou coletor em caracol 
• Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) 
 
 
Tabela 1.1 Máquinas de Fluxo 
Designação Fluido de trabalho 
Turbina hidráulica e bomba centrífuga Líquido 
Ventilador, turbocompressor Gás (neutro) 
Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Vapor (água, freon, etc) 
Turbina a gás, motor de reação Gás de combustão 
 
 
Tabela 1.2. Máquinas de Deslocamento 
Designação Fluido de trabalho 
Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Líquido 
Compressor (alternativo, rotativo) Gás (neutro) 
Compressor (alternativo, rotativo) Vapor (freon, amônia) 
Motor alternativo de pistão Gás de combustão 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-5 
1.1 Máquinas Motrizes 
 
 Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento 
posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica. 
 
 
Tabela 1.3 Quadro resumo dos tipos de máquinas motrizes 
Máquinas Motrizes Característica Exemplos 
Turbinas hidráulicas • Transformam a energia hidráulica em 
trabalho mecânico. 
• A energia potencial se obtém por um desnível 
natural ou por embalse. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas Francis, Propeller, 
Kaplan, Dériaz 
• Rodas hidráulicas ou rodas de 
água. 
Turbinas a vapor • Transformam a energia recebida por um 
vapor em trabalho mecânico. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas a vapor. 
• Turbinas a gás. 
• Máquinas a vapor de 
descolamento positivo. 
Turbinas eólicas • Transforma a energia cinética dos ventos 
(eólica) em trabalho mecânico. 
• Utilizadas para gerar energia elétrica. 
• Turbinas eólicas 
• Turbinas Darreius 
• Turbinas Savonius. 
1.2 Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 
 
 Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o 
transformam em energia de pressão. 
 
Tabela 1.4 Quadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes 
Máquinas Operatrizes Característica Classificação 
• Bombas são máquinas utilizadas para transporte 
de líquidos vencendo a resistências de tubulações 
e acessórios. 
 
 
Turbobombas 
• Centrífugas 
• Helicocentrífugas 
• Axiais 
Bombas Hidráulicas 
 
• Bombas de deslocamento positivo 
• Altas pressões 
• Alternativos 
• Rotativos 
Ventiladores 
 
 
• Fluido incompressível com gases a baixas 
pressões. 
• Geralmente o fluido utilizado é ar. 
• Transportam o gás por tubulaçõesvencendo as 
resistências de dutos e elementos da instalação. 
• Utilizados em sistemas de exaustão ou em 
sistemas diluidores. 
• Para compressões superiores a 2,5 atm se utilizam 
os turbocompressores. 
Turboventiladores 
 
• Centrífugos 
• Helicocentrífugos 
• Axiais 
• Trabalha com gases compressíveis a altas 
pressões e temperaturas 
• Elevam a pressão de uma gás desde 1,0 atm até 
milhares de atmosferas. 
 
Turbocompressores 
• Centrífugos 
• Helicocentrífugos 
• Axiais 
Compressores 
 
 
 
• Compressores de deslocamento positivo 
 
• Alternativos 
• Rotativos 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-6 
Tabela 1.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento 
Máquinas de fluxo 
 
Máquinas de deslocamento 
• Alta rotação 
 
• Baixas e médias rotações 
• Potência específica elevada (potência/peso) 
 
• Potência específica média p/ baixa (potência/peso) 
• Não há dispositivos com movimento alternativo 
 
• Várias têm dispositivos com movimento alternativo 
• Médias e baixas pressões de trabalho 
 
• Altas e muito altas pressões de trabalho 
• Não operam eficientemente com fluidos de 
viscosidade elevada 
 
• Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada 
• Vazão contínua 
 
• Na maior parte dos casos vazão intermitente 
• Energia cinética surge no processo de 
transformação de energia 
 
• Energia cinética não tem papel significativo no processo de 
transformação de energia 
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e 
características construtivas mais complexas que 
as máquinas de deslocamento. 
• Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e 
características construtivas mais simples que as máquinas 
de fluxo. 
 
1.3 Ventiladores e Compressores 
 
Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, 
contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados 
para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica 
do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e 
insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar 
comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. 
Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de 
areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para 
acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e 
os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter 
rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o 
movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser 
rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso. 
 
 
 
Figura 1.2 Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial 
 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-7 
1.4 Turbinas 
 
As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas 
integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou 
para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas 
(água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig. 1.3. mostra-se turbinas eólicas de eixo 
vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás 
ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, 
centrífugos ou helicocentrífugos. 
. 
 
(a) 
 
( b ) ( c ) 
Figura 1.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b). 
 
1.4.1 Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 
Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica 
por meio de um bocal. 
 
• São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. 
• A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. 
• A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. 
• O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. 
• As turbinas Pelton (Fig. 1.4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que 
permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás 
com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos. 
 
 
 
Figura 1.4 Turbina hidráulica Pelton 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-8 
1.4.2 Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) 
• Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. 
• A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um 
conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. 
• A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio 
da turbina. 
• Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume 
do que as turbinas de impulsão. 
• As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e 
grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. 
• As turbinas Kaplan (Fig.1.5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de 
variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos. 
 
 
 
Figura 1.5 Turbina hidráulica Kaplan 
 
• Nas turbinas Francis (Fig. 1.6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de 
fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor 
constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle 
permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com 
alturas de 5m a 500m. 
 
 
 
Figura 1.6 Turbina hidráulica Francis 
1.4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento 
 
 As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: 
 
 Turbinas radial (Centrífugas) 
 Turbinas axiais (Hélice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), 
 Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) 
 Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz). 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-9 
1.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 
 
As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O 
escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. 
A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores 
elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, 
bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de 
ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas 
turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a 
pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com 
gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar 
comprimido.São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria 
aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas. 
 
1.5 Bombas Hidráulicas 
 
 Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos 
ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com 
o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a 
movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas 
retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas. 
 
 
Rotor
aberto
semi-aberto
fechado
Aspiração simples
Aspiração dupla
Radiais
(centrífugas)
Pás
fixas
variáveis
Rotor
aberto
fechado
Axias e Mistas
Turbobombas
 
 
 
 
Pistão Diafragma
Alternativas
Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso
Rotativas
Bombas Volumétricas
 
 
Figura 1.7 Classificação de bombas hidráulicas 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-10 
1.6 Bombas Volumétricas 
1.6.1 Bombas de Deslocamento Positivo 
 
Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No 
seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de 
admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu 
funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas 
podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros. 
1.6.2 Bombas Rotativas 
 
Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas não 
apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com 
líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de 
3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes, 
argamassas e outros. 
 
( a ) Bomba de Engrenagem 
A Fig. 1.8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no 
interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela 
tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes. 
 
Figura 1.8 Bomba de Engrenagem 
 
( b ) Bombas de Lóbulos 
As bombas de lóbulos (Fig.1.9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para 
movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de 
líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque. 
 
 
Figura 1.9 Bombas de Lóbulos 
 
( c ) Bombas de Palhetas 
As bombas de palhetas (Fig.1.10) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocam-
se em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é 
limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos. 
 
Figura 1.10 Bombas de Palhetas 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-11 
1.7 Turbobombas 
 
Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor 
ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo 
denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao 
passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de 
recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas 
axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o 
qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. 
Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em 
suspensão. 
 
 
 
Figura 1.11 Tipos bombas hidráulicas 
 
 
 
 
 
Figura 1.12 ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 1-12 
1.7.1 Bombas Centrífugas 
 
As bombas centrífugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam 
capacidade de 0,5 m3/h até 20.000 m3/h e trabalham com alturas manométricas entre 1,5 a 5000 mca (metros 
de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor 
com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de 
uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade 
elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia 
cinética em energia de pressão. 
 
 
Figura 1.14 Componentes de bombas centrífugas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga 
 
As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até 
de 160 mca. e temperatura de até 1400C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para 
trabalhar com água até 3000C e pressões de até 250 mca. Bombas de processo podem operar com 
temperaturas de até 4000C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para 
líquidos com temperatura de até 2500C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos 
com temperaturas de trabalha de até 4500C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 10 MPa) 
emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos 
especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bomba 
centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 1035, SAE 4414, e 
SAE 2340, e ligas contendo 11 a 13 % de cromo. 
 
Capítulo 1: Introdução às Máquinas de Fluxo 
 
Jorge A. Villar Alé 1-13 
Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig.1.16). Os rotores fechados 
têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para 
bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não 
apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em 
suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou 
inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha. 
 
 
 
Figura 1.16 Tipos de rotores de bombas centrífugas 
 
1.7.2 Bombas Axiais 
 
Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. 
Tipicamente 500 m3/h ou mais e alturas manométricas inferiores a 15mca. Operam com velocidade maiores 
que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma 
helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades 
menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 20m3/h e altura manométrica até 30 
mca. 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axialCapítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-2 
 
Teoria de Bombas Centrífugas 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................................................... 3 
2.2 EQUAÇÃO DO MOMENTO DA QUANTIDADE PARA TURBOMÁQUINAS (AXIAL - RADIAL )................................. 4 
2.2.1 Simplificações.................................................................................................................................... 4 
2.3 POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA......................................................................................................... 7 
2.4 EQUAÇÃO DE EULER.............................................................................................................................. 7 
2.5 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS ...................................................................... 8 
2.6 POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA ......................................................... 9 
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente...................................................... 12 
2.7 PARCELAS DE ENERGIA NA EQUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁQUINAS ............................................... 13 
2.8 RELAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EULER E A EQUAÇÃO DE ENERGIA.............................................................. 14 
2.9 GRAU DE REAÇÃO ............................................................................................................................... 15 
2.10 INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS ................................................................................................... 16 
CASO 1 - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS .............................................................................................................. 17 
CASO 2 - PÁS RADIAIS NA SAÍDA ..................................................................................................................... 18 
CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE.......................................................................................................... 18 
RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS. ............................................................................................................ 19 
RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS...................................................................................................... 19 
2.11 EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO (HT-Q) ......................................... 20 
2.12 EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - Q)........................................................... 22 
RESUMO DAS CURVAS H-Q E P-Q ................................................................................................................. 23 
2.13 REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA................................................................... 24 
2.14 IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS ............................................................................................ 25 
Escoamento com Número Finito de Pás.................................................................................................. 25 
Desvio da Velocidade Relativa................................................................................................................. 26 
Dependência do Número de Pás ............................................................................................................. 26 
2.15 ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS ................................................................................... 27 
Fator de Correção do número finito de pás ............................................................................................. 27 
2.16 INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES................................................... 28 
Análise na entrada do canal das pás ....................................................................................................... 28 
Análise na saída do canal das pás:.......................................................................................................... 29 
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO ......................................................... 31 
2.18 EXEMPLOS RESOLVIDOS ...................................................................................................................... 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-3 
 
2.1 Introdução 
 
As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores 
e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a 
gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que 
representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um 
caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com 
simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que 
tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, 
semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é 
originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais 
efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente 
capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas 
centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida do 
rotor ao fluido. 
 
 
 
 
Rotor axial 
 
 
Rotor helico centrífugo 
 
 
Rotor centrífugo 
(a) Tipos de rotores de turbomáquinas 
 
 
(b) Bomba centrífuga 
 
( c ) Rotor de bomba centrífuga 
 
Figura 2.1. Rotores de máquinas de fluxo. 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-4 
 
2.2 Equação do Momento da Quantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 
 
A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada 
por: 
 
∫ ×+∫ ×=+×∫+× ∀∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
ρρ∂
∂
 
 
 
 Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig.2.2) envolvendo o 
elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade 
angular constante (ω). 
 
2.2.1 Simplificações 
 
(1) Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxFs=0 
 
(2) Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxB=0 (por simetria) 
 
(3) Escoamento em regime permanente, V=V(x,y,z) 
 
(4) Eixo z alinhadocom o eixo de rotação da máquina. 
 
(5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice 1) e a saída ( subíndice 2). 
 
 
(6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. 
 
Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios 
 
 
Figura 2.2. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
 
 
 
Com as simplificações: 
 0 (2) 0 (1) 0 (3) 
∫ ×+∫ ∀×=+×∫+× ∀ scvceixos AdVVrdVrtTrFr dBvc
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
ρρ∂
∂
 
 
 
∫ ×= sceixo AdVVrT
rrr
r
r
ρ 
 
No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será 
zeixo TT =
r
 o qual denominamos Teixo (escalar). Desta forma: 
 
∫ ×= sceixo AdVVrT z )()(
rrr
r ρ 
 
O fluido entra no rotor (Fig 2.3) na posição radial r1 com velocidade absoluta uniforme 1V
r
 e sai na posição 
radial r2 com velocidade absoluta 2V
r
. O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y 
como jviuV ˆˆ +=r , onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser 
dado como nVtVV nt ˆˆ +=
r
 onde Vt é a componente na direção tangencial ao raio e Vn a componente na 
direção normal ao raio. 
 
 
 
 
Figura 2.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle 
 
Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada (1) e saída do fluido (2): 
 ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=
2
22222
1
11111
A
z
A
z
sc
z AdVVxrAdVVxrAdVVxr
rrr
r
rrr
r
rrr
r ρρρ 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-6 
 
 
As integrais de área das seções de (1) e (2) podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes 
considerações: 
 
• O produto vetorial ( )zVxr rr é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da 
integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor. 
 ( ) ( ) tyxz rVkurvrVr =−=× ˆrr 
 
• Da equação da conservação da massa sabemos que: 
 
mAdV
A
&
rr
±=∫ ρ 
 
onde fluxo de massa ( m& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o 
fluido esta entrando v.c. Desta forma. 
 ( ) mVrAdVVxr t
A
z
&
rrrr
11
1
11211 −=∫ ρ ( ) mVrAdVVxr t
A
z
&
rrrr
22
2
22222 +=∫ ρ 
 
Com as considerações acima obtemos: 
 
 ( ) ( ) mVrmVrAdVVxrAdVVxr tt
A
z
A
z
&&
rrrrrrrr
2211
2
22222
1
11111 +−=+ ∫∫ ρρ 
 
Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente: 
 ( )mVrVrT tteixo &1122 −= 
 
Também sabemos que o fluxo de massa é dada por Qm ρ=& , onde ρ é a massa específica do fluido e Q a 
vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: 
 ( ) ( ) QVrVrmVrVrT tttteixo ρ11221122 −=−= & 
 
 
Unidades (torque): ( ) ( )kg
s
m
m
s
kgm
s
m N m Joule





 =



 = =2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-7 
2.3 Potência e Energia Específica 
 
( )mVrVrTW tteixo && 1122 −== ωω 
 
Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: rU ω= ou também 
60
DnU pi= 
 
U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) 
ω Velocidade angular do rotor (rad/s) 
D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). 
n Rotação do rotor (rpm) 
 
mantendo os índices “1” para a entrada e “2” para a saída temos que: 
 
( )mVUVUW tt && 1122 −= 
 
 
Unidades (potência): ( )kg
s
m
s
m
s
kgm
s
m
s
N m
s
J
s
Watts









 =







 =



 = =2 
2.4 Equação de Euler 
 
Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como: 
 
 
∞∞ = tt gQHW ρ 
 
 
 
Htoo é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de 
coluna de fluido. 
 
Unidades (potência): ( ) ( )kg
m
m
s
m
s
m
kgm
s
m
s
N m
s
J
s
Watts3 2
3
2











 =







 =



 = = 
 
 Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina 
conhecida como altura de carga teórica: 
 
 
( )11221 tttt VUVUggm
W
H −== ∞∞
&
&
 
 
 
Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 1754) para turbomáquinas. A equação é 
dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida 
para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do 
tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido. 
 
 
 
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2-8 
 
2.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 
 
Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C. 
Desta forma o vetor da velocidade absoluta 1V
r
 é dada como C
r
 , a componente tangencial da velocidade 
absoluta ( tV ) é dada por Cu e a componente normal (Vn) é dada por Cm. Na forma vetorial nCtCC mu ˆˆ +=
r
. 
Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por: 
 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
 
A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto 
operacional para a qual foi projetada. 
 
Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: 
 
• Número Infinito de álabes (pás, palhetas). 
• Espessura das pás desprezível. 
• Simetria central do escoamento. 
• Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. 
• Escoamento em regime permanente. 
• Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. 
• Efeitos de atrito desprezíveis. 
 
Da mesma forma o Torque no eixo é dado por: 
 
 ( )mCrCrT uueixo &1122 −= 
 
e a Potência Teórica como: 
 
 
( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω 
 
 
Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido. 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor. 
Neste caso U1Vt1 > U2Vt2 desta forma é dada como 
 
( )22111 uut CUCUgH −=∞ 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-9 
2.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 
 
 A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para 
o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas 
radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entradae 
saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e 
divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como 
nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C’ para uma velocidade real. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor 
 
No impelidor ou rotor (Fig.2.4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,C, 
ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor 
com uma velocidade angular ω=U/r, onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode 
ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local. 
 
UWC
rrr
+= 
 
Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de 
velocidade (Fig. 3.5). O subíndice “1” representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice 
“2” representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. 
 
As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada 
componente meridianas (Cm, Wm). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade 
relativa são denominadas velocidades periféricas (Cu, Wu). 
 
O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. 
O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica 
do rotor (-U). É denominado ângulo da pá. 
 
 
 
Pás 
Corpo 
Pás guias 
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2-10 
 
 
Figura 2. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga 
 
Na Fig. 2.6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana 
da velocidade relativa (Cm=Wm). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à 
velocidade periférica (U). 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor. 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-11 
A componente periférica da velocidade absoluta ( Cu ) e a componente periférica da velocidade relativa ( Wu ) 
são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que 
são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). 
 
Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades 
 
D Diâmetro do rotor 
b Largura do canal 
C Velocidade absoluta do fluido 
Cu Componente de C na direção da velocidade tangencial U 
Cm Componente meridional de C (na direção radial) 
W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor 
Wu Componente de W na direção da velocidade tangencial U. 
U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe 
α ângulo entre (C,U) 
β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá 
 
A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: 
 
 A D b1 1 1= pi A D b2 2 2= pi 
 
Pela equação da conservação da massa temos que: 
 
&m D b C D b Cm m= =ρ pi ρ pi1 1 1 1 2 2 2 2 
 
Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por: 
 
Q D b C D b Cm m= =pi pi1 1 1 2 2 2 
 
Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor. 
 
 U D n1 160
=
pi
 U D n2 260
=
pi
 
 
Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. 
 
Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia 
transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás. 
 
Tabela 2.1 Resumo de Equações Básicas 
Termo Equação Unidades 
Altura teórica 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
m 
Torque teórico ( )mCrCrT uueixo &1122 −= 
 
Joule 
Potência teórica ( )1122 uueixot CUCUmTW −==∞ && ω 
 
Watt 
 
 
 
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2-12 
3.6.1 Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente 
 
 Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se 
estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de 
pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como 
mostra a Fig. 2.7 (b) 
Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C1=Cm1 e ângulo 
formado entre (C1,U1) será α1=900 . Em tal condição Cu1=0. 
 
Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada 
radial. 
 
Nestas condições ideais (α1=900) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento 
angular na entrada porque Cm1=C1 e Cu1=0 e, portanto r x Cu1 =0 desta forma a Equação de Euler fica 
simplificada dependendo das condições de saída do rotor. 
 
 
 
Equação de Euler para entrada ideal 
(entrada radial ou sem pré-rotação) 
 
 
22
1
ut CUg
H =∞ 
 
 
 
 
 
 
(a ) Polígono com entrada radial. 
 
(b) Bomba com indutor 
 
Figura 2.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-13 
2.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 
 
 Podem-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de 
energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total 
ou altura de carga teórica: 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
Do polígono de velocidades, a componente Cm da velocidade absoluta pode ser determinada como: 
 
 
222
um CCC −= 
ou também como: 
( )
222
22
222
2 
 
uu
u
um
CUCUW
CUW
WWC
−+−=
−−=
−=
 
 
Igualando os termos: 
 
 Figura 2.8 Polígono e velocidades na entrada 
 
W U UC C C C
UC C U W
u u u
u
2 2 2 2 2
2 2 2
2
1
2
− + − = −
= + −( ) 
Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém: 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
)(
2
1)(
2
1 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2 WUCWUCH oot −+−−+= 
{ } { } { }3 2 1 
222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
++



 −+



 −+



 −=∞ g
WW
g
UU
g
CCH t
 
 
 
(1): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da 
velocidade absoluta. 
 
(2): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimento 
circular em torno do eixo. 
 
(3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal 
divergente (difusor)do rotor. Representa a variaçãode pressão estática dentro do rotor. 
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2-14 
2.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 
 
Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
phHz
g
u
g
p
LA ++=−+++ ρρ
 
 
HA Energia adicionada ao fluido pela bomba. 
hL Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina. 
 
Considerando a energia teórica adicionada pela bomba (HA=Ht00), as velocidades absolutas na entrada e saída 
do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (hL=0): 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
C
g
pHz
g
C
g
p
t ++=+++ ∞ ρρ
 
 
explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba: 
 
( )



 −+


 −+−=∞ g
CC
zz
g
pp
H t 2
2
1
2
2
12
12
ρ
 
 
Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de 
energia cinética: 
 
cpt HHH +=∞ 
 
 
 
 
Onde Hp é a altura representativa da energia de pressão e Hc a altura representativa da energia cinética. 
 
 
Por comparação da Eq. de Euler 
 



 −+−+



 −=∞ g
WW
g
UU
g
CC
H t 222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
 
 



 −=
g
CC
H c 2
2
1
2
2
 
 
( )1212
2
2
2
1
2
1
2
2
22
zz
g
pp
g
WW
g
UUH p −+−=


 −+−= 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-15 
2.9 Grau de Reação 
 
A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação. 
 
∞
=
t
p
H
H
G 
 
G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão (Hp) fornecida pelo rotor ao fluido. 
 
O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no 
processo de transferência de energia: 
 
 
Ângulo da pá na saída Grau de reação 
 β2 < 90º G > ½ 
β2 = 90º G = ½ 
β2 > 90º G < ½ 
 
 
O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. 
 
Turbomáquinas de Reação: 
 
Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é 
maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. 
Representa o caso geral das bombas. 
 
Turbomáquinas de Ação: 
 
Quando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G=0 ), a máquina de fluxo é 
denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2-16 
2.10 Influência da Curvatura das Pás 
 
A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do 
ângulo das pás na saída (β2) com as seguintes relações e simplificações: 
 
• Escoamento com entrada radial: α1=900 
• Seções iguais na entrada e saída com o qual Cm1=Cm2 e também Cu1=0, como é mostrado na Fig.2.9. 
 
As relações obtidas com tais simplificações são: 
 
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
C
H
CU
g
H
HHH
−=
=
=
+=
∞
∞
∞
2
1
2
2
22
 
 
Obs: Em anexo encontra-se a dedução de Hc . 
 
 
Htoo: Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que 
atravessa uma bomba ideal. 
 
Hp: Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão. 
 
Hc: Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética. 
 
 
 
Figura 2.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico. 
 
No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig. 2.10) designados em relação 
ao sentido de rotação do rotor. 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-17 
 
 
 
Figura 2.10 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga. 
 
(1) Pás voltadas para trás: 
Caso em que β2 < 900 
Situação limite Cu2=0. 
(2) Pás radiais na saída: 
Caso em que β2=900 
Desta forma: Cu2=U2. 
(3) Pás voltadas para frente: 
Caso em que β2 > 900 
Situação limite: Cu2=2U2 
 
Caso 1 - Pás Voltadas para Trás 
 Considerando que β2 é menor que 900 e na situação limite em a componente periférica da velocidade 
absoluta seja nula (Cu2=0). Para satisfazer esta condição α2=900. 
 
 
0
0
2
01
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
C
H
CU
g
H
HHH
 
 
Figura 2.11 Polígono de velocidade na saída do rotor (α2=900) 
 
Conclusão: Quando, β2 < 900 tal que α2=900, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de 
energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. 
• Em tal situação β2 se conhece como ângulo critico inferior. 
 
Do livro de Macintyre: “Não é prático e não se devem projetar pás com β2 < 900 para as quais α2=900 já que 
o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento”. 
 
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2-18 
 
 Caso 2 - Pás Radiais na Saída 
 
Quando β2 = 900 se obtém um polígono de velocidades em que Cu2=U2. Neste caso: 
 
 
 
g
U
HHH
g
U
g
C
H
g
UCU
g
H
HHH
ctp
u
c
ut
cPt
2
22
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
 
 
Figura 2.12 Polígono de velocidade pás radiais na saída (β2=900) 
 
 
Conclusão: Na situação em que β2 = 900 a componente periférica da velocidade absoluta na saída Cu2 torna-
se a velocidade tangencial do rotor (Cu2=U2). 
• Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão 
e 50% na forma de energia cinética. 
Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 
 
Escolhemos na análise um valor de β2 > 900 na condição limite em que torne CU2=2U2. 
 
 
 
 
 
0
2
2
21
2
2
2
2
2
2
22
=−=
==
==
+=
∞
∞
∞
ctp
u
c
ut
cPt
HHH
g
U
g
C
H
g
UCU
g
H
HHH
 
 
Figura 2.13 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β2 > 900) 
 
Conclusão: Na situação em que β2 >900 de tal forma que torne Cu2=2U2 a energia de pressão é nula, e a 
energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β2 : ângulo crítico superior 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-19 
ResumoGráfico dos Resultados. 
 
Com auxílio da Fig.2.14 podemos observar resumo dos resultados obtidos: 
(1) Pás voltadas para Trás: β2 < 900 
[Hp > Hc] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. 
 
(2) Pás Radiais na Saída: β2= 900 
[Hp= Hc]: A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia 
cinética. 
 
(3) Pás voltadas para Frente. β2 > 900 
[Hc > HP]: A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética. 
Figura 2.14 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás. 
Recomendações para Ângulo das Pás 
• As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia 
de pressão e não da energia cinética. 
• Pás com β2 > 900 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o 
que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga. 
• Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β2 < 900) encontradas nas seguintes faixas: 
Bombas Centrífugas 
 Faixa de Operação: 15 400 2 0≤ ≤β
 
 Normalmente: 20 250 2 0≤ ≤β 
Ventiladores 
 Normalmente: 40 450 2 0≤ ≤β 
 
Para bombas o ângulo da pá na entrada β1 pode ter a seguinte faixa: 15 500 1 0≤ ≤β 
 
Macintyre: “Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas 
centrífugas, estando β2 compreendido entre 170 e 300, sendo aconselhado como regra o valor de 22,30” 
 
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2-20 
 
2.11 Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (Ht-Q) 
 
Considerando um rotor com velocidade angular constante (ω=cte) e com entrada radial (α1=900) a equação 
de Euler é dada de maneira simplificada: 
 
 
H
g
U Ct u∞ =
1
2 2 
do polígono de velocidades: 
 
C U Wu u2 2 2= − 
 
 
W Cu m2 2
2
=
tan β
 
 
Substituindo Wu2 em Cu2: 
 
C U Cu m2 2 2
2
= −
tan β
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 Polígono de velocidade na saída do rotor 
Onde: 
C Q
D bm2 2 2
= pi 
 
Substituindo Cu2 e U2 em Htoo 
 
2
222
2 tan
1 U
bDg
QU
g
H t 

 −=∞ βpi 
 
 
Q
bDg
U
g
U
H t
222
2
2
2
tan βpi−=∞ 
 
A expressão pode ser simplificada considerando U2 proporcional à rotação, n, que é constante. D2 e b2 
também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão (Q) e do ângulo da pá β2. 
 
QkkH t 21 −=∞ 
 
 
Onde: 
 
g
Uk
2
2
1 = 
222
2
1 tan βpi bDg
Uk = 
 
 
Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás 
quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-21 
 
Rotor com pás radiais na saída 
 
β2=900 o termo 1/tanβ2 tende a zero sendo assim k2=0. Desta forma: 1kH t =∞
 
 
Htoo torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de H 
no ponto gU /22 . 
 
Rotor com pás inclinadas para trás 
 
β2 <900 o termo 1/tanβ2 dá um valor positivo (+). Desta forma: QkkH t 21 −=∞
 
 
Htoo diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando 
pela ordenada no ponto gU /22 . 
 
Rotor com pás inclinadas para frente 
 
β2 >900 o termo 1/tanβ2 dá um valor negativo (-). Desta forma: QkkH t 21 +=∞
 
 
Htoo aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig.2.16) que cruza 
na origem o ponto gU /22 . 
 
Figura 2.16 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação. 
 
• Observamos que as pás inclinadas para frente (β2 >900) cedem mais energia cinética que energia de 
pressão. 
• Da curva Htoo - Q mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. 
• O aumento de Htoo apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios 
em bancadas de laboratório. 
• A instabilidade do funcionamento para pás com β2>900 é outro motivo para evitar trabalhar com 
bombas centrífugas com pás voltadas para frente. 
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2-22 
2.12 Efeito da Curvatura das Pás na Curva de Potência (P - Q) 
 
Considerando a potência teórica: 
 
∞= tt gQHW ρ& 
 
onde a altura teórica é dada por: 
 
Q
bDg
U
g
U
H t
222
2
2
2
tan βpi−=∞ 
 
A qual como foi visto pode ser simplificada 
 
QkkH t 21 −=∞ 
 
Introduzida esta última expressão da altura na 
equação de potência se tem: 
Figura 2.17 Curva teórica da potência 
 
2
21 QgkQgkWt ρρ −=& 
 
 
desta forma considerando novas constantes: 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=& 
 
Considerando Pás com Saída Radial 
• Pás com saída radial implica que β2= 900 desta forma tan(900)=∞ 
• Desta forma K2=0 e a potência neste caso fica dada por: 
 
QkQkQkWt *12*2*1 =−=& 
 
 
Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig.2.16). 
 
Considerando Pás Voltadas para Trás 
• Neste caso β2 < 900 e Tan β2 toma valores (+). Por tanto k2 toma um valor positivo (+) 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=& 
 
Aumentando a vazão (com n=cte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e 
sempre com valor menor a esta quando Q aumenta (Fig. 2.17). 
 
Considerando Pás Voltadas para Frente 
• Com β2 > 900 e portanto Tan β2 toma valores negativos (-). Portanto k2 toma um valor (-) 
 
2*
2
*
1 QkQkWt −=&
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-23 
Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando Q=0, e é tangente à reta na 
origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig. 2.17). 
 
Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores 
requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a 
medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. 
 
No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e 
posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência 
de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão 
de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba. 
Resumo das curvas H-Q e P-Q 
 
 
 Figura 2.18. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás 
 
Tabela 2.2 Resumo das expressões de altura teórica e potência. 
Tipo de pás Altura teórica Potência teórica 
Pás com saída radial (β2= 900) 
 
1kH t =∞ QkWt *1=& 
Pás voltadas para trás (β2 < 900) 
 
QkkH t 21 −=∞ 2*2*1 QkQkWt −=& 
Pás voltadas para frente (β2 > 900) 
 
QkkH t 21 +=∞ 2*2*1 QkQkWt +=& 
 
� A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que 
rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiênciamostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande 
dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido. 
� Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás. 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-24 
2.13 Representação da Curva Característica Teórica 
 
 
Podemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. de 
Euler: 
 
( )11221 uut CUCUgH −=∞ 
 
Tal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão: 
 



 −−



 −=∞ QbDg
U
g
UQ
bDg
U
g
U
H t )tan()tan( 111
1
2
1
222
2
2
2
βpiβpi 
 
Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação: 
 { } { }QkkQkkH t 4321 −−−=∞ 
 
Agrupando os termos: 
 { } { }QkkkkH t 4231 −−−=∞ 
 
De modo compacto. 
 
QkkH BAt −=∞ 
 
A Eq. mostra que a curva característica pode ser representada pela Eq. de uma reta que na origem, isto e 
para vazão nula atinge uma altura teórica igual a kA. 
 
g
UUk A
2
1
2
2 −
= 
 
O termos da constante kB = (k2 – k4) são determinados pela relações. 
 
)tan( 222
2
2 βpi bDg
Uk = )tan( 111
1
4 βpi bDg
U
K = 
 
Considerando numero finito de pás a Eq. que representa a curva e dada por: 
 
pfl
t
t K
H
H ∞≠ = 
pfl
BA
t K
Qkk
H
−
=≠ 
 
No caso de entrada radial, Cu1=0 se obtém a expressão já conhecida: 
 
 
QkkH t 21 −=∞ 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-25 
2.14 Importância do Número Finito de Pás 
 
Na teoria utilizada (Eq. de Euler) a consideração de número infinito 
de pás permite supor que não existe variação da velocidade e 
pressão das partículas de fluido que escoam na fase frontal e dorsal 
das pás. Desta forma o fluido sempre escoa tangencialmente 
acompanhando a curvatura da superfície das pás como mostrado na 
Fig.2.19. 
 
 
 
 
Figura 2.19 Escoamento num rotor 
Escoamento com Número Finito de Pás 
• Numa turbomáquina real não acontece efetivamente tal comportamento. 
• O número de pás afeta a natureza das velocidades e da pressão no rotor, modificam-se os polígonos de 
velocidades e desta forma a energia cedida pelo rotor ao fluido (no caso de bombas e ventiladores) ou a 
energia cedida pelo fluido a rotor (no caso de turbinas). 
 
Num rotor de bomba centrífuga podemos supor que a corrente de fluido é composta por: 
 
• Uma corrente de fluido seguindo as pás. O fluido entra e tende a sair do canal formado pelas pás 
(Fig.2.20a). 
• Uma corrente de circulação. Originada pela diferença de velocidades e pressão ao girar o rotor 
(Fig.2.20b). Se considerarmos o espaço entre pás como um canal fechado o fluido tenderia a girar entre as 
pás quando o rotor começa a girar. 
 
 
a)escoamento sem rotação b) Escoamento com rotação c) resultado dos escoamentos 
Figura 2.20 Escoamento num rotor real. 
 
• A composição das correntes especificadas acima gera um escoamento com a distribuição de velocidades 
mostrada na Fig.2.20c. 
 
 
 
Utilizando o teorema de Bernoulli, verifica-se que a 
distribuição de pressão será maior onde a distribuição de 
velocidades é menor e vice-versa. Desta forma se obtém 
uma distribuição de pressão tal como mostrado na Fig.2.21. 
 
Figura 2.21 Distribuição de pressões no rotor. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-26 
Desvio da Velocidade Relativa 
 
O número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa (W’2 ) reduzindo o ângulo de saída da pá 
(β‘2) tal como observado na Fig. 2.22. 
 
 
Figura 2.22 Desvio da velocidade relativa e do ângulo da pá pelo número finito de pás 
 
Um exemplo do polígono de velocidades para número infinito e finito de pás é representado na Fig.2.23. 
 
 
Figura 2.23 Polígono de velocidades para número finito e infinito de pás 
Dependência do Número de Pás 
Em geral o número de pás depende de: Velocidade de rotação, Altura de elevação, Tipo de fluido (partículas 
em suspensão). 
 
Número pequeno de pás 
• Reduz as superfícies de atrito. 
• O fluido tem dificuldade para ser conduzido. 
• Canais largos implicam numa maior perda de 
carga diminuindo a altura manométrica. 
• Redução do rendimento da bomba. 
Grande número de pás 
• Diminui a perda de energia nas zonas em que o 
fluido abandona o rotor. 
• Aumenta as superfícies de atrito. 
• Reduz a energia na entrada da bomba. 
 
 
 
Rotores de menor porte e de alta velocidade apresentam maiores perdas de carga evitando-se rotores 
pequenos com muitas pás. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-27 
2.15 Altura Teórica para Número Finito de Pás 
 
Como se observa na Fig.2.23 o número finito de pás reduz a componente periférica da velocidade absoluta e 
desta forma diminuí também a altura teórica que a bomba pode transferir ao fluido. O fator de deslizamento 
µ relaciona estas velocidades: 
 
∞
=
2
#2
U
U
C
Cµ ou também 
∞
=
H
H #µ 
 
Tal fator depende da relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída 
(β2o). Na literatura vários métodos são fornecidos para avaliar µ, entre eles o representado pelo seu inverso 
(1/µ) e denominado coeficiente de Pfleiderer (Kpfl ). 
Fator de Correção do número finito de pás 
 A altura teórica de elevação para número infinito de pás (Htoo) pode ser corrigida para obter a altura 
teórica com número finito de pás Ht# 
 
pfltt KHH #=∞ 
 
( )2122
2
221
RR
R
z
K pfl
−
+=
ψ
 no caso em que R2=2R1 
z
K pfl
ψ
3
81+= 
 
R1: raio do rotor na entrada R2 : raio do rotor na saída. ψ: fator de correção de Pfleiderer (Tab.2.3), depende 
da forma do rotor e do ângulo da pá na saída (β2); e z representa o número de pás. 
 
Como se observa Kpfl é sempre maior que 1, já que em relação à energia cedida pelo rotor ao fluido, o valor 
teórico com número infinito de pás é sempre maior que o valor da energia cedida ao fluido com rotor de 
número finito de pás: 
 
H Ht t∞ > # 
 
Tabela 2.3 Fator de correção de Pfleiderer ( ψ ) em função do ângulo da pá (β2) 
Ângulo da pá 
 
200 230 
 
250 300 350 400 
ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94 
ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04 
Obs. Na atualidade a maioria das bombas possuem uma carcaça ou corpo sem pás guias. 
 
 
Expressão de Pfleiderer para determinar o número de pás 
z k D D
D D
sinz= +−




+



2 1
2 1
1 2
2
β β
 
 
onde kz é o coeficiente empírico dependendo da rugosidade, espaço entre as pás, . 
• Para rotores fundidos kz=6,5 
• Para rotores de chapa fina conformada kz=8,0 
 
Como aproximação para o número de pás: 
• Rotores de médias e grandes dimensões z= (6 a 14) 
• Rotores de pequenas dimensões z= (4 a 6) 
 
Sistemas FluidomecânicosPUCRS 
 
2-28 
2.16 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 
 
A nomenclatura: 
• [0]: Ponto da corrente situado imediatamente antes da entrada do canal de pás, fora da influência da 
contração provocada pela espessura das pás. 
• [1] :Ponto imediatamente após a entrada do canal formado pelas pás. 
• [2]: Ponto imediatamente antes da saída do canal formado pelas pás. 
• [3]: Ponto da corrente de fluido situada imediatamente após a saída do canal formado pelas pás. 
Análise na entrada do canal das pás 
A corrente no ponto “1” imediatamente após a entrada tem uma velocidade absoluta C1 , que, devido à 
contração da seção provocado pela espessura S1 da pá, é maior que velocidade absoluta C3 antes de entrar 
no canal formado pelas pás. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.24 Detalhe de rotor em corte e passagem do fluido na entrada do rotor. 
 
 Identificamos a área real de passagem do fluido pelas pás. Para isto com a figura mostrada acima 
distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t1) e pela projeção no 
arco (Su1) da espessura formada pelas pás (S1) na região de entrada. 
 
z
D
t
SSu 11
1
1
1 
sin
pi
β == 
 
A componente meridiana da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás pode ser expressa como: 
 
C C t S
t
C
t
t S
m m
u m
u
0 1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
=
−
=
=
−
ϕ
ϕ
 
 
Também podemos definir um fator de contração (Fc1) de tal forma que: 
11
1
1
1
1
110
sin
11 βpiD
zS
t
S
F
FCC
u
c
cmm
−=−=
=
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-29 
Desta forma a vazão é dada por: 
 
1111
011
)( mu
m
zCbStQ
zCbtQ
−=
=
 
 
O polígono de velocidades pode ser observado na figura abaixo. 
 
 
Figura 2.25 Polígono de velocidades com influência do número finito de pás 
Análise na saída do canal das pás: 
 
A corrente no ponto “2” tem uma velocidade C2 que, devido à contração da seção provocado pela espessura 
S2 da pá é maior que a velocidade C3, mediada imediatamente após a saída do canal. 
 
 
 
 
Figura 226 Detalhe da área de passagem do fluido na entrada do rotor. 
 Identificamos a real área de passagem do fluido pelas pás. Para isto, com a figura mostrada acima, 
distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t2) e pela projeção no 
arco (Su2) da espessura formada pelas pás (S2) na região de entrada. 
 
z
D
t
SSu
2
2
2
2
2
sin
pi
β
=
=
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-30 
A componente meridional da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás é dada como: 
 
C C t S
t
C
t
t S
m m
u m
u
3 2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
=
−
=
=
−
ϕ
ϕ
 
 
Também podemos definir um fator de contração (FC1) de tal forma que: 
 
22
2
2
2
2
223
sin
11 βpiD
zS
t
S
F
FCC
u
c
cmm
−=−=
=
 
 
 
O polígono de velocidades pode ser observado na Fig. 2.27. 
 
 
Figura 2.27 Polígono de velocidades na saída. 
 
Desta forma a vazão é dada por: 
 
2222
322
)( mu
m
zCbStQ
zCbtQ
−=
=
 
 
Considerando o fator de contração, a vazão pode ser dada como: 
 
2222
322
cm
m
FCbDQ
zCbtQ
pi=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-31 
2.17 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 
 
 
 Nome:___________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Polígono de velocidades na entrada do Rotor 
 
 
 
 
 Polígono de velocidades na saída do Rotor 
 
 
 
Q [m3/s] 
n [rpm] 
ω [rad/s] 
m& [kg/s] 
ρ
 
 
 [kg/m3] 
 
A1 [m2] 
D1 [m] 
R1 [m] 
b1 [m] 
α1 [º] 
β1 [º] 
 
U1 [m/s] 
C1 [m/s] 
W1 [m/s] 
Cu1 [m/s] 
Wu1 [m/s] 
Cm1 [m/s] 
 
A2 [m2] 
D2 [m] 
R2 [m] 
b2 [m] 
α2 [º] 
β2 [º] 
 
U2 [m/s] 
C2 [m/s] 
W2 [m/s] 
Cu2 [m/s] 
Wu2 [m/s] 
Cm2 [m/s] 
 
H t∞ [m] 
Teixo [Nm] 
W& [W ou kW] 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TTeeoorriiaa ddee BBoommbbaass CCeennttrrííffuuggaass 
 
EExxeerrccíícciiooss RReessoollvviiddooss ee PPrrooppoossttooss 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-33 
2.18 Exemplos Resolvidos 
Exemplo – 2.1 
Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3m3/s. O diâmetro do 
impelidor é de 250mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída. 
Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba 
trabalha com 1000rpm. 
 
Solução 
Dados: Q=0,3m3/s. D2=250mm b2=30mm n=1000rpm. – Entrada radial 
 
A água entra no impelidor com direção axial, portanto a componente tangencial da velocidade absoluta é 
nula e desta forma α1=900. Portanto temos a simplificação de que: 
 
22
1
ut CUg
H =∞ 
Na saída a pá é radial, portanto β2=900. Desta forma CU2=U2 tendo simplificada a equação da altura: 
 
2
2
1 U
g
H t =∞ 
Determinamos velocidade tangencial do rotor na saída. sm
x
xxnDU /1,13
601000
1000250
60
2
2 ===
pipi
 
 
Desta forma a altura teórica de elevação é dada por: ( ) mH t 5,171,1381,9
1 2
==∞ 
A potência pode então ser determinada: 
 
kWxxxgQHW tt 5,511000
5,173,081,91000
=== ∞∞ ρ& em HP dividindo por 0,7457 se obtém P=69 HP. 
 
Podemos determinar o torque exercido pela bomba: ( )1122 uueixo CrCrmT −= & 
 
Neste problema Cu1=0 e Cu2=U2 e desta forma: ( )22UrmTeixo &= 
 
o fluxo de massa é m=ρQ=1000x0,3=300kg/s. o raio do rotor na saída é R2=D2/2=125mm e velocidade 
tangencial do rotor na saída é U2=13,1m/s . Desta forma: 
 
( ) NmxxUrmTeixo 25,4911,131000
12530022 =

== & 
 
A potência do rotor pode ser então verificada como: eixot TW ω=∞& 
 
Onde a velocidade angular é dada por: sradn /72,104
60
10002
60
2
===
pipi
ω 
 
kWxTW eixot 5,5172,10425,491 ===∞ ω& 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-34 
Exemplo – 2.2 
(a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta 
escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do 
rotor é de 250mm. A largura da pá naentrada é igual a 10mm e a largura da pá na saída é igual a 
5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 200 e na saída igual a 230. Considere que a bomba gira 
com uma rotação de 1300 rpm 
(b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética 
e energia de pressão. 
 
Solução 
Dados: n=1300rpm D1=50mm D2=250mm b1=10mm b2=5mm β1=200 β2=230 
 
 
1. Polígono de velocidades na Entrada 
 
A entrada radial implica que ângulo α1=900 
 
 
 
 
Velocidade periférica ou tangencial do rotor na entrada: 
 
U D n x m s1 160
0 05 1300
60
34= = =pi pi , . / 
 
tanβ1 1
1
=
C
U
 
 
Velocidade absoluta do fluido na entrada: 
 
C U m s1 1 1
034 20 1 24= = =tan . tan( ) , /β 
 
Velocidade relativa do fluido na entrada 
 
( ) ( )W C U m s1 12 12 2 21 24 3 4 3 62= + = + =, , , / 
 
 
Do triângulo de velocidade temos que: Cm1=C1=1,24m/s: 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-35 
2. Triângulo de velocidades na Saída 
Obs: para obter informação do segundo triângulo de velocidade podemos utilizar a equação da vazão: 
 
Q D b C D b Cm m= =pi pi1 1 1 2 2 2 
 
Do polígono de velocidades: Cm1=C1=1,24m/s: 
 
Q D b C m sm= = =pi pi1 1 1 30 05 0 01 1 24 0 00195( , )( , )( , ) , / (117 litros/min.) 
 
Componente meridiana da velocidade absoluta na saída: 
 
C Q
D b
m sm2
2 2
0 00195
0 25 0 005
0 496= = =pi pi
,
( , ) , ) , / 
 
Componente periférica da velocidade relativa: 
tanβ 2 2
2
=
C
W
m
u
 
W C m su m2 2
2
0
0 497
23
117= = =
tan
,
tan( ) , /β 
 
Velocidade relativa na saída 
( ) ( )W C Wu m sm2 22 22 2 20 497 117 1 271= + = + =, , , / 
 
Velocidade periférica na saída: 
U D n m s2 260
0 25 1300
60
17 017= = =pi pi ( , )( ) , / 
Componente periférica da velocidade absoluta 
C U W m su u2 2 2 17 017 117 15 85= − = − =, , , / 
 
Velocidade absoluta: 
C C C m su m2 2
2
2
2 2 215 85 0 497 15 86= + = + =( , ) ( , ) , / 
 
tan
,
,
,α α2 2
2
2
0 497
15 85
1 79= = = =C
C
m
u
> 
 
 
Cm2=0,497m/s 
valor dado β2=230 
Wu2=1,17m/s 
W2=1,271m/s 
U2=17,017m/s 
Cu2=15,85m/s 
C2=15,86m/s 
α2=1,79 
 
 
 
Obs: Continuar o problema determinando a Altura teórica de elevação, Potência e Torque da bomba, assim 
como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. 
 (Htoo=27,5m) (T=3,85Nm) (Wt00=524W) (Hp=14,76m; Hc=12,74). 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-36 
Exemplo – 2.3 
 
Um rotor de bomba centrifuga de 200mm de diâmetro gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a 
220 e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica para 
número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. 
 
Solução 
 
Dados: D2=200mm n=3500rpm β2=220 Cm2=3,6m/s 
 
Tratando-se de uma bomba com entrada radial: 
 
g
CU
H ut
22=∞ 
 
s
mxxnDU 65,36
60
35002,0
60
2
2 ===
pipi
 
 
smC
sm
gg
C
W
WUC
U
m
u
uU
/74,2791,865,36
/91,8)22(tan
6,3
tan
2
2
2
2
222
=−=
===
−=
β 
 
 
m
x
g
CU
H ut 64,10381,9
74,2765,3622
===∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-37 
Exemplo 2.4: Mostre aplicando a Eq. de energia que a variação de pressão num rotor de bomba centrífuga é dado por: 
( )222 2222112 cos21 βρ ecCUCgg pp mm −+=− 
 
Solução 
Aplicando a Eq. da Energia entre os pontos 1 e 2, considerados estes com na entrada e na saída da bomba: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
C
g
pHz
g
C
g
p
A ++=+++ ρρ
 
 
Considerados os pontos 1 e 2 na mesma elevaçã0 (z1=z2) e uma bomba com entrada radial. 
g
CUH ut 22=∞ 
g
CU
g
C
g
C
g
pp u22
2
2
2
112
22
+−=
−
ρ
 
 
Para entrada é radial: C1=Cm1 
 
2
2
22 tan β
m
u
CUC −= 
 
2
2
2
2
2
2 um CCC += 
 
( )
222
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cot2cos
tan
2cot1
tantan
2
tan
ββ
ββ
βββ
mm
m
m
mm
m
m
m
CUUecCC
CUUCC
CCUUCCUCC
−+=
−++=



+−+=


 −+=
 
 
Substituindo esta expressão de C2 e C1 na expressão simplificada de Bernoulli, se obtém: 
 
( ) ( )222222222222 22112 cot1cot2cos212 βββρ mmmm CUUgCUUecCggCg pp −+−+−=− 
 
( ) ( )
g
ecC
g
U
g
C
g
pp
CUU
g
CUUecC
gg
C
g
pp
mm
mmm
m
2
cos
22
2
2
cot
1
cot2cos
2
1
2
2
22
2
2
2
2
112
222
2
2222
2
22
22
2
2
112
β
ρ
βββρ
−+=
−
−+−+−=
−
 
 
com o qual finalmente se obtém: 
 
( )222 2222112 cos21 βρ ecCUCgg pp mm −+=− 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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2-38 
 
Exemplo 2.5: Uma bomba centrífuga tem as seguintes características. Vazão 0,005m3/s. Diâmetro do rotor na 
entrada 100mm. Diâmetro do rotor na saída 200mm; rotação 1500rpm. A altura manometrica é igual a 22m. 
A largura da pá na entrada e saída é igual a 10mm e 5mm respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdas 
determine a energia de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas para trás com ângulo 
na saída igual a 300. 
 
 
Dados: 
Q=0,005m3/s D1=100 D2=200 n =1500rpm b1=10m e b2=5mm Hman=20m. β2=300. 
Solução 
Podemos utilizar a equação deduzida anteriormente: 
 
( )222 2222112 cos21 βρ ecCUCgg pp mm −+=− 
 
sm
xnDU /85,7
60
15001,0
60
1
1 ===
pipi
 
sm
xnDU /7,15
60
15002,0
60
2
2 ===
pipi
 
 
sm
xxbD
QCm /59,105,02,0
005,0
22
2 ===
pipi
 
 
sm
xxbD
QCm /59,101,01,0
005,0
11
1 ===
pipi
 
Substituindo os valores encontrados: 
 
( ) mec
gg
pp 36,1230cos59,17,1559,1
2
1 0222212 =−+=−ρ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-39 
Exemplo 2.6: 
Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada 150mm, largura 
da pá na entrada 75mm ângulo da pá na entrada 200. Diâmetro do rotor na saída 300mm, largura da pá na 
saída 50mm ângulo da pá na saída 250. A bomba temuma rotação de 1450rpm. Determinar: 
(a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva potência considerando que bomba 
trabalha com água com massa especifica igual a 1000kg/m3. 
(b) Considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás e sua 
respectiva potência. 
Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α1=900. 
 
Solução 
s
mxxnDU 78,22
60
14503,0
60
2
2 ===
pipi
 
 
( )
QH
Q
xxx
H
Q
bDg
U
g
U
H
t
t
t
68,1059,52
25tan05,03,081,9
78,22
81,9
78,22
tan
0
2
222
2
2
2
−=
−=
−=
∞
∞
∞
pi
βpi
 
 
Vazão: 
s
mxxnDU 39,11
60
145015,0
60
1
1 ===
pipi
 
 
smxucm /15,420tan39,11tan 0111 === β 
 
smxxxcbDQ m /147,015,4075,015,0 3111 === pipi 
 
Altura 
mxH
QH
t
t
4,37147,068,1059,52
]68,1059,52
=−=
−=
∞
∞
 
 
Potência Teórica 
 
kWxxxgHQWt 93,53147,04,3781,91000 ===∞ ρ& 
 
Altura teórica para número finito de pás 
no caso em que R2=2R1 34,17
9,0
3
81 =+= xK pfl 
Para o ângulo de 25 temos que Ht00=37,4m 
m
K
H
H
pfl
t
t 91,2734,1
4,37
# ===
∞
 
 
kWxxxQgHW tt 234,40147,091,2781,91000## === ρ& 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
 PUCRS 
 
2-40 
 
Exemplo 2.7: Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma vazão de 2,0m3/min e 
1200rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 20mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 250. A 
componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5m/s. a)Determine a altura e potência 
teórica da bomba nas condições dadas. b)Determine as equações características de H=f(Q) e P=f(Q). Com as 
equações características grafique as curvas H-Q e P-Q desde uma vazão nula até uma vazão máxima de 
4,0m3/min. Utilize água com massa específica igual a 1000kg/m3. 
Htoo=? Pot=? Q=2,0m3/min n = 1200rpm b2=20mm Cm2=2,5m/s β2=250 
 
(a ) Altura teórica e potência teórica para número infinito de pás com entrada radial é dada por: 
 22
1
ut CUg
H =∞ 
mmm
Cb
QD
m
212212,0
5,2
1000
20
60
20
22
2 ==


==
pi
pi
 sm
x
xxnDU /32,13
601000
1200212
60
2
2 ===
pipi
 
smC
sm
CW
WUC
u
m
u
Uu
/96,736,532,13
/36,5)25tan(
5,2
)tan(
2
2
2
2
222
=−=
===
−=
β 
 
mxCU
g
H ut 80,1096,732,1381,9
11
22 ===∞ 
kW
xxx
gQHW tt 5,31000
60
0,28,1081,91000
=



== ∞∞ ρ& 
(b) Equação da altura teórica e da potência teórica para número finito de pás 
H K K Qt∞ = −1 2 com K
U
g1
2
2
= e K U
g D b2
2
2 2 2
1
= pi βtan 
 
( ) m
gg
UK 10,1832,131 2
2
2
1 === 6,21825tan02,0212,081,9
32,13
tan 0222
2
2 ===
xxxxbDg
U
K piβpi 
 
H K K Qt∞ = −1 2
 
 
QH t 6,2181,18 −=∞ com vazão em m3/s para obter altura em metros. 
 
56,177
1000
81,91001,18
1
*
1 ===
xxgkk ρ (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 
2145
1000
81,910006,218
2
*
2 ===
xxgkk ρ (Dividido por 1000 para trabalhar em kW) 
 
2*
2
*
1 QKQKWt −=∞& 
 
2214556,177 QQWt −=∞& Com vazão em m3/s para obter kW. 
 
 Capítulo 2: Teoria de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 2-41 
Exemplo 2.8: 
Uma bomba trabalha com uma altura manometrica igual a 22m e uma vazão igual a 20litros/s. O impelidor 
gira a 1500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 135mm e na saída de 270mm. A largura da pá saída é de 
10mm. O ângulo da pá na saída é de 300. Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. O 
rendimento volumétrico igual a 97% e o rendimento mecânico é de 95%. 
Determinar: a) O rendimento global b) a potência da bomba. c) a rotação especifica e tipo de bomba. 
 
Considerando entrada radial: (e rotor com pás sem guias) 
22
1 CuU
g
H t =∞ 222 WuUCu −= Wu2 é função de Cm2 
sm
xxnDU /2,21
60
150027,0
60
2
2 ===
pipi
 
Fator ou coeficiente de contração 
 
22
2
2
2
2
sin
11 βpiD
zS
t
S
F uc −=−= portanto : 95,0)30(27,0
7003,012 =−=
sinx
xFc
pi
 
 
Da expressão da vazão pode ser obtido Cm2 
2222 cm FCbDQ pi= sm
xxxFbD
QC
c
m /48,295,001,027,0
02,0
222
2 ===
pipi
 
Pela relação do polígono de velocidades: 
sm
CmWu
W
Cm
u
/3,4)30tan(
48,2
tan
tan
2
2
2
2
2
2 ===⇒= ββ 
 
smWuUCu /9,163,42,21222 =−=−= 
 
mcax
g
CuU
g
H t 52,369,162,21
11
22 ===∞ 
 
como R2=2R1 e considerando pás sem guias da Tab.2.3 para β2=300 obtemos ψ=0,95. 
 
36,1
7
95,0
3
81
3
81 =+=+=
z
K pfl
ψ
 
 
pfltt KHH #=∞ Implica que Ht#=36.52/1,36=26,82mca. 
 
%82
82,26
22
#
===
t
man
h H
Hη 
O rendimento global é dado como: %76755,082,097,095,0 ≈=== xxhvmG ηηηη 
 
kWxxxQgHW
G
man
ac 72,5755,0
02,02281,91000
===
η
ρ
&
 
rpm
H
Q
nn
maa
s 2122
02,01500 4/34/3 === Conforme Cap.4 Tab.4.2 Corresponde a uma bomba tipo radial. 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCuurrvvaass CCaarraacctteerrííssttiiccaass ee AAssssoocciiaaççããoo ddee 
BBoommbbaass eemm SSeerriiee ee eemm PPaarraalleelloo 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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3-2 
 
Curvas Características e Associação de 
Bombas Série e em Paralelo 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos........................................................................................................ 3 
3.2 Rendimentos ....................................................................................................................................... 3 
Rendimento Mecânico................................................................................................................................ 3 
Rendimento Hidráulico ............................................................................................................................... 3 
Rendimento Volumétrico ............................................................................................................................ 4 
Rendimento Total ou Global....................................................................................................................... 4 
Potência de acionamento........................................................................................................................... 5 
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................ 5 
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q)................................................................................................6 
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas................................................................................. 6 
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) ..................................................................... 7 
3.7 Ponto de Operação das Bombas........................................................................................................ 8 
3.8 Outras Representações de Curvas Características............................................................................ 9 
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características.......................................................................... 10 
3.10 Equações Especificas Para Corte de Rotores.................................................................................. 12 
3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga................................................. 13 
3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro .......................................................................... 15 
3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff .................................................................. 16 
3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. ................................................. 17 
3.11 Associação de Bombas em Série ..................................................................................................... 19 
3.11.1 Curva característica de bombas em serie..................................................................................... 20 
3.11.2 Rendimento de duas bombas em série......................................................................................... 21 
3.12 Associação de Bombas em Paralelo ................................................................................................ 22 
3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo: ............................................................................. 23 
3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo .................................................................................. 24 
3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo.................................................................... 25 
3.14 Exemplo - Conexão Paralelo ............................................................................................................ 26 
3.15 Exemplo - Conexão Série ................................................................................................................. 27 
3.16 Outros Exemplos............................................................................................................................... 28 
3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta ......................................................................................... 29 
3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida ....................................................................................... 30 
3.19 Problemas Propostos........................................................................................................................ 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-3 
 
3.1 Fluxo de Energia e Rendimentos 
 
Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se observa que existem diversas 
formas de dissipação de energia, desde a energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia final 
absorvida pelo fluido (Fig.3.1). O motor apresenta uma energia motriz (Hm) que deve ser transferida ao rotor. 
Como o sistema mecânico de acoplamento e transmissão não é perfeito existirá uma dissipação mecânica de 
energia quantificada como perda mecânica (∆hm). A energia efetivamente absorvida pelo rotor é 
denominada energia de elevação (Ht#) sendo relacionada com a energia motriz pelo rendimento mecânico 
(ηm). Devido à dissipação de energia no interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia do 
rotor (Ht#) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas quantificadas como perdas hidráulicas 
(∆hh). A energia transferida do rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto, parte da 
vazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por má vedação. Isto se quantifica considerando um 
rendimento volumétrico (ηv). A energia realmente absorvida pelo fluido é denominada altura manométrica 
(Hman), reconhecida como a energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O rendimento 
global (ηG) quantifica a relação entre energia final (Hman) (absorvida pelo fluido) e a energia motriz para 
acionamento da bomba (Hm). 
 
 
Figura 3.1 Relações entre rendimentos e alturas de uma bomba. 
3.2 Rendimentos 
Rendimento Mecânico 
 Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona a potência de elevação e a 
potência motriz. Esta última conhecida como potência de acionamento do motor da bomba. 
 
ηm t
m
H
H
=
#
 ( 1 ) 
 
valores típicos de 92 a 95% encontram-se nas bombas modernas, sendo que os valores maiores 
correspondem às bombas de maiores dimensões. 
Rendimento Hidráulico 
 A altura teórica de elevação (Ht#) não é aproveitada totalmente na elevação do fluido (Hman). Uma 
parte é perdida para vencer as resistências ou perdas hidráulicas denominadas ∆hh . 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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3-4 
 
hmant hHH ∆+=# ( 2 ) 
 
O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura manométrica (Hman), que representa a 
energia absorvida pelo fluido, e a altura teórica de elevação para número finito de pás (Ht#), que representa 
a energia cedida pelo rotor ao fluido: 
 
 
η h man
t
H
H
=
#
 desta forma pfl
too
man
h kH
H
=η ( 3 ) 
 
Valores estimados do Rendimento Hidráulico. 
50 a 60%: Bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação com caixa tipo caracol. 
70 a 85% : bombas com rotor e coletor bem projetados, fundição e usinagem bem feitas. 
85% a 95% : Para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e bem fabricadas. 
 
Pode ser utilizada a seguinte expressão de Jekat considerando a vazão em m3/s. 
 
25.0
071,01 Qh −=η ( 4 ) 
 
Obs. Em fase de projeto pode ser estimado entre 85% a 88%. 
Rendimento Volumétrico 
Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na carcaça (q) e que pode escapar 
por má vedação. O rendimento volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque (Q) e a 
vazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência na vedação (Q´=Q+q). ηv=Q/Q´. As bombas 
centrífugas podem ter um ηv na faixa de 85 a 99%. 
Rendimento Total ou Global 
Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a energia necessária para 
movimentar o rotor. Relaciona de forma equivalente a potência útil com a potência motriz. 
 
m
man
G H
H
=η ( 5 ) 
 
Quando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado como: 
 
hvmG ηηηη = Caso contrário fica como: hmG ηηη = ( 6 ) 
 
• Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%. 
• Nas bombaspequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação, pode cair até menos de 40%. 
• Uma estimativa razoável é considerar 60% em bombas pequenas e 75% em bombas medias. 
 
Rendimento Global (%) – O rendimento global depende da bomba sendo uma informação dada pelo 
fabricante. Pode-se utilizar como ordem de grandeza a seguinte expressão: 
 
2282523253 10346,810028,310802,510514,11046,59367,080 HQxQHxHxHQxQHxHG −−−−− +−+−+−=η 
(7 ) 
Onde: Q: vazão (m3/h ); H: altura manométrica (m) Validade: 20 < Q < 250 15 < H < 100 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-5 
Potência de acionamento 
 
A potência requerida para o acionamento da bomba é dada pela expressão: 
 
G
man
ac
QgHW
η
ρ
=& ( 8 ) 
 
Nota1: A altura útil de elevação foi definida (no texto de Macintyre) como: 
 
H H V V
gu man
= +
−3
2
0
2
2
 
 
se os diâmetros das tubulações de entrada D0 e de saída D3 na bomba são iguais, então podemos considerar 
que Hu=Hman. 
 
 
3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 
 
Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na curva característica de H-Q. Contudo estas 
curvas reais sofrem modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação da energia. 
As curvas reais de H-Q são diferentes devido aos seguintes efeitos: 
 
Número finito de pás 
A espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das velocidades à saída das pás, variando a 
componente meridiana da velocidade. Isto faz com que Hreal seja menor do que Ht00 . Desta forma, na origem 
o valor de Hreal, é menor que o termo U2/g iniciando as curvas numa ordenada inferior a U2/g. (Fig.3.2). 
 
2. Dissipação de Energia 
Devido ao atrito do fluido no rotor por: 
• Imperfeita condução das veias de fluido 
• Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia de pressão. 
 
Choques: Mudanças bruscas de direção do escoamento na entrada e saída do fluido. 
Fugas: Do fluido nos interstícios, labirintos e espaços entre o rotor e o difusor e coletor. 
 
Figura 3.2 Altura de elevação para diferentes tipos de pá com dissipação de energia. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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3-6 
 
3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (H-Q) 
 
 A Fig. 3.3 representa uma curva característica de H-Q de bomba centrífuga onde se mostram os 
diferentes efeitos provocados pela turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido a 
isto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real. 
 
Figura 3.3 Curva característica de bomba centrífuga. 
3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas 
Representam o comportamento real das bombas mostrando o relacionamento de interdependência entre as 
grandezas características (Fig. 3.4). Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas experimentalmente em 
laboratório. Os principais gráficos apresentados são: 
 
• Hman-Q : Variação da altura manométrica em função da vazão 
• η-Q: Variação do rendimento global em função da vazão 
• W-Q: Relação entre a potência requerida no acionamento e a vazão. 
• NPSH-Q Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida positiva de sucção) e a vazão. 
 
 
Obs: NPSH representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido. 
O fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na Fig.3.4. 
 
Figura 3.4 Conjunto de curvas características apresentadas por fabricantes. 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-7 
3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (H-Q) e (P-Q) 
 
• O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico abaixo (Fig.3.5), onde se observam 
curvas reais dos diferentes tipos de pá estudados. 
 
• Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um certo volume, contudo, deve ser 
lembrado que uma parte substancial desta altura total é devida à contribuição de energia cinética. 
 
• As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os diferentes tipos de rotores. Nos 
rotores com pás voltadas para trás a potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e 
qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da potência. Desta forma, um motor 
elétrico usado para mover tal bomba pode alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem 
perigo de trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto. 
 
• Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para frente, nas quais a potência 
aumenta continuamente devendo-se ter muito cuidado na escolha da potência do motor. 
 
• Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto de máxima potência será 
perigoso já que acidentalmente pode-se exceder a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos 
que requeremos maior potência para o acionamento, danificando o motor. 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-8 
3.7 Ponto de Operação das Bombas 
 
Tipo de Curva (H-Q) Ascendente. 
A Fig.3.6 mostra como varia a altura manométrica (Hman), a potência no eixo (Peixo) e o rendimento global de 
uma bomba que opera numa dada rotação em função da vazão (Q). Observa-se que a curva de Hman aumenta 
quando a vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente. Bombas com curvas 
opostas a esta se denominam curvas de carga descendentes. 
 
 
Altura ou Carga de Shutoff 
Denomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (Q=0), e representa a carga de pressão 
com a válvula de descarga fechada. Como não há escoamento a eficiência é nula (η=0) e a potência 
fornecida à bomba é totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e deve ser 
evitada no funcionamento de bombas. 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 Ponto de operação de bomba centrífuga. 
 
 
Ponto Ótimo de Funcionamento 
 Observa-se que quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento da bomba 
aumenta, atinge um máximo e apresentando uma queda nas proximidades da descarga máxima. A Fig.3.6 
mostra que o rendimento da bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazão 
denominada vazão de projeto, (QProjeto) , vazão de normal (Qnormal) ou vazão ótima (Qotima) Por isto é muito 
importante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição próxima do rendimento máximo. 
 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-9 
3.8 Outras Representações de Curvas Características 
 
Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado corpo. Por isto os fabricantes de 
bombas fornecem as curvas do comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo) num 
único gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a bomba, dependendo do diâmetro, apresenta 
curvas H-Q diferentes. Tambémmostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de valores diferentes 
(curvas de iso-rendimento) dependendo da solicitação do sistema, isto é da H-Q requerido. Na Fig.3.7 
também é representada a curva NPSH (altura positiva liquida de aspiração) e a curva de potência de 
acionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombas 
centrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação requerido num sistema de bombeamento está 
dentro da área demarcada significa que uma das bombas de estes fabricantes pode suprir tal necessidade de 
operação. 
 
 
Figura 3.7. Curva de bomba para diferentes diâmetros do rotor 
 
Figura 3.8 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-10 
3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. 
 
 
A Fig. 3.9 mostra as curvas típicas de bombas centrifugas. Observa-se no gráfico superior que existem 05 
curvas de altura manométrica (Head) versus vazão (flow rate) correspondente a 05 rotores (impeller) com 
diâmetros diferentes. Mostram-se também na mesma figura as curvas de iso–rendimento. Na figura inferior 
as respectivas 05 curvas de potência de acionamento para os 05 rotores. Na figura intermediaria mostra-se a 
curva de NPSH que representa a altura positiva liquida de aspiração condição para não ocorrer cavitação 
cujo detalhamento será abordado no Cap.8. 
 
Figura 3.9 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-11 
Utilizando os gráficos da Fig.3.9 podemos realizar algumas considerações. Se por exemplo um sistema deve 
operar com uma vazão de 150 m3/h e uma altura manométrica de 62m, então a o rotor com diâmetro de 219 
mm satisfaz tal operação. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%. Observa-
se que para esta vazão o rotor de diâmetro de 219mm requer uma potencia de acionamento de pouco mais de 
32 kW. Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando água com massa especifica 
padrão (ρ=1000 kg/m3); desta forma podemos verificar a potência utilizando a expressão: 
 
 
kW
x
s
m
mxx
s
m
x
m
kg
QgHW
G
man
ac 68,3110008,0
3600
1506281,91000
3
23
===
η
ρ
&
 
 
Observamos que este valor é muito próximo ao especificado pelo fabricante. Tomemos outro 
exemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m. 
Utilizando o mesmo gráfico da Fig.3.9 observa-se que o ponto de operação desejado se encontra entre as 
curvas dos rotores com diâmetro de 199mm e de 208mm. Observa-se que rotor de 199mm não consegue 
atender esta demanda já que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica requerida. No 
caso do rotor de 208mm este consegue atender com muita folga já que para esta vazão sua altura 
manométrica é de 50m. No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curva 
característica de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar alternativas de realizar corte nos 
rotores a fim de ajustar o ponto de operação desejado. 
 
Existem fabricantes que apresentam esta informação em catálogos iterativo na internet nos quais o 
usuário precisa fornecer os dados requeridos para o sistema (altura,vazão) sendo o resultado mostrado com 
gráficos que apresentam o ponto de operação com o respectivo rotor cortado para a demanda especifica. Por 
exemplo, desejamos que um sistema opere com uma vazão de 50m3/h e uma altura manométrica de 20m. O 
resultado do processo iterativo é mostrado na Fig.3.10 onde a bomba com corte do rotor apropriado deverá 
utilizar um rotor com diâmetro de 229 mm motor, potência de 7,5HP, apresentando um rendimento de 67%. 
Desta forma o diâmetro de 229 mm corresponde ao diâmetro de corte do rotor proporcionado pelo fabricante 
para ajustar-se ao ponto de operação desejado. 
 
Figura 3.10 Exemplo de seleção de bomba centrífuga 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-12 
3.10 Equações Para Corte de Rotores 
 
Na indústria de bombas os fabricantes podem oferecer varias opções de diâmetros do rotor mantendo 
o mesmo corpo da bomba. Com este procedimento é possível maior versatilidade e opções para ajustar-se a 
demandas especificas. Como vantagens o procedimento permite economia no custo de fabricação, aumento 
da capacidade substituindo o rotor, padronizar a base da instalação. O procedimento do corte do rotor 
consiste em, a partir de um determinado diâmetro realizar a redução do diâmetro externo numa operação de 
usinagem mecânica, sem alterar outros componentes da bomba (Fig.3.11). O procedimento é mais fácil de 
realizar em bombas centrifugas radiais, onde as fases laterais do rotor são paralelas. Existe um compromisso 
entre o percentual de redução do rotor com o desempenho da bomba já que resulta numa queda no 
rendimento da bomba. 
Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da máquina com o diâmetro original 
e o diâmetro após o corte do rotor. Quando o rotor possui um corte menor que 10% podem ser utilizadas as 
leis de semelhança para levantar as novas condições de funcionamento. 
 
Equações de Especificas para Corte do Rotor 
 
2
1
2
12 


=
D
DQQ H H D
D2 1
2
1
2
= 


 
3
1
2
12 


=
D
DWW &&
 
 
 
1
2
12 Q
QDD = 
1
2
12 H
HDD =
 
2
1
2
12 


= Q
QHH 
 
 
 
 
 
Figura 3.11 Detalhe do diâmetro de corte e diâmetros do rotor 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-13 
3.10.1 Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga 
 
Consideremos o exemplo em que temos uma curva de uma bomba com diâmetro de 208 mm extraída 
da Fig.3.9 além de ter também a sua respectiva equação característica aproximada por: 
 
20,0004Q0421,060 −+= QHman 
 
Se deseja determinar o diâmetro que deve ser reduzido o rotor de 208mm para que possa operar junto 
com o sistema com vazão de 200m3/h e altura manométrica de 44m, ponto também representado no gráfico 
da Fig.3.12. 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
vazão (m3/h)
Al
tu
ra
 
m
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
Diâmetro do rotor D=208mm
 
Figura 3.12 Curva de bomba com diâmetro do rotor de 208mm 
 
Primeiro determinamos com os valores de Hman=44m e Q=200m3/h a equação de uma curva 
parabólica que passa pela origem e por este ponto dada pela expressão: 2QkH c = . Neste caso a constante 
k=44/(200)2= 0,0011. Desta forma a equação que representa a curva parabólica é dada por 
 
2Q0011,0=cH 
 
Igualando as duas equações determinamos o ponto de interseção da curva parabólica com a curva da 
bomba. Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 20 grau do tipo 02 =−+ cbQaQ , 
com as constantes a=-0,0015 b=0,0421 c=60. Resolvendo a mesma se obtém Q0=214,5 m3/h. Com tal vazão se obtém a 
altura manométrica H0=50,62m. A figura mostra este ponto na interseção das duas curvas. 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
Vazão (m3/h)
Al
tu
ram
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
Diâmetro do rotor D=208mm
Curva parabolica
 
Figura 3.13 Curva parabólica e curva da bomba 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-14 
Tendo o ponto correspondente ao rotor de 208mm podemos agora determinar o diâmetro necessário 
para o ponto de operação requerido: 
 
0
0 Q
QDD rr = mmDr 2015,214
200208 == 
 
Utilizando as relações: 
 
2
0
0 


= Q
QHH rr e 
0
0 D
DQQ rr = 
 
Podemos apresentar graficamente a nova curva da altura manométrica 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250
Vazão (m3/h)
Al
tu
ra
 
m
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
 D=208mm
Curva parabolica
 D=201mm
 
Figura 3.14 Resultado da nova curva com rotor de 201mm que passa pelo ponto de operação 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-15 
3.10.2 Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro 
 
 O método consiste em determinar um novo diâmetro (D2) a partir de uma bomba que possui um rotor 
com diâmetro D1 com sua curva característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a bomba 
opere no ponto 2 com uma vazão Q2 e altura manométrica H2. 
 
 
Figura 3.15 Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido. 
 
 Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva com diâmetro D1 para o qual 
se determina a vazão e altura manométrica. HA e QA. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A e 2 
interceptando assim a curva com diâmetro D1 determinando-se a vazão Q1 e H1. Tendo os valores de Q1 e H1 
e os dados iniciais de Q2 e H1 determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D1 que deve ser 
cortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica. 
 
 
(a) 
 
(b) 
 (c ) 
Figura 3.16 Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-16 
3.10.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff 
 
O procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor para atender uma determinada condição 
de operação pode ser corrigido utilizando o método de Stepanoff. 
 
original
calculado
cal D
DR = 
original
corrigido
cor D
D
R = 
 
Conforme gráfico mostrado o método propõe uma correção dada por uma relação linear: 
 
calcor RR 875,01225,0 += 
 
A tabela mostra alguns valores desta relação. 
 
Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado quando o diâmetro de corte é muito próximo 
do diâmetro original. Por exemplo, na para Rcal > 0,95 temos que Rcal=Rcor e desta forma Dcor=Dcal. 
 
 
Rcal Rcor 
0,65 0,69 
0,70 0,74 
0,75 0,78 
0,80 0,82 
0,85 0,87 
0,90 0,91 
0,95 0,95 
1,00 1,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.17 Método de Stepanoff para correção do diâmetro de corte. 
Método de correção de Stepanoff
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
Relaçao de diâmetro calculado (Rcal) 
 
R
e
la
ça
o
 
de
 
di
âm
e
tr
o
 
c
o
rr
ig
id
o
 
(R
c
o
r)
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-17 
3.10.4 Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte – Método Gráfico. 
 
1. Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro original igual a D1=208mm. 
Consideremos que temos um ponto 2 com dados de operação de altura manométrica e vazão 
conhecidos para os quais desejamos determinar o diâmetro de corte D2. 
 
?
/200
44
2
3
2
2
=
=
=
D
hmQ
mH
 
 
Figura 3.18 Curva característica da bomba e pontos para determinar o novo diâmetro 
 
2. Escolhemos um ponto A ligeiramente superior a curva da bomba e determinamos os valores de 
altura manométrica e vazão. 
 
hmQ
mH
A
A
/220
2,53
3
=
=
 
 
3. Unindo o ponto A com o ponto 2 com uma linha reta que intercepta a curva da bomba com diâmetro 
D1, determinamos a sua altura e vazão. 
 
mmD
hmQ
mH
208
/5,214
6,50
1
3
1
1
=
=
=
 
 
4. Com os valores do ponto 1 conhecido determina-se o diâmetro do rotor. 
1
2
12 Q
QDD =
 
mmD 8,200
5,214
2002082 == 
mmD 2012 ≅ 
 
Desta forma podemos verificar os resultados utilizando as relações de altura e vazão: 
 
mQ
QHH 40
5,214
2006,50
22
1
2
12 ≅

=


= 
hm
D
DQQ /200
208
8,2005,214 3
22
1
2
12 ≅

=


= 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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3-18 
Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto 1 e assim determinamos a potencia: 
 
kWxxxQgHW 1,36
82,0
)3600/5,214(6,5081,91000
1
11
1 === η
ρ
&
 
 
Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto 2 da bomba neste ponto de 
operação, observando-se que o rendimento é inferior ao do ponto 1. 
 
kW
D
DWW 48,32
208
8,2001,36
33
1
2
12 =

=


= && 
 
 
%74100
100048,32
)3600/200(4481,91000
2
22
2 === x
x
xxx
W
QgHρη 
 
Podemos aplicar a correção de Stepanoff 
 
966,0
208
201
===
original
calculado
cal D
DR 
 
968,0966,0875,01225,0875,01225,0 =+=+= xRR calcor 
 
original
corrigido
cor D
D
R = mmxDRD originalcorcor 3,201208698,0 === 
 
Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena. 
 
Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a curva que representa a faixa de 
operação da bomba com diâmetro D2 
 
 
Figura 3.19 Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor. 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-19 
3.11 Associação de Bombas em Série 
 
• São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de alturas elevadas. 
• Empregadas em condições de alta pressão ou quando se requer grandes mudanças de altura manométrica. 
• As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes 
• Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão, sendo que a altura manométrica é 
determinada pela contribuição das altura manométricas de cada uma das bombas. 
• Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas quando Hman é maior que 50m. 
 
Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas bombas A e B devemos conhecer suas curvas 
características. Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto de igual vazão a altura 
manométrica de cada bomba podendo ser elaborada uma tabela com representado a seguir. 
Para determinar curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-se as alturas 
manométricas de cada bomba H para cada vazão considerada. Por exemplo, para um ponto i 
 
Q Q QSiAi Bi= = 
 
H H HSi Ai Bi= + 
 
Rendimento de duas bombas em série: 
( )
1221
2121
ηη
ηηη
HH
HH
T
+
+
= 
 
 
Figura 3.20 Conexão de Bombas em Série 
 
 
Curva característica: 
 
01 Bomba 20 AQHH A −= 
 
02 bombas A e B iguais associadas em série: ABAS HHHH 2=+= 
 
222 AQHH oS −= 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-20 
 
3.11.1 Curva característica de bombas em serie 
 
Consideremos duas bombas diferentes A e B. 
 
2
210 AAA QaQaaH −−= 
 
2
210 BBB QbQbbH −−= 
 
Para conexão em série: 
 
BAS HHH += QQQQ BAS === 
 
 
Desta forma obtemos: 
 
 
( ) ( ) ( ) 2221100 QbaQbabaH S +−+−+= 
 
 
 
 
Duas bombas iguais 
 
AS
S
s
HH
QaQaaH
QaQaaH
2
)(2
222
2
210
2
210
=
−−=
−−=
 
 
Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por: 
 
Aa
a
Ha
=
=
=
2
1
00
0 
 
2
210 222 QaQaaH s −−= 
 
2
0 22 AQHH s −= 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-21 
3.11.2 Rendimento de duas bombas em série 
 
Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em serie: 
 
Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais de cada bomba: 
 
AAS WWW &&& += 
 
onde: 
 
 
B
BB
B
A
AA
A
S
SS
S
QgHWQgHWQgHW
η
ρ
η
ρ
η
ρ
=== &&& 
 
como: 
 
QQQQ BAS === 
 
B
B
A
A
S
S QgHQgHQgH
η
ρ
η
ρ
η
ρ
+= 
 
B
B
A
A
S
S HHH
ηηη
+= 
 
como: 
 
BAS HHH += 
 
Desta forma: 
 
( )
B
B
A
A
S
BA HHHH
ηηη
+=
+
 
 
( )
BA
ABBA
S
BA HHHH
ηη
ηη
η
+
=
+
 
 
Finalmente de obtém: 
 
 
( )
ABBA
BABA
S HH
HH
ηη
ηηη
+
+
= 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-22 
 
3.12 Associação de Bombas em Paralelo 
 
• Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo flexibilidade em relação à demanda 
podendo conectar ou desligar unidades em funcionamento. 
• Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da associação de bombas em paralelo é sempre 
menor que a soma algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando isoladamente. 
• Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de correntes desde a bomba de maior 
potência para a de menor potência. 
• Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor germinado) trabalham como bombas em 
paralelo. 
 
Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em paralelo pode ser determinada a curva 
característica das bombas trabalhando separadas. Para um ponto “i” vazão e altura pode ser determinada 
como: 
 
Q Q QAi Bi Pi= = 2 
 
H H HAi Bi Pi= = 
 
Rendimento de duas bombas em paralelo: 
 
( )
1221
2121
ηη
ηηη QQ
QQ
T
+
+
= 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.21 Conexão de Bombas em Paralelo 
 
 
Curva característica: 
 
01 Bomba 20 AA AQHH −= 
02 bombas A e B iguais associadas em paralelo: 
2
0 2


−= QAHH P ou 20 4 Q
AHH P −= 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-23 
3.12.1 Curva Característica de Bombas em Paralelo 
 
 
Consideremos duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo. 
 
2
210 AAA QaQaaH −−= 
 
2
210 BBB QbQbbH −−= 
 
Para conexão em paralelo: 
 
BAP QQQ += BAP HHH == 
 
Considerando a bomba A: 
 
2
210 AAP QaQaaH −−= 
 
Duas bombas iguais: 
 
AP QQ 2= e desta forma: 2/pA QQ = 
 
Substituindo na equação da altura: 
 
 
221
0 42 ppP
QaQaaH −−= 
 
Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por: 
 
Aa
a
Ha
=
=
=
2
1
00
0 
 
2
0 4 pP
QAHH −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
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3-24 
 
3.12.2 Rendimento de Duas Bombas em Paralelo 
 
Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo: 
 
Na conexão em paralelo a potência total é dada por: 
 
AAP WWW &&& += 
 
onde: 
 
 
B
BB
B
A
AA
A
p
pP
p
QgHWQgHWQgHW
η
ρ
η
ρ
η
ρ
=== &&& 
 
como as bombas estão conectadas em paralelo: 
 
HHHH BAP === e BAP QQQ += 
 
Desta forma: 
 
B
A
A
A
S
P gHQgHQgHQ
η
ρ
η
ρ
η
ρ
+= 
 
B
A
A
A
P
P QQQ
ηηη
+= 
 
( )
B
B
A
A
P
BA QQQQ
ηηη
+=
+
 
 
( )
BA
ABBA
S
BA QQQQ
ηη
ηη
η
+
=
+
 
 
Finalmente de obtém: 
 
( )
ABBA
BABA
P QQ
QQ
ηη
ηηη
+
+
= 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-25 
3.13 Exemplo – Bombas Conexão em Serie e em Paralelo 
 
A tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da curva característica de uma bomba 
centrifuga. A partir destes dados tabele e grafique o resultado de 02 bombas iguais conectadas em serie e de 
02 bombas iguais conectadas em paralelo. 
 
Q (m3h) 0 40 80 120 160 200 
H (m) 32,5 32 30,5 28 24,5 20 
 
Solução: No caso da conexão em serie somamos as alturas e mantemos a vazão. Por exemplo, para uma 
vazão de 80 m3/h e altura de 30,5m temos Qs=Q=80m3/h e para altura Hs=2H=2*30,5m=61m. No caso da 
conexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a mesma altura. Para o mesmo exemplo 
Qp=2*Q=2x80=160 m3/h sendo que HP=H=30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos da 
tabela. O resultado gráfico mostra-se na figura abaixo. 
 
Q (m3h) H (m) Qs (m3h) Hs (m) Qp (m3h) HP (m) 
0 32,5 0 65 0 32,50 
40 32 40 64 80 32,00 
80 30,5 80 61 160 30,50 
120 28 120 56 240 28,00 
160 24,5 160 49 320 24,50 
200 20 200 40 400 20,00 
 
Duas Bombas Iguais em Serie
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225
Vazão (m3/h)
Al
tu
ra
 
M
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
 
 
Duas Bombas Iguais em Paralelo
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Vazão (m3/h)
A
ltu
ra
 
m
a
n
o
m
et
ric
a
 
(m
)
 
 
Figura 3.22 Resultado da conexão de 02 bombas iguais em serie e em paralelo 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-26 
3.14 Exemplo - Conexão Paralelo 
 
Considere que a figura abaixo representa a curva característica resultante deduas bombas iguais conectadas 
em paralelo. Grafique a curva característica de uma única bomba junto com a conexão das duas em paralelo. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Q (L/s)
H (m) 02
Bombas 
 
Figura 3.23 Duas bombas iguais conectadas em paralelo 
 
Pontos da curva característica de 2 bombas iguais 
 
Q (L/s) 
H (m) 
 
Pontos da curva característica de uma única bomba 
Q (L/s) 
H (m) 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Q (L/s)
H (m)
02 Bombas 
01 Bomba 
 
Figura 3.24 Resultado gráfico do problema 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-27 
3.15 Exemplo - Conexão Série 
 
Na Fig. 3.15 se apresentam as curvas características de duas bombas. a)Graficar a curva resultante da 
conexão em série destas bombas. b) Determinar o rendimento global da conexão em série para uma vazão de 
4,0 m3/s na qual o rendimento da bomba A é de 50% e da bomba B é de 60%. 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Q (m3/s)
H
(m
)
Bomba 1
Bomba 2
 
Figura 3.25 Gráfico de duas bombas 
 
Pontos da curva característica da bomba B-1 
Q (m3/s) 
H (m) 
Pontos da curva característica da bomba B-2 
Q(m3/s) 
H(m) 
Pontos da curva característica - conexão em série 
Q(m3/s) 
H(m) 
 
 
Figura 3.26 Resultado gráfico do problema de bombas em serie. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-28 
3.16 Outros Exemplos 
 
Exemplo 3.1: 
Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes equações de características de altura manometrica e 
rendimento global: Hman= 30 - 300Q2 e ηG= 10Q - 40 Q2 quando tem uma rotação de 1750rpm. Determinar: 
 
(a) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em paralelo 
(b) Eq. Característica da Hman considerando duas bombas idênticas conectadas em série 
(c) Eq. Característica da Hman e ηG da bomba quando a rotação muda para 3500rpm. 
Obs: A questão ( c ) deve ser resolvida com os conceitos das equações de semelhança (Cap.5). 
 
 
 
Solução 
(a) Bombas conectadas em série (Q2S =Q1) 
 
2
1 30030 QH −= 
 
2
2
2
12
60060
)30030(22
QH
QHH
s
S
−=
−==
 
 
(b) Bombas conectadas em paralelo (H2p=H1) (Q2s=2Q1) 
 
2
2
2
2
7530
2
30030
QH
QH
s
s
−=


−=
 
 
(c) Bomba n2=3500 bomba n1=1750rpm 
 
1
1
2
12 2Q
n
nQQ =


= 1
2
1
2
12 4H
n
n
HH =


= 
 
2
11 30030 QH −= onde: Q1=Q2/2. 
 
2
2
2
12 3001202
3003044 QQHH −=






−== 
 
2
2
22 105
2
40
2
10 QQQQG −=

−

=η 
 
Obs. Continuar o problema graficando as curvas características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-29 
3.17 Atividade de Aprendizado - 1 – Proposta 
 
Bomba centrífuga Diâmetro do rotor (mm) Largura da pá (mm) Ângulo da pá (graus) 
Entrada 150 75 200 
Saída 300 50 250 
OBS: Fluido: água a 200C. Rotor com entrada radial. Numero de pás: 7. Rotação: 1450 rpm. 
 
 
 
Q Q Hman acW& Rendimento Ht00 Ht# Hman 
(m3/s) (L/s) (m) (kW) (%) (m) (m) 
 
 
 
 
 40 32,0 34,2 
 80 30,5 39,2 
 120 28,0 45,0 
 160 24,5 52,5 
 200 20,0 64,5 
 
 
1. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero infinito de pás: Ht00 = 
2. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero finito de pás: Ht# = 
3. Eq. que representa a curva da altura manométrica da bomba Hman= 
 
 
 
 
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
Vazao (L/s)
H
m
an
 
(m
)
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-30 
 
3.18 Atividade de Aprendizado – 2 - Resolvida 
 
Num laboratório é testado um modelo de bomba de 100mm de diâmetro e 1440rpm. O resultado é 
apresentado na Tabela. 
 
 
Q H Rendimento 
(m3/h) (m) (%) 
35 18 72 
40 17.4 77 
45 16.6 82 
50 15.7 83 
55 14.6 84 
60 13.4 82 
65 12 77 
70 10.5 70 
75 8.8 60 
80 7 50 
 
 
 
 
 
Atividades 
 
1. Graficar a informação dada na tabela. 
2. Determinar e graficar a curva de potencia da bomba. 
3. Determinar a Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. 
4. Determinar a Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. 
5. Determinar a vazão de projeto, altura manométrica de projeto e rendimento neste ponto. 
6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 
7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. 
8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. 
9. Considerando que será construída uma bomba semelhante de 200mm diâmetro que trabalhara com 
1750rpm, Graficar: QH − Q−η QPot − da bomba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-31 
Solução: 
 
1. Graficar a informação dada na tabela. 
Bomba de 100mm e 1440rpm
Rendimento = -0.0439Q2 + 4.5718Q - 34.842
H = -0.003Q2 + 0.1002Q + 18.179
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
30 40 50 60 70 80 90
Vazao (m3/h)
Al
tu
ra
 
M
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Re
n
di
m
en
to
 
(%
)
 
2. Determinar e graficar a curva que representa a potencia da bomba. 
 
A Tabela-1 mostra os dados resultados da potencia sendo graficados na figura abaixo. 
Curva de Potência Bomba de 100mm e 1440rpm
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
35 45 55 65 75
Vazao (m3/h)
Po
tê
n
c
ia
 
(kW
)
 
3. Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. 
 
H = 18.179 + 0.1002Q - 0.003Q2 
 
4. Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. 
 
 η = - 34.842 + 4.5718Q - 0.0439Q2. 
 
5. Determinar a vazão de projeto e altura manométrica de projeto. 
 
A vazão de projeto é determinada derivando a expressão do rendimento e igualando a zero, desta 
forma encontra-se a vazão para o rendimento máximo. Com esta vazão determina-se a altura manométrica. 
 
 Q=52,07 m3/h η=84,2% H=15.3m 
 
6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 
 
( ) rpmH
Q
nn
man
q 27,224,15
3600/071,52
*1440 4/34/3 === 
 
7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. 
 
O resultado das duas bombas conectadas em serie mostra-se na Tabela-2 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS3-32 
2 Bombas em Serie D=100mm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
30 40 50 60 70 80 90
Vazao (m3/h)
Al
tu
ra
 
M
an
o
m
et
ric
a 
(m
)
 
 
8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. 
 
O resultado das duas bombas conectadas em paralelo mostra-se na Tabela-2 
2 Bombas Paralelo D=100mm
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
30 50 70 90 110 130 150 170
Vazao (m3/h)
A
ltu
ra
 
M
a
n
o
m
e
tr
ic
a
 
(m
)
 
 
8. Graficar: QH − Q−η QPot − Bomba de 200mm e 1750rpm 
 
Bomba de 200mm e 1750rpm
0
20
40
60
80
100
120
300 400 500 600 700 800
Vazao (m3/h)
Al
tu
ra
 
M
n
o
m
et
ric
a
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Re
n
di
m
en
to
 
(%
)
 
Curva de potência Bomba de 200mm e 1750rpm
50
70
90
110
130
150
170
190
300 400 500 600 700 800
Vazao (m3/h)
Po
tê
n
ci
a 
(kW
)
 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-33 
 
 
RESULTADOS DOS DADOS TABELADOS 
Tabela – 1 
Q H Rend Potência 
(m3/h) (m) (%) kW 
35 18 72 2.4 
40 17.4 77 2.5 
45 16.6 82 2.5 
50 15.7 83 2.6 
55 14.6 84 2.6 
60 13.4 82 2.7 
65 12 77 2.8 
70 10.5 70 2.9 
75 8.8 60 3.0 
80 7 50 3.1 
 
 
Tabela – 2 
2 Bombas - Série 2 Bombas - Paralelo 
Qs Hs (m) Qp (m3/h) Hp (m) 
35 36.0 70.0 18.0 
40 34.8 80.0 17.4 
45 33.2 90.0 16.6 
50 31.4 100.0 15.7 
55 29.2 110.0 14.6 
60 26.8 120.0 13.4 
65 24.0 130.0 12.0 
70 21.0 140.0 10.5 
75 17.6 150.0 8.8 
80 14.0 160.0 7.0 
 
Tabela – 2 
Bomba semelhante 
n2=1750 D2=200mm 
Q H Rend Potência 
(m3/h) (m) (%) kW 
340.28 106.34 72 136.9 
388.89 102.79 77 141.5 
437.50 98.07 82 142.6 
486.11 92.75 83 148.0 
534.72 86.25 84 149.6 
583.33 79.16 82 153.5 
631.94 70.89 77 158.5 
680.56 62.03 70 164.3 
729.17 51.99 60 172.2 
777.78 41.35 50 175.3 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 
PUCRS 
 
3-34 
3.19 Problemas Propostos 
 
Problema 3.1: 
Considere os seguintes dados de uma bomba centrífuga com entrada radial. 
 
D1=150mm D2=300mm N=1450rpm 
b1=75mm b2=50mm α1=900 
β1=200 β2=250 ρ=1000 kg/m3 
 
Determinar os polígonos de velocidades da bomba considerando número infinito de pás. 
Determinar o grau de reação da bomba. 
Determinar a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba (Htoo-Q) 
Graficar a curva característica para número infinito de pás. Htoo = k1 - k2Q 
Determinar a altura teórica para número finito de pás ( Ht# ) considerando 7 pás. 
Graficar a curva característica para número finito de pás. Ht# = k*1 - k*2Q 
 
Q m3/s 
Q L/s 0 40 80 120 160 200 
Htoo M 
Ht# M 
 
Problema 3.2 
Considere que a bomba definida no Problema 1 foi fabricada sendo levantada a sua curva característica em laboratório. 
Os resultados da curva real são dados a seguir: 
Q L/s 40 80 120 160 200 
Hman m 32 30,5 28 24,5 20 
acW& kW 34,2 39,2 45 52,5 64,5 
Graficar as curvas de altura-vazão e potência-vazão 
Determinar a curva característica da bomba considerada do tipo H = k1 - k2Q2 
Determinar para a bomba fabricada a altura manométrica máxima (Hmax) e a vazão máxima (Qmax). 
Determinar a rotação específica característica da bomba. (nq) 
 
Problema 3.3 
Graficar a curva da altura manométrica versus a vazão. (Hman-Q) 
Determinar o rendimento correspondente a cada ponto levantado no laboratório. 
Determinar a equação do rendimento considerando que é do tipo η=k1Q + k2Q2 
Determinar a vazão de projeto (Qp) e altura manométrica de projeto (Hp). 
 
Q L/s 
Hman m 
acW& KW 
η % 
 
Problema 3.4 
Graficar a curva característica (Hman-Q) ( P-Q) (η-Q) considerando uma rotação n=1300rpm. 
Q L/s 
Hman m 
acW& kW 
 
Problema 3.5 
A bomba é utilizada para elevar água num sistema com altura estática de elevação igual a 15m. A tubulação tem um 
comprimento de 2750m. Considere que o fator de atrito na tubulação é igual a f=0,02. 
� Determine a curva do sistema. 
� Determine o ponto de funcionamento bomba-sistema considerando interseção das curvas. 
� Determine rendimento no ponto de funcionamento 
 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
Jorge A. Villar Alé 3-35 
� Determine a potência da bomba para as condições do sistema. 
O resultado gráfico do Problema 1 ao 3 é mostrado na Fig. 3.27 
 
 
 
Figura 3.27 – Curva característica– Resultados gráficos dos problemas propostos. 
 
 
Comentário Final: 
 
Com este material o aluno deverá estar capacitado para estudar: qual é a influência da curvatura das pás em 
bombas centrífugas, quais os tipos de pás e como é transferida, teoricamente, a energia do rotor ao fluido 
com os diferentes tipos de pás. Foram apresentadas as curvas teóricas e as curvas reais das bombas 
centrífugas. Nas aplicações de engenharia o aluno deverá lidar com as curvas reais já que são estas as 
fornecidas pelos fabricantes. Com tal informação o aluno poderá selecionar, dos fabricantes existentes no 
mercado, o tipo de bomba mais apropriada para uma determinada aplicação. A informação e definições 
complementares de altura manométrica, rendimento global, potência de acionamento e NPSH das bombas, 
são abordados nos capítulos seguintes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCoooeeefffiiiccciiieeennnttteeesss AAAdddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaaiiisss 
eee LLLeeeiiisss dddeee SSSiiimmmiiilllaaarrriiidddaaadddeee 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-2 PUCRS 
 
 
 
Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
SUMÁRIO 
 
 
4.1 COEFICIENTES ADIMENSIONAIS ...............................................................................................................3 
4.1.1 NÚMERO DE REYNOLDS ......................................................................................................................4 
4.1.2 NÚMERO DE MACH..............................................................................................................................4 
4.1.3 RUGOSIDADE RELATIVA ......................................................................................................................5 
4.1.4 COEFICIENTE DE PRESSÃO OU ALTURA ESPECÍFICA .............................................................................5 
4.1.5 COEFICIENTE DE VAZÃO OU CAPACIDADE ESPECIFICA ..........................................................................5 
4.1.6 COEFICIENTE DE POTÊNCIA.................................................................................................................5 
4.2 EFEITOS DE ESCALA ...............................................................................................................................84.2.1 EFEITO DO NÚMERO DE REYNOLDS ..........................................................................................................8 
4.2.2 EFEITO DO NÚMERO DE MACH.................................................................................................................8 
4.2.3 EFEITO DA RUGOSIDADE RELATIVA..........................................................................................................8 
4.2.4 EFEITO DE ESPESSURA ...........................................................................................................................8 
4.3 LEIS DE SIMILARIDADE ............................................................................................................................9 
4.3.1 LEIS DE SIMILARIDADE PARA DUAS MÁQUINAS SEMELHANTES ...................................................................9 
4.4 UTILIZANDO AS LEIS DE SIMILARIDADE...................................................................................................10 
4.5 MODIFICAÇÃO DO TAMANHO DA BOMBA.................................................................................................12 
4.6 CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA VARIANDO A ROTAÇÃO: .................................................................13 
4.7 RENDIMENTO GLOBAL VARIANDO A ROTAÇÃO .......................................................................................14 
4.8 DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO ESPECIFICA ............................................................................................15 
4.9 ROTAÇÃO ESPECÍFICA CARACTERÍSTICA - NQ.........................................................................................16 
4.10 NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES POR MINUTO.................................................................................17 
4.10.1 RELAÇÃO ENTRE NS - NQ ...............................................................................................................17 
4.11 VELOCIDADE ESPECÍFICA EM BOMBAS DE MÚLTIPLOS ESTÁGIOS............................................................18 
4.11.1 BOMBAS COM ENTRADAS BILATERAIS (ROTOR GEMINADO) .................................................................18 
4.11.2 BOMBAS COM VÁRIOS ESTÁGIOS E ENTRADA BILATERAL......................................................................18 
4.11.3 ROTAÇÃO ESPECÍFICA - UNIDADES AMERICANAS ...............................................................................18 
4.11.4 NÚMERO ESPECÍFICO DE RPM EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA ..................................................................19 
4.11.5 OUTRAS RELAÇÕES ..........................................................................................................................19 
4.11.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES ...........................20 
4.12 EXEMPLOS RESOLVIDOS.......................................................................................................................20 
4.13 ATIVIDADE DE APRENDIZADO ................................................................................................................27 
4.14 ATIVIDADE PROPOSTA NO1 ...................................................................................................................31 
4.15 ATIVIDADE PROPOSTA NO2 ...................................................................................................................32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-3 
4.1 Coeficientes Adimensionais 
 
 A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por testes experimentais, sendo que 
diferentes máquinas apresentam características diferentes. 
 
 Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém fabricadas com diferentes 
tamanhos), as quais constituem uma série de máquinas geometricamente semelhantes ou similares, podendo 
funcionar com diferentes rotações dentro de limites práticos. Trabalhando com as grandezas reais de cada 
máquina seria impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela grande quantidade de 
variáveis envolvidas. 
 
 O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis envolvidas, formando grupos 
adimensionais. Desta forma, os grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam as 
relações entre uma família de máquinas geometricamente semelhante. A Tab. 4.1, apresentada a seguir, 
mostra as variáveis envolvidas em turbomáquinas. 
 
 
Tabela 4.1 Variáveis Envolvidas em Turbomáquinas 
Símbolo Variável Dimensões Unidades 
W& Potência transferida. (entre o impelidor e fluido) ML2T-3 Watts 
Q Vazão através da máquina L3T-1 m3/s 
H Energia a ser vencida ou extraída pela máquina L M 
n Rotação do impelidor T-1 rad/s 
D Diâmetro do impelidor L M 
ρ Massa específica do fluido ML-3 kg/m3 
µ Viscosidade absoluta do fluido ML-1T-1 Ns/m2 
K Módulo de elasticidade volumétrico ML-1T-2 N/m2 
ε Rugosidade absoluta interna da máquina L M 
 
 
Como H é a energia por unidade de peso do fluido, é preferível utilizar como variável o termo (gH), que 
representa a energia por unidade de massa, ou também chamada energia específica (Y=gH), que é mais 
fundamental, já não depende da aceleração da gravidade. 
 
 Consideramos a energia específica como a variável dependente. A relação entre as variáveis 
envolvidas é expressa como: 
 ( )εµρφ ,,,,,, KDnQgH = 
 
Utilizando método indicial, a série de potência se reduz para: 
 
ifedcba KDnCQgH εµρ ,,,,,,= 
 
onde C é uma constante de proporcionalidade. 
 
 
Substituindo as dimensões de cada variável envolvida: 
 
( ) ( )L
T
L
T T
L M
L
M
LT
M
LT
L
a b
c
d e f
i
2
2
3
3 2
1= 

















 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-4 PUCRS 
As equações indiciais: 
 
Para: 
[ ]M d e f d e f:0 = + + ⇒ = − − 
 
[ ]T a b e f b a e f:− = − − − − ⇒ = − − − −2 2 2 2 
 [ ] ifeacifedcaL −−−−=⇒+−−−+= 2232332: 
 
Substituindo nas equações originais: 
 
( ) ( ) ( ) ifefeifeafeaa
c KDnQKgH εµρ ,,,,,, 2232
22
−−−−−−
−−−
= 
 
ifea
DDn
K
nDnD
QDCngH 










= ε
ρρ
µ
2223
22
 
 


 










=
DDn
K
nDnD
Q
Dn
gH ε
ρρ
µφ ;;; 222322 
 
 
Da expressão apresenta diferentes parâmetros característicos que serão definidos a seguir. 
4.1.1 Número de Reynolds 
 
Sabemos que velocidade periférica é dada como U=ωR. Podemos também expressar que U é proporcional a 
nD isto é U ∝ nD desta forma na expressão: 
 
µ
ρnD2
 Podemos substituir: n=U/D com o qual µ
ρUD
 
 
o qual representa: 
1
2Re
=
µ
ρnD
 
 
a viscosidade cinemática é dada como ν=ρ/ µ e desta forma a expressão representa o número de Reynolds 
definido como: 
 
Re = UD
ν
 
4.1.2 Número de Mach 
A velocidade do som pode ser dada como: c k=
ρ
 onde k=ρc2 é o módulo elasticidade volumétrico. A 
velocidade periférica n=U/D. 
 
K
n D
K
U
D
D
c
U Ma2 2 2 2
2
2
1
ρ
ρ
ρ
= 



= = 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-5 
4.1.3 Rugosidade Relativa 
 
O último termo e/D é definido como rugosidaderelativa. 
 
Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos seguintes parâmetros adimensionais. 
 [ ]DMaCC QH /,Re,, εφ= 
 
Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a vazão como variável independente se 
obtém o coeficiente de potência ( WC & ). Ambos são função das variáveis ( )DMaCQ /,Re,, εφ 
4.1.4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica 
 
Para trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes são apresentadas em função da 
velocidade angular ω (rad/s) e não da rotação n (rpm). 
 
22 D
gHCH
ω
= 
 
4.1.5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica 
 
3D
QCQ
ω
= 
 
4.1.6 Coeficiente de Potência 
 
ρω 53D
WCW
&
& = 
 
As relações funcionais entre CH, WC & , WQ são determinadas experimentalmente e constituem um conjunto 
característico que representam a performance de uma família de máquinas geometricamente semelhantes, e 
que são idênticas para todas aquelas máquinas em que Re, Ma, ε/D são as mesmas. 
 
Pode ser demonstrado que o rendimento global é função destas variáveis adimensionais. 
 
W
HQ
C
CC
&
=η 
 
 
Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em função destes coeficientes. Por 
exemplo, vamos supor que temos a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de 
200mm a qual opera com rotação de 1750rpm sendo fornecidos os dados de altura, vazão e rendimento 
conforme tabela abaixo. A partir de estes dados, utilizando a planilha de Excel obtemos a potência e 
podemos graficar as curvas respectivas da altura manométrica rendimento e potencia como mostra a figura. 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-6 PUCRS 
 
Tabela 4.2 Dados de bomba 
 
Q H η 
m3/h m % 
10 18 32 
20 18,5 54 
30 18 70 
40 16,5 79 
50 14 79 
60 10 66 
70 5,4 38 
 
O resultado mostra que a bomba apresenta 
seu rendimento máximo (80%) para uma 
vazão de 46m3/h fornecendo uma altura 
manométrica em torno de 15,3m.Para 
cada um dos pontos podemos determinar 
os respectivos coeficientes de vazão, 
altura e potência, resultado mostrado na 
tabela e gráficos dados abaixo. 
 Figura 4.1 Curvas características da bomba 
Por exemplo, para Q=50m3/h temos: 
 
0095,0
2,03,183
3600/50
33 === xD
QCQ
ω
 
 
102,0
2,03,183
1481,9
2222 ===
x
D
gHCH
ω
 
 
0012,0
2,03,1831000
6,2414
5353 === xD
WCW ρω
&
& 
 
Observa-se que para graficar (Fig.4.2) em escalas apropriadas os coeficientes de vazão e potência foram 
multiplicados por 100 e o coeficiente de altura por 10. 
 
 Tabela 4.3 Resultados dos coeficientes adimensionais da bomba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m3/h a expressão do rendimento global. 
 
Q H η W CQx100 CHx10 CWx100 
m3/h m % Watts 
10 18 32 1532,8 0,19 1,31 0,08 
20 18,5 54 1867,1 0,38 1,35 0,09 
30 18 70 2102,1 0,57 1,31 0,11 
40 16,5 79 2276,6 0,76 1,20 0,12 
50 14 79 2414,6 0,95 1,02 0,12 
60 10 66 2477,3 1,14 0,73 0,13 
70 5,4 38 2710,7 1,33 0,39 0,14 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Vazão (m3/h)
A
ltu
ra
 
(m
) e
 
Po
tê
n
c
ia
 
(kW
)
0
20
40
60
80
100
R
en
di
m
en
to
 
(%
)
Potência
Rendimento
Altura manometrica
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-7 
===
0012,0
102,00095,0 x
C
CC
W
HQ
&
η 0,79 (79% conforme dado origina do fabricante) 
 
O mesmo pode ser realizado para cada ponto fornecido pelo fabricante. Cabe assinalar que o valor 0,79 é 
obtido quando se trabalha com todo o numero de casas que utiliza a planilha Excel. 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,0 0,5 1,0 1,5
CQx100
CH
x
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
R
en
di
m
en
to
 
(%
)
Rendimento
Coeficiente de potência
Coeficiente de altura
 
Figura 4.2 Coeficiente adimensionais da bomba. 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-8 PUCRS 
 
4.2 Efeitos de Escala 
 
 Quando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os critérios de similaridade 
dinâmica são satisfeitos. Quando se analisam os grupos adimensionais que representam o número de 
Reynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que isto não ocorre na realidade. 
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds 
 Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como Re=UD/ν . Toda mudança de rotação ou 
diâmetro altera o valor de Re, e por isto não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, para 
água e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto, e o fluxo é geralmente turbulento. 
 
4.2.2 Efeito do Número de Mach. 
 O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número de Mach aumente. Desta forma 
isto faz não é satisfeita a condição de similaridade e os efeitos de compressibilidade poderão ser importantes 
afetando a performance da máquina. Os efeitos de compressibilidade devem ser estudados cuidadosamente 
no caso de compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de similaridade. 
4.2.3 Efeito da Rugosidade Relativa 
 A rugosidade absoluta (e) é um valor médio das alturas das perturbações superficiais que 
permanecem as mesmas para um certo material e processo de fabricação, utilizado numa máquina (bomba, 
turbina, ventilador, compressor, etc) independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação de 
tamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa modificação da sua rugosidade relativa. 
Bombas maiores apresentam menor rugosidade relativa. Nas máquinas maiores isto tende a fazer perdas de 
atrito, pequenas e menos importantes. 
4.2.4 Efeito de Espessura 
 Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito de interstícios (tamanhos). A 
mesma bitola de chapa, por exemplo, pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores. 
 
Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral, o efeito de escala tende a melhorar a 
performance das máquinas de maior porte. 
 
 
Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de viscosidade e rugosidade superficial. Quando o 
tamanho da turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e protótipos, tais efeitos podem 
se tornar significativos. No caso de bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a variação da 
eficiência em função da semelhança geométrica da bomba. 
 
5/1
2
1
2
1
1
1



=−
−
D
D
η
η
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-9 
4.3 Leis de Similaridade 
 
Todas as máquinas de uma mesma família operam sob condições dinamicamente semelhantes. Desta forma 
os coeficientes adimensionais são os mesmos em pontos correpondentes de suas características.Isto implica 
que as leis de similaridade, que governam as relações entre tais pontos correspondentes, podem ser 
relacionadas como: 
 
Coeficiente de vazão: 
cte
nD
QCQ == 3 ou também Q nD∝ 3 
 
Coeficiente de altura 
 
cte
Dn
gHCH == 22 ou também gH n D∝
2 2
 
 
Coeficiente de potência: 
 
cte
Dn
PCW == ρ53&
ou também 53DnW ρ∝& 
 
Devendo também satisfazer que Re, Ma ε/D sejam os mesmos. Tais máquinas apresentam um rendimento 
constante η=cte. 
4.3.1 Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes 
 
Q
Q
n
n
D
D
2
1
2
1
2
1
3
= 





 
 
H
H
n
n
D
D
2
1
2
1
2
2
1
2
= 





 
 











=
1
2
5
1
2
3
1
2
1
2
ρ
ρ
D
D
n
n
W
W
&
&
 
 
 
12 ηη = (mesmo rendimento) 
 
 
Q1,Q2: vazões das bombas 
n1,n2: rotações das bombas 
H1,H2, alturas de elevação manométrica do líquido bombeado. 
1W& 2W& : potência das bombas. 
 
Casos particulares: 
 
a) Mesmo Rotor b) Mesmo Fluido c) Mesma Rotação. 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-10 PUCRS 
4.4 Utilizando as Leis de Similaridade 
 
 Consideremos uma bomba, com rotação n1 e diâmetro D, que apresenta curvas características de 
altura vazão, H-Q rendimento vazão η-Q e potência vazão P-Q. Desejamos determinar nova curva 
característica quando se modifica a rotação para um valor n2 tal que n2 > n1. Quando a bomba está operando 
num ponto x (Fig.4.3) fornece uma altura manométrica Hx para uma vazão Qx e consome uma potência Px 
com um rendimento ηx. 
 
 
Figura 4.3 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. 
 
Quando trabalha numa rotação n2 maior que n1 se obtém pelas leis de similaridade um novo ponto que 
denominaremos x’, com a nova vazão e altura que fornecerá a bomba: 
 
Q Q n
n
x x' = 


2
1
 
 
2
1
2
' 


=
n
n
HH xx 
 
Na Fig.4.3 mostra-se o ponto x´. Aplicando tal método a outros pontos podemos determinar a curva da 
bomba para a rotação n2. Da mesma forma pode-se determinar a potência consumida na nova rotação e 
graficar a curva de potência da bomba para a nova rotação n2 
 
3
1
2
' 


=
n
nWW xx && 
n2 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-11 
Na Fig.4.4 mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação para vários pontos da curva. Observa-se que 
existem uma relação de curvas parabólicas do tipo H=cQ2 que passam pelos pontos com mudança de 
rotação. 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Vazão 
A
ltu
ra
 
M
a
n
o
m
e
tr
ic
a
 
 
 
Figura 4.4 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. 
 
 
A continuação será demonstrada que quando um ponto se modifica para uma nova altura manométrica e 
vazão o rendimento permanece constante. Isto significa que no caso anterior para qualquer ponto η ηx x= ' 
 
O rendimento global é definido como a razão entre a potência hidráulica e a potência mecânica 
fornecida (potencia de acionamento: 
 
acW
gQH
&
ρη = 
 
Aplicando a expressão de rendimento global para as rotações n1 e n2. 
 
x
xx
x W
HgQ
&
ρη = 
'
''
''
x
xx
x W
HgQ
&
ρη = 
dividindo as duas expressões; 
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
W
W
H
H
Q
Q
P
HgQ
P
HgQ
&
&
'
''
'
''''
== ρ
ρ
η
η
 
 
Utilizando as relações de similaridade: 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-12 PUCRS 
 
1
3
1
2
2
2
1
2
1
''
=










=
n
n
n
n
n
n
x
x
η
η
 Desta forma se obtém que ηx=ηx’ 
 
Apesar de ηx=ηx’ quando se graficam mostram-se como sendo curvas diferentes já que: 
 
ηx é plotada contra Qx ηx’ é plotada contra Qx’ 
 
O procedimento visto pode ser aplicado a outros pontos, obtendo-se a nova curva de rendimento da bomba. 
A Fig.4.5 mostra o resultado gráfico de duas curvas de alturas manométricas com seus respectivos 
rendimentos. Observa-se que para um ponto qualquer na mudança de rotação o rendimento se mantém 
constante. 
 
Figura 4.5 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. 
 
4.5 Modificação do Tamanho da Bomba 
 
A modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas características quando trabalhamos com as 
leis de similaridade para uma bomba com a mesma rotação. (n1=n2) 
 
Q Q D
D2 1
2
1
3
= 

 
H H D
D2 1
2
1
2
= 

 
5
1
2
12 


=
D
DWW && 
 
12 ηη = 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-13 
4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação 
 
Consideremos uma bomba A com rotação nA 
 
2
210 AAA QaQaaH −−= 
 
Pelas relações de semelhança se a bomba muda de rotação a altura e vazão da curva é modificada 
pelas relações: 
 



=


=
A
B
AB
A
B
AB
n
nQQ
n
n
HH 
2



=
A
B
AB
n
nQQ 
 
 
2
2
210
22







−


−


=


= B
B
A
B
B
A
A
B
A
A
B
B Q
n
n
aQ
n
n
aa
n
n
H
n
n
H 
 
 
 
 
 
2
21
2
0
2
22
2
2
1
2
0



 −


−


=











−






−


=
BB
A
B
A
B
B
B
B
A
A
B
B
B
A
A
B
A
B
B
QaQ
n
n
a
n
n
aH
Q
n
n
n
n
aQ
n
n
n
n
a
n
n
aH
 
 
Denominado a relação de rotações por: 
 



=
A
B
n
n
n
r 
 
Obtemos a relação: 
 
 
2
21
2
0 BBnnB QaQraraH −−= 
 
Também podemos escrever a Eq. como: 
 
22
11
2
00
2
210
 b
 :onde
 
ab
rab
ra
QbQbbH
n
n
BBB
=
=
=
−−=
 onde: 


=
A
B
n
n
n
r e considerando que nA
A
B
AB rQ
n
nQQ =


= 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-14 PUCRS 
4.7 Rendimento Global Variando a Rotação 
 
Para determinar o rendimento global de uma bomba que muda de rotação utilizamos as equações de 
semelhança. Estas relações são válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento. 
 
Consideremos uma bomba A com rotação nA a qual apresenta um rendimento global dado pela 
expressão do tipo: 
 
2
21 AAA QaQa −=η 
 
onde a1 e a2 são constantes.Quando a bomba muda de rotação (nB ) a vazão é modificada considerando a equação de 
semelhança: 
 



=
A
B
AB
n
nQQ 
 
Desta forma a curva do rendimento o rendimento: 
 
2
2
21 B
A
B
B
A
B
B Q
n
n
aQ
n
n
a 


−


=η 
 
 
22
21 BnBnB QraQra −=η 
 
 
 
Também podemos escrever a Eq. como: 
 
2
12
11
2
21
:
n
n
BBB
rab
rab
onde
QbQb
=
=
−=η
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-15 
 
4.8 Determinação da Rotação Especifica 
 
Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do rotor igual a D1 e outra com 
diâmetro do rotor igual a D2 
 
3
2
1
2
1
2
1 






=
D
D
n
n
Q
Q
 
 
2
2
1
2
2
1
2
1 






=
D
D
n
n
H
H
 
 
explicitando a relação de diâmetros 
 
2
1
2
2
1
2
1 


=
n
n
H
H
D
D
 
 
Substituindo esta equação na equação da vazão que relaciona as vazões: 
 
2/32
1
2
2
1
2
1
2
1











=
n
n
H
H
n
n
Q
Q
 
 
4/3
1
4/3
2
2
1
2/3
1
2
2
1
1
2
2/3
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2/3
2
1
3
1
2
2/3
2
1
2
1
2
1
H
H
Q
Q
H
H
Q
Q
n
n
H
H
Q
Q
n
n
n
n
H
H
n
n
H
H
n
n
Q
Q
=


=



=










=










=
 
 
4/3
2
22
4/3
1
11
H
Qn
H
Qn
= 
 
Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com uma altura unitária H=1m e vazão unitária 
Q=1m3/s, tal bomba terá uma rotação denominada rotação específica característica. 
 
 
4/3
man
q H
Qn
n = 
 
Cada família de bombas apresenta uma faixa de nq . Observa-se que ns tem como unidades rpm já que tanto 
a vazão como a altura manométrica foram adimensionalisadas. 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-16 PUCRS 
 
4.9 Rotação Específica Característica - nq 
 
Rotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba geometricamente semelhante à bomba 
considerada, capaz de elevar 1m de altura a uma vazão de 1m3/s com o máximo rendimento. 
 
 
4/3
man
q H
Qn
n = (rpm) 
n: número de rpm da bomba. 
Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) 
Hman : Altura útil ou manométrica (m) 
Obs: Os valores de (Q,Hman) considerados correspondem ao ponto de máximo rendimento. 
 
• Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular de rotação específica. 
• O conceito é muito útil para engenheiros e projetistas, já que é possível selecionar o tipo de bomba mais 
eficiente para uma determinada aplicação. 
• As bombas centrífugas, por exemplo, trabalham com vazões baixas e grandes elevações, por isto 
apresentam baixas rotações específicas. 
• A Tab. 4.2 mostra velocidades específicas para diversos tipos de rotores. 
 
Tabela 4.2 Faixa de valores da rotação especifica (nq) para diferentes tipos de bombas hidráulicas. 
Bombas Centrífugas Hélico Centrifugas Helicoidal Axial 
Lenta (radial) Normal Rápida Tipo Francis Fluxo Misto 
< 25 25 - 35 35 - 70 70 - 120 120 - 160 > 140 
 
A Fig. 4.6 mostra o resultado equivalente ao dado na Tab. 4.2 incluindo a representação gráfica do tipo de 
rotor e a aplicação em quanto a altura manométrica. 
 
 
Figura 4.6 Faixa de rendimentos para bombas centrífugas em função da rotação específica (nq) 
 
Utilizando por exemplo a Fig 4.1 a bomba opera a 1750rpm e apresenta no seu rendimento máximo uma 
vazão de 46m3/h fornecendo uma altura manométrica em torno de 15,3m. Desta forma: 
 
rpmn
man
q 57,253,15
3600/461750 4/3 == o que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal. 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-17 
 
4.10 Número Específico de Rotações por Minuto 
 
Representa o número de rpm de uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada que eleva 
75litros de água a uma altura de 1 metro em 1 segundo, e demanda uma potência de 1CV. 
Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de Q=0,0075m3/s. 
 
4/365,3
man
s H
Qn
n = (rpm) 
n: número de rotações da bomba (rpm) 
Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) 
H: altura útil ou manométrica (m) 
 
• Com ns podemos determinar o tipo de bomba mais apropriado a ser utilizado. 
• A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de Q e H mais também da sua rotação (n). 
• Maiores valores de ns representa menores dimensões das bombas. 
• A equação de ns mostra que quanto maior Q e menor H maior será a velocidade específica ns. 
 
 
A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de ns. 
 
 
Figura 4.7 Faixa do número específico de rpm - ns 
 
• A bomba ideal geometricamente semelhante à bomba considerada a qual tem uma rotação de ns 
denomina-se bomba unidade da bomba dada. 
• Todas as bombas geometricamente semelhantes entre si terão uma única bomba unidade o que implica 
que todas elas terão uma única velocidade específica. 
4.10.1 Relação entre ns - nq 
O número específico de rpm se relaciona com a rotação específica característica pela seguinte expressão: 
 
 
n ns q= 3 65, 
 
 
Utilizando os dados do exemplo anterior ns=3,65x25,57=93,7, confirmando que trata-se de um rotor de 
bomba norma de bomba centrifuga já que esta na faixa entre 90rpm e 130 rpm. 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-18 PUCRS 
4.11 Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios 
 
Para determinar a rotação específica em bombas de múltiplos estágios divide-se a altura útil pelo número de 
estágios (i) da bomba: 
 
/365,3


=
i
H
Qn
n
man
s
 
n: número de rotações da bomba (rpm) 
Q: vazão ou descarga da bomba (m3/s) 
H: altura útil ou manométrica (m) 
i : número de estágios da bomba. 
 
Número de Estágios: 
• Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até 50m pode-se trabalhar com 01 estágio 
(i=1). 
• Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um proporcionando uma altura entre 20 a 
30m 
 
m
mH
i man )30...20(
)(
= 
4.11.1 Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) 
• Trata-se de 2 rotores de costas um ao outro, fundidos numa única peça. Neste caso a vazão se divide 
metade em cada lado do rotor para se obter a rotação específica: 
 
 
4/3
265,3
man
s H
Q
n
n = 
 
 
Figura 4.8 Detalhe de rotor com entrada bilateral 
4.11.2 Bombas com vários estágios e entrada bilateral 
4/3
265,3


=
i
H
Q
n
n
man
s 
 
Figura 4.9 Detalhe de bomba com estágios 
4.11.3 Rotação Específica - Unidades Americanas 
 
No sistema americano a rotação específica é dada por: 
4/3)(
man
s H
Qn
americanon = 
n: rotação da bomba (rpm) 
Q: vazãoda bomba (galões/min) 
H: altura manométrica da bomba (pé) 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-19 
Expressões utilizadas para conversão do sistema americano ao métrico: 
 
n
n americano
s
s
=
( )
,14 15
 
ou utilizando a rotação específica 
 
n
n americano
x
n americano
q
s s
= =
( )
, ,
( )
,14 15 3 65 51 7
 
4.11.4 Número Específico de RPM em Função da Potência 
 
Para água com γ=1000 kgf/m3, considerando a potência útil. 
 
75
1000 man
u
QHW =& 
 
podemos fazer 
 
man
u
H
WQ &
=
75
1000
 
como: 
 
manman
u
manmanmanman
s HH
W
H
n
H
Q
H
n
H
Qn
n
&
65,3
75
100065,365,3 4/3 === 
 
4/365,3
man
u
s H
W
n
&
= 
 
• A utilização de ns em função da potência supõe considerar um valor de rendimento. No caso ns em 
função de vazão isto não é necessário e por isto é a expressão mais utilizada. 
 
4.11.5 Outras Relações 
Da relação de maquinas semelhantes 
2
2
1
2
2
1
2
1 






=
D
D
n
n
H
H
 definimos a rotação unitária das bombas 
semelhantes (nu) fazendo n1=nu H1=1m e D1=1m. Desta forma se obtém: 
 
man
u H
nD
n = 
 
Para bombas radiais pode ser utilizada a relação entre a rotação especifica (nq) e rotação de bomba unitária 
(nu) de bombas semelhantes. 
 
755,0 += qu nn (rpm) 
 
Com a equação acima pode ser estimado o diâmetro ótimo de um rotor radial. 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-20 PUCRS 
4.11.6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 
 
Alguns textos definem coeficiente de pressão (ψ) 
 
2
2
U
gH man
=ψ 
 
e o coeficiente de vazão como 
 
 
UD
Q
2
4
pi
ϕ = 
 
Onde D e U representam respectivamente o 
diâmetro e velocidade tangencial do rotor. 
 
A Figura 4.8 mostra como é relacionada a rotação 
especifica (nq) com o coeficiente de pressão. 
 
 
 
Figura 4.10 Coeficiente de pressão 
 
 
 
4.12 Exemplos Resolvidos 
 
Exemplo-4.1 
Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima eficiência com uma vazão de 115 m3/h e 
uma altura manométrica de 50m. A bomba trabalha com 1750rpm. (a) Determinar o tipo de bomba (b) 
Determinar o coeficiente de pressão e de vazão. 
Solução 
Dados: D=343mm Q=115 m3/h Hman=50m n=1750 rpm. 
 
6,16
50
3600
1151750
4/34/3 ≅==
x
H
Qn
n
man
q Da Tab. 4.2 se obtém que trata-se de uma bomba centrífuga radial. 
 
Para avaliar o coeficiente de pressão e de vazão devemos calcular inicialmente a velocidade periférica do 
rotor: 
 
sm
x
xxnDU /43,31
601000
1750343
60
2
2 ===
pipi
 
 
( ) 99,043,31
5081,922
22 ≅==
xx
U
gH manψ Obs. Pela Fig. 4.8 se obtém um valor muito próximo. 
( ) 011,043,32)343,0 3600
11544
22 === xx
x
UD
Q
pipi
ϕ 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-21 
 
Exemplo-4.2 
 
Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de 750rpm apresentando dados 
fornecidos na tabela abaixo. 
Grafique a curva H-Q e η-Q da bomba original e de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro 
de 0,35m e opera com uma rotação de 1450rpm 
 
Q (m3/min) 0 7 14 21 28 35 42 49 56 
H (m) 40 40.6 40.4 39,3 38 33.6 25.6 14.5 0 
η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0 
 
Solução: 
Dados: n1=750 D1=0,5m n2=1450 D2=0,35m 
 
Q
Q
n
n
D
D
2
1
2
1
2
1
3
= 





 
 
H
H
n
n
D
D
2
1
2
1
2
2
1
2
= 





 
 
Utilizando as equações de similaridade se obtém a seguinte tabela: 
Q (m3/min) 0 4.64 9.28 13.92 18.56 23.21 27.85 32.50 37.0 
H (m) 73.2 74.30 73.90 72.0 69,6 61.50 46.85 26.54 0 
η (%) 0 41 60 74 83 83 74 51 0 
 
Os resultados podem então ser plotados e comparados com os iniciais como se mostra na figura abaixo. 
Bomba 1 n=750rpm e D=0,50m
 Bomba 2 n=1450rpm e D=0,35m
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40 50 60
Vazão Q(m^3/min)
A
ltu
ra
 
M
a
n
o
m
e
tr
ic
a
 
(m
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R
e
n
di
m
en
to
 
 
(%
)
Bomba 1 (H-Q)
Bomba 2 (H-Q)
Bomba 1 - Rendimento
Bomba 2 Rendimento
 
Figura 4.11 Resultado utilizando equações de similaridade 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-22 PUCRS 
 
 
Exemplo – 4.3 
Uma bomba com 1450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do catálogo da bomba: 
Q (L/s) 40 80 120 160 200 
Hman (m) 32 30,5 28 24,5 20 
P (kW) 34,2 39,2 45 52,5 64,5 
(a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão 
(b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm. 
 
Solução: 
(a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão 
 
O rendimento é determinado para cada vazão e altura pela expressão de potência: 
 
G
man
ac
QgHW
η
ρ
=& 
ac
man
G W
QgH
&
ρη = 
 
Q (L/s) 40 80 120 160 200 
Rend (%) 36,72 61,06 73,25 73,25 60,84 
 
(b) Determinar e graficar a curva de H-Q quando a rotação diminui para 1400rpm. 
 
Utilizando os dados da bomba com 1450rpm e as relações de semelhança: 
 
2
1
2
1
2 


=
n
n
H
H
 


=
1
2
1
2
n
n
Q
Q
 
 
com as quais obtemos a seguinte tabela 
Q L/s 37,29 74,58 111,87 149,16 186,44 
Hman m 28,80 27,45 25,20 22,05 18,00 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Q (L/s)
H
 
(m
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
R
en
di
m
e
n
to
 
(%
)
 
Figura 4.12 Resultados da curva de bomba modificando a rotação. 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-23 
Exemplo – 4.4 
Na figura representa-se a curva H-Q de uma bomba operando numa instalação com uma rotação de n (rpm). 
Um manômetro e um vacuômetro são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente 
1,8kgf/cm2 e 0,4kgf/cm2. Em tais condições a bomba tem uma rotação específica (nq) igual a 53,99rpm. 
i)Determinar a vazão, altura manométrica e rotação da bomba. ii)Se mantemos a mesma vazão na instalação 
qual a nova altura manométrica que poderá fornecer a bomba quando se modifica a rotação para n’ (rpm). 
Determine esta nova rotação nas condições de operação. (Fluido: água) 
 
Solução 
i) Altura manométrica do sistema: Hman= HV + HM 
 
Onde HM é a altura representativa da pressão registrada 
pelo manômetro (PM=1,8kfg/cm2) equivalente em coluna 
de água a HM=18,0mca; A altura representativa da 
pressão registrada pelovacuômetro (Pv=0,4kfg/cm2) 
equivalente em coluna de água a Hv=4mca. Por tanto, a 
altura total de elevação é dada por: 
 
Hman= HM + HV = 18,0m + 4,0m = 22,0m 
 
Com Hman=22m na curva da bomba com rotação n se 
encontra uma vazão igual a Q=24litros/s ou 0,024m3/s. 
 
 
Figura 4.13 Curvas de Bomba centrifuga 
A rotação da bomba pode ser conhecida com a rotação específica: 4/3
man
q H
Qn
n = 
 
Resolvendo para a rotação real se encontra: 
 
rpmx
Q
Hn
n
manq 3540
024,0
2299,53 4/34/3
=== 
 
ii) Com Q=24,0 lit/s se encontra na curva de rotação n’ uma altura total de elevação de Hman=12,0m. 
 
Utilizando as relações de semelhança para a bomba quando se modifica a rotação se tem: 
 
H
H
n
n
n n
H
H
x rpm
1
2
2
1
2
2 1
1
2
1 2 1 2
3540 12
22
2614
= 


= 

 =



 =
/ /
 
 
 
 
 
 
n 
Q(l/s) 
Hman (m) 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-24 PUCRS 
Exemplo – 4.5 
Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de 68,4m3/hora. O rotor de 320mm gira a 1500 
rpm e apresenta escoamento radial na entrada do rotor e pás radiais na saída. 
(a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás. 
(b) Determine as condições de operação de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 
380mm e rotação de 1750rpm. 
 
Solução: 
 
n=1500rpm Q=68,4m3/s D2=320mm 
 
sm
x
xxnDU /13,25
601000
1500320
60
2
2 ===
pipi
 
 
( ) mU
g
H t 4,6413,2581,9
11 22
2 ===∞ 
 
Determinar: 
 
kWxxxgQHW tt 124,64019,081,91000 === ∞∞ ρ& 
 
Q1=68,4m3/h n1=1500rpm n2=1750rpm D1=320mm D2=380mm 
 
horam
D
D
n
nQQ /6,133
320
380
1500
17504,68 3
33
1
2
1
2
12 =



=






= 
 
m
D
D
n
n
HH 6,123
320
380
1500
17504,64
222
1
2
2
1
2
12 =



=






= 
 
kW
D
D
n
nWW 45
320
380
1500
175012
53
1
2
5
1
2
3
1
2
12 =



=










=
ρ
ρ
&&
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-25 
 
Exemplo – 4.6 
Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão 1,7m3/s e altura manométrica 36,5m e potência 
720kW. Um modelo geometricamente semelhante com escala 1:6 desta bomba será testado. Se o modelo é 
testado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga que deverá funcionar assim como a 
a potência requerida para o mesmo. 
Solução: Consideramos com sub índice 1 o protótipo (bomba) e sub índice 2 o modelo. 
 
Protótipo: Q1=1,7m3/s H1=35,5m P1=720kW D2=1/6D1 n1=400rpm H2=9,0m n2=? W2=? 
 
3
1
2
1
2
12 


=
D
D
n
nQQ 
2
1
2
2
1
2
12 






=
D
D
n
nHH 
( ) rpm
D
D
H
H
nn 11926
5,36
9400 2
2
2
1
1
2
12 ==


= 
 
smQ /0235,0
6
1
400
11927,1 3
3
2 =

= 
kW
D
D
n
nWW 45,2
6
1
400
1192720
535
1
2
3
1
2
12 =



=






= && 
 
Exemplo – 4.7 
Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro interno com 460m de 
comprimento. Considere o coeficiente de atrito igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m 
considerando nulas todas as perdas localizadas e hvel=0. Determinar e a equação característica do sistema. 
Qual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a 80m3/h. Qual a nova vazão e altura 
que poderia operar uma bomba quando muda a rotação de 1750rpm para 2000rpm. 
 
Solução: Dados: D=150mm L=460m f=0,025 he=12m 
g
Q
D
Lf
g
D
Q
D
Lf
g
v
D
LfhL 2
16
2
4
2
2
52
2
22
pi
pi =



== 
22
5
2
5 1251315,0
460025,00826,00826,0 QQxQ
D
LfhL === 
 
A equação da curva característica da bomba é dada por: 
 
21251312 QhhH Leman +=+=
 com Q (m3/s) 
 
com Q=80m3/h (0,022m3/s) se obtém H=18,2m. 
 
h
m
n
nQQ
3
1
2
12 43,911750
200080 === m
n
n
HH 75,23
1750
20002,18
22
1
2
12 =

=


= 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-26 PUCRS 
 
Exemplo – 4.8 
Uma bomba com diâmetro de 75 mm opera com uma rotação de 3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 
60 m3/h e desenvolve uma altura manométrica de 20m requerendo uma potência de acionamento de 10 kW. 
Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de uma bomba semelhante com 
100mm de diâmetro e deve operar com uma altura manométrica de 30m 
 
Solução: 
 D1 = 75mm n1=3450 rpm. Q1 = 60 m3/h H1=20m P1=10kW. 
 D2 = 100mm n2=? rpm. Q2 = ? m3/h H2= 30m P2= ? kW. 
 
Utilizando as equações de semelhança: 
 
3
1
2
1
2
12 


=
D
D
n
nQQ 
2
1
2
2
1
2
12 






=
D
D
n
nHH 
5
1
2
3
1
2
12 






=
D
D
n
n
PP 
 
Denominado a relação de diâmetros: 33,1
75
100
1
2 ≅=


=
D
Dλ 
rpm
H
H
nn 3170
1
2
12 == λ 
 
h
m
n
nQQ
3
3
1
2
12 6,130== λ 
 
kW
n
nWW 7,325
3
1
2
12 =


= λ&& 
 
Exemplo – 4.9 
Especificar o tipo de bomba e determinar o diâmetro externo do rotor, a qual deve trabalhar com uma vazão 
de 75 m3/h desenvolvendo uma altura manométrica de 22m operando com rotação de 1500 rpm. 
 
Solução: 
Dados: Q = 75 m3/h H=22m n1=1500 rpm. 
Utilizando a expressão de número de rotações especifico: rpm
H
Qn
n
man
q 3,2122
3600
751500
75,04/3 === 
Como nq esta entre 10 e 70 deve ser utilizada uma bomba centrifuga radial. 
 
A rotação de uma máquina unitária: 755,0 += qu nn com o que se obtém nu=87,5rpm. 
 
man
u H
nD
n = e assim obtemos o diâmetro: mm
n
Hn
D manu 270268,0
1500
225,87
≅=== 
 
 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-27 
4.13 Atividade de Aprendizado 
 
 
O gráfico representa as curvas características de uma bomba centrifuga do fabricante Goulds Pumps 
utilizada para serviços gerais com água. 
 
 
 
 
 
 
(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um 
polinômio de 2º grau e graficar a mesma junto os pontos da curva original. 
 
(b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. 
Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. 
 
(c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n)Sistemas Fluidomecânicos 
4-28 PUCRS 
 
(a) Determine a Eq. da curva característica Hman-Q para o rotor B (5 ¾” ) representada por um 
polinômio de 2º grau. 
 
Solução: 
 
Primeiro podemos fazer uma tabela com os dados da vazão em galões por minuto (gpm) e a altura em pés e 
transformamos respectivamente para m3/h e m. 
 
Q (gpm) Hman (pés) Q (m3/h) Hman (m) 
0 123 0,0 37,5 
10 121 2,3 36,9 
20 115 4,5 35,1 
30 105 6,8 32,0 
40 90 9,1 27,4 
50 72 11,4 21,9 
60 49 13,6 14,9 
 
Sabemos que a curva característica da bomba pode ser aproximada por uma equação do tipo 
 
2
210 QaQaaH man ++= 
 
Com auxilio da planilha Excel plotamos os pontos da tabela anterior e realizamos um ajuste polinomial de 2º 
grau cujo resultado mostra-se na figura abaixo. 
 
H man = 37,483 + 0,024Q - 0,1231Q 2 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
Q (m3/h)
H
 
(m
e
tr
o
s
)
 
 
Assim obtemos os coeficientes da Eq. são ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Desta forma a Eq. da curva 
característica da bomba para o rotor de B (5 ¾” ) é dada por: 
 
21231,0024,0483,37 QQH man −+= 
 
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-29 
(b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em 
paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. 
 
 
As Equações para as duas bombas iguais operando em serie e em paralelo são dadas por; 
 
Eq. Curva bombas em serie: 
 ( )22102 SSS QaQaaH ++= 
Eq. Curva bombas em paralelo: 
 
221
0 42 PPP
QaQaaH ++= 
 
Utilizando as constantes anteriormente determinadas se obtém: 
 
 
)1231,0024,0483,37(*2 2QQH s −+= 
 
 
22462,0048,0966,74 QQH s −+= 
 
2
4
1231,0
2
024,0483,37 QQH p −+= 
 
2030775,0012,0483,37 QQH p −+= 
 
 
Desta forma podemos obter com os dados originais de altura e vazão as respectivas associações de bombas 
iguais em serie e em paralelo conforme tabela abaixo junto com o resultado gráfico das respectivas curvas 
características. 
 
Q (m3/h) Hman (m) Qs (m3/h) Hs (m) Qp (m3/h) Hp (m) 
0,0 37,5 0,0 75,0 0,0 37,5 
2,3 36,9 2,3 73,8 4,5 36,9 
4,5 35,1 4,5 70,1 9,1 35,1 
6,8 31,9 6,8 63,9 13,6 31,9 
9,1 27,5 9,1 55,1 18,2 27,5 
11,4 21,9 11,4 43,8 22,7 21,9 
13,6 14,9 13,6 29,9 27,3 14,9 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0
Q (m3/h)
H 
(m
e
tr
o
s
)
 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-30 PUCRS 
(c) Determine a Eq. da curva de Hman como função de vazão e rotação: Hman= f(Q,n) 
 
Podemos determinar a expressão da Eq. que representa a curva da bomba que originalmente opera numa 
rotação nA e muda para uma rotação nB. A curva da bomba com rotação nB pode ser determinada pela 
expressão: 
 
2
210 BBB QbQbbH ++= onde 
22
11
2
00
ab
rab
rab
n
n
=
=
=
 com 
A
B
n
n
n
r = considerando que nAB rQQ = 
 
Da questão (a) temos que os coeficientes: ao=37,483 a1=0,024 e a2=-0,1231. Considerando que 
nA=3500rpm, podemos por exemplo reduzir a rotação para nB=3200rpm, obtendo-se rn=0,91. Desta 
forma encontramos que b0=31,33 b1=0,03 b2=-0,1231. Assim temos as duas curvas características que 
podem ser plotadas como mostra a figura abaixo. 
 
 
Para a rotação nA 21231,0024,0483,37 AAA QQH −+= 
 
Para a rotação nB 21231,003,03,31 BBB QQH −+= 
 
QA (m3/h) HA (m) QB m3/h) HB(m) 
0,0 37,5 0,0 31,3 
2,3 36,9 2,1 30,9 
4,5 35,1 4,2 29,3 
6,8 31,9 6,2 26,8 
9,1 27,5 8,3 23,1 
11,4 21,9 10,4 18,4 
13,6 14,9 12,5 12,6 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
Q (m3/h)
H
 
(m
)
 
 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
4-31 
4.14 Atividade Proposta No1 
 
 
 
A tabela abaixo as especificações de uma bomba de um determinado fabricante: 
Q (m3/h) 0 144 288 432 576 720 
Hman (m) 33 32 30,5 28 24,5 20 
Wac (kW) 32 34,2 39,2 45 52,5 64,5 
Rend (%) 
Curva Característica Hman = 
Hman (m) 
 
Determine: (a) O rendimento global (%) da bomba para cada ponto (b) Determine a Eq. que representa a 
curva característica da bomba nas unidades dadas na tabela acima. (c) Graficar a altura manométrica (m), a 
potencia (kW), o rendimento global (%) assim como a altura manométrica obtida pela curva característica 
determinada no item (b). (d) Considerando a Eq. obtida em (b) apresente as Eqs. resultantes da associação 
de bombas em serie em paralelo para duas bombas iguais. 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
Q (m3/h)
H
m
a
n
 
(m
)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Po
tê
n
c
ia
 
(kW
) R
e
n
d 
(%
)
 
Obs. Nas equações principais apresente a dedução de unidades no sistema internacional. Isto será levado em 
conta na avaliação das questões. 
Sistemas Fluidomecânicos 
4-32 PUCRS 
4.15 Atividade Proposta No2 
 
Um sistema requer operar com uma vazão de 22,5 m3/h e altura manométrica de 24,2m 
 
ATIVIDADES Resultados 
Selecione a bomba apropriada especificando o diâmetro (mm) do rotor 
Determine a velocidade tangencial do rotor. 
Determine a potencia de acionamento da bomba no ponto de operação. 
Determine a potencia fornecida pelo fabricante (compare com a potencia anterior) 
Elabore uma tabela Q-H com pelo menos 5 pontos da curva correspondente a bomba) Tabela 1 
Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em serie Tabela 2 
Elabore uma tabela Q-H associando duas bombas em paralelo Tabela 3 
 
Q (m3/h) Tabela 1 
01 bomba H (m) 
Q (m3/h) Tabela 2 
02 bombas em Serie H (m) 
Q (m3/h) Tabela 3 
02 bombas em 
Paralelo 
H (m) 
 
Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba. (Grafique) H = 
Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em serie. (Grafique) Hs = 
Determine a Eq. que representa 02 bombas associadas em paralelo. (Grafique) H p= 
 
 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCCuuurrrvvvaaasss OOOpppeeerrraaaccciiiooonnnaaaiiisss 
DDDeee SSSiiisssttteeemmmaaasss dddeee BBBooommmbbbeeeaaammmeeennntttooo 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-2 
 
 
 
 
Curvas Operacionais de Sistemas de BombeamentoSUMÁRIO 
 
 
 
 
 
5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento...............................................3 
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula .........................................................................4 
5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula..............................................................4 
5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva ......................................................................5 
5.1.4 . Sistema com Altura Estática Negativa ..................................................................5 
5.1.5. Sistema com Baixa Perda de Carga ......................................................................6 
5.2 Controle de Desempenho das Bombas. ......................................................................7 
5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula .....................8 
5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) ........8 
5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação..........................................................9 
5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor ...................................12 
5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás...............................................14 
5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão ...........................................15 
5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo...........................................17 
5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas .........................19 
5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas ..........................................19 
5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas ..........................................................................20 
5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas................................................21 
5.5 Exemplo do Procedimento.........................................................................................22 
5.6 Equações Complementares.......................................................................................27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-3 
 
5.1 Curvas Características de Sistemas de Bombeamento 
 
A curva característica do sistema é formada pela contribuição da altura estática de elevação he mais 
a contribuição da perda de carga da tubulação e dos acessórios. A perda de carga dos acessórios inclui 
válvulas, registros perdas por entrada ou saída do fluido nos reservatórios assim como a perda de carga por 
elementos na tubulação que permitem mudança de diâmetro da tubulação tais como bocais convergentes e 
bocais divergentes. A altura estática de elevação é determinada pela contribuição da altura estática de 
aspiração mais a altura estática de recalque. Considerando como referencia o centro da bomba a altura 
estática de elevação pode ser a soma o diferença das alturas de aspiração (ha) e altura estática de recalque 
(hr) A perda de carga da tubulação é proporcional ao quadrado da velocidade (v2) e, portanto proporcional 
ao quadrado da vazão (Q2). Desta forma a curva característica do sistema é dada por uma Eq. do tipo: 
2kQhH eman += 
Quando temos um sistema de bombeamento em 
que o nível da superfície da água do 
reservatório de aspiração esta abaixo do centro 
da bomba a altura estática de elevação, é dada 
por: 
rae hhh += 
 
Fig.5.1 Sistema convencional 
Quando no sistema de bombeamento o nível da 
superfície da água do reservatório de aspiração 
esta acima do centro da bomba, a altura estática 
de elevação é dada por: 
rae hhh −= 
 
Fig.5.2 Sistema bomba afogada 
Quando no sistema de bombeamento o nível da 
superfície da água do reservatório de aspiração 
esta acima do centro e o nível da água do 
reservatório de recalque abaixo do centro da 
bomba, a altura estática de elevação torna-se 
negativa e é dada por: 
)( rae hhh +−=
 
 
 
Fig.5.3 Sistema bomba gravidade 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-4 
5.1.1 Sistema com Altura Estática Nula 
 
Quando a altura de aspiração e de recalque são iguais, a altura estática de elevação é nula. Neste 
caso (Fig.5.4) a curva do sistema é determinada unicamente em função da perda de carga da tubulação. O 
ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. Nestes sistemas a vazão pode 
ser reduzida pelo fechamento de uma válvula de registro. 
2kQH man = 
 
Fig.5.4 Sistema bomba gravidade 
5.1.2 Sistema com Altura Perda de Carga Nula 
Quando a altura de aspiração a perda de carga do sistema é muito pequena ou desprezível a curva do 
sistema é uma reta paralela ao eixo da vazão sendo determinada unicamente em função altura estática de 
elevação (Fig.5.5). O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. 
eman hH = 
 
Fig.5.5 Sistema com perda de carga nula 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-5 
5.1.3 Sistema com Altura Estática Positiva 
Neste sistema (Fig.5.6) a altura manométrica é determinada pela soma da contribuição da altura 
estática de elevação mais a perda de carga da tubulação e acessórios. Da mesma forma que no sistema 
anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. Também pode ser mudada a vazão com 
regulação de uma válvula de registro. 
2kQhH eman += 
 
Fig.5.6 Sistema com altura estática positiva 
5.1.4 Sistema com Altura Estática Negativa 
Neste sistema (Fig.5.7) o resultado da soma altura estática da aspiração e de recalque tornam a 
altura estática de elevação negativa. Parte da energia do sistema é transferida por gravidade e parte 
adicionada pela bomba. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o 
ponto de operação. A vazão pode ser mudada com regulação de uma válvula de registro. 
2kQhH eman +−= 
 
Fig.5.7 Sistema com altura estática negativa 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-6 
 
5.1.5 Sistema com Baixa Perda de Carga 
 
Em sistemas de este tipo (Fig.5.8) a perda de carga da instalação é muito pequena, o que pode ser 
devido a velocidades baixas na tubulação, poucos acessórios na instalação ou diâmetros grandes assim como 
tubulações muito lisas. Desta forma na altura manométrica do sistema predomina a altura estática de 
elevação. Sendo assim a curva do sistema torna-se bastante plana o que significa que com o aumento da 
vazão a altura manométrica aumenta pouco mais do que a altura de elevação. 
eeman hkQhH ≅+= 2 
 
 
Fig.5.8 Sistema com baixa perda de carga 
 
 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-7 
 
5.2 Controle de Desempenho das Bombas. 
 
 
O ponto de operação (Fgi.5.9) da vazão e altura manométrica é dado pela interseção da curva da 
bomba com a curva do sistema. Para mudar este ponto de operação poder ser modificada a curva da bomba 
ou a curva do sistema. 
 
 
Fig.5.9 Ponto de operação bomba-sistema 
 
 
A curva do sistema pode ser modificada: 
 
Modificando a resistência do escoamento, por exemplo, utilizando o fechamento de um registro, instalando 
um sistema de recirculação da vazão (bypass), modificando ou trocando o diâmetro da tubulação ou também 
pode ocorrer naturalmente devido ao próprio envelhecimento da tubulação. 
 
A curva da bomba pode ser modificada: 
 
Mudando o diâmetro do rotor, realizando um corte para diminuir o diâmetro do rotor, ativandoou 
desativando bomba, operando um conjunto de bombas em serie ou em paralelo. Também pode ser mudada a 
curva da bomba através modificando a rotação procedimento o qual a vazão, altura manométrica e potência 
modificam-se regidas pelas leis de semelhança das bombas. Em bombas axiais pode ser mudada a curva da 
bomba mudando o ângulo de passo das pás do rotor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-8 
5.2.1 Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula 
 
O controle da vazão pode ser realizado por regulação de uma válvula de registro a fim de ajustar a 
vazão para uma nova condição de operação (Fig.5.10). Se tivermos uma bomba em funcionamento com um 
determinado ponto de operação e desejamos diminuir a vazão, então é realizado o procedimento de 
fechamento do registro (estrangulamento) para atingir a vazão requerida. Esta obstrução do escoamento com 
o registro produz um aumento de perda de carga o que modifica a curva do sistema original deslocando o 
ponto de operação até a interseção da curva da bomba com a curva do sistema modificada. Este 
procedimento é de baixo custo, contudo pouco eficiente já que o aumento da perda de carga se traduz numa 
energia dissipada (perdida) transformada em calor (Fgi.5.11). Desta forma a potência consumida pode 
aumentar para suprir o aumento da perda de carga. Cabe assinalar que neste procedimento a curva da bomba 
se mantém a mesma e desta forma não é modificada nem a rotação nem o diâmetro do rotor. 
 
 
 
 
 
Fig.5.10 Sistema com estrangulamento de registro 
 
 
Fig.5.11 Energia dissipada pelo fechamento de registro 
 
5.2.2 Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-9 
 
O controle da vazão é realizado abrindo um registro que permite por uma linha de recirculação do 
fluido (bypass) aumentar a vazão com o qual ocorre uma modificação na curva do sistema deslocando o 
ponto de operação (Fig.5.12). Em sistemas onde a altura estática é dominante o controle por bypass pode ser 
mais eficiente que a regulação por fechamento de registro ou por ajuste da rotação. 
 
] 
Fig.5.12 Sistema de controle por recirculação de vazão (bypass) 
 
Fig.5.13 Curvas de operação de sistema de controle por recirculação de vazão 
 
5.2.3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação 
 
Pelas leis de semelhança temos conhecimento que uma determinada bomba com diâmetro especifico 
pode apresentar diferentes curvas de altura vazão quando é modificada sua rotação. Conhecendo as 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-10 
condições de operação (vazão e altura manométrica) para uma determinada rotação n1 podemos determinar 
as novas condições de operação para uma nova rotação n2. A Fig.5.14a mostra a modificação da curva de 
uma bomba que opera com rotação n1 no ponto de máximo rendimento. Pelas leis de semelhança a mudança 
da vazão é diretamente proporcional a mudança da rotação Q α n , a altura manométrica muda proporcional 
ao quadrado da rotação ( H α n2 ) e a potência muda com o cubo da rotação ( W α n3 ). Por exemplo para uma 
redução de 50% da rotação a bomba fornece a metade da vazão, uma altura manométrica de 25% da sua 
altura original e absorvendo 12,5% da potência. Observa-se que reduzindo a rotação podem ser geradas 
famílias de curvas de esta mesma bomba. Também se mostra na Fig.5.14b que o rendimento global pode 
permanecer alto se quando a vazão se mantém entre 60 a 100% da vazão de projeto. 
 
 
(a) 
 
 
 
(b) 
Fig.5.14 Curvas de operação de bombas com mudança de rotação 
 
 
Os principais benefícios do controle de rotação é que permite com facilidade modificar o ponto de 
operação adequando a curva da bomba para a curva do sistema. O procedimento também permite otimizar a 
energia do sistema eliminado as perdas por controle de registro assim como permite uma funcionamento 
suave no processo de partida do motor da bomba. 
 
 
Observa-se na Fig.5.15 que o ponto de operação terá um rendimento levemente diferente que o ponto 
de operação original já que a curva do sistema de bombeamento é uma expressão quadrática que não corta a 
origem e o deslocamento dos pontos da a curva altura-vazão da bomba seguem uma expressão do tipo curva 
parabólica que segue as leis de semelhança em função da mudança de rotação. A figura abaixo mostra como 
isto acontece. 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-11 
 
Fig.5.15 Curvas de operação de sistema com bomba com mudança de rotação 
 
Nos casos em que o sistema não possui altura estática, a curva característica é representada por uma 
curva do tipo parabólica que passa pela origem (Fig.5.16). Nestes casos a variação da rotação, tal como 
mostra a Fig.5.16 pouco afeta o rendimento. Já que o ponto de operação para a nova rotação paraticamente 
acompanha a curva de rendimento. Nos casos em que a altura estática é significativa a mudança de rotação 
afeta o rendimento que terá o novo ponto de operação. 
 
 
Fig.5.16 Curvas de operação com mudança de rotação para sistemas diferentes 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-12 
 
5.2.4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 
 
A curva da bomba pode ser modifica trocando de rotor ou utilizando diminuindo (corte) o diâmetro 
do rotor original. Os dois procedimentos permitem adequar o desempenho da bomba para um determinado 
ponto de operação. A Fig.5.17 mostra de esquerda a direita um rotor de bomba centrifuga original com 
diâmetro de 213mm e 04 rotores com diferentes diâmetros de corte. A tabela mostra a relação entre o 
diâmetro original e o diâmetro de corte (Rc) assim como o percentual do corte em relação ao diâmetro 
original. A Fig.5.18 mostra o resultado das curvas de altura-vazão rendimento global e potência da bomba. 
Observa-se que a medida que o diâmetro do rotor é reduzido existe uma redução do rendimento da bomba 
assim como da potencia requerida para a operação da bomba. 
 
 
Fonte: Experiments on impeller trim of a commercial centrifugal oil pump - Wen-Guang LI (2004) 
 Rotor Rotor 1 Rotor 2 Rotor 3 Rotor 4 
Diâmetro (mm) 213 205 195 185 175 
Rc 1,00 0,96 0,92 0,87 0,82 
% corte 0% 3,8% 8,5% 13,1% 17,8% 
Fig.5.17 Exemplo de rotores com diminuição do diâmetro 
 
 
Fig.5.18 Desempenho da potencia altura e rendimento de rotores com diminuição do diâmetro 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-13 
 
Fig.5.19 Ajuste do ponto de operação por redução do diâmetro do rotor. 
 
A Fig. 5.19 mostra como a mudança do ponto de operação para um rotor com diâmetro D1 reduzido 
a um diâmetro D2. Como se observa na Fig.5.20 para sistemas em que a altura estática de aspiração é 
pequena, o rendimento do novo ponto de operação se mantém aproximadamente constante; enquanto que 
para sistemas com uma grande altura estática de elevação o novo ponto de operação pode apresentar uma 
diminuição significativa do rendimento. 
 
 
Fig.5.20 Variação do rendimento em função do tipo de curvas do sistema. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-14 
 
5.2.5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás 
 
Este procedimento é realizado nas bombas axiais nas quais suas pás podem ser reguladas mudando o 
ângulo dopasso. A Fig.5.21 mostra a altura de operação e vazão de operação adimensionalizadas pelo ponto 
ótimo de operação no qual o rendimento é máximo. Observa-se, por exemplo, que quando a máquina opera 
com ângulo de passo das pás de 160 a bomba trabalha nas condições ótimas. Quando se deseja por exemplo 
operar a bomba num sistema com uma vazão de 80% em relação a vazão ótima (Q=0,8Qopt) , então o ângulo 
das pás deverão ser modificados para 110. Neste ponto o rendimento ficara em torno de 0,91 ηopt 
conseguindo uma altura manométrica em torno de 0,95 Hopt 
 
 
 
Fig.5.21 Mudança do ângulo de passo em pás de bombas axiais 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-15 
5.2.6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão 
 
A Tab. 51. mostra um comparativo das estratégias de controle utilizando válvula de regulação, corte 
do diâmetro do rotor e variação da rotação utilizando inversor de freqüência. No exemplo a bomba com 
diâmetro do rotor de 430mm deve operar com uma vazão de 80 m3/h; Observa-se que o sistema de 
regulação por válvula trabalha com uma grande altura manométrica devido a perda de carga pelo fechamento 
do registro para poder atender a vazão especificada. O sistema por corte do rotor mostra que para atender a 
demanda da vazão o diâmetro devera ser de 375mm o que corresponde a uma relação de corte de Rc=0,87 
correspondendo a uma diminuição 13% do diâmetro original. Nesta condição o rotor operara com uma 
altura manométrica de 42m, sendo que o rendimento é um pouco inferior ao rendimento alcançado no 
sistema de regulação com válvula. Também observa-se que com a redução do diâmetro do rotor a potência 
consumida é equivalente a 60% da potencia consumida no sistema de regulação por registro. A tabela mostra 
que o sistema de variação por rotação apresenta o melhor desempenho em termos de eficiência energética 
com o maior rendimento, a altura manométrica menor (34,5m) e requer a metade da potência que requer o 
sistema de regulação com válvula. 
 
Cabe assinalar que trata-se de um exemplo especifico e que tal resultado não pode ser generalizado, 
contudo pela em termos de eficiência energética o sistema que opera por variação de rotação é o mais 
apropriado e esta sendo utilizado como a melhor alternativa para redução do consumo de energia e operar 
com sistemas de bombeamento de maneira otimizada. 
 
 
Tabela 5.1 Comparação de estratégias de operação 
Parâmetro Regulação de válvula Corte no rotor Variação da rotação 
Diâmetro do rotor 430 mm 375 mm 430 mm 
Altura manométrica 71.7 m 42 m 34.5 m 
Rendimento da bomba 75.1% 72.1% 77% 
Vazão de operação 80 m3/hr 80 m3/hr 80 m3/hr 
Potência consumida 23.1 kW 14 kW 11.6 kW 
 
 
 
A Fig.5.22 mostra uma outro tipo de comparativo no qual mostra-se o percentual de energia 
consumida pela bomba em função do percentual de redução da vazão a partir de um determinado ponto de 
operação. A partir da condição original (100% da vazão) observa-se o que acontece quando é reduzida a 
vazão de modo percentual. Mostra-se que o sistema de recirculação da vazão (bypass) a redução da vazão 
não possui redução percentual do consumo de energia. O sistema por estrangulamento de válvula permite a 
diminuição da vazão assim como a energia consumida pela bomba conforme diminui a vazão. O melhor 
desempenho em quando a redução da energia é obtida com o sistema de velocidade variável. Neste sistema a 
diminuição da vazão permite uma redução da energia proporcional ao cubo da rotação da máquina. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-16 
 
Fig.5.22 Comparação da variação percentual 
 
A Fig.5.23 mostra outro comparativo das estratégias anteriores. Mostra-se a curva características do 
sistema e a curva característica da bomba observando-se que em termos de energia perdida o método de 
recirculação da vazão (bypass) é o menos eficiente seguido do método de estrangulamento de válvula. 
Observa-se que o método de mudança de rotação é ótimo já que para atingir o ponto de operação modifica-se 
muda a rotação ajustando a da bomba para a demanda da curva do sistema. 
 
 
 
 
Fig.5.23 Comparativo de estratégias de controle da vazão. 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-17 
5.2.7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo 
 
 
Quando uma única bomba não consegue atender uma determinada vazão é possível conseguir tal 
requerimento utilizando um conjunto de bombas conectadas em paralelo. O uso de bombas conectadas em 
pode trazer benefícios em termos de redução do consumo de energia. As bombas em paralelo devem ser 
utilizadas de forma que ambas operem próximos do rendimento máximo. O sistema possuirá flexibilidade, 
redundância no caso de falha de uma das bombas e capacidade de vazão para atender novas necessidades de 
forma eficiente. O procedimento é recomendado em sistemas que possuem uma alta altura estática de 
elevação. Em sistemas onde predomina a perda de carga a alternativa de rotação variável torna-se mais 
eficiente e, portanto mais apropriada. Opta-se pela utilização de bombas iguais para disponibilizar uma altura 
manométrica equilibrada quando funcionando em conjunto. O uso de bombas diferentes poderia ocasionar 
uma perda de equilíbrio do funcionamento, no qual a bomba de maior capacidade tenderá a dominar o 
funcionamento do sistema forçando as outras bombas a trabalhar com menor eficiência. 
 
Consideremos um sistema (Fig.5.24) com sua curva característica mostrada na figura e operando 
junto com duas bombas iguais conectadas em paralelo. Na operação com as 2 bombas conectadas em 
paralelo o sistema encontra-se trabalhando no ponto Bp com uma vazão Qp = Q1 + Q2 . Se uma das bombas 
fica fora de funcionamento a bomba operará no ponto B com uma vazão QB. Observa-se que esta vazão é 
superior a vazão fornecem cada uma das bombas (QB > Q1+Q2). No caso inverso quando entra em 
funcionamento a segunda bomba o sistema opera no ponto Bp sendo que a vazão não duplica e sim atinge a 
vazão Qp, ponto no qual as duas bombas contribuem com a metade da vazão, isto é QBp = Q1 + Q2. 
 
 
 
Fig.5.24 Comparativo de estratégias de controle da vazão. 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPPaaarrraaammmeeetttrrriiizzzaaaçççãããooo dddeee CCCuuurrrvvvaaasss CCCaaarrraaacccttteeerrríííssstttiiicccaaasss 
dddeee BBBooommmbbbaaasss CCCeeennntttrrrííífffuuugggaaasss 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-19 
 
5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas 
 
 Neste capítulo é apresentada uma metodologia que permite obter uma recuperação dos parâmetros de 
projeto a partir das características operacionais de uma bomba centrífuga. Com a informação da curva 
característica da altura-vazão, fornecida pelo fabricante, podemos obter, pelo procedimento de 
parametrização, outras curvas que apresentam em detalhe a altura teórica para número infinito de pás, a 
altura teórica para número finito de pás, e as curvas que representam as perdas ou dissipação de energia por 
choque e por atrito. 
 
 
5.3.1 Equação Característica Real de Bombas Centrífugas 
 
 A equação característica real de uma bomba centrífuga é definida por: 
 
 A altura de elevaçãoreal desenvolvida pela bomba (altura manométrica) é a altura teórica para 
número finito de pás subtraída das perdas hidráulicas: 
 
)( 21# hhHH t +−= 
 
Onde Ht# é a altura teórica para número finito de pás, h1 perdas hidráulicas por atrito e h2 perdas hidráulicas 
por choque. 
 
 A curva característica real de uma bomba centrífuga é mostrada na Fig.5.25 junto com as curvas das 
perdas hidráulicas e perdas por choque. Somando suas ordenadas obtemos a curva da perda hidráulica total. 
Subtraindo de Ht# a perda hidráulica total, como indica a equação, se obtém a curva característica real. A 
máxima altura de elevação de uma bomba é desenvolvida para uma vazão menor que Qo. Isto significa que a 
perda hidráulica mínima não corresponde à altura de elevação máxima. Podemos derivar as curvas, em 
relação a Q, e achar os respectivos pontos de derivada nula. 
 
 
 
Figura 5.25 - Curva real de uma bomba incluindo as perdas hidráulicas 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-20 
 
5.3.2 Perdas Hidráulicas nas Bombas 
 
 As perdas hidráulicas da bomba podem ser consideradas como a superposição das perdas 
hidráulicas com as perdas por choque. As perdas hidráulicas dependem da dissipação viscosa do 
escoamento do fluido nos canais formados pelas aletas, difusores, aletas diretrizes de entrada e saída do 
rotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do rotor (atrito de disco). Tais perdas são 
proporcionais ao quadrado da vazão e podem ser expressas por: 
 
2
11 Qkh = 
 
sendo a constante de proporcionalidade k1 função de características construtivas e dimensionais da bomba 
tais como tipo de máquina (radial,axial) e do tipo de acabamento superficial do rotor. 
 
 Numa máquina real existirá perturbação no escoamento, com a formação de vórtices e regiões 
de recirculação, descolamento da camada limite. A dissipação de energia devido a estes fenômenos é 
conhecida como perdas por choque e pode ser equacionada como: 
 
( )2022 QQkh −= 
 
onde Q-Qo
 
 representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Qo é a vazão de 
projeto (aquela que não induz perdas por choque). 
 
 As perdas hidráulicas de uma bomba são então calculadas somando-se as perdas hidráulicas com 
as perdas por choque: 
( )20221 QQkQkHH t −−−= ∞µ 
 
( )20221
22
2
2
2
2
QQKQK
br
ctgQU
g
U
H −−⋅−



⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅= pi
βµ 
 
 A razão entre a altura real de elevação e a altura teórica de elevação define o rendimento hidráulico 
ηh . Então e pela definição de altura teórica para número finito de pás: 
 
∞⋅
=
t
h H
H
µ
η 
 
onde µ representa o fator de deslizamento, que é o inverso do coeficiente de Pfleiderer (kpfl). Depende da 
relação de diâmetros do rotor, (D1/D2), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β2o): 













−


 ++== 2
2
1
2
1
2
60
111
D
Dz
ak pfl
β
µ
 
O coeficiente "a" leva em consideração a interação do difusor com o impelidor, sendo dado para diferentes 
tipos de volutas como 
 
Tipo de Voluta Coeficiente “a” 
Voluta simples 0,65 a 0,85 
Difusor com pás guias 0,6 
Difusor sem pás guias 0,85 a 1,0 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-21 
5.4 Método para Parametrização das Curvas de Bombas 
 
 A parametrização de bombas centrífugas trata da recuperação dos parâmetros de projeto. O 
equacionamento permite obter a curva real junto com as curvas de perdas quando são conhecidas suas 
características operacionais. Apesar de ser uma formulação para escoamento unidimensional, ela representa 
muito bem o comportamento das máquinas reais. 
 
Sabemos que a equação característica real de uma bomba centrífuga é representada como: 
 
( )202212
22
2
2
2
QQkQkctg
br
QU
g
U
H −⋅−⋅−


 ⋅⋅⋅−⋅⋅= βpiµ 
 
Na forma adimensional esta equação é dada por: 
 
( ) ( ) 2
222
0
2
2
2
2
2
222
1
2
2
2
22
222
2
2 2
11 


 −−


−





−=
brU
QQkbgr
brU
Qkbgrctg
brU
Q
u
gH βpiµ 
 
Para simplificar a equação acima definimos H ∗ como a altura adimensionalizada, a qual é denominada 
coeficiente de pressão. Também trabalhamos com uma vazão adimensionalizada, Q* a qual é denominada 
coeficiente de vazão. 
 
2
2U
HgH ⋅=∗ 
222 brU
QQ
⋅⋅
=
∗
 
 
 
Desta forma a equação adimensionalizada e utilizada para o procedimento de parametrização é dada como: 
 
( ) ( ) ( )20222222122222211 ∗∗∗∗∗ −−− −= QQkbgrQkbgrctgQH βpiµ 
 
 Os produtos (k1r22b22) e ( k2r22b22) são adimensionais, o que implica que as constantes k1 e k2 têm 
dimensão. A equação também pode ser dada como: 
 
( )( ) ( ) ( )[ ]202222220222222212222 212 ∗∗∗∗∗ −+ −+−= QkbgrQctgQkbgrQkkbgrH µβpiµ 
 
Para determinar os parâmetros de projeto podemos aproximar a curva por um polinômio, um polinômio de 2° 
grau, na forma: 
 
2*
2
*
10
* QaQaaH ++=
 
 
onde ao, a1 e a2 são constantes do polinômio determinadas facilmente na planilha do Excel.. 
 
Igualando-se, termo a termo, a equação da curva característica adimensional da bomba com a 
equação polinomial de segundo grau, obtém-se o seguinte conjunto de equações: 
 ( )( ) 2212222 akkbgr =+− 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-22 
( ) 12022222 21*2 actgQkbgr = − βpiµ 
 ( ) 02*022222 aQkbgr =−µ 
 
Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q*), para resolver o sistema deve-se estipular valores para 
uma das incógnitas, e por procedimento iterativo chegar a solução como apresentado no exemplo dado. O 
diâmetro do rotor na saída, (D2) largura da pá na saída (b2) e ângulo da pá na saída (β2) devem ser fornecidos 
pelo fabricante ou estimados por metodologia apropriada. 
 
 
5.5 Exemplo do Procedimento 
 
Fazer a parametrização da curva característica da bomba comercial KSB, modelo ETANORM 32-
125, com as seguintes características: O rotor da bomba tem diâmetro D2=139mm, e largura na saída igual a 
b2=10mm. O ângulo da pá na saída é β2 = 30°. Da curva fornecida no catálogo pelo fabricante, para 3500rpm 
se tem a seguinte tabela: 
 
Tabela 5.2 Dados fornecidos pelo fabricante 
Q (m3/h) H (m) η(%) 
7,5 40 40 
22 37,5 64 
28,7 35 67 
34 32,5 67 
38 30 65,5 
 
Inicialmente se graficar a curva da bomba com os dados fornecidos pelo fabricante (Fig.5.26). 
 
Curvas Características de Bombas 
Centrífugas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20 30 40Q(m3/h)
H
 
(m
)
Curva do Fabricante
Rendimento
 
Figura 5.26 – Curva da altura manométrica (m) e rendimento global (%) 
 
O próximo passo é utilizar a equação real das bombas centrífugas mostrando-se a aplicação da 
mesma na recuperação dos parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde de que se conheça as 
características operacionais da bomba. 
 
A Equação característica real da bomba centrífuga é escrita dessa maneira: 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-23 
 
( )202212
22
2
2
2
QQkQkctg
br
QU
g
U
H −⋅−⋅−


 ⋅⋅⋅−⋅⋅= βpiµ 
 
Para facilitar a análise adimensionam-se a altura e vazão utilizando as expressões do coeficiente de pressão e 
coeficiente de vazão: 
2
2U
HgH ⋅=∗ 
222 brU
QQ
⋅⋅
=
∗
 
 
A velocidade periférica do rotor na saída é obtida pela relação: 
60
2
2
nD
u
pi
= 
 
Nestecaso, com n=3500rpm e D2=139mm se obtém u2=25,5m/s 
 
Desta forma pode-se encontrar os valores de Q* e H*, apresentados na Tab.5.3. 
 
 Tabela 5.3 Dados da Curva adimensionalizada 
Q* H* 
0,118 0,603 
0,345 0,566 
0,45 0,528 
0,533 0,49 
0,596 0,453 
 
 Com os dados da curva adimensionalizada pode-se graficar a curva característica adimensionalizada 
mostrada na Fig. 5.27(a). 
 
Curvas Características de Bombas Centrífugas
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7Q*
H
*
Curva da Bomba
Adimensionalizada
 
Curvas Características de Bombas Centrífugas
y = -0,6004x2 + 0,1163x + 0,5976
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7Q*
H
*
Curva Real da Bomba Adimensionalizada
Polinômio (Curva Real da Bomba Adimensionalizada)
 
 
 Figura 5.27 (a) Gráfico da curva adimensionalizada e (b) ajuste por polinômio de 20 grau 
 
 
 
 
Com auxílio do Excel, pode-se parametrizar a curva adimensional, através de um polinômio de 2° grau. Com 
o ajuste da curva tem-se o polinômio: 
 
2*
2
*
10
* QaQaaH ++=
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-24 
 
 
A Fig. 6.3(b) mostra a curva da bomba parametrizada através do polinômio de 2° grau. 
 
Utilizando-se os coeficientes de ajuste da curva fornecidos pelo Excel, se pode montar uma outra 
tabela (Tab.5.4) para a curva adimensionalizada, utilizando a expressão polinomial. 
 
 
 
Tabela 5.4 Dados obtidos através do Polinômio 
Q* H* 
0,118 0,595 
0,345 0,557 
0,45 0,518 
0,533 0,478 
0,596 0,442 
 
Os coeficientes obtidos pelo polinômio foram os seguintes: Ver equação Fig. 6.3 
 
a0 = 0,5976 a1 = 0,1163 a2 = -0,6004 
 
A equação do polinômio é equivalente a: 
 
( )( ) ( ) ( )[ ]2*0222222*0222222212222 *21 2* * QkbrgQctgQkbrgQkkbrgH −+ −++−= µβpiµ 
 ( )( ) 6004,0212222 −=+− kkbgr 
( ) 1163,0
2
1
*2 202
2
2
2
2 =

 − βpiµ ctgQkbgr ( ) 5976,02*022222 =− Qkbgrµ 
 
Substituindo-se nestas equações os valores dos parâmetros conhecidos: R2=69,5mm, b2=10mm, β2=30°. 
Tem-se o seguinte: 
 
( ) 521 1026,1 ×=+ kk 
34*
02 1061,1110908,2 ×=×− µQk 
552*
02 1026,11011,2 ×−=×− µQk 
 
Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k1, k2, µ, Q), para resolver o sistema deve-se estipular 
valores para uma das incógnitas. Para tal pode-se observar a última equação (coeficiente de grau zero), e 
notar que µ deve ser superior a 0,5976, para que a equação seja satisfeita. 
Observando-se o gráfico dado pelo fabricante, conclui-se que vazão para a eficiência máxima da 
bomba é aproximadamente 30m3/h. Assim, determina-se o valor de µ de tal forma que se obtenha a vazão o 
mais próximo possível do valor de eficiência máxima. 
 
Para µ=0,65 se obtém: 
 k2=8,35x104 k1=4,25x104 Q0*=0,365 Q=23,31m3/h 
Para µ=0,66 se obtém: 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-25 
 k2=7,15x104 k1=5,44x104 Q0*=0,431 Q=27,5m3/h 
Para µ=0,665 se obtém: 
 k2=6,69x104 k1=5,91x104 Q0*=0,463 Q=29,51m3/h 
 
Obs: Para encontrar o valor de Q basta utilizar a equação da vazão adimensional (Q*). 
 
 Com o último valor µ=0,665 a vazão encontrada (29,51m3/h) é bem próxima do valor ótimo 
(30m3/h). Desta forma adotamos os coeficientes k2=6,69x104 k1=5,91x104. 
 
Com os coeficientes podemos gráfica as curvas de atrito e choque, utilizando-se as equações abaixo: 
 
2
11 Qkh = (Eq.de perdas por atrito) ( )2022 QQkh −= (Eq. de perdas por choque) 
 
 
O termo (Q-Q0) representa o desvio da vazão normal. Isto é, Q é a vazão atual da bomba, e Q0 é a vazão de 
projeto, aquela que não induz perdas por choque. Q0 é a vazão calculada e escolhida, ou seja, a vazão mais 
próxima a eficiência máxima. No nosso caso Q0=29,51m3/h. 
 
Além dessas curvas também pode-se utilizar a equação da altura teórica para número finito de pás 
 


 −=
22
2
2
2
#
...2
..
..
bR
ctgQU
g
UH t pi
βµ
 (Equação da altura teórica) 
 
Com tais equações são geradas as tabelas do atrito (Tab.5.5), choque (Tab. 5.6) e da curva teórica da bomba 
(Tab.5.7). A Fig.5.4 mostra o gráfico construído com esses dados. 
 
 
Tabela 5.5 Resultados da curva de atrito 
Q (m3/s) h1 (m) 
0,0021 0,2565 
0,0061 2,2071 
0,0080 3,7562 
0,0094 5,2716 
0,0106 6,5849 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5.6 Resultados da curva de choque 
Q (m3/s) (Q-Q0) (m3/s) h2 (m) 
0,0021 -0,0061 2,5005 
0,0061 -0,0021 0,2911 
0,0080 -0,0002 0,0034 
0,0094 0,0012 0,1041 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 5-26 
0,0106 0,0024 0,3722 
 
 
 Tabela 5.7 Resultados da curva teórica (influência das aletas) 
 
Q (m3/s) Ht# (m) 
0,0021 42,65 
0,0061 39,89 
0,0080 38,61 
0,0094 37,60 
0,0106 36,84 
 
Desta forma a equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba, é determinada. A 
Fig 5.28 mostra a composição desta curva real, a partir da identificação dos termos de perda e desvio em 
relação à idealização inicial. 
 
 
Parametrização da Curva da Bomba
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012
Vazão (Q(m3/s))
Al
tu
ra
 
h 
e 
Ht
#
Atrito
Choque
 
Figura 5.28. Curva de bomba centrífuga obtida com o método aplicado. 
 
Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 
Jorge A. Villar Alé 5-27 
 
5.6 Equações Complementares 
 
Como visto no presente Capitulo, para aplicar o método de parametrização devemos contar os dados de H-Q 
e H-η da bomba assim como n, D2 β2 e b2. No caso de bombas comerciais podemos ter dificuldades de 
obter do catalogo do fabricante o ângulo da pá e largura da pá na saída do rotor já que são parâmetros de 
projeto. Nessa situação devemos utilizar equacionamentos adicionais obtidos de referencias bibliográficas 
para o projeto de bombas centrífugas. Neste caso utilizamos as equaciones de Jekat (Centrifugal Pump 
Theory). 
 
Dados do catalogo H, Q, D2 n Determinar: β2 e b2 
(H e Q correspondem ao ponto de máximo rendimento) 
Determinar a rotação especifica característica nq 
 
 4/3H
Qn
nq = 
Com nq 
Estimar o coeficiente de velocidades 
 
 
2
2
U
Ck mv = 
O qual pode ser obtido pela aproximação 
 
qv nk 0029,00077,0 += 
Com nq 
Estimar o ângulo da pá na saída (β2) 
 
 
Para nq < 20 
 
32
2 0005,00643,071,260 qqq nnn −−−=β 
 
Para nq > 20 β2 = 250 
 
Determinar a velocidade periférica do rotor 
60
2
2
nDU pi= 
Determinar Cm2 
Cm2 = Kv U2 
 
 
Com Cm2 determinar a largura da pá (b2) 
22
2
mCD
Qb
pi
= 
 
Adotar uma relação de diâmetros. 
 
 
Pode-se adotar D1/D2=0,5 
 
Selecionar o número de pás (z) 
 
Adotar z entre 4 a 8 para nq < 80 
 
(ou determinar com equação do Cap.3 ) 
Equações para verificação dos resultados 
 
Rendimento hidráulico (ηH) em função de Q 
 
 25,0
071,01 QH −=η (Q em m
3/s ) 
 
(*) Coeficiente de Altura (ψ). ( )2cot12 βµηψ vh k−= 
 
Conhecido ψ determinar a velocidade tangencial na saída do 
rotor e comparar com a do fabricante. Numa boa 
parametrização ambas devem ser muito próximas. ψ
gHU 22 = 
(*) O fator de deslizamento (µ) pode ser obtido com β2 D1/D2 ez utilizando a Eq. dada neste capítulo. 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-2 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Bombeamento 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos ..................................................................... 3 
6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos ...................................................... 4 
6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento......................................................................... 5 
6.3 Definição de Alturas Estáticas ....................................................................................................... 6 
6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas ........................................................................................................... 7 
6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha......................................................... 7 
6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr........................................................... 8 
6.5 Altura Manométrica ......................................................................................................................... 9 
6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração................................................................... 11 
6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada................................................. 11 
6.5.3 Altura Útil de Elevação.................................................................................................................... 12 
6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas .............................................................. 12 
6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento.............................................................. 14 
6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento........................................... 15 
6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento ................................................................. 16 
6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema ........................................................ 17 
6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema ....................... 18 
6.9 Exemplos Resolvidos.................................................................................................................... 19 
6.10 Atividade de Aprendizado ............................................................................................................. 24 
6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento ....................................... 25 
6.12 Exemplo de Resultados ................................................................................................................ 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-3 
 
6.1 Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos 
 
Sabemos que a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos de 
energia (por exemplo, de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a equação geral 
da energia como uma extensão da Eq. de Bernoulli que pode ser utilizada, nestes casos, incluindo os 
termos de energia apropriados. Uma análise de energia entre duas seções (Fig.6.3) que incluem dissipação 
e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como: 
 
Energia ponto 1 + Energia adicionada - Energia removida - Energia por perdas = Energia ponto 2 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
v
g
phHHz
g
v
g
p
LRA ++=−−+++ ρρ
 
 
( 1 ) 
 
HA Energia adicionada ao fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo 
bombas. 
HR Energia removida ou retirada do fluido mediante um dispositivo mecânico, como por 
exemplo turbinas. 
hL Perdas de energia pelo sistema devido ao atrito nas tubulações (perda de carga por 
comprimento de tubulação) ou perdas de carga localizadas devido à presença de válvulas e 
conectores e outros acessórios inseridos na rede. 
 
 
Figura 6.1 Sistema que representa a equação geral da energia. 
 
A equação de energia deve estar escrita na direção do fluxo. Desde o ponto de referência na parte esquerda 
até ao ponto correspondente no lado direito. Os sinais algébricos estabelecem que um elemento de fluido 
que tem uma certa quantidade de energia por unidade de peso na seção 1 pode ter uma adição de energia 
(+HA) ou uma perda de energia (-hL) antes de alcançar a seção 2. Num problema em particular nem todos 
os termos de energia são utilizados. Por exemplo, se não existem dispositivos mecânicos os termos HA e 
HR podem ser eliminados. Da mesma forma se a perda de energia é muito pequena o termo hL pode ser 
desprezível. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-4 
6.1.1 Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 
 
A potência provinda da energia adicionada ou absorvida por sistemas mecânicos (bombas, 
ventiladores, turbinas) pode ser determinada multiplicando-se a energia transferida por unidade de peso 
de fluido pelo fluxo de peso de fluido escoando através do sistema. Sabemos que o fluxo de massa 
escoando através do sistema é dado por: 
 
QmvAm ρρ == && ou 
 
desta forma o peso de fluido escoando é dado como 
 
gQgvAgmescoandofluidodepesodefluxo ρρ ou == & 
 
A potência teórica adicionada por uma bomba ao fluido pode ser determinada como: 
 
gQHW AA ρ=& (W) ( 2 ) 
 
onde ρ é a massa específica do fluido e Q a vazão. No SI a unidade resultante é Watts. 
A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a 
potência subministrada à bomba. 
oacionament de potência
 útil 
bomba a para fornecida potência
fluido ao bomba pela adicionada potênciapotência
Bomba ==η 
 
No caso da energia subministrada a uma dispositivo mecânico como turbina a Potência transmitida pelo 
fluido ao motor é dada por: 
gQHW RR ρ=& (W) ( 3 ) 
 
Nestes dispositivos mecânicos também existem perdas de energia por atrito mecânico e de fluido. A 
eficiência mecânica é definida como a relação entre a potência de saída do motor e a potência transmitida 
pelo fluido. 
fluido pelo da transmitipotência
 turbinada saída de potência
=turbinaη 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-5 
 
6.2 Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento 
 
 A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica 
(potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. 
Tal conceito se aplica às máquinas de fluxo que operamcom líquidos. No caso das turbinas hidráulicas 
representaria a quantidade de energia específica que a água em escoamento transfere ao rotor da turbina. 
Na operação de ventiladores a energia específica transferida aos gases é denominada pressão total. 
 
 Para determinar a altura manométrica, em termos das características físicas e operacionais de um 
sistema de bombeamento, utilizamos a Fig.6.2. O sistema de bombeamento é constituído de reservatórios 
de aspiração e descarga (recalque), da bomba, de tubulações que conectam a bomba aos reservatórios, e de 
vários acessórios complementares como: cotovelos de tubulação, válvulas de bloqueio ou controle do 
fluxo, suportes, etc. 
 
 
Figura 6.2 Esquema de sistema de bombeamento 
 
Convenção de subíndices: 
[0]: Ponto da superfície livre no reservatório de aspiração. 
[1]: Ponto da seção de entrada da bomba. 
[2]: Ponto da seção de saída da bomba. 
[3]: Ponto na superfície livre do reservatório de recalque ou maior altura da saída do fluido no recalque. 
[a]: Elementos no sistema de aspiração do fluido 
[r]: Elementos do sistema de recalque do fluido 
 
As principais variáveis que devem ser determinadas num sistema de bombeamento são: 
• Pressão na entrada da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. 
• Pressão na saída da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. 
• Pressão total solicitada na bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-6 
6.3 Definição de Alturas Estáticas 
 
 
Altura Estática de Aspiração - ha 
Representa a diferença de cotas entre o nível do centro da bomba e o nível da superfície livre do 
reservatório de captação do fluido. 
 
Altura Estática de Recalque - hr 
Representa a diferença de cotas entre os níveis onde o fluido é abandonado ao sair pela tubulação de 
recalque no meio ambiente (ou outro) e o nível do centro da bomba. 
 
Altura Estática de Elevação - he 
Diferença de cotas entre os níveis em que o fluido é abandonado no meio ambiente (ou outro meio), ao 
sair pelo tubo de recalque, e o nível livre no reservatório de captação. Também denominada altura 
topográfica ou altura geométrica. (he=ha+hr) 
 
Na Fig. 7.1 também se representa a instalação de um vacuômetro na entrada da bomba em um manômetro 
na saída da bomba. A altura ∆h. representa a diferença entre centros destes instrumentos. 
 
Variáveis com subíndices a identificam elementos da tubulação de aspiração e variáveis com subíndice r 
componentes da tubulação de recalque. 
 
Para determinar as principais variáveis num sistema de bombeamento seguimos a seguinte metodologia: 
• Aplicando a Eq. de energia entre o plano (0-0) e (1-1) se obtém uma expressão da pressão relativa 
na entrada da bomba. 
• Aplicando a Eq. da Energia entre o plano (2-2) e (3-3) obtemos uma expressão da pressão relativa 
na saída da bomba. 
• Aplicando a Eq. de Energia no Plano (1-1) e (2-2) se obtém uma expressão da variação de pressão 
entre estes pontos. 
• Relacionado as equações anteriormente deduzidas se obtém uma expressão que representa a altura 
manométrica do sistema. 
 
Os sistemas de bombeamento podem ter um ou mais reservatórios pressurizados. Nesses casos a pressão 
absoluta dos mesmos dependerá do valor da pressão atmosférica local. Na Fig. 6.3 a pressão absoluta no 
reservatório de aspiração será igual soma da pressão manométrica (po) medida pelo instrumento mais a 
pressão atmosférica local. (p0(abs)=p0 + patm). Na mesma figura o reservatório de recalque este esta aberto a 
atmosfera e, portanto a pressão absoluta nesse reservatório será a própria pressão atmosférica. 
 
 
Figura 6.3. Exemplo de com reservatório pressurizado na aspiração 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-7 
6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 
6.4.1 Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - Ha 
 
Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.2 entre os planos (0-0) e (1-1) 
1
2
11
)10(0
2
00
22
z
g
v
g
phz
g
v
g
p
L ++=−++ − ρρ
 
 
( 4 ) 
 
hLa(0-1): representa a perda de carga na tubulação de aspiração sendo denominada hLa . 
 
No plano (0-0) 
 
O plano (0-0) de referência está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório 
muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de 
energia da mesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
aL)L(atm hhzvpp =≅≅= −10000 0 0 
 
No plano (1-1) 
[ ] [ ] [ ] 1111 aaabs hzvvpp === 
 
Substituindo na Eq. (1) 
 
Laa
aabsatm hh
g
v
g
p
g
p
+++=
2
2
1
ρρ
 
 
( 5 ) 
 
 La
a
a
absatm h
g
vh
g
pp ++=

 −
2
2
1
ρ
 
 
( 6 ) 
 
o termo entre colchetes representa a Pressão Relativa na entrada da bomba em relação a pressão 
existente na superfície livre do reservatório de aspiração (po). Se o reservatório é aberto a atmosfera como 
nesta caso po é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado po≠patm. Geralmente a 
pressão relativa na entrada da bomba é medida com um vacuômetro. Expressa em metros de coluna de 
fluido representa a pressão relativa na entrada da bomba e é denominada Altura Total de Aspiração: 
 


 −=
g
pp
H absatma ρ
1
 
 
( 7 ) 
 
• Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, isto é, quando o sistema ainda não foi instalado, 
podemos determinar Ha pela Eq.3 determinando a altura estática de aspiração e a perda de carga na 
tubulação de aspiração. 
 
• Num sistema de bombeamento em operação pode-se determinar a altura total de aspiração utilizando 
um vacuômetro que fornece a pressão relativa na entrada da bomba. 
 
gHp aV ρ= ( 8 ) 
 
Ha representa a energia que cada kg de fluido deve receber para atingir a entrada da bomba. Com tal nível 
energético o líquido escoa penetrando na bomba. 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-8 
6.4.2 Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque – Hr 
 
Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6.1 entre os planos (2-2) e (3-3) 
considerando o centro da bomba como a linha de referência: 
 
3
2
33
)32(2
2
22
22
z
g
v
g
phz
g
v
g
p
L ++=−++ − ρρ
 
 
( 9 ) 
 
hL(2-3): representa a perda de carga na tubulação de recalque denominada hLr. 
 
No plano (2-2) 
 [ ] [ ] [ ] [ ]LrLrabs hhzvvpp ==== − )32(2222 0 
 
No plano (3-3) 
 
A energia cinética na saída da tubulação de recalque é absorvida pelo fluido no reservatório, desta forma o 
termo é considerado desprezível ( v23/2g=0). 
 
[ ] [ ] [ ] 02/ 332333 hhzgvppp atmabs ∆−=≅== 
 
 
Lrr
atmrabs hhh
g
p
g
v
g
p +∆−+=+
ρρ 2
2
2
 
 
( 10 )Lr
r
r
atmabs h
g
vhh
g
pp +−∆−=

 −
2
2
2
ρ
 
 
( 11 ) 
 
o termo entre colchetes representa a pressão pelativa na saída da bomba em relação a pressão existente na 
superfície livre do reservatório de recalque (p3). Se o reservatório é aberto a atmosfera como, nesta caso, 
p3 é igual a pressão atmosférica (patm). Se o reservatório for pressurizado p3≠patm. A pressão relativa na 
saída é medida com um manômetro. Expressa em metros de coluna de fluido a pressão relativa na saída da 
bomba é denominada altura manométrica de recalque: 
 


 −=
g
pp
H atmabsr ρ
2
 
 
 ( 12 ) 
 
• Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, Hr pode obtida pela Eq. 8 determinando-se a 
altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de recalque. 
 
• No caso de um sistema de bombeamento em operação, pode ser obtida pela leitura direta do 
manômetro. 
 
 
gHp rM ρ= 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-9 
6.5 Altura Manométrica 
 
A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil 
por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. 
 
 
Figura 6.4 Detalhe do plano 1-1 e plano 2-2 
 
Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. da Energia entre os planos (1-1) e (2-2) considerando o centro da 
bomba como a linha de referência: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
v
g
pHz
g
v
g
p
man ++=+++ ρρ
 
 
( 13.1 ) 
 
( )12
2
1
2
212
2
zz
g
vv
g
ppH man −+
−
+
−
=
ρ
 ( 13.2 ) 
 
O termo (z2 - z1) representa a altura entre centros dos instrumentos, portanto (z2 - z1)=∆h. A 
velocidade v1 corresponde à velocidade na tubulação de aspiração (va). A velocidade v2 representa 
a velocidade na tubulação de recalque (vr). Desta forma: 
 
No plano (1-1) [ ] [ ] [ ] 0 1111 === zvvpp aAbs 
 
No plano (2-2) [ ] [ ] [ ] 2222 hzvvpp rAbs ∆=== 
 
h
g
vv
g
pp
H arAbsAbsman ∆+
−+−=
2
22
12
ρ
 
 
(14 ) 
 
Pelas equações deduzidas anteriormente: 
 
a
atmAbs H
g
p
g
p −=


ρρ
1
 
g
p
H
g
p atm
r
Abs
ρρ
+=2 
 
ar
AbsAbs HH
g
pp +=

 −
ρ
12
 
 
( 15 ) 
 
h
g
vv
HHH arraman ∆+
−++=
2
22
 
 
( 16 ) 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-10 
Também: 
 
rL
r
rr hg
vhhH +−∆−=
2
2
 La
a
aa hg
vhH ++=
2
2
 
 
Substituindo as definições de Hr e Ha na Eq.13: 
 
h
g
vv
HHH arraman ∆+
−++=
2
22
 
 
 
 
h
g
vvh
g
vhhh
g
vhH arLrrrLaaaman ∆+−+


 +−∆−+


 ++=
222
2222
 
 
rLaLraman hhhhH +++= ( 17 ) 
 
A Eq. Acima pode ser verificada aplicando a Eq. de Energia entre o Plano (0-0) e o plano (3-3). 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]LrLaLoatm hhhzvpp +==≅= − )30(00 0 0 
 
[ ] [ ] [ ] 02/ 3233 raatm hhzgvpp +=≅= 
 
A Eq. Deduzida é valida para bombas instaladas acima do nível do reservatório sendo que o fluido é 
conduzido pela tubulação para o reservatório superior (Fig. 6.5a) absorvendo toda a energia cinética 
devido a velocidade com que sai da tubulação. 
 
 
Figura 6.5 : Sistema absorvendo energia cinética (a) e sem absorção de energia cinética (b) 
 
Quando a tubulação de recalque abandona o fluido livremente (Fig. 6.5b) à pressão atmosférica a Altura 
Manométrica pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia entre o plano (0-0) e (3-3): 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]LrLaLoatm hhhzvpp +==≅= − )30(00 0 0 
 [ ] [ ] [ ] 333 raratm hhzvvpp +=== 
 
3
2
33
)30(1
2
0
22
z
g
v
g
phHz
g
v
g
p
Lman
o ++=−+++
− ρρ
 
 
g
vhhhhH rLrLaraman 2
2
++++= 
 
( 18 ) 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-11 
6.5.1 Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 
 
Neste caso existe a necessidade de uma válvula de retenção com crivo no inicio da tubulação de aspiração, 
chamada válvula de pé, a qual impede o escoamento do fluido do tubo do reservatório quando a bomba 
está parada ou pára de funcionar. 
 
 
Figura 6.6 Esquema de bombeamento normal. 
 
A altura manométrica neste sistema é representada na Fig.6.6 e deduzida anteriormente. 
 
g
vhhhhH rLrLaraman 2
2
++++= 
 
(19 ) 
6.5.2 Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada 
 
 
Figura 6.7. Esquema de bomba afogada. 
 
A altura manométrica neste caso (Fig.6.7) é similar, contudo, o sinal da altura estática de aspiração é 
negativo (-). 
g
vhhhhH rLrLaraman 2
2
++++−= 
 
( 20 ) 
 
Não há necessidade de válvula de pé com crivo, desde que o nível do fluido permita encher todo o corpo 
da bomba. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-12 
 
6.5.3 Altura Útil de Elevação 
Por definição a altura útil é dada como: 
 
g
vv
HH ramanu 2
22 −
+= 
 
( 21 ) 
 
Representa a energia por unidade de massa que o fluido adquire em sua passagem pela bomba. Se o 
diâmetro de entrada e de saída da bomba forem iguais v3=v0 e portanto Hu=Hman. Em termos práticos se 
utiliza diretamente Hman como Hu sem erros sensíveis. 
 
6.5.4 Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 
 
A altura manométrica de uma bomba centrífuga pode ser 
determinada num sistema em operação utilizando 
instrumentos de medição da pressão. 
 
A Eq. de Energia aplicada entre os pontos ( 1 ) e ( 2 ) nos 
fornece a expressão: 
 
( )12
2
1
2
212
2
zz
g
vv
g
ppH man −+
−
+
−
=
ρ
 
 
Considerando desprezível a variação da energia cinética 
 
( )1212 zzg
ppH man −+
−
=
ρ
 
 
Tal simplificação é valida quando as tubulações de 
aspiraçãoe recalque têm o mesmo diâmetro ou apresentam 
uma pequena diferença 
 
 
 
Figura 6.8 medição de pressão na bomba 
Sendo hzz ∆=− 12 e considerando que ∆h representa diferença de cotas entre os centros dos respectivos 
instrumentos: 
 
h
g
pp
H man ∆+
−=
ρ
12
 
 
Para facilitar o levantamento de tal grandeza os instrumentos são instalados na mesma altura (∆h=0) de tal 
forma que a altura manométrica se obtém pela leitura direta da pressão de instrumentos colocados na 
entrada e na saída da bomba. 
 
g
pp
H man ρ
12 −
= 
 
( 22 ) 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-13 
 
Caso I: Entrada do fluido na bomba com pressão menor que a pressão atmosférica. 
 
Conforme a Fig. 6.6 a altura manométrica pode ser obtida pela leitura do vacuômetro e pela leitura do 
manômetro instalados respectivamente na entrada e saída da bomba, mais a diferença de cotas entre os 
centros dos respectivos instrumentos. Os valores medidos nestes instrumentos devem respeitar os sinais 
que indicam a pressão menor que a pressão atmosférica (-) e maior que a pressão atmosférica (+). Desta 
forma para utilizar Ana equações acima, as pressões dos instrumentos são definidas como: 
 
M
V
ppManometro
ppVacuometro
+=
−=
2
1
:
:
 
 
Substituindo na equação: 
 
g
pp
g
pp
g
pp
H VMVMman ρρρ
+
=
−−
=
−
=
)(12
 
 
Para facilitar podemos escrever a expressão acima em termos do valor absoluto: 
 
g
pp
H VMman ρ
+
= 
 
( 23 ) 
 
 
Desta forma a altura manométrica (Hman) do sistema é determinada a partir da soma dos valores absolutos 
medidos pelos instrumentos. 
 
 
Caso II: Entrada do fluido na bomba com pressão maior que a pressão atmosférica 
 
Existem sistemas de bombeamento onde a bomba encontra-se afogada (Fig.6.5) ou pode estar 
pressurizada na aspiração. Neste caso a pressão na tubulação de aspiração pode ser maior que a pressão 
atmosférica. O instrumento instalado na tubulação de poderá ser um manômetro. Desta forma o valor da 
pressão lida pelo instrumento deve der inserida na Eq. como um valor negativo. Assim, Hman representa a 
diferença das duas parcelas de pressão medidas pelos instrumentos. 
 
22
11
:
:
M
M
ppManometro
ppManometro
=
=
 
 
g
pp
g
pp
H MMman ρρ
1212 −
=
−
= 
 
 
g
pp
H MMman ρ
12 −
= 
 
( 24 ) 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-14 
 
6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento 
 
Dependendo da finalidade os sistemas de bombeamento podem apresentar diversas configurações. 
Um sistema típico de bombeamento é apresentado na figura abaixo. Geralmente o conjunto moto-bomba é 
instalado numa casa de máquinas protegido contra intempérie. Para o acionamento da bomba podem ser 
utilizados motores elétricos, motores de combustão interna, acionado por turbinas a gás ou utilizado 
tomadas de força como eixo de tratores. Em geral predomina o uso de acionamento com motores elétricos. 
 
 
Figura 6.9 Componentes de um sistema de bombeamento. 
 
 
Válvula de pé com crivo: 
Tem como finalidade a passagem unidirecional do fluido no sentido ascendente. Quando ocorre 
desligamento do motor esta válvula permite que o corpo da bomba e a tubulação de aspiração permaneçam 
cheia de líquido impedindo seu retorno ao reservatório de aspiração. A válvula mantém assim a bomba 
escorvada. O crivo é o elemento que impede a aspiração de partículas sólidas depositadas no reservatório 
de aspiração. 
 
Redução Excêntrica: 
Utilizada com a finalidade de evitar a formação de bolsas de ar na entrada o que dificultaria o 
funcionamento normal da bomba. 
 
Válvula de Retenção: 
Válvula unidirecional instalada na saída da bomba e antes do registro de recalque. Impede que o peso da 
coluna de recalque seja sustentado pelo corpo da bomba o que pode ocasionar vazamentos. Impede que 
por algum defeito da válvula de pé exista refluxo trabalhando o rotor da bomba como uma turbina, 
podendo provocar danos a bomba. 
 
Registro de Recalque: 
Permite controlar a vazão através do fechamento e abertura do registro. 
 
Tubulação de aspiração: 
Recomenda-se que a tubulação de aspiração seja o mais curta possível e vedada contra entrada de ar. No 
caso de linhas longas deve ser previsto uma declividade contínua da entrada da bomba para o reservatório 
eliminando a formação de pontos com bolsões de ar. Para uniformizar o fluido na entrada da bomba 
recomenda-se quando possível, prever um trecho com comprimento mínimo de 10 diâmetros da boca de 
aspiração da bomba. 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-15 
6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 
 
No capitulo 7 é a apresentado o detalhamento de como determinar a perda de carga das tubulações e dos 
acessórios. A seguir apresenta-se um resumo das principais equações utilizadas no dimensionamento de 
sistemas de bombeamento. 
 
Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) 
velLrLaraman hhhhhH ++++= 
 Conforme caso da Fig. 6.5b 
_________________________________ 
LrLaraman hhhhH +++= 
Conforme caso da Fig. 6.5a 
_________________________________ 
g
vhhhhH rLrLaraman 2
2
++++−= 
Bomba afogada (Fig.6.7) 
 
Hman: Altura manométrica do sistema (m) 
ha: altura estática de aspiração (m) 
hr: altura estática de recalque (m) 
hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) 
hLr: perda de carga na tubulação de recalque (m) 
hvel: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) 
 
Altura equivalente a pressão dinâmica ou perda de carga dinâmica. 
g
vhvel 2
2
= 
v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) 
g: aceleração da gravidade (9,81m/s2) 
 
Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente 
 
g
v
D
LfhLD 2
2
= 
L : comprimento de canalização retilínea. (m) 
f: Fator de atrito da tubulação função da rugosidade e numero de Reynolds 
(Cap.7 pag.7-6) 
 
Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga 
g
vkhLk 2
2
Σ= 
k : coeficiente de perda de carga dos acessórios 
Tabelado segundo tipo de acessórios. (Cap.7 Tab.7.3) 
Obs. Também pode ser utilizado o conceito de comprimento equivalente. 
 
Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): 
LkLDL hhh += hLD: Perda de carga na tubulação de aspiração (m) 
hLk : Perda de carga dos acessórios (m) 
 
Altura estática de elevação 
 
rae hhh += 
 
he : altura estática de elevação (m) 
ha: altura estática de aspiração (m) 
hr: altura estática de recalque (m) 
 
Eq. da Curva característica do sistema 
2
21 QkkH man += k1; k2 : Constantes da curva do sistema. 
 
 
Potência de acionamento da bomba (potência motriz) 
G
man
ac
QgHW
η
ρ=& (W) Hman: altura manométrica (m) Q: vazão (m3/s) 
ηG: rendimento global do sistema 
ρ: massa específica do fluido (kg/m3) 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-16 
 
6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento 
 
A altura manométrica em sistemas de bombeamento conforme Fig.6.6 é dada por: 
 
velLrLaramanhhhhhH ++++= 
 
a qual pode ser escrita de forma simplificada como: 
 
velLrLaeman hhhhH +++= 
 
onde he =ha + hr é denominada altura total de elevação. Numa instalação de bombeamento este termo se 
considera como constante, e aqui denominamos he=k1. 
 
Considerando um sistema no qual o diâmetro da tubulação é igual na aspiração e no recalque: 
 
g
v
g
vk
g
v
D
LfhH eman 222
222
+Σ++= 
 
g
vk
D
LfhH eman 21
2


 +Σ++= 
 
Como se observa a perda de carga é função do quadrado da velocidade, portanto do quadrado da vazão. 
Com tais considerações se obtém: Podemos utilizar substituir a expressão da velocidade em função da 
vazão: 
 
g
A
Q
k
D
LfhH eman 21
2





 +Σ++= 
 
 
2
22
11 Q
gA
k
D
LfhH eman 

 +Σ++= 
 
Desta forma podemos obter uma expressão que representa a curva característica do sistema considerando 
como uma constante k2 a todos os termos que multiplicam o quadrado da vazão. 
 
 
2
21 QkkH man += 
 
Se um sistema de bombeamento trabalha com determinada vazão Q e uma altura manométrica Hman 
podemos determinar as constantes k1 e k2. Para vazão nula Q=0 temos que k1=he. Para a vazão e altura 
manométrica de trabalho determinamos k2 . Desta forma encontra-se a equação característica do sistema, 
que pode ser graficada junto com a curva da bomba selecionada. 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-17 
6.8.1 Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema 
 
Num sistema de 
bombeamento a altura 
estática de elevação é igual 
a 15 metros. Sabemos que a 
bomba trabalha com uma 
vazão de 450 m3/h e uma 
altura manométrica de 45 
metros de coluna de água. 
 
Determine a equação 
característica do sistema e 
grafique a mesma. 
 
 
 
Figura 6.10 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema 
 
 
A equação é dada por: 221 QkkH man += 
 
Do enunciado mhe 15= por tanto mk 151 = 
 
( )23422 12 /1048,1450
1545
hm
m
xQ
kHk man −=−=−= 
 
241048,115)( QxmH man −+= com Q (m3/h) 
 
A figura mostra o resultado da curva que representa o sistema junto com a curva da bomba. 
0
15
30
45
60
75
0 150 300 450 600 750
Vazão (m3/h)
A
ltu
ra
 
M
an
o
m
e
tri
c
a 
(m
)
Hman (Bomba)
Hman(Sistema)
 
 Figura 6.11 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-18 
 
6.8.2 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema 
 
 
Uma bomba possui uma curva característica ajustada pela Eq. 20 AQHH man −= especificamente com 
200111,016 QH man −= onde Hman (m) e Q(m3/h). O sistema possui uma curva característica do tipo 
2
21 QkkH man += , especificamente 2200111,08 QkH man += . Grafique a curva da bomba junto com a 
curva do sistema mostrando o ponto de operação. 
 
Solução: 
 
Curva do sistema 200111,08 QH man += 
 
Curva da Bomba 200111,016 QH man −= 
 
Igualando: 
 
22 0011,0800111,016 QQ +=− se obtém 800222,0 2 =Q hmQ /60
00222,0
8 3
== 
Substituindo a vazão de Q=60m3/h em qualquer das duas expressões (do sistema ou da bomba) se obtém: 
Hman=12m. A figura abaixo mostra o resultado gráfico das equações assim como o ponto de operação. 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Q (m3/h)
H
 
(m
)
Curva do Sistema 
Curva da Bomba
Ponto de operação 
 
Figura 6.12 Resultado do exemplo de curva da bomba e curva do sistema 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-19 
 
6.9 Exemplos Resolvidos 
 
Exemplo 6.1: Num sistema de bombeamento de água (Fig. 7.1) é utilizada uma bomba centrifuga com as 
seguintes características. Diâmetro externo do rotor igual a 380mm; largura da pá na saída igual a 25mm. 
Rotação igual a 1200rpm e ângulo da pá na saída igual a 380. Rendimento hidráulico igual a 80%. 
Considere fluido com entrada radial. O sistema trabalha com uma altura total estática de elevação igual a 
36m e uma altura estática de aspiração igual a 4,0m. A tubulação de aspiração e recalque apresentam 
diâmetro interno de 150mm. A perda de carga na tubulação de aspiração é igual a 1,5m e no recalque igual 
a 7,0m. Determinar ( a ) Altura manometrica do sistema. (b) Altura teórica para número infinito de pás (c) 
A vazão que opera a bomba (d) A velocidade na tubulação (e) A altura total de aspiração e a altura total de 
recalque. (f) A pressão equivalente das alturas totais de aspiração e de recalque. Obs. Considere kpfl=1. 
Dados: 
he=36m ha=4,0m D=0,15m hLa=1,5m hLr=7,0m D2=380mm b2=25mm. 
n=1200rpm. β2=380 ηH=0,8 
Solução: 
(a ) A altura manométrica do sistema: 
 
mcahhhhH LrLaraman 5,440,75,136 =++=+++= 
 
(b) Altura teórica para número finito de pás considerando entrada radial é dada por: 
22
1
ut CUg
H =∞ 
sm
xnDU /88,23
60
120038,0
60
2
2 ===
pipi
 
 
Considerando número infinito de pás: Ht#=Ht00 desta forma o rendimento hidráulico é dado por: 
∞
==
t
man
t
man
h H
H
H
H
#
η 
mca
H
H
h
man
t 63,558,0
5,44
===∞ η
 
 
( c ) Vazão: 222 mCbDQ pi= 
sm
x
U
gHC tu /85,2288,23
63,5581,9
2
2 ===
∞
 
22
2
2tan
u
m
CU
C
−
=β 
 ( ) ( ) smCUC um /8,0)38tan(85,2288,23tan 2222 =−=−= β 
 
smxxxCbDQ m /0239,08,0025,038,0 3222 === pipi 
 
(d) Velocidade na tubulação de aspiração 
 sm
x
D
Q
va /35,115,0
0239,044
22 === pi 
(e) Altura total de aspiração: m
g
vhhH aLaaa 59,5093,05,10,42
2
=++=++= 
 Altura total de recalque mhhH Lrrr 0,390,732 =+=+= 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-20 
 
Exemplo 6.2: Num sistema de bombeamento com bomba afogada o manômetro instalado na saída da 
bomba indica uma pressão de 5,0 kgf/cm2. Na entrada da bomba um instrumento indica uma pressão de 
1,5 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica do sistema. Considere que os instrumentos estão numa 
mesma altura e que a pressão atmosférica é equivalente a 10,33mca. 
 
Solução 
A pressão na saída da bomba é PM1=5,0kgf/cm2. A pressão entrada da bomba é PM1=1,5kgf/cm2 o que 
corresponde a uma pressão maior que a pressão atmosférica (Patm=1,0kgf/cm2). Desta forma a altura 
manométrica pode ser determinada pela diferença das pressões na entrada e saída. 
 
( ) mxxg
pp
H MMman 351550100/1
81,9
81,91000
5,15
2
12
=−=
−
=
−
=
ρ
 
 
Obs: No caso de uma bomba que a pressão na entrada é inferior a pressão atmosférica a leitura deveria ser 
feita com um vacuômetro e a altura manométrica seria dada pela soma do valor absoluto de cada uma das 
pressões medidas. Por mantendo se na entrada o vacuômetro indica -0,5kgf/cm2 então: 
 
( ) mxxg
pp
H VMman 55550100/1
81,9
81,91000
5,05
2 =−=
+
=
+
=
ρ
 
 
Exemplo 6.3: Um sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 1100m3/h. O diâmetro da 
tubulação de aspiração é igual a 400 mm e o da descarga igual a 380mm. Um manômetro situado a 0,70m 
acima do eixo da bomba indica uma pressão de 2,2kgf/cm2 e o vacuômetro instalado 0,25m abaixo do eixo 
da bombaindica uma pressão de 0,30 kgf/cm2. Determinar a altura manométrica e a altura útil em m.c.a. 
Se o rendimento global for igual a 68% determinar a potência de acionamento da bomba. 
 
Solução: 
h
g
pp
H VMman ∆+
+
=
ρ
 
 
Neste caso ∆h =0,7 + 0,25=0,95m. PM =2,2kgf/cm2 ou PM /γ=22mca. PV=0,30 kgf/cm2 ou PV /γ=3,0mca 
mcah
g
pp
H VMman 95,2595,00,322 =++=∆+
+
=
ρ
 
 
Por definição a altura útil é dada como: 
g
vv
HH manu 2
2
0
2
3 −+= que pode ser aproximada por 
g
vv
HH armanu 2
22 −
+= 
onde v3=vr velocidade da tubulação de recalque. v0=va velocidade da tubulação de aspiração. 
 
( ) smx
x
D
Q
v
a
a /43,240,0
306,044
22 ===
pipi
 ( ) smx
x
D
Q
v
r
r /7,238,0
306,044
22 ===
pipi
 
 
mca
gg
vv
HH armanu 01,26068,095,252
44,27,295,25
2
2222
=+=
−
+=
−
+= 
 
kWxxxQgHW
g
man
ac 11568,0
306,095,2581,91000
===
η
ρ
&
 
 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-21 
 
 Exemplo 6.4: A Fig. mostra o sistema empregado no teste de uma bomba centrifuga com rotação nominal 
de 1750 rpm. O líquido é água a 80oF, os diâmetros dos tubos de aspiração e descarga são de 6 polegadas. 
Os dados medidos durante um teste são apresentados no quadro. O motor é de 460V trifásico, com fator de 
potência de 0,875 e rendimento igual a 90%. Determinar a altura manometrica e o rendimento de uma 
bomba para uma vazão de 1000 gpm. A distancia do centro da bomba ao centro do vacuômetro é igual a 
1,0 pé e a distância do centro da bomba ao centro do manômetro é igual a 3,0 pé. 
 
Graficar a altura manometrica, rendimento e potência da bomba. 
 
 
 
Figura 6.13– Esquema de sistema de bombeamento. 
 
 
Vazão 
(gpm) 
Pressão Aspiração 
(psig) 
Pressão na descarga 
(psig) 
Corrente do Motor 
(A) 
Rotação da bomba 
(rpm) 
0 -3,7 53,3 18 1750 
500 -4,2 48,3 26,2 1745 
800 -4,7 42,3 31,0 1749 
1000 -5,7 34,3 36,0 1750 
1100 -6,2 31,3 37,0 1747 
1200 -6,7 27,3 37,3 1752 
1400 -7,7 15,3 39,0 1750 
1500 -8,4 7,3 41,5 1753 
 Conversões: (1 Galão = 3,785 litros) (1 Atm=101,32 kPa = 14,7 psi. ) 
 
 
Solução: A modo de exemplo resolvemos o problema para uma vazão de 1000 gpm. O mesmo processo 
pode ser repetido para as outras vazões. 
 
Q=1000gpm=1000x3,785=3785 l/min=0,0631m3/s (227,1 m3/h) 
 
Da figura temos que: ∆h= zM – zV =3 - 1= 2pé ou ∆h= 0254,0120,2 xx =0,61m 
 
A massa específica da água a 800F é igual a 62,47lbf/ft3 ou ρ≅1000kg/m3 
 
A altura manométrica pode ser determinada pela leitura direta do manômetro e do vacuômetro mais a 
diferença de alturas entre os centros dos instrumentos. 
 
h
g
pp
H VMman ∆+
+
=
ρ
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-22 
 
 
 ( )
m
x
x
H man 71,2861,010,2861,07,14
100032,101
81,91000
7,53,34 =+=+

+= 
 
Determinado a potência útil: 
 
WattsxxxQgHW manu 61,177650631,07,2881,91000 === ρ& ou kWWu 77,17=& 
 
A potência fornecida pelo motor dado por: 
 
WattsxxxVIFW pac 67,225870,36460875,039,03 ===η ou kWWac 59,22= 
 
Rendimento global da bomba poderá ser determinado pela expressão: 
 
g
man
ac
QgHW
η
ρ
=& 
ac
man
g W
QgH
&
ρη = %65,78100
100059,22
)3600/1,227(71,2881,91000 == x
x
xxx
gη 
 
Para graficar altura manométrica, potência e rendimento da bomba em função da vazão, podemos 
inicialmente elaborar uma planilha no Excel com o seguinte formato: A Fig.6.11mostra o resultado 
gráfico. 
 
Q 
 
(m3/h) 
pvac 
 
(kPa) 
pman 
 
(kPa) 
∆h 
 
(m) 
Hman 
 
(m) 
uW& 
 (kW) 
I 
 
(A) 
V 
(volts) acW
&
 
(kW) 
ηmotor 
(%) 
ηg 
(%) 
 
 18 460 90 
 26,2 460 90 
 31,0 460 90 
227,1 -39,28 236,37 0,61 28,71 17,77 36,0 460 22,59 90 78,65 
 37,0 460 90 
 37,3 460 90 
 39,0 460 90 
 41,5 460 90 
 
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
Vazão (m3/h)
H
m
a
n
 
(m
) -
 
Po
tê
n
c
ia
 
(kW
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R
e
n
di
m
e
n
to
 
(%
)
 
Figura 6.14 Resultados das curvas características da bomba. 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-23 
 
Exemplo 6.5: Uma bomba centrífuga trabalha em uma instalação onde as alturas estáticas de aspiração e 
recalque são respectivamente 2 e 41m. A tubulações apresentam uma perda de carga dada pela equações: 
hLa = 0,10 Q2; hLr = 0,70 Q2 onde h [mca] e Q[l / s]. O manômetro indica uma pressão de 47 mca 
enquanto o vacuômetro indica 3 mca, estando os dois instrumentos no mesmo nível. Desprezando a 
variação de energia cinética do fluido determine a vazão e potência da bomba para um rendimento global 
de 75 %. 
 
Solução: 
Dados: Hvac= 3,0 mca Hman= 47mca ha = 2 m hr = 41 η = 75% hLa= 0,10 Q2 hLr = 0,70 Q2 
Vazão. 
mcahHHH vacman 500347 =++=∆++= 
s
lQQQhhhhH LrLara 96.27,01,0412 22 =⇒+++=+++= 
Potência de eixo. 
kW 95,1
100075,0
50)1000/96,2(81,91000
===
x
xxxQgHW
g
man
ac η
ρ
&
 
 
Exemplo 6: Considerando escoamento com entrada radial, a altura manométrica de uma bomba pode ser 
dada como: 
g
Ck
g
CuUH
2
2
222
−= µ 
onde o termo -k( ) representa a fração da energia dissipada no interior da bomba. Demonstre que a partir 
da expressão anterior que altura manométrica para uma bomba com uma vazão Q e rotação n, pode ser 
representada pela equação: 
22 CQBnQAnH ++= 
 
Solução: 
an
nDU ==
60
2
2
pi
 bQ
bD
QCm ==
22
2
pi
 cQanCUC mu −=−=
2
2
22 tan β 
 
( )( ) ( ) ( )[ ]
g
cQanank
g
cQananH
2
22 −+−−= µ 
 ( ) ( ) ( )[ ]
g
cQacnQanank
g
acnQanH
2
2222 +−+−−= µ 
 
( )
g
cQk
g
kacnQ
g
ank
g
acnQ
g
anH
222
2 222 −+−−= µµ 
 ( ) ( ) ( )22
2
5.0
cQ
g
k
acnQ
g
k
an
g
kH −−−−= µµ 
 
que finalmente pode ser representada como: 
 
22 CQBnQAnH ++= 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-24 
 
6.10 Atividade de Aprendizado 
 
No sistema de bombeamento de água (300C) mostrado na figura a bomba deve trabalhar com uma vazão 
de 100 m3/h. A tubulação é PVC. A altura estática de aspiração é igual a 4,0m e altura estática de recalque igual a 
25m. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a 12m e a tubulação de recalque igual a 50m. Na tubulação 
de aspiração se utiliza uma válvula de pé com crivo e uma curva de 900. No recalque se utiliza uma válvula de 
retenção, um registro de gaveta aberto e 02 curvas de 900. 
 
Determinar: 
• Os diâmetros comerciais das tubulações. 
• A altura manométrica do sistema. 
• Potência de acionamento. (calculada e fornecida pelo fabricante). 
• A equação da curva característica do sistema. 
• Selecione uma bomba comercial para o sistema. 
• Graficar a curva da bomba comercial selecionada junto com a curva do sistema. 
• O NPSH disponível pelo sistema. 
• O NPSH requerido pela bomba. (calculado e fornecido pelo fabricante) 
• A altura de aspiração limitepara não ocorrer cavitação. 
 
 
OBS: Montar a planilha de calculo no Excel para dimensionar sistemas de bombeamento, utilizando como referencia 
este problema. Completar a planilha para ficar mais genérica utilizando outros fluidos e reservatórios abertos e 
fechados. 
 
Utilize a folha modelo para realizar o trabalho. 
• Tabela 1: Dados iniciais 
• Tabela 2: Perda de carga do sistema 
• Tabela 3: Potência de acionamento 
• Tabela 4: Curva característica do sistema 
• Tabela 5: Verificação da cavitação. 
• Tabela 6: Relação de acessórios. 
• Tabela 7: Formulário com Equações Básicas. 
 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 6-25 
6.11 Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 
 
Tabela 1: Dados Iniciais 
 Valores 
Vazão Q m3/s 
Altura estática de aspiração ha m 
Altura estática de recalque hr m 
Comprimento da tubulação de aspiração La m 
Comprimento da tubulação de recalque Lr m 
Material da tubulação 
 Tabela 8.1 
Rugosidade ε mm 
Fluido 
 Tabelas ou Eqs. 
Temperatura T oC 
Massa especifica ρ kg/m3 
Viscosidade cinemática (µ /ρ) ν m2/s 
 
Tabela 2: Perda de Carga Aspiração Recalque 
Diâmetro da tubulação – Eq. Bresse 
(Cal: Calculada e Com: Comercial) 
Da Dcal:_____ 
Dcom: 
Dr Dcal:_____ 
Dcom: 
mm 
Velocidade da tubulação Va Vr m/s 
No de Reynolds da tubulação Ra Rr - 
Rugosidade relativa ε/Da ε/Dr - 
Fator de atrito – Eq. Explicita fa fr - 
Perda de carga da tubulação hLDa hLDr m 
Perda de carga dos acessórios hLka hLkr m 
Perda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa hLr m 
Perda de carga total (Aspiração + Recalque) hL= m 
 
Tabela 3: Potência de acionamento 
Altura total de elevação he m 
Altura manométrica Hman m 
Vazão Q m3/s 
Rendimento global estimado ηG % 
Potência de acionamento W kW 
 
Tabela 4: Curva Característica do Sistema 
Altura total de elevação he m 
Altura manométrica Hman m 
Vazão Q m3/h 
Constante k1=he k1 m 
Constante k2= (Hman - k1)/Q2 k2 
Equação da Altura Manométrica Hman= k1 + k2Q2 
 
Tabela 5: Verificação da Cavitação ( OK se NPSH Disp > NPSH Req) 
NPSH disponível pelo sistema NPSHDisp. m 
NPSH requerido pela bomba NPSH
 req m 
Altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação. haLim m 
 
Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab. 8.3) 
Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade 
Aspiração 
Total 
Aspiração 
Quantidade 
Recalque 
Total 
Recalque 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Total ΣKa= ΣKr = 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 6-26 
 
6.12 Exemplo de Resultados 
 
Tabela 1: Dados Iniciais 
 Valores Unidades 
Vazão Q 0,045 m3/s 
Altura estática de aspiração ha 2,0 m 
Altura estática de recalque hr 28 m 
Comprimento da tubulação de aspiração La 15 m 
Comprimento da tubulação de recalque Lr 3000 m 
Material da tubulação Ferro fundido novo 
Rugosidade ε 0,16 mm 
Fluido Água 
Temperatura T 20 oC 
Massa especifica ρ 998,15 kg/m3 
Viscosidade dinâmica ν 1,008x10-6 m2/s 
 
Tabela 2: Cálculos Perda de Carga Aspiração Recalque 
Diâmetro da tubulação Da 223mm 
250mm 
Dr 223mm 
200mm 
Velocidade da tubulação Va 0,917 m/s Vr 1,43 m/s 
No de Reynolds da tubulação Ra 2,29x105 Rr 2,86x105 
Rugosidade relativa ε/Da 0,00064 ε/Dr 0,008 
Fator de atrito fa 0,01969 fr 0,02030 
Perda de carga por comprimento de tubulação hLDa 0,05 hLDr 31,85 
Perda de carga dos acessórios hLka 0,12 hLkr 0,37 
Perda de carga (Tubulação + Acessórios) hLa 0,17 hLr 32,22 
Perda de carga total (Aspiração + Recalque) hL =32,39m 
 
Tabela 3: Cálculo da Potência de acionamento 
 
 
 
Altura total de elevação he 30 m 
Altura manométrica Hman 62,39 m 
Vazão Q 0,045 m3/s 
Rendimento global estimado ηG 63,97 % 
Potência de acionamento W 42,97 kW 
 
Tabela 4: Curva Característica do Sistema 
 
 
 
Altura total de elevação he 30 m 
Altura manométrica Hman 62,39 m 
Vazão Q 162 m3/h 
Constante k1=he k1 30 m 
Constante k2= (Hman - k1)/Q2 k2 0,01234 
Equação da Altura Manométrica Hman= 30 + 0,001234Q2 
 
Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab.8.3) 
Item Elemento (acessórios) Coeficiente k Quantidade 
Aspiração 
Total 
Aspiração 
Quantidade 
Recalque 
Total 
Recalque 
1 Válvula de pé 1,75 1 1,75 1,75 0 
2 Crivo 0,75 1 0,75 0,75 0 
3 Curva de 900 0,40 1 0,4 0,4 0,8 
4 Válvula de retenção 2,50 0 0 0 2,5 
5 Registro de gaveta 0,20 0 0 0 0,20 
 
Total ΣKa=2,9 ΣKr =3,5 
 
 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPeerrddaa ddee CCaarrggaa eemm SSiisstteemmaass ddee BBoommbbeeaammeennttoo 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES......................................................................... 3 
7.2 PERDA DE CARGA TOTAL ....................................................................................................................... 3 
7.3 PERDA DE POR TUBULAÇÕES ................................................................................................................. 4 
7.4 DIAGRAMA DE MOODY ........................................................................................................................... 5 
7.5 MÉTODO PARA DETERMINAR A PERDA DE CARGA SECUNDARIA ............................................................... 8 
7.5.1 Método do comprimento equivalente ................................................................................................ 8 
7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga......................................................................................... 9 
7.6 PERDA DE CARGA NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO........................................................................... 10 
7.7 RESUMO DAS PRINCIPIAS EQUAÇÕES NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO .............................................. 11 
7.8 VELOCIDADES TÍPICAS NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO ................................................................... 12 
7.9 EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS DE BOMBEAMENTO. .................................................................. 13 
7.10 DIMENSIONAMENTO DE SISTEMA DE BOMBEAMENTO............................................................................. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
SUMÁRIO 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-3 
 
7.1 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 
 
A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito e pode ser 
determinada aplicando a Eq. da Energia: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
phz
g
u
g
p
L ++=−++ ρρ
 
 
 
 
Desta forma: 
 
),,( LhVZfP →∆ 
 
� O atrito origina uma diminuição da pressão. 
� Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito. 
 
 
Figura 7.1Perda de carga em sistema de bombeamento 
 
 
7.2 Perda de Carga Total 
 
A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas. 
 
 
LKLDL hhh += 
 
 
 
Perda de Carga pelos Dutos ou Tubulações: (hLD) 
� Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante. 
 
Perda de Carga por Acessórios - (hLK) 
� Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema 
de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. 
� A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária. 
 
Obs: A nomenclatura de hL para perda de carga é usualmente utilizada nos textos de mecânica dos fluidos. 
Nos textos de máquinas de fluxo, a perda de carga é denominada por J. Por exemplo, a perda de carga nas 
tubulações é designada por JL e perda de carga nos acessórios por Jacc,. 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-4 
7.3 Perda de por Tubulações 
 
Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamento 
plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante 
A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2 . No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2). Assim a 
equação da energia é reduzida para: 
 ( )
g
P
g
pphLD ρρ
∆=−= 21 
 
Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento 
 
� No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda 
de pressão. 
� Utiliza-se análise dimensional e correlações de dados experimentais. 
 
Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das 
seguintes variáveis: 
 
),,,,,( µρεφ VLDP =∆ 
 
Mostra-se que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D. 
 


=
DD
L
g
V
hL εφ Re,
2
2 
 
A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito. 
 


=
D
f εφ Re, 
 
Onde Re é o número de Reynolds e e/D a rugosidade relativa. 
 
Número de Reynolds 
Re = VD
ν
 
 
V: velocidade média do fluido (m/s) 
D: diâmetro interno da tubulação (m) 
ν: viscosidade cinemática do fluido (m2/s) 
Tipos de regimes de escoamento: Re < 2000 Laminar Re > 4000 Turbulento 
 
 
desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do 
fluido escoando. 
 
g
V
D
LfhLD 2
2
= Equação de Darcy-Weisbach. 
 
O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody. 
 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-5 
7.4 Diagrama de Moody 
 
7.4.1 Rugosidade Absoluta e Rugosidade Relativa 
 
Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de 
Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e 
do seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A 
Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais 
utilizadas para o escoamento de fluidos. 
 
 
 
Figura 7.2 Representação da rugosidade absoluta em tubulações 
 
 
Tabela 7.1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais 
Material Rugosidade absoluta 
 ε (mm) 
Aço, revestimento asfalto quente. 0,3 a 0,9 
Aço, revestimento esmalte centrifugado. 0,011 a 0,06 
Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 
Aço enferrujado 0,4 a 0,6 
Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 
Ferro galvanizado novo, com costura. 0,15 a 0,2 
Ferro galvanizado novo, sem costura. 0,06 a 0,15 
Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 
Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 
PVC e Cobre 0,015 
Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 
Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-6 
 
 
7.4.2 Descrição do Diagrama de Moody 
 
O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2300), uma zona crítica (Re de 2300 e 4000) uma 
zona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes 
dependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são 
resumidas a seguir: 
 
 
1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao 
número de Re 
2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos. 
3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa 
ε/D diminui. 
4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao 
aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa. 
5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se 
mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 
6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região 
plenamente turbulenta começa a aumentar 
 
 
 
 
Figura 7.3 Representação do Diagrama de Moody 
 
Podemos utilizar o site http://www.lmnoeng.com/moody.htm para determinar a perda de carga em 
tubulações ou o site http://grumpy.aero.ufl.edu/gasdynamics/colebrook.html. Também podemos utilizar o 
aplicativo hidrotec disponível no site http://planeta.terra.com.br/servicos/hidrotec 
 
 
 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-7 
 
I - Escoamento Laminar 
 
O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação 
g
V
D
LfhLD 2
2
= com a equação da perda de carga laminar 
g
V
D
Lh DL 2Re
64 2
= se obtém: 
Re
64
=f Válido para Re < 2300 
 
� No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. 
� Independe da rugosidade da tubulação. 
 
II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos 
 
Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams 
( ) 4/1Re
316,0
=f Eq. de Blasius 4000 < Re < 105 
 
32,0Re5,00056,0 −+=f Eq. de Drew Koo e McAdams 105 < Re < 3x106 
 
III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos 
 
 
Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento: 
 



 +−= f
D
f Re
51,2
7,3
/log0,21 ε Equação de Colebrook 5,0x103 < Re < 1x108 
 
Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. 
Uma alternativa é utilizar uma equação explícita: 
 
2
9,0Re
74,5
7,3
/log25,0
−


 

 += Df ε Equação Explícita 5,0x103 < Re < 1x108 
 
Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos 
com a Eq. de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1,0x10-6 (0,000001) 
 
IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos 
 
O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação: 
 


−=
7,3
/log21 Df
ε
 Equação de Von Karman 
 
 
 
Sistemasde Bombeamento 
 PUCRS 7-8 
7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 
7.5.1 Método do comprimento equivalente 
Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais 
como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é 
avaliada pela perda de carga (hac) definida como: 
 
g
V
D
Lfh eqLk 2
2
= (m) 
 
O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, 
o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação 
retilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos 
originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional 
(Leq/D) de diversos acessórios. 
 
 
Figura 7.4 Representação do comprimento equivalente em acessórios 
 
Tabela 7. 2 Perda de carga localizada 
Tipo de Acessório Comprimento Equivalente 
 (Leq/D) 
Válvula de globo aberta 340 
Válvula de gaveta aberta 8 
 3/4 aberta 35 
 1/2 aberta 160 
 1/4 aberta 900 
Válvula tipo borboleta aberta 45 
Válvula de esfera aberta 3 
Válvula de retenção tipo globo 600 
Válvula de retenção tipo em ângulo 55 
Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 
Cotovelo padronizado 900 30 
Cotovelo padronizado 450 16 
Te padronizada fluxo direto 20 
Te padronizada fluxo ramal 60 
 
 
Válvula globo 
 
 
Válvulas tipo borboleta Te com flanges 
Figura 7.5 acessórios utilizados em instalações industriais 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-9 
7.5.2 Método do coeficiente de perda de carga 
 
Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma: 
 
g
VkhLK 2
2
= (m) 
 
Onde k é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior 
quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, 
aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos 
elementos. 
 
Tabela 7. 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios 
Tipo de Acessório k Tipo de Acessório k 
Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 
Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 
Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 
Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0 
Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 
Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 
Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 
Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 
Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 
Existência de pequena derivação 0,03 
 
Velocidade 1,0 
* com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização 
 
 
Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém: 
 
D
Lfk eq= 
 
mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (k) e o comprimento equivalente (Leq). 
 
 
 
 
 
 
 
Curva de 900 
 
 
 
 
Joelho de 900 Registro de gaveta 
 
 
 
Válvula de pé com crivo 
Figura 7.6 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais 
 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-10 
7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento 
 
 
Para determinar a energia útil transferida do rotor ao fluido deve-se determinar total as alturas físicas de 
aspiração e de recalque assim como todos os comprimentos das tubulações e todos os acessórios existentes 
na tubulação. Basicamente um sistema de bombeamento fica especificado quando determina-se a altura 
manométrica e a vazão do sistema. A vazão é uma informação especifica do projeto. As velocidades nas 
tubulações de aspiração e recalque podem ser determinadas a partir de recomendações e posteriormente 
determinar o diâmetro das tubulações. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da 
tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). Sistemas com velocidades 
muito baixas requerem de tubulações com diâmetros maiores e, portanto, eleva-se o custo do sistema. 
Sistemas com velocidades muito altas envolvem diâmetros menores, contudo, apresentam grandes perdas de 
carga e, portanto, aumenta o custo da potência de acionamento do sistema. Recomendam-se velocidades 
inferiores na tubulação de aspiração para evitar problemas de altas perdas de carga o qual pode trazer 
problemas de cavitação. Para auxiliar em projetos podem ser utilizadas expressões ou tabelas que apresentam 
faixas de velocidades recomendadas segundo o tipo de fluido. 
 
 
 
 
 
Figura 7.7 Esquema de sistemas de bombeamento. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-11 
7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 
 
Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) 
 
 
velLrLaraman hhhhhH ++++= 
 
Obs: Conforme Figura 7.7 
Hman: Altura manométrica do sistema (m) 
ha: altura estática de aspiração (m) 
hr: altura estática de recalque (m) 
hLa: perda de carga na tubulação de aspiração (m) 
hLr: perda de carga na tubulação de recalque (m) 
hveloc: perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) 
 
Perda de Carga nas Tubulações: 
 
g
v
D
LfhLD 2
2
= 
f: coeficiente de atrito ou fator de atrito 
L: comprimento da tubulação (m) 
v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) 
D: diâmetro interno da tubulação (m) 
g: aceleração da gravidade (9,81m/s2) 
 
Perda de Carga nos Acessórios – método do comprimento equivalente 
 
g
v
D
Lfh eqLk 2
2
= 
Leq : comprimento equivalente em metros de canalização retilínea. (m) 
Tabelado segundo tipo de acessórios, material e diâmetro da tubulação. 
 
 
Perda de Carga nos Acessórios – método do coeficiente de perda de carga 
 
g
vkhLk 2
2
Σ= 
k : coeficiente de perda de carga dos acessórios 
Tabelado segundo tipo de acessórios. 
 
 
Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): 
LkLDL hhh += 
 
 
 
Potência de acionamento da bomba (potência motriz) 
G
man
ac
QgHW
η
ρ
=& (W) ρ: massa específica do fluido (kg/m
3) 
Hman: altura manométrica (m) 
Q: vazão (m3/s) 
ηG: rendimento global do sistema (motor-bomba: 50% a 75%) 
 
Rendimento Global (%) - (Eq. aproximada) 
2282523253 10346,810028,310802,510514,11046,59367,080 HQxQHxHxHQxQHxHG −−−−− +−+−+−=η 
 
Q: (m3/h ); Hman: (m) Validade: 20 (m3/h ) < Q < 250 (m3/h ) 15 (m) < H < 100 (m) 
 
 
Tabela 7.5 Acréscimo de segurança da potência do motor 
Potência (kW) Potência (kW) Margem de segurança 
Até 2 Até 1,5 50% 
de 2 a 5 de 1,5 a 3,7 30% 
de 5 a 10 de 3,7 a 7,4 20% 
de 10 a 20 de 7,4 a 15 15% 
Acima de 20 Acima de 15 10% 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-12 
7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 
 
 Na literatura encontramos diferentes recomendações para as velocidades a serem adotadas em 
sistemas de bombeamento. Reproduzimos aqui algumas que podemser adotadas como critério de 
dimensionamento preliminar, as quais podem ser modificadas segundo o tipo de fluido e instalações 
específicas. 
 
Velocidades econômicas em geral : vasp < 1,5m/s (máximo: vasp = 2,0m/s) 
 vrecal < 2,5m/s (máximo vrecal = 3,0m/s). 
 
7.7.1 Velocidades na Tubulação de aspiração 
• Quando o fluxo provém de um poço de sucção em regime uniforme: v ≤ 1,5m/s 
• Quando o fluxo provém de uma tubulação geral v ≤ 0,9m/s 
• Velocidade mínima a ser adotada em qualquer situação nas tubulações de aspiração v=0,6m/s. 
 Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) 
 
7.7.2 Velocidades na Tubulação de Recalque em Função de Diâmetros 
• Recomenda-se para D < 300mm v (entre 1,0m/s e .2,65m/s ) 
• Para D > 300mm recomenda-se vmax =3,0m/s (Macintyre) 
 Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) 
 
7.7.3 Fórmula de Bresse: 
• Para tubulações em sistemas de pequeno porte fluxo contínuo (24h/dia): 
D k Q= (m) 
 
D : diâmetro da tubulação (m) 
k : coeficiente que varia entre 0,9 a 1,2 
Q : vazão (m3/s ) 
 
• Para tubulações em sistemas com regime operacional intermitente: 
 
D X Q=1 3 1 4, / (m) 
 
 
horas
diaporoperacaodehrsX
24
 
= 
 
Q : vazão (m3/s) 
 Fonte: Equipamentos Industriais de Processo (Macintyre) 
Obs: Com a equação de Bresse pode ser determinado um diâmetro D. O diâmetro comercial imediatamente 
superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (Da) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (Dr). 
 
6.6.4 Velocidades Típicas (regime turbulento) 
 
As seguintes relações podem ser utilizadas como referências. 
Líquidos 
 
V D= 5 214 0 304, , (m/s) 
 
D: diâmetro interno da tubulação (m) 
Velocidades Limites 
Líquidos limpos não corrosivos 
 
vmax =
36 886
1 3
,
/ρ
 (m/s) 
ρ: massa específica (kg/m3) 
 
Obs: utilizar a metade do valor para fluidos corrosivos 
e/ou erosivos. 
 Fonte: Operações com Fluidos (Gomide) 
 
 
 
 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-13 
7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. 
 
Exemplo 7.1 Numa propriedade agrícola se requer 
uma estação de irrigação captando 40 litros/s de água 
de um canal. A figura ao lado representa o esquema 
da instalação de bombeamento a ser utilizada. 
Considere que a água 200C. Os diâmetros internos da 
tubulação de aspiração e de recalque são iguais a 
175mm. Utilize uma tubulação de pvc com 
rugosidade absoluta igual a 0,015mm. Determinar a 
altura manométrica e potência de acionamento da 
bomba considerando um rendimento global de 75%. 
 
Dados: 
Aspiração: 01 válvula de pé: Leq =43,4m 01 curva de 900 Leq =2,1m 
Descarga: 01 curva de 900 : Leq =2,1m 1 válvula de retenção Leq =13,9m 
Solução: 
Para água a 200C: Viscosidade cinemática á igual a: ν=1,127x10-6m2/s. Massa específica: ρ=1000 kg/m3 
Vazão: Q=40 l/s (0,040 m3/s). Pela Eq. da continuidade achamos: Velocidade na tubulação: V=1,65m/s 
 
Somando os comprimentos da tubulação (160m) mais o comprimento equivalente dos acessórios (61,5m) 
determinado o comprimento total: Ltotal = 160 + 61,5=221,5m (Aprox. 222m.) A altura manométrica é dada 
por: 
 
LrLaraman hhhhH +++= como a tubulação é do mesmo diâmetro Lraman hhhH ++= 
 
Altura estática de aspiração: ha=3,0m; Altura estática de recalque: hr= 14,0m. 
 
 
)1056,2( 256211
10127,1
175,065,1Re 56 xx
xVD
===
−ν
 (Escoamento em regime turbulento). 
 
0153,0
256211
10
175
015,0000.2010055,0
Re
10000.2010055,0
3/163/16
≅






 ++=






 ++=
D
f ε 
 
Neste exemplo, a tubulação de aspiração e recalque tem o mesmo diâmetro. Desta forma a perda de carga 
total da instalação é dada como: 
 
( )
m
x
x
g
v
D
LLfhhh eqLkLDL 94,281,92
65,1
16,0
5,611600153,0
2
)( 22
=
+
=
+
=+= 
 
mhhhH Lraman 94,1994,2143 =++=++= 
 
 
10,43kW 61,10432
75,0
04,094,1981,91000
ouWxxxQgHW
G
man
ac === η
ρ
&
 
 
 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-14 
Exemplo 7.2 
 
Uma bomba de um catálogo do fabricante opera a 1750rpm e apresenta uma curva característica H-Q como 
mostrado na figura abaixo. Grafique a curva da bomba para uma rotação de 2000rpm. Um sistema deve 
bombear água através de uma tubulação de 150mm de diâmetro com 460m de comprimento. Considere o 
coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,025. A altura estática de elevação é igual a 12m considerando 
nulas todas as perdas dos acessórios. Determinar e a equação característica do sistema. Graficar a curva 
característica do sistema (com pelo menos 09 pontos) mostrando as condições de operação [H(m),Q(m3/h)] 
na interseção com a curva de bomba quando trabalha com 1750rpm. 
 
D=150mm L=460m f=0,025 he=12m 
g
Q
D
Lf
g
D
Q
D
Lf
g
v
D
LfhL 2
16
2
4
2
2
52
2
22
pi
pi =



== 
 
22
5
2
5 1251315,0
460025,00826,00826,0 QQxQ
D
LfhL === 
 
 
A equação da curva característica da bomba é dada por: 
 
21251312 QhhH Le +=+= 
 
Curva Característica do Sistema: 
Q (m3/h) 0 40 60 80 100 120 140 
Q (m3/s) 0 0,011 0,01667 0,0222 0,0277 0,0333 0,0388 
H (m) 12 13,55 15,5 18,2 21,67 25,9 31,0 
 
Curva Característica da Bomba - 1750rpm 
Q (m3/s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 
H (m) 26,7 26,5 26,2 25,8 24,4 23 21,6 19 17 
 
Curva Característica da Bomba - 2000rpm 
Q (m3/s) 0 22,86 45,72 68,6 91,40 114 137,2 160,0 182,8 
H (m) 34,9 34,6 34,2 33,7 31,87 30 28,2 24,8 22,2 
 
11
1
2
12 143,11750
2000 QxQ
n
nQQ === 1
2
1
2
1
2
12 306,11750
2000 HxH
n
n
HH =

=


= 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 50 100 150 200
 
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
 
 
Resposta: Condições de operação do sistema Aprox.: Q=105 m3/h e H=23m 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-15 
7.10 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 
 
Fonte: (Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre) 
 
Determinar a altura manométrica, potência com os seguintes dados. Utilize o catálogo de uma bomba 
comercial para graficar a curva característica do sistema junto com a curva característica da bomba 
mostrando o ponto de funcionamento. 
 
Vazão: Q=5l/s 
Altura estática de aspiração ha=2,60m Tubulação: Ferro galvanizado novo sem costura 
Comprimento da tubulação de aspiração: 
La=5,4m 
Fluido: água fria a 150C 
Altura estática de recalque: hr=42,50m Rendimento global estimado: 50% 
Comprimento da tubulação de recalque Lr=60m 
 
 
 
 
Aspiração 
Elemento Quantidade 
Válvula de pé com crivo 01 
Cotovelo 900 raio médio 01 
Registro de gaveta 02 
Tê com saída lateral 02 
Recalque 
Elemento Quantidade 
Registro de gaveta 01 
Válvula de retenção (tipo 
pesada) 
01 
Tê de saída lateral 01 
Cotovelo 450 01 
Cotovelo de 900 raio médio 07 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-16 
SoluçãoPara determinar a altura manométrica devemos conhecer as perdas de carga da instalação, já que as alturas 
estáticas de aspiração e recalque são dadas no problema. 
 
velLrLaraman hhhhhH ++++= 
 
1. Diâmetros e velocidades das tubulações 
 
1.1 Tubulação de aspiração: 
com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Da=75mm e va=1,30m/s (diâmetro comercial) 
• Utilizando a Eq. Bresse para fluxo continuo com k=1,05 se obtém: D=74mm (superior 75mm) 
 
1.2 Tubulação de recalque: 
com Q=5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: Dr= 63mm e vr=1,45m/s (diâmetro comercial) 
• Utilizando a Eq. Bresse com k=1,05 se obtém D=74mm (D inferior comercial: 63mm) 
 
2. Comprimento equivalente dos acessórios 
 
Considerando as tubulações de ferro fundido, podemos obter a perda de carga dos acessórios (para ferro 
fundido e aço) com seus os respectivos diâmetros das tubulações (aspiração e descarga). 
 
2.1 Tubulação de aspiração: 
Diâmetro: 75mm (3”) 
Velocidade: 1,3m/s 
Item Elemento Quantidade Comprimento 
Equivalente 
unitário 
Comprimento 
Equivalente 
total 
1 Válvula de pé com crivo 01 20,0 20,00 
2 Cotovelo 900 raio médio. 01 2,10 2,10 
3 Registro de gaveta 02 0,50 1,00 
4 Te - com saída lateral 02 5,20 10,40 
 Total 33,50 
 
Tubulação de aspiração: LTa=La + Leqa= 5,4 + 33,50 = 38,9mca 
 
2.2 Tubulação de recalque 
Diâmetro: 63 mm (21/2”) 
Velocidade: 1,45m/s 
Item Elemento Quantidade Comprimento 
Equivalente 
unitário 
Comprimento 
Equivalente 
total 
1 Registro de gaveta (21/2”) 01 0,4 0,4 
2 Válvula de retenção (tipo pesada) 01 8,1 8,1 
3 Te - saída lateral 01 4,3 4,3 
4 Cotovelo 450 01 0,9 0,9 
5 Cotovelo de 900 raio médio 07 1,7 11,9 
 Total 25,60 
 
Tubulação de recalque : LTr=Lrealr + Leqr= 60,0 + 25,6 = 85,6mca. 
 
 
Para água fria a 150C, em tabela: encontramos ν=1,127x10-6 (m2/s). 
Rugosidade Absoluta da tubulação 
Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 
 
Jorge A. Villar Alé 7-17 
Considerando ferro galvanizado novo sem costura obtemos em tabela o valor da rugosidade absoluta igual a 
ε =0,10mm. (valor médio) 
 
4. Perda de Carga na Tubulação de aspiração 
 
Número de Reynolds da aspiração: Da=75mm va=1,30m/s ν=1,127x10-6 (m2/s) 
 
Re , ,
,
. ,a
a av D x
x
x= = = ≈
−ν
1 30 0 075
1127 10
86513 8 7 106
4
 
 
Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: 
 
A rugosidade relativa ε/Da= 0,10/75=0,001334 
 
( )f
D
= + +







 = + +









 =0 0055 1 20 000
10 0 0055 1 20 000 0 001334 10
86513
0 024
6 1 3 6 1 3
, .
Re
, . , ,
/ /
ε
 
 
( )
m
xg
v
D
LfhLDa 076,181,92
3,1
075,0
90,38024,0
2
22
=== 
 
5. Perda de Carga na Tubulação de Descarga 
 
Da=63mm va=1,45m/s ν=1,127x10-6 m2/s 
 
 
Número de Reynolds da aspiração: 
 
Re , ,
,
,r
r rv D x
x
x= = = ≈
−ν
1 45 0 0063
1127 10
81056 8 1 106
4
 
 
Coeficiente de atrito: 
 
Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: 
 
A rugosidade relativa ε/Dr= 0,10/63=0,0016 
 
( )f
D
= + +







 = + +









 =0 0055 1 20 000
10 0 0055 1 20 000 0 0016 10
81056
0 025
6 1 3 6 1 3
, .
Re
, . , ,
/ /
ε
 
 
( ) 64,3
81,92
45,1
063,0
6,85025,0
2
22
===
xg
v
D
LfhLDr 
 
m
xg
vhvel 086,081,92
3,1
2
22
=== 
 
 
 
 
Sistemas de Bombeamento 
 PUCRS 7-18 
 
6. Altura Manométrica 
 
velLrLaraman hhhhhH ++++= 
 
H mman = + + + + ≈2 6 42 5 1 08 3 64 0 086 50, , , , , 
 
7. Potência de acionamento da bomba 
 
Pot gHQ x x x kW kW CV
G
= = = ≈ ≈
ρ
η
1000 9 81 50 0 005
0 5
4 12 5 6 5, ,
,
, , 
 
Com Hman=51mca e Q=5l/s (18m3/h ) podemos determinar o tipo de bomba comercial. 
 
 
 
Poderíamos verificar a perda de carga utilizando diretamente o Diagrama de Moody. 
 
Aspiração: com Re=8,7x104 com ε/Da= 0,00133 f= 0,025 (valor obtido pela equação f=0,024) 
 
Descarga: com Re=8,1x104 ε/Dr= 0,10/63=0,0016 f=0,025 (valor obtido pela equação f=0,025 ) 
 
 
Continuar o problema: 
 
• Selecionar uma bomba comercial em catalogo de fabricante. 
• Determinar a Eq. que representa a curva característica do sistema e graficar junto a curva do 
fabricante. 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conceitos de Cavitação 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-2 
 
 
 
 
 
 
 
Conceitos de Cavitação 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................................... 3 
8.1 DETERMINAÇÃO DO NPSH (NET POSITIVE SUCTION HEAD) DISPONÍVEL..................................................... 5 
8.1.1 CASO GERAL DE (NPSH) DISPONÍVEL ..................................................................................................... 7 
8.1.2 CASOS ESPECÍFICOS DE SISTEMAS PARA DETERMINAR O NPSH DISPONÍVEL............................................ 8 
8.2 ALTURA POSITIVA LÍQUIDA DE SUCÇÃO (NPSH) REQUERIDA PELA BOMBA ................................................... 9 
8.3 LIMITE DA ALTURA ESTÁTICA DE ASPIRAÇÃO.............................................................................................. 10 
8.4 DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CAVITAÇÃO OU FATOR DE THOMA .............................................................. 11 
8.4.1 VELOCIDADE ESPECÍFICA DE ASPIRAÇÃO................................................................................................ 11 
8.4.2 MARGEM PRÁTICA DE SEGURANÇA.......................................................................................................... 12 
8.5 EXEMPLOS DE CAVITAÇÃO..................................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-3 
Introdução 
 
Os fluidos podem passar do estado líquido para o gasoso dependendo das condições de pressão e 
temperatura a que estão submetidos. A pressão na qual se da este processo é denominada pressão de vapor ou 
de vaporização (Pv). A Fig. 8.1 mostra a pressão de vaporização da água em função da temperatura. 
Sabemos que, a pressão atmosférica, a água vaporiza (ferve) quando a temperatura atinge em torno de 1000C. 
Nestas condições a pressão de vaporização da água é 101,33kPa. Observamos no gráfico que pode-se obter 
vaporização do fluido para pressões inferiores a pressão atmosférica. Por ex. água a 600C pode vaporizar 
quando a pressão de vapor é de 20kPa. 
 
Pressão de vapor (pvap) 
• Propriedade do fluido que varia com a temperatura, aumentando com a elevação da mesma. 
 
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temperatura (oC)
Pr
es
sã
ode
 
Va
po
r 
de
 
Ág
u
a 
(kP
a)
 
Figura 8.1 Pressão de vapor de água (kPa) em função da temperatura (oC) 
 
As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão diminui até atingir um valor 
mínimo na boca de entrada da bomba. Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporiza 
e inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no interior da bomba, provocando dados 
irreparáveis. Desta forma o estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do sistema, a 
pressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões inferiores à pressão de vaporização. 
 
Cavitação: Processo de vaporização do fluido quando a pressão absoluta baixa até alcançar a pressão de 
vapor (pvap) do líquido na temperatura em que se encontra. 
 
O fenômeno de cavitação provoca: 
• Corrosão. 
• Remoção de pedaços de rotor e tubulação junto à 
entrada da bomba. 
• Afeta o rendimento. 
• Provoca trepidação e vibração máquina 
• Presença de ruídos e implosão. 
• No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos 
para acima dos 450C. 
 
Materiais que resistem à corrosão por cavitação: 
• Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido, 
Aço doce laminado. 
 
 
 Figura 8.2 Cavitação em bomba centrífuga 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-4 
A Fig.8.3 mostra claramente o efeito causado pelo fenômeno de cavitação principalmente na região 
de entrada das pás. 
 
 
 
Figura 8.3 Exemplos de rotores de bombas deteriorados pelo fenômeno de cavitação 
 
A Fig. 8.4 mostra que a cavitação ocorre quando a pressão na entrada do rotor é inferior a pressão de 
vapor do fluido. Desta forma no caso da figura a direita o fluido vaporiza dentro do rotor. 
 
 
Figura 8.4 Gráfico esquemático mostrando a cavitação de bombas 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-5 
 
8.1 Determinação do NPSH (Net Positive Suction Head) Disponível 
 
Para analisar o fenômeno de cavitação utilizamos o esquema representado na Fig. 8.5. Para não 
ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização. Define-
se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da 
pressão de vapor do líquido. Esta energia disponível pelo sistema é conhecida como NPSH (Net Positive 
Suction Head), que representa a altura positiva líquida de aspiração. 
 
 
Figura 8.5 Alturas características para analisar a cavitação em bombas. 
 
Aplicando a Eq. da energia a superfície livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca de 
entrada da bomba (plano 1-1). 
 
1
2
11
)10(0
2
00
22
z
g
v
g
phz
g
v
g
p
L ++=−++ − ρρ
 
 
( 1 ) 
 
O plano de referência (0-0) está na superfície livre do reservatório z0=0. Considerando o reservatório muito 
maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da 
mesma é desprezível (v02/2g=0). Com tais simplificações a equação é descrita como: 
 [ ] [ ] [ ] [ ]LaLatm hhzvpp =≅≅= − )10(000 0 0 No plano (1-1): 
[ ] 1 ahz = 
 
Laa
atm hh
g
v
g
p
g
p
+++=
2
2
11
ρρ
 
 
( 2 ) 
 
Da Eq. anterior explicitamos os termos que representam a pressão total na entrada da bomba: 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-6 
Laaatm hhHg
v
g
P −−=


 +
2
2
11
ρ
 
 
( 3 ) 
 
A qual é agora definida como Energia total absoluta na entrada da bomba: 
 



 +=
g
v
g
p
ET 2
2
11
1 ρ
 
 
( 4 ) 
 
 
Definimos também a energia de pressão de vapor como: 
 


=
g
p
E vvap ρ
 
 
( 5 ) 
 
 
Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização, 
desta forma ET1 > Evap. Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença 
entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido. 
 
vapTDisp EEE −= 1 ( 6 ) 
 
 
 
 
Figura 8.6 Representação gráfica da energia disponível. 
 
 
Representa a disponibilidade da energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. Nos 
sistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva Líquida de Aspiração (NPSH) Disponível. Trata-
se da energia de segurança do sistema para não ocorrer cavitação. 
 
vapDisp hg
v
g
pNPSH −


 +=
2
2
11
ρ
 
( 7 ) 
 
 
Em termos das variáveis do sistema é dado por: 
 
vapLaaatmDisp hhhHNPSH −−−= ( 8 ) 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-7 
8.1.1 Caso Geral de (NPSH) Disponível 
 
Num caso mais geral a pressão absoluta no reservatório de aspiração (H1=P/ρg) pode ser diferente da 
pressão atmosférica (Hatm), e a bomba pode estar cima ou abaixo do reservatório de aspiração. Neste caso a 
equação de NPSH disponível é dada por: 
 
vapLaa
abs
Disp hhhg
p
NPSH −−≥ m
ρ
 
 
( 9 ) 
 
 
ha (-) Bomba acima do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma normal) 
 
ha (+) Bomba abaixo do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma afogada) 
 
No caso de sistemas com reservatório de aspiração aberto a atmosfera. 
 
vapLaaAtmDisp hhhHNPSH −−≥ m ( 10 ) 
 
 
 
 
Figura 8.7 Tipos de sistemas afogado e normal. 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-8 
8.1.2 Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPSH Disponível 
 
A Fig.8.8 mostra quatro casos que podem ser considerados para determinar o NPSH disponível pelo 
sistema. No Caso 1 trata-se de um reservatório aberto sendo que a superfície livre da água no reservatório 
esta por baixo do centro da bomba. Observe-se que neste caso a pressão no reservatório é a pressão 
atmosférica (Hatm). No Caso 2 é semelhante ao caso 1, contudo a diferença esta em que o reservatório 
fechado (pressurizado) e desta forma a pressão a ser considerada é a pressão absoluta dentro do reservatório 
(Habs). No Caso 3 trata-de de um reservatório aberto, contudo a superfície livre do líquido esta por cima da 
bomba tratando-se de uma bomba afogada pelo qual a altura estática de aspiração considera-se com sinal 
negativo dentro do equacionamento do NPSHD. O Caso 4 é semelhante ao Caso 3, já que é uma bomba 
afogada, contudo com reservatório fechado e, portanto deve ser considerada a pressão absoluta no 
reservatório (Habs). A Fig. 8.8 apresenta a seguinte nomenclatura: 
NPSHD: Altura positiva liquida de aspiração disponível 
ha: Altura estática de aspiração 
hLa: Perda de carga na tubulação de aspiração 
hvap: Altura equivalente a pressão de vapor 
Habs: Altura equivalente a pressão absoluta no reservatório fechado (pressurizado) 
HAtm: Altura equivalente a pressão atmosférica no reservatório aberto. 
 
 Figura 8.8 Tipos de sistemas afogado e normal. 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-9 
8.2 Altura Positiva Líquida de Sucção (NPSH) Requerida pela Bomba 
 
Para definir NPSH requerido pela bomba devemos identificar as parcelas de energia envolvidas: 
 
g
vhNPSH q 2
2
1Re +∆= 
 
( 11 ) 
 
onde ∆h é a parcela de energia necessária para vencer as perdas de energia provindas da variação da 
velocidade relativa (W1) e perdas de energia devido ao atrito e à turbulência do líquido entre a boca de 
entrada na bomba e a entrada das pás devido ao aumento de velocidade absoluta C1 
 
∆h W
g
C
g
= +

λ λ1
1
2
2
1
2
2 2
 
 
( 12 ) 
 
 
Onde λ1, λ2 são coeficientes empíricos (0,3 e 1,2 respectivamente). 
 
g
v
g
C
g
WNPSH q 222
2
1
2
1
2
2
1
1Re +


 += λλ ( 13.1 ) 
Geralmente o termo 
g
v
2
2
1
 é pequeno e desta forma se adota a equação: 
 



 +=
g
C
g
WNPSH q 22
2
1
2
2
1
1Re λλ 
 
(13.2) 
 
Assim, o NPSHreq depende das características construtivas da bomba. O NPSHreq é dado graficamente pelo 
fabricante. 
 
 
Figura 8.9 Representação da curva do NPSH num gráfico de bomba comercial. 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-10 
8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração 
 
Para evitar a cavitação, a energia disponível pelo sistema deve ser maior que a energia requerida pela bomba: 
 
)()( Re bombaNPSHsistemaNPSH qDisp > ( 14 ) 
 
 
Ou também: Dispq NPSHNPSH <Re 
 
vapLaaatmq hhhHNPSH −−−<Re 
 
Desta forma podemos determinar altura estática de aspiração que deve ser colocada a bomba em relação ao 
nível do líquido para não ocorrer cavitação: 
 
)
2
(
2
req
a
vapLaatma NPSHg
vhhHh +++−< 
 
( 15 ) 
 
Para evitar que ocorra cavitação devemos colocar a bomba numa altura menor que o valor limite dado pela 
equação anterior. Como a dedução foi realizada para um sistema normal e não afogado, devemos observar 
que o resultado numérico de tal equação nos fornece a seguinte informação: 
 
• Se o valor de ha é positivo, (por ex. 3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada acima do nível 
do líquido. Bomba com Aspiração Normal. 
• Se o valor de ha é negativo, (por ex. -3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada abaixo do 
nível do líquido. Bomba Afogada. 
 
Observa-se que tal altura depende das seguintes variáveis: 
• Pressão atmosférica local. O valor de ha será maior em instalações a nível do mar. 
• Perda de carga na tubulação de aspiração. Maior perda de carga menor será o valor de ha. 
• Pressão dinâmica na boca de aspiração da bomba. Maior velocidade menor será ha 
• Pressão de vaporização do fluido. Quanto menor a temperatura do fluido menor será hv e assim 
maior o valor de ha. 
• Energia requerida pela bomba na boca de aspiração. Bombas com menor dissipação de energia 
interna apresentaram um menor valor o NPSH requerido permitindo um maior valor de ha 
 
Analisemos o caso de uma situação teórica: 
• Consideremos uma instalação de bombeamento a nível do mar (Hatm=10,33m). 
• O sistema não apresenta perda de carga (hLa0) 
• Velocidade muito baixa (v2/2g =0) 
• Temperatura muito baixa (hvap=0). 
• Utilizamos uma bomba ideal sem dissipação de energia interna (NPSHreq=0). 
• Nestas condições idealizadas, o limite teórico de ha será de 10,33m 
 
• A máxima altura de aspiração admissível de uma bomba diminui com ao aumento da temperatura. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-11 
8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 
 
O Fator de Thoma é um número característico adimensional para cavitação definido como: 
 
σ = ∆h
H Man
 ( 16 ) 
 
O valor de σ depende da rotação específica nq 
 
3/4
4/3
3/4 )()(
man
q H
Q
nn φφσ == 
 
( 17 ) 
 
Bombas Hélico-axiais. 
ϕ = 0,0013. 
 
Bombas Axiais. 
ϕ = 0,00145. 
 
Para bombas centrífugas em geral 
podemos utilizar: ϕ = 0,0011. 
 
3/4
4/3 )(0011,0
manH
Q
n=σ 
 
Representada graficamente na Fig. 8.9. 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Rotação Específica - nq (rpm)
Fa
to
r 
de
 
Th
o
m
a
 
Figura 8.10 - Curva do fator de Thoma. 
 
Uma vez determinado o fator de Thoma podemos avaliar o NPSHReq pela relação: NPSHreq= ManHh σ=∆ 
onde Hman é altura manométrica do sistema. Também podemos determinar altura máxima de aspiração: 
 
)
2
(
2
man
a
vapLaatma Hg
vhhHh σ+++−< 
 
( 18 ) 
 
8.4.1 Velocidade Específica de Aspiração 
 
A velocidade específica de aspiração (S) e utilizada para definir ou caracterizar as condições de aspiração de 
uma bomba e para estabelecer analogias de funcionamento de bombas semelhantes do ponto de vista da 
aspiração. A velocidade especifica de Aspiração é definida adimensionalmente como: 
 
75,0NPSH
QnS = 
 
( 19 ) 
 
onde n é a rotação (rpm) Q a vazão (m3/s) e NPSH a altura positiva liquida de sução (m). Um valor típico da 
velocidade especifica de aspiração igual a S=174 pode ser encontrado em bombas de boa fabricação 
apresentam um ângulo da pá em torno de 170. Com aproximadamente 5 a 7 alabes. Bombas comerciais têm 
baixo S na faixa de 97 a 136. Por outro lado as bombas para alimentação de caldeiras, especialmente bombas 
de condensado requerem S maiores entre 232 a 348. Para alcançar tais valores o ângulo de fluxo é tomado 
tão baixo quanto 100 e o numero de pás é reduzido até 4. Um número pequeno de alabes com espessura fina 
são favoráveis já que diminuem o efeito de bloqueio. 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-12 
8.4.2 Margem prática de segurança 
 
 
O NPHS disponível e requerido pode ser representado graficamente. Sabemos que para não ocorrer cavitação 
o NPSHDisp > NPSHReq. De forma prática adota-se uma margem entre ambos os valores: 
 
mNPSHNPSHemM qDisp 5,1arg Re ≥−= 
 
A margem prevista visa garantir que não ocorra cavitação no sistema evitando assim a vaporização do fluido 
no interior da bomba. 
 
 
Figura 8.11 – Representação do NPSH disponível e requerido 
 
 
 
 
8.4.3 Variação de NPSH com a Rotação 
 
Se a bomba apresenta um determinado NPSH, este é válido para a rotação dada pelo fabricante. Se a bomba 
opera com uma nova rotação, o NPSH deverá ser determinado utilizando as relações: 
 
 
2
1
2
2
1 


=
n
n
NPSH
NPSH
 
 
( 20 ) 
 
onde NPSH1 representa o valor de catálogo e NPSH2 representa o valor para a rotação desejada. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-13 
8.5 Exemplos de Cavitação 
EXEMPLO–8.1 
Na Fig. ao lado considere a bomba com uma vazão de 9,0 
litros/s. O fluido é gasolina a 25oC. Do catalogo do 
fabricante se obtém que a bomba apresenta um NPSH 
igual a 1,9m. Considere um tubo de aço com rugosidade 
absoluta de 4,3x10-4m. 
Determinar (a) a altura máxima de aspiração (b) o NPSH 
do sistema verificando se existe risco de cavitação. Obs. 
Considere o coeficiente de perda de carga de cada curva 
de 900 igual a 0,4 e da válvula de pé igual a 1,75. 
Propriedades da gasolina a 25oC 
Peso especifico: 7800N/m3 
Viscosidade cinemática: 6x10-6 m2/s. 
Pressão de vapor da gasolina: 32,5 kPa. 
 
 
Figura 8.12- Sistema de bombeamento 
Solução: 
Utilizando a Eq. de Bresse D=k Q1/2 com k=1,1 obtemos D=100mm. Com a vazão se acha v=1,15m/s. 
 
)(19167
 6,0x10 
1,015,1Re 6- turbulento
xvD
===
ν
 





 ++=
3/16
Re
102000010055,0
D
f ε 
0334,0
109,1
10
1,0
103,42000010055,0
3/1
4
64
=






 ++=
−
x
x
xf 
 
g
v
D
LfhLD 2
2
= onde L=59,5+2,3=61,8m ( ) m
gg
vhvel 067,02
15,1
2
22
=== 
mxxxh
g
vkk
D
Lfh
hhh
La
valvulacurvaLa
LkLDLa
55,1067,019,23067,075,14,02
1,0
)8,61(0334,0
2
2
2
==

 ++=


 ++=
+=
 
 



 +++−< bombaovapLaatma NPSHg
vhhHh
2
2
max 
 
onde mca
kPaxH atm 137800
100033,101
≅= e mca
kPaxhv 17,4
7800
10005,32
≅= 
 
(a) ( ) mha 31,59,1067,017,455,113max =+++−< 



 +++−=
g
vhhhaHNPSH vapLaatmDips 2
2
 
 ( ) mNPSH Dips 61,4067,017,455,16,213 =+++−= 
( b ) NPSHDisp (4,61m) > NPSHReq (1,9m) (portanto não ocorre cavitação) 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-14 
EXEMPLO–8.2 
O sistema de bombeamento da Figura ao lado 
trabalha com a bomba de 2 HP de 3500 rpm e 
diâmetro do rotor 138mm (5 7/16”) representada na 
Figura abaixo. O sistema trabalha na interseção da 
curva da bomba com a curva do sistema no ponto de 
funcionamento para uma vazão de 100 litros/min. O 
reservatório é um tanque fechado com pressão 
absoluta igual a 80kPa contendo água a temperatura 
de 500C. O nível de água no tanque é 2,0m acima do 
centro do eixo da bomba. A tubulação de aspiração 
tem um diâmetro de 40mm. O coeficiente de perda de 
carga localizado do joelho é igual kac1=1,0 e o 
coeficiente de perda de carga da válvula de globo 
aberta é igual kac2= 7,0. Considere o fator de atrito da 
tubulação igual a 0,025. O comprimento da tubulação 
de aspiração é igual a 12m. A pressão atmosférica 
local é igual a 101 kPa. 
 
Figura 8.13 - Sistema de bombeamento 
 
Determinar: 
1. A pressão relativa dentro do tanque. 
2. O NPSH disponível para o sistema. 
3. Compare o NPSH disponível com o NPSH 
requerido e verifique se o sistema cavita. 
 
 
 
 
Figura 8.13 – Curva característica de bomba centrifuga comercial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-15 
Solução: (EXEMPLO–8.2) 
 
Q=100 litros/min ptanque=80kPa T=500C ha=205mca D=40mm kac1=1,0 kac2= 7,0. L=12m f=0,025 
 
(a) Pressão relativa dentro do tanque 
 
m
x
x
g
p
H queque 25,881,9988
100080tan
tan === ρ
 Pressão relativa no tanque (101kPa – 80kPa = 21kPa) 
 
(b) NPSH disponível para o sistema. 
 



 +++±−=
g
vhhha
g
p
NPSH avapLa
que
Dips 2
2
tan
ρ
 
 
sm
x
x
D
Q
va /32,104,0
001666,044
22 === pipi
 
( ) 0888,0
81,92
32,1
2
22
===
xg
vh avel 
 
com T=500C Pv=0,1255kgf/cm2 ρ=988kg/m3 
 
kPa
m
cm
x
kgf
N
x
cm
kgfpvap 31,1210081,91255,0 2
2
2
2 == . mx
x
g
p
h vapvap 27,181,9988
100031,12
===
ρ
 
 
Perda de carga por tubulação e acessórios: 
( ) mx
g
v
g
vk
g
vk
g
v
D
Lfh aaacaacaLa 38,10888,0715,720,7104,0
12025,0
222
22
2
2
1
2
=++=

 ++=++= 
 
Como a bomba está afogada ha é negativo. 
 
com H=8,25m ha=-2,0m hLa=1,38m hvap=1,27m 



 +++−−=
g
vhhhaHNPSH avapLaqueDips 2
2
tan 
( ) mNPSH Dips 5,70888,027,138,10,225,8 =+++−−= 
 
(c) Compare o NPSH disponível com o NPSH da bomba 
 
Com Q= 100 litro/min da Figura da bomba determinamos Hman= 35m 
 
3/4
4/3 


=
manH
Q
nφσ A velocidade específica rpm
H
Q
nn
man
s 1035
001666,03500 4/34/3 ≅== 
com φ=0,0011 ( ) 0235,0100011,0 3/4 ==σ 
 
mxHNPSH manq 82,0350235,0Re === σ 
 
Desta forma como NPSHReq < NPSHDisp a bomba não entrará em cavitação. 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-16 
 
EXEMPLO–8.3 
 
O sistema da figura trabalha em operação de fluxo 
contínuo com vazão igual a 23,6 l/s. A perda de carga 
da tubulação e acessórios na aspiração é igual a 5m. 
A perda de carga da tubulação e acessórios de 
recalque é igual a 7,5m. Considere hvel=0. Com 
auxílio da curva da bomba fornecida: (a) Selecione o 
diâmetro do rotor da bomba apropriado para o 
sistema. (b) Determine a Eq. da curva característica 
do sistema e grafique a mesma. (c) Determine o 
NPSH do sistema considerando a temperatura 
máxima da água igual a 600C. (d) Determine o 
NPSH da bomba pelo fator de Thoma e o NPSH da 
bomba especificada pelo fabricante. Verifique se a 
bomba cavita. (e) Calcule a potência de acionamento 
da bomba nas condições de operação considerando o 
rendimento especificado pelo fabricante. Compare 
com a potência dada pelo fabricante. Obs. Considere 
a pressão atmosférica padrão. Para 600C massa 
específica da água igual a 984 kg/m3 
 
 
Figura 8.14 - Sistema de bombeamento 
 
 
 
Figura 8.15 – Curva característica de bomba centrifuga comercial 
 
 
 
Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 
 
Jorge A. Villar Alé 8-17 
 
Solução: (EXEMPLO–8.3) 
 
( a ) Altura manométrica do sistema 
m
g
vhhhH rLrLae 505,755,372
2
=++=+++= 
Com Q=23,6 l/s (85 m3/h) e H=50m no site: http://appserver.ittind.com/software/plus/Plusespl.htm 
 
Selecionamos a bomba centrífuga de diâmetro de 178mm maquinada para 175mm. (Fig. 8.12) 
 
( b ) Grafique a curva característica do sistema mostrando o ponto de operação da bomba-sistema: Q=23,6 
l/s (85 m3/h) 
 
Vazão: 
s
mD
vQ
32
0236,0
4
==
pi
 ( ) 3,224430236,0
5,3750
22
1
2 =
−
=
−
= Q
kHk 
 
Curva característica: 2221 3,224435,37 QQkkH +=+= 
 
( c ) NPSH do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 600C. 
 
vapLaaatmDisp hhhHNPSPH −−−= 
 
 Para T=600C ρ=984 kg/m3 e Pv=19,9 kPa. (equivalente a 2,06m) 
 
mNPSH Disp 77,006,255,233,10 =−−−= 
 
( d ) NPSH da bomba determinado utilizando o fator de Thoma e o NPSH da bomba especificado pelo 
fabricante. n=3500rpm 
 
096,0)
50
0236,03500(0011,0)( 3/44/33/44/3 ===
ManH
Q
nφσ 
 
mxH man 8,450096,0NPSH === σ 
 
do gráfico do fabricante com Q=85 m3/h e H=50m temos NPSHReq ≅ 7,0m. 
 
Como NPSHReq (7,0m) > NPSHDisp (0,77m) a bomba cavita. 
 
(e ) kWxxxQgHW
G
man
ac 66,1479,0
0236,05081,91000
===
η
ρ
&
 
 
Obs. Continue o problema determinando a altura de aspiração limite para não existir cavitação. 
 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos 
 PUCRS 8-18 
 
 
EXEMPLO – 8.4 
Num sistema de bombeamento de água o manômetro indica uma pressão equivalente a 3,5kgf/cm2 e o 
vacuômetro indica uma pressão equivalente de 368mmHg. A altura estática total de elevação é igual a 25m. 
A vazão da instalação é igual a 0,75m3/min. Considere pressão atmosférica padrão 1atm e temperatura de 
250C. A perda de carga na aspiração é igual a 1,2mca. Densidade do mercúrio 13,6. Determinar: 
 
a) A equação que representa a curva característica do sistema. 
b) A altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. 
 
Obs. Considere que do catalogo do fabricante HPSHReq=1,8m.c.a. 
 
Solução: (EXEMPLO–8.4) 
 
Dados: 
HM=35mHV=5,0m he=25m Q=45m3/s hatm=10,301m hLa=1,2mc.a 
 
 
A Eq. que representa a curva característica do sistema é dada por: 
 
2
21 QkkH += 
 
Sabemos que k1=he=25m. 
 
Avaliando a equação no ponto de operação determinamos a constante k2: 
 
00741,0
45
2540
222 =
−
=
−
= Q
hHk e Desta forma 2221 00741,025 QQkkH +=+= 
 
Determine a altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. 
 
Hatm=10,33m hLa=1,2m com T=250C se obtém hvap=0,31m. Do catalogo HPSHReq=1,8m.c.a. 
 
)( reqvapLaatma NPSHhhHh ++−< 
 
mha 02,7)8,131,02,1(33,10 =+−−< 
 
A bomba pode operar em condições normais. A bomba poderá ser instalada acima do reservatório de 
aspiração numa altura menor que 7m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Bibliografia 
 
PUCRS 
 
Referências Bibliográficas 
 
1. Bombas e Instalações de Bombeamento Macintyre, J,A; Ed. Guanabara, 1987. 
 
2. Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre, A.J.; Ed. LTC, 1997. 
 
3. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Munson B. R., Young D.F. Okiishi T.H.. Ed. Edgard Blucher 
Ltda, 1997. 
 
4. Fundamentos Hidráulicos para Instalaciones con Bombas Centrífugas Sulzer, Ed. Sulzer. 
 
5. Hidráulica, Provenza F. e Souza H., Ed. Provenza, Protec, 1976. 
 
6. Instalações Elevatórias - Carvalho, D.F.; Ed. FUMARC; 1992. 
 
7. Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox. W.R., McDonald. A T. Quarta Edição LTC Editora. 1992. 
 
8. Material de Sistemas Fluidomecânicos UNICAMP (1998). 
 
9. Operações com Fluidos - Gomide, R; Ed. do Autor, 1996. 
 
10. Sistemas Fluidomecânicos, Apostila. UNICAMP, 1997, França, F. A. 
 
11. Sistemas de Bombeamento, Jardim, S.B., Ed. Sagra-DC-Luzzato, 1992. 
 
12. Termotecnía Teoría y Métodos en Termodinámica Aplicada, Ignacio Lira C. Ediciones Universidad 
Católica de Chile, 1992. 
 
13. Máquina de Fluido, Érico Lopes Henn, Editora UFSM, 2001., 474 pag. 
 
14. Pump Life Cicle Costs: A guide to LCC Analysis for Pumping Systems. Europump and Hydraulic Institute, Belgian , 2001.194 pag. 
 
15. Fundamentos de Engenharia Hidráulica, Márcio Baptista, Márcia Lara. Editora UFMG., Belo Horizonte, 2002., 435 pag. 
 16. Tubulações Industriais – Cálculo. Pedro C. Silva Telles. Ed. LTC 9a Edição, 1999. 163pag. 
 17. Analysis and Desing of Energy Systems, Hodge B;K.; Taylor P. Robert., 3a edição Prentice Hall, New Jersey, 1998. 483pag. 
 
18. Reducing Water Pumping Costs In the Steel Industry – Good Practique Guide – 1996 
 19. Introduction to Pump Curves Goulds Pumps – 2001, www.goulds.com 
 20. Energy Efficient Motor Driven Systems, Published by European Copper Institute, 2004 
 
21. Improving Pumping Systems performance: A Source book for Industry 2 Edition – US Department of Energy 
e Hydraulic Institute, 2006. www.eere.energy.gov/industry 
 22. Selecting Centrifugal Pumps - KSB 4th edition 2005 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabelas e Gráficos 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-2 
Sistema Internacional de Unidades - SI 
 
Denominam-se dimensões as quantidades físicas. No SI, as dimensões fundamentais são comprimento, massa 
e tempo. As unidades são nomes consignados às dimensões primárias adotadas como padrões para medição. 
As unidades correspondentes das dimensões fundamentais no SI são o metro (m), quilograma (kg) e segundo 
(s). Em termos destas três unidades, a unidade de volume é o m3, a unidade de aceleração é o m/s2, e a massa 
específica é o kg/m3. 
 
A unidade de força no SI é o Newton (N) e derivada a partir da Segunda lei de Newton: 
 
Força (N) =(massa em kg)x(aceleração em m/s2) Assim 1 N= 1 kg.m/s2 . 
 
No SI as temperaturas são expressas em graus Celcius (oC) e a unidade de temperatura absoluta é o Kelvin 
(K). A transformação de Celcius para Kelvin é dada pela relação: 
 
T(K) =T( oC) + 273 
 
No sistema inglês de unidades se utiliza o grau Fahrenheit T(F) = 8/9T(oC) + 32 e o grau Rankine para 
temperatura absoluta: T( R ) = T(F) + 459,67. 
 
Na Tabela A.1 são dadas unidades no SI. 
 Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI 
Unidades fundamentais no SI 
Quantidade Unidade 
 
Símbolo Fórmula 
Comprimento Metro M - 
Massa Quilograma Kg - 
Tempo Segundo S - 
Temperatura Kelvin K - 
Unidade suplementar SI 
Ângulo plano radiano rad - 
Unidades derivadas SI 
Quantidade Unidade 
 
Símbolo Dimensão 
Energia Joule J N m 
Força Newton N kg m/s2 
Potência Watt W J/s 
Pressão Pascal Pa N/m2 
Trabalho Joule J N m 
 
 
Aceleração da Gravidade 
 
A massa da terra exerce uma força gravitacional dirigida para seu centro originando uma aceleração 
denominada aceleração da gravidade (g). Seu valor depende da posição em que nos encontramos na terra. 
Varia portanto segundo a latitude e longitude do lugar. Adota-se como valor normal g=9,8066 m/s2 o qual 
corresponde a uma altitude de 00 (nível do mar) e uma latitude de 450. Para efeitos de cálculos nós 
consideramos a aceleração da gravidade igual a g=9,81m/s2. 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-3 
RELAÇÃO DE TABELAS DO ANEXO 
 
 
Tabela A.1 Unidades básicas e derivadas no SI 
Tabela A.2 Propriedades da Água 
Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica 
Tabela A.4 Propriedades de Líquidos 
Tabela A.5 Propriedades de Gases 
Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço 
Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido 
Tabela A.8 Estimativa do consumo predial 
Tabela A.9 Velocidades práticas recomendadas 
Tabela A. 11 Diâmetros Típicos Utilizando as Equações Anteriores 
Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES 
Tabela A.13 CONVERSÃO DE PRESSÕES 
Tabela A.14 Perda de carga conexões PVC 
Tabela A.15 Perda de carga Conexões tubos ferro fundido e PVC 
Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperatura 
Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperatura 
Figura A.3 Diagrama de Moody 
Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura 
Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-4 
 
Tabelas de Propriedades de Fluidos 
 
Tabela A.2 Propriedades da Água 
Temperatura 
 
 
(0C) 
Massa Específica 
 
ρ 
(kg/m3) 
Peso Específico 
 
γ 
(kN/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ 
(Pa.s) ou (N.s/m2) 
Viscosidade 
Cinemática 
ν 
(m2/s) 
0 1000 9.81 1.75 x10-3 1.75 x10-6 
5 1000 9.81 1.52 x10-3 1.52 x10-6 
10 1000 9.81 1.30 x10-3 1.30 x10-6 
15 1000 9.81 1.15 x10-3 1.15 x10-620 998 9.79 1.02 x10-3 1.02 x10-6 
25 997 9.78 8.91 x10-4 8.94 x10-7 
30 996 9.77 8.00 x10-4 8.03 x10-7 
35 994 9.75 7.18 x10-4 7.22 x10-7 
40 992 9.73 6.51 x10-4 6.56 x10-7 
45 990 9.71 5.94 x10-4 6.00 x10-7 
50 988 9.69 5.41 x10-4 5.48 x10-7 
55 986 9.67 4.98 x10-4 5.05 x10-7 
60 984 9.65 4.60 x10-4 4.67 x10-7 
65 981 9.62 4.31 x10-4 4.39 x10-7 
70 978 9.59 4.02 x10-4 4.11 x10-7 
75 975 9.56 3.73 x10-4 3.83 x10-7 
80 971 9.53 3.50 x10-4 3.60 x10-7 
85 968 9.50 3.30 x10-4 3.41 x10-7 
90 965 9.47 3.11 x10-4 3.22 x10-7 
95 962 9.44 2.92 x10-4 3.04 x10-7 
100 958 9.40 2.82 x10-4 2.94 x10-7 
Fonte: R. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada 4a edição,1996. 
 
Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica 
Temperatura 
 
 
(0C) 
Massa Específica 
 
ρ 
(kg/m3) 
Peso Específico 
 
γ 
 (N/m3) 
Viscosidade 
Dinâmica 
µ 
(Pa.s) ou (N.s/m2) 
Viscosidade 
Cinemática 
ν 
(m2/s) 
-40 1.514 14.85 1.51 x10-5 9.98 x10-6 
-30 1.452 14.24 1.56 x10-5 1.08 x10-5 
-20 1.394 13.67 1.62 x10-5 1.16 x10-5 
-10 1.341 13.15 1.67 x10-5 1.24 x10-5 
0 1.292 12.67 1.72 x10-5 1.33 x10-5 
10 1.247 12.23 1.77 x10-5 1.42 x10-5 
20 1.204 11.81 1.81 x10-5 1.51 x10-5 
30 1.164 11.42 1.86 x10-5 1.60 x10-5 
40 1.127 11.05 1.91 x10-5 1.69 x10-5 
50 1.092 10.71 1.95 x10-5 1.79 x10-5 
60 1.060 10.39 1.99 x10-5 1.89 x10-5 
70 1.029 10.09 2.04 x10-5 1.99 x10-5 
80 0.9995 9.802 2.09 x10-5 2.09 x10-5 
90 0.9720 9.532 2.13 x10-5 2.19 x10-5 
100 0.9459 9.277 2.17 x10-5 2.30 x10-5 
110 0.9213 9.034 2.22 x10-5 2.40 x10-5 
120 0.8978 8.805 2.26 x10-5 2.51 x10-5 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-5 
 
 
 
 Tabela A.4 Propriedades de Líquidos 
 Temperatur
a 
Massa 
Específico 
Viscosidade 
Dinâmica 
Tensão 
Superficial 
Pressão de 
Vapor 
Módulo de 
Elasticidade 
 T ρ µ σ Pv Ev 
LÍQUIDOS oC kg/m3 Pa.s N/m N/m2 N/m2 
Água 
 
15,6 999 1,12x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,15x109 
Tetracloreto de 
carbono 
 
20 1590 9,58x10-4 2,69x10-2 1,3x104 1,31x109 
Álcool etílico 
 
20 789 1,19x10-3 2,28x10-2 5,9x103 1,06x109 
Gasolina 
 
15,6 680 3,1x10-4 2,2x10-2 5,5x104 1,3x109 
Glicerina 
 
20 1260 1,5 6,33x10-2 1,4x10-2 4,52x109 
Mercúrio 
 
20 13600 1,57x10-3 4,66x10-1 1,6x10-1 2,85x109 
Óleo SAE 30 
 
15,6 912 3,8x10-1 3,6x10-2 1,5x109 
Água do mar 
 
15,6 1030 1,2x10-3 7,34x10-2 1,77x103 2,34x109 
 
 
 
 
 Tabela A.5 Propriedades de Gases 
 Temperatura Massa 
Específico 
Viscosidade 
Dinâmica 
Constante do 
Gás 
Expoente 
Adiabático 
 T ρ µ R K 
GÁS oC kg/m3 Pa.s J/kg K 
Ar 
 
15 1,23 1,79x10-5 286,9 1,4 
Dióxido de carbono 
 
20 1,83 1,47x10-5 188,9 1,3 
Hélio 
 
20 1,66x10-1 1,94x10-5 2077 1,66 
Hidrogênio 
 
20 8,38x10-2 8,84x10-6 4123 1,41 
Metano (Gás natural) 
 
20 6,67x10-1 1,10x10-5 518,3 1,31 
Nitrogênio 
 
20 1,16 1,76x10-5 296,8 1,4 
Oxigênio 
 
20 1,33 2,04x10-5 259,8 1,4 
 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-6 
 
 
 
 
 
VISCOCIDADE CINEMÁTICA DE FLUIDOS 
 
Figura A.1 Viscosidade cinemática em função da temperatura 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-7 
 
VISCOCIDADE ABSOLUTA DE FLUIDOS 
 
Figura A.2 Viscosidade dinâmica em função da temperatura 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-8 
 
Equações para Determinar as Propriedades da Água em Função da Temperatura 
 
Massa Específica (kg/m3) 
 
0037,0 0624,0 6,1000
)( )(kg/m 
321
032
321
−=−==
++=
CCC
CTondeTCTCCρ
 
 
Viscosidade Dinâmica - (cP) - Fórmula de 
Bingham 
 
( )[ ]
( )
 /m.s)(kg em 001,0*
)(
435,8)(:
2,14,8078021482,01
0
2/12
converterparacP
centipoisecP
CTZonde
ZZ
µ
µ
µ
=
−=
−++≅
 
 
 
Equações de Popiel e Wojtkowiak (*) 
 
Massa Específica (kg/m3) 
5-
0335,22
x10-2,3030988 9050,00082140 010740248,0 068317355,0 79684,999
)( )(kg/m 
==−===
++++=
edcba
CTondeeTdTcTbTaρ
 
 
 
Viscosidade Dinâmica (kg/ms) ( ) ( )
4
032
101160832,3 0,1360459c 408782,19 82468,557
)(: kg/(ms) /1
−−====
+++≅
xdba
CTondedTcTbTaµ
 
 
(*)
 Journal of Fluid Eng. June 2000 Vol. 122 Pag.260-263. 
 
 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-9 
 
Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço 
 
 
 
 
Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido 
 
 
 
 
 
(Comprimento equivalente em metros de tubulação 
retilínea) 
(Comprimento equivalente em metros de tubulação 
retilínea) 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-10 
 
 
 
 
Tabela A.8 Estimativa do consumo predial 
Prédio Consumo 
(litros/dia) 
 Unidade 
Alojamentos provisórios 80 Por pessoa 
Casas Populares Residências 120 Por pessoa 
Residências 150 Por pessoa 
Apartamentos 200 Por pessoa 
Hotéis (s/cozinha s/lavanderia) 120 Por hospede 
Hospitais 250 Por leito 
Escolas Internatos 150 Por pessoa 
Escolas semi-internatos 100 Por pessoa 
Escolas externatos 50 Por pessoa 
Quartéis 150 Por pessoa 
Edifícios públicos ou comerciais 50 Por pessoa 
Escritórios 50 Por pessoa 
Cinemas e teatros 2 Por lugar 
Templos 2 Por lugar 
Restaurantes e similares 25 Por refeição 
Garagens 50 Por automóvel 
Lavanderia 30 Kg de roupa seca 
Mercados 5 M2 de área 
Matadouros – animais de grande porte 300 Por cabeça abatida 
Matadouros animais de pequeno porte 150 Por cabeça abatida 
Fábricas em geral (uso pessoal) 70 Por operário 
Postos de serviços para automóvel 150 Por Veículo 
Cavalariças 100 Por Cavalo 
Jardins 1,5 M2 de área 
Orfanato, asilo, berçário 150 Por pessoa 
Ambulatório 25 Por pessoa 
Creche 50 Por pessoa 
Oficina de costura 50 Por pessoa 
 
 
 
 As tabelas mostram valores típicos utilizados, contudo, a experiência em diferentes processos com 
fluidos podem exigir velocidades maiores o menores que estas. Velocidades menores podem ser utilizadas 
para levar em conta aumentos futuros de capacidade, corrosão e formação de crostas. Velocidades maiores 
podem ser utilizadas para prevenir decantação e entupimento. 
 
Tabela A.9 Velocidades Práticas Recomendadas 
Tipo de aplicação Velocidades recomendadas (m/s) 
Sucção de bombas e drenos 0,4 a 2,0 
Recalque e tubulações de uso geral 1,5 a 3,0 
Alimentação de caldeiras 2,4 a 4,0 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-11 
Tabela A.10 Velocidades Práticas Recomendadas 
Tipo de Serviço e tipos deFluido Velocidade (m/s) 
Aspiração em bombas 
 Líquido finos (água, álcool) 0,4 – 2,0 
 Líquidos viscosos (acima de 0,01Pa s) 0,1 – 0,4 
Recalque e linhas de uso geral 
 Líquidos finos 1,2 – 3,0 
 Líquidos viscosos 0,2 – 1,2 
Escoamento por gravidade 0,3 – 1,5 
Drenos 1 – 2 
Água industrial e de serviços 1,7 – 3,5 
Alimentação de caldeiras 2,5 – 4,0 
Vapor 
 Saturado 12 – 40 
 Super-aquecido 25 – 60 
 de alta pressão 50 – 100 
Ar comprimido 
 Troncos 6,0 – 8,0 
 Ramais 8,0 – 10,0 
 Mangueira 15,0 – 30,0 
Gases industriais 
 Em alta pressão (acima de 1 MPa) 30 – 60 
 Baixa pressão (dutos de ventilação) 10 – 20 
 Em alto vácuo 100 - 120 
Chaminés 
 Tiragem natural 3 – 5 
 Tiragem forçada 10 – 20 
Tubovias 
 Conduzindo líquidos finos 1,5 – 2,0 
 Bombeamendo líquidos viscosos (oleodutos) 0,4 – 1,0 
 Por gravidade 0,1 0,3 
Linhas subterrâneas de esgoto 
 Manilhas cerâmicas 5 
 Tubos de concreto 4 
 Tubos de cimento-amianto 3 
 Tubos de ferro fundido 6 
 Tubos de PVC 5 
Fonte: Operações com Fluidos (Reynaldo Gomide) 
 
Tabela A. 11 Diâmetros (mm) Típicos Utilizando as Equações Anteriores - Q (m3/h) 
 
 
Fonte: Operações com Fluidos (Gomide) 
 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-12 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-13 
 
Pressão de Vapor para Diferentes fluidos 
 
Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-14 
 
 
MASSA ESPECIFICA DE FLUIDOS 
 
 
 
 
Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-15 
 
Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES 
Para converter de Para Multiplique por 
CV HP 0,6863 
C.F.M. (pé cúbico/min) Litro/seg 0,472 
Centímetro quadrado pé 2 1076 x 10 -3 
Galão (amer) Centímetro cúbico 3.785 
Galão (amer.) Litro 3,785 
Galão (amer.) Metro cúbico 3,785x 10 -3 
Galão/min Litro/seg 0,06308 
Grau Celsius Grau Fahrenheit ( o C x 9/5 ) + 32 
Horse Power Btu/h 33.479 
HP CV 1,014 
Hp Kcal/hora 641,2 
HP Kwatt 0,7457 
HP . h Btu 2.544 
Kcal/h . m 2 ( 0 C/m) Btu/h. pé 2 ( 0 F/pe) 0,671 
Libra*pé/seg CV 1,843 x 10 -3 
Libra* . pé/seg HP 1,818 x 10 -3 
Libra* . pé/seg kw 1,356 x10 -3 
Libra* /polegada 2 Atmosfera 0,06804 
Libra* / polegada 2 kg*cm 2 0,07301 
Libra* . pé/min kw 2,260 x 10 -5 
Litro Galão 0,2642 
Libra* / pé 2 Atmosfera Física 4,725 x10 -4 
Libra* / pé 2 kg* / m 2 4,882 
Metro Jarda 1,094 
Metro Milha marítima 5,396 x 10 -4 
Metro Milha terrestre 6,124 x 10 -4 
Metro Pé 3,281 
Metro Polegada 39,37 
Metro cúbico Galão (amer.) 264,2 
Metro/min Milha/h 0,03728 
Milibar Libra*/pol 2 0,0145 
Milha (marítima) Jarda 2.027 
Milha (marítima) km 1,853 
Milha (marítima) Milha terrestre 1,516 
Milha quadrada Quilômetro quadrado 2,59 
Milha terrestre Metro 1.609 
Newton Dina 10 5 
Pé Metro 0,3048 
Pé Centímetro 30,48 
Pé cúbico Galão (líq.) 7,4805 
Pé cúbico Litro 28,32 
Pé cúbico m 3 0,02832 
Polegada cúbica Litro 0,01639 
Polegada cúbica Pé cúbico 5,787 x 1C -4 
Polegada de Hg Kg*/cm 2 0,03453 
Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-16 
Tabela A.12 CONVERSÃO DE UNIDADES (Continuação) 
Para converter de Para Multiplique por 
Quilograma*/cm 2 Polegada de Hg 28,96 
Quilômetro Jarda 1.094 
Quilo caloria CV . h 1,581 x 10 -3 
Quilo caloria Libra*. Pé 3,088 
Quilowatt HP 1,341 
Quilowatt Btu 3.413 
Quilowatt . hora HP . h 1,341 
Quilowatt . h Libra* . pé 2,655 x 10 6 
Radiano Grau 57,3 
Radiano Minuto 3.438 
Rotação por minuto (rpm) Grau/segundo 6 
Ton Libra 2.000 
Tonelada Libra 2,205 
Tonelada (refrigeração) HP 4,717 
Watt Btu / hora 3,4192 
Watt Btu/minuto 0,05688 
Watt C.V. 1,360 x 10 -3 
Watt HP 1,341 x 10 -3 
Watt . h HP . h 1,341 x 10 -3 
Fonte http://www.tratamentodeagua.com.br 
 
 
 
TABELA A.13 CONVERSÃO DE PRESSÕES 
 
 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-17 
 
TABELA A.14 PERDA DE CARGA 
 
PERDA DE CARGA DE CONEXÕES PVC – (em metros de tubulação equivalente) 
 
 Fonte: Alpina Manual de aquecimento Solar 
 
 
 
TABELA A.15 PERDA DE CARGA PERDA DE CARGA DE CONEXÕES TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC (em metros de tubulação equivalente) 
 
 CONEXÕES 
 3/4" 1" 1 1/4" 1 1/2" 2" 2 1/2" 3" 4" 5" 6" 8" 10" 12" 
registro gaveta 0,10 0,12 0,18 0,20 0,28 0,34 0,46 0,65 0,83 1,10 1,50 1,80 2,37 
registro globo 5,00 6,80 9,70 11,80 16,00 20,00 26,00 37,00 48,00 60,00 83,00 103,00 135,00 
válvula de retenção 1,10 1,50 2,10 2,50 3,40 4,30 5,50 7,70 10,20 12,60 17,60 21,70 28,60 
curva - 90º 0,30 0,40 0,60 0,70 1,00 1,20 1,50 2,00 2,80 3,50 4,90 6,00 7,90 
cotovelo - 45º 0,30 0,40 0,50 0,60 0,90 1,10 1,40 1,90 2,50 3,20 4,40 5,40 7,10 
cotovelo - 90º Tee 0,60 0,80 1,10 1,30 1,80 2,20 2,90 4,00 5,20 6,50 9,00 11,30 14,80 
válvula de pé 10,80 14,90 21,00 26,00 35,00 44,00 57,00 79,00 100,00 130,00 180,00 225,00 300,00 
 Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda. 
Sistemas Fluidomecânicos Anexo 
 
Jorge A. Villar Alé A-18 
 
 
TABELA A.16 PERDA DE CARGA 
 PERDAS DE CARGA EM 100 METROS DE TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO (FF) OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC 
 
 
 Fonte: Thebe Bombas Hidráulicas Ltda. 
 
Os valores acima estão de acordo com a NBR-5626 
OBS: Em se tratando de tubos Galvanizados ou FºFº usados, deve-se acrescentar 3% aos valores acima para cada ano 
de uso da tubulação.