Lista de exercícios 1 Revisão de Cálculo

Prévia do material em texto

����������	�
����
����
�����
����������
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO 
DISCIPLINA: MÉTODOS MATEMÁTICOS 1B 
PROFESSOR: ANTÔNIO BELFORT DE OLIVEIRA 
ALUNA: ANDRÉA ARAÚJO SOUSA 
Andréa Araújo Sousa
 1 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – REVISÃO DE CÁLCULO 
 
Entrega: 27/04/2005 
 
 
 
 
1. a) Mostre que (((( )))) 1senlim
0
====
→→→→ x
x
x
(i)
 e 
(((( )))) 0
-
1coslim ====++++
→→→→ pipipipipipipipi x
x
x
(ii)
 sem usar a regra de L´Hospital. 
 
i) (((( )))) 1senlim
0
====
→→→→ x
x
x
 
 
A função sen(x) pode ser representada como uma série de potências da seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( ) �+−+−=+−=�
∞
−
+
!7!5!3!12
1sen
753
0
12 xxx
x
n
x
x
n
n
n
 
 
A função ( )
x
xsen
 será, então: 
 
( ) ( ) ( )
�+−+−=
+
−
=
�
∞
−
+
!7!5!3
1!12
1
sen 6420
12
xxx
x
n
x
x
x n
n
n
 
 
Desta forma: 
 
( ) 1
!7!5!3
1limsenlim
642
00
=��
�
�
��
�
�
+−+−=
→→
��
xxx
x
x
xx
 C.Q.D. 
 
ii) (((( )))) 0
-
1coslim ====++++
→→→→ pipipipipipipipi x
x
x
 
 
A série de Taylor para a função ( )xcos no ponto ax = é: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �+⋅−+⋅−−⋅−−=−=�
∞
=
!3
sen 
!2
cos
sen cos
!
cos
cos
32
0
a
ax
a
axaaxa
n
a
axx
n
n
n
 
 
A função ( ) 1cos +x no ponto pi=x é igual a: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) �+⋅−+⋅−−⋅−−+=−+=+ �
∞
=
!3
sen 
!2
cos
sen cos1
!
cos11cos 32
0
pi
pi
pi
pipipipi
pi
pi xxx
n
xx
n
n
n
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) �+⋅−+⋅−−⋅−−=+
!3
sen 
!2
cos
sen 1cos 3
2
2 pipi
pi
pipipi xxxx 
 
Assim: 
Andréa Araújo Sousa
 2 
( ) ( )
( )
( ) ( ) �
�
�
�
�
�
+⋅−+⋅−−−=
−
−+
=
−
+
→
∞
=
→→
�
�
!3
sen 
!2
cos
sen lim!
cos1
lim1coslim 20 pipipipipi
pi
pi
pi
pi pipipi
xx
x
n
x
x
x
x
n
n
n
xx
 
 ( ) C.Q.D. 0sen 1coslim =−=
−
+
→
pi
pipi x
x
x
� 
 
b) Mostre que, dado (((( )))) (((( )))) 212 ln23 xxxf ++++==== , então (((( )))) (((( ))))xxf
x
xf 13
2
'
++++
==== . 
 
( )xf é uma função composta ( )uhgh =� , onde: ( ) xxh = e xxu ln23 2 += . A derivada de uma 
função composta ( )uhf = é dada por: 
 
uDhDfD xux ⋅= (Regra da Cadeia) 
 
Logo: 
 
( )
xxxxxx
xx
xxxxx
x
x
x
xx
xf
ln23
1
ln23
3
 
ln23
1
ln23
326
ln23
1
2
1
22
222
'
+⋅
+
+⋅
⋅
=
+⋅
+
+
=�
�
�
�
�
�
+⋅�
�
�
�
�
�
�
�
+
⋅=
 
 
( ) ( ) C.Q.D. 
13
ln23
13 2
2
2
'
xfx
x
xxx
x
xf
⋅
+
=
+⋅
+
=� 
 
2. Mostre que: 
 
a) Cx
x
xdx
++++++++====
++++
����
2
2
1
1
 
 
Seja 
2
 2 1 2 duxdxxdxduxu =	=	+= . Assim: 
 
CxCuduu
u
du
x
xdx
++=+⋅=⋅=
⋅
=
+
���
− 2
2
1
2
1
2
1
2
12
1
2
1
21
 C.Q.D. 
 
b) (((( )))) (((( )))) Cedxexe xxx ++++====���� 222 sen cos2 
 
Seja dxxeduue xx 22 2 =	= (Regra da Cadeia). Então: 
 ( ) ( ) CeCuududxexe xxx +=+== �� 222 sen sen cos cos2 C.Q.D. 
 
Andréa Araújo Sousa
 3 
c) ���� ====
pipipipi pipipipi
0
4
8
3
sen xdx 
 
Seja 
�
�
+
=
−
=
	−=
2
2cos1
cos
2
2cos1
sen
 sencos2cos
2
2
22
x
x
x
x
xxx 
 
Assim: 
 
�� �� � ⋅+⋅−⋅=�
�
�
�
�
� −
=
pipi pipi pi
0
2
0 00 0
2
4 2cos
4
12cos
2
1
4
1
2
2cos1
sen xdxxdxdxdxxxdx 
 
Seja: 
 
����
⋅
+⋅=�
�
�
�
�
� +
=
pipipipi
0000
2 4cos
2
1
2
1
2
4cos12cos xdxdxdxxxdx 
 
Então: 
 
84
 sen4
32
1
 
8
 sen2
4
1
 
4
 
4cos
8
1
8
12cos
2
1
4
1
 
4cos
2
1
2
1
4
12cos
2
1
4
1
2
2cos1
sen
0000
000 0
000 00 0
2
4
pipi
pipipipi
pipipi pi
pipipi pipi pi
+=�
�
�
�
�
�
⋅++�
�
�
�
�
�
⋅−=
⋅+⋅+⋅−⋅=
�
�
�
�
�
�
�
�
⋅+⋅⋅+⋅−⋅=�
�
�
�
�
� −
=
��� �
��� �� �
x
x
x
x
xdxdxxdxdx
xdxdxxdxdxdxxxdx
 
 
C.Q.D. 
8
3
sen
0
4 pi
pi
=� xdx� 
 
3. Expresse a função (((( ))))zyxf ,, na notação vetorial (((( ))))rf : 
 
a) (((( )))) zyxzyxf ++++−−−−==== 2,, 
 
Seja ( ) ( ) rrfzyxf . ,, = e seja zyxzzyyxx azayaxrararar ˆˆˆˆˆˆ ++=++= . Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) zyxrfrfrfazayaxaaarrfzyxf zzyyxxzyxzyx +−=++=+++−== 2ˆˆˆ . ˆˆˆ2 . ,, 
 
De forma que: 
 
� ( ) zyxzzyyxx aaafafafarf ˆˆˆ2ˆˆˆ +−=++= 
 
 
 
Andréa Araújo Sousa
 4 
b) (((( )))) 22,, yxzyxf ++++==== 
 
Seja ( ) ( ) rrfzyxf . ,, = e seja zyxzzyyxx azayaxrararar ˆˆˆˆˆˆ ++=++= . Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 22ˆˆˆ
 . ˆ0ˆˆ .,, yxrfrfrfazayaxaayaxrrfzyxf zzyyxxzyxzyx +=++=++++== 
 
De forma que: 
 
� ( ) zyxzzyyxx aayaxfafafarf ˆ0ˆˆˆˆˆ ++=++= 
 
4. Obtenha um vetor unitário perpendicular à superfície 3222 ====++++++++ zyx no ponto (((( ))))1 ,1 ,1 . 
Obtenha a equação do plano tangente à superfície em (((( ))))1 ,1 ,1 . 
 
A equação 3222 =++ zyx representa uma esfera de raio 3 e centro em ( )0 ,0 ,0=O . Seja 
( )1 ,1 ,1=A um ponto da esfera, o vetor que une os pontos O e A, OA , é dado por: 
( ) ( ) ( ) zyx aaaOAOA ˆˆˆ1 ,1 ,10 ,0 ,01 ,1 ,1 ++==−=−= . 
O módulo de OA é: 3111 =++=OA . 
 
O vetor unitário na direção de OA é: 
 
3
ˆ
3
ˆ
3
ˆ
zyx aaa
OA
OA
u ++==� 
 
Sendo ( ) ( )1 ,1 ,1,, 000 == zyxA um ponto do plano tangente à esfera 3222 =++ zyx e seja 
( ) ( )1 ,1 ,1,, == cbaOA um vetor normal a ele, a equação do plano é: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
0111 0000
=++
=−+−+−	=−+−+−
zyx
zyxzzcyybxxa
�
 
 
5. Dado um vetor (((( )))) (((( )))) (((( ))))21212112 ˆˆˆ zzayyaxxar zyx −−−−++++−−−−++++−−−−==== , mostre que 121r∇∇∇∇ (gradiente 
com respeito a 111 , , zyx , da magnitude 12r ) é um vetor unitário na direção de 12r . 
 
Temos que: 12
1
12
1
12
1
121
 
ˆ
 
ˆ
 
ˆ r
z
ar
y
ar
x
ar zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ . 
Se: 1
 
12
1
=
∂
∂
r
x
, 1
 
12
1
=
∂
∂
r
y
 e 1
 
12
1
=
∂
∂
r
z
, então: 
 
C.Q.D. ˆˆˆ121 zyx aaar ++=∇� 
 
 
 
 
Andréa Araújo Sousa
 5 
6. Se A é irrotacional, mostre que rA ×××× é solenoidal. 
 
Seja zayaxar zyx ˆˆˆ ++= e zzyyxx AaAaAaA ˆˆˆ ++= . 
Se rA× é solenoidal, então ( ) 0. =×∇ rA . 
Se A é irrotacional, então 0=×∇ A , desta forma: 
 
0ˆˆˆ
ˆˆˆ
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇ xyzzxyyzx
zyx
zyx
A
y
A
x
aA
x
A
z
aA
z
A
y
a
AAA
zyx
aaa
A 
 
�
�
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
	
0
0
0
 
xy
zx
yz
A
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
 
 
Seja: 
 
( ) ( ) ( )yxzxzyzYxzyx
zyx
xAyAazAxAayAzAa
zyx
AAA
aaa
rA −+−+−==× ˆˆˆ
ˆˆˆ
 
 
Assim: ( ) ( ) ( ) ( )yxxzzY xAyA
z
zAxA
y
yAzA
x
rA −
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
=×∇. 
 
Seja ( ) ''' fggffg += , então: 
 
( )
��
��
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
xyzxyz
yxxzzy
A
y
A
x
zA
x
A
z
yA
z
A
y
x
A
z
xA
z
yA
y
zA
y
xA
x
yA
x
zrA
 
.
 
 ( ) C.Q.D. 0. =×∇ rA� 
 
7. Mostre que vu ×××× é solenoidal se u e v são irrotacionais. 
 
Seja zzyyxx uauauau ˆˆˆ ++= e zzyyxx vavavav ˆˆˆ ++= . 
Se vu × é solenoidal, então ( ) 0. =×∇ vu . 
Se u é irrotacional, então 0=×∇ u , desta forma: 
 
Andréa Araújo Sousa
 6 
0ˆˆˆ
ˆˆˆ
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇ xyzzxyyzx
zyx
zyx
u
y
u
x
au
x
u
z
au
z
u
y
a
uuu
zyx
aaa
u 
 
�
�
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
	
0
0
0
 
xy
zx
yz
u
y
u
x
u
x
u
z
u
z
u
y
 
 
Se v é irrotacional, então 0=×∇ v , desta forma: 
 
0ˆˆˆ
ˆˆˆ
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇ xyzzxyyzx
zyx
zyx
v
y
v
x
av
x
v
z
av
z
v
y
a
vvv
zyx
aaa
v 
 
�
�
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
	
0
0
0
 
xy
zx
yz
v
y
v
x
v
x
v
z
v
z
v
y
 
 
Seja: 
 
( ) ( ) ( )xyyxzzxxzyyzzyx
zyx
zyx
zyx
vuvuavuvuavuvua
vvv
uuu
aaa
vu −+−+−==× ˆˆˆ
ˆˆˆ
 
 
Assim: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
=×∇
yxxyxyyx
xzzxzxxzzyyzyzzy
xyyxzxxzyzzy
u
z
vv
z
uu
z
vv
z
u
u
y
vv
y
uu
y
vv
y
uu
x
vv
x
uu
x
vv
x
u
vuvu
z
vuvu
y
vuvu
x
vu
 
 
.
 
 
Andréa Araújo Sousa
 7 
( )
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=×∇
xyzzxy
yzxxyzzxyyzx
v
y
v
x
uv
x
v
z
u
v
z
v
y
uu
y
u
x
vu
x
u
z
vu
z
u
y
vvu
 
.
 
 ( ) C.Q.D. 0. =×∇ vu� 
 
8. Se A e B são vetores constantes, mostre que (((( )))) BArBA ××××====××××∇∇∇∇ . . 
 
Seja zzyyxx AaAaAaA ˆˆˆ ++= , zzyyxa BaBaBaB ˆˆˆ ++= e zayaxar zyx ˆˆˆ ++= . 
Temos: 
 
i) ( ) ( ) ( )xyyxzzxxzyyzzyx
zyx
zyx
zyx
BABAaBABAaBABAa
BBB
AAA
aaa
BA −+−+−==× ˆˆˆ
ˆˆˆ
 
 
ii) ( ) ( ) ( )yxzxzyzyxzyx
zyx
xByBAzBxBAyBzBA
zyx
BBB
AAA
rBA −+−+−==×. 
 
Se A e B são constantes: 
 
 
�
�
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
0
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
B
z
B
z
B
z
B
y
B
y
B
y
B
x
B
x
B
x
A
z
A
z
A
z
A
y
A
y
A
y
A
x
A
x
A
x
 
 
Então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]yxzxzyzyxz
yxzxzyzyxy
yxzxzyzyxx
xByBAzBxBAyBzBA
z
a
xByBAzBxBAyBzBA
y
a
xByBAzBxBAyBzBA
x
arBA
−+−+−
∂
∂
+
−+−+−
∂
∂
+
−+−+−
∂
∂
=×∇
ˆ
 
ˆ
 
ˆ.
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]xyyxzxxzyzzyz
xyyxzxxzyzzyy
xyyxzxxzyzzyx
BABAzBABAyBABAx
z
a
BABAzBABAyBABAx
y
a
BABAzBABAyBABAx
x
arBA
−+−+−
∂
∂
+
−+−+−
∂
∂
+
−+−+−
∂
∂
=×∇
ˆ
 
ˆ
 
ˆ.
 
Andréa Araújo Sousa
 8 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
=×∇
z
x
BABABABA
x
z
y
x
BABABABA
x
yx
x
BABABABA
x
x
arBA
xyyxxyyx
zxxzzxxzyzzyyzzy
x
ˆ.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
z
y
BABABABA
y
z
y
y
BABABABA
y
yx
y
BABABABA
y
x
a
xyyxxyyx
zxxzzxxzyzzyyzzy
yˆ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
∂
∂
−+−
∂
∂
+
z
z
BABABABA
z
z
y
z
BABABABA
z
yx
z
BABABABA
z
x
a
xyyxxyyx
zxxzzxxzyzzyyzzy
z
ˆ
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) C.Q.D. ˆˆˆ. BABABAaBABAaBABAarBA xyyxzzxxzyyzzyx ×=−+−+−=×∇� 
 
9. Mostre que (((( )))) (((( )))) fff ∇∇∇∇∇∇∇∇−−−−∇∇∇∇∇∇∇∇====××××∇∇∇∇××××∇∇∇∇ .. por expansão direta em coordenadas 
cartesianas. 
 
Seja zzyyxx fafafaf ˆˆˆ ++= . Temos: 
 
i) ��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
=∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇ xyzzxyyzx
zyx
zyx
f
y
f
x
af
x
f
z
af
z
f
y
a
fff
zyx
aaa
f ˆˆˆ
ˆˆˆ
 
 
ii) ( )
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
�
�
�
�
�
�
∂
∂
−
∂
∂
��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇×∇
xyzxyz
zyx
f
y
f
x
f
x
f
z
f
z
f
y
zyx
aaa
f
ˆˆˆ
 
 
( )
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
+
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
+
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
=×∇×∇
yzzxz
xyyzy
zxxyx
f
zy
f
y
f
x
f
zx
a
f
yx
f
x
f
z
f
yz
a
f
xz
f
z
f
y
f
xy
af
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
ˆ
 
ˆ
 
ˆ�
 
 
iii) zyx f
z
f
y
f
x
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇. 
 
=0 =0 =0 
=0 
=0 
=0 
=0 =0 
=0 =0 
=0 =0 =0 =0 
=0 
Andréa Araújo Sousa
 9 
iv) ( ) ��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=∇∇ zyxyzyxx f
zy
f
y
f
xy
af
zx
f
yx
f
x
af
2
2
2222
2
2
ˆˆ. 
��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+ zyxz f
z
f
yz
f
xz
a 2
222
ˆ
 
 
v) ( ) zzyyxxzzyyxx fafafafafafaf ∇+∇+∇=++∇=∇ ˆˆˆˆˆˆ 
 
��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
zzzyzxz
yzyyyxyxzxyxxx
f
z
af
y
af
x
aa
f
z
af
y
af
x
aaf
z
af
y
af
xaaf
ˆˆˆˆ
 
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
 
 
vi) ( ) zzyyxxzzyyxx fafafafafafaf ∇∇+∇∇+∇∇=++∇∇=∇∇ .ˆ.ˆ.ˆˆˆˆ.. 
 
��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+��
�
�
��
�
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇∇
zzzz
yyyyxxxx
f
z
f
y
f
x
a
f
z
f
y
f
x
af
z
f
y
f
x
af
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ˆ
 
ˆˆ.
 
 
Assim: 
 
( )
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
+
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
+
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
∂∂
∂
−
∂
∂
−��
�
�
��
�
�
∂
∂
−
∂∂
∂
=∇∇−∇∇
yzzxz
xyyzy
zxxyx
f
zy
f
y
f
x
f
zx
a
f
yx
f
x
f
z
f
yz
a
f
xz
f
z
f
y
f
xy
aff
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
ˆ
 
ˆ
 
ˆ..
 
 ( ) ( ) C.Q.D. .. fff ×∇×∇=∇∇−∇∇� 
 
10. Prove que (((( )))) 0====∇∇∇∇××××∇∇∇∇ ϕϕϕϕϕϕϕϕ . 
 
Seja ϕϕϕϕϕϕϕϕ
z
a
y
a
x
a zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ ˆˆˆ , então: 
 
( )
zyx
zyx
aaa zyx
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇×∇
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ˆˆˆ
, pela Regra da Cadeia: 
 
Andréa Araújo Sousa
 10 
��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
+
��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
+
��
�
�
��
�
�
∂
∂
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
=
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
xyxyyxyx
a
zxzxxzxz
a
yzyzzyzy
a
z
y
x
22
22
22
ˆ
 
ˆ
 
ˆ
 
 
 
Se temos: 
ijji xxxx ∂∂
∂
=
∂∂
∂ ϕϕ 22
 e ϕϕϕϕ
ijji xxxx ∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
, então: 
 
( ) C.Q.D. 0=∇×∇ ϕϕ� 
 
11. Dado que GF ××××∇∇∇∇====××××∇∇∇∇ , mostre que F e G podem diferir de: 
 
a) Uma constante; 
 
Seja C uma constante. Então: 
 ( ) 0 0 =−×∇	=×∇−×∇	×∇=×∇ GFGFGF 
 
Se ( ) 0=−×∇ GF , então ( )GF − pode ser igual a uma constante. Assim: 
 
� ( ) CGFCGF +=	=− ou ( ) CFGCGF −=	=− C.Q.D. 
 
b) Um gradiente de uma função escalar. 
 
Seja φ∇ o gradiente de uma função escalar. Então: 
 ( ) 0 0 =−×∇	=×∇−×∇	×∇=×∇ GFGFGF 
 
Se ( ) 0=−×∇ GF , então ( )GF − pode ser igual ao gradiente de uma função escalar. Assim: 
 
� ( ) φφ ∇+=	∇=− GFGF ou ( ) φφ ∇−=	∇=− FGGF C.Q.D. 
 
12. Se AB ××××∇∇∇∇==== , mostre que 0 . ====����
ΣΣΣΣ
σσσσdB para qualquer superfície fechada ΣΣΣΣ . 
 
Pelo Teorema de Gauss, �� ∇=
Σ V
dBdB τσ . . . Assim: 
 
� ( ) 00 A . . ==×∇∇=∇ ���
VVV
dddB τττ C.Q.D. 
Andréa Araújo Sousa