02 Hidrostatica

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Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 3 
Hidrostática 
 
Estuda o estado de equilíbrio dos fluidos. 
 
Num fluido em equilíbrio, a única força entre duas partículas 
adjacentes é a força normal à superfície de contato. 
 
 
Sejam duas partículas 
adjacentes. Suponhamos que exista uma 
força qualquer F, logo existirá uma 
força contrária F’. Decompondo as 
forças teremos: 
- N e N’ estão no mesmo eixo 
logo N=N’; 
- T e T, estão em suportes 
diferentes logo, T≠ T’. 
 
Se existir T e T’ haverá 
movimento, como está em equilíbrio, 
só existe o esforço normal. 
 
 
 
Pressão - é a intensidade da força normal que atua na unidade de área. 
 
 
Forças atuantes em um fluido: 
 
- Forças Externas ou de Contato 
- Forças Internas ou de Corpo ou de Massa 
 
Seja Massa da Partícula 
 Resultante das Forças de Massa 
 
 
 
 
Onde, x, y e z são as projeções de Φ; 
 i, j, k vetores unitários. 
 
dm
df
kzjyix
dm
df

N

'N

'F

'T

T

F

S
Fd

dA
P
S
y
x
z
O
P
x
x
z
y
xdF
xdFx 
xx 
dA
dF
P 
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 4 
 
Seja Volume da partícula; 
 Massa específica da partícula. 
 Sendo , temos que: 
 
 
 
 
 
 
Caso: partícula sob ação única da gravidade: 
 A força que atua é o Peso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Fundamentais 
 
Lembrando: 
 
A força externa 
 
 Em x 
 p=p(x,y,z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a resultante das forças externas: 
 
 
dv








Zdvdf
Ydvdf
Xdvdf
z
y
x



dvdm 
Gd
g
y
x
z
O
dA
dF
P 
zyp 
x
x
p:Como
zy)pp(zy
Somando
zy)pp(xxEm
x
x
x










0
zyx
x





y
x
z
O
P
x
x
z
y
zyp    zypp x 
xx 
gZ;Y;X  00
gdvfd z 
Gd
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 5 
A força interna 
 Fazendo para o eixo X, como já visto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação Geral ou Sintética de Equilíbrio 
 
dx, dy e dz são as projeções do arco ds sobre os 
eixos coordenados. 
 
Se multiplicarmos a primeira equação por dx, a 
segunda por dy e a terceira por dz e 
somarmos, teremos: 
 
 
 
 
 
 
Sob ação exclusiva da gravidade, 
 
 
)(
)(
ZdzYdyXdxdp
ZdzYdyXdxdz
z
p
dy
y
p
dx
x
p












gZYX  ;0;0
dzdp
g
gdzdp






X
x
Xzyxzyx
x
equilíbrioemestáComo
FORÇASDASSOMAA
zyxdvsendoXdvdfx













0
,
Z
dz
dp
Y
dy
dp
X
dx
dp






y
x
z
O
0P
P
'P
"P
ds
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 6 
Integrando entre dois pontos quaisquer P1 e P2 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos: 
 
 
 
 
ou
p
z
p
z
p
z
zzpp
.....
)(
3
3
2
2
1
1
2112




cte
p
z 

hpp  12
hp
zzpp




2
2112 )(
2P
SL
1P
1z
2z
h
2P
SL
01 P
1z
2z
h
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 7 
 
 
Para d=1,0 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas de Pressão 
 
Tracemos o eixo h das profundidades. 
 Tracemos a reta R tal que 
tg
= γ 
 O segmento 
 
Porém 
OP
= h e 
tg
= γ, Logo o segmento 
PQ
 
representa a pressão no ponto P. 
 
 
 
Superfície de Nível ou Isóbara (pontos sob mesma pressão) 
 
 
 
 
 
Sob ação exclusiva da gravidade: 
 
 
Resulta em um plano horizontal. 

SL
B
A
23 /5/0,10,5
0
mtfmtfmp
p
B
A

 23
23
/1010/0,1
/22/0,1
mtfmmtfp
mtfmmtfp
B
A


23
23
/12102,1/0,1
/4,222,1/0,1
mtfmmtfp
mtfmmtfp
B
A


tgOPPQ 
0)(0
)(


ZdzYdyXdxdp
ZdzYdyXdxdp


gZYX  ;0;0
.....
0;0
321 

zzzctez
dzgdz
O 
 
SL
P
h
Q
p H
R
h

m5
Se d=1,2 
m10
B
A
m2
Se d=1,0 
 htgOPpPQ 
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 8 
 
Líquidos Superpostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,
)(0 21
221
121




hLogo
h
hPP
hPP



2211
11
0


hhP
hP
P
C
B
A



P
'P
1
2
hh
2h
1
SL
C
A
2
1h
B
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 9 
Exercícios: 
 
 
 
 
m6
B
A
m2
m4
0,11 d
2,12 d
a) 
b) 
m6
0,1d
SL
C
A
m4
B
0,1d
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 10 
Cálculo da Força exercida por líquido em equilíbrio sob ação exclusiva da 
gravidade 
 
Força sobre a parede plana vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a área do diagrama de pressões: 
 
 
, logo 
 
f = área do diagrama de pressões. 
 
 
Ponto de aplicação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de gravidade do diagrama de pressões. 
)(
2
)(
2
,
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
hh
l
F
f
hh
l
F
hdhlF
hldhdF
Logo
ldhdA
hp
pdAdF
h
h













)(
2
)(
2
)( 2
1
2
212
21 hhhh
hh
S 



S
hds
h
hdshS
dsdf
Sf
hdfhf
h
h
h
h
h
h








2
1
2
1
2
1
0
0
0
dh
0h

SL
1h
2h
h
dA
dS
O
A B
D C
Q P
M N
S
G
SL

Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força sobre parede retangular inclinada 
 
 
 
 
 
 
 
 
mhy
tfmmtfF
mlSe
mtfáreaf
mtfp
p
B
A
26
3
1
3
1
362/18
2:
/18
2
66
/6
0
2








mtf
d
f
mtfp
p
B
A
/5,25
2
6
/6
0
2





m6
SL

³/1 mtf
SL
B
A
³/1 mtf
SL
m6
A
B
d
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 12 
Cálculo da Força exercida para líquido em equilíbrio sobre superfície de 
geratriz reta e horizontal 
 
 
 
Componente Horizontal:É a força em uma parede vertical! 
 
hldsdF
ldsdA
hp
pdAdF











2
1
cos
cos
cos
h
h
hdhfx
l
Fx
hldhdFx
dsdh
hldsdFx
dFdFx





)(
2
2
1
2
2 hhfx 

O
'A
'D
'C
'B
A
D
dS
dA
B
C

h
h
x
SL
O
h
x
'' DA 
'' CB 
DA 
CB 
Fd

dS
Fd

dh
dx
HFd

VFd


O
h
x
DA 
CB 
'O
2h
1h
HG
Hf
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 13 
Componente Vertical: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular o peso que o líquido faz sobre a estrutura na unidade de 
comprimento: 
 
 
 
 
fv
 Corresponde ao peso do líquido sobre a estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 














fv
d
l
Fv
fv
hdx
l
Fv
fv
hldxdFv
senhldsdFv
dFsendFv
h
h
2
1
SFx
Fv
tg
FFF
fv
vPeso
xv










22
1
O
h
x
DA 
CB 
1h
2h
dS
Fd

dh
dx

d
dx
h
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 14 
Composição de Diagramas 
 
Estudemos o líquido na área interna da estrutura. 
 
 
Horizontal 
 
 
 
Vertical 
 
 
 
 
A
B
B
C
A
B
C
diagrama 
resultante 
D D



A
B
C D
A
D
B
D
B
C

SL
A
B
C D
diagrama 
resultante 
Hidrostática 
 Hidráulica Teórica Página 15 
Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SL
h
r
a) 
b) 
c) 
SL
A
B
1h
1h

SL
1h
r
A
B
C
D
2h
3h