Apostila: Cálculo Numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U N I V E R S I DA D E
CANDIDO MENDES
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 
 
Impressão 
e 
Editoração 
 
0800 283 8380 
 
www.ucamprominas.com.br 
 
2 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
UNIDADE 1 – ERROS ........................................................................................... 8 
UNIDADE 2 – ZEROS DE FUNÇÕES ................................................................. 32 
UNIDADE 3 – SISTEMAS LINEARES ................................................................. 51 
CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ........................................................................... 77 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
 
Vamos iniciar a disposição teórica e prática de uma das disciplinas que 
compõem a sua matriz curricular, que é a disciplina de Cálculo Numérico. Você 
saberia ou teria ideia de como calcular a idade da Lua? Saberia descrever o 
número de bactérias em uma determinada colônia? Saberia interpretar e 
modelar situações envolvendo a Deflexão de uma Viga Simplesmente 
Engastada? Descrever o cálculo de probabilidades envolvendo o futebol? 
Todas estas questões e muitas outras que aparecem no nosso dia a dia, podem 
ser respondidas através dos procedimentos envolvendo o Cálculo Numérico. 
Já sabemos que a Matemática é uma ciência exata que faz parte da vida 
teórica e prática do nosso cotidiano. Mais precisamente, percebemos que a 
Matemática é uma ferramenta chave para a interpretação e resolução de 
problemas diversos, ou até mesmo em situações mais complexas relacionadas a 
modelagens (métodos numéricos e simulação de dados), a partir da utilização de 
conceitos e métodos mais simples até os mais sofisticados. 
Especificamente falando, por exemplo, operações e propriedades básicas 
aparecem comumente como alicerce para a resposta de problemas diversos, tais 
como os relacionados à Física, Engenharia, Ciências Sociais e a Química. Neste 
sentido, o conceito de função surge quando procuramos estudar, entender e 
modelar fenômenos de uma forma geral, sendo considerada uma das principais 
definições da Matemática presente fortemente nas modelagens em várias áreas 
do conhecimento. Os diversos tipos de funções contribuem de forma significativa 
para a determinação de soluções de problemas bem peculiares, sendo assim, a 
caracterização algébrica e geométrica de funções mais complexas é muito 
importante, sendo assim, percebemos a aplicabilidade da noção de limites para 
tirarmos informações acerca destas funções mais complexas. Porém, em várias 
situações, é necessário que na modelagem façamos alguns experimentos e, 
consequentemente, algumas modelagens via métodos numéricos, sendo assim, 
surge o Cálculo Numérico. Em particular, aqui pode aparecer, um instrumento 
muito utilizado na área computacional que são os algoritmos, que entendemos ser 
uma sequência lógica de passos para a resolução de um problema ou situação 
problema. 
4 
 
É interessante salientarmos que podemos dividir a Matemática em duas 
fatias com relação ao cálculo, ou seja, temos o cálculo numérico e o cálculo 
algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. Os 
cálculos envolvendo frações, também são abordados e explorados de forma 
complexa. O cálculo algébrico está diretamente ligado às expressões algébricas, 
envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, podemos falar 
que todos os conceitos e métodos fixados no cálculo numérico são utilizados 
comumente. 
Algumas situações envolvendo cálculo numérico serão resolvidas 
abordando os conteúdos utilizados na demonstração. 
 
Figura 01: Dividindo os cálculos no âmbito da Matemática. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
Dessa maneira, uma subárea da Matemática, se podemos dizer assim, 
surge e está diretamente ligada ao Cálculo Numérico, que é a Análise 
numérica, que pode ser descrita como o estudo de algoritmos que 
buscam resultados numéricos de problemas das mais diferentes áreas do 
conhecimento humano, modelados matematicamente. Salientamos que em 
termos gerais, os algoritmos de métodos numéricos se dividem em diretos, 
recursivos (recursão) e iterativos (iteração). Especificamente falando, os iterativos 
5 
 
apresentam uma sucessão de passos que converge ou não para o valor 
aproximado da solução exata. Desta forma, constitui objetivo da Análise Numérica 
encontrar sucessões que aproximem os valores exatos com um número mínimo 
de operações elementares. 
 
Saiba Mais! O objetivo do campo de Análise Numérica é projetar e analisar 
técnicas para encontrar soluções aproximadas, porém precisas, para 
problemas complexos, cuja variedade é demonstrada na Figura 02, na 
sequência. 
Figura 02: Objetivos da Análise Matemática. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Por exemplo, atualmente, através da Análise Numérica, conhecemos o 
valor de π e da constante de Euler (e = 2,71....) com milhões de casas conhecidas 
e com alto grau de precisão. De outra forma, uma das escrituras de matemáticos 
da Antiguidade é o tablet babilônio YBC 7289, que fornece uma 
aproximação sexagesimal da raiz quadrada de 2 (
2
) e o 
comprimento da diagonal de um quadrado unitário. 
Você Sabia? É interessante comentarmos que ser capaz de calcular as faces 
de um triângulo e, desta forma, o de conhecer as suas raízes quadradas é 
muito importante, por exemplo, em carpintaria e construção civil. Em uma 
6 
 
parede quadrada que tem dois metros por dois metros, uma diagonal deve 
medir exatamente
8
 = 2,3 metros. 
 
Ressaltamos ainda que a Análise Numérica tenha sido concebida antes do 
desenvolvimento computacional (dos computadores), tal como percebemos hoje, 
esta teoria se relaciona a uma interdisciplinaridade entre a Matemática e 
a Tecnologia da Informação, daí o surgimento do termo Cálculo Numérico. 
Os procedimentos mais elementares e conhecidos do Cálculo Numérico são os 
Erros, Zeros de Funções e o Método de Newton e o Método de Newton-
Raphson. 
 
 
Figura 03: Termos que aparecem no cálculo numérico. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Portanto, notamos que a Matemática pode ter relação direta com a ciência 
e tecnologia, sendo que algumas de suas áreas surgiram e foram desenvolvidas 
na tratativa, podendo ser frustradas ou não, de solucionarmos problemas reais via 
modelos matemáticos, ou seja, aqueles direcionados com alguma situação 
problema prática. Note também que em grande parte, tais problemas podem não 
ser resolvidos através de fórmulas ou expressões matemáticas exatas, logo, 
7 
 
comumente, devemos aceitar uma solução aproximada via métodos numéricos, 
que seriam as ferramentas mais adequadas para sua solução. 
 
Você Sabia? As demonstrações envolvendo teoremas de existência e 
unicidade (E.D.O., por exemplo) feitas por contrapositiva (ou redução ao 
absurdo), constituem exemplos de solução que não gera método 
construtivo. Contrariamente, qualquer algoritmo pode ser considerado um 
exemplo de solução que gera método construtivo. 
 
A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está 
estruturado em duas Unidades,descritas a seguir: 
 
 Unidade 1: Erros – apresentaremos a teoria acerca dos erros, bem 
como, descreveremos procedimentos sistemáticos para encontrarmos as raízes 
de uma função y = f(x), como localização e descrição o seu valor. 
 
 Unidade 2: Zeros de Funções – descreveremos procedimentos 
sistemáticos para encontrarmos as raízes de uma função y = f(x), como 
localização e descrição o seu valor. 
 
 Unidade 3: Sistemas Lineares – descreveremos procedimentos 
sistemáticos para encontrarmos a solução de sistemas lineares, teoria esta, 
utilizada em várias áreas do conhecimento. 
 
Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se 
destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na 
estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para 
que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Desta forma, é muito 
importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos, 
revistas e, principalmente, nas nossas referências. 
 Além disso, tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como 
forma de propiciar um bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina. 
Sempre refaça os diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio. 
8 
 
UNIDADE 1 – ERROS 
 
1. Aspectos Introdutórios da Unidade 
Sabemos que em diversas áreas da ciência é muito comum a resolução de 
problemas que envolvem a determinação de zeros de uma função (raízes da 
equação), isto é, o cálculo de valores de x que satisfazem a equação y = f(x) = 0. 
É interessante então caracterizarmos a localização de cada uma destas raízes 
(localização) e obviamente o seu valor. Desta forma, de acordo com PUGA, 
TÁRCIA e PAZ (2009), falamos: 
 localização da Raiz – localizar ou separar uma raiz é caracterizar um 
intervalo da reta real, de preferência de amplitude reduzida, que contém a raiz e 
somente uma raiz; 
 cálculo da Raiz – existem diversos métodos para a determinação das 
raízes, como estudaremos alguns destes métodos. 
Além disso, um outro conceito importante no aspecto da simulação ou da 
análise numérica ou do cálculo numérico é o erro. De acordo com o dicionário, 
erro significa uma consequência de uma ação inesperada, sem planejamento, 
conhecimento. Sabemos que a obtenção de uma solução numérica para um 
problema físico qualquer por meio da aplicação de métodos numéricos nem 
sempre fornece valores que se encaixam dentro de limites razoáveis e desejáveis. 
Tal afirmação é verdadeira mesmo quando se aplica um método adequado e os 
cálculos são efetuados de uma maneira correta, sendo que esta diferença, 
matematicamente falando, é denominada de erro e é importante ao processo, 
sendo que em alguns casos não temos como desprezá-la. 
 
 
9 
 
 
Figura 04: As várias fases da resolução de um problema real. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Observe que claramente visualizamos duas fases importantíssimas na 
Figura 04 anterior, que são: 
 modelagem – é a fase de obtenção de um modelo matemático que 
descreve o comportamento do sistema físico em questão; 
 resolução – é a fase de obtenção da solução do modelo matemático 
através da aplicação de métodos numéricos. 
 
 
 
 
Figura 05: Fases importantes da resolução de um problema real. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Não é difícil de acontecer que os resultados finais estejam distantes do que 
se esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas 
corretamente. Ressaltamos que os resultados obtidos mantêm relação direta com 
a precisão dos dados da entrada, da forma de como estes dados são 
apresentados no computador e das operações numéricas (métodos) efetuadas no 
desenvolvimento. Desta forma, segundo Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
10 
 
os dados de entrada contêm uma imprecisão inerente, isto é, não há como evitar 
que ocorram, uma vez que representam medidas obtidas usando equipamentos 
específicos, como, por exemplo, no caso de medidas de corrente e tensão num 
circuito elétrico, ou então, podem ser dados resultantes de pesquisas ou 
levantamentos, como no caso de dados populacionais obtidos num 
recenseamento. Nesta unidade, estaremos interessados principalmente nos erros 
que surgem da representação de números num computador e os erros resultantes 
das operações numéricas efetuadas. 
Nesta unidade é de nosso interesse apresentar alguns aspectos sobre a 
teoria de erros, bem como procedimentos de determinação das raízes de uma 
função. Neste sentido, ao final desta unidade, o aluno será capaz de: 
 apresentar a Importância da Obtenção de uma Solução Numérica para 
Modelagens; 
 apresentar a Conversão de Números nos sistemas decimal e binário; 
 definir e apresentar a Aritmética do Ponto Flutuante de um Computador 
ou Calculadora; 
 apresentar e aplicar os Erros Absolutos e Relativos; 
 apresentar e analisar os Erros de Arredondamento e Truncamento em 
um Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante; 
 apresentar alguns exemplos introdutórios envolvendo os tópicos 
discutidos anteriormente. 
 
2. Como são os Erros No Desenvolvimento da Modelagem? 
 Ao tentarmos representar um fenômeno do mundo físico por meio de um 
modelo matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. 
Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se 
tenha um modelo matemático com qual se possa trabalhar. 
Exemplificando, podemos observar estas simplificações nas Leis de Mecânica 
que são ensinadas no segundo grau, nos exemplos que seguem. 
Exemplo 01: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), para 
o estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante, temos a 
seguinte equação associada: 
11 
 
(1) d= d
0
 + v
0
.t + 
2..
2
1
ta
 
Onde: 
d: distância percorrida; 
d
0
: distância inicial; 
v
0
: velocidade inicial; 
t: tempo; 
a: aceleração. 
 
Vamos supor que um engenheiro queira determinar a altura de um edifício 
e que para isso disponha apenas de uma bolinha de metal, um cronômetro e a 
fórmula acima, ele sobe então ao topo do edifício e mede o tempo que a bolinha 
gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos. Levando este valor à Equação 01 
acima, obtemos: 
d = 0 + 0.3 +
2)3.(8,9.
2
1
 
d = 44, 1 metros 
 
Surge então a seguinte indagação: Você considera o valor encontrado 
como confiável? Existe confiabilidade neste procedimento? Observe que é 
bem provável que não, pois no modelo matemático não foram consideradas 
outras forças como, por exemplo, a resistência do ar, a velocidade do vento, entre 
outras. Além destas, existe um outro fator que tem muita influência: a precisão da 
leitura do cronômetro, pois para uma pequena variação no tempo medido existe 
uma grande variação na altura do edifício. Se o tempo medido fosse 3,5 segundos 
ao invés de 3 segundos, a altura do edifício seria de 60 metros. Em outras 
palavras, observamos para uma variação de 16,7% no valor lido no cronômetro, a 
altura calculada apresenta uma variação de 36%. A partir da situação descrita 
anteriormente, pode-se notar a grande influência que o modelo matemático e a 
precisão dos dados obtidos exercem sobre a confiabilidade da resposta 
conseguida. 
Vejamos mais uma situação ilustrativa. 
12 
 
Exemplo 02: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), a 
variação no comprimento de uma barra de metal sujeita a uma certa variação de 
temperatura é dada pela seguinte fórmula: 
(2) 

l = l
0
.(

.t + 

.t 2 ) 
Onde: 
l = variação do comprimento; 
l
0
: comprimento inicial; 
t: temperatura; 

,

: constantes específicas para cada metal. 
 
Suponhamos que um pesquisador físico queira determinar a variação no 
comprimento de uma barra de metal quando sujeita a uma variação de 
temperatura de 10 0 C e sabendo-se que: 
l
0
 = 1 metro 





000068,0
001253,0

 obtidos experimentalmente 
Substituindo, estes valores na Equação (02) acima, segue que: 

l = 1 x (0,001253 x 10 + 0,000068 x 10 2 ) 

l = 0,019330 
 
Entretanto, como os valores de 

 e 

 foram obtidos experimentalmente 
com a precisão da ordem de 10 6 , temos que: 
 
0,001252 < 

 < 0,001254 
e 
0,000067 < 

 < 0,000069 
 
Então: 

l > 1 x (0,001252 x 10 + 0,000067 x 10 2 ) 

l < 1 x (0,001254 x 10 + 0,000069 x 10 2 ) 
Logo: 
13 
 
0,019220 < 

l < 0,019440 
 
Ou, ainda, 

l = 0,0193

10 4 
 
Como podemos notar, uma imprecisão na sexta casa decimal dos 
parâmetros 

 e 

 implicou uma imprecisão na quarta casa decimal de 

. 
Dependendo do instrumento que o físico utilize para medir a variação do 
comprimento, esta imprecisão não será notada e, para ele, o resultado será exato. 
Salientamos que se deve ter sempre em mente que a precisão do resultado 
obtido não é só função do modelo matemático adotado, mas também da precisão 
dos dados de entrada. No próximo tópico, descrevemos a parte relacionada a 
representação dos números e, surge então, o sistema de descrição de tais 
números, vamos lá? 
 
3. Representação de Números 
Observe as situações descritas a seguir. 
 
Exemplo 03: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), qual 
é o valor da área de uma circunferência de raio 100 m? Vejamos os resultados 
obtidos: 
a) A = 31400 m 2 
b) A = 31416 m 2 
c) A = 31415.92654 m 2 
 
Como justificar as diferenças entre os resultados? É possível obter 
“exatamente” esta área? Como proceder para verificação? 
 
Exemplo 04: conforme Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), caracterizar 
os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador: 
S = 


30000
1i
ix
 para x
i
= 0,5 e para x
i
= 0,11 
Vejamos os resultados obtidos: 
14 
 
i) Para x
i
= 0,5: Na calculadora: S =15000 
 No computador: S = 15000 
 
j) ii) Para x
i
= 0,11: Na calculadora: S = 3300 
 No computador: S = 3299,99691 
 
Como seria a justificativa da diferença entre os resultados obtidos pela 
calculadora e pelo computador para
ix
 = 0,11? Os erros ocorridos nos dois 
problemas dependem da representação dos números na máquina utilizada. A 
representação de um número depende da base escolhida ou disponível na 
máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. 
Uma das constantes mais importantes dentro da Matemática, o número 

, por 
exemplo, não pode ser representado através de um número finito de dígitos 
decimais. No Exemplo 03, o número 

 foi escrito como 3,14, 3,1416 e 
3,141592654, respectivamente, nos casos (a), (b) e (c). Em cada um deles foi 
obtido um resultado diferente, e percebemos, já que o erro neste caso então 
depende exclusivamente da aproximação escolhida para 

. 
Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida 
exatamente, uma vez que 

 é um número irracional. Você se lembra do conceito 
de número irracional no ensino básico? Geralmente, você deve notar que 
qualquer cálculo que envolva números que não podem ser representados através 
de um número finito de dígitos não fornecerá como resultado um valor exato. 
Quanto maior o número de dígitos utilizados, maior será a precisão obtida. Por 
isso, a melhor aproximação para o valor da área da circunferência no Exemplo 03 
é aquela obtida no caso (c). 
Além disso, um número pode ter representação finita em uma base e não-
finita em outras bases. Atualmente, percebemos que a base decimal é a que mais 
empregamos. Porém, na antiguidade, foram utilizadas outras bases, como a base 
12 e a base 60; como estudado na parte introdutória do nosso curso de Teoria 
dos Números, que descrevia sobre os diversos Sistemas de Numeração e Bases 
Posicionais. Não é novidade para nós, mas, o computador opera normalmente no 
sistema binário, já que é amplamente falado. Observe o que acontece na 
15 
 
interação entre o usuário e o computador: os dados de entrada são enviados ao 
computador pelo usuário no sistema décima; toda esta informação é convertida 
para o sistema binário, e as operações todas serão efetuadas neste sistema. 
Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, 
finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é 
uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos. Vamos estudar 
então os processos para conversão de números do sistema binário para o 
sistema decimal e vice-versa. 
 
 Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário, de 
acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987) 
Vejamos inicialmente a conversão de números inteiros. Para tal, 
consideremos os números (347)
10
 e (10111)
2
, ou seja, o número 347 está escrito 
na base 10, enquanto que o número 10111 está escrito na base 2. Desta forma, 
estes números podem ser assim escritos da seguinte forma: 
(347)
10
= 3 x10 2 + 4 x 10 1 + 7 x 10 0 
e 
(10111)
2
= 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 
 
De um modo geral, um número na base 

, (a
j
a
1j
...a
2
a
1
a
0
)

, com 0

 
a
k

 (

 – 1), k = 1, ..., j, pode ser escrito na forma: 
a
j
.
j
 + a
1j
.
1j
 + ... + a
2
.
2
 + a
1
.

 + a
0
.
0
. 
 
Com esta representação, podemos facilmente converter um número 
representado no sistema binário para o sistema decimal. Vejamos o exemplo 
abaixo. 
 
Exemplo 04: Conforme Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), temos que: 
(10111)
2
= 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 
 
Em seguida, colocamos o número 2 em evidência, obtendo: 
16 
 
(10111)
2
=2 x (1 + 2 x (1 + 2 x (1 + 2 x 1)))+ 1 =(23)
10
 
 
Deste exemplo, podemos obter um processo para converter um número 
qualquer representado no sistema binário para o sistema decimal: 
Procedimento de Conversão de um Número na Base 2 para a Base 10: 
De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), a representação do 
número (a
j
a
1j
...a
2
a
1
a
0
)
2
 na base 10, denotada por b
0
, é obtida através do 
processo: 
b
j
 = a
j
 
b
1j
=
1j
+ 2.b
j
 
b
2j
 = a
2j
 + 2. b
1j
 
............... 
............... 
................ 
b
1
 = a
1
 + 2.b
2
 
b
0
 = a
0
 + 2. b
1
 
 
Para (10111)
2
, a sequência obtida será: 
b
4
= a
4
= 1 
b
3
= a
3
+2.b
4
= 0 + 2 x1 = 2 
b
2
= a
2
+2. b
3
 = 1 + 2 x 2 = 5 
b
1
= a
1
 + 2. b
2
 = 1 + 2 x 5 = 11 
b
0
 = a
0
 + 2. b
1
 = 1 + 2 x 11 = 23 
 
É de nosso interesse agora, desenvolver o procedimento contrário, ou seja, 
queremos caracterizar um processo para converter um número inteiro 
representado no sistema decimal para o sistema binário. De acordo com Barroso, 
Filho, Carvalho e Maia (1987), para tal, consideremos o número N
0
 = (347)
10
e 
(a
j
a
1j
...a
2
a
1
a
0
)
2
 a sua representação na base 2, i.e.,a sua representação na 
base binária. Desta forma, temos então que: 
17 
 
347 = 2 x (
ja
x 2 1j +
1ja
 x 2 1j +...+
2a
 x 2 + 
1a
) + 
0a
= 2 x 173 +1 
 
E, portanto, o dígito a
0
 = 1 representa o resto da divisão de 347 por 2. 
 
Repetindo agora este processo para o número N
1
=173, temos que: 
173 = a
j
 x 2 1j + a
1j
 x 2 2j +...+ a
2
 x 2 + a
1
 
 
Obteremos o dígito a
1
, que será o resto da divisão de N
1
 por 2. Seguindo 
este raciocínio, obtemos a sequência de números N
j
 e a
j
. 
N
0
 = 347 = 2 x 173 + 1

 a
0
=1 
N
1
 = 173 = 2 x 86 + 1

 a
1
= 1 
N
2
 = 86 = 2 x 43 + 0

 a
2
=0 
N
3
 = 43 =2 x 21 + 1 

 a
3
=1 
N
4
 = 21= 2 x 10 +1 

 a
4
=1 
N
5
 = 10 = 2 x 5 + 0 

 a
5
=0 
N
6
 = 5 = 2 x 2 + 1

 N
6
=1 
N
7
= 2 = 2 x 1 + 0 

 a
7
=0 
N
8
 = 1 = 2 x 0 + 1 

 a
8
=1 
 
Portanto, a representação de (347)
10
 na base 2 será 101011011. 
 
Procedimento de Conversão de um Número na Base Decimal para a 
Base Binária: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
geralmente, consideremos um número inteiro N na base 10 e a sua representação 
binária denotada por: (a
j
a
1j
...a
2
a
1
a
0
)
2
. O algoritmo que descrevemos a seguir 
determina a cada k o dígito binário a
k
. Temos a seguinte sequência de passos: 
Passo 0: k = 0 
N
k
 = N 
 
18 
 
Passo 01: obtenha q
k
e r
k
tais que: 
N
k
= 2 x q
k
 + r
k
 
Faça a
k
= r 
k
 
 
Passo 02: Se q
k
 = 0, pare. 
 Caso contrário, faça N
1k
= q
k
. 
 Faça k = k +1 e volte para o passo 1. 
 
Consideremos agora a conversão de um número fracionário da base 10 
para a base 2. Sejam, por exemplo: 
r = 0,125, s = 0,6666666..., t = 0,414213562... 
 
Sendo assim, dizemos que r tem representação finita e, que s e t 
possuem representação infinita. 
Daí surge naturalmente a seguinte indagação: Dado um número entre 0 e 1 
no sistema decimal, como obter sua representação binária? 
Considerando o número r = 0,125, existem dígitos binários : d
1
, d
2
, ..., d
j
, 
..., tais que (0,d
1
d
2
... d
j
)
2
 será sua representação na base 2. Assim, 
(0,125)
10
= d
1
 x 2 1 + d
2
 x 2 2 +...+ d
j
 x 2 j +... 
 
Multiplicando cada termo da expressão acima por 2 obtemos: 
2 x 0,125 = 0,250 = d
1
 + d
2
 x 2 1 +...+ d
j
x 2 1 j +... 
E, portanto, d
1
 representa a parte inteira de 2 x 0,125 que é igual a zero e 
d
2
 x 12 + d
3
 x 22 +...+
jd
 x 12  j +..., representa a parte fracionária de 2 x 0,125 
que é 0,250. 
Aplicando agora o mesmo procedimento para 0,250, teremos: 
0,250 = d
2
 x 12  d
3
 x 2 2 +...+
jd
 x 2 j 1 +...

 2 x 0,250 = 0,5 = 
 = d
2
+ d
3
 x 2 1 + d
4
x 22 +...+
jd
 x 2 j 2 +...

 d
2
= 0 
E, repedindo o processo para 0,5, obtemos: 
19 
 
0,5 = d
3
 x 12  d
4
 x 2 2 +...+ d
j
 x 2 2 j +...

 
2 x 0,5 = 1,0 = d
3
+ d
4
 x 2 1 +...+ d
j
 x 32  j +... d
3
 = 1 
 
Como a parte fracionária de 2 x 0,5 é zero, o processo de conversão 
termina, e teremos: d
1
 = 0, d
2
 = 0 e d
3
 = 1 e, portanto, o número (0,125)
10
 tem 
representação finita na base 2: (0,001)
2
. 
Devemos ter em mente, a seguinte observação importante abaixo: 
 
Você Sabia? Um número real entre 0 e 1 pode ter representação finita no 
sistema decimal, mas representação infinita no sistema binário. 
 
Em termos gerais, seja r um número entre 0 e 1 no sistema decimal e 
(0,d
1
d
2
... d
j
)
2
 sua representação no sistema binário. 
Os dígitos binários d
1
, d
2
, ..., d
j
, ... são obtidos através do seguinte 
algoritmo: 
Passo 0: r
1
 = r; k = 1 
 
Passo 01: calcule 2
kr
. 
 Se 2
kr

1,faça: 
kd
=1, 
 caso contrario, faça:
kd
= 0 
 
Passo 02: Faça 
kr 1
= 2
kr
 – 
kd
. 
 Se 
kr 1
= 0, pare. 
 Caso contrario: 
 
Passo 03: 
k
 = 
1k
. 
 Volte ao Passo 01. 
 
20 
 
Cabe observarmos que o algoritmo pode ou não parar após um número 
finito de passos. Para 
10)125,0(r
 teremos 
4r
= 0. Já para 
10)1,0(r
, teremos: 
1r
 = 
0,1. 
 
1k
 
12r
 = 0,2

 
1d
 = 0 
 
2r
 = 0,2 
 
2k
 
22r
 = 0,4

 
2d
= 0 
 
3r
 = 0,4 
 
3k
 
32r
 = 0,8

 
3d
 = 0 
 
4r
= 0,8 
 
4k
 
42r
= 1,6

 
4d
= 1 
 
5r
 = 0,6 
 
5k
 
52r
 =1,2

 
5d
 = 1 
 
6r
= 0,2 = 
2r
 
 
Como 
6r
 = 
2r
, teremos que os resultados para k de 2 a 5 se repetirão e, 
então: 
10r
 = 
6r
 = 
2r
= 0,2 e assim indefinidamente. Desta forma, concluímos que: 
(0,1)
10
 = (0,0001100110011
0011
...)
2
 
E, portanto, o número (0.1)
10
 não tem representação binária finita. 
O fato de um número não ter representação finita no sistema binário pode 
acarretar a ocorrência de erros aparentemente inexplicáveis em cálculos 
efetuados em sistema computacionais binários. Analisando o Exemplo 04, da 
Seção 3, e usando o processo de conversão descrito anteriormente, temos que o 
número (0,5)
10
 tem representação finita no sistema binário: (0,1)
2
; já o número 
(0,11)
10
 terá representação infinita: 
(0,0001110000101000111101
10001111010111000010
...)
2
 
 
Um computador que opera no sistema binário irá armazenar uma 
aproximação para (0,1)
10
, uma vez que possui uma quantidade fixa de posições 
para guardar os dígitos da mantissa de um número, e esta aproximação será 
21 
 
usada para os cálculos. Não se pode, portanto, esperar um resultado exato. 
Consideremos agora um número entre 0 e 1 representando no sistema binário: 
(
r
)
2
=(0,
1d 2d
 ...
jd
...)
2
 
Como podemos obter sua representação no sistema decimal? Um 
processo para conversão é equivalente ao que descrevemos anteriormente. 
Definindo 
1r
 = r, a cada iteração k, o processo de conversão multiplica o número 
kr
 por (10)
10
 = (1010)
2
 e obtém o dígito b
k
 como sendo a parte inteira deste 
produto convertida para a base decimal. É importante observar que as operações 
devem ser efetuadas no sistema binário. 
O algoritmo a seguir formaliza este processo. 
Passo 0: 
1r
 = 
r
; 
k
 = 1 
 
Passo 01: calcule 
kw
 = (1010)
2
 x 
kr
. 
 Seja 
kz
 a parte inteira de 
kw
 
 
kb
 é a conversão de 
kz
 para a base 10. 
 
Passo 02: Faça 
kr 1
 = 
kw
 – 
kz
 
 Se r
1k
 = 0 pare. 
 
Passo 03: k = k+1. 
 Volte ao passo 1. 
 Por exemplo, considere o número: 
(r)
2
 = (0,000111)
2
= (0,
1b 2b
...
jb
)
10
 
 
Seguindo o algoritmo, teremos: 
1r
 = (0,000111)
2
. 
1w
 = (1010)
2
 x 
1r
=1,00011 

 
1b
 = 1 e 
2r
=0.00011. 
2w
 = (1010)
2
 x 
2r
 = 0,111 

 
2b
= 0 e 
3r
=0.1111. 
3w
 = (1010)
2
 x 
3r
 = 1001,011
 
3b
= 9 e 
4r
= 0,011. 
4w
 = (1010)
2
 x 
4r
= 11,11 

 
4b
= 3 e 
5r
 = 0,11. 
22 
 
5w
 = (1010)
2
 x 
5r
 = 111,1 

 b
5
 = 7 e 
6r
 = 0,1. 
6w
 = (1010)
2
 x 
6r
 = 101 

 
6b
 = 5 e 
7r
= 0. 
 
Portanto (0,000111)
2
 = (0,109375)
10
, e podemos agora entender melhor 
por que o resultado da operação S = 


30000
1
11,0
i
 não é obtido exatamente num 
computador. Já vimos que (0,11)
10
 não tem representação finita no sistema 
binário. Supondo um computador que trabalhe com apenas 6 dígitos na mantissa, 
o número (0,11)
10
 seria armazenado como (0,000111)
2
 e este número 
representa exatamente (0,109375)
10
. Portanto, todas as operações que envolvem 
o número (0,11)
10
 seriam realizadas com esta aproximação. Veremos na próxima 
seção, a representação de números em aritmética de ponto flutuante com o 
objetivo de se entender melhor a causa de resultados imprecisos em operações 
numéricas. 
 
 Aritmética de Ponto Flutuante – de acordo com Barroso, Filho, 
Carvalho e Maia (1987), um computador ou calculadora representa um número 
real no sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Neste sistema, o 
número r será representado na forma: 

(,
1d 2d
...
d
) x
e
 
 
Onde: 

: é a base em que a máquina opera; 
t: é o número de dígitos na mantissa; 0 

 
jd

 (

 – 1), j = 1,...,t, d
1

0; 
e: é o expoente no intervalo [1; u]. 
 
Em qualquer máquina, apenas um subconjunto dos números reais é 
representado exatamente, e, portanto, a representação de um número real será 
realizada através de truncamento ou de arredondamento. Consideremos, por 
exemplo, uma máquina que opera no sistema: 

 = 10; t = 3; e

[-5,5]. 
23 
 
Os números serão representados na seguinte forma nesse sistema: 
0,
1d 2d 3d
 x 10 e , 0 

 
jd

 9, 
1d

0, e 

 [-5,5] 
O menor número, em valor absoluto, representado nesta máquina é: 
M = 0,100 x 10 5 = 10 6 
E o maior número, em valor absoluto, é: 
M = 0,999 

10 5 = 99900 
Consideremos o conjunto dos números reais 

 e o seguinte conjunto: 
G = {x
 
 / m

 | x |

 M} 
Dado um número real x, vários casos poderão ocorrer, como segue: 
- Caso 01: x

G – por exemplo: x = 235,89 = 0,23589
310
. Observe que 
este número possui 5 dígitos na mantissa. Então representados exatamente nesta 
máquina os números: 
0,235

10 3 e 0,236

103 . Se for usado o truncamento, x será representado 
por 0,235 

10 3 e, se for usado o arredondamento, x será representado por 0,236 

10 3 (o truncamento e o arredondamento serão estudados nas próximas seções). 
 
- Caso 02: | x | < m – por exemplo: x = 0,345 

10 7 . Este número não pode 
ser representado nesta máquina porque o expoente e é menor que -5. Esta é uma 
situação em que a máquina acusa a ocorrência de underflow. 
- Caso 03: | x | > m: Por exemplo: x = 0,875 

109 . Neste caso, o expoente 
é maior que 5 e a máquina acusa a ocorrência de overflow. 
De acordo com Ruggiero e Lopes (1996), algumas linguagens de 
programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla. 
Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética de ponto 
flutuante da máquina, mas com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis 
na mantissa. É importante observarmos que, neste caso, o tempo de execução e 
requerimentos de memória aumentam de forma significativa. O zero em ponto 
flutuante é, em geral, apresentado com o menor expoente possível na máquina. 
Isto porque, a representação do zero por uma mantissa nula e um expoente 
qualquer para a base 

 pode acarretar perda de dígitos significativos no 
resultado da adição deste zero a um outro número. Por exemplo, em uma 
máquina que opera na base 10 com 4 dígitos na mantissa, para x = 0,0000 x 10 4 
24 
 
e y = 0,3134 x10 2 , o resultado de x + y seria 0,3100 

10 2 , isto é, são perdidos 
dois dígitos do valor exato y. 
Exemplo 05: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
encontrar a representação dos números x descritos a seguir num sistema de 
aritmética de ponto flutuante de três dígitos para 

 = 10, m = - 4 e M = 4. 
 x = 1,25 
 x = 10,053 
 x = -238,15 
 x = 2,71828... 
 x = 0,000007 
 718235,82 
 
Solução: neste caso, as representações obtidas por arredondamento e por 
truncamento são mostradas na Figura 06 a seguir. 
 
Representação obtida Representação obtida 
por arredondamento por truncamento 
 1,25 0,125 x 10 
0,125 x 10 
 10,053 0,101 x 10 2 
0,100 x 10 2 
 -238,15 - 0,238 x 10 3 
- 0,238 x 10 3 
 2,71828... 0,272 x 10 
0,271 x 10 
 0,000007 (expoente menor que – 4) 
= 
 718235,82 (expoente maior que 4) 
= 
Figura 06: Resolução do Exemplo 05. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
25 
 
4. Erros 
Agora, nosso interesse é o de definir e discutir toda a teoria que envolve os 
principais tipos de erros, que são: os erros absolutos e os erros relativos, que 
são caracterizados logo abaixo. 
 Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário, conforme 
Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
No Exemplo 03, diferentes resultados para a área da circunferência foram 
obtidos, dependendo da aproximação adotada para o valor da 

. 
Definição: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
denominamos de erro absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e 
de seu valor aproximado 
x
. Denotaremos o erro absoluto de x por EA
x
. Em 
outras palavras, ou em símbolos, temos que: EA
x
 = x – 
x
. 
Em geral, apenas o valor 
x
 é conhecido, e, neste caso, é impossível obter 
o valor exato do erro absoluto. Por exemplo, sabendo-se que 
 
 (3,14; 3,15) 
tomaremos para 

 um valor dentro deste intervalo e teremos, então, | EA
x
 | = | 

 
– 

 | < 0,01. Seja agora o número x representado por x = 2112,9, de tal forma 
que | EA
x
| < 0,1, ou seja, x

 (2112,8; 2113) e seja o número y representado por 
y
 = 5,3, de tal forma que | EA
y
 | < 0,1, ou seja, y

(5,2; 5,4). Os limitantes 
superiores para os erros absolutos são os mesmos. Desta forma, surge a 
seguinte indagação: Podemos dizer que ambos os números estão 
representados com a mesma precisão? Para tal resposta, segundo Ruggiero e 
Lopes (1996), é necessário compararmos a ordem de grandeza de x e y. 
Definição: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
definimos o erro relativo como sendo o erro absoluto dividido pelo valor 
aproximado. Denotaremos tal erro por ER
x
. Em símbolos, temos que ER
x
 = 
x
EAx
. 
Note que na ilustração anterior, temos que | ER
x
| = 
||
||
x
EAx
 < 
9,2112
1,0
 

 4,7 
x 10 5 . Confirmando, portanto, que o número x é representado com maior 
precisãoque o número y. 
26 
 
 
 Erros de Arredondamento e Truncamento em um Sistema de 
Aritmética de Ponto Flutuante 
De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), vimos 
anteriormente que a representação de um número depende fundamentalmente da 
máquina utilizada, pois seu sistema estabelecerá a base adotada, o total de 
dígitos na mantissa, entre outros. Consideremos um sistema que opera em 
aritmética de ponto flutuante de t dígitos na base 10, e seja x, escrito na forma: 
x = f
x
 x 10 e + g
x
 x 10 te onde 0,1 

 f
x

 1 e 0 

 g
x

 1. 
Por exemplo, se t = 4 e x = 234,57 , então: 
x = 0,2345 x 10 3 + 0,7 x 10 1 donde f
x
 = 0,2345 e g
x
 = 0,7. 
É claro que na representação de x neste sistema g
x
 x 10 te , não pode ser 
incorporado totalmente à mantissa. Então, surge a questão de como considerar 
esta parcela na mantissa e definir o erro absoluto (ou relativo) máximo cometido. 
Vimos anteriormente também, que podem ser adotados dois critérios: o do 
arredondamento e o do truncamento (ou cancelamento). No truncamento, g
x
 
x 10 te é desprezado e x = f
x
 x 10 e . Neste caso, temos que: 
| EA
x
 | = | x – 
x
 | = | g
x
| x 10 te < 10 te , visto que | g
x
| < 1 
E 
| ER
x
| = 
||
||
x
EAx
 < 
e
x
te
x
xf
xg
10||
10|| 
 < 
e
te
x101,0
10 
 = 10 1t , visto que 0,1 é o menor 
valor possível para f
x
. Por outro lado, no arredondamento, 
xf
 é modificado para 
levar em consideração g
x
. A forma de arredondamento mais utilizada é o 
arredondamento simétrico: 
x
 = 









2
1
||,1010
2
1
||,10
x
tee
x
x
e
x
gsexf
gsexf
 
Portanto, se | g
x
| < 
2
1
, g
x
 é desprezado, caso contrário, somamos o 
número 1 ao último dígito de f
x
. Então, se | g
x
 | < 
2
1
 teremos | EA
x
 | = 
27 
 
| x – 
x
 | = | g
x
| x 10 te < 
2
1
 x 10 te e | ER
x
| = 
||
||
x
EAx
 < 
e
x
te
x
xf
xg
10||
10|| 
 < 
e
te
x
x
101,0
105,0 
 = 
2
1
 x 10 1t . E se 
2
1
|| xg
, teremos: 
| EA
x
 | = | x – 
x
 | = | (f
x
 x 10 e + g
x
 x 10 te ) – (f
x
 x 10 e + 10 te ) | = | g
x
 x 
10 te – 10 te | = |( g
x
 – 1)| x 10 te

2
1
 x 10 te 
E 
| ER
x
| = 
||
||
x
EAx
 

 
|1010|
105,0
tee
x
te
xf
x



 < 
e
x
te
xf
x
10||
105,0 
 < 
e
te
x
x
101,0
105,0 
 = 
2
1
 x 10 1t 
 
Portanto, em qualquer caso, teremos | EA
x
 | 

 
2
1
 x 10 te e | ER
x
| = 
2
1
 x 10 1t . Devemos salientar ainda que, apesar de incorrer em erros menores, o 
uso do arredondamento acarreta um tempo maior de execução e por esta razão o 
truncamento é mais utilizado. 
 Análise de Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante 
De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), dada uma 
sequência de operações, como, por exemplo, u = [(x + y) – z – t]

w, é importante 
a noção de como o erro em uma operação propaga-se ao longo das operações 
subsequentes. O erro total em uma operação é composto pelo erro das parcelas 
ou fatores e pelo erro no resultado da operação. Nos exemplos a seguir, 
suponhamos que as operações são efetuadas num sistema de aritmética de 
ponto flutuante de quatro dígitos, na base 10, e com acumulador de precisão 
dupla. 
Exemplo 06: Conforme Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), dados 
x
= 
0,937
410
e y = 0,1272
210
, obter x + y. 
Solução: a adição em aritmética de ponto flutuante necessita do 
alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para isto, a mantissa do 
número de menor expoente deve ser deslocada para a direita. Este deslocamento 
deve ser de um número de casas decimais igual à diferença entre dois expoentes. 
Desta forma, alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos que: 
28 
 
x = 0,937
410
e y = 0,001272
410
 
Então, 
x + y = (0,937 + 0,001272)
410
 = 0,938272
410
 
Este é o resultado exato desta operação. Dado que em nosso sistema t é 
igual a 4, este resultado dever ser arredondado ou truncado. 
Então, 
yx 
 = 0,938272
410
 no arredondamento e 
yx 
 = 0,9382
410
no 
truncamento. 
Exemplo 07: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), sejam 
x e y do Exemplo anterior. Qual é o valor do produto x.y? 
Solução: Neste caso, temos que: 
x.y = (0,937

10 4 )

(0,1272

10 2 ) 
x.y = (0,937

0.,272)

10 6 
x.y = 0,1191864

10 6 . 
Então, 
yx.
 = 0,1192
610
, caso efetuemos o arredondamento, e 
yx.
 = 
0,1191
610
, se for efetuado o truncamento. 
Os dois exemplos anteriores (06 e 07) mostram que ainda que as parcelas 
ou fatores de uma operação estejam representados exatamente no sistema, não 
se pode esperar que o resultado armazenado seja exato. Na maioria dos 
sistemas, o resultado exato da operação que denotaremos por OP é normalizado 
e, em seguida, arredondado ou truncado para t dígitos, obtendo assim o resultado 
aproximado 
OP
 que é armazenado na memória da máquina. 
Então, conforme já vimos anteriormente, o erro relativo no resultado de 
uma operação (supondo que as parcelas ou fatores estão representados 
exatamente) será: 
|ER
OP
| < 10 1t no truncamento 
E 
|ER
OP
| < 
2
1
.10 1t no arredondamento. 
 
Veremos a seguir as fórmulas para o erro absoluto e para o erro relativo 
nas operações aritméticas com erros nas parcelas ou fatores. Suponhamos que o 
erro final é arredondado. 
29 
 
Consideremos x e y, tais que x = 
x
 + EA
X
 e y = 
y
 + EA
Y
. 
Adição: 
yx 
 
x + y = (
x
 + EA
X
) + (
y
 + EA
Y
) = (
x
 +
y
) + (EA
X
 + EA
Y
) 
Então, o erro absoluto na soma, denotado por EA
YX 
 é a soma dos erros 
absolutos das parcelas: 
EA
YX 
 = EA
X
 + EA
Y
 
O erro relativo será: 
 
EA
YX 
=
yx 
YXEA
= 
x
EAX








 yx
x
+
y
EAy
.








 yx
y
= ER
X








 yx
x
+ ER
Y
.








 yx
y
 






 yx
y
. 
Subtração: x – y 
De forma análoga, temos que: 
 
EA
YX 
= EA
X
 – EA
Y
 
e 
ER
YX 
 = 
yx 
 YX EAEA
 = ER
X








 yx
x
 – ER
Y
.








 yx
y
 
 
Produto: x.y 
x.y = (
x
 + EA
X
).(
y
 + EA
Y
) = 
x
.
y
 + 
x
. EA
Y
 + 
y
.EA
X
 + (EA
X
.EA
Y
) 
 
Considerando que (EA
X
.EA
Y
) é um número pequeno, podemos desprezar 
este termo da expressão acima, sendo assim, teremos então que: 
EA
YX .
 

 
x
.EA
Y
 + 
y
.EA
X
 
ER
YX .
 

 
yx
y
.
EA..EAx XY 
 = 
x
XEA
 + 
y
YEA
= ER
X
 + ER
Y
 
 
Divisão: 
y
x
 
30 
 
y
x
 = 
Y
X
EAy
EAx

 = 
y
EAx X
=
y
YEA1
1

 
Representando o fator 
y
YEA1
1

 sob a forma de uma série infinita, teremos: 
 
y
YEA1
1

 = 1 – 
y
YEA
 + 2








y
EAY
 – 3








y
EAY
+ ... 
E desprezando os termos com potênciasmaiores do que 1, obteremos: 
y
x
 

 
y
EAx X
.









y
EAY1
 = 
y
x
 + 
y
EA X
 – 
2)(
.
y
EAx Y
– 
2)(
.
y
EAEA YX
 
Então, 
 
y
x 
y
x
 + 
y
EA X
– 
2)(
.
y
EAx Y
 
Desta forma, 
EA
Y
X
 

y
EA X
– 
2)(
.
y
EAx Y
 = 
2)(
.
y
EAy X
 – 
2)(
.
y
EAx Y
 = 
2)(
..
y
EAxEAy YX 
 
 
ER
Y
X
 

y
x
y
EAxEAy YX .
)(
..
2 






  = 
x
EA X
– 
y
EA Y
 = ER
X
 – ER
Y
 
Escrevemos todas essas fórmulas sem considerar o erro de 
arredondamento ou truncamento no resultado. A análise completa da propagação 
de erros se faz considerando os erros nas parcelas ou fatores e no resultado de 
cada operação efetuada. 
Exemplo 08: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
supondo que x, y, z e t estejam representados exatamente, qual o erro total no 
cálculo de u = (x + y)z – t? (Calcularemos o erro relativo e denotaremos por RA o 
erro relativo de arredondamento no resultado da operação). 
Solução: Seja s = x + y. O erro relativo nesta operação será: 
31 
 
.0 RARA
yx
y
ER
yx
x
ERER YXS 


















 
Assim, | ERs | = | RA | < 
2
1
 x 10-t + 1. 
Calculando agora s x z, teremos m = s x z, e o erro relativo desta operação 
será: 
ERm = ERs + ERz + RA = ERs + 
z
EAz
 + RA = RAs + 0 + RA. 
Então, 
| ERm |  | RAs | + | RA | < 
2
1
 x 10-t + 1 + 
2
1
 x 10-t + 1 = 10-t + 1. 
Calcularemos u = m – t e o erro relativo desta operação será: 
.RA
tm
m
ERRA
tm
m
m
EA
RA
tm
EA
RA
tm
EAEA
ER m
mmtm
u 























 
Então, 
| ERu |  | ERm | 
tm
m

 + RA < 10-t + 1 
tm
m

 + 
2
1
 x 10-t + 1 
Finalmente, 
| ERu | < 









 2
1
tm
m
 x 10-t + 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
UNIDADE 2 – ZEROS DE FUNÇÕES 
 
1. Objetivos da Unidade 
Nesta unidade é de nosso interesse apresentar os fundamentos teóricos e 
práticos de caracteriação das raízes ou zeros de uma funcao y = f(x). Sendo 
assim, ao final desta unidade você será capaz de: 
 apresentar a importância da Resolução de Equações do tipo f(x) = 0 em 
diversas áreas do conhecimento; 
 apresentar e aplicar os principais resultados envolvendo o Isolamento 
das Raízes; 
 apresentar toda Teoria envolvendo o Refinamento das Raízes; 
 apresentar diversos Métodos Iterativos para obtenção de Zeros Reais de 
Funções; 
 apresentar exemplos envolvendo os aspectos teóricos discutidos 
anteriormente. 
 
2. Aspectos Introdutórios da Unidade 
Percebemos ao longo do estudo da aplicabilidade da Matemática em 
outras áreas do conhecimento, que nas mais diversas áreas das ciências exatas 
ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação 
funcional do tipo f(x) = 0, ou seja, em outras palavras, é necessário encontrar as 
raízes da função f(x). Para os nossos propósitos, trabalharemos no universo dos 
números reais , ou seja, é de nosso interesse encontrar as raízes (ou zeros) 
reais da função f(x). Por exemplo, podemos considerar o circuito da Figura 07 a 
seguir. 
 
33 
 
Figura 07: Circuito elétrico – sistema não linear. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
A Figura 07 acima representa um dispositivo não linear, isto é, a função g 
que dá a tensão em função da corrente não linear. Sejam E e R, e caso 
suponhamos conhecida a característica do dispositivo v = g(i), se quisermos saber 
a corrente que vai fluir no circuito, temos de resolver a equação E – Ri – g(i) = 0 
(pela lei de Kirchoff). 
Em verdade, na prática, g(i) é um polinômio do terceiro grau. Sendo assim, 
é de nosso interesse, resolver a equação f(i) = E – Ri – g(i) = 0. O objetivo desta 
Unidade 02 é o de apresentar o estudo de métodos numéricos para resolução de 
não lineares, como o descrito na Figura 07 acima. 
Definição: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), um 
número real 

 é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(

) = 
0. 
Em alguns casos, por exemplo, de equações polinomiais, os valores de x 
que anulam f(x) podem ser reais ou complexos. Como dito anteriormente, nesta 
Unidade, estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x). 
Geometricamente falando, segundo Ruggiero e Lopes (1996), os zeros reais são 
representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo 
ox
. 
A Figura 08, abaixo, traz algumas ilustrações envolvendo a interpretação 
geométrica de um zero de uma função y = f(x). 
 
Figura 08: A interpretação geométrica das raízes de uma função real. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Desta maneira, surge a questão: Como obter raízes reais de uma 
equação qualquer? É sabido que para algumas equações, como por exemplo, 
as equações polinomiais de segundo grau, existem fórmulas explícitas que dão as 
raízes em função dos coeficientes. No entanto, no caso de polinômios de grau 
34 
 
mais alto e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se 
achar os zeros exatamente. Por isso, temos de nos contentar em encontrar 
apenas aproximações para esses zeros; mas isto não é uma limitação muito 
séria, pois, com os métodos que apresentaremos, conseguimos, a menos de 
limitações de máquinas, encontrarmos os zeros de uma função com qualquer 
precisão prefixada. A ideia central destes métodos, segundo Ruggiero e Lopes 
(1996), é partir de uma aproximação inicial para a raiz e, em seguida, refinar essa 
aproximação através de um processo iterativo. Sendo assim, os métodos são 
formados de duas fases, que são: 
 Fase I – localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter 
um intervalo que contém a raiz; 
 Fase II – refinamento, que consiste em escolhidas aproximações 
iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se 
obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão 

 prefixada. 
 
3. Fase I: Isolamento das Raízes 
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante 
e interessante salientar que o sucesso da Fase II depende amplamente da 
precisão desta análise. Na análise teórica, usamos frequentemente o Teorema 01 
abaixo: 
Teorema 01: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), seja 
f(x) uma função contínua num intervalo [a, b]. Se f(a).f(b) < 0, então existe pelo 
menos um ponto x = 

 entre a e b que é um zero de f(x). 
Vejamos a interpretação geométrica na Figura 09 a seguir. 
 
35 
 
 
Figura 09: A interpretação geométrica do Teorema 01. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Conforme podemos visualizar pela Figura 04 anterior, a interpretação 
gráfica deste Teorema é extremamente simples (e uma demonstração deste 
resultado pode ser encontrada em [5]). 
 
Importante! Sob as hipóteses do Teorema 01 anterior, se f´(x) existir e 
preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de f(x). 
Vejamos a interpretação geométrica da observação na Figura 10 abaixo: 
 
Figura 10: A interpretação geométrica da Figura 09. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
36 
 
Uma forma de isolarmos as raízes de f(x) usando os resultados anteriores 
é tabelar f(x) para vários valores de x eanalisar as mudanças de sinal de f(x) e o 
sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. Vejamos alguns 
exemplos ilustrativos. 
Exemplo 09: Consideremos a função polinomial f(x) = x 3 – 9x + 3, 
encontrar todas as raízes de f(x) = 0. 
Solução: Vamos construir uma tabela de valores para f(x) e considerando 
apenas os sinais, temos: 
x - -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) - - - - + + + - - + + +

 
Desta forma, percebemos que f(x) é uma função contínua (função 
polinomial) para qualquer x real e observando as variações de sinal, podemos 
concluir que cada um dos intervalos I1 = [-5, -3], I2 = [0, 1] e I3=[2, 3] contém pelo 
menos um zero de f(x). Como f(x) é polinômio de grau 3, podemos afirmar que 
cada intervalo contém um único zero de f(x); em outras palavras, podemos dizer 
que localizamos todas as raízes da equação f(x) = 0. 
Exemplo 02: Consideremos a função polinomial f(x) =
x
 – 5.e x encontrar 
todas as raízes da equação f(x) = 0. 
Solução: Em primeiro lugar observe que o domínio de f(x), que 
denotaremos por D(f), é o conjunto dos números reais não-negativos, ou seja, D(f) 
=  . De modo similar, ao raciocínio do Exemplo 09, construindo uma tabela de 
valores com o sinal de f(x) para determinados valores de x temos que: 
x 0 1 2 3 ...
f(x) - - + + ... 
 
Ou seja, analisando a Tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero 
no intervalo (1, 2). Para se saber se este zero é único neste intervalo, podemos 
usar a observação anterior, isto é, analisar o sinal da derivada de f(x), i.e., de f’(x) 
como segue: 
f´(x) = 
x2
1
 + 5e-x > 0, 

 x > 0 
 
37 
 
Assim, podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu 
domínio de definição e este zero está no intervalo (1, 2). 
 
Saiba Mais! É importante ressaltarmos que a análise gráfica da função f(x) 
ou da equação f(x) = 0 é de fundamental importância para se obter boas 
aproximações para a raiz. Para tanto, é suficiente utilizarmos um dos 
seguintes processos: 
i) Esboçar o gráfico da função f(x) e localizar as abcissas dos pontos 
onde a curva intercepta o eixo 
ox
. 
ii) A partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = 
h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano 
e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso 
f(

) = 0 

 g(

) = h(

). 
iii) Usar os programas que traçam gráficos de funções, disponíveis 
em algumas calculadoras ou softwares matemáticos. 
 
O esboço do gráfico de uma função requer um estudo detalhado do 
comportamento desta função, que envolve basicamente os itens: domínio da 
função; pontos de descontinuidade; intervalos de crescimento e decrescimento; 
pontos de máximo e mínimo; concavidade; pontos de inflexão e assíntotas da 
função, conforme estudado no Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Exemplo 10: Considerando a função f(x) = x3 – 9x + 3, usando o processo 
(i), temos que: 
38 
 
 
Figura 11: A interpretação geométrica do Exemplo 10 (Processo (i)). 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Agora, utilizando o processo (ii): da equação x3 – 9x + 3, podemos obter a 
equação equivalente x3 = 9x – 3. Neste caso, temos g(x) = x3 e h(x) = 9x – 3. 
Logo, 
 
Figura 12: A interpretação geométrica do Exemplo 10 (Processo (ii)). 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
39 
 
 
Exemplo 11: Considerando a função f(x) =
x
 – 5.e x , neste caso é mais 
conveniente usarmos o processo (ii), desta forma: 
x
 - 5e-x = 0 

 
x
 = 5e-x 

 g(x) =
x
 e h(x) = 5e-x 
 
Figura 13: A interpretação geométrica do Exemplo 11 (Processo (ii)). 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
4. Fase II: Refinamento 
Aqui vamos estudar alguns métodos numéricos de refinamento de raiz. A 
forma como se efetua o refinamento é que diferencia cada um dos métodos. 
Todos eles pertencem à classe dos métodos iterativos. 
Definição: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), um 
método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas 
passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. 
A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. Cada iteração utiliza 
resultados das iterações anteriores e efetua determinados testes que permitem 
verificar se foi atingido um resultado próximo o suficiente do resultado esperado. 
Observamos que os métodos iterativos para obter zeros de funções fornecem 
apenas uma aproximação para a solução exata. Os métodos iterativos para 
refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados num 
Diagrama de Fluxo como descrito na Figura 14 abaixo: 
40 
 
 
Figura 14: Diagrama de Fluxo representativo de um método iterativo. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
a. Critérios de Parada 
Pelo Diagrama de Fluxo da Figura 14, verificamos que todos os métodos 
iterativos para obter zeros de função efetuam um teste do tipo: 
x
k
 está suficientemente próximo da raiz exata? 
Que tipo de teste devemos efetuar para verificarmos se xk está 
suficientemente próximo da raiz exata? Para isto, é necessário entendermos o 
significado de “raiz aproximada”. 
Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam 
ao mesmo resultado: 
x
 é raiz aproximada com precisão

 se: 
i) | 
x
 - 

 | < 

 ; ou 
ii) | f(
x
) | < 

. 
Como efetuar o teste (i) se não conhecemos 

 ? 
41 
 
Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Ao se 
conseguir um intervalo [a, b] tal que: 

 

 [a,b] 
 e 
b – a < 

 
 
 
Figura 15: Ilustração da obtenção do intervalo [a, b]. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas 
simultaneamente. Os gráficos, da Figura 16 a seguir, ilustram algumas 
possibilidades: 
então 

 x 

 [a, b], | x - 

 | < 

. Portanto, 

 x 

 [a, b] 
pode ser tomado como 
x
. 
 
 
42 
 
 
Figura 16: Interpretação geométrica de diversas situações. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Os métodos numéricos são desenvolvidos de forma a satisfazer pelo 
menos um dos critérios. Observamos que, dependendo da ordem de grandeza 
dos números envolvidos, é aconselhável usar teste do erro relativo, como por 
exemplo, considerar 
x
 como aproximação de 

 se 
L
xf )(
< 

 onde L = | f(x) | para 
algum x escolhido numa vizinhança de 

. Em programas computacionais, além 
do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular 
um número máximo de iterações para se evitar que o programa entre em 
"looping" devido a erros no próprio programa ou à inadequação do método usado 
para o problema em questão. 
b. Métodos Iterativos para se Obter Zeros Reais de Funções 
Agora, discutiremos diversos métodos iterativos e suas principais 
propriedades, a fim de encontrarmos os zeros reais de funções. 
 
43 
 
I. Método da Bissecção 
Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0. 
Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a, b) contenha uma única 
raiz da equação f(x) = 0. 
O objetivo deste método é o de reduzir a amplitude do intervalo, que 
contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b – a) <

, usando para isto a 
sucessiva divisão de [a, b] ao meio. Graficamente, podemos visualizar o 
procedimento na Figura 17 a seguir. 
 
Figura 17: A interpretação geométrica do Método da Bissecção. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalhoe Maia (1987). 
 
As iterações são realizadas da seguinte forma: 
























01
01
00
0
0
0
00
0
),(
0)(
0)(
0)(
2
xb
aa
xa
xf
bf
af
ba
x

 
























12
12
11
1
1
1
11
1
),(
0)(
0)(
0)(
2
bb
xa
bx
xf
bf
af
ba
x

 
44 
 
























23
23
22
2
2
2
22
2
),(
0)(
0)(
0)(
2
bb
xa
bx
xf
bf
af
ba
x

 
 
Exemplo 12: Já vimos que a função f(x) = x.log(x) – 1 tem um zero no 
intervalo (2, 3). O método da bissecção aplicado a esta função com [2, 3] como 
intervalo inicial fornece: 

























 3
5,2
)3;5,2(
01015,50)5.2(
04314,0)3(
03979,0)2(
5,2
2
32
01
01
3
0
bb
xa
xf
f
f
x

 

























75,2
5,2
)75,2;5,2(
02082,0)75,2(
0)3(
0)5,2(
75,2
2
35,2
12
121
xb
aa
f
f
f
x

 
 
 ALGORITMO 01 – Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0. 
1) Dados iniciais: 
a) Intervalo inicial [a, b]. 
b) Precisão 

. 
 
2) Se (b - a) < 

, então escolha para 
x
qualquer x 

 [a, b]. FIM. 
 
3) k = 1 
 
4) M = f(a) 
 
5) x = 
2
ba 
 
 
6) Se M.f(x) > 0, faça a = x. Vá para o Passo 8. 
7) b = x 
 
8) Se (b – a) < 

, escolha para 
x
 qualquer x

[a, b]. FIM. 
 
45 
 
9) k = k + 1. Volte para o Passo 5. 
Terminado o processo, teremos um intervalo [a, b] que contém a raiz (e tal 
que (b – a) < 

) e uma aproximação 
x
 para a raiz exata. 
 
Exemplo 13: Considerando a função f(x) = x3 – 9x + 3, I = [0,1] e 

 =10-3, 
desta forma, temos que: 
Iteração x f(x) b - a
1 .5 -1.375 .5
2 .25 .765625 .25
3 .375 -.322265625 .125
4 .3125 .218017578 .0625
5 .34375 -.0531311035 .03125
6 .328125 .08220229114 .015625
7 .3359375 .0144743919 7.8125 x 10-3
8 .33984375 -.0193439126 3.90625 x 10-3
9 .337890625 -2.43862718 x 10-3 1.953125 x 10-3
10 .336914063 6.01691846 x 10-3 9.765625 x 10-3
 
Então 
x
 = 0,337402344 em dez iterações. Observe que neste exemplo 
escolhemos 
x
 = 
2
ba 
. 
 ESTUDO DA CONVERGÊNCIA 
É bastante intuitivo percebermos que se f(x) é uma função contínua no 
intervalo [a, b] e f(a).f(b) < 0, o método da bissecção vai gerar uma sequência {x
k
} 
que converge para a raiz. No entanto, a prova analítica da convergência requer 
algumas considerações. Suponhamos que [a0, b0] seja o intervalo inicial e que a 
raiz 

 seja única no interior desse intervalo. O método da bissecção gera três 
sequências: 
{a
k
}: não-decrescente e limitada superiormente por b0; então existe r   
tal que 
rak
k


lim
{b
k
}: não-crescente e limitada inferiormente por a0, então existe 
se s 

 

 tal que 
sbk
k


lim
{x
k
}: por construção (x
k
 =
2
kk ba 
), temos a
k
 < x
k
 < 
b
k
, 

 k. 
A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do intervalo 
anterior. 
Assim, 

 k: b
k
– a
k
 = 
k
ab
2
00 
. 
46 
 
Então 
k
lim
(bk –ak) = 
kk
ab
2
lim 00


 = 0. 
Como { a
k
} e { b
k
} são convergentes, segue que: 
k
lim
 bk – 
k
lim
ak = 0  
k
lim
 bk = 
k
lim
 ak. 
Portanto r = s. 
Seja 

 = r = s o limite das duas sequências. Dado que para todo k o ponto 
x
k
 pertence ao intervalo (a
k
, b
k
), o Cálculo Diferencial e Integral nos garante que 
k
lim
 xk =  . 
Resta provarmos que 

 é o zero da função, ou seja, f(

) = 0. Em cada 
iteração k temos f(a
k
). f(b
k
) < 0. Então: 
0 

 
k
lim
 f(a
k
).f (b
k
) = 
k
lim
 f(a
k
) 
k
lim
 f(b
k
) = f(
k
lim
a
k
) f(
k
lim
b
k
) = f(r).f(s) = 
f(

)f(

) = [f(

)]2 
Assim, 0 

 [f(

)]2 

 0 donde f(

) = 0. 
Portanto, 
k
lim
 x
k
 = 

 e 

 é zero da função. Das hipóteses iniciais temos 
que 

 = 

. 
Desta maneira, concluímos que o método da bissecção gera uma 
sequência convergente sempre que f for uma função contínua em [a, b] com 
f(a).f(b) < 0. 
Ao aluno interessado nos resultados sobre convergência de sequências de 
reais utilizados nesta demonstração recomendamos a referência [5]. 
 
 ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES 
 
Consideremos uma precisão

e um intervalo inicial [a, b], é possível 
sabermos, a priori, quantas interações serão efetuadas pelo método da bissecção 
até que se obtenha b – a < 

, usando o Algoritmo 01. Vimos que 
b
k
 – a
k
 = 
k
kk abab
22
0011 
 
 
Devemos obter o valor de k tal que b
k
– a
k
< 

, ou seja, 
47 
 





0000 2
2
abab k
k
k .log(2) > log(b0 – a0) – log(  )  k > 
)2log(
)log()log( 00  ab
 
Portanto, se k satisfaz a relação acima, ao final da iteração k teremos o 
intervalo [a, b] que contém a raiz 

, tal que 

x 

[a, b]

 | x – 

 | 

 b – a < 

. 
Por exemplo, se desejarmos encontrar 

, o zero da função f(x) = x log(x) – 1 que 
está no intervalo [2, 3] com precisão 

 = 10-2, quantas iterações, no mínimo, 
devemos efetuar? 
 
K > 
764.6
3010.0
2
)2log(
)10log(2)1log(
)2log(
)10log()23log( 2



 
k
 
 
Vejamos alguns comentários finais (observações finais) referentes ao 
discutido nesta seção associados ao Método da Bissecção de acordo com 
Ruggiero e Lopes (1996). 
 Conforme demonstramos, satisfeitas as hipóteses de continuidade de 
f(x) em [a, b] e de troca de sinal em a e b, o método da bissecção gera uma 
sequência convergente, ou seja, é sempre possível obter um intervalo que contém 
a raiz da equação em estudo, sendo que o comprimento deste intervalo final 
satisfaz a precisão requerida. 
 As iterações não envolvem cálculos complexos. 
 A convergência é muito lenta, pois se o intervalo inicial é tal que b0 – a0 
>> 

 e se 

 for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande, 
como por exemplo: 
 
b0 – a0 = 3  k  24,8  k = 25 

 = 10-7 
 
O Algoritmo 01 pode incluir também o teste de parada com o módulo da 
função e o do número máximo de iterações. 
II. Método da Posição Falsa 
48 
 
Consideremos f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que o 
produto f(a).f(b) seja negativo, ou seja, f(a).f(b) < 0. Suponhamos também que o 
intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. 
Podemos esperar conseguir a raiz aproximada x usando as informações 
sobre os valores de f(x) disponíveis a cada iteração. 
No caso do método da bissecção, x é simplesmente a média aritmética 
entre a e b, i.e., x = 
2
ba 
. 
No Exemplo 07, temos f(x) = x3 - 9x + 3, [a, b] = [0, 1] e f(1) = -5 < 0 < 3 = 
f(0). Como | f(0) | está mais próximo de zero que | f(1) |, muito provavelmente a 
raiz está mais próxima de 0 que de 1 (pelo menos isto ocorre quando f(x) é linear 
em [a, b]). 
Assim,em vez de tomarmos a média aritmética entre a e b, o Método da 
Posição Falsa toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos | f(b) | e 
| f(a) |, respectivamente, ou seja: 
x = 
)()(
)(.)(.
|)(||)(|
|)(|.|)(|.
afbf
afbbfa
afbf
afbbfa





 
 visto que f(a) e f(b) têm sinais opostos. 
Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo 
ox
 e a reta r(x) que 
passa por (a, f(a)) e (b, f(b)): 
 
Figura 18 (a): A interpretação geométrica do ponto x. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
E as iterações são feitas como descritas na Figura 18(b) abaixo: 
49 
 
 
Figura 18 (b): As iterações no Método da Posição Falsa. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Exemplo 14: Vamos aplicar o Método da Posição Falsa a função x.log(x) – 
1 no intervalo [a0, b0] = [2, 3], desta forma temos que: 
f(a0) = –0,3979 <0 
f(b0) = 0,4314 > 0 
4798.2
8293.0
0565.2
)3979.0(4314.0
)3979.0(34314.02
)()(
)()(
0 






xx
afbf
abfbaf
x
 
f(x0) = – 0,0219 < 0. Como f(a0) e f(x0) têm o mesmo sinal, segue que 
 
a1 = x0 = 2,4798 f(a1) < 0 
b1 = 3 f(b1) > 0 
 
4049,2
)0219,0(4314,0
)0219,0(4313,04798,2
1 



xx
x
 e f(x1) = –0,0011. 
Analogamente, 
a2 = x1 = 2,5049 
b2 = b1 = 3 
 
 ALGORITMO 02 
Consideremos f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0. 
1) Dados iniciais 
a) intervalo inicial [a, b] 
b) precisões 
 1 e  2 
50 
 
 
2) Se (b – a) < 
 1, então escolha para x qualquer x [a, b]. FIM. 
ou b como 
x
. FIM. se |f(a)| < 
 2 escolha a 
 ou se | f(b) | < 
 2 
 
3) k = 1 
 
4) M = f(a) 
 
5) x = 
)()(
)(.)(.
afbf
afbbfa


 
 
6) Se | f(x) | < 
 2 , escolha x = x. FIM. 
 
7) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 9. 
 
8) b = x 
 
9) Se b – a < 
 1, então escolha para x qualquer x  (a, b). FIM. 
 
10) k = k + 1. Volte ao Passo 5. 
51 
 
UNIDADE 3 – SISTEMAS LINEARES 
 
É sabido que na Matemática um Sistema linear é um conjunto formado por 
equações lineares, além disso, esta teoria é amplamente utilizada em outras 
áreas do conhecimento. Desta maneira, nesta unidade, é de nosso interesse 
apresentar aspectos teóricos envolvendo a resolução de sistemas lineares, bem 
como alguns métodos de resolução dos mesmos. Neste sentido, ao final desta 
unidade, o aluno será capaz de: 
 apresentar a Importância da Resolução de Sistemas Lineares, problema 
que aparece nas mais diversas áreas do conhecimento; 
 apresentar os principais métodos para resolução de Sistemas Lineares; 
 discutir e aplicar o Método da Eliminação de Gauss; 
 apresentar e discutir os principais resultados envolvendo o Método da 
Eliminação de Gauss; 
 reconhecer a importância da disciplina na sua área de atuação. 
 
1. Aspectos Introdutórios 
É interessante notarmos que a resolução de sistemas lineares é um 
problema que surge nas mais diversas áreas, desde a Física, Engenharia e 
Computação até mesmo na área médica, sendo assim, é de fundamental 
importância uma descrição completa da teoria envolvendo os sistemas lineares, 
bem como os diversos métodos de resolucao dos mesmos. Vejamos um exemplo 
introdutório. 
Exemplo 15: (Aplicação à Física) – De acordo com Barroso, Filho, 
Carvalho e Maia (1987), consideremos, por exemplo, o problema de determinar 
as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça 
descritas na Figura 18 abaixo: 
52 
 
 
Figura 19: A treliça do Exemplo 15. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Para isto, temos de determinar as 17 forças desconhecidas que atuam 
nesta treliça. As componentes da treliça são supostamente presas nas junções 
por pinos, sem fricção. Um Teorema da Mecânica elementar nos diz que, como o 
número de junções j está relacionado ao número de componentes m por 2j – 3 = 
m, a treliça é estaticamente determinante; isto significa que as forças 
componentes são determinadas completamente pelas condições de equilíbrio 
estático nos nós. Sejam Fx e Fy as componentes horizontal e vertical, 
respectivamente. Fazendo 

= sen(45°) = cos(45°) e supondo pequenos 
deslocamentos, as condições de equilíbrio são: 
Junção 2





0..
0..
531
541
fffF
fffF
y
x

 
Junção 3





010
0
3
62
fF
ffF
y
x
 
Junção 4





0
0
7
84
fF
ffF
y
x
 
Junção 5





015..
0..
975
10965
fffF
ffffF
y
x

 
 
Junção 6





0..
0..
13119
131298
fffF
ffffF
y
x

 
Junção 7





0
0
11
1410
fF
ffF
y
x
 
53 
 
Junção 8





0.
0.
1615
1612
ffF
ffF
y
x

 
Junção 9





0.
0.
101513
171413
fffF
fffF
y
x

 
Junção 10
 0. 1716  ffFx 
 
 
Portanto, para obtermos as componentes pedidas, é necessário 
resolvermos esse sistema linear, que tem 17 variáveis, que são f1, f2, ..., f17 e 17 
equações. 
 
Definição: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), um 
sistema linear com m equações e n variáveis é escrito usualmente na forma: 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111




 
Onde: 
aij : coeficientes 1  i  m, 1  j  n 
xj : variáveis j = 1,..., n 
bi : constantes i = 1,..., m 
 
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de xj, (j = 
1,..., n), caso eles existam, que satisfaçam as m equações simultaneamente. 
Caso, usemos a notação matricial, o sistema linear pode ser representado da 
seguinte forma A.x = b, onde: 















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
 é a matriz dos coeficientes, 















nx
x
x
x

2
1
 é o vetor das 
variáveis e 















mb
b
b
b

2
1
 é o vetor constante. 
54 
 
Definicao: De acordo com Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987), 
chamamos de x* o vetor solução e de 
x
, uma solução aproximada do sistema 
linear A.x = b. 
Vamos analisar a seguir, através de exemplos com duas equações e duas 
variáveis, as situações que podem ocorrer com relação ao número de soluções de 
um sistema linear. 
i) Solução única: 





23
32
21
21
xx
xx com x* = 






1
1 (1) 
ii) Infinitas soluções 





624
32
21
21
xx
xx (2) 
Para o qual, qualquer x* = (

, 3 – 2

)t com 
  
, é solução. 
iii) Nenhuma solução: 





224
32
21
21
xx
xx (3) 
Vejamos a representação gráfica, de cada uma das situações descritas 
anteriormente: 
(1) Retas concorrentes. 
(2) Retas coincidentes. 
(3) Retas paralelas. 
 
55 
 
 
Figura 20: A interpretação geométrica das situações descritas anteriormente. 
Fonte: Barroso, Filho, Carvalho e Maia (1987). 
 
Mesmo no caso geral em que o sistema linear envolve m equações e n 
variáveis,