METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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Teoria do Método por Elementos Finitos
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NOME: ROSELI BLACK STORCK
PROFESSOR: FELIPE F. LUZ
DISCIPLINA: MODELAGEM E SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL
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O Método dos Elementos Finitos:
 Breve Histórico
	O Método de Elementos Finitos (FEM - Finite Element Method) foi desenvolvido em 1909 por Walter Ritz (1878-1909) para determinar a solução aproximada de problemas em mecânica dos sólidos deformáveis.
	Em 1943, Richard Courant (1888- 1972) aumentou consideravelmente as possibilidades do método de Ritz introduzindo funções lineares especiais definidas sobre regiões triangulares e aplicou o método para a solução de problemas de torção.
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	O método de Ritz, junto com as modificações de Courant, é similar ao FEM proposto por Ray William Clough Jr. muitos anos depois. 
	Coube a Clough (1960) introduzir, pela primeira vez, o termo elemento finito no artigo The finite element method in plane stress analysis.
	No final dos anos 60 passou a ser utilizado para a simulação de problemas não estruturais em fluidos, termomecânica e eletromagnetismo.
	No presente o MEF continua evoluindo nos seus diversos aspectos, conforme demonstra a quantidade de artigos científicos atualmente publicados em torno dele. 
INTRODUÇÃO
	No dia a dia das atividades de engenharia, os engenheiros e projetistas são colocados diante de problemas técnicos, uns mais simples e outros mais complexos, tendo que resolvê-los de forma satisfatória, e para ajudá-los utilizam um arsenal de fórmulas e tabelas que aprenderam durante o curso de engenharia.
	Quando se trata de cálculos de uma estrutura, o sucesso desta tarefa não esta apenas em se ter conhecimento matemático, mas esta relacionado à capacidade do engenheiro de entender a natureza física do fenômeno que se propõe a resolver. 
	O engenheiro deve formular um esquema de cálculo para a estrutura, ou seja, um modelo de cálculo, em que a estrutura é idealizada de sorte que se possa analisá-la. 
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	Entretanto, a maioria das estruturas de importância prática é muito complexa pra ser analisada pelas técnicas clássicas, como a Teoria de Vigas, Teoria de Placas e Cascas, Teoria Matemática da Elasticidade, tornando assim, impossível de ser analisada e o problema requer grandes e excessivas simplificações, resultando em cálculos pouco acurados. Então ficamos diante de: 
 
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Estruturas com Geometria, Carregamento e Condição de Apoio simples.
Solução
 exata
Estruturas 
Complexas
Solução 
Aproximada
MÉTODO DOS 
ELEMENTOS 
FINITOS
DEFINIÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
	É um conjunto de técnicas e métodos que se baseia na discretização do problema em elementos pequenos e na aproximação de cada elemento por um conjunto de polinômios. 
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MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS – SISTEMA DISCRETO PADRÃO
	É a análise de problemas de natureza discreta, estabelecendo uma metodologia padrão para aplicar em todos os casos.
	O método dos elementos finitos é um método de aproximação de cálculos contínuos onde :
O corpo contínuo é subdividido em um número finito de partes (os elementos),
São conectados entre si pelos pontos que são chamados de nós,
A montagem de elementos constitui o modelo matemático,
Este por sua vez, tem o seu comportamento especificado por um número finito de parâmetros,
Os parâmetros são os deslocamentos nodais, que são as incógnitas do problema. 
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TIPOS DE MODELOS DISCRETIZADOS
Estruturas Reticuladas: são conectadas entre si somente nas juntas ou nós estruturais, constituindo o conjunto estrutural
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 Modelos Discretizados de Estrutura Reticulada de Plataforma de ônibus e de Estrutura Metálica Espacial
Elementos Estruturais conectados continuamente: o corpo contínuo é subdividido artificialmente em um certo número finito de elementos, conectados apenas nos nós, fazendo assim, a representação aproximada de um corpo contínuo.
	
 
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 Malha de elementos finitos do chassi de caminhão gerada em um software de MEF
ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS RETICULADAS
Os elementos unidimensionais são conectados nos nós, isto é, nas suas extremidades.
As conexões podem ser rígidas ou articuladas.
As forças externas são aplicadas somente nos nós e os deslocamentos da estrutura são expressos em termos de deslocamentos nodais.
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			 TIPO DE ANÁLISE
	Quando surge a necessidade de resolver um problema de análise de uma estrutura, a primeira questão que se coloca é a sua classificação quanto à geometria, modelo do material constituinte e ações aplicadas. 
	O modo como o MEF é formulado e aplicado depende, em parte, das simplificações inerentes a cada tipo de problema. 
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ANÁLISE DINÂMICA OU ESTÁTICA 
	As ações sobre as estruturas são em geral dinâmicas, devendo ser consideradas as forças de inércia associadas às acelerações a que cada um dos seus componentes fica sujeito.
	Contudo, em muitas situações é razoável considerar que as ações são aplicadas de um modo suficientemente lento, tornando desprezáveis as forças de inércia.
	 Nestes casos a análise designa-se estática. 
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ANÁLISE NÃO LINEAR OU LINEAR 
	Na análise de uma estrutura sólida, deve-se considerar que os deslocamentos provocados pelas ações exteriores são muito pequenos quando comparados com as dimensões dos componentes da estrutura. 
	Então, admite-se que não existe influência da modificação da geometria da estrutura na distribuição dos esforços e das tensões, todo o estudo é feito com base na geometria inicial indeformada e a análise é designada não linear geométrica. 
	Considera-se que, ao nível do material que constitui a estrutura, a relação entre tensões e deformações é linear. Nos casos em que esta simplificação não é considerada, é necessário recorrer a algoritmos específicos de análise não linear material.
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SEQUÊNCIA BÁSICA DE ETAPAS PARA A APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
PRÉ-PROCESSAMENTO
Problema Estrutural
Planejamento do modelo em elementos finitos
Elaboração da malha de elementos finitos
Condições de contorno restrições e carregamento
PROCESSAMENTO
Solução
PÓS-PROCESSAMENTO
Verificação dos resultados
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VANTAGENS DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS:
Obter uma boa aproximação para a solução do problema de engenharia sem a necessidade de utilizar elementos extremamente pequenos.
Análises estática e dinâmica, determinística e estocástica
Geometrias irregulares, grandes deslocamentos e deformações; 
Diversos tipos de materiais com inclusão de não linearidades; 
Carregamentos e condições de contorno complexos.
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DESVANTAGENS DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS:
Soluções aproximadas; 
 Os resultados dependem da malha utilizada.
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SEQUÊNCIA NA APRESENTAÇÃO DO MÉTODO : 
1 - Discretização do domínio em um número finito sub-regiões ou elementos.
2 - Obtenção das equações que regem um elemento típico.
3 - Conexão de todos os elementos no domínio.
4 - Resolução do sistema de equações obtido.
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1 - Discretização do domínio em um número finito sub-regiões ou elementos.
	O domínio é dividido em regiões (elementos) que não se sobrepõem. Busca-se a aproximação para o potencial Ve dentro de um elemento. Inter-relacionamos as distribuições de potencial em vários elementos de tal modo que ela seja contínua através dos contornos entre os elementos relacionados.
	A solução aproximada do potencial para o domínio, onde N é o número de elementos triangulares nos quais o domínio foi dividido é a seguinte:
			
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	Esta figura mostra o elemento triangular com a indicação dos nós e tensões de nós. 
	Sua orientação dos nós segue o sentido anti-horário.
	Quando o elemento tem a forma triangular a forma mais comumente usada para representar o potencial Ve no seu interior é a aproximação polinomial 
	
	Quando o elemento for quadrangular a aproximação para representar Ve é dada por:
	Usamos elementos triangulares para problemas bidimensionais porque esses permitem
representar fronteiras irregulares com maior precisão. 
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2 - Obtenção das equações que regem um elemento típico.
O elemento usado tem a forma triangular abaixo mostrada:
O potencial no seu interior é representado por:
Aplicando a equação aos três vértices do elemento temos:
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	Quando representamos o sistema de equações anterior na forma matricial temos:
Onde a matriz é denominada “matriz dos coeficientes”
	Os coeficientes a,b,c são calculados a partir da equação anterior como:
 
Quando aplicamos a regra de CRAMER:
O D é o determinante da matriz dos coeficientes dado por:
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	É possível mostrar que a área A do triangulo que representa o elemento é dada por:
Ou seja: 
	Os nós devem ser numerados no sentido anti-horário para evitar que a área do elemento, acima calculada em função das coordenadas dos vértices, produza um valor negativo.
	Quando substituímos o valor D=2A em a,b,c e resolvemos os determinantes:
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	Relembrando a forma matricial da equação que descreve as distribuições de potencial:
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	Podemos reescrever as equações anteriores na forma matricial:
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	Substituímos as expressões matriciais para a, b, c na equação matricial:
Quando expandimos a equação acima temos:
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Ou seja:
	
	α1, α 2 e α3 são funções lineares de interpolação que permitem a obtenção dos potenciais Ve(x,y) dentro do elemento finito em termos dos potenciais nos nós do mesmo elemento. 
	Esta função nos dá o potencial em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento finito desde que os potenciais nos vértices sejam conhecidos.
 
	As funções de forma do elemento satisfazem as seguintes propriedades, e cada uma das três funções de forma se anula em todos os vértices com exceção de um no qual assume o valor unitário:
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Cálculo da Energia Armazenada no Elemento
	Quando a quantidade analisada é o potencial eletrostático a energia do campo elétrico é o funcional a ser utilizado porque o potencial eletrostático minimiza esta energia. 
	
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	A energia do campo elétrico por unidade de comprimento normal às duas dimensões pode ser obtida por:
A função de energia pode ser expandida como abaixo:
Já a função de energia pode ser colocada na forma:
Onde denominamos:
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O termo Cij(e) pode ser considerado como o acoplamento entre os nós i e j
Este termo pode ser escrito na forma matricial como:
Onde: 
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A matriz C(e) é denominada “Matriz dos Coeficientes do Elemento”
	Para calcular os Termos da Matriz dos Coeficientes do Elemento usamos:
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E para calcular os outros coeficientes de modo semelhante:
	
	Usando a notação a seguir, podemos reescrever a equação da seguinte maneira:
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	Para a obtenção da função potencial no elemento é necessário conhecer as funções de forma a1, a2 e a3 cujo cálculo depende do valor das coordenadas dos vértices do elemento triangular.
	O cálculo da energia do elemento pode ser feito, e como todos os elementos são escritos em função das diferenças entre as coordenadas podemos definir novas variáveis P e Q.
	 As novas variáveis satisfazem as seguintes propriedades.
	
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LEMBRETE !!
 Relembrando as principais notações usadas:
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3- Conexão de todos os elementos
	Após a análise de um elemento típico o próximo passo é a conexão de todos os elementos. A energia associada à conexão de todos os elementos da malha é o somatório das energia armazenadas nos elementos: 
 
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LEMBRANDO QUE:
Nas equações o “N” é o número de elementos e “n” é o número de nós. 
A matriz [C ] é denominada Matriz de Rigidez Global e representa a conexão das matrizes dos coeficientes dos elementos individuais. 
Não confundir [C] com [C(e)]. 
Os coeficientes Cij são obtidos observando-se o fato de que os potenciais devem ser contínuos através dos contornos dos elementos
EXEMPLO: 
Considerendo a malha de três elementos abaixo:
Numeração global: 1,2,3,4,5 (nós da malha, qualquer ordem)
Numeração local: 1,2,3 (vértices do elemento, sempre no sentido anti-horário para evitar que a área fique negativa)
Para o elemento 3 a numeração global 3,4,5 corresponde à numeração local 1,2,3 respectivamente.
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	Como a malha tem cinco nós globais a matriz de rigidez global é do tipo 5x5. Como muitos potenciais são iguais, vários termos da matriz se superpõem de modo que a mesma fica reduzida a uma matriz de estrutura n x n, onde n é o número de nós globais.
	Para obtermos o termo C11 notamos que o nó global 1 pertence aos elementos1 e 2. 
	Já o coeficiente C14 é calculado lembrando que a fronteira global 1-4 contem as fronteiras 1-2 do elemento 1 e 1-3 do elemento 2, então:
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	Mas quando não há acoplamento entre os nós referenciados no termo o mesmo é nulo, como vemos no caso do termo C15, já que não há conexão direta entre os nós 1 e 5. Desse modo a matriz de rigidez global fica como:
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A matriz de rigidez global é simétrica (Cij =Cji) e o determinante formado por seus termos é nulo.
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4 - Resolução das equações resultantes
	Do cálculo variacional temos que a equação de Laplace é satisfeita no domínio quando a energia total no mesmo é mínima. 
	Então é necessário que as derivadas de W em relação ao potencial de cada nó sejam zero. Isso permite estabelecer um sistema de equações que nos levará ao cálculo dos potenciais dos nós globais V1, V2, V3 ...Vn, onde n é o número de nós globais.
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	Temos que a energia elétrica armazenada em todo o domínio é dada por:
	Não esquecendo que a matriz dos potenciais dos nós globais é dada por:
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	E quando desmembramos a equação da energia temos como exemplo, os três elementos e cinco nós globais:
	Quando efetuamos o produto das matrizes [C] e [V] geramos uma matriz coluna:
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Mas como C12=C21 
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Ou no geral: 
	Desse modo, podemos criar um conjunto de equações, que podem ser resolvidos para obter V1, V2, V3, V4, V5
REFERÊNCIAS
Alves Filho, Avelino. 1951 Elementos finitos. A base da tecnologia CAE. 6° ed. São Paulo: Érica, 2013.
http://monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10016965.pdf
http://civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano5/aae/pdf/Apontamentos/Livro_MEF_AA.pdf
http://apl.unisuam.edu.br/revistas/index.php/projectus/article/view/1129/875
http://www.estruturas.ufpr.br/wp-content/uploads/MEF/Aulas/Aula1/Slides_de_%20Introducao_Aula_Inaugural_MEF.pdf
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http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA6lEAA/metodo-elementos-finitos?part=2
http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM266/Apostila/Introdu%C3%A7%C3%A3o%20ao%20MEF.pdf
http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/poster/marcodonisete.pdf
http://civil.fe.up.pt/pub/apoio/ano5/aae/pdf/Apontamentos/Livro_MEF_AA.pdf 
http://www.matematica.pucminas.br/lcn/apostilas/Apostila%20de%20Elementos%20Finitos.pdf
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