Exercicios Teste de Hipotese

Prévia do material em texto

Introdução à Estatística
Exercícios - Teste de Hipoteses
Prof. George
29 de junho de 2017
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(a) A companhia de transporte afirma que, em média, o intervalo entre sucessivos
ônibus é de 15 min. Uma associação de usuários de transporte coletivos acha que a
pontualidade é muito importante e pretende testar a afirmação da companhia.
{
H0 : µ = 15
H1 : µ 6= 15.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(a) A companhia de transporte afirma que, em média, o intervalo entre sucessivos
ônibus é de 15 min. Uma associação de usuários de transporte coletivos acha que a
pontualidade é muito importante e pretende testar a afirmação da companhia.{
H0 : µ = 15
H1 : µ 6= 15.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(b) Os amortecedores de automóveis que circulam em cidades têm durabilidade média
de pelo menos 30 mil quilômetros, segundo informação de algumas oficinas
especialidadas. Um proprietário de automóvel deseja testar essa afirmação.
{
H0 : µ ≥ 30
H1 : µ < 30.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(b) Os amortecedores de automóveis que circulam em cidades têm durabilidade média
de pelo menos 30 mil quilômetros, segundo informação de algumas oficinas
especialidadas. Um proprietário de automóvel deseja testar essa afirmação.{
H0 : µ ≥ 30
H1 : µ < 30.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(c) Um veterinário conseguiu ganho médio diário de 3 litros de leite por vaca com uma
nova composição de ração. Um pecuarista acredita que o ganho não é tão grande
assim.
{
H0 : µ = 3
H1 : µ < 3.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(c) Um veterinário conseguiu ganho médio diário de 3 litros de leite por vaca com uma
nova composição de ração. Um pecuarista acredita que o ganho não é tão grande
assim. {
H0 : µ = 3
H1 : µ < 3.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(d) Um fabricante afirma que sua vacina previne 80% dos casos de uma certa doença.
Um grupo de médicos desconfia que a vacina não é tão eficiente assim.{
H0 : θ = 0, 8
H1 : θ < 0, 8.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(e) Em um jogo de azar, se der cara a casa ganha e se der coroa o apostador ganha. A
banca afirma que a moeda é honesta mas o jogador acredita que está em
desvantagem no jogo e deseja testar a afirmação da banca.
Seja θ a probabilidade de sair cara.
{
H0 : θ = 0, 5
H1 : θ > 0, 5.
Exercício 0
I Identifique as hipóteses que estão sendo testadas em cada caso.
(e) Em um jogo de azar, se der cara a casa ganha e se der coroa o apostador ganha. A
banca afirma que a moeda é honesta mas o jogador acredita que está em
desvantagem no jogo e deseja testar a afirmação da banca.
Seja θ a probabilidade de sair cara.{
H0 : θ = 0, 5
H1 : θ > 0, 5.
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
10 peças é coletada.
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses;
{
H0 : µ = 2
H1 : µ 6= 2.
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
10 peças é coletada.
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses;{
H0 : µ = 2
H1 : µ 6= 2.
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
100 peças é coletada.
(b) Qual seria a região crítica se α = 0, 02?
I Teste Bilateral;
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − zα/2 σ√
n
ou x¯ ≥ µ0 + zα/2 σ√
n
}
I µ0 = 2, n = 10; σ = 0.3; α = 0, 02. Precisamos encontrar o valor de zα/2 tal que
P (Z ≤ −zα/2) = α
2
= 0, 01
I Para zα/2 = 2, 33, temos
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 1, 93 ou x¯ ≥ 2, 07}
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
100 peças é coletada.
(b) Qual seria a região crítica se α = 0, 02?
I Teste Bilateral;
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − zα/2 σ√
n
ou x¯ ≥ µ0 + zα/2 σ√
n
}
I µ0 = 2, n = 10; σ = 0.3; α = 0, 02. Precisamos encontrar o valor de zα/2 tal que
P (Z ≤ −zα/2) = α
2
= 0, 01
I Para zα/2 = 2, 33, temos
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 1, 93 ou x¯ ≥ 2, 07}
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
100 peças é coletada.
(b) Qual seria a região crítica se α = 0, 02?
I Teste Bilateral;
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − zα/2 σ√
n
ou x¯ ≥ µ0 + zα/2 σ√
n
}
I µ0 = 2, n = 10; σ = 0.3; α = 0, 02. Precisamos encontrar o valor de zα/2 tal que
P (Z ≤ −zα/2) = α
2
= 0, 01
I Para zα/2 = 2, 33, temos
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 1, 93 ou x¯ ≥ 2, 07}
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
100 peças é coletada.
(b) Qual seria a região crítica se α = 0, 02?
I Teste Bilateral;
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − zα/2 σ√
n
ou x¯ ≥ µ0 + zα/2 σ√
n
}
I µ0 = 2, n = 10; σ = 0.3; α = 0, 02. Precisamos encontrar o valor de zα/2 tal que
P (Z ≤ −zα/2) = α
2
= 0, 01
I Para zα/2 = 2, 33, temos
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 1, 93 ou x¯ ≥ 2, 07}
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
100 peças é coletada.
(c) Se a região de Não Rejeição fosse R(x¯)A = {x¯ : 1, 95 ≤ x¯ ≤ 2, 05}. qual seria o nível
de significância do teste? Neste caso, determine a probabilidade do erro tipo II se
µ = 1, 95 cm.
I Nível de significância (α) :
α = P (Erro Tipo I) = P (Rejeitar H0|H0 verdadeira)
= P (X¯ /∈ R(x¯)A |µ = 2) = P (≤ 1, 95 ou X¯ ≥ 2, 05|µ = 2)
(transformando na escala Z = (X¯ − 2)/(0, 3/
√
100))
= P (Z ≤ −1, 76 ou Z ≥ 1, 76) = 2P (Z ≤ −1, 76) = 0, 0784
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
10 peças é coletada.
(c) Se a região de Não Rejeição fosse R(x¯)A = {x¯ : 1, 95 ≤ x¯ ≤ 2, 05}. qual seria o nível
de significância do teste? Neste caso, determine a probabilidade do erro tipo II se
µ = 1, 95 cm.
I Probabilidade do erro tipo II (β):
β = P (Erro Tipo II) = P (Não Rejeitar H0|H0 falsa)
= P (X¯ ∈ R(x¯)A |µ = 1, 95) = P (1, 95 ≤ X¯ ≤ 2, 05|µ = 1, 95)
(transformando na escala Z = (X¯ − 1, 95)/(0, 3/
√
100))
= P (0 ≤ Z ≤ 3, 51) = P (Z ≤ 3, 51)− P (Z ≤ 0)
= 0, 9998− 0, 5 = 0, 4998
(d) Se para essa amostra, x¯ = 1, 94, qual adecisão em (b)? E em (c)?
Exercício 1
I Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações
acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com
variância igual a 0,09cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de
10 peças é coletada.
(c) Se a região de Não Rejeição fosse R(x¯)A = {x¯ : 1, 95 ≤ x¯ ≤ 2, 05}. qual seria o nível
de significância do teste? Neste caso, determine a probabilidade do erro tipo II se
µ = 1, 95 cm.
I Probabilidade do erro tipo II (β):
β = P (Erro Tipo II) = P (Não Rejeitar H0|H0 falsa)
= P (X¯ ∈ R(x¯)A |µ = 1, 95) = P (1, 95 ≤ X¯ ≤ 2, 05|µ = 1, 95)
(transformando na escala Z = (X¯ − 1, 95)/(0, 3/
√
100))
= P (0 ≤ Z ≤ 3, 51) = P (Z ≤ 3, 51)− P (Z ≤ 0)
= 0, 9998− 0, 5 = 0, 4998
(d) Se para essa amostra, x¯ = 1, 94, qual a decisão em (b)? E em (c)?
Exercício 2
I O atual tempo de travessia com balsas entre Santos e Guarujá é considerado uma variável
aleatória com distribuição Normal com média 10 minutos e desvio padrão 3 minutos. Uma
nova balsa vai entrar em operação e desconfia-se que será mais lenta que as anterioes.
(a) Especifique as hipóteses em discussão
(b) Interprete os erros tipo I e tipo II.
(c) Para uma amostra de 20 tempos de travessia com a nova balsa, obtenha a região
crítica considerando um nível de significância 5%.
(d) Calcule a probabilidade do erro tipo II, se a nova balsa demora, em média 2 minutos
a mais que as anteriores para completar a travessia.
Exercício 3
I Uma empresa fabrica cilindros com 50 mm de diâmetro. O desvio padrão dos diâmetros
produzidos é 30 mm. A fim de saber se a produção encontra-se dentro dos padrões
esperados, a cada hora, 4 cilindros são amostrados e têm seus diâmetros medidos. A
média dos diâmetros é usada para decidir se o processo de fabricação está operando
satisfatoriamente. Assim, se o diâmetro médio estiver entre 47 e 53 mm, o processo deve
continuar, em caso contrário, a produção é interrompida e ajustes são feitos. Suponha
que o comprimento dos diâmetros é bem modelado por uma distribuição Normal.
(a) Formule o problema como um teste de hipóteses.
(b) Qual é a probabilidade de se parar incorretamente a produção, se a média do
diâmetro continuar em 50 mm?
(c) Qual é a probabilidade de a produção continuar, se a média do diâmetro se deslocar
para µ = 52?
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(a) Formule as hipóteses adequadas.
{
H0 : µ = 210
H1 : µ = 200.
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(a) Formule as hipóteses adequadas. {
H0 : µ = 210
H1 : µ = 200.
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(b) Obtenha a região crítica do teste com nível 5% de significância.
Utiliza o teste supondo as hipóteses na forma:{
H0 : µ = 210
H1 : µ < 210.
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(b) Obtenha a região crítica do teste com nível 5% de significância.
Utiliza o teste supondo as hipóteses na forma:{
H0 : µ = 210
H1 : µ < 210.
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(c) Quantos recém-nascidos prematuros devem ser observados para que tenhamos
simultaneamente α = 5% e β = 5%.
Precisamos criar uma nova região crítica R(x¯)C = {x¯ : x¯ ≤ xc} tal que
P ( Rejeitar H0|H0 verdadeira) = α = 0, 05
P ( Não Rejeitar H0|H0 falsa) = β = 0, 05
Exercício 4
I Sabe-se que concentração média de cloro encontrada na urina de recém-nascidos, com
gestação de 9 meses, é igual a 210 unidades e que o desvio padrão correspondente é igual
a 20 unidades. Sabe-se também que, em recém nascidos prematuros, a concentração de
cloro na urina tem um desvio padrão igual àquele observado para os outros
recém-nascidos, porém suspeita-se que a concentração média seja 200 unidades. Para
testar a veracidade desta suspeita, uma amostra de recém nascidos prematuros será
observada com relação às concentrações de cloro na urina (admita que siga o modelo
Normal).
(c) Quantos recém-nascidos prematuros devem ser observados para que tenhamos
simultaneamente α = 5% e β = 5%.
Precisamos criar uma nova região crítica R(x¯)C = {x¯ : x¯ ≤ xc} tal que
P ( Rejeitar H0|H0 verdadeira) = α = 0, 05
P ( Não Rejeitar H0|H0 falsa) = β = 0, 05
Exercício 4
I Isto é, encontrar um valor crítico xc tal que
P (X¯ ≤ xc|µ = 210) = 0, 05
P (X¯ > xc|µ = 200) = 0, 05
P (Z ≤ xc − 210
20/
√
n
|µ = 210) = 0, 05
P (X¯ >
xc − 200
20/
√
n
|µ = 200) = 0, 05
I Resolvendo : 
xc − 210
20/
√
n
= −1, 64
xc − 200
20/
√
n
= 1, 64
tem-se n ≈ 44
Exercício 4
I Isto é, encontrar um valor crítico xc tal que
P (X¯ ≤ xc|µ = 210) = 0, 05
P (X¯ > xc|µ = 200) = 0, 05
P (Z ≤ xc − 210
20/
√
n
|µ = 210) = 0, 05
P (X¯ >
xc − 200
20/
√
n
|µ = 200) = 0, 05
I Resolvendo : 
xc − 210
20/
√
n
= −1, 64
xc − 200
20/
√
n
= 1, 64
tem-se n ≈ 44
Exercício 5
I Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos apresentou uma frequência
cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio padrâo de 8,67 batidas/min. Um manual
de procedimento clínico indica que a pulsação média paraindivíduos nessa faixa etária
deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo
com um modelo Normal e usando um nível de significância igual a α = 2%, você diria que
os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual?
I Hipóteses: {
H0 : µ = 72
H1 : µ 6= 72.
Região crítica:
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − t(n−1)α/2 ·
s√
n
ou x¯ ≥ µ0 + t(n−1)α/2 ·
s√
n
}
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 64, 26 ou x¯ ≥ 79, 74}
Como x¯ = 68, 7 /∈ R(x¯)C , não rejeitamos H0 ao nível α = 0.02.
Exercício 5
I Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos apresentou uma frequência
cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio padrâo de 8,67 batidas/min. Um manual
de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária
deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo
com um modelo Normal e usando um nível de significância igual a α = 2%, você diria que
os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual?
I Hipóteses: {
H0 : µ = 72
H1 : µ 6= 72.
Região crítica:
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − t(n−1)α/2 ·
s√
n
ou x¯ ≥ µ0 + t(n−1)α/2 ·
s√
n
}
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 64, 26 ou x¯ ≥ 79, 74}
Como x¯ = 68, 7 /∈ R(x¯)C , não rejeitamos H0 ao nível α = 0.02.
Exercício 5
I Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos apresentou uma frequência
cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio padrâo de 8,67 batidas/min. Um manual
de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária
deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo
com um modelo Normal e usando um nível de significância igual a α = 2%, você diria que
os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual?
I Hipóteses: {
H0 : µ = 72
H1 : µ 6= 72.
Região crítica:
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − t(n−1)α/2 ·
s√
n
ou x¯ ≥ µ0 + t(n−1)α/2 ·
s√
n
}
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 64, 26 ou x¯ ≥ 79, 74}
Como x¯ = 68, 7 /∈ R(x¯)C , não rejeitamos H0 ao nível α = 0.02.
Exercício 5
I Uma amostra de 10 adultos, na faixa de idade de 19 a 25 anos apresentou uma frequência
cardíaca média de 68,7 batidas/min, com desvio padrâo de 8,67 batidas/min. Um manual
de procedimento clínico indica que a pulsação média para indivíduos nessa faixa etária
deve ser igual a 72 batidas/min. Admitindo que a variável medida se comporte de acordo
com um modelo Normal e usando um nível de significância igual a α = 2%, você diria que
os dados fornecidos são compatíveis com a informação do manual?
I Hipóteses: {
H0 : µ = 72
H1 : µ 6= 72.
Região crítica:
R
(x¯)
C =
{
x¯ : x¯ ≤ µ0 − t(n−1)α/2 ·
s√
n
ou x¯ ≥ µ0 + t(n−1)α/2 ·
s√
n
}
R
(x¯)
C = {x¯ : x¯ ≤ 64, 26 ou x¯ ≥ 79, 74}
Como x¯ = 68, 7 /∈ R(x¯)C , não rejeitamos H0 ao nível α = 0.02.
Exercício 5
I Qual é o nível descritivo correspondente aos resultados fornecidos pela amostra?
valor-p = 2 · P (X¯ ≤ x¯|µ = 72) = 2 · P (X¯ ≤ 68, 7|µ = 72) = 2 · P (T (n−1) ≤ −1, 20)
= 2 · 0.1304 = 0, 2608
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(a) Se ele usar a nova técnica em 100 pacientes, qual deve ser a taxa limite para que
conclua que a nova técnica é melhor que a anterior? Fixe o nível de significância em
0,05.
{
H0 : θ = 0, 2
H1 : θ < 0, 2.
Região crítica: R(x¯)C = {x¯ : x¯ ≤ 0, 1344}.
Para concluir que a nova técnica é melhor, deve-se rejeitar H0, isto é, a proporção
amostral deve ser inferior a 13,44% pacientes com complicações.
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(a) Se ele usar a nova técnica em 100 pacientes, qual deve ser a taxa limite para que
conclua que a nova técnica é melhor que a anterior? Fixe o nível de significância em
0,05. {
H0 : θ = 0, 2
H1 : θ < 0, 2.
Região crítica: R(x¯)C = {x¯ : x¯ ≤ 0, 1344}.
Para concluir que a nova técnica é melhor, deve-se rejeitar H0, isto é, a proporção
amostral deve ser inferior a 13,44% pacientes com complicações.
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(a) Se ele usar a nova técnica em 100 pacientes, qual deve ser a taxa limite para que
conclua que a nova técnica é melhor que a anterior? Fixe o nível de significância em
0,05. {
H0 : θ = 0, 2
H1 : θ < 0, 2.
Região crítica: R(x¯)C = {x¯ : x¯ ≤ 0, 1344}.
Para concluir que a nova técnica é melhor, deve-se rejeitar H0, isto é, a proporção
amostral deve ser inferior a 13,44% pacientes com complicações.
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(b) Suponha que a verdadeira taxa de complicações associada à nova técnica é 0,08.
Qual a probabilidade de, em uma amostra de tamanho 100, ele não rejeitar a
hipótese nula?
P (X¯ > 0, 1344|θ = 0, 08) = P (Z > 2) = 0, 0228
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(c) Suponha que o pesquisador adote α = 0, 10 e deseje β = 0, 10 quando a taxa for
0,1. Qual deve ser o tamanho da amostra para que isso aconteça?
P (X¯ ≤ xc|θ = 0, 2) = 0, 10
P (X¯ > xc|θ = 0.08) = 0, 10
Resolvendo igual ao item (c) do Exercício 4, tem-se n ≈ 80, 28
Exercício 6
I A experiência mostra que a taxa de complicações, associada a um determinado
procedimento cirúrgico, é de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa taxa, um pesquisador
desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pacientes,
(c) Suponha que o pesquisador adote α = 0, 10 e deseje β = 0, 10 quando a taxa for
0,1. Qual deve ser o tamanho da amostra para que isso aconteça?
P (X¯ ≤ xc|θ = 0, 2) = 0, 10
P (X¯ > xc|θ = 0.08) = 0, 10
Resolvendo igual ao item (c) do Exercício 4, tem-se n ≈ 80, 28
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?
{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do errotipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒
Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.
Exercício 7
I Uma caixa tem bolas pretas e brancas. Existem 3 de uma cor e 2 de outra, mas não se
sabe ao certo qual a cor predominante. Retiramos, ao acaso e com reposição, 50 bolas da
urna e observamos 28 bolas brancas. Seja θ a proporção de bolas brancas na caixa,
pergunta-se:
(a) Qual seria o teste adequado para decidir sobre a composição da caixa?{
H0 : θ = 3/5
H1 : θ = 2/5.
(b) Qual a conclusão, ao nível α = 0, 1?
valor p = P (X¯ ≤ x¯|θ = 3/5) = P (Z ≤ −0, 58) = 0, 2819⇒ Não rejeita H0.
(c) Determine a probabilidade do erro tipo II.
R
(x¯
C = {x¯ : x¯ ≤ 0.5112115}
P (erro Tipo II) = P (X¯ > 0, 5112|θ = 2/5) = P (Z > 1, 6052) = 0, 0542.