Apostila de Derivada

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DERIVADA
Como sabemos a derivada é uma taxa de variação, quando derivamos uma função o único cuidado que temos que ter é qual a variável que está pedindo para ser derivada. Vamos ver vários tipos de regras para conseguir derivar, teoremas e como construir gráficos e resolver problemas de otimização utilizando a derivada
RETA TANGENTE 
A reta tangente faz um ângulo de 90 graus sobre a reta normal. A inclinação da reta é dada por . Para encontrar o valor do A devo derivar e logo em seguida substituir o na derivada. A fórmula usada para a reta tangente é: 
RETA NORMAL
A reta normal esta perpendicular à reta tangente. A formula aplicada para encontrá-la é:
Exemplo 1:
Determine a reta tangente e a reta normal da função: , com abscissa 2
A abscissa igual a 3 quer dizer que o valera 3, só que na formula temos, e então será preciso encontrar o valor da ordenada, ou seja, do e depois encontrar a derivada.
Fazendo conseguiremos encontrar o valor do 
 então .
Derivando: 
Substituindo o =2	
Usando a formula da reta tangente:
 
Portanto está é a reta tangente
Usando a formula da reta normal:
Portanto esta é a reta normal.
VELOCIDADE E ACELERACAO 
Para encontrar a velocidade e aceleração de uma função é só aplicar a derivada primeira e derivada segunda. Mas para encontrar a velocidade e aceleração em um ponto será preciso o uso da formula:
 
 
Exemplo: No instante t=0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por r(t)= . Segundo a definição de velocidade encontre a velocidade média do corpo no instante de tempo [5,3].
Aplicando a formula:
 
Vamos encontrar a velocidade no instante [5,3], aplicando os valores o 5 será o f e o 3 será o i.
A aceleração média no intervalo [6,3]
Usando a formula:
Derivando a função s(t)= teremos:
, substituindo na formula:
 
DERIVADA PELA DEFINICAO 
Para a derivada pela definição é usado limite, quando derivamos o resultado é o mesmo se for usado uma propriedade.
Exemplo: Encontrar a derivada pela definição de:
F(x)= 
= 2x
DIFERENCIAL
Seja uma função. Podemos sempre considerar uma variação de variável independente x. Se x varia de , definimos o acréscimo de x, denotado por Δx, como:
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por , dada por:
Sejam uma função derivável e um acréscimo de x. Definimos:
A diferencial da variável independente x, denotada por dx, como 
A diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como 
De acordo com a definição anterior, podemos escrever ou 
Assim, a notação , já usada para , pode agora ser considerada um quociente entre as duas diferenciais.
Exemplo: Se , calcule o acréscimo para x=2 e . Usando a definição de , escrevemos:
= 
=
= 
= 
=
Exemplo: Se calcule e dy para, x=5 e = 0,002.
Usando a definição de , temos:
= 
=
= 
= 
=
Usando a definição de dy, temos:
TAXA RELACIONADA
EXEMPLO: O volume de um balão esférico, cresce a uma taxa de 150 centímetros cúbicos por segundo, qual é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 25 cm?
A taxa de crescimento do volume pelo tempo: = 
Qual é a taxa de crescimento do raio para quando o raio mede 25 cm: =?
Roteiro:	
Identificar as variáveis.
Achar uma relação entre as variáveis 
Derivar em relação a variável de referencia 
Substituir os valores conhecidos
Isolar o que se quer calcular
1)
Volume= v
Raio= R
2)
3)
Derivando v = 
4)
.
Calculando:
Portanto a taxa de variação do raio em relação ao tempo é cm/s.
DERIVADA IMPLICITA
Consideramos a equação:
Dizemos que a função é definida implicitamente pela equação (1) se, ao substituir y por em (1), esta equação se transforma numa identidade.
Exemplo: Derive em relação ao y, o cuidado deste exercício é que temos que verificar qual variável está sendo derivada.
Como o exemplo quer a derivada em relação ao y a função ficará , ou seja, em baixo ficara o dy.
Dividindo dará 1, então não precisa necessariamente escrevê-lo
 
Exemplo: Derive em relação a x.
Primeira coisa a fazer é visualizar que esta função contém uma função composta que para resolver tem que aplicar a regra da derivada de uma função composta.
O produto da função é a 
O produto é separado em duas funções f e g, então primeiramente iremos que nomear a primeira de f e a segunda de g:
 Derivando a ficará: 
 Derivando a ficará: 
Substituindo com os termos que encontramos:
 
Substituindo o que encontramos:
 
Juntando os termos parecidos:
 
Colocando o em evidencia:
 
Passando dividindo:
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Formas para derivar sem o uso da definição:
Derivada de uma constante
A derivada de uma constante é zero, pois, a derivada é uma taxa de variação, então a taxa de variação de uma constante nunca varia, portanto como não há variação a derivada é nula, ou seja, é zero.
Exemplo 1.
Dada a F(x)= π encontre a derivada:
A F’(x)= 0, pois conforme vimos a derivada da constante é zero por conta da taxa de variação. Uma constante não tem variação na taxa, fazendo com que a derivada seja zero
Regra da Potência
Se n é um número inteiro positivo e F(x)= , então F’(x)= 
Exemplo 1. 
Dada a F(x)= . Derive:
Segundo a propriedade da regra da potência. A derivada de F’(x) será:
F’(x)= 
= 
Exemplo 2.
Dada a G(x)=. Derive:
Segundo a propriedade da regra da potência. A derivada de G’(x) será:
G’(x)= 
= 
Derivada do produto de uma constante por uma função
Sejam F uma função, c uma constante e g a função definida por G(x)= Cf(x). Se F’(x) existe, então G’(x)= Cf’(x).
Exemplo 1. 
Dada a função F(x)= , encontre a derivada:
Segundo a propriedade da derivada de um produto de uma constante por uma função será:
F’(x)= 
= 
Exemplo 2.
Dada a função G’(x)= , encontre a derivada:
Segundo o teorema 1.11.3 a derivada será:
G’(x)= 
= 
Derivada de uma soma
Sejam a f e g duas funções e d a função definida por d(x)= f(x) + g(x). Se f’(x) e g’(x) existirem, então:
D’(x)= f’(x) + g’(x)
Exemplo 1.
Dada as funções:
F(x)= 
G(x)= 
Derive.
Derivando 
= 
= 
Derivando 
= 
Derivada de um produto
Sejam f e g funções e d a função definida por d(x)= f(x). g(x). Se f’(x) e g’(x) existem, então:
D’(x)= f(x) . g’(x) + f’(x) . g(x)
Exemplo 1-
Dada as funções abaixo derive:
d(x)= 
Solução A)
Para a resolução do exemplo a terá que ser aplicada as propriedades de soma de produto, derivada de um produto, derivada de uma constante e derivada de uma potência.
Separando as funções para poder aplicar a regra da derivada de produto, a primeira função será a f (x) e a segunda será a g(x). Mas adiante iremos aplicar a formula abaixo:
d(x)= f’(x) . g(x) + g’(x) + f(x)
Derivando a f(x) ficara: 
d(x)= () 
Derivando a g(x) ficara:
 
 
Agora que encontramos o valor de f’(x) e g’(x), vamos aplicar a regra da derivada de um produto:
D(x)= f’(x).g(x)+g’(x).f(x)
Substituindo f(x), f’(x), g(x) e g’(x) teremos:
F’(x)= ().(+( - 6).(
Multiplicando os termos:
F’(x)= ++
Somando os termos iguais:
F’(x)= -48x - + + 
Derivada de um quociente
Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x) / g(x), onde g(x) ≠ 0. Se f’(x) e g’(x) existem, então 
H’(x)= 
Exemplo 1-
Dada a função abaixo, derive:
G(x)= 
Solução:
G(x)= 
Agora que nomeamos o numerador e denominador temos que encontrar a derivada da f(x) e h(x).
F(x)= 
Portanto encontramos a derivada da f(x), que é f’(x)= 2x
h(x)= 
Portanto encontramos a derivada da h(x), que é s(x)= 
Agora iremos aplicar os valores encontrados na regra do quociente.
G’(x)= 
G’(x)= 
G’(x)= 
G’(x)= 
Propriedade
Seja f(x)= onde n é um número inteiro positivo e x ≠ 0, então f’(x) = -n . .
Exemplo 1-
Dada as funções abaixo, derive:
F(x)= 
Solução A)
F(x)= 
F’(x)= , portanto a derivada será: 
F’(x)= 
Propriedade Regra da cadeia
Se y= g(u) e u= h(x) e as derivadas e existem, então a função composta y= g[f(x)] tem derivada que é dada por:
 = ou y’ (x)= g’(x) . h’(x)
Exemplo 1-
Dada a função y= , determine .
Solução:
y= e u= (. Aplicando a regra da cadeia ficara:
 = 
quer dizer a derivada em relação a y
 quer dizer a derivada em relação a u
Y= 
Y’= 2u
U=(
U’= (+ 2+ 1)
U’ = ()
Agora já encontramos a derivada de u e de y vamos aplicar na regra da cadeia.
A derivada será:
2u. (
2(. (
Propriedade
Se u= g(x) é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então:
 [ = n . [ . g’(x)
Exemplo 1- Dada a função f(x)= 2, determine a derivada.
F(x)= 2(
Y= 
U=()
Derivada do y:
Y= 
Y’= 
Y’= 
Derivando u=
U= 
U’= 
U’= 2x
Encontramos a derivada de y e de u. Agora vãos aplicar a regra da cadeia:
 = 
= . (2x)
Substituindo a função u:
F’(x)= . (2x) 
F’(x)= 
Derivada da função exponencial
Se y= ln a ( a > 0 e a ≠ 1)
Caso particular:
Se y= então y’= . ln e = , pois o e é número neperiano. Então a derivada do e é ele próprio.
Derivada da função logarítmica
Se y= x (a>0, a≠ 1), então:
Y’ = e (a > 0 e a ≠ 1).
Caso Particular:
Se y= ln x então y’= 
Y’= 
Derivada da função seno
Se y= sen(x), então y’(x)= cos(x)
Derivada da função cosseno
Se y= cos x , então y’ = -sen x. 
Outras Derivadas de funções trigonométricas
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir de seno e do cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar as suas derivadas.
Por exemplo:
Se y= tg x = , então y’= 
Usando a regra do quociente, temos:
Y’= 
Y’= 
Y’= 
Y’= 
Outras derivadas trigonométricas são as:
Y= cotg x então y’= 
Y= sec x então y’= 
Y= cosec x então y’= 
Usando a regra da cadeia obtemos a seguinte tabela:
Y= y’= 
Y= y’= 
Y= y’= 
Y= y’= 
Y= y’= 
Y= y’= 
Exemplo: Dada a função, encontre as suas derivadas.
Y= 
Solução a)
Para derivar a função y= , 
Portanto u= e y= sen u
U’= 
U’= 
Derivando y:
Y’ = 
Y’= 
Y’= 
Y’= (2x)
Y’= 
Derivadas sucessivas
Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f’ é também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na derivada da função f’.
Definição: seja f uma função derivável. Se f’ também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f’’(x). 
Exemplo: Dada as funções derive três vezes.
F(x)= 
Solução a)
F’(x) = 
F’(x)= 
Derivando mais uma vez:
F’’(x) = 
F’’(x)= 
Derivando mais uma vez:
REGRA DE L’HOSPITAL
Sejam a f e g funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto, possivelmente, em um ponto a ϵ em I. 
Se = = 0 e = , então = 
Se = = e = , então = 
Se a função der uma indeterminação do tipo , devemos derivar a função uma vez em cima e em baixo.
Exemplo: se a indeterminação continuar deriva novamente. Qual o cuidado ser for uma função for um quociente e der a indeterminação, não podemos aplicar a regra do quociente.
Mas para aplicar a regra de L’Hospital a função estar sempre acompanhada de um limite.
Ao substituir o limite veremos se vai dá a indeterminação.
Exemplos: Derive as funções abaixo, usando L’Hospital:
Substituindo o zero em x dará uma indeterminação de 
Derivando uma vez:
 , substituindo zero em x ficara:
Substituindo o x por zero teremos uma indeterminação de :
Usando a regra de L’Hospital:
Derivando uma vez:
Substituindo o x por zero teremos:
TAXA DE VARIACAO:
Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s’(t) é a taxa de variação da função s(t) por unidade de variação t. O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v’(t). Ela representa a razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t.
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y=f(x), quando a variável independente varia de x a x + delta x, a correspondente variação de y será delta y= f(x + delta x) – f(x). O quociente 
Representa a taxa média de variação de y em relação a x.
A derivada
É a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.
Exemplo:
Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determine:
A taxa de variação media da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 2,2 a 3.
A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 6m.
Solução a)
A= l . l
= 
= 
= 
Solução b) 
= 2l.
Quando L=6, temos:
Portanto, quando L=6 m, a taxa de variação da área do quadrado será de 12por variação de 1 metro no comprimento do lado.
OTIMIZACAO:
FORMULAS GEOMETRICAS BASICAS USADAS EM OTIMIZACAO:
RETANGULO:
A= X . Y
P= 2X+2Y
PRISMA:
V= X . Y . Z
CIRCULO:
A= π
C= 2πr
CILINDRO:
V= π
EXEMPLO: Um homem quer construir um jardim retangular, usando a casa como um dos lados. Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado com 60 m. de cerca
 y y
 x
2y+x=60 (equação de vinculo)
A= x . y (equação objetivo)
Irei isolar uma variável: de 2y+x=60
Ficara:
X= 60-2y
Agora vou juntar os dois x das funções:
A= (60-2y) . y
F(y)= 
Primeiro vamos derivar a função:
F’(x)= -4y + 60
Segundo vou igualar a derivada a zero:
0 = -4y + 60
4y= 60
Y= 
Y= 15
Terceiro vou verificar colocar o 15 que encontrei em uma reta e pegar um valor antes do 15 e depois do 15.
 0_______________15_________________20
Quarto vou verificar se o 15 é meu ponto maximo:
Substituindo na derivada:
F’(0)= - 4 (0) + 60
F’(0)= 60 crescente
F’(20)= -4 (20) + 60
F’(20)= -20 decrescente
X= 60 – 2 . (15)
X= 60 – 30
X= 30
Portanto precisara de 30 metros no x e 15 no y para fazer a cerca.
MAXIMO E MINIMOS:
MACETE:
PRIMEIRO: Achar a derivada
SEGUNDO: F’(x)= 0
TERCEIRO: Colocar o ponto estacionário encontrado em uma reta.
QUARTO: Se a f’(x)> 0 crescente
Se a f’(x)<0 decrescente
QUINTO: Calcular a f(xe)
SEXTO: Gráfico
EXEMPLO:
PRIMEIRO: 
SEGUNDO:
F’(x)=0
Aplicando a baskara encontrarei 
TERCEIRO:
 Decrescente
Substituindo na função as raízes para ver quem são os pontos máximos e mínimos.
INFLEXAO E CONCAVIDADE
MACETE:
PRIMEIRO: Encontrar a derivada f’’(x)
SEGUNDO: F’’(x)=0 achar a raiz inflexão 
TERCEIRO: Substituir na reta o ponto encontrado.
QUARTO: F’’(x)> 0 concavidade para cima
F’’(x)< 0 concavidade para baixo
EXEMPLO:
PRIMEIRO:
SEGUNDO:
= 0
X= 1
TERCEIRO:
0______________1_____________2
QUARTO:
F’’(0)= 6.0-6
F’’(0)= -6 CONCAVIDADE PARA BAIXO
F’’(2)= 6 . 2 -6
F’’(2)= 6 CONCAVIDADE PARA CIMA
Substituir na função para encontrar o ponto de inflexão 
Ponto de inflexão: (1,-4)