conceito da função derivada

Prévia do material em texto

Faculdade Anhembi Morumbi 
Engenharia civil 
JUNIOR ABREU LISBOA 
DERIVADAS
DERIVADAS FUNDAMENTAIS
DF 
2021
Faculdade Anhembi Morumbi 
Junior Abreu Lisboa 
DERIVADAS
DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Trabalho apresentado a cálculo aplicável 
DF 
2021
INTRODUÇÃO
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma
função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da
taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de
redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou
objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função
variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Mas O presente trabalho temo como objetivo estudar Derivada matematicamente.
Definição de Derivadas:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y', dy/dx ou f ' (x).
A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:
Regras gerais de derivação
Regra da soma
Regra da subtração
Regra da multiplicação
Regra do produto
Regra do quociente
sendo esta válida para todo no domínio das funções com
Derivada da Constante:
Consideremos a função real de variável real definida por 
(c = constante).
A derivada desta função no ponto  é:  =  =  =  = 0.
Portanto,  ou  
A derivada de uma função constante é igual a zero.
Vamos calcular a derivada da função constante f(x)=c , definida em ℝ, no ponto x=a
f′(a)=limx→af(x) –f(a)x–a=limx→aa–ax–a=limx→a0x–a=limx→a0=0
Ou seja, dado f(x)=c
, para qualquer x∈ℝ
f′(x)=0.
O resultado acima em português fica: Derivada de constante é zero.
Derivada da função potência: f(x)=xn
f(x)=xn  ⇒  f′(x)=nxn−1
Para derivar qualquer função potência (funções do tipo xn), temos que “tombar o expoente para frente do x
e tirar um do expoente”. É a famosa regra do tombo. Vamos ver um exemplo?
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x4
Então, como devemos tombar expoente (4) para frente do x
e tirar um do expoente, fica assim:
f′(x)=4x4−1=4x3
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x20
.
Novamente, vamos tombar o expoente (20) para frente do x
e tirar um, fica assim:
f′(x)=20x20–1=20x19
Derivada de Constante vezes função
[c⋅f]′=c⋅f′
A propriedade acima diz que para derivarmos uma “constante vezes função”, temos que “copiar a constante e derivar a função”.
Exemplo: Derive f(x)=5x2
Note que o 5 está multiplicando o x2. A função x2 a gente já sabe derivar, como 5
é constante, basta copiá-lo multiplicando.
f′(x)=(5x2)′
=5⋅(x2)′
=5⋅2x
=10x
Exemplo: Derive f(x)=10sin(x)
10
é constante e está multiplicando a função seno. Então bastá copiá-lo multiplicando.
f′(x)=[10sin(x)]′
=10⋅(sin(x))′
=10⋅cos(x)
=10cos(x)
Derivada do Seno
f(x)=sin(x)  ⇒  f′(x)=cos(x)
A derivada do seno é cosseno. Vamos mostrar o porquê. Considere f(x)=sin(x)
e a∈ℝ
Usando a soma de arcos do seno, isto é,
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),
obtemos:
Da Relação Fundamental da Trigonometria, podemos escrever:
ubstituindo na expressão da derivada, seguimos com:
Derivada do Cosseno
f(x)=cos(x)  ⇒  f′(x)= –sin(x)
A derivada do cosseno é menos seno. Vamos verificar pela definição de derivada? Considere então f(x)=cos(x)
e a∈ℝ.
Usando a soma de arco do cosseno, isto é:
cos(a+b)=cos(a)cos(b) –sin(a)sin(b),
segue que
Da Relação Fundamental da Trigonometria, segue que:
Vamos substituir este resultado na expressão:
Derivada da Soma
[f+g]′=f′+g′
Esta propriedade diz que para derivar uma soma, basta derivarmos as funções individualmente e somá-las. Isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas.
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x2+sin(x).
Note a soma de x2 com sin(x)
. Neste caso, temos que derivar cada parcela e somar. Ou seja:
f′(x)=[x2+sin(x)]′=(x2)′+[sin(x)]′=2x+cos(x)
Exemplo: Encontre a derivada de f(x)=x3+ln(x)
.
Repare que há uma soma. Assim, vamos ter que derivar cada parcela para depois somá-las. Ou seja:
f′(x)=[x3+ln(x)]′=(x3)′+[ln(x)]′=3x2+1x
Demonstração
Considere então f
e g duas funções deriváveis em x
. Segue que:
Derivada da Diferença
[f–g]′=f′–g′
Esta propriedade diz que a derivada da diferença é a diferença das derivadas. É semelhante a propriedade anterior, mas com o sinal de menos ao invés do sinal de mais.
Exemplo: Calcule a derivada de f(x)=x2–sinx.
Note o sinal de menos. Quando ele está presente, temos que derivar as funções individualmente e subtrai-las.
Exemplo: Calcule a derivada de f(x)=10x5–4cosx.
Demonstração
Esta propriedade é resultado direto da propriedade anterior: derivada da soma. Veja:
[f(x)–g(x)]′=[f(x)+(−g(x))]′=f′(x)+[−g(x)]′=f′(x)–g′(x)
CONCLUSÃO
Este trabalho esta sendo realizado referente ao estudo de derivadas, apresentando os conceitos do que é uma derivada, sua formula, definição. A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas e limites, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.