Relatório - Associação de Bombas

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE QUÍMICA
DEPARTAMENTO DE OPERAÇÕES E PROJETOS INDUSTRIAIS
LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA I
Associação de bombas centrífugas
Grupo 2:
Carina Soares
Gustavo Anciens
Hanny Juliani
Juliana Saldanha
Professor:
Marco Antonio Gaya de Figueiredo
Rio de Janeiro
16/09/2015
SUMÁRIO
1. Resumo........................................................................................................................4
2. Introdução.....................................................................................................................4
3. Motivação e Objetivos.................................................................................................5
4. Revisão Bibliográfica....................................................................................................5
5. Procedimento Experimental..........................................................................................7
6. Resultados e Discussão...............................................................................................9
7. Conclusões.................................................................................................................13
8. Estudo Dirigido...........................................................................................................14
9. Bibliografia..................................................................................................................26
Lista de Tabelas
Tabela 1: Uma bomba (B1)
Tabela 2: Associação em série (B1 e B3)
Tabela 3: Associação em paralelo (B1 e B2)	
Tabela 4: Associação combinada
Lista de Figuras
Figura 1: Principais componentes de uma bomba centrífuga
Figura 2: Curva característica – associação em paralelo
Figura 3: Equipamento utilizado para o experimento de associação de bombas
Lista de Gráficos
Gráfico 1: Curva de uma bomba
Gráfico 2: Curva de duas bombas em série
Gráfico 3: Curva de duas bombas em paralelo
Gráfico 4: Curva de bombas em ação combinada
RESUMO
Bombas são máquinas hidráulicas cuja finalidade é realizar o deslocamento de um fluido por escoamento. Geralmente, associações são feitas a fim de resolver problemas de vazão ou altura manométrica. Além disso, possibilitam, em alguns sistemas, maior flexibilidade e segurança operacional. Elas podem ser utilizadas com diferentes tipos de associações: em série, paralelo ou até mesmo combinada.
Quando em série, a carga fornecida pelas bombas ao fluido é maior, fazendo com que o mesmo vença maiores alturas manométricas. A associação em paralelo é utilizada quando a vazão exigida é muito elevada ou quando a mesma pode variar muito. Já no caso da associação combinada, esta possui vantagens em relação às duas situações citadas anteriormente, uma vez que sua capacidade de vencer alturas manométricas é maior e o vazão presente nesse sistema também é elevada.
Neste relatório são apresentados os resultados experimentais desses três tipos de associações de bombas centrífugas.
INTRODUÇÃO
Observamos uma ampla variedade de fluidos de processos na indústria, com diferentes propriedades físico-químicas. Estes, ocasionalmente, necessitam ser bombeados, e dependendo de suas propriedades, deve-se utilizar determinado equipamento de bombeamento. A escolha de uma bomba para uma determinada operação é influenciada por vários fatores, como por exemplo: quantidade de líquido a ser transportada, a carga contra a qual se tem que bombear o líquido, propriedades do líquido a bombear, a natureza da fonte de energia, entre outros. Deve-se ponderar o custo de modo que a eficiência mecânica da bomba seja vantajosa para que se possa escolher uma bomba barata e com alta eficiência.
Entre os tipos de bombas utilizados, podemos mencionar as bombas de deslocamento positivo, pneumáticas de duplo diafragma, de engrenagem, magnéticas, de alta pressão e centrífugas.
A bomba centrífuga é o equipamento mais usual para transferência de líquidos, desde aplicações domésticas (como bombeamento em caixas d’água residenciais), até inúmeros processos envolvendo bombeamento a altas vazões na atividade industrial. Através de impulsores, a bomba transfere energia cinética para o fluido, gerando uma pressão de sucção que produz o fluxo de bombeamento a altas velocidades.
Para transferências com fluidos limpos, de densidade próxima à da água e pouco agressivos quimicamente, bombas centrífugas comuns atendem sem nenhuma dificuldade. A maioria das aplicações industriais de bombeamento requer um tipo de bomba especializada, que pode ser uma bomba positiva, ou ainda alguma bomba centrífuga com características especiais, para superar as dificuldades da aplicação.
Figura 1: Principais componentes de uma bomba centrífuga
	Nas bombas centrífugas a movimentação do líquido é produzida por forças desenvolvidas na massa líquida de um rotor. Estas bombas caracterizam-se por operarem com altas vazões, pressões moderadas e fluxo contínuo, convertendo a energia de uma fonte motriz principal (um motor elétrico ou turbina), a princípio, em velocidade ou energia cinética, e então, em energia de pressão do fluido que está sendo bombeado.
MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS
O experimento realizado tem como objetivo avaliar diferentes formas de associações de bombas, obtendo a curva de operação para cada caso, e assim otimizando e escolhendo o melhor arranjo para determinado sistema. Ainda, torna-se necessário comparar os valores experimentais obtidos com dados da literatura.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
As associações de bombas oferecem uma série de possiblidades e vantagens aos sistemas, que vão desde o fator custo, onde duas bombas semelhantes ou não sob um determinado tipo de associação fazem o trabalho de outra bomba mais cara, até questões relacionadas à segurança operacional e flexibilidade do processo, sendo possível, no primeiro caso a continuidade do processo caso alguma bomba apresente defeito ou até mesmo no controle da vazão de uma determinada carga.
Quando há uma associação em série, a vazão é a mesma e a altura manométrica do conjunto é a soma das alturas manométricas das bombas que o compõem. A construção da curva resultante desse tipo de associação é feita somando-se as alturas manométricas para uma mesma vazão. Numa curva de bomba característica, o eixo das abcissas representa a vazão volumétrica que passa pelo sistema (e consequentemente, pelas bombas); enquanto que no eixo das ordenadas temos o valor do chamado “head” da bomba (energia por unidade de massa ou unidade de peso que a bomba tem condições de fornecer ao fluido para determinada vazão). A curva B1 é a curva característica Hm x Q de uma bomba apenas, enquanto a curva 2B1 representa a curva característica Hm x Q das bombas associadas em série. A curva S é a curva característica do sistema. Os pontos nos quais essas curvas se encontram, determinam o ponto de operação do sistema.
Figura 1: Curva característica – associação em série
Já uma associação em paralelo é utilizada para recalcar grandes vazões, superiores às capacidades das bombas encontradas no mercado, de forma que cada bomba ainda funciona de forma independente. Quando duas ou mais bombas estão operando em paralelo, a altura manométrica é a mesma e a vazão do conjunto é a soma das vazões das bombas que o compõem, ou para a mesma altura manométrica, somam-se as vazões. Quanto à curva característica, observamos a curva B1 como sendo a curva característica Hm x Q de uma bomba apenas, enquanto a curva 2B1 representa a curva característica Hm x Q das duas bombas associadas em paralelo. A curva S é a curva característica Hm x Q da tubulação ou curva do sistema. Como a pressão é a mesma e as bombas contribuem cada uma com a sua vazão, a curva da associação em paralelo é obtida pela soma das vazões de cada curva, para cada pressão. O ponto de operação é verificado pelas interseçõescorrespondentes.
Figura 2: Curva característica – associação em paralelo
Ainda podemos encontrar os dois tipos de associações simultaneamente, para casos nos quais se tenha a necessidade de um aumento na vazão e na carga manométrica.
A equação abaixo representa o balanço de energia realizado para o sistema, onde uma determinada bomba é empregada:
O termo representa a variação da energia cinética do fluido, que no caso das associações de bombas será desconsiderado, visto que para um mesmo ΔP a velocidade será a mesma (vazão constante). O termo ΔZ representa a altura entre a sucção e a descarga (que será a mesma na maioria dos casos), e sendo assim esse termo também é desconsiderado.
O termo é referido como a energia hidráulica fornecida pela bomba ou associação destas (H), mais conhecido como Head da bomba. 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
 5.1 – Descrição do equipamento
	A figura 3 ilustra o equipamento utilizado para a observação das associações das bombas. Foram realizadas associações em série, em paralelo e combinada.
Figura 3: Equipamento utilizado para o experimento de associação de bombas
5.2 – Procedimento Experimental
		Para cada sistema de associação escolhido, cinco pontos de vazão e variação de pressão (sucção e descarga) foram registrados, sendo um deles com a vazão máxima, três pontos com vazões intermediárias e um ponto onde a saída da bomba se encontra completamente fechada.
As válvulas da esquerda liberam a leitura da pressão de sucção e as válvulas da direita liberam a leitura das pressões de descargas das bombas. Assim, ao ler a pressão de sucção da B1, a primeira válvula de cima da esquerda deve estar aberta, e todas as outras fechadas. A leitura das pressões de B1 e B2 são feitas no indicador digital superior, e das bombas B3 e B4 no inferior. A partir de então, realizaram-se quatro tipos de associações. 
O primeiro registro de valores foi realizado com apenas uma bomba operando (B1), variando as vazões e observando os dados de pressão. Para obter a variação de pressão os valores de pressão na descarga foram subtraídos dos valores de pressão de sucção.
A segunda tomada de dados foi realizada em uma associação em série das bombas B1 e B3. O mesmo procedimento para a aferição dos 5 pontos foi realizado, sendo que a pressão de sucção foi aferida pela bomba B1, que succiona o fluido do reservatório, e a vazão de descarga foi aferida pela bomba B3, que retorna o fluido ao reservatório.
Após, foi montada uma associação em paralelo entre as bombas B1 e B2. Assim, a vazão foi medida e igualada em ambos os rotâmetros, pois as duas linhas se unem posteriormente. A pressão de sucção e a de recalque foram aferidas para ambas as bombas. 
Finalmente, foi montada uma associação combinada com as quatro bombas. A pressão de sucção foi aferida pelas bombas B1 e B2 e a de descarga pelas bombas B3 e B4.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
6.1 Dados Experimentais
Os dados experimentais obtidos estão registrados nas tabelas a seguir.
Tabela 1: Uma bomba (B1)
Tabela 2: Associação em série (B1 e B3)
Tabela 3: Associação em paralelo (B1 e B2)
Tabela 4: Associação combinada
6.2 Análise dos Gráficos
6.2.1 Curva para uma bomba centrífuga
	A partir do gráfico obtido com os dados recolhidos ao longo do experimento para uma bomba centrífuga pode-se perceber que ao variar a vazão de escoamento há uma variação de pressão inversamente proporcional a esta variação de vazão. Ou seja, a medida que a vazão de fluido escoando no sistema aumenta, o HEAD da bomba diminui.
	A curva da bomba obtida no gráfico abaixo foi construída através dos dados experimentais de vazão volumétrica e do cálculo do HEAD da bomba através da equação abaixo. Para o cálculo do HEAD, foi considerado ρ = 997,05 kg/m3 para a água a 24° C e g = 9,8 m/s2.
Gráfico 1: Curva de uma bomba
6.2.2 Curva para duas bombas operando em série
	A curva característica para duas bombas operando em série é obtida através da soma dos HEAD's correspondentes para os mesmos valores de vazão. O experimento em questão se utilizou de duas bombas idênticas e, portanto, é possível concluir que a carga das bombas em série será o dobro da carga da bomba operando sozinha.
	O cálculo da curva teórica de duas bombas operando em série foi realizado através da multiplicação por um fator de 2 do HEAD da bomba operando individualmente.
	Para o cálculo do HEAD, foi considerado ρ = 997,05 kg/m3 para a água a 24° C e g = 9,8 m/s2.
Gráfico 2: Curva de duas bombas em série
6.2.3 Curva para duas bombas operando em paralelo
	A curva da bomba para duas bombas idênticas operando em paralelo é obtida através do cálculo do HEAD da das bombas e da vazão volumétrica. O HEAD ou a carga hidráulica das bombas em paralelo pode ser calculado através de uma média aritmética dos diferenciais de pressão para cada uma das bombas obtida experimentalmente, conforme a equação abaixo:
	Para o cálculo do HEAD, foi considerado ρ = 997,05 kg/m3 para a água a 24° C e g = 9,8 m/s2.
	A vazão volumétrica para curva experimental foi obtida através da soma das vazões indicadas em cada rotâmetro para cada uma das bombas e a vazão volumétrica para curva teórica foi obtida através do dobro da vazão volumétrica da curva experimental de uma bomba.
Gráfico 3: Curva de duas bombas em paralelo
6.2.4 Curva para quatro bombas operando em associação combinada
	O sistema de associação de bombas estudado foi o caso de quatro bombas sendo dois sistemas com duas bombas em série operando em paralelo entre si. Para o cálculo do HEAD da associação combinada é necessário utilizar as pressões de sucção das bombas B1 e B2 e as pressões de descarga das bombas B3 e B4. Realiza-se, então, as médias aritméticas para cada um desses sistemas para todas as vazões verificadas. Para este caso de associação combinada, as vazões totais para cada variação de pressão foram calculadas a partir da soma das vazões verificadas em cada rotâmetro.
	Ao analisar a curva de uma única bomba e a curva das quatro bombas associadas em série e em paralelo, é possível perceber que o HEAD da associaçãp de bombas, ou a energia fornecida pelo sistema de bombas é significativamente maior do que o de uma bomba operando sozinha. Esse fato pode ser compreendido porque ao realizar esse tipo de associação é possível promover um aumento da carga hidráulica através das bombas que estão em série e a soma das vazões processadas pelo sistema através das bombas que estão em paralelo.
Gráfico 4: Curva de bombas em ação combinada
CONCLUSÕES
	 O experimento de associação de bombas permitiu o entendimento da relação do HEAD de uma bomba centrífuga com a vazão volumétrica do sistema em questão.
	Ao variar as associações da bomba, colocando-as em série, em paralelo ou de ambas as formas, é possível adequar um sistema de acordo com a necessidade a que se deve atender. 
	Mais precisamente, pode ser verificado que se existir a necessidade de fornecer mais energia ao fluido do sistema, um sistema de bombas em série pode ser uma solução, uma vez que este sistema possui uma altura manométrica maior do que em um sistema isolado.
	Já se o objetivo for a obtenção de maiores vazões volumétricas processadas pelo sistema, um sistema de bombas em paralelo pode ser uma solução, uma vez que este sistema consegue processar uma quantidade de fluido maior do que em um sistema isolado.
	Por fim, se o objetivo for a obtenção de maiores vazões no sistema, juntamente com um aumento da carga hidráulica do sistema, é possível associar bombas em paralelo e em série ao mesmo tempo a fim de se obter um resultado adequado.
	Este experimento demonstrou a versatilidade do uso de associações de bombas que podem ser manipuladas a fim de atender as necessidades da indústria.
ESTUDO DIRIGIDO
Com base nos dados obtidos durante a prática calcule a altura manométrica total para cada vazão, obtendo‐se um gráfico (vazão X AMT) para uma bomba e as associações realizadas no laboratório.Apresentada no relatório.
Quais os critérios que devem ser considerados para se associar bombas iguais em paralelo ou em série? 
A associação em série é útil quando se tem uma altura manométrica grande que não pode ser conseguida com uma única máquina, ou seja, a associação em série aumenta o head total, que como consequência há um aumento da vazão volumétrica, e sendo as bombas iguais, o head total será iguala duas vezes o head de uma das bombas, já a associação em paralelo é adequada quando se deseja alcançar uma vazão elevada ou quando a vazão exigida pelo sistema variar de forma definida, com isto, o objetivo principal é o aumento da vazão e como consequência tem-se o aumento do head, que para bombas iguais (nas quais possuem curvas da bomba iguais) a vazão na associação em paralelo será o dobro da vazão de uma das bombas.
Como ocorre o comportamento das curvas do conjunto para cada uma das associações?
Para a associação em série, a curva característica do conjunto é obtida a partir das curvas de cada uma das bombas, somando-se os heads correspondentes aos mesmos valores de vazão. Para a associação em paralelo, a curva característica será obtida somando-se para cada valor de head, as vazões de cada uma das bombas.
Em se tratando de uma instalação industrial (exemplo bombas que transferem um produto de um tanque de armazenamento para a área reacional), considerando que os diâmetros (sucção /descarga) sejam iguais, que problemas podem ser verificados e como poderiam ser solucionados, para caso seja necessário se associar as bombas instaladas em série ou em paralelo? 
Na associação em série, como consequência do aumento do head tem-se o aumento da vazão, que leva a um aumento a perda de perda (associada ao aumento da velocidade do fluido), que por sua vez, o aumento da perda de carga fará com que o NPSH requerido pela bomba aumente, podendo chegar a valores maiores que o NPSH do sistema, levando à cavitação da primeira bomba. O mesmo pode ocorrer com a associação em paralelo, já que nesta associação o objetivo principal é o aumento da vazão, que pode levar a um aumento da perda de carga devido ao atrito do fluido com a tubulação, levando ao aumento do NPSH requerido, que por sua vez, pode ser maior que o NPSH do sistema levando às bombas a cavitarem. Porém, para este tipo de associação esse problema pode ser evitado se as bombas em paralelo apresentarem sucção independente, pois neste caso não ocorrerá aumento da vazão na tubulação de sucção. 
Como se estima o ponto de operação de bombas operando em paralelo, analise os seguintes casos: 
Bombas iguais com curvas estáveis 
Bombas iguais com curvas instáveis 
Bombas diferentes em paralelo 
Sendo as bombas iguais, a vazão resultante é igual ao dobro das vazões individuais, para cada head. Conhecida a equação da curva da bomba individual, substitui-se a vazão por , desta forma será obtida a equação da bomba para a associação em paralelo. O ponto de operação é calculado igualando-se a equação das bombas em paralelo com a equação do sistema.
Bombas com curvas instáveis são aquelas que apresentam mais de um valor de vazão para um mesmo head, porém, essa instabilidade só é percebida para vazões baixas. Em vazões maiores a curva da bomba sempre apresenta comportamento estável, sendo assim, é recomendado que a bomba trabalhe a partir da região na qual não há mais instabilidade. Desta forma, o cálculo da equação da bomba para uma associação em paralelo com bombas que apresentem curvas instáveis deve ser feita da mesma forma que para bombas com curvas estáveis, ou seja, desconsiderando a parte inicial da curva (que apresenta instabilidade), substituindo a vazão por e igualando a equação encontrada coma equação do sistema.
 Para bombas diferentes, cada bomba apresentará sua equação característica, porém, as bombas operam com mesmo head, mas vazão somada. Ou seja, para qualquer head o head da associação é igual ao head da bomba 1 que é igual ao head da bomba 2. Neste caso particular, é possível isolar uma vazão em função da outra. A equação da bomba para a associação será calculada atribuindo valores para uma das vazões, calcular a outra vazão, calcular o head de uma delas que será igual ao head da associação. Calcula-se também a soma das vazões e com isto, pode-se ajustar uma função empírica do head da associação com a soma das vazões, encontrando desta forma a curva da bomba. O ponto de operação é calculado igualando-se a equação encontrada com a equação do sistema.
No caso de associação em paralelo, sendo bombas de capacidades diferentes qual seria a limitação no sistema? 
Como na associação em paralelo o head da associação tem que ser igual ao head das duas bombas, o sistema ficará limitado ao maior head da bomba de menor capacidade, não atingindo o maior head da bomba de maior capacidade.
Como ficaria o comportamento de um sistema onde duas bombas captam de um mesmo local e alimentam um outro tanque. Mostre graficamente, explicando, como ficaria a determinação do ponto de operação.
Sendo o sistema que em duas bombas captam um fluido de um mesmo local e alimentando outro, tal sistema de bombas é dito estar associado em paralelo. Sejam as bombas com sucção independente ou não, o gráfico a seguir mostra a curva de associação das bombas em paralelo e a interseção desta curva com a curva do sistema. A este ponto de interseção é denominado ponto de operação.
 
EXERCíCIOS PROPOSTOS 
Um sistema de tubulações deve bombear 10 L/s de água à uma altura geométrica de 20 m. O comprimento de sucção é de 6,0 m e de recalque 674,0 m. A Na sucção existem uma válvula de pé com crivo, um cotovelo de 90o​ de raio longo e uma redução excêntrica. No recalque, foram instaladas uma redução excêntrica, uma válvula de retenção pesada, três cotovelos de 90o​ de raio longo e duas curvas de 45o​ de raio longo. Dispõe‐se da curva B de determinada bomba cujo rendimento é 60%. Considere o coeficiente da fórmula de Hazen‐Williams é C = 90, D​r​ = D​s​ e K da fórmula de Bresse igual a 1,5. 
Cálculo do diâmetro ( Dr = Ds ) pela fórmula de Bresse: 
Sendo: 1 válvula de pé com crivo = 39,0 m; 1 cotovelo de 90o de raio longo = 3,4m; 1 redução excêntrica = 1,0 m; Comprimento real da tubulação de sucção = 6,0 m
Então: Comprimento equivalente na sucção: 49,4m
Sendo: 1 redução excêntrica = 1,0 m; 1 válvula de retenção pesada = 19,3 m; 3 cotovelos de 90o de raio longo = 10,2 m; 2 cotovelos de 45o de raio longo = 4,6 m; Comprimento real da tubulação de recalque = 674,0 m
Então: Comprimento equivalente no recalque: 709,1m
Comprimento equivalente de toda a tubulação: Lv = 49,4 + 709,1 = 758,10 m
Cálculo da perda de carga total pela fórmula de Hazen-Williams
 -> -> 
Sendo a altura manométrica igual a soma da altura geométrica mais a perda de carga, então:
Com essa relação, atribuímos valores a Q e construímos a curva do sistema S. Como a associação das bombas é em paralelo, dobramos os valores das vazões para cada altura manométrica, e obtemos a curva 2B. A interseção de 2B com a curva do sistema S representa o ponto de operação.
Associando em paralelo duas dessas bombas, obtém‐se a vazão desejada no sistema?
Sim, pois o ponto de operação obtido graficamente é ligeiramente superior à vazão requerida pelo sistema (10L/s). 
Em caso afirmativo qual será a vazão de cada bomba? 
Observamos a interseção da horizontal que passa pelo ponto de trabalho P com a curva da bomba B. Assim, cada bomba contribuirá com uma vazão de 5L/s.
Qual a vazão fornecida pela máquina que funciona isoladamente no sistema dado? Qual a altura manométrica correspondente? 
Se apenas uma bomba estivesse sendo usada, observaríamos a interseção da curva da bomba B com a curva do sistema S, que nos apresenta uma vazão de aproximadamente 6,4L/s e uma altura manométrica de aproximadamente 21,5m.
Qual o rendimento total do sistema? 
Obtemos o rendimento pela seguinte expressão: 
Como as vazões Q1 = Q2 = 5L/s, e 1 = 2 = 0,6 -> ( =60%).
O sistema de recalque de uma cidade será feito com tubos de ferro fundido, f = 0,025, e terá as seguintes características: comprimento de 3.500 m, diâmetro de 250 mm e altura geométrica a ser vencida de 11 m. Dispõe‐se de duas bombas cujas curvas características H​m = f (Q) e η = f (Q) estão apresentadas no gráfico a seguir. Examinar o comportamento dos sistemas resultantes da instalação de cada uma das bombas isoladamente e da sua associação em série. Despreze as perdas de carga localizada no recalque e na sucção e determine, para cada caso: 
Cálculo da perda de carga total:
 -> 	 -> 
Então:
Com essa relação, atribuímos valores a Q e construímos a curva do sistema. Como a associação é em série, somamos os valores das alturas manométricas das curvas de cada bomba, e obtemos a curva das bombas em série, B1+B2. 
B1
S
B2
B1+B2	
A vazão de água recalcada pelo sistema; 
Avaliando a interseção da curva das bombas em série (B1+B2) com a curva do sistema (em azul), obtemos uma vazão de 250m³/h.
A altura manométrica do sistema; 
Avaliando a mesma interseção da letra a, obtemos uma altura manométrica de aproximadamente 47m.
A potência instalada, se o rendimento dos motores é de 90%.
Com Q1 = 180m³/h, Q2= 145m³h, 1 = 79% e 2 = 76%, aplicamos esses valores na expressão: 
 -> = 73,26% (bomba)
Assumindo água a 20°C, então:
3) Um sistema de recalque possui duas bombas B​1 e B​2 instaladas em paralelo e cujas características são conhecidas (quadro abaixo). A tubulação de recalque tem 1.200 m de comprimento e a de sucção 40 m, (já incluídos os comprimentos equivalentes às singularidades) ambas com diâmetro de 250 mm. A temperatura da água é de 20​o​C, a altitude local 600 m e o coeficiente da fórmula de Hazen‐Williams é C = 120. Calcular:
A vazão de recalque do conjunto; 
A partir dos dados das bombas 1 e 2, é possível obter suas respectivas equações:
 
Como a bomba 2 tem menor capacidade que a bomba 1, a associação em paralelo ficará limitada ao maior head da bomba 2.
Calculando pontos para a bomba 1 com o mesmo head da bomba 2:
Para head=42, resolvendo por Bhaskara:
A única raiz com sentido físico será:
Fazendo para todos os valores:
	head (m)
	Q (L/s)
	42
	36,41029
	38,5
	40,27625
	35
	43,79743
	30,5
	47,94122
	24,5
	52,95838
	17,5
	58,26242
	9
	64,11009
Desta forma, os pontos para a construção da curva das duas bombas serão:
	head (m)
	QB1 + QB2
	42
	56,41029
	38,5
	65,27625
	35
	73,79743
	30,5
	82,94122
	24,5
	92,95838
	17,5
	97,95838
	9
	102,9584
O gráfico da curva B1+B2 é apresentado abaixo:
Para o ponto de operação deve-se calcular a equação do sistema:
Atribuindo valores a Q, constrói-se a curva do sistema.
	Q (L/s)
	Q (m³/s)
	head (m)
	56,41029
	0,05641
	7,869805
	65,27625
	0,065276
	10,30975
	73,79743
	0,073797
	12,93681
	82,94122
	0,082941
	16,05744
	92,95838
	0,092958
	19,82827
	97,95838
	0,097958
	21,8463
	102,9584
	0,102958
	23,95384
Igualando as duas equações (da bomba e do sistema) encontra-se o ponto de operação. Logo, a vazão de recalque é:
-0,0129x2 + 1,4134x + 2,3322 = 0,0018x2 + 0,0509x - 0,8911
0,0147x² - 1,3625x – 3,2131 = 0
x = 94,98818 L/s (vazão de recalque)
A altura manométrica desenvolvida pelo sistema; 
A altura manométrica (head) é obtido substituindo a vazão de recalque em qualquer uma das equações (da bomba ou do sistema). Desta forma, o head é igual a 20,2 m.
O rendimento global do conjunto moto‐bombas; 
Obtemos o rendimento pela seguinte expressão: 
Como o head é igual a 20,2m, pode-se calcular a vazão que cada bomba fornece:
Vazão da bomba 1: 20,2 = -0,012x2 + 0,0149x + 57,366 → x= 56,28 L/s, o que fornece um rendimento de aproximadamente 64%.
E a vazão a bomba 2 será: 95 - 56,28 = 38,72 L/s, o que fornece um rendimento de aproximadamente 75%
Substituindo na equação acima:
A potência elétrica consumida, sabendo‐se que o rendimento dos motores é de 90%; 
Peso específico da água a 20°C = 9790 N/m³
O NPSH disponível, verificando o comportamento das bombas quanto ao fenômeno da cavitação. 
Então:
Como o NPSH disponível é maior que o NPSH requerido para as duas bombas, logo, as bombas não irão cavitar.
Características da bomba 1
	Q (l/s) 
	20 
	25 
	30 
	35 
	40 
	45 
	50 
	55 
	H​m​ (m) 
	53 
	50 
	47 
	43 
	39 
	34 
	27,5 
	22 
	η (%) 
	77 
	77,5 
	77 
	76,5 
	75 
	72,5 
	69 
	64 
	NPSH​r​ (m) 
	0,2 
	0,3 
	0,45 
	0,7 
	1,0 
	1,4 
	1,8 
	2,4 
 
Características da bomba 2 
	Q (l/s) 
	20 
	25 
	30 
	35 
	40 
	45 
	50 
	 
	H​m​ (m) 
	42 
	38,5 
	35 
	30,5 
	24,5 
	17,5 
	9,0 
	 
	η (%) 
	81,5 
	80 
	78 
	77,5 
	 
	 
	 
	 
	NPSH​r​ (m) 
	0,3 
	0,5 
	0,7 
	0,9 
	1,1 
	1,4 
	1,8 
	2,2 
 
Um sistema de recalque possui duas bombas idênticas instaladas em série dispostas conforme a figura e cujas características são conhecidas (quadro abaixo). O diâmetro das tubulações é 200 mm e seus comprimentos, já incluídos os comprimentos equivalentes às singularidades são os seguintes: 100 m entre R​1 e B​1;​ 100 m entre B​1 e B​2 e 1800 m entre B​2 e​ R​2.​ A temperatura da água é de 25o​​C, o rendimento dos motores elétricos é de 88% e o coeficiente da fórmula de Hazen‐Williams é C=80. Calcular: 
a) a vazão recalcada pelo sistema; 
Como os dados de vazão e head disponíveis na tabela pode-se construir a curva de uma bomba, mas como as bombas estão associadas em série e tratam-se de bombas idênticas, o curva resultante pode ser obtida dobrando-se o valor do head para cada vazão, assim:
	Q (l/s)
	20
	22,5
	25
	27,5
	30
	32,5
	35
	Hm_1 + Hm_2 (m)
	174
	163
	152
	138
	124
	108
	90
A partir dos dados da tabela acima é possível obter a equação da bomba:
A partir dos dados do enunciado é possível calcular a equação do sistema:
Atribuindo valores a Q, constrói-se a curva do sistema.
	Q (L/s)
	Q (m³/s)
	head (m)
	20
	0,02
	115,7
	22,5
	0,0225
	118,5485
	25
	0,025
	121,6795
	27,5
	0,0275
	125,0885
	30
	0,03
	128,7716
	35
	0,035
	136,9462
A vazão de recalque é obtida igualando-se as equações do sistema e da bomba:
0,022x2 + 0,2095x + 102,73 = -0,1143x2 + 0,7143x + 205,21
0,1363x² - 0,5048x – 102,48 = 0
X=29,33 L/s
A altura manométrica desenvolvida pelo sistema; 
A altura manométrica é obtida substituindo o valor da vazão de recalque em qualquer uma das equações (bomba ou sistema). Substituindo na equação da bomba:
-0,1443*29,33² + 0,7143*29,33 + 205,21 = head = 102,02m
A potência elétrica total consumida pela instalação; 
 
Peso específico da água a 25°C = 9781N/m³
Rendimento dos motores é igual a 0,88
Rendimento das bombas: Como as bombas são iguais, pode-se afirmar que o rendimento da associação em série é igual ao rendimento da bomba isolada, portanto, η das bombas é igual a 0,75.
Desta forma:
Verificar se o diâmetro é o econômico, segundo Bresse (K=1,1) 
O rendimento global do conjunto moto‐bombas; 
Como as bombas são iguais, pode-se afirmar que o rendimento da associação em série é igual ao rendimento da bomba isolada, portanto, η das bombas é igual a 0,75.
O NPSH disponível, verificando o comportamento das bombas quanto ao fenômeno da cavitação. 
 
Cálculo da velocidade: 
O NPSH disponível é bem maior que o NPSH requerido, logo, as bombas não irão cavitar.
 
 
 
Características das bombas 
	Q (l/s) 
	20 
	22,5 
	25 
	27,5 
	30 
	32,5 
	35 
	H​m​ (m) 
	87 
	81,5 
	76 
	69 
	62 
	54 
	45 
	η (%) 
	80 
	80,5 
	80 
	78 
	75 
	71 
	66 
	NPSH​r​ (m) 
	2,0 
	2,5 
	3,0 
	3,5 
	4,2 
	5,0 
	6,0 
 
BiBLIOGRAFIA
CREMASCO, M.A – Operações Unitárias em Sistemas Particulados e Fluidomecânicos – Ed. Blucher – São Paulo – 2012 – 423p
MCCABE,W. L., SMITH, J. C., HARRIOT, P. - Unit Operations of Chemical Engineering - 5ª edição - MacGraw-Hill – 1993