Pré Calculo

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Universidade Federal do Ceara´ - UFC
Departamento de Matema´tica
Disciplina: Ca´lculo Fundamental
Curso: Engenharia Civil
Lista de Exerc´ıcios- Pre´ Ca´lculo
(1) Mostre que a func¸a˜o f(x) = ax+ b decresce, se a < 0.
(2) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o definida por
f(x) =
{
1, se x ∈ Q
x+ 1, se x 6∈ Q
Calcule:
(a) f(3)
(b) f(
√
4)
(c) f(
√
2)
(d) f(
√
3− 1)
(3) Em que intervalos reais a func¸a˜o cujo o gra´fico e´ apresentado a seguir e´ crescente?
E decrescente?
Figura 1: rrrrr
(4) As func¸o˜es f : R −→ R definida por f(x) = √x2 e g : R −→ R dada por g(x) = x
sa˜o iguais? Justifique a sua resposta.
1
(5) Resolva as seguintes inequac¸o˜es em R:
(a) x2 − 2x+ 2 > 0.
(b)
x− 1
3
− x− 3
4
≤ 0.
(c)
4x− 5
2x− 1 ≥ 2
(d) |x+ 2| ≥ 3
(e)
1
x− 4 <
2
x+ 3
(f)
2x2 + x− 1
2x− x2 ≤ 0.
(g)
4x− 5
2x− 1 ≥ 2
(6) Construa o gra´fico cartesiano das func¸o˜es de R em R:
(a) y = 2x− 1.
(b) y = 3x+ 2.
(b) y = x3 + 3
(b) y = |x2 − 4x+ 3|
(7) Dadas as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x2 − x− 2 e g(x) = 1− 2x. Pede-se:
(a) Obter as leis que definem f ◦ g e g ◦ f.
(b) Calcular (f ◦ g)(−2) e (g ◦ f)(−2)
(08) Esboc¸e o gra´fico das func¸o˜es:
(a)
f(x) =
{
x2 + 1, se x ≥ 1
x+ 1, se x < 1.
(b) f : R −→ R; f(x) = |x− 1|.
(09) Construa o gra´fico da seguinte func¸a˜o, indicando o domı´nio, imagem, intervalos de
crescimento e decrescimento.
f(x) =

(x+ 1)2, se x ≤ 0
1
x− 1 , se 0 < x < 2 e x 6= 1
x− 1, se x ≥ 2
2
(10) Considere as func¸o˜es definidas pelas sentenc¸as a seguir:
f(x) =

x, se x > 0
1, se x = 0
−x, se x < 0
e g(x) = |x|.
Determine o domı´nio, a sentenc¸a e o gra´fico das func¸o˜es:
(a) f − g
(b) f.g
(c)
f
g
(11) Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) =
√
2x2 + 5x− 3
x− 1
(b) f(x) =
√
−3x2 + x− 7
2x2 + 5x− 3
(c) f(x) =
2x− 1
x2 − 1
(d) f(x) =
√
1 + x+
√
3− x
(e) f(x) =
√
4− x2
x− 1
(f) f(x) =
√−(x2 − 9)2
(12) Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = log(2x + 4)
(b) f(x) = ln(1− x)
(c) f(x) = log(3x−4)(x
2 − 9)
(d) f(x) =
log3(x+ 2)
log5(3− x)
(13) Esboc¸e o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 3x+1
(b) f(x) = −2x
(c) f(x) = e−|x|
(d) f(x) =
(
1
2
)x
− 1
(e) f(x) = |x|2 − 4|x|+ 3
(f) f(x) = | log2 x|
3
(g) f(x) = |x3|
(14) Para f(x) =
{
x− 1, se x ≥ 0
−x+ 2, se x < 0 . Construa os seguintes gra´ficos:
(a) f(|x|)
(b) |f(x)|
(c) |f(|x|)|
(15) Construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es, indicando para cada uma delas o domı´nio,
imagem, intervalo de crescimento e decrescimento.
(a) f(x) = (x+ 1)3 − 1
(b) f(x) = |(x+ 1)3 − 1|
(c) f(x) =

(x+ 1)2, se x ≤ 0
1
x− 1 , se 0 < x < 2 x 6= 1
x− 1, se x ≥ 2
16 (Decaimento radioativo) O decaimento radioativo do Iodo 131(131I) e´ descrito pela
func¸a˜o
P (t) = P0 · 2−bt
em que P0 e´ a concentrac¸a˜o inicial do elemento, t e´ o tempo transcorrido (em dias)
desde que foi medida a concentrac¸a˜o, e b e´ uma constante real positiva. Responda
a`s perguntas abaixo, sabendo que a meia-vida do Iodo 131 e´ de 8 dias, ou seja, que
a concentrac¸a˜o desse iso´topo em uma amostra cai pela metade em 8 dias.
a. Em uma medic¸a˜o feita hoje, uma amostra de a´gua contaminada apresentou 50
unidade de medida de concentrac¸a˜o radioativa. pCi/l de Iodo 131. Escreva a
func¸a˜o que fornece a concentrac¸a˜o de 131I em func¸a˜o de t, o tempo (em dias)
contado a partir da data em que a concentrac¸a˜o foi medida.
b. Trace o gra´fico da concentrac¸a˜o de Iodo 131 nessa amostra de a´gua para um per´ıodo
de 40 dias, contados a partir de hoje.
c. Com base em seu gra´fico, determine aproximadamente daqui a quantos dias a a´gua
contera´ uma concentrac¸a˜o de 131I menor ou igual a 3pCi/l, que e´ o limite recomen-
dado para o consumo humano.
17 Em uma placa de Petri, uma cientista criou uma cultura de bacte´rias que contava
inicialmente com 600 bacte´rias. Observando a cultura, a cientista notou que o
nu´mero de bacte´rias crescia 50% a cada hora.
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a. Escreva a func¸a˜o que fornece o nu´mero de bacte´rias em func¸a˜o do tempo t, em
horas, decorrido desde a criac¸a˜o da cultura.
b. Determine a populac¸a˜o de bacte´rias apo´s 3, 6 e 12 horas.
18 O crescimento populacional de algumas espe´cies depende das limitac¸o˜es impostas
pelo meio ambiente. Enquanto ha´ espac¸o e comida em abundaˆncia, a populac¸a˜o
cresce rapidamente. Quando a concorreˆncia por espac¸o e comida aumenta, a po-
pulac¸a˜o tende a crescer mais devagar, ate´ se aproximar de um patamar. Nesse caso,
o nu´mero de indiv´ıduos da espe´cie e´ descrito pela curva log´ıstica, ou curva ”S”,
definida por
P (t) =
A
b+ ce−dt
em que A, b, c e d sa˜o constantes reais. Para uma espe´- cie de anf´ıbio introduzida
nas cercanias de uma lagoa, observou-se que o tamanho da populac¸a˜o era dado pela
func¸a˜o abaixo, na qual t e´ o tempo, em meses, decorrido desde a introduc¸a˜o dos
animais.
P (t) =
1600
1 + 15e−t/4
.
a. Determine a populac¸a˜o inicial de anf´ıbios.
b. Trace um gra´fico da populac¸a˜o para t ∈ [0, 30].
c. Determine de que valor a populac¸a˜o se aproxima a` medida que o tempo avanc¸a.
Escreva a ass´ıntota horizontal associada a esse limite superior.
19 A concentrac¸a˜o de CO2 na atmosfera vem sendo medida desde 1958 pelo Obser-
vato´rio de Mauna Loa, no Hava´ı. Os dados coletados mostram que, nos u´ltimos
anos, essa concentrac¸a˜o aumentou, em me´dia, 0,5% por ano. E´ razoa´vel supor que
essa taxa anual de crescimento da concentrac¸a˜o de CO2 ira´ se manter constante nos
pro´ximos anos.
a. Escreva uma func¸a˜o C(t) que fornec¸a a concentra- c¸a˜o de CO2 na atmosfera em
relac¸a˜o ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial ? ou seja,
aquele em que t = 0 ? o ano de 2004, no qual foi observada uma concentrac¸a˜o
de 377, 4ppm de CO2 na atmosfera.
b. Determine a concentrac¸a˜o de CO2 em 2016.
20 Um aparelho que mede ru´ıdos indica a intensidade do som em decibe´is (dB). Para
relacionar uma medida β, em decibe´is, a` intensidade I, dada emW/m2, usamos a
func¸a˜o
β(I) = 10 log
(
I
10−12
)
.
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a. Determine a func¸a˜o inversa de β.
b. Usando a inversa, calcule a intensidade de um som de 20 dB.
21 (Populac¸a˜o de microrganismos) Uma coloˆnia de microrganismos cresce de forma
proporcional ao tamanho da populac¸a˜o. Isso significa que a taxa de crescimento
da coloˆnia em um instante t e´ dada por k · P (t), em que P (t) e´ o nu´mero de
microrganismos presentes no instante t, e k e´ uma constante. A func¸a˜o que possui
essa propriedade e´ a exponencial. Assim sendo, P (t) pode ser escrita como
P (t) = P0a
bt.
em que P0 e b sa˜o constantes reais. Suponha que uma coloˆnia tenha, inicialmente,
20 microrganismos. Se a populac¸a˜o da coloˆnia dobra a cada 1h15, determine
a. uma func¸a˜o na forma P (t) = P0a
bt que expresse o nu´mero de microrganismos
da coloˆnia no instante t, em horas;
b. o nu´mero aproximado de microrganismos apo´s 7 h;
c. o instante em que a coloˆnia tera´ 2000 microrganismos.
22 (Idade de uma mu´mia) Os vegetais e a maioria dos animais vivos conteˆm uma
concentrac¸a˜o de carbono 14 (14C) semelhante a`quela encontrada na atmosfera. Os
vegetais os absorvem quando consomem dio´xido de carbono durante a fotoss´ıntese.
Ja´ a distribuic¸a˜o entre os animais e´ feita atrave´s da cadeia alimentar. Quando um
ser vivo morre, ele para de repor o carbono 14, de modo que as quantidades desse
elemento comec¸am a decair. Em um determinado instante, a taxa de desintegrac¸a˜o
do 14C e´ proporcional a` quantidade do elemento que ainda na˜o se desintegrou. Neste
caso, o decrescimento ? ou decaimento? da quantidade do iso´topo e´ fornecido por
uma func¸a˜o exponencial (com expoente negativo) que tem a forma
C(t) = C0a
bt.
Nessa expressa˜o, C(t) representa a quantidade da substaˆncia no instante t, P0 e´ a
quantidade inicial (ou seja, no instante t = 0) e b e´ uma constante que depende do
iso´topo. A meia-vida de um elemento radioativo e´ o intervalo de tempo necessa´rio
para que a concentrac¸a˜o do elemento decaia para a metade do valor encontrado em
um dado instante inicial. Sabendo que a meia-vida do carbono 14 e´ de 5730 anos,
a. encontre uma func¸a˜o na forma C(t) = C0a
bt que fornec¸a a concentrac¸a˜o de
14C em um ser morto, com relac¸a˜o ao tempo t, em anos, contado desde a sua
morte;
6
b. determine a idade de uma mu´mia eg´ıpcia que tem 70% da concentrac¸a˜o de
carbono 14 encontrada nos seres vivos atualmente.
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