Seno Cosseno Equacao Grafico GABARITO

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EP 08 – 2015-2 – Equações, inequações e gráficos – seno e cosseno Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito EP 08 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Nos exercícios a seguir, encontre a solução e marque no círculo trigonométrico. 
a) sen 3𝑥 = −1, 𝑥 ∈ [−𝜋, 2𝜋]. 
b) sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0. 
c) 2 sen 4𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
d) sen 3𝑥 − sen(−3𝑥) = −1. 
e) sen2 𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0. 
f) sen 2𝑥 + sen 4𝑥 = 0. 
g) sen2𝑥 −cos2𝑥 =
1
2
 , 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
h) 2sen2𝑥 + sen 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ [−𝜋, 3𝜋]. 
i) cos 2𝑥−cos2𝑥 = 0. 
j) 
1
sen2 𝑥
= 5 − 8 sen2𝑥, em [0,2𝜋]. 
Resolução: 
a) sen 3𝑥 = −1, mudando a variável, fazendo 𝑡 = 3𝑥, temos sen 𝑡 = −1. 
Resolvendo em 𝑡, temos que sen 𝑡 = −1 ⟺ 𝑡 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋. 
Voltando à variável 𝑥 original, 3𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
3𝜋
2∙3
+
2𝑘𝜋
3
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
+
2𝑘𝜋
3
 
Agora vamos atribuir valores inteiros para 𝑘 e verificar se 𝑥 =
𝜋
2
+
2𝑘𝜋
3
∈ [−𝜋, 2𝜋]. 
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙0∙𝜋
3
=
𝜋
2
∈ [−𝜋, 2𝜋]., 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙1∙𝜋
3
=
7𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋], 
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(2)∙𝜋
3
=
11𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋], 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(3)∙𝜋
3
=
15𝜋
6
= 
5𝜋
2
∉ [−𝜋, 2𝜋], 
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−1)∙𝜋
3
= −
𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋], 𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−2)∙𝜋
3
= −
5𝜋
6
∈ [−𝜋, 2𝜋] 
𝑥 =
𝜋
2
+
2∙(−3)∙𝜋
3
= −
9𝜋
6
= −
3𝜋
2
∉ [−𝜋, 2𝜋]. 
Logo, o conjunto solução é: 
𝑆 = {−
5𝜋
6
, −
𝜋
6
,
𝜋
2
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
} 
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b) sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0 ⟺ sen 𝑥 = 0 𝑜𝑢 cos(2𝑥 − 𝜋) = 0. 
Resolvendo cada equação acima, sen 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑘𝜋. 
Para resolver cos(2𝑥 − 𝜋) = 0, fazemos uma mudança de variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥 − 𝜋. 
Resolvendo a equação na nova variável, temos cos 𝑡 = 0 ⟺ 𝑡 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋. 
Voltando à variável 𝑥 original, 2𝑥 − 𝜋 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ 2𝑥 =
𝜋
2
+ (𝑘 + 1)𝜋. 
Como {(𝑘 + 1)𝜋, 𝑘Î ℤ} = {𝑘𝜋, 𝑘Î ℤ}, podemos simplificar acima escrevendo 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 
E, agora, resolvendo a última equação, temos 2𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
. 
Logo os valores de 𝑥 que resolvem a equação equação original, 
sen 𝑥 . cos(2𝑥 − 𝜋) = 0 são: 𝑥 = 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
𝜋
4
+
𝑘𝜋
2
. 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 2 sen 4𝑥 − 1 = 0 ⟺ sen 4𝑥 =
1
2
. Fazendo 𝑡 = 4𝑥 e resolvendo em 𝑡, 
sen 𝑡 =
1
2
⟺ 𝑡 =
p
6
+ 2𝑘p ou 𝑡 = (p−
p
6
) + 2𝑘p =
5p
6
+ 2𝑘p. 
Voltando à variável 𝑥 original, 4𝑥 =
p
6
+ 2𝑘p ou 4𝑥 =
5p
6
+ 2𝑘p. 
Resolvendo cada uma, 
4𝑥 =
p
6
+ 2𝑘p ⟺ 𝑥 =
p
24
+
𝑘p
2
 
Ou 
4𝑥 =
5p
6
+ 2𝑘p ⟺ 𝑥 =
5p
24
+
𝑘p
2
 . 
Vamos examinar para quais valores inteiros de 𝑘 os valores 𝑥 =
p
24
+
𝑘p
2
 e 𝑥 =
5p
24
+
𝑘p
2
 pertencem ao 
intervalo solicitado, [0,2𝜋]. 
p
24
+
0∙p
2
=
p
24
∈ [0,2𝜋], 
p
24
+
1∙p
2
=
13p
24
∈ [0,2𝜋], 
p
24
+
2∙p
2
=
25p
24
∈ [0,2𝜋], 
p
24
+
3∙p
2
=
37p
24
∈ [0,2𝜋], 
p
24
+
4∙p
2
=
49p
24
∉ [0,2𝜋] , 
5p
24
+
0∙p
2
= 
5p
24
∈ [0,2𝜋], 
5p
24
+
1∙p
2
= 
17p
24
∈ [0,2𝜋] 
5p
24
+
2∙p
2
= 
29p
24
∈ [0,2𝜋], 
5p
24
+
3∙p
2
= 
41p
24
∈ [0,2𝜋], 
5p
24
+
4∙p
2
= 
53p
24
∉ [0,2𝜋]. 
Assim, a solução é: 𝑆 = {
p
24
,
5p
24
,
13p
24
,
17p
24
,
25p
24
,
29p
24
,
37p
24
,
41p
24
} 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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d) sen(3𝑥) − sen(−3𝑥) = −1. 
Sabemos que sen(−3𝑥) = − sen(3𝑥), substituindo na equação acima, 
sen(3𝑥) + sen(3𝑥) = −1 ⟺ 2sen(3𝑥) = −1 ⟺ sen(3𝑥) = −
1
2
. 
Fazendo mudança de variável, 𝑡 = 3𝑥 e resolvendo a equação em 𝑡, 
sen(𝑡) = −
1
2
⟺ 𝑡 = (p+
p
6
) + 2kp =
7p
6
+ 2kp ou 
sen(𝑡) = −
1
2
⟺ 𝑡 = (2p−
p
6
) + 2kp =
11p
6
+ 2kp, 
Voltando à variável 𝑥 original, 3𝑥 =
7p
6
+ 2kp ou 3𝑥 =
11p
6
+ 2kp. 
Resolvendo-as, 3𝑥 =
7p
6
+ 2kp⟺ 𝑥 =
7p
18
+
2kp
3
 ou 
 3𝑥 =
11p
6
+ 2kp ⟺ 𝑥 =
11p
18
+
2kp
3
 
Solução 𝑆 = {𝑥 =
7p
18
+
2kp
3
 ou 𝑥 =
11p
18
+
2kp
3
, 𝑘Î ℤ}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) sen2 𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0 
Usando a identidade trigonométrica fundamental sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⟺sen2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥 , 
então 1 − cos2 𝑥 + cos 𝑥 + 1 = 0 , logo −cos2 𝑥 + cos 𝑥 + 2 = 0. 
Fazendo a mudança 𝑡 = cos 𝑥 e resolvendo a equação do 2º grau, 
 −𝑡2 + 𝑡 + 2 = 0, temos: 𝑡 = 2 (não serve porque t = cos 𝑥 ≤ 1) ou 
𝑡 = −1. Logo cos 𝑥 = −1, 
portanto 𝑆 = {p+ 2𝑘 p; 𝑘 Îℤ}. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) Pela identidade do arco duplo, temos sen 2𝑥 + sen 4𝑥 = 0 ⇔ sen 2𝑥 + 2 sen 2𝑥 cos 2𝑥 = 0. 
sen 2𝑥 (1 + 2 cos 2𝑥) = 0 ⇔ sen 2𝑥 = 0 𝑜𝑢 cos 2𝑥 = −
1
2
 
Resolvendo a primeira equação, sen 2𝑥 = 0 ⇔ 2𝑥 = 𝑘p ⇔ 𝑥 =
𝑘p
2
. 
Resolvendo a segunda equação, 
cos 2𝑥 = −
1
2
 ⇔ 2𝑥 =
2p
3
+ 2kp ou 2𝑥 = −
2p
3
+ 2kp⇔ 
⇔ 𝑥 =
p
3
+ kp ou 𝑥 = −
p
3
+ kp 
Logo, {𝑆 =
𝑘p
2
 ou 
p
3
+ 𝑘p ou −
p
3
+ 𝑘p, 𝑘Î ℤ}. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
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g) Como cos 2𝑥 = cos2𝑥 − sen2𝑥 = −(sen2𝑥 −cos2𝑥 ), temos que a equação dada 
sen2𝑥 −cos2𝑥 =
1
2
 é equivalente a cos 2𝑥 = −
1
2
, portanto, 
2𝑥 = ±
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ⟹ 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘1𝜋 ou 𝑥 = −
𝜋
3
+ 𝑘2𝜋. 
Os valores de 𝑘1, tais que os x correspondentes pertencem a [0,2π] são 0 
e 1; os de 𝑘2 são 1 e 2. 
Portanto, S = {
π
3
,
2π
3
,
4π
3
,
5π
3
}. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
h) 2sen2𝑥 + sen 𝑥 − 1 = 0. Fazendo 𝑡 = sen 𝑥 e resolvendo a equação 2𝑡2 + t − 1 = 0, obtemos as 
raízes t= −1 ou 𝑡 =
1
2
. 
Logo, sen 𝑥 = −1 ou sen 𝑥 =
1
2
 . Portanto, 𝑥 =
3𝜋
2
+ 2𝑘𝜋, ou 𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 
ou 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋. Escolhendo os valores de k , tais que as soluções 
pertençam a [−π, 3π], obtemos S = {−
π
2
,
π
6
,
5π
6
,
3π
2
,
13π
6
 ,
17π
6
}. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------i) cos 2𝑥−cos2𝑥 = 0 
cos2𝑥=cos2 𝑥−sen2 𝑥
⇔ cos2𝑥 − sen2𝑥 −cos2𝑥 = 0 ⇔ − sen2𝑥 = 0 ⇔. 
 ⇔ sen 𝑥 = 0. Logo, 𝑆 = {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
j) 
1
sen2 𝑥
= 5 − 8 sen2𝑥. Mudando a variável, fazendo 𝑡 = sen 𝑥, obtemos 
1
𝑡2
= 5 − 8𝑡2. Resolvendo 
em 𝑡 ≠ 0, 
1
𝑡2
= 5 − 8𝑡2 ⇔ 1 = 5𝑡2 − 8𝑡4 ⇔ 8𝑡4 − 5𝑡2 + 1 = 0. 
Mudando para uma terceira variável, fazendo 𝑦 = 𝑡2, obtemos 8𝑦2 − 5𝑦 + 1 = 0. Resolvendo a equação 
de segundo grau em 𝑦, o discriminante ∆= 25 − 32 = −7 < 0. Logo a equação não tem solução na 
variável 𝑦. Portanto também não tem solução na variável 𝑡 e na variável 𝑥. Solução 𝑆 = ∅. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2: Nos exercícios de 1) a 5) resolva e marque o conjunto solução no círculo trigonométrico. 
a) sen 𝑥 ≥
1
2
 , 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
b) cos 𝑥 <
√3
2
 , 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
c) 2 cos2𝑥 + cos 𝑥 − 1 < 0. 
d) cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋]. 
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Resolução: 
a) A equação associada é sen 𝑥 =
1
2
 , e as soluções no intervalo [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
6
 e 𝑥 =
5𝜋
6
 . 
Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de 
ordenadas maiores ou iguais ao valor 
1
2
 (marcados em vermelho). Observamos 
que esses pontos se situam no arco de círculo marcado em verde e 
correspondem aos ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre 
𝜋
6
 e 
5𝜋
6
 ou 
coincidem com 
𝜋
6
 ou com 
5𝜋
6
. Portanto 
𝜋
6
≤ 𝑥 ≤ 
5𝜋
6
 , ou seja a solução é 
𝑆 = [
𝜋
6
 ,
5𝜋
6
 ]. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) A equação associada é cos 𝑥 =
√3
2
 , e as soluções no intervalo [0,2𝜋] são 
 𝑥 =
𝜋
6
 e 𝑥 =
11𝜋
6
 . 
Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de 
abscissas menores que o valor 
√3
2
 (marcados em vermelho). Observamos que esses 
pontos se situam no arco de círculo marcado em verde e correspondem aos 
ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre 
𝜋
6
 e 
11𝜋
6
 . 
Portanto 
𝜋
6
< 𝑥 < 
11𝜋
6
 , ou seja a solução é 𝑆 = (
𝜋
6
 ,
11𝜋
6
). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 2 cos2𝑥 + cos 𝑥 − 1 < 0. Fazendo a mudança de variável, 𝑡 = cos 𝑥, obtemos a inequação 2 𝑡2 +
𝑡 − 1 < 0. A equação associada é 2 𝑡2 + 𝑡 − 1 = 0, cujas soluções são 𝑡 = −1 e 𝑡 =
1
2
. 
Como o coeficiente de 𝑡2 é igual a 2 > 0, o trinômio é negativo entre as raízes, ou seja, −1 < 𝑡 <
1
2
. 
Voltando à variável original 𝑥, temos que resolver a inequação −1 < cos 𝑥 <
1
2
. 
Para todo número real 𝑥, sabemos que cos 𝑥 ≥ −1. 
Logo temos que resolver as inequações cos 𝑥 ≠ −1 e cos 𝑥 <
1
2
 . 
A equação associada à inequação cos 𝑥 ≠ −1 é cos 𝑥 = −1, resolvendo-a, 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
A equação associada à inequação cos 𝑥 <
1
2
 é cos 𝑥 =
1
2
 , as soluções em [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
3
 e 𝑥 =
5𝜋
3
 , 
em todos os reais são 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 =
5𝜋
3
 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
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Agora podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de abscissas diferentes de −1 e 
menores que o valor 
1
2
 (marcados em vermelho). Observamos que esses 
pontos se situam no arco de círculo marcado em verde, sem o ponto (−1, 0), e 
correspondem aos ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre 
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 
5𝜋
3
+
2𝑘𝜋 e são diferentes de 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Portanto 
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ , ou seja a 
solução é: 
𝑆 = (
𝜋
3 
+ 2𝑘𝜋 , 𝜋 + 2𝑘𝜋) ∪ (𝜋 + 2𝑘𝜋,
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 
cos2𝑥=cos2 𝑥−sen2 𝑥
⇔ cos2 𝑥 − sen2 𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ 
sen2𝑥=1−cos2 𝑥
⇔ cos2 𝑥 − (1 − cos2 𝑥) − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ 2cos2 𝑥 − 6 cos 𝑥 + 4 ≥ 0 . 
Fazendo 𝑡 = cos 𝑥, temos 2𝑡2 − 6𝑡 + 4 ≥ 0, resolvendo 2𝑡2 − 6𝑡 + 4 = 0, encontramos 𝑡 = 1 ou 𝑡 = 2. 
Como o coeficiente de 𝑡2 é igual a 2 > 0, o trinômio é positivo ou nulo se 𝑡 ≤ 1 ou 𝑡 ≥ 2. 
Voltando a variável original, cos 2𝑥 − 6 cos 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ cos 𝑥 ≤ 1 ou cos 𝑥 ≥ 2. 
Mas cos 𝑥 ≤ 1 para todo 𝑥 ϵ ℝ. Logo a solução é 𝑆 = (−∞,∞) = ℝ. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Determine o domínio das funções 
a) 𝑓(𝑥) =
sen 𝑥
1−cos𝑥
 
b) 𝑓(𝑥) = √1 − 2 cos 𝑥 
Resolução: 
a) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 − cos 𝑥 ≠ 0}. 
1 − cos 𝑥 = 0 ⟺ cos 𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Logo, 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 − 2cos 𝑥 ≥ 0}. 
1 − 2cos 𝑥 ≥ 0 ⟺ 1 ≥ 2cos 𝑥 ⟺ cos 𝑥 ≤
1
2
. 
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A equação associada é cos 𝑥 =
1
2
 , e as soluções em [0,2𝜋] são 𝑥 =
𝜋
3
 e 
𝑥 =
5𝜋
3
 e na reta real são 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 e 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Agora 
podemos marcar no círculo os pontos correspondentes aos valores de 
abscissas menores ou iguais ao valor 
1
2
 (marcados em vermelho). 
Observamos que esses pontos se situam no arco de círculo marcado em 
verde e correspondem aos ângulos 𝑥 que estão compreendidos entre 
𝜋
3
+
2𝑘𝜋 e 
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , ou coincidem com 
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ou com 
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ;
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = [
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ ℤ. 
________________________________________________________________________ 
 
Exercício 4: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Use pelo menos o domínio 
]2,0[ p
. 
a) 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋) 
b) 𝑔(𝑥) = 1 + 2 sen(4𝑥) 
c) ℎ(𝑥) = −2 + 4cos (2𝑥) 
d) 𝑗(𝑥) = |3 sen(𝑥 − 𝜋) | 
e) 𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
 𝑥 
2
− 𝜋) 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋) 
Ao multiplicarmos a função seno por um número real, modificamos a sua amplitude. 
Como o número real que multiplicado a função 𝑦 = sen 𝑥 é igual a 3 > 1, o gráfico da função seno será 
ampliado verticalmente, por um fator multiplicativo 3. 
 
 
 
 
 
 
 
O fato de subtrairmos 𝜋 da variável 𝑥, significa que o gráfico da função 𝑦 = 3 sen 𝑥 será transladado 
horizontalmente, 𝜋 unidades para direita. 
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Um esboço do gráfico de 𝑓 é: 
Também podemos ver que para qualquer ângulo, 
−1 ≤ sen(𝑥 − 𝜋) ≤ 1 ⟺ −3 ≤ 3sen(𝑥 − 𝜋) ≤ 3. Isto significa que Im(𝑓) = [−3, 3]. 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) 𝑔(𝑥) = 1 + 2sen(4𝑥) 
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função seno até obter o gráfico da função 𝑓 é: 
𝑦 = sen 𝑥 
(1)
→ 𝑦 = sen(4𝑥) 
(2)
→ 𝑦 = 2sen(4𝑥) 
(3)
→ 𝑔(𝑥) = 1 + 2sen(4𝑥) 
 
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a 4 > 1, haverá uma redução 
horizontal no gráfico da função seno, com fator multiplicativo 
1
4
. 
Portanto, multiplicamos por 
1
4
 o período 
p2
da função seno, e o período da função 𝑔 será igual a 
1
4
 ×
2
p
= p
2
. 
 
 
 
 
(2) Como o número real que está multiplicando sen(4𝑥) é igual a 2 > 1, haverá uma ampliação 
vertical no gráfico de y = sen(4𝑥), com fator multiplicativo 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(3) O gráfico de 𝑔 será uma translação vertical do gráfico de y = 2sen(4𝑥), de 1 unidade para cima. 
Um esboço desse gráfico é: 
Observe que para qualquer ângulo, 
−1 ≤ sen(4𝑥) ≤ 1 ⟹ −2 ≤ 2sen(4𝑥) ≤ 2 ⟹ −2 + 1 ≤ 1 + 2sen(4𝑥) ≤ 2 + 1 
Logo −1 ≤ 1 + 2sen(4𝑥) ≤ 3 . Isto significa que Im(𝑔) = [−1, 3]. 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) ℎ(𝑥) = −2 + 4cos(2𝑥) 
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função cosseno até obter o gráfico da função 𝑓 
é: 𝑦 = cos 𝑥 
(1)
→ 𝑦 = cos(2𝑥) 
(2)
→ 𝑦 = 4cos(2𝑥) 
(3)
→ ℎ(𝑥) = −2 + 4cos(2𝑥) 
 
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a 2 > 1, haverá uma redução 
horizontal no gráfico da função cosseno, com fator multiplicativo 
1
2
. 
Portanto, multiplicamos por 
1
2
 o período 2𝜋 da função cosseno, e o período da função ℎ será igual a 
1
2
 ×
2
p
=
p
. 
 
(2) Como o número real que está multiplicando cos(2𝑥) é igual a 4 > 1, haverá uma ampliação vertical 
no gráfico de y = cos(2𝑥), com fator multiplicativo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
EP 08 – 2015-2 – Equações, inequações e gráficos – seno e cosseno Pré-Cálculo 
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(3) O gráfico de ℎ será uma translação vertical do gráfico de y = 4cos(2𝑥), de 2 unidades para baixo. 
Um esboço desse gráfico é: 
Observe que para qualquer ângulo, 
4)2(cos441)2(cos1  xx
 
42)2(cos4242  x
. Logo 
2)2(cos426  x
. 
Isto significa que Im(ℎ) = [−6, 2]. 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) 𝑗(𝑥) = |3 sen(𝑥 − 𝜋)| 
Esta função é o módulo da função 
f
do item a). 
Para esboçar o seu gráfico, devemos preservar a parte do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋), onde 
𝑓(𝑥) ≥ 0 (a parte do gráfico que está acima do eixo 
xO
 e os pontos que estão sobre o eixo 
xO
) e 
considerar o gráfico da função 
)( xf
, onde
0)( xf
 (fazemos uma reflexão com relação ao eixo 
xO
, da parte do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 sen(𝑥 − 𝜋), que está abaixo do eixo 
xO
). 
Um esboço desse gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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e) 𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
 𝑥 
2
− 𝜋) 
Primeiramente vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a função: 
𝑘(𝑥) = 2 − 3 cos (
 𝑥 
2
− 𝜋) =⏟
cos(𝑎−𝜋)=−cos(𝑎)
2 + 3 cos (
 𝑥 
2
) 
Uma possível sequência de transformações no gráfico da função cosseno até obter o gráfico da função 𝑘 
é: 𝑦 = cos 𝑥 
(1)
→ 𝑦 = cos (
𝑥
2
) 
(2)
→ 𝑦 = 3cos (
𝑥
2
) 
(3)
→ 𝑘(𝑥) = 2 + 3cos (
𝑥
2
) 
(1) Como o número real que está multiplicando a variável 𝑥 é igual a 
1
2
< 1, haverá uma ampliação 
horizontal no gráfico da função cosseno, com fator multiplicativo 2. 
Portanto, multiplicamos por 2 o período 2𝜋 da função cosseno, o período da função 𝑘 será igual a 2 ×
2
p
= 4𝜋. 
 
 
 
2) Como o número real que está multiplicando cos (
𝑥
2
) é igual a 3 > 1, haverá uma ampliação vertical no 
gráfico de 𝑦 = cos (
𝑥
2
), com fator multiplicativo 3. 
 
 
 
 
(3) O gráfico de 𝑘 será uma translação vertical do gráfico de 𝑦 = 3cos (
𝑥
2
), de 2 unidades para cima. Um 
esboço desse gráfico é: 
Observe que para qualquer ângulo, −1 ≤ cos (
𝑥
2
) ≤ 1 ⟹ −3 ≤ 3cos (
𝑥
2
) ≤ 3 ⟹ −3 + 2 ≤ 2 +
3cos (
𝑥
2
) ≤ 3 + 2 . Logo 
−1 ≤ 2 + 3cos (
𝑥
2
) ≤ 5 . 
Isto significa que Im(𝑘) =
[−1, 5].