Probabilidade e estatística UFRGS - Apostila prof Marco Antônio Giacomelli

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
DO SUL 
 
 
 
Instituto de Matemática 
Departamento de Estatística 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA GERAL II 
MAT02215 
 
 
Professor: Marco Antônio Giacomelli 
 www.mat.ufrgs.br/~giacomo/ 
 
 
 
 Porto Alegre, Agosto de 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
1- INTRODUÇÃO 
 
 
1.1 - Ciências Estatísticas 
 
 
 Na medida que foi sendo colocado diante de novos desafios, decorrentes 
especialmente do crescimento da população – quando as atividades e as relações sócio-
econômicas tornaram-se mais complexas – o homem precisou aprimorar, 
sistematicamente, os instrumentos existentes e/ou criar outros para continuar 
garantindo sua sobrevivência. Nesse processo de evolução, que perdura até os dias atuais, 
novas necessidades e dificuldades foram se sucedendo, sempre desafiando o ser humano a 
ultrapassá-las. Com a observação sistemática da realidade e a utilização dos instrumentos 
criados, surgiu o conhecimento científico, que permitiu ao ser humano entender explicar e 
explorar melhor, e mais rapidamente, o mundo em que vive. 
 
 Para registrar, classificar, controlar e estudar mais adequadamente fenômenos, fatos, 
eventos e ocorrências foram sendo criadas, desenvolvidas e aperfeiçoadas, muitas técnicas 
de análise de informações e métodos quantitativos. Esses avanços facilitaram a resolução 
de inúmeros problemas que o homem encontrava para realizar as atividades básicas de 
produção, comércio, transportes, etc. 
 
 Nestes últimos anos houve necessidade de aprofundar estudos, realizar experimentos e 
pesquisas mais específicas, inclusive para avaliar os resultados das atividades 
desenvolvidas. Por essa razão, os conhecimentos teóricos e os métodos de análise de dados 
quantitativos vêm sendo aprimorados continuamente. 
 
 O conjunto de técnicas e métodos de pesquisa, experimentação e inferências mais 
utilizadas para alcançar esses objetivos são o que modernamente se conhece como 
Ciências Estatísticas, onde se destaca a seguinte gama de conhecimentos: Teoria dos Jogos, 
Planejamento de Experimentos, Teoria das Filas, Controle de Qualidade, Teoria das 
Decisões, Séries Temporais, Econometria e outras técnicas. 
 
 
1.2 - Áreas de aplicação da Estatística 
 
 
 Dentre as áreas em que a Estatística adquire maior relevância, destacamos: 
 
Economia: Planeja e desenvolve estudos prospectivos sobre o comportamento de 
variáveis macroeconômicas: renda, produção, comércio interno, importação, exportação, 
inflação, emissão de moeda, elaboração de índices para medir produtividade, realiza 
análises microeconômicas envolvendo a evolução das vendas, produção, custos, margem de 
lucro, otimização da receita, formula indicadores gerenciais para tomada de decisões, etc. 
 
 3 
Ciências Sociais: estudo de fatores desencadeadores de comportamento violento, 
tipificação de uso de drogas, causas de criminalidade. 
 
 
Pesquisa de mercado: planeja e coordena a realização de pesquisa, por 
amostrage, para avaliar o comportamento do mercado, as reações do consumidor para 
lançamento de novos produtos ou para estabelecer estratégias de venda, etc. 
 
Pesquisa de opinião: planeja e coordena a realização de pesquisas sobre preferência 
ou opinião da população em variados temas: candidaturas eleitorais, regime político, 
atividades culturais. 
 
Controle de qualidade: desenvolve estudos para estabelecer padrões de qualidade e 
confiabilidade de produtos e serviços; realiza testes para avaliação e controle de processos, 
etc. 
 
Informática: elabora modelos de simulação para resolução de problemas complexos: 
define indicadores para amostragem de banco de dados; implanta modelos de previsão e 
análises estatísticas; estabelece índices e coeficientes para gerenciamento e tomada de 
decisões. 
 
Demografia e saúde: estuda a evolução e as características da população; estabelece 
tábuas de mortalidade; analisa os fluxos migratórios; estabelece níveis e padrões para 
testes clínicos; planeja e realiza experimentos com grupos de controle para avaliação de 
tratamentos. 
 
Pesquisa operacional: elabora modelos matemáticos utilizando técnicas de 
programação linear e programação não linear para otimizar alocação de recursos; utiliza 
métodos de simulação para indicar soluções ótimas, etc. 
 
Recursos Humanos: pesquisa a compatibilidade entre os conhecimentos/habilidades 
e as atividades desenvolvidas por funcionários; estuda curvas salariais; propõe planos de 
avaliação de desempenho do quadro funcional; elabora plano de previdência complementar 
e fundo de pensão. 
 
Agronomia e veterinária: produtividade em função do uso de fertilizantes, 
melhoramento genético, desempenho de variedades de plantas. 
 
 
 
 
 
 4 
1.2. Divisão da Estatística 
 
 
Estatística Descritiva: descrição, resumo e organização das informações. Compreende o 
uso de tabelas, gráficos e medidas-resumo. 
 
 
 
Estatística Inferencial: através do particular (amostra) faz induções a respeito do todo 
(população), controlando a probabilidade de erro (por isso estudaremos a Teoria das 
Probabilidades). 
 
Exemplo 1: projeção da percentagem de votos para um candidato numa eleição. 
 
 
 
Exemplo 2: comparação de adubos 
 
 
 
 
Os três canteiros são expostos à mesma incidência de luz, tipo de solo, mas recebem adubos 
diferentes. No final do experimento será medida a altura das plantas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
1.3 – Revisão de Estatística Descritiva 
 
 
Medidas descritivas para dados não agrupados 
 
Média aritmética: 
n
x
n
xxx
X
n
i
i
n
∑
=
−
=
+++
=
121 L
 
 
Moda: a moda de um conjunto de valores, denotada por mo, é definida como o valor mais 
freqüente no conjunto. Convém lembrar que a moda pode não ser única, isto é, um conjunto 
pode ser bimodal, trimodal, etc. No caso em que todas freqüências forem iguais diremos 
que não há moda. Se a moda existir será denotada por Mo. 
 
 
Mediana: A mediana de um conjunto ordenado de valores, denotada por Med, é definida 
como o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho. 
 
 
 Med = 
[ ]
[ ] [ ]









+
+
+
 par én se , 
2
) x (x
 
 ímpar én se , x
12
n
2
n
2
1n
 
 
sendo [ ]{ }x a amostra ordenada em ordem crescente. 
 
 
Amplitude: 0minmax ≥−= xxh 
 
 
Variância: 
( )
1
2
1
2
2
−
×−





=
−
=
∑
n
Xnx
S
n
i
i
 
 
Desvio padrão: 2SS = 
 
Coeficiente de variação: %100. ×=
−
X
SVC 
 
 
 6 
Exemplo 3: número de irmãos dos alunos da turma U - disciplina Estatística 
 
 
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 4 5 1 1 1 0 2 2 4 1 3 1 2 1 1 
1 1 5 5 6 4 1 1 0 2 1 4 3 2 2 1 0 2 1 1 2 3 0 1 0 
 
Obtenha média aritmética, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de 
variação. 
 
Solução: 
 
x f 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
21 
8 
5 
4 
3 
2 
Total 50 
 
9,1
50
95
==
−
x ; Mo=1; Med=1 
 
 
( ) 6224,2
49
9,150309 22
=
×−
=s ; 6194,1=s ; CV=85%. 
 
 
Medidas descritivas para dados agrupados em classes 
 
 
n
fx
f
fx
X
k
i
ii
k
i
ik
i
ii ∑
∑
∑
=
=
=
−
×
=
×
=
1
1
1
 
 
1
1
2
2
2
−






−×
=
∑
=
−
n
Xnfx
S
k
i
ii
 
 
2SS = ; %100. ×=
−
X
SVC 
 
 7 
Exemplo 4: vendas semanais (em mil reais) de gêneros alimentícios: 
 
30 34 35 35,8 36,2 37,1 37,5 37,9 38 38,3 39 39,3 42,5 43,3 44,5 
40 40,1 40,2 40,2 40,3 40,4 40,7 40,8 41 41,1 41,4 42 44,7 44,8 44,9 
49,4 49 45,6 49,7 49,4 46 48 46,5 45,4 47,6 46,3 45,9 47,6 49,8 49,6 
49,8 49,7 49,7 45,7 48,5 49,7 49,8 49,6 45,5 47,3 48,9 48,9 46,4 45,6 45 
47 45,5 49,4 48,1 48,8 49,3 49,7 47,4 48,2 48,9 45,1 46,7 49,1 46 49,5 
48,3 48,3 46,9 48,7 48,6 53,6 52,3 51,9 52 53,2 50,8 50,8 51,4 53,4 53,9 
50,1 51,5 51,3 54,2 50,2 50,7 50,4 54,8 54 54 53,4 50,6 51,5 53,7 54,6 
52,4 50,1 53,2 52,1 50,6 51,8 51 53,7 50,2 53,8 50,1 50,9 52 52,3 52,2 
52,1 52,3 57,7 57,5 55,3 56,9 55,2 56,7 57,6 57,9 58,8 56,7 59,5 59,7 55,6 
55,5 57,7 56,9 57,3 56,8 55 58 56 56,6 56,9 55,7 59,5 58,8 57,1 56,5 
59,2 57,5 60,8 60,5 62,9 62,3 61,2 61,6 63,2 62,5 63,3 63,5 63,6 64,8 62,2 
63,5 60,4 64,4 61 62,4 66 68 
 
 
Tabela de distribuição de freqüências com 5 classes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02325,51
172
8776
==
−
X ; ( ) 82986,58
171
02325,51172457840 22
=
×−
=S ; 67006,7=S , 
 
 
 %0325,15100
02325,51
670101,7
=×=CV . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vendas 
ix if iF Percentual ii fx × ii fx ×2 
 30.0000 |— 38.0000 
 38.0000 |— 46.0000 
 46.0000 |— 54.0000 
 54.0000 |— 62.0000 
 62.0000 |— 70.0000 
34 
42 
50 
58 
66 
8 
31 
78 
41 
14 
8 
39 
117 
158 
172 
4.6512 % 
18.0233 % 
45.3488 % 
23.8372 % 
8.1395 % 
 
272 
1302 
3900 
2378 
924 
 
924 
54684 
195000 
137924 
60984 
Total -------- 172 -------- 100% 8776 457840 
 8 
1.4 – Revisão de Probabilidade 
 
 
Operações com eventos: ( )ccc BABA UI = ; ( ) UI ccc BABA = ; 
 ( )II BABBAc −= 
 
 
 
Propriedades: 
 
(1ª) 1)(0 ≤≤ AP , para A evento no espaço amostral Ω 
(2ª) 1)( =ΩP 
(3ª) 0Ø)( =P 
(4ª) ∑
==
=
n
i i
n
i i
APAP
11
)()(U , para Ø=I ji AA , ji ≠ 
(5ª) )(1)( APAP c −= 
(6ª) )()( BPAPBA ≤⇒⊆ 
(7ª) ⇒⊆ BA :)()()( APBPABP −=− 
 
 
Regra da adição: ( ) IU )()()( BAPBPAPBAP −+= para BA, eventos quaisquer 
 
Regra do produto: I )()()( BPAPBAP ×= se A e B forem independentes 
 
Probabilidade condicional: )(
)()|(
BP
BAP
BAP I= se 0)( >BP 
 
 
Variáveis aleatórias discretas 
 
função massa de probabilidade (fmp): para X v.a. )()( xXPxf == 
 1)(0 ≤≤ xf 
 ∑ =x xf 1)( 
 
 
∑=
x
xxfXE )()( , ( )222 )()( EXxfxXVar
x
−





== ∑σ , 2σσ = 
 
%100. ×=
EX
VC σ 
 9 
Modelos Probabilísticos discretos 
 
 
Modelo Binomial 
 
 
 Seja um experimento aleatório com dois resultados possíveis, isto é, },{ 21 ωω=Ω , 
com pP =)( 1ω e qpP =−= 1)( 2ω . A variável aleatória X , tal que 1)( 1 =ωX (ocorreu 
um sucesso) e 0)( 2 =ωX (ocorreu um fracasso) é dita modelo de Bernoulli. O que é um 
“sucesso” ou um “fracasso” é subjetivo. 
 
 
Exemplo 5: Ω ={ fator RH+ ; fator RH-} 
 
 X = 1, se é RH+ 
 = 0, se é RH- 
 
Sabe-se, da Biologia, que ( ) 85,01 ==XP e ( ) 15,00 ==XP . 
 
 
 Sendo 
nXXX ,....,, 21 v.a’s. independentes e identicamente distribuídas segundo 
uma Bernoulli de parâmetro p , então ∑
=
=
n
i i
XX
1
 é dita binomial de parâmetros n e p . 
 
 
Notação: ),(~ pnBinomialX 
 
fmp: xnxx
n qpCpnxf −=),,( , nx .....,2,1,0= 
 
 
Esperança e Variância de uma v.a. Binomial 
 
 
npEX = ; )1( pnpVarX −= 
 
 10
 
 
Exemplo 6: suponha que 40% dos moradores de um município são favoráveis à 
implantação de um novo sistema de coleta e reciclagem de lixo. Se 5 pessoas forem 
entrevistadas (independentemente), qual a probabilidade de: 
 
(a) nenhuma ser favorável (b) no máximo 2 serem favoráveis 
(c) no mínimo 4 serem favoráveis (d) entre 2 (incluso) e 5 (excluso) serem favoráveis 
 
solução: vamos denotar X como o número de pessoas favoráveis ao projeto 
)40,0;5(~ BinomialX 
 
(a) 07776,060,040,0)0( 5005 =××== CXP 
 
(b) 
68256,060,040,060,040,060,040,0
)2()1()0()2(
322
5
411
5
500
5 =××+××+××=
==+=+==≤
CCC
XPXPXPXP
 
 
(c) 08704,060,040,060,040,0)5()4()4( 05551445 =××+××==+==≥ CCXPXPXP 
 
(d) 
6528,060,040,060,040,060,040,0
)4()3()2()52(
144
5
233
5
322
5 =××+××+××
==+=+==<≤
CCC
XPXPXPXP
 
 
 
Exemplo 7: no exemplo anterior, se 50 pessoas forem entrevistadas, qual o número 
esperado de favoráveis? 
 
Solução: 2040,050)( =×=XE ; 1260,040,050)( =××=XVar , 
 
 
 
 
 11
 Modelo de Poisson 
 
fmp: 
!
)(),(
x
te
txf
xt λλ
λ−
= , ,.......2,1,0=x 
 
sendo .....7182882,2=e , e 0>λ o número médio de “sucessos” no intervalo de 
comprimento 1. 
 
 
Notação: )(~ tPoisX λ 
 
 
 
 
 
Esperança e variância de uma Poisson: tEX λ= tXVar λ=)( . 
 
 
Exemplo 8: Numa central telefônica chegam 300 chamadas por hora. Qual a probabilidade 
de que: 
 
(a) em 1 minuto não haja nenhuma chamada? 
(b) em 2 minutos ocorram 8 chamadas? 
(c) em 0,5 minutos ocorram no mínimo 2 chamadas? 
Solução: ≡X ”número de chamadas em um intervalo de t minutos” 
 
5
60
300
==λ é o número esperado de chamadas em 1 minuto ( 1=t ) 
(a) ( ) 00673,0
!0
)0( 5
0
====
−−
eeXP λλ 
(b) ( ) 1126,0
!8
10
!8
2)8(
8
10
8
2
====
−−
eeXP λλ 
 
 12
(c) ( ) ( ) 7127,02873,01
!1
5,2
!0
5,21
)1()0(1)1(1)2(1)2(
1
5,2
0
5,2
=−=





+−
==−=−=≤−=<−=≥
−− ee
XPXPXPXPXP
 
 
 
 
Variáveis Aleatórias contínuas 
 
 
Função densidade de probabilidade (fdp): 0)( ≥xf e a área sob a curva é 1 
 
 
Função acumulada: F é tal que )()( xXPxF ≤= , Rx ∈ 
 )(1)()( xFxXPxXP −=>=≥ 
 
)()()()()()( aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP −=<<=<≤=≤<=≤≤ . 
pois 0)()( ==== bXPaXP 
 
 
 
Modelos Probabilísticos contínuos 
 
 
Modelo Uniforme contínuo 
 
Notação: ],[~ baUX 
 




≤≤
−
∉
=
bxa
ab
bax
xf
,
1
),(,0
)( ; 







>
≤≤
−
−
<
=
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,1
,
,0
)( 
 
 
2
)( baEX += , 
12
)()(
2abXVar −= 
 
 
Exemplo 9: considere um relógio circular de ponteiros. O relógio pode parar, por falta de 
bateria, em qualquer quadrante. Defina X o ângulo formado pelo ponteiro maior quando 
o relógio parar. Determinar: 
 
(a) fdp (b) fda (c) probabilidade do ponteiro pararentre -90 e 0 graus 
 13
Solução: 
(a) 



 ≤≤−
=
..,0
0360,
360
1
)(
cc
x
xf (b) 







>
≤≤−+
−<
=
0,1
0360,
360
360
360,0
)(
x
x
x
x
xF 
 
(c) 
4
1
360
36090
360
360)90()0()090( =


 +−
−=−−=≤≤− FFXP 
 
 
Modelo Exponencial 
 
 
 Este modelo possui aplicações em diversas áreas: Biologia, Engenharia, 
Computação. Na Teoria da Confiabilidade está associada à probabilidade de falha de 
componentes em um sistema. 
 
Notação: )(~ λExponX 
 
 
Função densidade de probabilidade: 



>
≤
=
− 0,
0,0)(
xe
x
xf
xλλ
 ; 0>λ 
 
 
O parâmetro λ é a taxa (intensidade) de falhas 
 
Função de distribuição acumulada: 



>−
≤
=
− 0,1
0,0)(
xe
x
xF
xλ 
 
 
Esperança e variância da exponencial: λ
1
=EX , 2
1)(
λ
=XVar 
 
 
Exemplo 10: o tempo de duração de um componente eletrônico é exponencial de 
parâmetro 
500
1
=λ . Qual a probabilidade de que o componente: 
 
(a) tenha duração entre 300 e 600 horas? 
 
(b) dure mais do que a média? 
Solução: X denota o tempo de duração do componente em horas 
 14
(a) ( ) 247617,011)300()600()600300( 2,16,0300600 =−=−−−=−=≤≤ −−×−×− eeeeFFXP λλ 
 
(b) A media de X é 5001 == λµ . Assim, ( ) 367879,011)500(1)500( 1500 ==−−=−=> −×− eeFXP λ 
 
 
 
A distribuição Normal (Gaussiana) 
 
 
 A distribuição Normal é de grande importância em Probabilidade e em Inferência 
Estatística. A denominação “Normal” foi adotada devido à forma simétrica desse modelo 
probabilístico, pois na época acreditava-se que os fenômenos da natureza estavam sempre 
em equilíbrio e simetria. 
 
 
Função densidade: a fdp tem forma de “sino” e tem dois parâmetros: R∈µ e 0>σ 
 
 ,
2
1
exp
2
1),,(
2
2 












 −
−×=
σ
µ
piσ
σµ xxf +∞<<∞− x ; 
 
 
Notação: ),(~ σµNX . 
 
 
 Gráfico da densidade normal 
 
 
 
 
 
 
 15
Tabulação da distribuição Normal padrão 
 
 Seja )1;0(~ NZ . A função de distribuição acumulada de Z é denotada por 
)()( zZPz ≤=Φ . 
 
 
 
Propriedades de Φ 
 
(1ª) 0)(lim =Φ
−∞→ zz , Φ 1)(lim =Φ+∞→ zz 
 
(2ª) 5,0)0( =Φ 
 
(3ª) )()()( abbZaP Φ−Φ=≤≤ 
 
(4ª) )(1)( bbZP Φ−=≥ 
 
(5ª) )(1)( zz Φ−=−Φ , devido à simetria da densidade 
 
(6ª) Se );(~ σµNX é preciso padronizá-la , para poder usar a tabela da normal padrão: 
 
 





 −Φ−




 −Φ=




 −≤≤−=




 −≤−≤−=≤≤
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ abbZaPbXaPbXaP )(
 
 16
 
 
 
Nota: Na figura acima, as áreas A e B têm formas diferentes, mas tem mesmo valor. 
 
 
 
Tabela de Φ : fornece )( zZP ≤ , ]59,3;59,3[−∈z , que é área hachurada na figura abaixo. 
No exemplo, 8980,0)27,1( =≤ZP 
 
 
 
 
 
 
 
 17
Exemplo 11: Seja )1;0(~ NZ . 
 
(a) 8413,0)1()1( =Φ=≤ZP 
(b) 9418,0)57,1()57,1( =Φ=≤ZP 
(c) 95,0025,09750,0)96,1()96,1()96,196,1( =−=−Φ−Φ=≤≤− ZP 
(d) 0505,09495,01)64,1(1)64,1( =−=Φ−=≥ZP 
(e) 012,00102,00222,0)32,2()01,2()01,232,2( =−=−Φ−−Φ=−≤≤− ZP 
(f) 0)4()4( =−Φ=−≤ZP e 011)4(1)4( =−=Φ−=≥ZP . Mas, pelo computador 
420000316712,0)4( =−≤ZP , ou seja, na tabela a área foi arredondada para zero. 
 
Exemplo 12: As notas da disciplina de Direito Tributário de uma determinada faculdade 
tem distribuição segundo uma normal de média 6,4 e desvio padraõ 0,8. Os conceitos são 
atribuídos de acordo com a seguinte graduação: 
 
 
 
Em uma classe de 80 alunos, qual o número esperado de conceitos A,B,C e D? 
 
 
Solução: 
 
0401,000401,0)8()75,1()75,18()50( =−=−Φ−−Φ=−<≤−=<≤ ZPXP 
 
8761,00401,09162,0)75,1()38,1()5,75( =−=−Φ−Φ=<≤ XP 
 
0832,09162,09994,0)38,1()25,3()95,7( =−=Φ−Φ=<≤ XP 
 
0006,09994,01)25,3()5,4()109( =−=Φ−Φ=≤≤ XP 
 
 
 
 
 
Notas Conceito 
50 <≤ X 
5,75 <≤ X 
95,7 <≤ X 
109 ≤≤ X 
D 
C 
B 
A 
Notas Probabilidade Probabilidade N× 
50 <≤ X 
5,75 <≤ X 
95,7 <≤ X 
109 ≤≤ X 
0,0401 
0,8761 
0,0832 
0,0006 
3 
70 
7 
0 
 
 18
Tabela da Normal Padrão Inversa: 1−Φ : fornece as coordenadas tais que )(1 α−Φ=z , 
ou seja: 
 
α=≥ )( zZP (áreas unilaterais superiores) 
 
α×=≥ 2)|(| zZP (áreas bilaterais) 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: Para uma normal padrão, obtenha z tal que : 
 
(a) 9750,0)( =≤ zZP (b) 90,0)( =≤≤− zZzP 
 
Solução: 
 
(a) 96,1=z 
 
 19
Também poderá utilizar a tabela da normal inversa, com a área unilateral de 0,025, como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 
(b) z=1,6445. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
2 – ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 
2.1 - Vetores aleatórios bidimensionais 
 
Definição 1 ( Função massa de probabilidade conjunta) : 
 
 ( ),),( I yYxXPyxf === Xx Ω∈ e Yy Ω∈ 
 
Nota: ),( yxf é a probabilidade conjunta (simultânea) do evento ][ I yYxX == . 
 
 
Propriedades: 
 
(1ª) 1),(0 ≤≤ yxf , yx,∀ 
(2ª) ∑ ∑ ∑∑ ==x y xy yxfyxf 1),(),( 
 
 
Exemplo 1: suponha que se esteja interessado em estudar a composição de famílias com 3 
crianças. Defina: 
 
 
X ≡ “número de meninos” 
 
Y = 1, se a primeira criança é menino 
 = 0, se a primeira criança é menina 
 
 
2
1)()( == MPHP 
 
( ) ( )
8
1
2
1
2
1
2
1)()()(00)0,0( =××=××===== MPMPMPMMMPYXPf I II 
 
( ) ( ) 0Ø10)1,0( ===== PYXPf I 
 
( ) ( ) ( )
8
201)0,1( =+==== I II II HMMPMHMPYXPf 
 21
 
( ) ( )
8
111)1,1( ===== I II MMHPYXPf 
( ) ( )
8
102)0,2( ===== I II HHMPYXPf 
 
( ) ( ) ( )
8
212)1,2( =+==== I II II HMHPMHHPYXPf 
 
( ) ( ) 0Ø03)0,3( ===== PYXPf I 
 
( ) ( )
8
113)1,3( ===== I II HHHPYXPf 
 
 X 
Y 
0 1 2 3 ∑ 
0 1/8 2/8 1/8 0 1/2 
1 0 1/8 2/8 1/8 1/2 
∑ 1/8 3/8 3/8 1/8 1 
 
 
Definição 2 (Função massa de probabilidade marginal): 
 
 
 ( ) ∑===
y
X yxfxXPxf ),()( , Xx Ω∈ 
 
( ) ∑===
x
Y yxfyYPyf ),()( , Yy Ω∈ 
 
Exemplo 2: no Exemplo 1, 
 
x 0 1 2 3 ∑ 
)(xf X 1/8 3/8 3/8 1/8 1 
 
X tem distribuição binomial(n=3,p=0,5) 
 
y 0 1 ∑ 
)(yfY 1/2 1/2 1 
 
Y é binomial(n=1,p=0,5) 
 22
Definição 3 (Função massa de probabilidade condicional): 
 
 
( ) ( ) )(
),(
)(|)|( yf
yxf
yYP
yYxXP
yYxXPyxf
Y
=
=
==
====
I
, 0)( >yfY 
 
 
( ) ( ) )(
),(
)(|)|( xf
yxf
xXP
yYxXP
xXyYPxyf
X
=
=
==
====
I
, 0)( >xf X 
 
Exemplo 3: 
 
X ≡ “número de acidentes” 
 
Y = 1, se for motocicleta 
 2, se for automóvel 
 3, se for caminhão ou ônibus 
 
 
 X 
Y 
1 2 3 4 5 ∑ 
1 2/48 4/48 2/48 2/48 6/48 16/48 
2 1/48 2/48 1/48 1/48 6/48 11/48 
3 3/48 6/48 3/48 3/48 6/48 21/48 
∑ 6/48 12/48 6/48 6/48 18/48 1 
 
 
distribuições marginais 
 
y 1 2 3 ∑ 
)(yfY 16/48 11/48 21/48 1 
 
 
x 1 3 3 4 5 ∑ 
)(xf X 6/48 12/48 6/48 6/48 18/48 1 
 
 
distribuição condicional de )1|( =YX 
 
x 1 2 3 4 5 ∑ 
)1|( =yxf 2/16 4/16 2/16 2/16 6/16 1 
 23
Por exemplo, 16/4
48/16
48/4)1|2( ===yf 
 
Definição 4 : as variáveis aleatórias X e Y são ditas independentes se e somente se 
 ( ) ( ) ( ) )()(),( yfxfyYPxXPyYxXPyxf YX ×==×===== I , para quaisquer yx, 
Exemplo 4: para o Exemplo3 temos 
 
48
2
48
16
48
6)1()1(
48
2)1,1(
=×=×
=
YX ff
f
 ⇒ )1()1()1,1( YX fff ×= 
48
4
48
16
48
12)1()2(
48
4)1,2(
=×=×
=
YX ff
f
 ⇒ )1()2()1,2( YX fff ×= 
 
48
11
48
6)2()1(
48
1)2,1(
×=×
=
YX ff
f
 ⇒ )2()1()2,1( YX fff ×≠ , 
 
 logo X e Y não são independentes. 
 
Funções de vetores aleatórios discretos 
 
 
 Uma função de um vetor aleatório ),( YX é uma transformação ),( YXTZ = . Por 
exemplo, YXZ += , YXW ×= . 
Exemplo 5 : para a distribuição conjunta abaixo, obtenha a fmp de YXT += e de 
YXW ×= 
 
 X 
Y 
1 2 3 4 5 ∑ 
1 2/46 3/46 2/46 4/46 5/46 16/60 
2 1/46 4/46 3/46 2/46 4/46 14/60 
3 2/46 3/46 2/46 4/46 5/46 16/46 
∑ 5/46 10/46 7/46 10/46 14/46 1 
 
 24
 
 
 
t 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 
)(tfT 2/46 4/46 8/46 10/46 9/46 8/46 5/46 1 
 
Por exemplo, 
 
 
[ ]
46
8
46
4
46
2
46
2)2,2()1,3()3,1(
)22()13()31()4()4(
=++=++
==∩==∩==∩====
fff
YXYXYXPfTP T U U
 
 
),( YX YXT += YXW ×= 
(1,1) 2 1 
(1,2) 3 2 
(1,3) 4 3 
(2,1) 3 2 
(2,2) 4 4 
(2,3) 5 6 
(3,1) 4 3 
(3,2) 5 6 
(3,3) 6 9 
(4,1) 5 4 
(4,2) 6 8 
(4,3) 7 12 
(5,1) 6 5 
(5,2) 7 10 
(5,3) 8 15 
 25
 w 
1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 ∑ 
)(wfW
 
2/46 4/46 4/46 8/46 5/46 6/46 2/46 2/46 4/46 4/46 5/46 1 
 
Por exemplo, 
 
[ ]
46
4
46
3
46
1)1,2()2,1()12()21()2()2( =+=+==∩==∩==== ffYXYXPfWP W U
 
Resultados: 
 
(a) A soma de duas v.a’s independentes com ),(~ pnBinomialX e 
),(~ pmBinomialY é tal que ),(~ pmnBinomialYXT ++= . 
 
(b) A soma de duas v.a’s independentes com )(~ XPoissonX λ e )(~ YPoissonY λ é 
tal que )(~ YXPoissonYXT λλ ++= . 
 
(c) A soma de duas v.a’s independentes com ( )2,~ XXNX σµ e ( )2,~ YYNY σµ é tal 
que ( )22,~ YXYXNYXT σσµµ +++= . 
 
 
Exemplo 6: suponha que um jogador lança uma moeda honesta quatro vezes e o outro 
jogador lança outra moeda honesta cinco vezes. Qual a probabilidade de que no total dos 
lançamentos dos jogadores ocorram: 
 
(a) no máximo 3 caras? 
(b) No mínimo 7 caras? 
(c) Entre 4 (incluso) e 6 (incluso) caras? 
 
Solução: 
 
Seja X denotando o numero de caras obtidas pelo primeiro jogador e Y pelo segundo. 
Então X é binomial de parâmetros 4=n ; 5,0=p e Y é binomial de parâmetros 
5=m ; 5,0=p . Uma que X e Y são v.a´s independentes, T=X+Y é binomial de 
parâmetros 9=+ mn e 5,0=p . 
 
(a) 2539,0)3()2()1()0()3( ==+=+=+==≤ TPTPTPTPTP 
(b) 08984,0)9()8()7()7( ==+=+==≥ TPTPTPTP 
(c) 65625,0)6()5()4()64( ==+=+==≤≤ TPTPTPTP 
 
 
 26
Exemplo 7: Em uma central telefônica, o número de chamadas que chegam no intervalo 
];( 10 tt é Poisson de parâmetro 1λ , e o de chamadas no intervalo ];( 21 tt é Poisson de 
parâmetro 2λ . Sabendo-se ter havido n chamadas em ];( 20 tt , qual a probabilidade de 
que o número de chamadas em ];( 10 tt tenha sido x , nx ≤≤0 ? 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
)(~ 1λPoissonX e )(~ 2λPoissonY . Como os dois intervalos são disjuntos, então X e 
Y são v.a´s independentes, e portanto )(~ 21 λλ ++= PoissonYXT . Segue que 
 
 
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
xnx
x
n
n
xnx
C
n
xnx
nTP
xnYPxXP
nTP
xnYxXP
nTP
nTxXP
nTxXP
−
−






+
×





+
×=
=
+×−−
−
×−
×
×−
=
=
−=×=
=
=
=
−==
=
=
==
===
21
2
21
1
2121
2211
!
}exp{
)!(
}exp{
!
}exp{
][][][][|
λλ
λ
λλ
λ
λλλλ
λλλλ
II
 
 
ou seja, a variável aleatória condicionada [ ]nTX =| é uma binomial de parâmetros n e 
21
1
λλ
λ
+
=p . Agora suponha que ]6;0(];( 10 =tt horas, 401 =λ e ]12;6(];( 21 =tt 
horas, 5002 =λ . Além disso, 580=n e 60=x . Então, 
 
 
( ) 00205,0
540
500
540
40580|60
52060
60
580 =





×





×=== CTXP 
 27
Exemplo 8: a distribuição dos pesos das pessoas que moram em um edifício segue uma 
normal de esperança 70=µ kg e variância 162 =σ kg para homens, e 55=µ kg 
e variância 92 =σ kg para mulheres. Se um homem e uma mulher desse edifício 
entrarem no elevador vazio, qual a probabilidade de que o peso total dessas duas pessoas: 
 
 
(a) exceda 130 kg 
(b) esteja abaixo de 115 kg 
(c) esteja entre 120 e 135 
 
 
Solução: denotemos X o peso dos homens e Y o peso das mulheres. Então 
 ( )25;125~ 2 ==+= TTNYXT σµ . 
 
(a) =>=> )1()130( ZPTP 1 - 0,8413 = 0,1587 
(b) =−<=< )2()115( ZPTP 0.0228 
(c) =<<−=<< )21()135120( ZPTP 0.9772 - 0.1587 = 0,8185 
 
Definição 5: a Covariância de duas variáveis aleatórias é definida como: 
 
 ( )[ ] )()()()(),( YEXEXYEEYYEXXEYXCov ×−=−×−= , 
onde , ( ) ∑∑ ×=
x y
yxfxyXYE ),( , ( ) ∑ ×=
x
X xfxXE )( , ( ) ∑ ×=
y
Y yfyYE )( 
 
 
Teorema 1: para duas variáveis aleatórias independentes )()()( YEXEXYE = , e 
portanto 0),( =YXCov . 
 
 
Definição 6: o coeficiente de correlação linear de Pearson para duas variáveis aleatórias 
é definida como: 
 
 
 
 
)()(
)()()(
)()(
),(),(
YVarXVar
YEXEXYE
YVarXVar
YXCovYX
×
×−
=
×
=ρ , 
 
 
 
 
 
 
 28
Observações: Covariância tem como unidade de medida o produto das unidades de X 
e Y, e por isso é de difícil interpretação. Por outro lado, a correlação é uma medida 
relativa (sem unidade), sendo mais fácil a interpretação. 
 
 
Resultados: 
 
 
(1º) 1),(1 ≤≤− YXρ ; 
 
 
(2º) se Y e X tiverem uma relação linear perfeita diretamente proporcional ( bXaY += ) 
então 1),( =YXρ 
 
 
 
 
(3º) se Y e X tiverem uma relação linear perfeita inversamente proporcional ( bXaY −= ) 
então 1),( −=YXρ 
 
 
 
 
 
 
 29
(4º) se Y e X forem independentes então 0),( =YXρ . Contudo, a recíproca não vale, 
0),( =YXρ não implica Y e X independentes. 
 
 
 
Exemplo 9: 
 
 
X 
Y 
0 1 2 3 ∑
 
0 0 0 0 1/8 1/8 
1 0 0 3/8 0 3/8 
2 0 3/8 0 0 3/8 
3 1/8 0 0 0 1/8 
∑ 1/8 3/8 3/8 1/8 1 
 
 
 
5,1)()( == YEXE ; 
 
 
 75,0)()( == YVarXVar ; 5,1)( =XYE , 75,0),( −=YXCov 
 
 
1),( −=YXρ . Note que 1),( −=YXρ era de se esperar, pois YX −= 3 . 
 
Exemplo 10: lançamento de 2 dados honestos. 
 
X representa o número da face do 1º dado 
 
Y representa o número da face do 2º dado 
 
 
 30
 x 1 2 3 4 5 6 ∑ 
)(xf X 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
 y 1 2 3 4 5 6 ∑ 
)(yfY 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
 
 X 
Y 
1 2 3 4 5 6 ∑ 
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/6 
∑ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
5,3)()( == YEXE ; 
 
0),()()(25,12
36
441)( =⇒×=== YXCovYEXEXYE 
 
Note que )()(),( xfxfyxf YX ×= para qualquer par ),( yx , portanto, 0),( =YXCov . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
3 - AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
 
 
3.1 - Tipos de amostragem probabilística: 
 
 * Simples 
 * Sistemática 
 * Estratificada 
 * Por conglomerados 
 
 Aqui nos concentraremos na amostragem aleatória simples (aas). Uma aas pode ser 
extraída de uma população de acordocom os critérios: 
 
(a) com reposição 
(b) sem reposição. 
 
 Se a população for infinita então as retiradas com e sem reposição serão 
equivalentes, isto é, se a população for infinita (ou então muito grande), o fato de se 
recolocar o elemento retirado de volta na população não vai afetar em quase nada a 
probabilidade de extração do elemento seguinte. Se, no entanto, a população for finita (e 
pequena) será necessário fazer uma distinção entre os dois procedimentos, pois na extração 
com reposição as diversas retiradas serão independentes, mas no processo sem reposição 
haverá dependência entre as retiradas, isto é, o fato de não recolocar o elemento retirado 
afeta a probabilidade do elemento seguinte ser retirado. A amostragem sem reposição é 
mais eficiente que a amostragem com reposição e reduz a variabilidade uma vez que não é 
possível retirar elementos extremos mais do que uma vez. 
 
(a) Com reposição 
 
P(uma amostra de tamanho n )=
nN
1
 
 
(b) Sem reposição 
 
P(uma amostra de tamanho n ) = 
n
NC
1
, desconsiderando a ordenação na amostra 
 
 
n
NA
1
, considerando a ordenação na amostra 
 
 
Exemplo 1: suponha que em um município existam 60 escolas de ensino fundamental da 
rede municipal. Está-se interessado em avaliar o número de matrículas durante o ano. Para 
tal, optou-se por uma amostragem aleatória simples sem reposição de tamanho 15. 
 32
Solução: 
 
 
População: escolas municipais de ensino fundamental 
 
 
Unidade amostral: escolas municipais 
 
Variável de interesse: número de matrículas 
 
N=60 
 
n=15 
 
P(uma escola qualquer ser escolhida no 1º sorteio)=
60
1
 
 
P(uma amostra qualquer)= 15
60
1
C
 
 
 
3.2 - Parâmetros e Estatísticas 
 
Definição 1: denomina-se amostra aleatória a uplan − ( )nXXX ,,, 21 L de v.a´s com 
mesma distribuição de probabilidade. 
 
Exemplo 2: ( )nXXX ,,, 21 L com distribuição binomial de parâmetros m e p . 
 
 
Definição 2: um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica 
numérica da população. 
 
Exemplo 3: 85,0=θ é a proporção de pessoas com fator RH+ 
 
Exemplo 4: a função-produção é definida como BQKY ×= , sendo Y o valor do 
produto e Q a quantidade produzida, K e B parâmetros. 
 
 
Definição 3: uma estatística (ou estimador) é uma característica numérica da amostra, isto 
é, uma estatística é uma função de ( )nXXX ,,, 21 L . 
 
Notação: ),....,( 21 nXXXfT = 
 
 33
Exemplo 5: 
n
X
P
n
i
i∑
=
=
1
, onde =iX 1, se for RH+ 
 = 0, se for RH- 
 
 
Nota: uma vez que a estatística é função de v’as, então também será aleatória. 
 
 
Definição 4: uma estimativa é um valor particular assumido pelo estimador 
),....,( 21 nxxxft = 
 
 
Observação: por convenção representamos a amostra observada (e as estimativas) por 
letras minúsculas. 
 
Exemplo 6: numa amostra de 30 pessoas, 25 tem RH+. Assim, 83,0
30
25
==p . 
 
 
Notações usuais: 
 
 
Parâmetro Estimador Estimativa 
Média 
 
µ 
n
Xf
X
k
i ii∑ =−
=
1
 
n
xf
x
k
i ii∑ =−
=
1
 
Variância 
 
 
2σ 
1
2
1
2
2
−






−





=
−
=
∑
n
XnXf
S
k
i
ii
 
1
2
1
2
2
−






−





=
−
=
∑
n
xnxf
s
k
i
ii
 
Desvio padrão σ S 
 
s 
 
Amplitude 
 
η H h 
Proporção 
 
θ P p 
Correlação ρ R r 
 
 
 
 
 
 
 34
3.3. Propriedades dos Estimadores: 
 
 
(1ª) Um estimador é dito não tendencioso ou não enviesado, se θ=)(TE , onde θ é um 
parâmetro populacional 
 
 
Exemplo 7: “a média de todas médias amostrais possíveis é igual à média populacional”, 
ou seja, µ=
−
)(XE . 
 
Exemplo 8: ( ) 22 σ=SE , mas ( ) 22 σ≠VE , onde 21
2
2






−












=
−
=
∑
X
n
Xf
V
k
i
ii
. 
 
 
(2ª) Uma seqüência { } 1≥nnT de estimadores de θ é dita consistente se: 
 
 
θ=
∞→ )(lim nn TE e 0)(lim =∞→ nn TVar 
 
Exemplo 9: como µ=
−
)(XE e 0limVarlim
2
==





∞→
−
∞→
n
X nn
σ
, então 
−
X é 
consistente. 
 
 
(3ª) Se T e H são dois estimadores não tendenciosos de θ e )()( HVarTVar < então 
dizemos que T é mais eficiente que H. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
 
 
 
Exemplificação de quatro estimadores onde foram feitas 18 observações 
 
 
Teorema 3.3.1: Seja X v.a com esperança µ e variância 2σ , e nXXX ,...., 21 uma 
amostra. Então, para 
n
X
X
n
i i∑ =−
=
1
, tem-se : 
(i) µ=
−
)(XE 
(ii) 
n
XVar
2
)( σ=
−
 se for com reposição e 





−
−
×=
−
1
)(
2
N
nN
n
XVar σ para o caso sem 
reposição. 
 
(iii) 
−
X é o estimador de variância mínima dentre os estimadores lineares não-
tendenciosos. 
 
 36
Observação: o quociente 





−
−
1N
nN
 é dito fator de correção para população finita. Note 
que para N suficientemente grande, 
−
)(XVar é próxima de 
n
2σ
. 
 
 
Corolário 3.3.1: para 
n
X
P
n
i i∑ =
=
1
, tem-se que θ=)(PE , 
n
PVar )1()( θθ −×= se 
 
for com reposição e 





−
−
×
−×
=
1
)1()(
N
nN
n
PVar θθ se for sem reposição. 
 
 
Exemplo 10: seja uma população de 5 elementos (2 países da África e 3 asiáticos) cuja v.a. 
X = ” taxa de crescimento anual ” tem a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
X 1 3 5 7 
 ∑ 
P(X=x) 1/5 1/5 2/5 1/5 1 
 
Para uma amostra de tamanho n=2 , com reposição, construa a distribuição amostral de 
2
21 XXX +=
−
. 
Solução: 21, XX são iid (independentes e identicamente distribuídas) segundo a v.a X, 
isto é: 
 
)()()(
)()()(
2121
21
yXPxXPyXxXP
xXPxXPxXP
=×====
=====
I 
2,421 === µEXEX ; 16,4)()( 221 === σXVarXVar 
 
Como o processo é com reposição então existem 2552 = amostras possíveis. De fato: 
 
 
 (1,1) (3,1) 
 )5,5( )1()1( )5,5( )2()2( (7,1) 
 (1,3) (3,3) 
 )5,5( )2()1( )5,5( )1()2( (7,3) 
 (1,7) (3,7) 
 )1,5( )1( )3,5( )2( (7,7) 
 (1, )1(5 ) (3, )1(5 ) )3,5( )1( )7,5( )2( (7, )1(5 ) 
 (1, )2(5 ) (3, )2(5 ) )7,5( )1( )1,5( )2( (7, )2(5 ) 
 
 
 37
Distribuição de probabilidade conjunta de ),( 21 XX 
 2X 
1X 
 1 3 5 7 
∑ 
 1 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
 3 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
 5 2/25 2/25 4/25 2/25 2/5 
 7 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
 ∑ 1/5 1/5 2/5 1/5 1 
Valores possíveis de 
−
X : 
 
Amostra 
 
−
x 
(1,1) 1 
(1,3) (3,1) 2 
(3,3) (1,5) (5,1) 3 
(1,7) (7,1) (5,3) (3,5) 4 
(5,5) (3,7) (7,3) 5 
(7,5) (5,7) 6 
(7,7) 7 
 
População dos valores possíveis de 
−
X : {1,2,3,4,5,6,7} 
 
25
1
5
1
5
1)1()1()1( 21 =×==×===
−
XPXPXP 
 
25
5
25
1
25
2
25
2
)33()15()51()3( 212121
=++=
===+==+====
−
III XXPXXPXXPXP
 
 
Distribuição de probabilidade de 
−
X : 
 
 
−
x 
 
 1 2 3 4 5 6 7 ∑ 
P(−
X =
−
x ) 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25 1 
 
 
 
Exemplo 11: no Exemplo 10 verifique que vale o Teorema 3.3.1 . 
2,4
25
17....
25
22
25
11)()( =×++×+×===
−−−−
∑ xXPxXE 
 38
2,421 === µEXEX 
n
XExXPxXVar
i
2
2222
22
2
16,4
25
17....
25
22
25
11)()()(
σ
µ
==
=−



×++×+×=





−












=





=
−−−−−
∑
3.4. 
 
 
3.4 - Distribuições amostrais: 
 
 
 O conjunto de todas amostras de mesmo tamanho formam uma população, que tem 
uma distribuição de probabilidade referente à estatística T , a qual recebe o nome de 
distribuição amostral da estatística T . 
 
 
 
Teorema 3.4.1: para uma amostra aleatória ( )nXXX ,,, 21 L de uma distribuição normal de 
parâmetros µ e σ , a estatística 
−
X tem distribuição normal de média µ e desvio 
padrão 
n
σ
. 
 
 
Exemplo 12: Uma população tem distribuição normal de média 800 e desvio padrão 60. 
Determine a probabilidade de uma amostra aleatória apresentar média amostral entre 
781,4 e 818,6 quando: (a) 9=n (b) 25=n 
 39
Solução: a variável nX
XVar
XEX
Z ×








−
=












−
=
−
−
−−
σ
µ
 tem distribuição normal padrão. 
 
 
(a) 
( ) ( ) 6476,01762,08238,093,093,0
9
60
8006,8189
60
8004,7816,8184,781
=−=−Φ−Φ
=





×




 −≤≤×




 −
=




 ≤≤
−
ZPXP
 
 
(b) ( ) ( ) 8788,00606,09394,055,155,16,8184,781 =−=−Φ−Φ=




 ≤≤
−
XP 
 
 
3.5. Estimação por ponto e por intervalo 
 
 
Estimação por ponto: é a estimativa resultante da amostra. 
 
 
Estimação por intervalo: a estimação por ponto não permite julgar a magnitude do erro 
que estamos cometendo. Daí surge a idéia de construir os intervalos de confiança, que são 
fundamentados na distribuição amostral do estimador. 
 
( ) γθ =∈ ..CIP 
 
γ é dito grau de confiança, que é a probabilidade do parâmetro pertencer ao intervalo 
 
γα −= 1 é a probabilidade de não pertencer ao intervalo 
 
 
 
Construção de intervalos de confiança: o teorema a seguir é o alicerce dos Intervalos de 
Confiança. 
 
 
 
Teorema 3.4.2 (Teorema Central do Limite): Para uma amostra aleatória ),....,( 1 nXX 
e um estimador ),....,( 1 nn XXfT = de máxima verossimilhança do parâmetro θ , tal que 
θ=)( nTE , tem-se: 
 
 
 40
 
}
)1,0(
)(
)( N
TVar
TET
Z
n
n
nn
n
∞→
→
−
= 
 
 
 
 
3.6. Intervalos de confiança 
 
3.6.1. IC para a média populacional µ quando o desvio padrão σ é 
conhecido 
 
Pelo TCL, 
 
α
σµσα −≈





×+≤≤×−⇔−≈














≤












−
≤−
−−
−
−−
11
n
zX
n
zXPz
XVar
XEX
zP tabtabtabtab , 
 
 
onde tabz é tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz . 
 
 
 
Assim, o intervalo de confiança para µ , de grau %100)1( ×−= αγ , é dado por 
 
 41
 








±=
−
εXIC , onde 
n
ztab
σ
ε = é dito erro de estimação (ou erro amostral). 
 
 
Observação: note que o erro de estimação é a semi-amplitude do I.C. 
 
 
 Exemplo 13: suponha que se esteja estudando a altura de pessoas numa certa população. 
Sabe-se que σ =15. A amostra de 100 indivíduos resultou em 
−
x =170 . Construa 
intervalos de confiança para a média populacional com: 
 
(a) α−1 =0,90 (b) α−1 =0,95 (c) α−1 =0,99 
 
 
Solução: 
 
(a) 4675,2=ε ; I.C= [ ]46,172;54,167
100
15645,1170;
100
15645,1170 =





×+×− 
 
 
(b) 94,2=ε ; I.C= [ ]94,172;06,167
100
1596,1170;
100
1596,1170 =





×+×− 
 
 
(c) 86625,3=ε ; I.C= [ ]85,173;14,166
100
15575,2170;
100
15575,2170 =





×+×− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42
 
Interpretação do Intervalo de Confiança: espera-se que %100)1( ×−α dos 
intervalos originados de amostras de mesmo tamanho contenham o parâmetro µ . 
 
 
 
 
Observações: 
 
 
(1ª) Não se utiliza grau de confiança igual a 100%, pois neste caso o intervalo fica a 
própria reta real! De fato, para que ( ) 1=≤≤− tabtab zZzP , então é preciso que 
+∞=tabz . 
 
(2ª) Um grau de confiança igual a 0% resulta em um intervalo degenerado (que é a própria 
estimativa por ponto!). De fato, para que ( ) 0=≤≤− tabtab zZzP , então é preciso que 
0=tabz . 
 
(3ª) Não existe um valor ideal para o grau de confiança. Nunca se deve utilizar os 
extremos de 0% e 100%. Os valores mais usuais são 0,99; 0,95 e 0,90, mas não há uma 
justificativa formal para usá-los, são apenas valores de referência mais encontrados em 
artigos e livros. 
 
 
 
 
 43
(4ª) O desvio padrão σ influencia diretamente na amplitude do I.C., ou seja, se σ for 
grande, então o I.C. será amplo. O grau de confiança também é responsável pela amplitude 
do I.C. Mantendo γ fixado, se n aumentar então a amplitude do I.C. irá diminuir, ou 
seja, ficará mais preciso. 
 
 
3.6.2. IC para a média populacional µ quando o desvio padrão σ é 
desconhecido 
 
 
A distribuição t-student: 
 
 
 
 Foi introduzida por William Gosset, que utilizou o pseudônimo “um estudante”. 
Essa distribuição aparece quando substituímos o desvio padrão σ pelo respectivo 
estimador S . A t-student é similar à normal padrão, isto é, e simétrica em torno do zero e 
tem a forma de um sino, sendo mais baixa (achatada) que a normal. Além disso, a t-student 
converge à normal padrão. 
 
 
Notação: )(~ vtX , onde 0>v é o parâmetro da distribuição. 
 
 
Comparação entre a normal padrão e a t-student 
 
 
 44
 
 
 
 
 Em inferência estatística esse parâmetro assume valores inteiros positivos e tem a 
denominação de “graus de liberdade”. O conceito de graus de liberdade (GL) é o número de 
valores que poderemos atribuir de maneira arbitrária. Por exemplo, suponha que temos três 
parcelas, cujos valores devem ser não negativos e somarem 14: 
 
 
 4 + 7 + = 14 
 
 
 
Então, teremos a “liberdade” de atribuir apenas dois valores, pois o último ficará 
“amarrado” (determinado). 
 
 
 A tabela da t-student é tal que se você entrar com GL e a área, você obterá a 
coordenada. Para GL maior que 120, utiliza-se a normal padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 45
 Modelo de Tabela t-student 
 
 
 
 








±=
−
n
S
tXIC tab , onde tabt é tal que α=≥ )|(| tabtTP , )1(~ −ntT 
 
 
Exemplo 14: de 1500 placas de memória fabricadas retirou-se uma amostra de 30 
unidades, observando-se o tempo até a primeira falha. Obteve-se as seguintes estatísticas: 
800=
−
x h e 100=s h. Construa um IC de 99% para a média da população. 
 
 
Solução: IC = [ ]31,850;68,749
30
1007564,2800;
30
1007564,2800 =





×+×− 
 
 
 
Observação: o desvio padrão amostral S influencia diretamente na amplitude do I.C. Se 
a variabilidade na amostra for alta, o I.C. será mais amplo. Aumentando-se a amostra o 
I.C. deverá ficar mais preciso. 
 
 
 
 
 46
3.6.3. IC para a variância populacional 2σA distribuição Qui-Quadrado: a distribuição origina-se da soma de quadrados de 
distribuições normais. A densidade dessa distribuição é assimétrica à direita. O nome 
“QUI” vem da letra grega χ . 
 
 
 Algumas distribuições Qui-Quadrado 
 
 
 
 
Notação: )(~ vQuadradoQuiX − , onde 0>v é o parâmetro da distribuição. 
 
 
 Assim como na t-student, em inferência estatística esse parâmetro assume valores 
inteiros positivos, e denomina-se “graus de liberdade”. A tabela da Qui-Quadrado é tal 
que se você entrar com GL e a área, você irá obter a coordenada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47
 
Modelo de Tabela Qui-Quadrado 
 
 
 
O intervalo de confiança para a variância é: 










−−
=
inf
2
sup
2 )1(
,
)1(
q
Sn
q
SnIC , onde 
 
 
α−=≤≤ 1)( supinf qXqP ; )1(~ −− nQuadradoQuiX 
 
 
 
O intervalo de confiança para o desvio padrão é: 








−−
=
inf
2
sup
2 )1(
,
)1(
q
Sn
q
SnIC 
 
 
 
Exemplo 15: O setor de qualidade de uma indústria de parafusos deseja estimar a variação 
dos comprimentos de parafusos produzidos. Obtenha intervalo de confiança de grau 95% 
para σ . A amostra foi a seguinte: 12,2 12,4 12,1 12,0 12,7 12,4 14,0 13,7 13,9 14,1 
13,9 13,7 13,5 12,2 12,5 13,6. 
Solução: 05625,13=
−
x 634624,02 =s 796633,0=s 
 
 
 [ ]23295,1;58848,0
2621,6
634624,015
;
4884,27
634624,015
=




 ××
=IC 
 
 
 
 48
3.6.4. IC para a proporção populacional 
 
 










−±=
n
PP
zPIC tab
)1(
, onde P é a proporção amostral e tabz é tal que 
 
( ) α=Φ− )(12 tabz . 
 
 
Exemplo 16: suponha a seguinte amostra sobre a intenção de voto em um candidato: 
 
{1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0} 
 
1 ≡ “a favor”; 0 ≡ “contra” 
 
Construa um IC de 98% para a proporção. 
 
Solução: 45,0
20
9
==p 
 
IC = [ ]7086,0;1913,0
20
55,045,0325,245,0;
20
55,045,0325,245,0 =




 ×
×+
×
×− 
 
 
 
3.7. Dimensionamento de amostras 
 
 
Estimação da média 
 
 Vimos que para a média populacional, 


 +−=
−−
εε XXCI ,.. , onde 
n
ztab
σ
ε ×= é o erro de estimação absoluto. Isolando n nesta última equação obtemos 
o tamanho da amostra: 
população infinita: ( ) 2
2
2
ε
σ
tabzn = , tabz é tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz 
população finita: 
nN
Nn
m
+
×
= . 
 
 
 49
Observações: 
 
(1ª) se σ for desconhecido então utiliza-se algum valor em uma pesquisa semelhante que 
já foi realizada, ou procede-se em uma pesquisa piloto (amostra inicial) 
 
(2ª) O tamanho da amostra n e o erro de estimação ε tem relação inversa, como mostra 
a figura: 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: deseja-se estimar a renda dos moradores do bairro da Gávea , no Rio de 
Janeiro, sabendo-se que o desvio padrão da renda é de 300,00. Exige-se um erro absoluto 
máximo de 20,00 e um grau de confiança de 95%. Qual deve ser o tamanho da amostra? 
 
 
Solução: 86536,864
20
30096,1
2
22
≅=
×
=n 
 
 
Supondo N=5000, 73796,736
36,8645000
36,8645000
≅=
+
×
=m 
 
 
 
Estimação da proporção 
 
 
r
ε é o erro de estimação relativo 
 
 
população infinita: ( ) 22 )1(
r
tabzn ε
θθ −×
= , tabz é tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz 
 50
 
população finita: 
nN
Nn
m
+
×
= . 
 
 
Observações: 
 
 
(1ª) o erro de estimação para a proporção está em termos relativos, visto que uma 
proporção é uma medida relativa (sem unidade de medida). 
 
 
 
(2ª) Se θ for desconhecida, pode-se utilizar alguma estimativa de uma pesquisa anterior. 
Também pode-se assumir o maior valor possível 25,0)1( =−× θθ . Desta forma, 
 
 
 
( )
2
2 25,0
r
tabzn
ε
×
= . 
 
(3ª) Alguns autores adotam 2=tabz e 25,0)1( =−× θθ . Assim, 2
1
r
n
ε
= 
 
 
Exemplo 18 : Uma amostra preliminar de 50 famílias foi selecionada de N=4000 famílias. 
Constatou-se que na amostra 30 famílias possuíam renda superior a 1000,00. Qual deve ser 
o tamanho da amostra, com grau de confiança de 99% e erro de estimação máximo de 5%? 
 
 
Solução: 
 
6,0
50
30
==p ; 
 
 
575,299,0 =⇒= tabzγ 
 
 
( ) 63754,636
05,0
4,06,0575,2
2
2
≅=
××
=n ; 55015,549
54,6364000
54,6364000
≅=
+
×
=m 
 
Se usarmos 25,05,05,0)1( =×=−θθ , ( ) 66306,663
05,0
25,0575,2
2
2
≅=
×
=n e 569≅m 
 51
4 – TESTES DE HIPÓTESES 
 
4.1. Definições 
 
 
Hipótese conceitual: é a hipótese formulada utilizando termos específicos na área em 
estudo. 
 
 
Hipótese operacional: é a formulação matemática da hipótese conceitual 
 
 
Exemplo 1: o biodiesel é menos poluente que o diesel convencional 
 
Como trabalhar matematicamente com essa hipótese? Iremos comparar as médias de 
emissões de partículas de óxido de enxofre por cm 3 . Um grupo de veículos vai rodar com 
biodiesel e outro com o convencional. Vamos denotar por Bµ a média de emissão de 
partículas por cm 3 usando biodiesel, e por Cµ usando o diesel comum. 
 
Hipóteses : Bµ = Cµ e Bµ < Cµ 
 
 
Hipóteses estatísticas 
 
 
 Em inferência estatística uma hipótese é uma suposição formulada a respeito dos 
parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais populações. Esta hipótese 
será testada com base em resultados amostrais, sendo aceita ou rejeitada. Ela somente será 
rejeitada se o resultado da amostra for improvável de ocorrer sob a suposição da hipótese 
ser verdadeira. 
 
 
 Denominaremos por 0H (hipótese nula) a hipótese a ser testada, e por 1H 
(hipótese alternativa) a negação de 0H . Através de um teste aceitaremos ou 
rejeitaremos 0H . A nossa decisão terá uma probabilidade de erro. Essa probabilidade de 
erro é controlada (escolhida pelo pesquisador). Um pesquisador nunca poderá escrever 
num artigo ou relatório frases do tipo: “o teste de hipótese mostrou que....”, mas deverá 
apresentar qual a probabilidade de erro que ele admitiu no teste. 
 
 
 
 
 
 52
 O quadro abaixo apresenta o que pode acontecer em um teste de hipóteses: 
 
 
 
 
Exemplo 2: suponha um julgamento num tribunal 
 
 
 
As probabilidades desses erros são chamadas α e β respectivamente, ou seja: 
 
 α = P(erro tipo I) = P(rejeitar 0H | 0H é verdadeira) 
 γ = P(aceitar 0H | 0H é verdadeira), que é o grau de confiança 
 β = P(erro tipo II) = P(aceitar 0H | 0H é falsa) 
 1−β = P(rejeitar 0H | 0H é falsa) 
 
 
Observação: neste curso nos concentraremos na probabilidade do erro tipo I. 
 
Nível de significância de um teste: é o valor de α no teste, ou seja, é a probabilidade de 
rejeitar 0H , dado que é verdadeira. Os valores mais utilizados para α são: 0,01; 0,05 e 
0,10. 
 
Observação: Fisher, um dos precursores da Teoria Estatística, usou o valor de 5% para 
facilitar o ensino da Teoria, e por isso ficou como um valor “consagrado”. 
 
 
 
 
 
 
 53
4.2 - Etapas de um teste de hipóteses 
 
 
(1ª) Formular as hipóteses estatísticas: a hipótese nula a respeito de um parâmetro θ deve 
conter a igualdade e alternativa pode ser bilateral ou unilateral. 
 
 
0H : 0θθ = 1H : 0θθ ≠ (bilateral)0θθ < (unilateral à esquerda) 
 0θθ > (unilateral à direita). 
 
 
(2ª) Fixar o nível de significância do teste. 
 
 
(3ª) Calcular a estatística do teste. 
 
(4ª) Tomada de decisão: rejeitar 0H se a estatística do teste estiver na região crítica 
(região aonde a hipótese nula é rejeitada), caso contrário não se rejeita 0H . 
 
 
Observações: 
 
 
 (3ª) Hipóteses unilaterais levam a um teste mais rigoroso (menor região de aceitação de 
0H , quando comparados aos bilaterais. 
 
 
 
 
 
 
 54
4.3. Testes de hipóteses 
 
 
4.3.1.Teste de hipóteses para a média de uma população 
 
 
(a) desvio padrão populacional σ conhecido 
 
 
00 : µµ =H 
 
estatística do teste: nXzc










−
=
−
σ
µ0
 
 
1H bilateral ( 01 : µµ ≠H ): rejeita 0H se || cz > tabz , tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz . 
 
1H unilateral à direita ( 01 : µµ >H ): rejeita 0H se cz > tabz , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
1H unilateral à esquerda ( 01 : µµ <H ): rejeita 0H se cz < tabz− , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
 
 
 
 
 
 55
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56
Observações: 
 
 
(1ª) Não rejeitar a hipótese nula significa não haver evidência suficiente para duvidar de 
sua validade, portanto, conclui-se que 0µµ = , ou seja, qualquer diferença observada 
entre a média amostral e o valor sob 0H será considerada uma ocorrência casual, e 
não representa uma real diferença. Contudo, existe a possibilidade de ocorrer o erro tipo 
II, ou seja, uma diferença que não foi reconhecida. 
 
 
(2ª) Rejeitar a hipótese nula significa haver evidência suficiente para duvidar da 
validade de 0H . A diferença entre a média amostral e o valor sob 0H é grande demais 
para ser explicada apenas pelo erro amostral. 
 
 
(3ª) se σ for grande, a estatística cz não será sensível o bastante para detectar diferença 
significante entre 
−
X e 0µ . 
 
(4ª) aumentando a amostra, o teste ficará mais sensível para detectar diferenças 
significativas. 
 
 
(5ª) O teste unilateral é mais rigoroso que o bilateral. Na figura abaixo, o valor tabelado do 
teste unilateral é menor que no bilateral. Se )()( btabc
u
tab zzz << , então o teste unilateral irá 
rejeitar a hipótese nula, mas o bilateral não. 
 
 
 
 
 57
Exemplo 3: uma linha de produção fabrica parafusos cujo diâmetro tem desvio padrão 
22716,1=σ . Tomou-se uma amostra de tamanho 20, cujas estatísticas foram 735,3=
−
x e 
8756,3=s . Com 05,0=α , teste 0H : 5=µ contra 
 
(a) 1H : 5≠µ (b) 1H : 5<µ (c) para 1H : 4=µ , calcule β 
 
 (d) Em relação ao item (b), apresente um α que levaria à aceitação de 0H . 
 
Solução: 
 
61,420
22716,1
5735,3
−=




 −
=cz 
 
(a) 96,1=tabz . Como tabc zz >|| , rejeitamos 0H . 
 
(b) 645,1−=− tabz . Como tabc zz −< , rejeitamos 0H . 
(c) para 05,0=α a regra de decisão é: rejeita 0H se 645,10 −<










−
=
−
n
X
zc σ
µ
. 
54998,4
645,120
22716,1
5 =⇒







−<×








−
<
−
−
KX
KX
 
 
Assim, a região crítica é 54998,4<
−
X . Portanto, 
 
( ) 9772498,0)2(2
20
22716,1
454998,41 11
=Φ=<=
=










×




 −
<×








−
=





<=−
−
−
ZP
n
X
PHKXP
σ
µβ
 
 
Logo, 02275,0=β . 
 
 
(d) Temos que encontrar um - tabz tal que tabc zz −> . Note que 65,4−=− tabz leva-nos à 
aceitação! Mas, 000001659,0)( =−≤= tabzZPα , que é um absurdo! 
 
 
 
 58
(b) desvio padrão populacional σ desconhecido 
 
 
00 : µµ =H 
 
 
Estatística do teste: n
S
X
tc










−
=
−
0µ
 
 
 
1H bilateral: rejeita 0H se || ct > tabt , α=> )|(| tabtTP , )1(~ −ntT 
 
1H unilateral à direita: rejeita 0H se ct > tabt , α=> )( tabtTP 
 
1H unilateral à esquerda: rejeita 0H se ct < - tabt , α=> )( tabtTP 
 
 59
 
 
Exemplo 4: em relação ao Exemplo 3, vamos supor que σ era desconhecido. Use 
05,0=α . 
Solução: 4597,120
8756,3
5735,3
−=×




 −
=ct 
 
(a) 093,2=tabt . Como tabc tt <|| , não rejeitamos 0H . 
 (b) 7291,1=tabt . Como tabc tt −> , não rejeitamos 0H . 
 
Nota: como %76,103%100
735,3
8756,3
=×=CV é elevado, o teste não foi sensível o 
bastante para detectar diferença significativa! 
 
 60
4.3.2. Teste de hipóteses para a proporção de uma população 
 
00 : θθ =H 
 
Estatística do teste: nPzc 







−
−
=
)1( 00
0
θθ
θ
, sendo P a proporção amostral. 
 
 
1H bilateral( 0θθ ≠ ): rejeita 0H se || cz > tabz , tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz 
 
1H unilateral à direita( 0θθ > ): rejeita 0H se cz > tabz , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
1H unilateral à esquerda( 0θθ < ): rejeita 0H se cz < tabz− , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
 
Exemplo 5: uma estação de TV afirma que 60% dos televisores estavam ligados no seu 
programa especial de sábado. Uma rede concorrente deseja contestar essa afirmação, e 
decide entrevistar 200 domicílios. Desses 200, 104 deram respostas afirmativas. Teste a 
hipóteses 6,0:0 =θH e 6,0:1 <θH , com : (a) 01,0=α (b) 05,0=α . 
 
 
Solução: 31,2
200
24,0
6,052,0
−=
−
=cz 
 
(a) 325,2−=− tabz , então não rejeitamos 0H para 1% de significância . 
 
 
(b) 645,1−=− tabz , logo rejeitamos 0H para 5% . 
 
 
 61
4.3.3. Teste de hipóteses para a variância de uma população 
 
 
2
0
2
0 : σσ =H ; 
 
Estatística do teste: 2
0
2 )1(
σ
−
=
nSqc 
 
1H bilateral( 202 σσ ≠ ): rejeita 0H se inf0 qqc << ou supqqc > , 
 
 
onde 
2
)( sup
α
=≥ qXP , 
2
1)( inf
α
−=≥ qXP , )1(~ −− nQuadradoQuiX 
 
 
1H unilateral à direita( 202 σσ > ): rejeita 0H se supqqc > , onde α=≥ )( supqXP 
 
 
1H unilateral à esquerda( 202 σσ < ): rejeita 0H se inf0 qqc << , onde 
α−=≥ 1)( infqXP 
 
 
 
 62
 
 
 
Exemplo 6: para o exemplo do diâmetro dos parafusos, deseja-se testar 65,0: 20 =σH 
contra 65,0: 21 ≠σH . Use 05,0=α
. 
 
Solução: 16=n ; 634624,02 =s ; 796633,0=s
 
 
 
645,14
65,0
634624,015
=
×
=cq . Como 488,27262,6 << cq não rejeitamos 0H 
 
 
 
 
4.3.4. Teste de hipóteses para a igualdade de médias de duas populações 
independentes 
 
 
 
 
(a) desvios padrões populacionais conhecidos 
 
 
YXH µµ =:0 
 
 63
Estatística do teste: 














+
−
=
−−
mn
YX
z
YX
c 22 σσ
, n é o tamanho da amostra para X e m para Y 
 
 
1H bilateral( YX µµ ≠ ): rejeita 0H se || cz > tabz , tal que ( ) α=Φ− )(12 tabz 
 
1H unilateral à direita( YX µµ > ): rejeita 0H se cz > tabz , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
1H unilateral à esquerda( YX µµ < ): rejeita 0H se cz < - tabz , tal que α=Φ− )(1 tabz . 
 
 
 
Exemplo 8: Uma máquina automática enche latas com base no peso líquido, com 
variabilidade praticamente constante e independente dos ajustes da média, onde 5=σ g. 
Duas amostras retiradas em dois períodos de trabalho consecutivos,de quinze e dez 
latas, respectivamente, resultaram pesos líquidos médios de 188,9 e 184,6 g. Desconfia-se 
que a regulagem da máquina quanto ao peso médio possa ter sido modificada entre a 
coleta das duas amostras. Qual a conclusão ao nível de significância de 5%? 
 
Solução: YXH µµ =:0 contra YXH µµ ≠:1 
 
 
10656,2
10
1
15
15
6,1849,188
=
+
−
=cz 
 
 
Para teste bilateral, 96,1=tabz , levando-nos à rejeição de 0H . 
 
(b) desvios padrões populacionais desconhecidos 
 
 
YXH µµ =:0 
 
Estatística do teste: 












+
−
=
−−
mn
S
YX
tc 11
, 
2
)1()1( 22
−+
−+−
=
mn
SmSnS YX 
 
 
 64
1H bilateral ( YX µµ ≠ ): rejeita 0H se || ct > tabt , α=> )|(| tabtTP , )2(~ −+ mntT 
 
1H unilateral à direita ( YX µµ > ): rejeita 0H se ct > tabt , α=> )( tabtTP 
 
1H unilateral à esquerda( YX µµ < ) : rejeita 0H se ct < - tabt , α=> )( tabtTP 
 
 
Exemplo 9: duas técnicas de vendas são aplicadas por duas equipes de vendedores: a 
técnica A por 12 vendedores e a B por 15. No final de um mês obtiveram-se os seguintes 
resultados: 
 
Estatísticas A B 
Média 68 76 
Variância 50 50,8 
Amostra 12 15 
 
 
Teste se a média do grupo B é maior que a do A, usando 05,0=α . 
 
 
Solução: ABH µµ =:0 contra ABH µµ >:1 . 
 
 
1026,7
25
50118,5014
=
×+×
=s ; 908,2
12
1
15
11026,7
6876
=
+×
−
=ct ; 7081,1=tabt 
Como tabc tt > rejeitamos 0H . 
 
 
 
4.3.5. Teste de hipóteses para a igualdade de médias de populações 
pareadas 
 
 
 
 Quando se compara médias de duas populações pode ocorrer uma diferença 
significativa devido a fatores externos não-controláveis. Um modo de contornar este 
problema é coletar observações aos pares, de modo que os dois elementos de cada par 
sejam o mais homogêneos possível, exceto naquilo que se quer comparar. 
 
 
 65
 A amostra será de pares (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn). A estatística do teste 
será construída através da diferença D = X – Y, que mede o efeito (diferença) entre os 
dois tratamentos. 
 
0H : 0=Dµ 
Estatística do teste: n
S
D
t
D
c ×=
−
 , onde 
−
D e DS são a média e o desvio padrão 
amostrais, respectivamente. 
 
 
1H bilateral( 0≠Dµ ): rejeita 0H se || ct > tabt , α=> )|(| tabtTP , )1(~ −ntT 
 
1H unilateral à direita( 0>Dµ ): rejeita 0H se ct > tabt , α=> )( tabtTP 
 
1H unilateral à esquerda( 0<Dµ ): rejeita 0H se ct < - tabt , α=> )( tabtTP 
 
Exemplo 11: cinco operadores são treinados em duas máquinas de diferentes 
fabricantes, para verificar qual delas apresenta maior facilidade de aprendizagem. Mediu-
se o tempo (em minutos) que cada um dos operadores gastou na realização de uma mesma 
tarefa com cada um dos dois tipos de máquinas. Os resultados foram os seguintes: 
 
 
operador Fabricante X Fabricante Y D 2D 
1 80 75 5 25 
2 72 70 2 4 
3 65 60 5 25 
4 78 72 6 36 
5 85 78 7 49 
Total 380 355 25 139 
 
Ao nível de 10% é possível afirmar que a tarefa realizada na máquina X demora mais do 
que na máquina Y? 
 
 
Solução: 0H : YX µµ = contra 1H : YX µµ > . 
 
5=
−
d e =Ds = 1,8708 ; 98,558708,1
5
=×=ct , 533,1=tabt . Como tabc tt > , 
rejeitamos 0H . 
 
 
 66
4.3.6. Teste de hipóteses para a igualdade de proporções de populações 
independentes 
 
YXH θθ =:0 
 
 
Estatística do teste: 
))1()1(
m
PP
n
PP
PP
z
YYXX
YX
c
−
+
−
−
= , YX PP , são as proporções amostrais 
 
 
1H bilateral( YX θθ ≠ ): rejeita 0H se || cz > tabz , ( ) α=Φ− )(12 tabz 
 
1H unilateral à direita( YX θθ > ): rejeita 0H se cz > tabz , ( ) α=Φ− )(1 tabz 
 
1H unilateral à esquerda(( YX θθ < )): rejeita 0H se cz < - tabz , ( ) α=Φ− )(1 tabz 
Exemplo 12: a matriz de uma empresa de embalagens quer comparar a proporção de itens 
que são rejeitados pelo setor de qualidade em duas de suas filiais. As amostras resultaram 
no seguinte: 200=n ; 05,0=Xp e 210=m ; 052,0=Yp 
 
 
092,0
210
)052,01(052,0
200
)05,01(05,0
052,005,0
−=
−
+
−×
−
=cz 
 
 
Para teste unilateral à esquerda, com 05,0=α , aceita-se 0H , pois - 645,1−=tabz . Mas, 
qual valor de α levaria à rejeição de 0H ? Temos que encontrar um - tabz tal que 
tabc zz −< . Note que - 09,0−=tabz leva-nos à rejeição. Mas, 
 
 4641,04641,0)09,0( =⇒=−≤= αα ZP , que é um absurdo! 
 
4.4. Considerações sobre significância estatística 
 
 
 Um teste de hipótese leva-nos a uma decisão acerca da hipótese nula: rejeitá-la ou 
aceitá-la, com uma probabilidade de cometer os erros tipo I e II, respectivamente. Mas, 
além de simplesmente decidir, os seguintes aspectos devem ser considerados: 
 
 
 
 67
(1º) É preciso um senso crítico ao se aplicar um teste de hipóteses. É claro que, dependendo 
do nível de significância adotado, poderemos rejeitar ou aceitar 0H . Num teste de 
hipóteses, o usuário pode estar movido por uma extrema vontade de rejeitar 0H , sendo 
assim, ele vai encontrar um valor de α que atenda aos interesses dele, mesmo que o valor 
seja um absurdo, por exemplo 60,0=α . Logo, devemos ser o mais imparcial possível. 
 
 
(2º) A significância prática é outro aspecto a ser considerado. Suponha que se esteja 
fazendo um teste sobre o diâmetro médio, em centímetros, de eixos de tratores em uma 
linha de montagem. As hipóteses são: 10:0 =µH 10:1 ≠µH , com 05,0=α . 
Suponha que uma amostra de 2000 eixos resultou 01,10=
−
X e 2,0=S . A estatística do 
teste resultou em 24,22000
2,0
1001,10
=




 −
=ct . Para 05,0=α , 96,1=tabt , levando-nos 
à rejeição de 0H . Mas, pensando nos aspectos práticos, o engenheiro responsável pelo setor 
considera que essa diferença de 0,01 cm é irrelevante, não causará problemas para o trator. 
Embora o teste acusou uma diferença estatisticamente significativa, essa diferença não tem 
importância prática. Uma vez que o engenheiro afirma que essa diferença não é relevante, 
poderemos adotar um valor menos rigoroso para α , por exemplo, α =0,01, cujo valor 
tabelado é 575,2=tabt , e assim não rejeitaríamos 0H . 
 
 
(3ª) Pode acontecer o contrário que em (2ª) acima. Por exemplo, suponha que se esteja 
realizando um teste de hipóteses sobre a receita (em milhões de reais) de um município: 
 
 
1030:0 =µH 1030:1 ≠µH , com 05,0=α . 
 
Dispondo-se de uma amostra de tamanho 15, os resultados foram: 1130=
−
X e 720=S . 
 
 
A estatística do teste resultou em 54,015
720
10301130
=




 −
=ct . Para 05,0=α , 
 
 
15,2=tabt , levando-nos à não rejeição de 0H . Note que a diferença entre a média amostral 
 
e o valor sob 0H é de 100 unidades monetárias, que é considerada elevada, mas o teste não 
 
foi sensível o bastante para detectar. Isto ocorreu devido ao elevado coeficiente de variação 
 
de 63,72%. Seria necessária uma amostra maior. 
 
 68
5 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA PELO COMPUTADOR 
 
 
Testes de hipóteses usando o computador 
 
 
 
 
 Quando realizamos testes de hipóteses partimos de um valor fixado para α , 
permitindo tomar uma decisão entre 0H e 1H . Quando utilizamos o computador, o 
programa não irá utilizar um α pré-fixado, ou seja, o programa deixa a critério do 
usuário fixar o nível de significância. O computador calcula o valor-p ( ou significância 
amostral). De posse do valor-p comparamos com α , utilizando a seguinte regra de 
decisão: se valor-p < α então rejeitamos 0H . Valores pequenos do valor-p 
evidenciam que a hipótese nula é falsa . O conceito de pequeno é incumbência do usuário, 
que decide qual α utilizar. Contudo, há três interpretações freqüentemente utilizadas em 
trabalhos de pesquisa: 
 
 
• Significativa, quando p for menor que 0,05 
 
• Muito significativa, quando p for menor que 0,01; 
 
• Altamente significativa, quando p for menor que 0,001; 
 
 
 
 69
 
 Há diversos softwares estatísticos: SPSS, SAS, MINITAB, R, BIOESTAT e 
outros. O software R é um programa mais avançado, mas é de domínio público e pode ser 
obtido gratuitamente no site R-Project. Outra opção é o Matlab, que possui módulos de 
Estatística, e também o Scilab, similar ao Matlab. O Scilab é gratuito. 
 
 Trabalharemos com o SPSS (Statistical Package for Social Sciences). O SPSS 
originalmente foi planejado para utilização em ciências sociais. Posteriormente foi 
amplamente difundido e foi sendo adotado por diversas áreas científicas, devido à expansão 
de recursos que lhe foi incorporada. A UFRGS possui licença para o SPSS, estando 
disponível nas suas Faculdades e Institutos. Atualmente o nome do programa SPSS 
passou a se chamar PASW. 
 
 A entrada de dados no SPSS é do tipo planilha (similar ao Excel) de dados, ou seja, 
as variáveis são colocadas em colunas e as unidades amostrais em linhas. 
 
 
 
 
 
 O SPSS realiza testes de hipóteses e intervalos de confiança para uma, duas ou mais 
amostras (de populações independentes e dependentes). A saída fornecida pelo SPSS 
consta de dois módulos: 
 
 
Estatísticas descritivas: contêm média amostral, desvio padrão, erro padrão da média, 
tamanho da amostra. 
 
 
 70
Inferência: contém estatística do teste, graus de liberdade (df), significância bilateral 
(valor-p) e intervalo de confiança. Caso o usuário deseje um teste unilateral, basta dividir 
o valor-p por 2 e comparar com α . 
 
 
Exemplo 1: teste a hipótese de que a receita de um município (em milhões) seja de 1229. 
 
 
Receita: 1230 582 576 2093 2621 1045 1439 717 1838 1359 
 
 Para executar o teste pelo SPSS você deve seguir os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
T-Test 
 
Estatísticas para uma amostra 
 
 n média Desvio 
padrão 
Erro padrão da 
média
RECEITA 10 1350,0000 675,8246 213,7145
 
 
Teste t para uma amostra 
Valor do 
teste = 
1229
 
t gl Signif. bilateral Diferença 
da média 
em 
relação ao 
valor 
Intervalo de 
95% de 
confiança 
para a 
diferença 
 Limite 
inferior 
Limite 
superior 
RECEITA ,566 9 ,585 121,0000 -362,4558 604,4558
 
 
Através do quadro “estatísticas para uma amostra” obtemos que 
 
 
 
%50100
1350
8246,675
=×=CV . 
 
 
 71
 O teste t resultou na estatística ct =,566, cujo valor-p (sig) é 0,585. Se fixarmos 
05,0=α não há evidências para rejeitar H0: 1229=µ . Note que embora a diferença entre a 
média amostral e o valor sob H0 foi de 121, o teste não foi sensível o bastante para 
detectar esta diferença, isto porque o coeficiente de variação é elevado. 
 
 
Exemplo 2: teste a hipótese de que o diâmetro médio de parafusos seja de 57 mm 
 
 
Diâmetro: 56,5 56,6 56,6 56,7 56,7 56,8 56,8 56,8 56,8 56,9 56,9 56,9 56,9 56,9 56,9 56,9 
56,9 56,9 56,9 57 57 57 57 57 57,1 57,1 57,1 57,1 57,2 57,2 57,3 
 
 
T-Test 
 
 
Estatísticas para uma amostra 
 
 n média Desvio 
padrão 
Erro padrão da 
média
DIAMET 31 56,9161 0,1828 3,28E-02
 
 
Teste t para uma amostra 
Valor do 
teste = 
57
 
 t gl Signif. bilateral Diferença da 
média em 
relação ao 
valor 
Intervalo de 
95% de 
confiança 
para a 
diferença 
 Limite 
inferior 
Limite 
superior 
DIAMET -2,555 30 ,0,016 -8,3871E-02 -,1741 6,392E-
03
 
 
 
%321,0100
9161,56
1828,0
=×=CV 
 
 
Se assumirmos 01,0=α então não rejeitaremos a hipótese nula, pois valor-p = 0,016. 
 
 
 
 
 
 72
Exemplo 3: comparar duas marcas de pneus quanto aos quilômetros percorridos. 
 
 
1ª Marca : 34,00 38,00 31,00 35,00 36,00 37,00 32,00 32,00 31,00 34,00 35,00 35,00 
36,00 34,00 
 
2ª Marca : 30,00 32,00 32,00 33,00 33,00 30,00 28,00 32,00 30,00 33,00 32,00 33,00 
29,00 32,00 31,00 
 
 
 Para executar o teste pelo SPSS você deve seguir os seguintes passos: 
digitar os dados na planilha em duas colunas 
 
 
Km Marca 
34 1 
38 1 
31 1 
35 1 
36 1 
37 1 
32 1 
32 1 
31 1 
34 1 
35 1 
35 1 
36 1 
34 1 
30 2 
32 2 
32 2 
33 2 
33 2 
30 2 
28 2 
32 2 
30 2 
33 2 
32 2 
33 2 
29 2 
32 2 
31 2 
 
 
 73
 O próximo passo é executar os comandos: 
 
 
 
 
 
 
T-Test 
 
 
Estatísticas dos grupos 
MARCA N Média Desvio 
padrão 
Erro padrão da 
média 
KM 1,00 14 34,2857 2,1636 ,5783
2,00 15 31,3333 1,5887 ,4102
 
 
 
Teste t para amostras independentes 
Teste t 
para 
igualdade 
médias
Sig. t glSig.bilateral Diferenças 
entre médias 
Erro padrão da 
diferença 
KM ,326 4,209 27 0,0002 2,9524 ,7014
 
 
 A estatística do teste é =ct 4,209, cujo valor-p=0. Se assumirmos 01,0=α então 
rejeitaremos a hipótese de igualdade de médias. 
 
 
Exemplo 4: um grupo de cobaias é submetido à uma determinada dieta e observa-se o peso 
inicial e final após um período de tempo. Queremos testar se houve aumento significativo 
no peso médio. 
 
 
Peso no início: 635,00 704,00 662,00 560,00 603,00 745,00 698,00 575,00 633,00 669,00 
 
 
Peso no final: 640,00 712,00 681,00 558,00 610,00 740,00 707,00 585,00 635,00 682,00 
 
 
Os dados devem ser colocados em duas colunas: 
 
 
 
 74
Peso inicial Peso final 
635 640 
704 712 
662 681 
560 558 
603 610 
745 740 
698 707 
575 585 
633 635 
669 682 
 
 
 Aqui, como as amostras são dependentes, o caminho é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
T-Test 
 
Estatísticas para as amostras pareadas 
Média n Desvio 
padrão 
Erro 
padrão da 
média 
PESO_1 648,4000 10 58,8524 18,6107
PESO_2 655,0000 10 59,2002 18,7208
 
 
 
Teste t para amostras pareadas 
Diferença 
dos pares
 t glSignif 
bilateral 
Média Desvio 
padrão 
Erro 
padrão 
da média 
 
PESO_1 -
PESO_2
-6,6000 7,0427 2,2271 -2,963 9 ,016
 
 
 A Estatística do teste é 963,2−=ct , cujo valor-p é 0,016. Para 018,0=α 
rejeitaremos a hipótese de igualdade entre os pesos inicial e final. 
 
 
 
 75
6 – PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 
 
 
 A origem dos modelos de planejamento de experimentos vem da experimentação 
agrícola, mas as aplicações atuais estendem-se às mais diversas áreas: Biologia, Economia, 
Engenharia, etc. 
 
 
Definição: fator (ou tratamento) é uma variável que está sendo atribuída (ou controlada) 
durante o experimento, pode ser qualitativa ou quantitativa. 
 
 
Exemplo 1: tipo de ração para animais 
 técnicas de vendas 
 
 
Definição: variável dependente (ou variável-resposta) mede o efeito do fator nas 
unidades experimentais 
 
Exemplo 2: ganho de pesos em animais. 
 montantes de vendas 
 
Definição: casualização é o processo de designar aleatoriamente os tratamentos às 
unidades experimentais. 
 
 
Exemplo 3: plantas são designadas aleatoriamente entre 3 tipos de adubos 
 
Unidades experimentais: { 121110987654321 ,,,,,,,,,,, uuuuuuuuuuuu