Apostila de Estatistica Inferencial

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Estatística Inferencial 
 
 
Organização: Professor Paulo R. A. Nacaratti 
Mestre em Engenharia de Sistemas e Computação (UFRJ) 
Especialista em Estatística (UFLA) 
Bacharel em Matemática (UFF) 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
 
 
 
Sumário 
5. Probabilidade. ............................................................................................................................. 1 
5.1. Definições. ............................................................................................................................ 1 
5.2. Abordagens da Probabilidade. ........................................................................................... 2 
5.2.1. Aproximação da Probabilidade por Frequência Relativa. ............................................. 2 
5.2.2. Abordagem Clássica da Probabilidade........................................................................... 2 
5.2.3. Probabilidades Subjetivas. ............................................................................................... 3 
5.3. Regra da Adição. ................................................................................................................. 4 
5.4. Eventos Complementares. .................................................................................................. 5 
5.5. Regra da Multiplicação. ....................................................................................................... 6 
5.6. Teorema de Bayes............................................................................................................... 8 
6. Distribuições de Probabilidade. ................................................................................................. 9 
6.1. Distribuição de probabilidades............................................................................................ 9 
6.2. Média, Variância e Desvio Padrão. .................................................................................... 9 
6.3. Distribuição de Probabilidade Binomial. ...........................................................................10 
6.3.1. Média, Variância e Desvio padrão. ................................................................................11 
6.4. Distribuição de Probabilidade de Poisson. .......................................................................11 
6.4.1. Parâmetros da Distribuição de Poisson.........................................................................12 
Exercícios .......................................................................................................................................13 
7. Distribuição de Probabilidade Normal ......................................................................................16 
7.1. Características da distribuição normal (Vieira, 2008). .....................................................18 
7.2. Distribuição Normal Padrão ...............................................................................................18 
7.3. Curva de Densidade ...........................................................................................................18 
7.4. Determinação de valores de probabilidades ....................................................................19 
7.5. Exercícios de fixação ..........................................................................................................19 
8. Teste de Hipótese ......................................................................................................................20 
8.1. Regra do Evento Raro para Inferência Estatística ...........................................................20 
8.2. Componentes de um Teste de Hipótese. .........................................................................21 
8.3. Teste bilateral e unilateral ..................................................................................................23 
8.4. Métodos de teste. ...............................................................................................................25 
8.4.1. Método Tradicional ou Clássico. ................................................................................25 
8.4.2. Método do Valor P. ......................................................................................................25 
8.4.3. Intervalo de Confiança. ...............................................................................................25 
8.5. Inferência a partir de uma amostra. ..................................................................................26 
 
8.5.1. Teste de uma afirmação sobre a média de uma população. ...................................26 
8.5.2. Teste de uma afirmação sobre uma Proporção Populacional p. .............................30 
Exercícios. ......................................................................................................................................32 
Tabelas ...........................................................................................................................................44 
9. Correlação Linear. .....................................................................................................................46 
9.1. Propriedades do Coeficiente de Correlação. ...................................................................49 
9.2. Tipos de Correlação. ..........................................................................................................50 
Exercícios. ......................................................................................................................................50 
10. Regressão Linear.....................................................................................................................54 
Exercícios .......................................................................................................................................57 
Referências .....................................................................................................................................62 
 
 Estatística Inferencial - 1 
 
5. Probabilidade. 
O estudo das probabilidades lida com experimentos que produzem 
resultados, como por exemplo, jogar um dado, jogar uma moeda ou responder a um 
teste de questões de múltipla escolha (Triola, 2008). 
5.1. Definições. 
Conforme Silva (1999) denomina-se experimento ao fenômeno que se tem 
interesse em observar, e cada realização dele é uma experiência. O experimento 
aleatório é um experimento que pode gerar diferentes resultados, mesmo repetido 
sob as mesmas condições em qualquer ocasião. 
Assim, um experimento aleatório é “qualquer processo de observação que 
pode ser repetido à vontade em condições análogas, com a condição de que o 
resultado não possa ser previsto antes de cada uma de suas repetições” (Silva, 
1999). 
Um espaço amostral, representado pela letra S, é o conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento. 
Evento simples é um elemento do espaço amostral de um experimento 
aleatório. 
Evento composto envolve vários resultados de um experimento aleatório. 
Eventos mutuamente excludentes são aqueles em que a ocorrência de um 
evento impede a ocorrência de outro. Não podem ocorrer ao mesmo tempo. 
O Complemento de um evento A, representado por A consiste nos 
resultados do espaço amostral que não fazem parte do evento A. 
Eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um deles não 
tem influência na ocorrência do outro 
Exemplo: Considere o seguinte experimento: lançar um dado uma vez e 
observe o número que aparece na face voltada para cima. O espaço amostral S será 
formado pelos seis números possíveis. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Seja A o evento “ocorrer um número par”, então A = {2, 4, 6}. Seja B o evento 
“ocorrer um número ímpar”, então B = {1, 3, 5}. Observe que A e B são eventos 
mutuamente excludentes. 
 Estatística Inferencial - 2 
 
Seja C o evento “ocorrer número primo”, então C = {2, 3, 5}. Ocomplemento 
de C pode ser definido como “não ocorrer número primo” e representa-se por 
 6,4,1C 
Também se diz que esses eventos são complementares. 
Os eventos A e B também são independentes, pois a ocorrência de um deles 
não influencia a ocorrência do outro. 
Os eventos compostos serão estudados mais adiante. 
O cálculo das probabilidades determina um valor numérico que indica a 
possibilidade de ocorrência de determinado acontecimento e assim facilitar a tomada 
de decisão relacionada a esse acontecimento. Na prática não interessa o estudo de 
todo o espaço amostral S, mas apenas de um elemento ou de um subconjunto de 
elementos de S (Silva, 1999). 
5.2. Abordagens da Probabilidade. 
Notação para probabilidades: se A é um evento de um espaço amostral S, 
então P(A) representa a probabilidade de ocorrência de A. 
Segundo Triola (2008) há diferentes maneiras de se definir a probabilidade de 
um evento e apresenta três abordagens: aproximação por frequência relativa, 
abordagem clássica e probabilidade subjetiva. 
5.2.1. Aproximação da Probabilidade por Frequência Relativa. 
Observe um experimento e conte o número de vezes que o evento A ocorre. 
A estimativa de P(A) é calculada por: 
reptido foi oexperiment o que vezes de número
 Aocorreu que vezes de número
)(AP 
Exemplo: Suponha que se deseja calcular a probabilidade de se jogar uma 
tachinha e ela cair de ponta para cima. Deve-se repetir o procedimento de jogar a 
tachinha muitas vezes e achar a razão definida acima. 
5.2.2. Abordagem Clássica da Probabilidade. 
Esta abordagem requer resultados igualmente prováveis. 
 Estatística Inferencial - 3 
 
Suponha um determinado experimento com n diferentes eventos simples e 
que cada um desses eventos tenha igual chance de ocorrer. Se o evento A pode 
ocorrer em s dessas n maneiras, então P(A) é calculada por: 
n
s
AP 
simples eventos diferentes de número
ocorrer pode A que em maneiras de número
)( 
Exemplo: Suponha que se deseja calcular a probabilidade de sair o número 5, 
P(5), ao se jogar um dado balanceado. 
5.2.3. Probabilidades Subjetivas. 
A estimativa da probabilidade de ocorrência de um evento A é calculada com 
base no conhecimento de circunstâncias relevantes. 
Exemplo: Os meteorologistas usam seus conhecimentos de especialistas em 
condições do tempo para calcular uma estimativa da probabilidade de chover 
amanhã. 
Lei dos Grandes Números. 
À medida que um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade dada 
pela frequência relativa de um evento tende a se aproximar da verdadeira 
probabilidade. 
A lei dos grandes números está relacionada com a abordagem de 
aproximação por frequência relativa. A aproximação por frequência relativa tende a 
ficar melhor com mais observações (um número maior de observações), isto é, uma 
estimativa de probabilidade com poucas tentativas pode ser muito menos precisa, do 
que uma estimativa com um número muito grande de tentativas. Resumindo: quanto 
maior o número de tentativas, a estimativa tende a ser mais precisa. 
Discuta em grupo uma pesquisa eleitoral. 
Uma dificuldade encontrada para a abordagem clássica é a complexidade dos 
eventos a serem estudados tornando a sua aplicação impraticável. 
 
 Estatística Inferencial - 4 
 
Propriedades: 
1. Para qualquer evento A, a probabilidade de A é um número entre 0 e 1, 
isto é, 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
2. A probabilidade de um evento impossível é igual a 0. 
3. A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é igual a 1. 
Meyer (2000) apresenta a seguinte definição: 
Seja S um espaço amostral associado a um experimento. A cada evento A 
associaremos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade 
de A, que satisfaça às seguintes propriedades: 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
2. P(S) = 1 
3. Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, 
)()()( BPAPBAP  . 
4. Se A1, A2, ..., An, ... forem dois a dois, eventos mutuamente 
excludentes, então, ...)(...)()()( 211 

 nii APAPAPAP  
5.3. Regra da Adição. 
Permite calcular a probabilidade de que ocorra o evento A ou o evento B (ou 
que ambos ocorram) – P(A ou B) – como um único resultado de um experimento. 
Para calcular essa probabilidade devemos contar o número total de maneiras que o 
evento A pode ocorrer e de maneiras que o evento B pode ocorrer, mas não se pode 
contar qualquer resultado mais de uma vez. 
A palavra chave para lembrar é “ou”. Considere o ou inclusivo para os 
cálculos, que indica a ocorrência de “ou um ou outro ou ambos”. Assim, podemos 
associar o “ou” com adição. 
Regra da Adição: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
P(A e B) representa a probabilidade de A e B ocorrerem ao mesmo tempo 
como resultado de uma prova do experimento. 
Observação: evite o uso cego de fórmulas, é sempre melhor entender a 
regra. 
 Estatística Inferencial - 5 
 
Exemplo (Silva, 1999): Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte 
composição: 
 Homens Mulheres 
Menores 5 3 
Adultos 5 2 
Um elemento é escolhido ao acaso (por sorteio). Pergunta-se: 
Qual a probabilidade de ser menor ou mulher? 
Usando a abordagem de aproximação da probabilidade por frequência 
relativa: 
P(menor) = 8/15, P(mulher) = 5/15 e P(menor e mulher) = 3/15 
Aplicando a regra da adição: 
P(menor ou mulher) = 8/15 + 5/15 – 3/15 = (8 + 5 – 3)/15 = 10/15 = 2/3. 
Existem outras maneiras de contar os indivíduos que são menores ou 
mulheres, mas tome cuidado para não contar duas vezes o mesmo. Veja uma delas: 
Na linha de menores contamos 8 indivíduos, na coluna de mulheres contamos 
5 indivíduos e somando encontramos 13, mas 3 indivíduos foram contados duas 
vezes (na linha menor e coluna mulher). A subtração desses 3 indivíduos corrige a 
contagem dupla, assim temos 13 – 3 = 10 indivíduos e a probabilidade procurada é 
P(menor ou mulher) = 10/15 = 2/3. 
Quando dois eventos são mutuamente excludentes temos que 
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
5.4. Eventos Complementares. 
Considere o evento A e o seu complemento A . Usando a regra da adição 
1)()()(  APAPAouAP 
Então a regra para eventos completares é 
)(1)(
)(1)(
1)()(
APAP
APAP
APAP



 
 Estatística Inferencial - 6 
 
Considere o exemplo da seção anterior para calcular a probabilidade de 
sortear um homem entre os 15 indivíduos. Então o evento A = {sortear um homem} 
P(sortear homem) = P(A) = 10/15 = 2/3 
Agora vamos calcular a probabilidade de sortear uma mulher. 
P(sortear mulher) = 5/15 = 1/3 
Podemos entender o evento sortear uma mulher como o complemento de 
sortear um homem, ou seja, de sortear um indivíduo que não é homem. Assim, um 
evento é o complemento do outro e A = {não sortear homem} = {sortear mulher} 
P( A ) = 1 – P(A) = 1 – P(A) = 1 – 2/3 = 1/3 = P(sortear mulher) 
5.5. Regra da Multiplicação. 
Envolve a multiplicação da probabilidade de um evento A pela probabilidade 
de um evento B, onde a probabilidade do evento B é ajustada por causa do 
resultado do evento A. 
P(A e B) =P(evento A ocorrer na primeira prova e o evento B ocorrer na 
segunda prova). 
Nessa seção associaremos a palavra “e” com a multiplicação. Então a regra 
da multiplicação pode ser enunciada da seguinte maneira: 
“Ao calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A em um prova e do 
evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela 
probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B 
leva em conta a ocorrência prévia do evento A” (Triola, 2008). 
Para melhor entender a regra da multiplicação, vamos estudar como se 
calcula probabilidade condicional. 
Notação para probabilidade condicional: P(B|A). P(B|A) representa a 
probabilidade de o evento B ocorrer depois que se admite que o evento A ocorreu. 
Podemos ler P(B|A) como a probabilidade de ocorrência de B depois que o evento A 
ocorreu ou probabilidade de ocorrência de B dado A. 
Sabemos que dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um 
delesnão tem influência na ocorrência do outro. Assim se A e B não são 
 Estatística Inferencial - 7 
 
independentes eles são dependentes e a ocorrência de um evento afeta a 
probabilidade de ocorrência do outro. 
Regra da Multiplicação: P(A e B) = P(A)·P(B|A) 
 
A regra da multiplicação também pode ser apresentada da seguinte maneira: 
P(A e B) = P(A)·P(B|A), se A e B não são eventos independentes. 
P(A e B) = P(A)·P(B), se A e B são eventos independentes 
 
Em consequência da regra da multiplicação, podemos calculara a 
probabilidade condicional pela fórmula: P(B|A) = P(A e B)/P(A). 
)(
)(
)|(
AP
BeAP
ABP
 
 
Exemplo: Suponha as seguintes questões de um teste: 
Questão 1. Classifique a afirmativa como verdadeira ou falsa. 
Belo Horizonte é a capital do estado de Minas Gerais. 
Questão 2. A capital do Brasil é 
a) Brasília 
b) Buenos Aires 
c) Rio de Janeiro 
d) Salvador 
e) São Paulo 
Qual a probabilidade de acertar as duas questões “chutando” as respostas? 
Podemos considerar os “chutes” como eventos independentes, assim: 
Probabilidade de acertar a questão 1 é ½. 
Probabilidade de acertar a questão 2 é 1/5. 
Aplicando a regra da multiplicação: 
P(acertar as duas questões) = 1,0
10
1
5
1
2
1
 
 Estatística Inferencial - 8 
 
Exemplo: Suponha que duas cartas são retiradas de um baralho bem 
embaralhado. Determine a probabilidade de que a primeira carta retirada seja um rei 
e a segunda seja uma dama. Considere que a primeira carta não foi reposta antes 
da retirada da segunda carta. 
Nesse exemplo as retiradas das cartas não são consideradas eventos 
independentes, pois ao se retirar um rei o baralho fica com uma carta a menos e isto 
influencia na probabilidade de se retirar uma dama logo em seguida. Assim: 
Probabilidade de que a primeira carta seja um rei: P(rei) = 4/52. 
Para a segunda retirada precisamos supor que a primeira carta retirada foi um 
rei e como a carta não foi reposta, o baralho ficou com uma carta a menos. Logo: 
Probabilidade de que a segunda carta seja uma dama dado que a primeira 
carta retirada foi um rei: P(dama|rei) = 4/51. 
P(rei e dama) = 006,0
51
4
52
4
 
5.6. Teorema de Bayes 
Teorema desenvolvido para determinação de probabilidades de eventos pela 
incorporação de informação sobre eventos subsequentes. 
Teorema de Bayes. 
A probabilidade de um evento A, dado que o evento B ocorreu depois, é 
)]|()([)]|()([
)|()(
)|(
ABPAPABPAP
ABPAP
BAP


 
 
 Exemplo (Martins, 2002): Suponha que 60% dos chips de computador de 
uma companhia sejam produzidos pela fábrica A e 40% por outra fábrica ( A ).Para 
um chip escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ser o fabricante A é 0,60. 
Suponha que um chip apresente defeito, e que as taxas de defeito nas duas fábricas 
sejam de 35% para A e 25% para A . Qual a probabilidade de que o chip defeituoso 
seja da fábrica A? 
Evento A: fabricado pela fábrica A. 
Evento B: apresenta defeito. 
 Estatística Inferencial - 9 
 
677,0
31,0
21,0
1,021,0
21,0
25,040,035,060,0
35,060,0
)|( 




BAP 
6. Distribuições de Probabilidade. 
Definições. 
Variável Aleatória: É uma variável que tem um valor numérico único 
(determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento. 
Exemplos de variáveis aleatórias: 
x = número de alunos que não compareceram à aula de estatística hoje. 
x = altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 
A palavra aleatória indica que em geral só se conhece o valor depois da 
realização do experimento. 
Variável aleatória discreta: admite um número finito de valores ou tem uma 
quantidade enumerável de valores. Seus valores podem ser associados à processos 
de contagens. 
Variável aleatória contínua: admite um número infinito de valores, e esses 
valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua, de tal forma 
que não haja lacunas ou interrupções. 
6.1. Distribuição de probabilidades. 
Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de 
uma variável aleatória. 
Condições para uma Distribuição de Probabilidades. 
1.  1)(xP , para todos os valores possíveis de x. 
2. 1)(0  xP , para todo x. 
6.2. Média, Variância e Desvio Padrão. 
Média de uma distribuição de probabilidades:   )(xPx . 
Variância para uma distribuição de probabilidades:     )(22 xPx  . 
Variância para uma distribuição de probabilidades:   222 )(    xPx . 
 Estatística Inferencial - 10 
 
Desvio padrão para uma distribuição de probabilidades: 
  22 )(    xPx . 
Valor Esperado: O valore esperado de uma variável aleatória discreta é 
denotado por E e representa o valor médio dos resultados. 
Valor Esperado =    )(xPxE 
6.3. Distribuição de Probabilidade Binomial. 
Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que 
satisfaz os seguintes requisitos: 
1. O experimento tem um número fixo de tentativas. 
2. As tentativas têm que ser independentes. (O resultado de qualquer 
tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas). 
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas 
categorias (em geral chamadas de sucesso e fracasso). 
4. A probabilidade de um sucesso permanece constante em todas as 
tentativas. 
É uma distribuição de probabilidade discreta. 
Notação. 
S e F (sucesso e fracasso) representam duas categorias possíveis de todos 
os resultados. 
P(S) = p = probabilidade de sucesso em uma das n tentativas. 
P(F) = q = 1 – p = probabilidade de fracasso em uma das n tentativas. 
n representa o número fixo de tentativas. 
x representa o número específico de sucessos em n tentativas de modo que x 
pode ser qualquer número entre 0 e n inclusive. 
P(x) representa a probabilidade de se obterem exatamente x sucessos em n 
tentativas. 
xnx qp
xxn
n
xP 


!)!(
!
)( para x = 0, 1, 2, ..., n. 
 Estatística Inferencial - 11 
 
Exemplo: A probabilidade de um menino ser daltônico é 8%. Qual é a 
probabilidade de serem daltônicos todos os 4 meninos que apresentaram, em 
determinado dia, para um exame oftalmológico? 
Temos que p = 0,08, q = 1 – 0,08 = 0,92, n = 4 e x = 4. 
%004,000004,092,008,0
!4)!44(
!4
)4( 04 

xP 
Distribuição de probabilidades. 
x P(x) P(x) ac 
0 0,71639 0,71639 
1 0,24918 0,96557 
2 0,03250 0,99807 
3 0,00188 0,99996 
4 0,00004 1,00000 
6.3.1. Média, Variância e Desvio padrão. 
Média: np 
Variância: npq2 
Desvio padrão: npq 
No exemplo anterior temos que: 
Média - 32,008,04  
Variância - 2944,092,008,042  
Desvio padrão - 5426,02944,0  
6.4. Distribuição de Probabilidade de Poisson. 
É uma distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrências de 
eventos ao longo de intervalos especificados. A variável aleatória x é o número de 
ocorrências do evento no intervalo. Pode ser um intervalo de tempo, distância, área, 
volume ou unidades similares. A probabilidade de ocorrência do evento x vezes em 
um intervalo é dada por 
!
)(
x
e
xP
x  
 , onde e  2,71828. 
 
 Estatística Inferencial - 12 
 
Requisitos para a Distribuição de Poisson: 
1. A variável aleatória x é o número de ocorrências de um evento ao 
longo de algum intervalo. 
2. As ocorrências devem ser aleatórias. 
3. As ocorrências devem ser independentes umas das outras. 
4. As ocorrências devem ser uniformemente distribuídas sobre o intervalo 
em uso. 
6.4.1. Parâmetros da Distribuição de Poisson. 
A média é . 
A variância é . 
O desvio padrão é   
Exemplo: Para analisar os impactos das bombas V-1 na Segunda Guerra 
Mundial, o sul de Londres foi subdividido em 576 regiões, cada uma com uma área 
de 0,25 km2. Um total de 535 bombas caiu na área combinada das 576 regiões. 
a) Se uma região é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de 
ela ter sido bombardeada exatamente duas vezes. 
b) Com base na probabilidade encontrada na parte (a), quantas das576 
regiões espera-se que sejam atingidas exatamente duas vezes? 
Aplica-se a distribuição de Poisson porque estamos estudando as ocorrências 
de um evento (impacto de bombas) sobre algum intervalo (uma região com área de 
0,25 km2). O número médio de impactos por região é 
929,0
576
535

regiões de número
bombas de impactos de número
 
170,0
!2
71828,2929,0
)2(
929,02




xP 
Como P(x=2) = 0,170, espera-se que, entre as 576 regiões, o número das que 
são atingidas exatamente duas vezes seja 576  0,170 = 97,9. 
 Estatística Inferencial - 13 
 
Exercícios 
1) (F.C. Chagas/BACEN/2006) A probabilidade de um associado de um clube 
pagar sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem 
atraso é: 
a) 1 – (0,95)5 
b) (0,95)5 
c) 4,75  (0,95)5 
d) 5  (0,95)5 
e) 1 – (0,05)5 
 
2) (FGV/ICMS/RJ/2007) Um candidato se submete a uma prova contendo três 
questões de múltipla escolha precisando acertar pelo menos duas para ser 
aprovado. Cada questão apresenta cinco alternativas, mas apenas uma é correta. 
Se o candidato não se preparou e decide responder cada questão ao acaso, a 
probabilidade de ser aprovado no concurso é igual a: 
a) 0,104 
b) 0,040 
c) 0,096 
d) 0,008 
e) 0,200 
3) (ESAF/Analista Orçamento/MARE/1999) São lançadas 4 moedas distintas 
e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? 
a) 25% 
b) 37,5% 
c) 42% 
d) 44,5% 
e) 50% 
 
 Estatística Inferencial - 14 
 
4) (ESAF/AFTN/1998) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro 
importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas ao acaso. A probabilidade 
de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: 
a) (0,1)7 (0,9)3 
b) (0,1)3 (0,9)7 
c) 120 (0,1)7 (0,9)3 
d) 120 (0,1) (0,9)7 
e) 120 (0,1)7 (0,9) 
 
5) (ESAF/BACEN/2001) Um fabricante de discos rígidos sabe que 2% dos 
discos produzidos falham durante o período de garantia. Assinale a opção que dá a 
probabilidade de que pelo menos um disco falhe numa amostra aleatória de 10 
discos tomados da linha de produção. 
a) (0,98)10 – (0,02)10 
b) (0,02)10 
c) 1 – (0,98)10 
d) 1 – (0,02)10 
e) (0,98)10 
 
6) (F.C. Chagas/MPU/2007) O número de pacientes atendidos por um clínico 
geral segue uma distribuição de Poisson com taxa média de 4 pacientes por hora. A 
probabilidade de que pelo menos um paciente consulte o clínico geral em um 
período de 15 minutos é: 
a) 1 – e-1 
b) 1 – e4 
c) e-4 
d) e4 
e) e-1 
 
 Estatística Inferencial - 15 
 
7) (F.C. Chagas/SEFAZ/RJ/2009) O número de pessoas que chega ao guichê 
de uma repartição pública para autuação de processos apresente uma distribuição 
de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que nos 
próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é 
a) (e4 – 1)e-4 
b) 4e-4 
c) (e4 – 4)e-4 
d) 2(e2 – 1)e-2 
e) (e2 – 2)e-2 
 
8) (ESAF/RFB/AUDITOR/2009) O número de petroleiros que chegam a uma 
refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros 
por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três 
petroleiros em dois dias é igual a: 
a) (32/73)e-4 
b) (3/71)e4 
c) (71/3)e-4 
d) (71/3)e-2 
e) (32/3)e-2 
 
9) (FCC/Analista/TRT 8ª. região/2010) Um setor de um órgão público recebe 
em média 96 mensagens de faz em 8 horas de funcionamento. Suponha que a 
variável aleatória X = número de mensagens recebidas por esse setor, por faz, tenha 
distribuição de Poisson. A probabilidade de que, em um período de 10 minutos, o 
setor receba pelo menos uma chamada é 
a) e-2 
b) 1 – e-2 
c) 1 – e-4 
d) e-4 
e) 1 -2e-4 
 
 Estatística Inferencial - 16 
 
10) (ESAF/RFB/AUDITOR/2009) Em um experimento binomial com três 
provas, a probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade 
de ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso 
são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 80% e 20% 
b) 30% e 70% 
c) 60% e 40% 
d) 20% e 80% 
e) 25% e 75% 
 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E A B C C A A C B D 
 
7. Distribuição de Probabilidade Normal 
 
 
140120100806040
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
X
D
e
n
si
d
a
d
e
Distribuição Normal
Média=89; DesvPad=15
 Estatística Inferencial - 17 
 
 
 
Definição (Triola, 2008): Se uma variável aleatória contínua tem uma 
distribuição com um gráfico simétrico e em forma de sino, conforme a figura abaixo 
 
 e que pode ser descrito pela equação 



2
2
2
1





 

x
e
y 
Dizemos que ela tem uma distribuição normal. 
Apesar da complexidade da fórmula, ela não será usada. 
140120100806040
0,030
0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
X
D
e
n
si
d
a
d
e
Distribuição Normal
Média=89; DesvPad=15
 Estatística Inferencial - 18 
 
7.1. Características da distribuição normal (Vieira, 2008). 
a) A média, a mediana e a moda coincidem e estão no centro da 
distribuição; 
b) O gráfico da distribuição normal é uma curva em forma de sino e 
simétrica em torno da média; e 
c) Como a curva é simétrica em torno da média, 50% dos valores são 
iguais ou maiores do que a média e 50% dos valores são iguais ou 
menores do que a média. 
Observação: Resolver o exercício 5 para estudar outras 
características/propriedades da distribuição normal. 
7.2. Distribuição Normal Padrão 
A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal que: 
a) Tem a curva em forma de sino; 
b) Tem média igual a 0; e 
c) Tem desvio padrão igual a 1. 
A distribuição normal padrão também é chamada de distribuição normal 
reduzida. 
7.3. Curva de Densidade 
Uma curva de densidade é um gráfico de uma distribuição de probabilidade 
contínua. Ela deve satisfazer as seguintes propriedades: 
1. A área total sob a curva tem que ser igual a 1. 
2. Cada ponto da curva tem que ter uma altura vertical maior ou igual a 0. 
Como a área total sob a curva é igual 1, existe uma correspondência entre a 
área e a probabilidade. Então o calcular a área sob a curva é equivalente a calcular 
probabilidade. 
Importante: A área total da curva de densidade da distribuição normal padrão 
é igual a 1. 
 
 Estatística Inferencial - 19 
 
7.4. Determinação de valores de probabilidades 
Este cálculo se faz com os valores de dados de Escores z. 
A transformação de uma variável aleatória x que tem distribuição normal com 
média  e desvio padrão , em uma variável com distribuição normal padronizada de 
média 0 e desvio padrão 1 é feita pela fórmula 



x
z 
Usar a tabela 1 para fazer os cálculos. 
7.5. Exercícios de fixação 
1) Calcule as seguintes probabilidades de uma distribuição normal padrão. 
a) P(0 < z < 1,96) 
b) P(z > 1,96) 
c) P(1,96 < z < 1,96) 
d) P(z <  1,96) 
e) P(1,64 < z < 0) 
f) P(z < 1,64) 
g) P(z < 1,65) 
h) P(z > 1,64) 
i) P(z > 1,65) 
j) P(1,64 < z < 1,64) 
k) P(1,65 < z < 1,65) 
l) P(2,57 < z < 2,57) 
m) P(2,58 < z < 2,58) 
n) P(z > 2,57) 
o) P(z > 2,58) 
 
2) Suponha os escores z distribuídos normalmente com média 0 e desvio 
padrão 1. 
a) Se P(0 < z < a) = 0,3413, determine a. 
b) Se P(b < z < b) = 0,3400, determine b. 
c) Se P(z > c) = 0,0113, determine c. 
d) Se P(z < d) = 0,3632, determine d. 
 
3) (Vieira, 2008) Em homens, a quantidade de hemoglobina por 100ml de 
sangue é uma variável aleatória com distribuição normal de média  = 16g e desvio 
padrão  = 1g. Calcule a probabilidade de um homem apresentar 
a) de 16 a 18 g de hemoglobina por 100ml de sangue. 
b) mais de 18 g de hemoglobina por 100ml de sangue. 
 Estatística Inferencial - 20 
 
4) (Vieira, 2008) Suponha que a pressão sanguínea sistólica de indivíduos 
com idade entre 15 e 25 anos é uma variável aleatória com distribuição 
aproximadamente normal de média  = 120 mmHg e desvio padrão  = 8 mmHg. 
Calcule a probabilidadede um indivíduo dessa faixa etária apresentar pressão: 
a) entre 110 e 130 mmHg. 
b) maior que 130 mmHg 
 
5) Propriedades da distribuição normal. Suponha uma variável aleatória x com 
distribuição normal de média  = 100 e desvio padrão  = 10. Calcule a 
probabilidade de um valor de x pertencer ao intervalo 
a) ( - ,  + ). 
b) ( - 2,  + 2). 
c) ( - 3,  + 3). 
 
6) O que se pode concluir a partir da análise das respostas do exercício 
anterior? 
8. Teste de Hipótese 
Definição (Triola, 2008) 
Em estatística, uma hipótese é uma afirmativa sobre uma propriedade da 
população. 
Um teste de hipótese (ou teste de significância) é um procedimento padrão 
para se testar uma afirmativa sobre uma propriedade da população. 
8.1. Regra do Evento Raro para Inferência Estatística 
Se, sob uma dada hipótese, a probabilidade de um evento particular 
observado for muito pequena, concluímos que a hipótese provavelmente não é 
correta. 
Seguindo essa regra, é possível testar uma afirmativa analisando dados 
amostrais. O teste é uma tentativa de distinguir resultados que podem facilmente 
ocorrer por acaso dos resultados que são altamente improváveis de ocorrer por 
 Estatística Inferencial - 21 
 
acaso. A ocorrência de um resultado considerado altamente improvável pode ser 
explicada pela ocorrência de um evento raro, ou que a hipótese não é verdadeira. 
Para entender melhor a Regra do Evento Raro vamos analisar o seguinte 
exemplo (Triola, 2008): 
As indústrias ProCareLtda. forneceram um produto chamado “Gender Choice” 
(“Escolha de Sexo”) que, de acordo com a propaganda, aumentaria a chance de um 
casal ter uma menina em até 80%. Suponha a realização de uma pesquisa com 100 
casais que desejavam ter uma menina e que usaram o Gender Choice. Supondo 
que o produto não tenha efeito, analise os seguintes resultados do experimento: 
a) dos 100 bebês que nasceram, 52 eram meninas. 
b) dos 100 bebês que nasceram, 97 eram meninas. 
Para uma análise sem qualquer método estatístico, é de se esperar o 
nascimento de cerca de 50 meninas (metade do total). A letra (a) apresenta um 
resultado muito perto do esperado e não permite concluir que o produto seja eficaz e 
pode facilmente ocorrer por acaso. Assim, não há evidência suficiente para concluir 
pela eficácia do produto. 
O resultado da letra (b), 97 meninas em 100 nascimentos, é um resultado 
difícil de ocorrer por acaso. Isso pode ser explicado pela ocorrência por acaso de um 
evento raro ou que o produto é eficaz. 
Observe que só é possível concluir que o produto é eficaz em consequência 
de um resultado muito diferente do que em geral se espera. 
8.2. Componentes de um Teste de Hipótese. 
A Hipótese de nulidade, ou hipótese nula, (representada por H0) é uma 
afirmativa de que o valor de um parâmetro populacional (proporção, media ou desvio 
padrão) é igual a algum valor específico. Exemplos: 
H0: p = 0,5 
H0:  = 37ºC 
H0:  = 15 cm 
Um teste de hipótese testa a hipótese de nulidade. A suposição inicial é de 
que H0 seja verdadeira e o teste da hipótese permite concluir que não é possível 
 Estatística Inferencial - 22 
 
rejeitar essa suposição (não rejeitar H0) ou que é possível rejeitar essa suposição 
(rejeitar H0). 
Dica: Para facilitar o entendimento, vamos considerar as associações do 
quadro seguinte. 
Conclusão do teste Indica que a afirmativa é 
não rejeitar H0 verdadeira 
rejeitar H0 falsa 
 
A hipótese alternativa (representada por H1 ou Ha ou HA) é uma afirmativa 
de que o parâmetro tem um valor diferente da hipótese de nulidade. Exemplos: 
H1:  < 37ºC 
H1:  > 37ºC 
H1:  ≠ 37ºC 
A hipótese alternativa é considerada válida quando se rejeita a hipótese de 
nulidade. 
A estatística de teste é uma estatística amostral, ou um valor calculado 
baseando-se em dados amostrais. Esse valor é usado para tomar uma decisão 
sobre a rejeição de H0. 
A região crítica (ou região de rejeição) é o conjunto de valores da estatística 
de teste que indicam que H0 deve ser rejeitada. 
Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica (ou região de 
rejeição) dos valores de estatística de teste que não levam à rejeição de H0. 
Ao testarmos H0 chegamos a uma conclusão: rejeitar ou não rejeitar a 
hipótese. Essa conclusão pode estar certa ou errada (mesmo fazendo tudo 
corretamente). Há dois tipos de erro que se pode cometer. 
Comete-se o Erro tipo I quando se rejeita uma H0 que é verdadeira. A 
probabilidade de se cometer o erro tipo I é representada por  (alfa) e recebe o 
nome de nível de significância. O Erro tipo II acontece ao deixar de rejeitar H0 
 Estatística Inferencial - 23 
 
quando ela é falsa. A probabilidade de se cometer o erro tipo II é representada por  
(beta). 
 Estado verdadeiro da natureza 
 H0 é verdadeira H0 é falsa 
Decisão (baseada 
no teste) 
Rejeitar H0 Erro tipo I () Decisão correta 
Não Rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II () 
 
 (alfa) = probabilidade de um erro tipo I (rejeitar uma H0 verdadeira). 
 (beta) = probabilidade de um erro tipo II (não rejeitar uma H0 falsa). 
8.3. Teste bilateral e unilateral 
Os valores críticos delimitam regiões extremas em uma distribuição. Essas 
regiões são chamadas de caudas. 
Em um teste bilateral a região crítica encontra-se situada nas duas regiões 
extremas (caudas). Nesses testes, o nível de significância  é dividido igualmente 
entre as duas caudas que formam a região crítica. 
 
 Estatística Inferencial - 24 
 
Os testes unilaterais podem ser esquerdos ou direitos. 
Teste Região crítica 
Unilateral esquerdo Região extrema esquerda sob a curva. 
Unilateral direito Região extrema direita sob a curva. 
O quadro a seguir resume os testes bilaterais e unilaterais. 
Região Crítica Teste 
 
Formada pelas duas regiões 
extremas. 
Bilateral. 
Sinal de H1: ≠ 
O nível de significância  é dividido igualmente 
entre as duas caudas que formam a região 
crítica. 
 
Região extrema esquerda. 
Unilateral esquerdo. 
Sinal de H1: < 
O nível de significância  encontra-se 
inteiramente na extremidade esquerda sob a 
curva. 
 
Região extrema direita. 
Unilateral direito. 
Sinal de H1: > 
O nível de significância  encontra-se 
inteiramente na extremidade direita sob a curva. 
Assim podemos concluir que em um teste unilateral a região crítica não fica 
dividida em duas caudas, pois a região crítica está localizada em apenas um 
extremo da curva. O mesmo acontece com o nível de significância . 
 Estatística Inferencial - 25 
 
8.4. Métodos de teste. 
O procedimento padrão de um teste de hipótese requer que se teste sempre a 
hipótese de nulidade e as decisões possíveis são: 
1. Rejeitar H0. 
2. Deixar de rejeitar H0. 
A decisão é tomada usando-se o método tradicional (ou método clássico) de 
teste de hipótese, o método do valor p ou por intervalo de confiança. 
8.4.1. Método Tradicional ou Clássico. 
Nesse método calcula-se uma estatística amostral importante (como a média 
aritmética) que deve ser convertida em uma estatística de teste, que é comparada 
com um valor crítico. 
Critério de decisão: 
1. Rejeitar H0 se a estatística de teste for um valor da região crítica. 
2. Deixar de rejeitar H0 se a estatística de teste não for um valor da região 
crítica. 
8.4.2. Método do Valor P. 
O valor P (ou valor p ou valor de probabilidade) é a probabilidade de obter 
um valor da estatística amostral de teste no mínimo tão extremo como o que resulta 
dos dados amostrais, supondo que a hipótese de nulidade é verdadeira. O valo P é 
calculado a partir de dados amostrais. 
Critério de decisão: 
1. Rejeitar H0 se o valor P é no máximo igual ao nível de significância . 
2. Não Rejeitar H0 se o valor P é maior do que o nível de significância . 
Observação: 
Valor P Interpretação 
Menor que 0,01 Elevada significância estatística. 
0,01 a 0,05 Estatisticamente significante. 
8.4.3. Intervalo de Confiança. 
Definição: Um intervalode confiança (ou estimativa intervalar) de um 
parâmetro populacional é um intervalo de valores que tem probabilidade de conter o 
verdadeiro valor da população (Triola, 2008). 
 Estatística Inferencial - 26 
 
Definição: O grau de confiança é a probabilidade 1 –  (em geral expressa 
como valor percentual) de que o intervalo de confiança contenha o verdadeiro valor 
do parâmetro populacional. Também é chamado de nível de confiança ou 
coeficiente de confiança. 
Construção de um intervalo de confiança para a Média Populacional  
(considerando amostras grandes – n > 30). 
ExEx   
Onde: 
n
zE

  2/ é a margem de erro da estimativa. 
z/2 é o valor crítico (distribuição normal). 
 é o desvio padrão populacional (se esse valor for desconhecido, é só usar o 
desvio padrão amostral s). 
n é o número de elementos da amostra ou tamanho da amostra. 
Critério de decisão: 
Devemos rejeitar uma afirmativa de que o parâmetro populacional seja um 
valor que não pertença ao intervalo de confiança. 
8.5. Inferência a partir de uma amostra. 
8.5.1. Teste de uma afirmação sobre a média de uma população. 
1º. Caso: Amostras grandes (n > 30). 
Suponha um experimento realizado para verificar se a temperatura média do 
corpo de adultos sadios é de 37ºC. O experimento foi realizado com 106 pessoas (n 
= 106), a média amostral foi 36,78ºC, o desvio padrão amostral foi de 0,62 e um 
nível de significância de 0,05 ( = 0,05 = 5%). 
Hipóteses: 
H0:  = 37º 
H1:  ≠ 37º 
O teste é um teste bilateral. 
 Estatística Inferencial - 27 
 
Método tradicional ou clássico. 
Estatística de teste para afirmações sobre  quando n > 30. 
n
x
z


 
 
Cálculo da estatística de teste: 
65,3
106
62,0
3778,36





n
x
z


 
Tabela de valores críticos (amostras grandes e distribuição normal) 
Nível de significância Grau de confiança Valores críticos 
0,10 90% 1,645 
0,05 95% 1,96 
0,01 99% 2,575 
 
Como  = 0,05 e o teste é bilateral, os valores críticos são:  1,96 e 1,96. 
Como – 3,65 < – 1,96, a estatística de teste z é um valor da região crítica e 
rejeitamos H0. Isso significa dizer que concluímos que há evidência suficiente para 
rejeitar a afirmação que a temperatura média do corpo de um adulto sadio é de 
37ºC. 
Método do Valor P. 
O Valor P pode ser estimado pela tabela de Distribuição Normal Reduzida. 
Pela tabela p < 0,0005, como p < 0,05 e pelo critério de decisão, podemos rejeitar 
H0. 
Intervalo de Confiança. 
Para esse experimento devemos construir um intervalo com um grau de 
confiança de 0,95 (95%), pois foi informado que  = 0,05. Logo o valor crítico será de 
1,96. 
 Estatística Inferencial - 28 
 
Erro da estimativa: 
12,0
106
62,0
96,12/ 
n
zE

 
Intervalo: 
36,78 – 0,12 <  < 36,78 + 0,12 
36,66 <  < 36,9 
(36,66; 36,9) 
Como o valor de 37ºC não pertence ao intervalo construído e, pelo critério de 
decisão, rejeita-se H0. 
2º. Caso: Amostras pequenas (n ≤ 30). 
Se as amostras forem pequenas, usamos a distribuição t de Student. 
Suponha um experimento realizado para verificar se a temperatura média do 
corpo de adultos sadios é de 37ºC. O experimento foi realizado com 20 pessoas (n = 
20), a média amostral foi 36,78ºC, o desvio padrão amostral foi de 0,62 e um nível 
de significância de 0,05 ( = 0,05 = 5%). 
Hipóteses: 
H0:  = 37º 
H1:  ≠ 37º 
O teste é um teste bilateral. 
Método tradicional ou clássico. 
Estatística de teste para afirmações sobre  quando n ≤ 30 e  é desconhecido. 
n
s
x
t

 
Valores P e valores críticos: Consultar a Tabela 2 e use gl = n – 1 como número de 
graus de liberdade. 
 
 Estatística Inferencial - 29 
 
Definição: O número de graus de liberdade (gl) para um conjunto de dados 
amostrais é o número de valores amostrais que podem variar depois que certas 
restrições tiverem sido impostas aos dados amostrais. 
Cálculo da estatística de teste: 
59,1
20
62,0
3778,36





n
s
x
t

 
Valor crítico: consultar tabela 2 
Teste bilateral, com  = 0,05 e com gl = 20 – 1 = 19. 
Valor crítico = 2,09 (na realidade – 2,09 e 2,09). 
Conforme o critério de decisão, devemos deixar de rejeitar H0, pois a 
estatística de teste não é um valor da região de rejeição. 
Intervalo de Confiança. 
Construção de um intervalo de confiança para a Média Populacional  
ExEx   
Onde: 
n
s
tE  2/ é a margem de erro da estimativa. 
t/2 é o valor crítico com gl = n – 1. 
s é o desvio padrão amostral. 
n é o número de elementos da amostra ou tamanho da amostra. 
Erro da estimativa: 
29,0
20
62,0
09,22/ 
n
s
tE  
Intervalo: 
36,78 – 0,29 <  < 36,78 + 0,29 
36,49 <  < 37,07 
(36,49; 37,07) 
 Estatística Inferencial - 30 
 
Como o valor de 37ºC pertence ao intervalo construído e, pelo critério de 
decisão, não se rejeita H0 (deixar de rejeitar H0). 
8.5.2. Teste de uma afirmação sobre uma Proporção Populacional p. 
Os métodos estudados nessa seção podem ser aplicados às proporções 
populacionais, para testes de afirmativas sobre probabilidades ou sobre equivalentes 
decimais de porcentagens. Também será usada a distribuição normal como 
aproximação da distribuição binomial 
Método tradicional ou clássico. 
Estatística de teste para o Teste de uma Afirmativa sobre uma Proporção. 
n
pq
pp
z


ˆ
 
Valores P e valores críticos: Use a distribuição normal padrão (Tabela 1). 
 
Onde: 
n é o tamanho da amostra ou número de tentativas. 
n
x
p ˆ é a proporção amostral. 
p é proporção populacional (usada em H0). 
q = 1 – p 
Exemplo (Triola, 2008): Encontrando emprego por meio de uma Rede de 
Amigos. Uma pesquisa indicou que entre 703 trabalhadores selecionados 
aleatoriamente, 61% obtiveram seus empregos por meio de rede de amigos. Use os 
dados amostrais com nível de significância de 0,05 para testar a afirmativa de que a 
maioria dos trabalhadores (mais de 50%) obtém seus empregos através de rede de 
amigos. 
Hipóteses: 
H0: p = 0,5. 
H1: p > 0,5. 
 Estatística Inferencial - 31 
 
Teste unilateral à direita. 
Cálculo da estatística de teste: 
83,5
703
)5,0)(5,0(
5,061,0ˆ





n
pq
pp
z 
Valor crítico = 1,645. 
Como a estatística de teste é um valor pertencente a região crítica (ou de 
rejeição), rejeitamos H0. 
E o que isto quer dizer? 
Que há evidência amostral suficiente para apoiar a afirmativa de que a 
maioria dos trabalhadores obtém seus empregos através de uma rede de amigos. 
Método do Valor P. 
O Valor P pode ser estimado pela tabela de Distribuição Normal Reduzida. 
Pela tabela p < 0,0005, como p < 0,05 e pelo critério de decisão, podemos rejeitar 
H0. 
Intervalo de Confiança. 
Como o teste é unilateral use como grau de confiança 1 – 2. 
Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional p 
EppEp  ˆˆ 
Onde 
n
qp
zE
ˆˆ
2/   . 
Nesse problema vamos construir um intervalo de confiança de 90%. 
03,0
703
)39,0)(61,0(
645,1
ˆˆ
2/ 
n
qp
zE  
Intervalo: 
0,61 – 0,03 < p < 0,61 + 0,03 
0,58 < p < 0,64 
 Estatística Inferencial - 32 
 
Como o valor testado (p = 0,5) não se encontra no intervalo de confiança, 
rejeita-se H0. E isto quer dizer que há evidência amostral suficiente para apoiar a 
afirmativa de que a maioria dos trabalhadores obtém seus empregos através de uma 
rede de amigos. 
Exercícios. 
1) (ESAF/AFPS/2002) O atributo X tem distribuição normal com média 2 e 
variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que 
o terceiro quartil da normal padrão é de 0,6745. 
a) 3,3490 
b) 0,6745 
c) 2,6745 
d) 2,3373 
e) 2,7500 
 
 
2) (ESAF/AFPS/2002) A média e o desvio padrão obtidos num lote de 
produção de 100 peças mecânicas são respectivamente de 16kg e 40g. Uma peça 
particular deste lote pesa 18kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do 
peso dessa peça. 
a) – 50 
b) 0,05 
c) 50 
d) – 0,05 
e) 0,02 
 
 
3) (ESAF/SEFAZ/SP/2009) Seja Z uma variávelaleatória normal padrão. 
Dados os valores de z e de P(Z < z) a seguir, obtenha o valor mais próximo de 
P(  2,58 < Z < 1,96) 
Z 1,96 2,17 2,33 2,41 2,58 
P(Z < z) 0,975 0,985 0,99 0,992 0,995 
 
a) 0,99 
b) 0,97 
c) 0,98 
d) 0,985 
e) 0,95 
 
 Estatística Inferencial - 33 
 
4) (F.C. Chagas/TRF 2ª.R/2007) Instruções: para resolver esta questão utilize, 
dentre as informações dadas, as que julgar apropriadas. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: P(Z> 2) = 0,0223, P(Z < 1,64) = 0,945, P(0 < Z < 1,5) = 0,433, 
P(Z < 1,34) = 0,91. O padrão de qualidade recomenda que os pontos impressos por 
uma impressora estejam entre 3,6 e 4,4 mm. Uma impressora imprime pontos com 
diâmetro X, onde X é aproximadamente normal com média 4 mm e desvio padrão . 
Se a probabilidade do diâmetro de um ponto da impressora estar dentro do padrão 
de qualidade é de 95,4%, o valor de  em mm é igual a: 
a) 0,54 
b) 0,35 
c) 0,29 
d) 0,22 
e) 0,20 
5) (ESAF/CGU/2008) Em determinadas circunstâncias, uma variável aleatória 
binomial pode ser bem aproximada por uma variável aleatória normal. Seja X uma 
variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. Calcule o valor mais próximo de 
P(181 < X < 219) usando a aproximação da variável binomial pela normal, dado que 
(1,96) = 0,975, (2,17) = 0,985, (2,33) = 0,99, (2,58) = 0,995, onde (z) é a 
função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z. 
a) 0,95 
b) 0,97 
c) 0,98 
d) 0,984 
e) 0,99 
 
6) (F.C. Chagas/TER/PI/2009) Sabe-se que, num município, impostos sobre 
imóveis, X, pagos por contribuintes, têm distribuição Normal com média  e desvio 
padrão . Sabe-se que 30% dos impostos pagos são inferiores a R$ 1.200,00 e que 
10% são superiores a R$ 3.000,00. O valor de  e o valor do terceiro quartil da 
variável X, são dados em reais, respectivamente por: 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z > 1,28) = 0,10, P(Z > 0,67) = 0,25 , 
P(0 < Z < 1,5) = 0,43, P(0 < Z < 0,52) = 0,20 
 
 Estatística Inferencial - 34 
 
a) 1.670 e 2.300 
b) 1.680 e 2.390 
c) 1.700 e 2.420 
d) 1.720 e 2.400 
e) 1.720 e 2.390 
 
7) (FCC/SEFAZ/SP/2010) Instruções: Para resolver a questão utilize as 
informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z: 
z 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 
P(0 < Z < z) 0,34 0,39 0,43 0,46 0,48 0,49 
: 
Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional 
apresentam uma distribuição normal com média igual a R$ 1.200 e desvio padrão 
igual a R$ 160. A proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000 e 
inferiores a R$ 1.520 é: 
a) 98% 
b) 96% 
c) 92% 
d) 89% 
e) 87% 
 
8) (FCC/Analista/TRT 8ª. região/2010) Instruções: Para resolver a questão 
utilize as informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z: 
z 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 
P(0 < Z < z) 0,34 0,39 0,43 0,46 0,48 0,49 
A distribuição das medidas de cabos fabricados por uma indústria é 
considerada normal. Sabe-se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 metros e 
apenas 2% medem no mínimo 16,4 metros. A média das medidas destes cabos é 
igual a: 
a) 9,4 metros 
b) 8,4 metros 
c) 8,2 metros 
d) 8,0 metros 
e) 7,8 metros 
 
 
 
 Estatística Inferencial - 35 
 
9) (FCC/AFTE/RO/2010) Os valores dos salários dos empregados de 
determinado ramo de atividade apresentam uma distribuição normal com média R$ 
2.000 e variância igual a 62.500 (R$)2. Considere os valores das probabilidades P(0 
≤ Z ≤ z) para a distribuição normal padrão: 
z 0,25 0,52 0,84 1,28 
P(0 < Z < z) 0,10 0,20 0,30 0,40 
Então a porcentagem dos empregados que ganham salários inferiores a R$ 
1.790 ou salários superiores a R$ 2.320 é igual a: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 60% 
e) 70% 
 
10) (F. C. Chagas/BACEN/2006) As empresas de um determinado setor têm 
situação líquida bem descrita por uma distribuição normal, com média igual 2,5 
milhões de reais e desvio padrão de 2 milhões de reais. Selecionando uma empresa 
aleatoriamente deste setor, a probabilidade dela apresentar uma situação líquida 
negativa ou nula é de: 
a) 11% 
b) 16% 
c) 23% 
d) 39% 
e) 50% 
 
 
 Estatística Inferencial - 36 
 
11) (FCC – ANS 2007) O índice de massa corpórea é calculado dividindo o 
peso da pessoa pelo quadrado de sua altura. Para a população de homens de meia 
idade que mais tarde desenvolvem a doença de diabetes, a distribuição dos índices 
básicos de massa corpórea é aproximadamente normal com média  e desvio 
padrão  desconhecidos. Para uma amostra de 25 homens selecionados desse 
grupo, observou-se um índice médio de 25,2 kg/m2 com desvio padrão s = 2,5 kg/m2. 
Um intervalo de confiança de 95% para a média  da população é dado por: 
a) 25,2  2,15 
b) 25,2  1,56 
c) 25,2  1,03 
d) 25,2  0,86 
e) 25,2  0,68 
 
12) (ESAF – CGU 2008) Construa um intervalo de 95% de confiança para a 
média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória 
simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um 
desvio padrão amostral de 16, considerando que (1,96) = 0,975, onde (z) é a 
função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z. 
a) 44,08 a 51,92 
b) 41,78 a 54,22 
c) 38,20 a 57,80 
d) 35,67 a 60,43 
e) 32,15 a 63,85 
 
 Estatística Inferencial - 37 
 
13) (FCC – Bacen 2006) A distribuição dos valores dos aluguéis dos imóveis 
em uma certa localidade é bem representada por uma curva normal com desvio 
padrão populacional de R$ 200,00. Por meio de uma amostra aleatória de 100 
imóveis neste local, determinou-se um intervalo de confiança para a média destes 
valores, com um determinado nível de confiança, como sendo [R$ 540,00; R$ 
660,00]. A mesma média amostral foi obtida com um outro tamanho de amostra, 
com o mesmo nível de confiança anterior, sendo o novo intervalo [R$ 560,00; R$ 
640,00]. O tamanho da amostra considerada no segundo caso foi de: 
a) 225 
b) 256 
c) 324 
d) 400 
e) 625 
 
 
14) (FGV/Fiscal de Rendas/RJ/2010) Para testar H0:  ≤ 10 contra H1:  > 10, 
sendo  a média de uma variável populacional suposta normalmente distribuída com 
variância igual a 100, uma amostra de tamanho 25 foi obtida e resultou num valor da 
média amostral igual a 15,75. Ao nível de significância de 5%, o valor-p (nível crítico) 
correspondente e a decisão a ser tomada são respectivamente: 
a) 0,102 e não rejeitar H0. 
b) 0,01 e rejeitar H0. 
c) 0,058 e não rejeitar H0. 
d) 0,002 e rejeitar H0. 
e) 0,154 e não rejeitar H0. 
 
 
15) (BACEN/1994) Um teste de hipóteses foi aplicado e, ao nível de 
significância de 5%, rejeitou-se H0. O que acontecerá se forem adotados os níveis 
de significância de 1% e de 10% respectivamente. 
a) Aceitará a 1% e rejeitará a 10%. 
b) Nada se pode afirmar em ambos os casos. 
c) Nada se pode afirmar quanto ao de 1% e rejeitará H0 a 10%. 
d) Rejeitará H0 a 1% e nada se pode afirmar quanto ao de 10%. 
e) Rejeitará H0 em ambos os casos. 
 Estatística Inferencial - 38 
 
16) (FGV/Fiscal de Rendas/MS/2006) Um teste de hipótese apresentou p-
valor igual a 0,03. Portanto, nos níveis de significância de 1% e 5%, 
respectivamente, a hipótese nula: 
a) Deve ser aceita e aceita. 
b) Deve ser aceita e rejeitada. 
c) Deve ser rejeitada e aceita. 
d) Deve ser rejeitada e rejeitada. 
e) Pode ou não ser rejeitada. 
 
 
17) (F.C. Chagas/Analista/SP/2008) O custo mensal de manutenção C de um 
aparelho é uma variável aleatória normalmente distribuída com variância 
populacional igual a 900 (R$)2. Para testar a hipótese nula H0:  = 175 contra a 
alternativa H1:  ≠ 175 será usada uma amostra de 36 aparelhos. Fixando-se o nível 
de significância () em 5% e sabendo que na distribuição normal padrão (Z) a 
probabilidade P(Z > 2) = 2,5% rejeita-se H0 caso a média da amostra seja: 
a) inferior a R$ 167. 
b) Superior a R$ 167 e inferior a R$ 187. 
c) Igual a R$ 184. 
d) Superior a R$ 115 e inferior a R$ 235. 
e) Inferior a R$ 165 e superiora R$ 185. 
 
 
18) (FGV/AFRE/AP/2010) Para testar a hipótese de que uma média 
populacional distribuída com variância igual a 64 é maior do que 200, uma amostra 
de tamanho 100 será observada. Ao nível de significância de 5%, o critério de 
decisão usual estabelece que a hipótese nula de que  = 200 deve ser rejeitada se o 
valor observado da média amostral for: 
Dados: se Z tem distribuição normal padrão: 
P[0 < Z < 0,45] = 1,64; 
P[0 < Z < 0,475] = 1,96; 
P[0 < Z < 0,49] = 2,33. 
a) maior do que 201,312 
b) menor do que 198,788 
c) maior do que 204,860 
d) menor do que 196,348 
e) maior do que 210,346 
 
 
 
 Estatística Inferencial - 39 
 
19) (FCC/Analista/TRT 9ª. região/2010) Uma amostra aleatória com 16 
elementos é extraída de uma população normal de tamanho infinito com média  e 
desvio padrão desconhecido. O valor da média amostral e o valor da variância 
amostral foram iguais a M e 625, respectivamente. Deseja-se testar a hipótese H0:  
= 90 (hipótese nula) contra a H1:  > 90 (hipótese alternativa) com base nos 
resultados apresentados pela amostra, ao nível de significância de 5%. Utilizou-se 
para o teste a distribuição t de Student, considerando t0,05 o quantil da distribuição t 
de Student para o teste unicaudal tal que P(t > t0,05) = 5%. 
Dados: 
Graus de liberdade t0,05 
12 2,18 
13 2,16 
14 2,15 
15 2,13 
16 2,12 
17 2,11 
Sabendo-se que H0 não foi rejeitada, então o valor de M foi, no máximo, 
a) 103,3125 
b) 103,4750 
c) 103,5000 
d) 103,6250 
e) 103,6500 
 
 
 Estatística Inferencial - 40 
 
20) (FCC/Analista/TRT 8ª. região/2010) Uma população consiste em um 
conjunto de medidas de um cabo. Uma amostra de tamanho 16 é selecionada desta 
população considerada de tamanho infinito e normalmente distribuída. A média e a 
variância desta amostra apresentaram os valores de 21,5 m e 9 m2, 
respectivamente. Como a variância populacional é desconhecida, utilizou-se o teste t 
de Student para concluir se a média da população () é diferente de 20 m, a um 
determinado nível de significância. Foram formuladas as hipóteses H0:  = 20 m 
(hipótese nula) contra H1:  ≠ 20 m (hipótese alternativa). O valor da estatística tc (t 
calculado) a ser comparado com o t tabelado é: 
a) 8,0 
b) 6,0 
c) 3,0 
d) 2,0 
e) 1,5 
 
 
21) ESAF/AFPS/2002) Um atributo X tem distribuição aproximadamente 
normal com média  e variância 2. A partir de uma amostra aleatória de tamanho 16 
da população definida por X, deseja-se testar a hipótese H0:  = 22 contra a 
alternativa Ha:  ≠ 22. Para esse fim calcula-se a média amostral 30x e a 
variância amostral s2 = 100. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de 
significância (p-valor) do teste. 
a) 2P{T > 3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. 
b) P{|Z| > 3,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
c) P{Z <  2,2} onde Z tem distribuição normal padrão. 
d) P{T <  3,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. 
e) P{|T| > 2,2} onde T tem distribuição de Student com 15 graus de liberdade. 
 
 Estatística Inferencial - 41 
 
22) (ESAF/AFRE/2005) Um fabricante afirma que pelo menos 95% dos 
equipamentos que fornece à indústria encontram-se dentro de suas especificações. 
Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 itens fora de 
especificação. Assinale a opção que corresponde ao valor probabilístico (p-valor) do 
teste de H:  0,95 contra A:  ≤ 0,95, sendo  a proporção populacional de itens 
dentro de especificação. 
a) 0,5000 
b) 0,050 
c) 0,025 
d) 0,010 
e) 0,100 
 
 
23) (ESAF/MPU/2004) Considere o teste de hipótese H:  = 100 contra 
alternativa A:  ≠ 100 em uma amostra normal com média  e variância 2. O valor 
da estatística de teste t com distribuição de Student sob a hipótese H:  = 100 é de – 
1,7864 e sabe-se que P( t  1,7864) = 0,0446. Suponha que a probabilidade de erro 
do tipo I esteja sendo controlada em 5%. Assinale a resposta correta. 
a) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua H:  = 100. 
b) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua A:  ≠ 100. 
c) Como o valor probabilístico do teste é 0,0892 não há evidência para rejeitar H:  = 
100. 
d) Como o valor probabilístico do teste é 0,0223 conclua A:  ≠ 100. 
e) Não se pode tirar nenhuma conclusão, pois, o tamanho da amostra, a média 
amostral e o desvio padrão amostral não foram dados. 
 
 Estatística Inferencial - 42 
 
24) (ESAF/CGU/2008) Um fabricante divulga que a característica principal de 
seu produto tem uma média de 1000 unidades. Um pesquisador, duvidando desta 
afirmação, encontrou uma característica média de 935 e desvio padrão-amostral de 
130 examinando uma amostra aleatória simples de tamanho 9 destes produtos. 
Calcule o valor mais próximo da estatística t para testar a hipótese nula de que a 
média da característica principal do produto é 1000, admitindo que a característica 
tenha uma distribuição normal. 
a) – 1,5 
b) – 1,78 
c) – 1,89 
d) – 1,96 
e) – 2,115 
 
 
25) (CESGRANRIO – Bacen 2009) Em um estudo sobre a economia informal 
de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra para estimar o rendimento médio 
dessa população, com um grau de confiança de 95% de que a média da amostra 
aleatória extraída não difira de mais de R$ 50,00 da média do rendimento dessa 
população, cujo desvio padrão é R$ 400,00. Sabendo-se que: 
]1,0[~ Nz e que  
96,1
0
.4750,0)( dzzf 
Onde f(z) é a função de densidade de probabilidade de z, pode-se concluir 
que o número de pessoas da amostra será: 
a) 321 
b) 308 
c) 296 
d) 271 
e) 246 
 
Observação: o número de elementos da amostra é dado por: 
2
2/







E
z
n
 
Onde E é a margem de erro desejada. 
 
 
 
 Estatística Inferencial - 43 
 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A C B E A E E B A A 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C A A D C B E A A D 
21 22 23 24 25 
A A C A E 
 
 
 Estatística Inferencial - 44 
 
Tabelas 
Tabela 1: Distribuição Normal Reduzida P(0 < Z < z) 
 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,49250,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
 
 
 Estatística Inferencial - 45 
 
Tabela 2: Tabela dos valores de t, segundo os graus de liberdade e o valor de α. 
(teste bilateral) 
 α 
Graus de 
liberdade 10% 5% 1% 
1 6,31 12,71 63,66 
2 2,92 4,30 9,92 
3 2,35 3,18 5,84 
4 2,13 2,78 4,60 
5 2,02 2,57 4,03 
6 1,94 2,45 3,71 
7 1,89 2,36 3,50 
8 1,86 2,31 3,36 
9 1,83 2,26 3,25 
10 1,81 2,23 3,17 
11 1,80 2,20 3,11 
12 1,78 2,18 3,05 
13 1,77 2,16 3,01 
14 1,76 2,14 2,98 
15 1,75 2,13 2,95 
16 1,75 2,12 2,92 
17 1,74 2,11 2,90 
18 1,73 2,10 2,88 
19 1,73 2,09 2,86 
20 1,72 2,09 2,85 
21 1,72 2,08 2,83 
22 1,72 2,07 2,82 
23 1,71 2,07 2,81 
24 1,71 2,06 2,80 
25 1,71 2,06 2,79 
26 1,71 2,06 2,78 
27 1,70 2,05 2,77 
28 1,70 2,05 2,76 
29 1,70 2,05 2,76 
30 1,70 2,04 2,75 
40 1,68 2,02 2,70 
60 1,67 2,00 2,66 
120 1,66 1,98 2,62 
acima 1,64 1,96 2,58 
 
 
 Estatística Inferencial - 46 
 
9. Correlação Linear. 
Existe uma correlação entre duas variáveis quando uma delas está, de 
alguma forma, relacionada com a outra (Triola, 2008). 
O coeficiente de correlação linear r mede o grau de relacionamento linear 
entre os valores emparelhados x e y em uma amostra. Também é conhecido como 
como coeficiente de correlação de Pearson. 
Fórmulas para o cálculo do coeficiente de correlação linear. 
Fórmula 1: 
  
       2222 
 



yynxxn
yxxyn
r 
Notação: 
n – representa o número de pares de dados. 
x – denota a soma de todos os valores de x. 
x2 – primeiro elevar os valores de x ao quadrado e em seguida somar os 
resultados. 
(x)2 – primeiro somar os valores de x e elevar o resultado ao quadrado. 
Cuidado para não confundir com x2. 
xy – primeiro multiplicar cada valor de x pelo valor correspondente de y e 
somar esses produtos. 
r – representa o coeficiente de correlação linear para uma amostra. 
 (rô) – representa o coeficiente de correlação linear para uma população. 
 
Fórmula 2: 
  
    

 




n
i
n
i
ii
n
i
ii
YYXX
YYXX
r
1 1
22
1 
 
 
 Estatística Inferencial - 47 
 
Exemplo de cálculo: Suponha a seguinte tabela com valores de x e y para 
calcular o coeficiente de correlação linear. 
x y 
8 6 
10 9 
9 11 
7 8 
11 11 
 
Observe a próxima tabela com cálculos intermediários. 
 x y xy x2 y2 
 8 6 48 64 36 
 10 9 90 100 81 
 9 10 90 81 100 
 7 8 56 49 64 
 11 11 121 121 121 
 45 44 405 415 402 
Substituindo na fórmula: 
  
       
739795,0
444025454155
44454055
222222








 
yynxxn
yxxyn
r
 
Em geral, arredonda-se o valor para três casas decimais, logo r = 0,740. 
 
 
 
Os diagramas de dispersão são muito utilizados nos estudos de correlação 
(ver figura). 
 Estatística Inferencial - 48 
 
 
Exemplos de diagramas de dispersão (fonte: Triola, 2008). 
 
Correlação positiva entre x e y. 
 
Correlação negativa entre x e y. 
 
Não há correlação entre x e y. 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15
 Estatística Inferencial - 49 
 
 
Correlação não linear entre x e y. 
9.1. Propriedades do Coeficiente de Correlação. 
 
1) É um valor entre – 1 e 1: –1 ≤ r ≤ 1. 
2) O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são 
convertidos para uma escala diferente (de quilogramas para libras por exemplo). 
3) O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y. Permutando os valores de x e 
y, não altera o valor de r. 
4) O coeficiente de correlação r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento 
linear. Não serve para medir a intensidade de um relacionamento não linear. 
5) A correlação não se altera por operações de soma, subtração, multiplicação e 
divisão. 
6) Suponha que X e Y seja duas variáveis aleatórias e que Y = AX + B, onde A e B 
são constantes. Então r2 = 1. Se A > 0, r = +1; se A < 0, r = 1. 
7) Se rXY for o coeficiente de correlação entre X e Y, e se V = AX + B e W = CY + D, 
onde A, B, C e D são constantes, então rVW = (AC/|AC|)rXY. (com A ≠ 0 e C ≠ 0). 
 
 Estatística Inferencial - 50 
 
9.2. Tipos de Correlação. 
Correlação Positiva: Nesse caso temos r > 0 ou  > 0. Indica que y tende a 
crescer com o crescimento de x (variam no mesmo sentido). 
Correlação Negativa: Nesse caso temos r < 0 ou  < 0. Indica que y tende a 
decrescer com valores crescentes de x (variam em sentidos contrários). 
Se r = 0 ou  = 0, as variáveis não estão correlacionadas linearmente. Se as 
variáveis não estão correlacionadas, nada se pode afirmar sobre o comportamento 
conjunto dessas variáveis. 
Importante: a correlação mede o grau de relacionamento entre duas variáveis, 
porém, não indica se uma é causa ou consequência da outra. 
Exercícios. 
1) (ESAF/AFRF/1996) Considere a seguinte tabela que apresenta valores 
referentes às variáveis x e y, porventura relacionadas 
 x y x2 y2 xy 
 1 5 1 25 5 
 2 7 4 49 14 
 3 12 9 144 36 
 4 13 16 169 52 
 5 18 25 324 90 
 6 20 36 400 120 
Total 21 75 91 1111 317 
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as 
variáveis x e y. 
a) 0,903 
b) 0,926 
c) 0,947 
d) 0,962 
e) 0,989 
 
 Estatística Inferencial - 51 
 
2) (VUNESP/BACEN1998) Duas variáveis aleatórias X e Y têm coeficiente de 
correlação linear igual a 0,8. O coeficiente de correlação linear entre as variáveis 2X 
e 3Y é: 
a) 0,80 
b) 0,53 
c) 0,27 
d) 0,32 
e) 0,40 
 
 
3) (ESAF/AFRF/2005) Para uma amostra de dez casais residentes em um 
mesmo bairro, registraram-se os seguintes salários mensais em salários mínimos): 
Identificação 
do casal 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Salário do 
marido (Y) 
30 25 18 15 20 20 21 20 25 27 
Salário da 
esposa (X) 
20 25 12 10 10 10 18 15 18 23 
 
Sabe-se que: 
221
10
1

i
iY ; 5069
10
1
2 
i
iY ; 3940
10
1

i
iiYX ; 171
10
1

i
iX ; 3171
10
1
2 
i
iX 
Assinale a opção cujo valor corresponda à correlação entre os salários dos 
homens e os salários das mulheres. 
a) 0,72 
b) 0,75 
c) 0,68 
d) 0,81 
e) 0,78 
 
 
4) (CESGRANRIO/BACEN/1994) O coeficiente de correlação linear entre X e 
Y é r. Se Y = 4 – 2X, então: 
a) r =1 
b) 0 < r < 1 
c) r = 0 
d) 1 < r < 0 
e) r = 1 
 
 
 Estatística Inferencial - 52 
 
5) (ESAF/IBGE/1999) Se X é uma variável e Y = 5 – 2X, então o coeficiente 
de correlação linear entre X e Y é igual a: 
a) 2,5 
b) 1,0 
c) 0 
d) 0,4 
e) 1,0 
 
6) (ESAF/TRF/2006) O coeficiente de correlação entre duas variáveis Y e X é 
igual a + 0,80. Considere, agora a variável Z definida como: Z = 0,2 – 0,5X. O 
coeficiente de correlação entre as variáveis Z e X, e o coeficiente de correlação 
entre as variáveis Z e Y serão iguais, respectivamente, a: 
a) 1,0; 0,8 
b) +1,0; +0,8 
c) 0,5; 0,8 
d) 0,5; +0,8 
e) 0,2; 0,4 
 
7) (ESAF/TRF/2006) Para 5 pares de observações das variáveis X e Y 
obteve-se os seguintes resultados: 
X = Y = 15 X2 = Y2= 55 XY = 39 
Sabendo-se que esses 5 pares de observações constituem a totalidade da 
distribuição conjunta populacional dessas duas variáveis, o valor do coeficiente de 
correlação entre X e Y é igual a: 
a) + 1,000 
b) + 0,709 
c)  0,390 
d)  0,975 
e)  0,600 
 
 
 Estatística Inferencial - 53 
 
8) (CESGRANRIO/Analista/MP/RO/2005) Analise as afirmativas a seguir, a 
respeito do coeficientede correlação linear de Pearson entre duas variáveis 
positivas X e Y: 
I. É positivo; 
II. Não se altera quando adicionarmos uma constante positiva aos valores 
de X; 
III. Não se altera quando multiplicamos por uma constante positiva os 
valores de X. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativas(s): 
a) II somente. 
b) I e II somente. 
c) I e III somente. 
d) II e III somente. 
e) I, II e III 
 
9) (ESAF/ACE/1998) Uma empresa tem interesse em estudar o efeito dos 
gastos com propaganda X no volume de vendas Y. Tais dados representam pares 
de observações (Xi, Yi) ao longo de 10 meses escolhidos ao acaso. 
Mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
X 1,2 0,8 1,0 1,3 0,7 0,8 1,0 0,6 0,9 1,1 
Y 101 92 110 120 90 82 93 75 91 105 
Calcularam-se as quantidades seguintes: 
Xi = 9,4; Yi = 959;  (Xi – Mx)2 = 0,444; (Yi – My)2= 1600,9; 
(Xi – Mx)(Yi – My) = 23,34 
Nessas expressões Mx representa a média aritmética dos valores Xi e My a 
média aritmética dos valores Yi. Assinale a opção que corresponde ao quadrado do 
coeficiente de correlação amostral entre os valores observados e preditos da 
variável Y. 
a) 0,912 
b) 0,801 
c) 0,766 
d) 0,654 
e) 0,680 
 
 Estatística Inferencial - 54 
 
10) (FCC/Analista Judiciário/TRF/2001) Sejam X e Y variáveis aleatórias com 
coeficiente de correlação . Se 3
2

X
Z e W = Y + 2, os coeficientes de 
correlação de Z e W e de W e Y são dados, respectivamente, por: 
a) /2 e 1 
b) /2 e 1 
c)  e 1 
d)  e 1 
e)  e 1 
Gabarito 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
E A B E E A E D C C 
10. Regressão Linear 
O objetivo da correlação linear é medir o grau de relacionamento linear entre 
os valores emparelhados x e y em uma amostra. Agora vamos descrever a relação 
determinando a equação da reta que representa a relação entre essas variáveis. 
Essa reta é chamada reta de regressão. 
Definição: Dada uma coleção de dados amostrais emparelhados, a equação 
de regressão xbby 10ˆ  descreve a relação entre as duas variáveis. 
A equação de regressão expressa a relação entre x (variável independente 
ou variável preditora) e ŷ (variável dependente ou variável resposta) 
Notação para a equação de regressão 
 Parâmetro 
Populacional 
Estatística 
Amostral 
Intercepto y da equação 
de regressão 
 b0 
Coeficiente angular da 
equação de regressão 
 b1 
Equação da reta de 
regressão 
y =  + x xbby 10ˆ  
 
 
 Estatística Inferencial - 55 
 
Fórmulas: 
     
   22
2
0





xxn
xyxxy
b intercepta y. 
    
   221 




xxn
yxxyn
b coeficiente angular. 
Exemplo: Determine a equação de regressão para os dados apresentados. 
x 1 2 4 5 
y 4 24 8 32 
 
x y x2 xy 
1 4 1 4 
2 24 4 48 
4 8 16 32 
5 32 25 160 
12 68 46 244 
 
     
   
5
12464
244124668
222
2
0 








xxn
xyxxy
b 
    
   
4
12464
68122444
222
1 








xxn
yxxyn
b 
Equação de regressão: xy 45ˆ  . 
Também é possível determinar a equação de regressão calculando b1 pela 
fórmula acima e considerar que xbby 10  e assim calcular xbyb 10  . 
No exemplo acima, temos que 17
4
68
y e 3
4
12
x , logo: 
b0 = 17 – 4(3) = 17 – 12 = 5 
O gráfico da equação de regressão é chamado de reta de regressão (ou reta 
de melhor ajuste, ou reta de mínimos quadrados). A reta de regressão é a que 
melhor se ajusta aos pontos amostrais. 
 Estatística Inferencial - 56 
 
 
Com a equação de regressão, podemos ver o efeito sobre uma das variáveis, 
quando a outra sofre uma variação. 
Definição: A variação marginal de uma variável é o quanto ela varia quando 
a outra variável sofre uma variação de exatamente uma unidade. 
O coeficiente angular b1 na equação de regressão representa a variação 
marginal resultante quando x varia de uma unidade. 
Observe o quadro abaixo 
Equação de Regressão: xy 45ˆ  
 x y (previsto) 
Variação de 
uma unidade 
da variável x 
0 5 Variação 
marginal = 4 
(valor do 
coeficiente 
angular da reta 
de regressão). 
1 9 
2 13 
3 17 
4 21 
5 25 
 
 
 
y = 4x + 5 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6
y 
x 
Reta de Regressão 
y
Previsto(a) y
Linear (Previsto(a) y)
 Estatística Inferencial - 57 
 
Observações: 
1) Se não há correlação linear significativa, o melhor valor predito de y é a 
sua média  y , não use a equação de regressão para fazer predições. 
2) Se há correlação linear significativa, obtém-se o melhor valor predito de 
y substituindo-se o valor de x na equação de regressão. 
3) Ao aplicar a equação de regressão para predições, mantenha-se 
dentro do âmbito dos dados amostrais (dentro do intervalo de variação 
dos dados amostrais). 
4) Uma equação de regressão baseada em dados passados não é 
necessariamente válida hoje. 
5) Não devemos fazer predições sobre uma população diferente daquela 
de onde provêm os dados amostrais. 
Exercícios 
1) (FCC/Analista/TRT 8ª. região/2010) Considere o modelo yt =  + t + t, t = 
1, 2, 3, ..., em que t representa a t-ésima observação,  e  são parâmetros 
desconhecidos e t o erro aleatório com as hipóteses consideradas para a regressão 
linear simples. As estimativas de  e  foram obtidas a partir do método dos mínimos 
quadrados por meio das 10 primeiras observações, utilizando-se as seguintes 
informações: 



10
1
55
t
t , 


10
1
2 385
t
t , 


10
1
48
t
ty , 


10
1
2 4,294
t
ty e 


10
1
330
t
tty 
Considerando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, 
a previsão de y para t = 12 é: 
a) 8,4 
b) 8,8 
c) 9,0 
d) 9,6 
e) 10,0 
 
 
 
 Estatística Inferencial - 58 
 
2) (FCC/AFPS/2002) Para o modelo de regressão linear y =  + x +  onde y 
é a variável resposta, x a variável independente,  e  são parâmetros 
desconhecidos e  é uma componente de erro aleatório com média zero. Assinale a 
opção que corresponde à interpretação do parâmetro . 
a) É o valor predito de y, dado que x = 0, desde que o valor de x seja 
compatível com o conjunto de observações da variável x. 
b) Mede a variação esperada em y por unidade de variação da variável x. 
c) É o valor esperado de y, quando se padroniza a variável x. 
d) Mede a variação da reta de regressão. 
e) Mede o coeficiente angular da reta de regressão. 
 
3) (ESAF/AFPS/2002) Uma empresa presta serviços de manutenção de 
eletrodomésticos em domicílio. Para cada um de 18 atendimentos coletou o tempo 
gasto em minutos (y) com a manutenção e o número de máquinas servidas (x). 
Postula-se que o modelo linear yi = =  + xi + i seja adequado, onde  e  são 
parâmetros desconhecidos e i são componentes de erro não correlacionados, com 
média nula e variância 2 desconhecida. As estimativas de mínimos quadrados dos 
parâmetros do modelo linear 10ˆ  , 2ˆ  e 4ˆ 2  . A estimativa do aumento 
esperado de tempo por máquina adicional servida por chama é de: 
 
a) 2 minutos 
b) 10 minutos 
c) 12 minutos 
d) 5 minutos 
e) 6 minutos 
 
 
 
 Estatística Inferencial - 59 
 
4) (ESAF/BACEN/2001) A Cia. Delta presta serviço de manutenção a uma 
marca de microcomputador. O gerente da Cia. Delta está interessado em estudar a 
associação existente entre o tempo (y) em minutos gasto em um atendimento e o 
número (x) de micros atendidos. Neste contexto anota as realizações yt e xt dessas 
variáveis em 16 chamadas. O gerente postula o modelo yt =  + xt + t, t = 1,... ,16, 
onde  e  são parâmetros desconhecidos e os t são erros não correlacionados 
com média zero e variância 2. Os resultados obtidos com o ajuste pelo método de 
quadrados mínimos para esse modelo são apresentados a seguir: 
Parâmetro Estimativa Desvio padrão 
  2,3 2,6 
 14,7 0,5 

2 20 
Assinale a opção que dá a estimativa do aumento esperado no tempo de 
atendimento decorrente do aumento de uma unidade do número de micros 
atendidos. 
a) 17,0 
b) 12,4 
c) – 2,3 
d) 0,20