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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS CAMPUS MANAUS – CENTRO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIOR COORDENAÇÃO DE LICENCIATURA EM FÍSICA 2ª Lista de Exercícios de Termodinâmica Estatística Algumas consequências da 1ª lei da Termodinâmica 1) A partir da relação ܿ − ܿ௩ = ቂ + ቀడ௨డ௩ቁ்ቃ ቀడ௩డ்ቁmostre que a diferença entre os calores específicos é: (a) para o gás ideal ܿ − ܿ௩ = ܴ, (b) e para o gás de Van der Waals ܿ − ܿ௩ = ோ ଵି మೌ(ೡష್)మ ೃೡయ . 2) Para um gás ideal, mostre que num processo adiabático reversível ܶݒఊ = ܿ݊ݏݐ e ܶംషభം = ܿ݊ݏݐ. 3) Para um gás de Van der Waals, mostre que num processo adiabático reversível ܶ(ݒ − ܾ) ೃೡ = ܿ݊ݏݐ. 4) A energia interna de um certo gás é dada por: ܷ = ܽܶ − ܾ, onde a e b são constantes. Os coeficientes de dilatação e de compressibilidade do gás são, respectivamente, ଵ ் e ଵ . Encontre a expressão do calor específico a volume constante em função de a, b, p e T. (Resp.: ܿ௩ = ܽ − ் .) 5) Um gás ideal, para o qual ܿ௩ = ହோଶ , é levado desde o ponto a até b por vários caminhos: acb, adb e ab, conforme mostrado no diagrama p –v (fig.1). Considere que ଶ = 2ଵ e ݒଶ = 2ݒଵ: (a) Calcule a quantidade de calor fornecido ao sistema (gás), por mol, em cada um dos caminhos adotados. (b) Calcule o calor molar do gás durante a transformação ab. Expresse suas respostas em função de R e T1. (Resp.: (a) ଵଽோ భ் ଶ , ଵோ భ் ଶ , ଵ଼ோ భ் ଶ ; (b) c = 3R.) 6) A entalpia molar de muitas substâncias, a temperaturas não muito baixas, pode ser expressa por meio da equação empírica ℎ = ܽܶ + ܾܶଶ + ܿܶିଵ + ݀, onde a, b, c e d são constantes. Encontre a expressão para o calor específico a pressão constante. 7) Demonstre que o rendimento de um ciclo de Carnot, que usa como substância no sistema um gás que obedece a equação de estado de Clausius (ݒ − ܾ) = ܴܶ, é o mesmo que para um gás ideal. Entropia 8) Um quilograma de água é aquecido por meio de uma resistência elétrica de 20oC até 80oC. Calcule a variação da entropia (a) da água e (b) do universo. (Resp.: 778,7 J/K.) 9) Mistura-se um quilograma de água à temperatura de 280K com 2kg de água à temperatura de 310K num recipiente termicamente isolado. Encontre o valor da variação da entropia do universo. (Resp.: 14,27J/K.) 10) Uma massa m de um líquido à temperatura T1 é misturada com uma massa igual do mesmo líquido à temperatura T2. O sistema está isolado termicamente. Demonstre que a variação da entropia do universo é: ∆ܵ = 2݈݉ܿ݊ ( భ்ା మ்)ଶඥ భ் మ்൨ e prove que é necessariamente positiva. Combinação da Primeira e Segunda Leis 11) Obtenha as seguintes relações termodinâmicas: a. T e p variáveis independentes: ቀడ௨ డ ቁ ் = ߢݒ − ܶߚݒ; ቀడ௦ డ் ቁ = ் ; ቀడ௦ డ ቁ ் = −ߚݒ;ቀడ௦ డ ቁ ௩ = ೡ ఉ் ; ቀడ௦ డ௩ ቁ = ఉ்௩ b. p e v variáveis independentes: ቀడ௦ డ ቁ ௩ = ೡ ் ቀడ் డ௩ ቁ = ೡ ்ఉ௩ ; ቀడ௦ డ௩ ቁ = ் ቀడ் డ௩ ቁ = ఉ்௩ . Potenciais Termodinâmicos 12) Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que S é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso. Ache a relação fundamental na representação da energia. a. S = A(UV N)1/3; b. S = a(U2V3N)1/6; c. S = B(U3V)1/4; d. S = b(UV)1/2. 13) Para cada uma das relações fundamentais abaixo, mostre que U é extensiva. Determine as equações de estado para cada caso. a. U = aS3/VN; b. U = AS3/(V3N)1/2; Figura 1: Diagrama p - v SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS CAMPUS MANAUS – CENTRO DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIOR COORDENAÇÃO DE LICENCIATURA EM FÍSICA c. U = b(S4/V)1/3; d. U = BS2/V. 14) Encontre as três equações de estado para um sistema com a equação fundamental ܷ = ቀ௩ఏ ோమ ቁ ௌయ ே e determine em função de T,V e N. Mostre, através de um diagrama (em escala arbitrária), a dependência da pressão com o volume para temperatura fixa para o sistema do problema 2.2-1. Desenhe tais “isotermas”, correspondentes a dois valores da temperatura, e indique qual isoterma corresponde à temperatura mais elevada. (Resp.: ߤ = − ோ ଷඥଷ௩ఏ ቀ ே ቁ ଵ/ଶ ܶଷ/ଶ, ܲ = ோ ଷඥଷ௩ఏ ቀே ቁ ଵ/ଶ ܶଷ/ଶ) 15) Determine as três equações de estado para um sistema com equação fundamental ݑ = ቀఏ ோ ቁ ݏଶ + ቀோఏ ௩ మቁ ݒ ଶ , expresse em função de T,P. (Resp.: ߤ = − ଵ ସ [ቀோ ఏ ቁܶଶ + ቀ௩మ ோఏ ቁ ܲଶ]) 16) Dois sistemas particulares têm as seguintes equações de estado: ଵ ்(భ) = ଷଶܴ ே(భ)(భ) e ଵ்(మ) = ଷଶܴ ே(మ)(మ), onde R é uma constante tendo o valor R = 1, 986 cal/mol K. O número de mol do primeiro sistema é N(1) = 2 e do segundo, N(2) = 3. Os dois sistemas são separados por uma parede diatérmica e a energia total no sistema composto é de 6000 cal. Qual é a energia interna de cada sistema em equilíbrio? (Resp.: U(1) = 1714,3 cal e U(2) = 4285,7 cal) 17) Obtenha a expressão para a energia livre de Helmholtz do gás ideal. Na representação de Helmholtz escreva as equações de estado do gás ideal. 18) Obtenha uma expressão para a energia livre de Helmholtz por partícula, f = f (T,v), para um sistema puro que obedece as equações de estado ݑ = ଷ ଶ ݒ e = ܣݒܶସ, onde A é uma constante. 19) Obtenha a expressão para a energia livre de Gibbs por partícula, g = g(T,p), para um sistema puro caracterizado pela equação ቀௌ ே − ݏቁ ସ = ܣ మ ேయ , onde A e so são constantes. Referências SEARS, F. W., SALINGER, G. L. Termodinâmica, Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística. Editora Guanabara Dois S. A. 3ª edição. Rio de Janeiro. 1979. SEARS, F. W. Termodinámica. Editora Reverté S.A. Barcelona. 1974 (Massachusetts Institute Technology - MIT). SÍLVIO, R. A. S. Introdução à Física Estatística. Editora da Universidade de São Paulo. 2ª edição. São Paulo. 1999.