Revisoes Vol III

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Rev__Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
BREVE REVISÃO SOBRE: 
 
 
 
 
ESTÁTICA 
E 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
ESTUDO DOS ESFORÇOS INTERNOS (SOLICITANTES) 
 
1. INTRODUÇÃO (enquadramento) 
 
Vimos na APOSTILA - Vol I, na Pagina 42 - 44, que as AÇÕES EXTERNAS (ou esforços externos), são classificadas 
de: 
 . ATIVAS, quando consideradas as forças aplicadas, e 
 . REATIVAS, quando consideradas as Reações de Apoios, 
 
 
sendo que as Ações ATIVAS, em relação á sua lei de distribuição podem apresentar-se sob a forma de: 
 
cargas concentradas, cargas distribuídas, ou cargas Momento 
 
 
 
 
 
 
Estas (ações ATIVAS), uma vez aplicadas nos corpos sólidos, geram no interior destes, pequenas deformações 
até que se atinja uma situação de equilíbrio entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes 
(tensões normais e tensões tangenciais). 
 
Conforme já referido, a Resistência dos Materiais para a determinação dos Esforços Internos Resistentes, (Tensões) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
recorre ao Calculo dos Esforços Internos Solicitantes, que 
não é mais do que uma entidade fictícia, espécie de meio 
termo entre os esforços externos e os esforços internos 
resistentes, as quais o material resiste na realidade. 
(VER Apostila II, pg.46) 
 
Os Esforços internos Solicitantes, são esforços resultantes 
do equilíbrio estático ( , ), reduzidos ao centro de 
gravidade da seção transversal do corpo solido e 
analiticamente equivalentes ás tensões existentes nas seções 
transversais. 
Uma vez determinadas as suas componentes, reduzidos ao 
centro de gravidade da seção transversal e rebatidas 
segundo os três eixos cartesianos (X, Y, Z), os Esforços 
Internos Solicitantes, são materializados pelos ESFORÇOS: 
normais, cortantes (transversos ou de cisalhamento), 
momentos fletores, e momentos torsores. 
 
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1.1 VISUALIZAÇÃO PRÁTICA DOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES. 
 
Seja um corpo em Equilíbrio estático. 
Cortando este corpo rígido numa dada seção S, figura abaixo, obtém-se duas partes não mais em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
Para impedir a translação na direção do eixo a-a, produzida por F1, aparece na seção uma força axial, dita FORÇA 
NORMAL (N), em sentido contrário a F1. 
 
Para impedir a translação na direção do eixo c-c, produzida pele resultante (F3+F2-F2-F4), aparece uma força 
transversal, dita FORÇA CORTANTE (V), em sentido contrário a esta resultante. 
 
Para impedir a rotação em torno do eixo b-b, produzida pelo momento oriundo de F3, aparece na seção um momento, 
dito MOMENTO FLETOR (M), em sentido contrário ao provocado por F3. 
 
Para impedir a rotação em torno do eixo a-a, produzida pelo momento oriundo do binário de F2, aparece na seção 
um momento, dito MOMENTO TORÇOR (T), em sentido contrário ao binário de F2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO AS FORÇAS E MOMENTOS QUE APARECEM NAS SEÇÕES DE 
CORPOS RÍGIDOS EM EQUILÍBRIO. 
As figuras seguintes representam estes esforços, com a respetiva convenção de sinais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclui-se que a seção do corpo rígido, 
onde se fez o corte, transmitia esforços de 
uma parte à outra, esforços estes 
usualmente designados por: 
ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
ou ESFORÇOS SECCIONAIS. 
 
 
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Barra submetida a esforço Transverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2 TIPOS DE ESTRUTURAS MAIS CORRENTES 
 
 
 Vigas: 
 
As vigas são solicitadas, geralmente, por momento fletor e 
força cortante. Quando existirem forças inclinadas, surge a 
introdução do Esforço Normal. 
 
 
 Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: 
 
 
 
 
 
 Treliças: 
 
As treliças ideais são formadas por barras, as 
extremidades são rotuladas e o carregamento atua 
nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças 
ideais estão solicitadas apenas por forças normais 
(tração ou compressão). 
 
 
 Grelhas: 
 
O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu 
plano. As grelhas estão solicitadas por momento fletor, 
força cortante e torção (força normal é igual a zero). 
 
 
 
Na presente disciplina apenas nos debruçamos em ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS, com especial incidência nas 
VIGAS, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas estruturas estão solicitadas por força normal, força cortante e 
momento fletor (torção é igual a zero). 
 
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1.3 BARRAS, VIGAS E PILARES 
 
De maneira geral, as barras são componentes de estruturas nos quais as dimensões da seção são nitidamente 
menores que o comprimento do eixo da peça. 
Quanto á transmissibilidade de esforços solicitantes pode-se distinguir: 
 a barra simples, ou simplesmente BARRA, que é o elemento estrutural que TRANSMITE APENAS um esforço, 
a FORÇA NORMAL, (os exemplo mais comum de barra simples, são os montantes e diagonais de estruturas 
treliçadas.) 
 e a barra geral, ou CHAPA, que é o elemento estrutural CAPAZ DE TRANSMITIR, FORÇA NORMAL, FORÇA 
CORTANTE E MOMENTO FLETOR. 
(os exemplos mais comuns de chapas, são as VIGAS e os PILARES, ambos tem as mesmas funções 
estruturais, entretanto, em geral, as vigas são usadas horizontalmente e os pilares verticalmente.) 
 
 
 
1.4 CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NUMA DETERMINADA SEÇÃO DE UMA 
ESTRUTURA PLANA 
 
Os esforços solicitantes que aparecem em estruturas planas (cujo carregamento se encontra igualmente no plano, 
são: 
- Força Normal (de tração ou de compressão), Força Cortante e Momento Fletor. O Momento Torsor só aparece 
em estruturas espaciais. 
Para se proceder ao cálculo dos esforços solicitantes em determinada seção de uma estrutura plana, é 
necessário antes de mais, proceder á determinação das reações de apoio. 
 
 
1.4.1 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para melhor entendimento do roteiro descrito, apresenta-se a seguidamente exemplos de cálculo detalhado de 
reações de apoio, em estruturas planas 
 
 
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Dependendo da analise das Estruturas ser NO PLANO ou NO ESPAÇO, podemos ter: 
 
 
EXERCICIO: 
Determinar a reação de apoio de estrutura estudada NO PLANO (x, y) 
 
 
 
 
 y +x + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCICIO: 
Determinar a reação de apoio de estrutura estudada NO ESPAÇO (x, y, z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não faz parte 
do âmbito da 
disciplina 
 
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EXEMPLOS: ( DE DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Na presente disciplina vamos adotar para sentido positivo das forças, 
 o sentido positivo dos eixos cartesianos (x, y) e para sentido 
 positivo dos Momentos, podemos adotar o sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NOTA: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O quarto passo é fornecer a solução em desenho. 
Como os resultados analíticos das reações obtidas são todos 
positivos, significa que os sentidos vetoriais destas, estão 
corretamente adotados, em função da convenção assumida para 
os sentidos positivos das forças, segundo os eixos (x, y), e dos 
sentidos positivos dos momentos, segundo a rotação horaria. 
Deste modo, não se deve inverter nenhum dos sentidos iniciais das 
reações, visto estarem corretamente adotados. 
 
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 a) 
 Calculo das Reações de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Calculo das Reações de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
De volta ao Calculo dos Esforços Solicitantes em determinada Seção de uma 
Estrutura Plana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para melhor entendimento do método descrito, apresenta-se a seguir um exemplo. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Calcular os esforços solicitantes na seção genérica C, da viga apresentada na figura seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 DIAGRAMA DE ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
 
Uma estrutura submetida a determinado carregamento, possui ao longo do seu eixo longitudinal, inúmeras seções 
transversais, cada uma delas com os seus esforços solicitante correspondentes, em geral diferindo de seção para 
seção. 
Para se calcular uma estrutura é necessário ter uma visão desses esforços em todas as seções da estrutura, visto 
que o dimensionamento desta, deve ser tal que todas as seções suportem os esforços que nela atuam, com especial 
destaque para os esforços máximos. 
 
A fim de permitir uma visão global, da variação dos diversos esforços solicitantes, é usual traçar-se os 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES, que são diagramas que REPRESENTAM A VARIAÇÃO DOS 
ESFORÇOS SOLICITANTES, AO LONGO DA ESTRUTURA. 
 
 
1.4.1 NORMAS QUE AUXILIAM A CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS: 
 
 
 
 
 
ou seja, são representados graficamente por meio dos diagramas de esforços seccionais 
traçados transversalmente as linhas de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (D.E.N.): convencionou-se representar esse esforço, 
quando positivo, no lado superior da linha de referência e, quando negativo, no lado inferior 
dessa linha. 
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (D.E.C.): convencionou-se representar esse esforço, 
quando positivo, no lado superior da linha de referência e, quando negativo, no lado inferior 
dessa linha. 
 
 
 
c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (D.M.F.): é traçado sempre do lado onde as fibras estão 
tracionadas. Assim, o momento fletor positivo é traçado no lado inferior da linha de referência 
(traciona as fibras inferiores) e o momento fletor negativo no lado superior dessa linha (traciona 
as fibras superiores). No concreto armado os vergalhões ou barras de aço são utilizados para 
absorver a tração, portanto são colocados no lado onde está atuando este esforço. 
Ver Fig. acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por outro lado, AS RELAÇÕES DIFERENCIAS DE EQUILIBRIO, permite-nos reforçar algumas 
conclusões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos o elemento infin itesimal da barra, compreendido entre as seções 
transversais CC e C’C’, de abscissas x e (x + dx), contadas de uma or igem qualquer 0. 
Atuando sobre esse elemento encontram -se além da carga distribuída p = f (x) - constante 
no trecho dx, os esforços N,Q e M correspondentes à ação da parte retirada à esquerda 
do elemento e os esforços (N + dN), (Q + dQ) e (M + dM) correspondentes à ação da 
parte retirada à dire ita do e lemento. 
Vamos aplicar as equações de equilíbr io: 
 1) 
 
 2) 
 
 
 3) 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: ESTAS DEDUÇÕES SÃO DA MAIOR IMPORTANCIA E ENCONTRAM-SE DEVIDAMENTE 
APROFUNDADAS EM QUALQUER LIVRO DA ESPECIALIDADE. 
 
 
h) Se não houver Variação do Esforço Normal, (dN = 0); a carga é constante e perpendicular 
ao eixo da barra ou é nula. 
 
 
 
 
i) Se p = 0 (carga concentrada)  Q (esforço transverso) é constante material izada 
segundo uma reta do t ipo y = k, (k=const.) e o momento f letor varia l inearmente, 
segundo uma reta do t ipo y= ax + b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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j ) Se p = constante (carga uniformemente distr ibuída) representada por equação 
do t ipo y = k, (k=const.), sendo esta uma equação do 1º grau  o diagrama de 
Q (esforço transverso) é linear  
.)( const
dx
dQ

 e o diagrama de M (Momento Fletor) 
é uma parábola do 2 o grau do t ipo y= ax2 + bx + c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l ) Se p = f (x) (carga tr iangular ou trapezoidal) , representada por equação de 
1º grau  o diagrama de Q (esforço transverso) é uma parábola do 2 o grau, e o 
diagrama de M (Momento Fletor) é uma curva do 3 o grau.m) No ponto onde o Esforço transverso se anula , (Q = 0)  o Momento fletor é 
máximo ou mínimo , (ponto esse de derivada nula, na função do momento f letor). 
 Para o cálculo do valor de Momento máximo, iguala-se a equação do esforço 
transverso a zero e obtém-se assim o valor de x (abcissas) onde este (Q) se 
anula. Seguidamente, substitui-se o valor de x, na equação dos Momentos 
Fletores, obtendo-se assim o valor máximo de (M) pretendido. 
 
 
n) Se o diagrama de Q (esforço transverso) sofre descontinuidade (passa de posit ivo 
para negativo ou v ice-versa)  o d iagrama de M (Momento Fletor) apresenta um 
ponto anguloso. Neste caso, o momento f letor M passa de crescente a decrescente 
ou v ice-versa. Nesta seção, o momento fletor atinge um máximo ou mínimo. 
Ver o item i) . 
 
 
 
 
 
 
 
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o) No traçado do diagrama de M, a concav idade da curva é sempre voltada para a 
carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r) Em seções, de estruturas, onde ocorre um momento aplicado, o diagrama de momento fletor sofre 
um "salto" no valor do momento aplicado, apresentando valores diferentes para o momento fletor à 
esquerda e à direita do momento aplicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s) Em trechos, de estruturas, sob carregamento axial uniformemente distribuído, o diagrama de força 
normal apresentar-se-á linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p) Mudanças no carregamento, ao longo da estrutura, 
provocam alteração nas equações dos esforços 
solicitantes e consequentemente provocam mudanças 
nas curvas no diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
q) Em trechos, de estruturas, sem carregamento vertical, o 
diagrama do esforço transverso, sob este trecho, 
apresentar-se-á constante, e o diagrama de momento 
fletor, linear. 
 
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t) Estruturas simétricas com carregamentos simétricos, apresentarão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________ // _________________________________________________ 
 
 
SOB A FORMA DE CONCLUSÃO, é importante reter as seguintes REGRAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
MÉTODOS PARA A DETERMINAÇÃO DOS “ DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES “ 
 
Nas aulas práticas foram apresentados os seguintes métodos: 
 
 
1º METODO - Cálculo, por determinação das Equações de Esforços Solicitantes, em determinadas Seções 
e para intervalos bem definidos (no eixo das abcissas), em função do carregamento. 
(Método mais rigoroso, ver Pg. 103) 
 
2º METODO - Cálculo, através de pontos notáveis, previamente escolhidos em função do carregamento; 
(ver Pg. 113) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 1) Calcular os diagramas de esforços solicitantes da Estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considera-se a coordenada x a partir da extremidade 
esquerda, de maneira que defina a posição da seção 
transversal genérica S. “Efetuando a análise pelo lado 
esquerdo”, tem-se a equação de momento fletor: 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Diagramas dos esforços 
Com os resultados anteriores, são traçados os diagramas 
mostrados na figura, onde se observa que a área 
compreendida pelo trecho do esforço cortante positivo é 
numericamente igual à área correspondente ao trecho do 
esforço cortante negativo. E importa observar também que 
o diagrama do momento fletor é simétrico e que o diagrama 
do esforço cortante é antissimétrico 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 2) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes da Estrutura 
 Viga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuída 
 convenções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
RESULTANDO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_______________________________________ // _________________________________________ 
 
EXERCICIO 3) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes da Estrutura 
 Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre 
 convenções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 4) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes da Estrutura 
 Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída 
 convenções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 5) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes da Estrutura 
 Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão 
 
 Convenção: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 6.1) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes das Estruturas 
 Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 7) Calcular os Digramas de Esforços Solicitantes da Estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 8) Dada a viga abaixo, calcular as reações, e os esforços solicitantes (V, M)P á g i n a | 114 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCICIO 8) 
Dado a viga abaixo, calcular as reações, e os esforços solicitantes (V, M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCICIO 9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 => 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCICIO 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
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  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 11) Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 12) Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calculo das reações 
 
  RA = 0 
  RA – 20 * 4 – 40 – 20 + RB = 0 
  - (20 * 4 * 2) – (40 * 2) – 100 – (20 * 7) + RB = 0 
 RB = 60 KN => RA = 80 KN 
b) cálculo dos esforços solicitantes 
 
 SEÇÃO S1 ( 2 > X > 0 ) ( Analise das forças pela esquerda ) 
 
Esforço Transverso 
 (Equação de reta, de declive – 20) 
 
Momento Fletor 
 𝑀1 = +80 ∗ 𝑥 − 20 ∗ 𝑥 ∗
𝑥
2
= −10 𝑥2 + 80 𝑥 
(Equação de parábole quadrática, x2) 
 
SEÇÃO S2 ( 4 > X > 2 ) ( Analise das forças pela esquerda ) 
Esforço Transverso 
 𝑉2 = + 80 − (20 ∗ 𝑥) − 40 (Equação de reta, declive -20) 
 
Momento Fletor 
 𝑀2 = + 80 ∗ 𝑥 − (20 ∗ 𝑥 ∗ 
𝑥
2
 ) − 40 ∗ (𝑥 − 2) 
(Equação de parábole quadrática, x2) 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 124 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
SEÇÃO S5 ( 1 > X > 0 ) ( Analise das forças pela direita ) 
Esforço Transverso 
 𝑉5 = − 60 kN (Equação de reta, // eixo xx) 
 
Momento Fletor 
 𝑀5 = + 60 ∗ 𝑥 (Equação de reta inclinada, de declive + 60) 
 
 
SEÇÃO S4 ( 2,5 > X > 1 ) ( Analise das forças pela direita ) 
Esforço Transverso 
 𝑉4 = − 60 + 20 kN (Equação de reta, // eixo xx) 
 
Momento Fletor 
 𝑀4 = + 60 ∗ 𝑥 − 20 ∗ ( 𝑥 − 1) (Equação de reta inclinada, declive + 40) 
 
 
SEÇÃO S3 ( 4 > X > 2,5 ) ( Analise das forças pela direita ) 
Esforço Transverso 
 𝑉3 = − 60 + 20 kN (Equação de reta, // eixo xx) 
 
Momento Fletor 
 𝑀4 = + 60 ∗ 𝑥 − 20 ∗ ( 𝑥 − 1) − 100 
 (Equação de reta inclinada, declive + 40) 
Diagramas dos Esforços Solicitantes (V, M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É de salientar que no ponto de aplicação da carga pontual o diagrama do Esforço Cortante (ou 
Transverso) sofre um ressalto, com o valor numérico da carga, bem como no ponto de aplicação 
do momento pontual, o diagrama dos Momentos Fletores sofre igualmente um ressalto com o valor 
numérico do momento pontual. 
 
 
P á g i n a | 125 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 13) Traçar os diagrama de esforços da viga representada na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÕES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 126 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXERCICIO 14) Traçar os diagramas de esforços das vigas abaixo e determinar o Mmax. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 127 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na dúvida, o ideal é a utilização conjunta dos dois métodos, uma vez que se completam e acrescentam informação. 
 
 
P á g i n a | 128 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXEMPLO 1 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura representada na figura seguinte:a) Cálculo das reações de apoio. 
 
O cálculo das reações fica simplificado, pois observa-se que: 
• A estrutura e o carregamento são simétricos, portanto as reações são simétricas. 
• A estrutura não possui carregamento no sentido axial, portanto reação neste sentido (horizontal) é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determinar os "pontos notáveis" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem um total de seis seções, nas quais se deve obter os esforços solicitantes. Entretanto da simetria 
da estrutura e carregamento sabe-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 129 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
c) Determinação de M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Pelo exposto acima, basta determinar os esforços solicitantes nos pontos 1, 2 e 3. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as convenções de sinais positivas dos 
Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
 
 
 
 
 𝑁1 = 0 𝑁 
 
 𝑉1 = 9000 𝑁 
 
 M1 = 0 kN 
 
 
 (parte da esquerda) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑁2 = 0 𝑁 
 
 𝑉2 = 9000 − 2000 ∗ 2 = 5 000 𝑁 
 
 M2 = 9000 * 2 – 4000 * 1 = 14 000 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑁3 = 0 𝑁 
 
 𝑉3 = 9000 − 2000 ∗ 2 = 5 000 𝑁 
 
 M3 = 9000 * 3 – 4000 * 2 = 19 000 N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 130 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
d) Traçar os diagramas de M, N e V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho 1 – 2 igual Trecho 5 - 6 
Carga q = K, (K = Const.), equação de grau (0), do tipo y = k 
Esf. Transverso => equação de grau (1), reta inclinada, do tipo y = m x + b 
Mom. Fletor => equação de grau (2), parabole do tipo y = a x2 + b x + c 
 
Trecho 2 – 3 igual Trecho 4 - 5 
Carga q = o, equação sem grau 
Esf. Transverso => equação de grau (0), reta // eixo x 
Mom. Fletor => equação de grau (1), reta inclinada do tipo y = m x + b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________ // _________________________________________________ 
 
 
 
EXEMPLO 2 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura seguinte 
 
 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 HA = 0 
 
 
 VA – 50 – 30 – 90 + VB = 0 
 
 
 + 50 * 4 + 30 * 8 + 90 * 11 – VB * 13 = 0 
 
 
 
P á g i n a | 131 
 
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 Resultando: 
HÁ = 0 Kn 
 
VB = 110 Kn 
 
VA = 50 + 30 + 90 -110 = 60 kN 
 
 
b) Escolha dos " pontos notáveis “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe um total de oito seções, 5 pontos notáveis, nas quais se deve obter os esforços solicitantes N, V e M 
 
 
c) Determinar M, N e V nos pontos notáveis. 
 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as 
convenções de sinais positivas dos Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta as Normas anteriormente referidas para 
a construção de diagramas. Ver Normas d), f), i), n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 132 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXEMPLO 3 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 HA = 0 
 
 
 VA – 12 * 3 + VB = 0 
 
 
 + ( 12 * 3 ) * 3,5 – VB * 7 = 0 
 
 
 Resultando: 
HÁ = 0 kN 
 
VB = 18 kN 
 
VA = 12 * 3 - 18 = 18 kN 
 x 
 
b) Escolha dos " pontos notáveis “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinar M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as 
convenções de sinais positivas dos Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
𝑉𝐴 = 18 𝑘𝑁 𝑀𝐴 = 0 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐶 = 18 𝑘𝑁 𝑀𝐶 = 18 ∗ 2 = 36 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐷 = 18 − 12 ∗ 3 = −18 𝑘𝑁 𝑀𝐷 = 18 ∗ 5 − 12 ∗ 3 ∗ 1,5 = 36 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐵 = 18 – 12 * 3 = - 18 kN 𝑀𝐵 = 18 ∗ 7 − 12 ∗ 3 ∗ 3,5 = 0 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
 
P á g i n a | 133 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta as Normas anteriormente referidas para 
a construção de diagramas. Ver Normas d), g), i), j), p) 
 
e) (Determinação do Momento Máximo. 
 
 
1. Cálculo da equação do Esforço Transverso 
 no intervalo CD, em que este se anula. 
 
 V = 18 – 12 * ( x – 2) 
 
2. Determinar o valor de x para o qual o 
Esforço transverso se anula. ( v = 0 ) 
 
 18 – 12 * ( x – 2 ) = 0  x = 3,5 m 
 
3. Determinar a equação dos Momentos no 
Intervalo CD e substituir pelo valor de x. 
 
 M = 18 * x – 12 * ( x – 2) * (x – 2) / 2 => para x = 3,5 m, 
 Resultando M max. = 18 * 3,5 – 12 * (1,5) * (1,5/2) = 49,5 KN.m 
 
 
__________________________________________ // _______________________________________________ 
 
 
 
EXEMPLO 4 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 HA = 0 
 
 
 VA – 40 – (20 * 4) – 20 + VB = 0 
 
 
 + (40 * 2) + (20 * 4 * 2) + 100 + (20 * 7) – (VB * 8) = 0 
 
 
 Resultando: 
HÁ = 0 kN 
 
VB = 480 / 8 = 60 kN 
 
VA = 40 + (20 * 4) + 20 - 60 = 80 kN 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 134 
 
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b) Escolha dos " pontos notáveis “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinação de M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as 
convenções de sinais positivas dos Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
 Análise da Esquerda para a direita 
 
𝑉𝐴 = 80 𝑘𝑁 𝑀𝐴 = 0 𝑘𝑁 
 
𝑉𝐹
𝐸𝑠𝑞 = 80 − 20 ∗ 2 = 40 𝐾𝑁𝑀𝐹 = +80 ∗ 2 − 20 ∗ 2 ∗ 1 = 120 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐹
𝐷𝑖𝑟 = 80 − 20 ∗ 2 − 40 = 0 𝐾𝑁 𝑀𝐶 = +80 ∗ 4 − 20 ∗ 4 ∗ 2 − 40 ∗ 2 = 80 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐶 = 80 − 20 ∗ 4 − 40 = −40 𝑘𝑁 𝑀𝐷
𝐸𝑠𝑞 = +80 ∗ 5,5 − 20 ∗ 4 ∗ 3,5 − 40 ∗ 3,5 = 20 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐸
𝐸𝑠𝑞 = 𝑉𝑐 = − 40 𝐾𝑁 𝑀𝐷
𝐷𝑖𝑟 = 𝑀𝐷
𝐸𝑠𝑞 + 100 = 20 + 100 = 120 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑉𝐸
𝐷𝑖𝑟 = 𝑉𝑐 − 20 = 80 − 20 ∗ 4 − 40 − 20 = − 60 𝑘𝑁 
 
𝑉𝐵 = 60 𝑘𝑁 
 
 Considerando agora a análise da direita para a esquerda 
 
 𝑀𝐸 = 60 ∗ 1 = 60 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 𝑀𝐵 = 0 𝑘𝑁. 𝑚 
 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta as Normas anteriormente referidas para 
a construção de diagramas. Ver Normas d), e), f), g), i), j), n), p) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 135 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
EXEMPLO 5 - Seja a viga biapoiada com um balanço. Calcular as reações de apoio, os esforços e desenhar os 
diagramas dos esforços. 
 
 
 
 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resultando: 
HÁ = 0 kN 
 
VB = 27,0 kN 
 
VA = 73,0 kN 
 
b) Escolha dos " pontos notáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinação de M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as convenções de sinais positivas dos 
Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
Esforço Transverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta as Normas anteriormente referidas para 
a construção de diagramas. Ver Normas d), g), i), j) p) 
 
 
P á g i n a | 136 
 
UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Comentários sobre a determinação dos Momentos Máximos positivo e negativos. 
 
1. O Momento Máximo negativo é no apoio A, visto existir um balanço. 
 
2. O Momento Máximo positivo localiza-se entre os apoios A e B, visto existir uma força concentrada no 
 ponto C, (centro do intervalo AB), que vai proporcionar que o Esforço Transverso corte a linha das 
 abcissas, significando que vai assumir o valor zero e por conseguinte o Momento o valor máximo. 
 Esta constatação, tem a ver com a derivada nula da função Momento, ocorrendo quando a função passa 
de crescente a decrescente. 
 
__________________________________________ // ______________________________________________ 
 
 
 
EXEMPLO 6 - Seja a viga biapoiada. Calcular as reações de apoio, os esforços e desenhar os 
diagramas dos esforços. 
 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 Sentidos (+) adotados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 137 
 
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b) Escolha dos " pontos notáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinação de M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as convenções de sinais positivas dos 
Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
Esforço Transverso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento Fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta as Normas anteriormente referidas para 
a construção de diagramas. Ver Normas d), g), i), j), l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 138 
 
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EXEMPLO 7 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura seguinte 
 
 
 
 Sentidos (+) adotados + 
 
a) Cálculo das reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 - 15 * 1 – 10 + VA = 0  VA = + 25 KN 
 
 
 - ( 15 * 1 * 2,5 ) – ( 10 * 2 ) - 12 + MA = 0  MA = + 69,5 Kn.m 
 
 
 
b) Escolha dos " pontos notáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Determinação de M, N e V nos pontos notáveis. 
 
Considerando o efeito das forças atuantes á esquerda e tendo em conta as convenções de sinais positivas dos 
Esforços Solicitantes N, V e M: 
 
 
Esforço Transverso 
 
𝑉𝐷 = 0 𝑘𝑁 
 
𝑉𝐶
𝐸𝑠𝑞 = − 15 ∗ 1 = −15 𝐾𝑁 
 
𝑉𝐶
𝐷𝑖𝑟 = −15 ∗ 1 − 10 = −25 𝑘𝑁 
 
𝑉𝐴 = 𝑉𝐶
𝐷𝑖𝑟 = − 25 𝑘𝑁 
 
 
Momento Fletor 
 
𝑀𝐷 = 0 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑀𝐶 = −15 ∗ 1 ∗ 0,5 = 7,5 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑀𝐵
𝐸𝑠𝑞 = −15 ∗ 1 ∗ 1,5 − 10 ∗ 1 = −32,5 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑀𝐵
𝐷𝑖𝑟 = 𝑀𝐵
𝐸𝑠𝑞 − 12 = −32,5 − 12 = − 44,5 𝑘𝑁. 𝑚 
 
𝑀𝐴 = −15 ∗ 1 ∗ 2,5 − 10 ∗ 2 − 12 = −69,5 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
d) Traçar os diagramas de M, N e V, tendo em conta 
as Normas anteriormente referidas para a construção 
de diagramas de Esforços. Ver Normas d), e), f), g), p) 
 
 
 
 
 
P á g i n a | 139 
 
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Bibliografias Utilizadas 
 
 
 Apostilas da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – FEUP, das Disciplinas: “ Mecânica 
Racional, Mecânica dos Sólidos, Resistência dos Materiais e Mecânica Estrutural “; 
 
 Apostilas do Instituto Superior Técnico da Universidade de Lisboa – IST, da disciplina “ Mecânica 
Estrutural e Análise de Estruturas “ 
 
 Apostila da Universidade Federal de Santa Cataria - UFSC, das disciplinas de “ Mecânica dos Sólidos, 
Resistência dos Materiais e Analise Estrutural “ 
 
 Apostila da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, da disciplina de “ Resistência dos 
Materiais “; 
 
 Apostilas da Universidade de Campinas – Unicamp, das disciplina de “ Resistência dos Materiais e 
Sistemas Estruturais “; 
 
 Apostila da Universidade Politécnica de São Paulo, intitulada: “ Curso básico de Resistência dos 
Materiais “; 
 
 Apostilas da PUC - Rio Grande do Sul, na disciplina “ Resistência dos Materiais I “; 
 
 Apostila da FATEC, da disciplina de “ Mecânica dos Materiais “; 
 
 Apostilas da Faculdade de Engenharia da Ilha Solteira – UNESP, das disciplinas de “ Mecânica dos 
Sólidos e Mecânica dos Materiais “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNINOVE / 2016 Revisões - Vol. III Fernando Monteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas Finais: 
 
Caríssimos Alunos: 
 
O presente documento, resulta da consulta de várias apostilas disponibilizadas na internet, 
provenientes de Universidades Brasileiras e Portuguesas, pretendendo unicamente ser um elemento de 
consulta rápida, com o propósito de relembrar alguns conceitos já ministrados em outras disciplinas afins. 
Estes apontamentos não dispensam de modo algum a bibliografia aconselhada na presente 
disciplina. 
 
 
 Boa Leitura. 
 
 Fernando Monteiro 
 
 ( UNINOVE ) 
 Curso de Engenharia Civil, 2016