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SFTD_TFTD.pdf
Análise de Sinais de 
Tempo Discreto no 
Domínio da Frequência 
1 
 um sinal de tempo discreto x(n) é 
periódico se para algum valor positivo N, 
temos: 
x(n) = x(n + N) 
Isso é possível somente se 
 N.w = 2..m N e m inteiros 
2 
 também temos que uma sequência 
exponencial complexa é dada por 
x(n)=Bejn = Brjn 
 Assim, o conjunto de todos os sinais 
exponenciais complexos de tempo discreto é 
dado por: 
 k = 0, 1, 2,  
onde: w0 = 2 /N0 
 
njkw
k enx
0)( 
 
3 
 Uma distinção muito importante entre as 
exponenciais complexas de tempo discreto e 
as de tempo contínuo é que os sinais ejot são 
distintos para valores distintos de 0, mas as 
seqüências ejwon, são distintas em freqüências 
que contemplam 2. 
  njwknjnjwnkwj eeee 000 2
2  
 
4 
 
Série de Fourier de 
Tempo Discreto 
 (DTFS) 
5 
 Um sinal periódico qualquer x(n) pode ser 
aproximando como uma combinação linear como 
a seguir: 
 
 
 
podemos considerar a representação de um 
sinal como uma superposição ponderada de 
sinosóides complexas. 




1
0
0
0)(
N
k
njkw
keanx
 
6 




1
00
0
0)(
1 N
n
njkw
k enx
N
a
 
7 
 onde 
ak é o coeficiente exponencial da Série de 
Fourier de Tempo Discreto (DTFS). 
Então podemos dizer que x(n) e ak são um 
par da Série de Fourier de Tempo Discreto 
(DTFS). 




1
00
0
0)(
1 N
n
njkw
k enx
N
a
 




1
0
0
0)(
N
k
njkw
keanx
8 
 
9 
 
10 
 
11 
 
12 
Exemplo 
 Obtenha a Série de Fourier de Tempo Discreto 
para a seqüência a seguir. Trace o espectro de 
amplitude e fase. 
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x[n
]
n
13 
Exemplo 
 Obtenha a Série de Fourier de Tempo Discreto 
para: 
x(n) = sen((0,1.)n) 
 Trace o espectro de amplitude e fase. 
14 
Exemplo 
 Obtenha a Série de Fourier de Tempo Discreto 
para: 
x(n) = cos((/4)n) 
 Trace o espectro de amplitude e fase. 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
 Exercicios 
Dados sinais abaixo indicados, determine os 
espectros de amplitude e de fase 
28 
29 
Transformada de Fourier 
de Tempo Discreto 
 (DTFT) 
30 
 Seja um sistema discreto LTI: 
 
 
 
com, x(n) = ejwn 
 A saída y(n) pode ser calculada como: 
y(n) = x(n) * h(n) 
31 
 Definindo: 
 
 
)(.)()( knxkhny
k
 


)(.)()( knjw
k
ekhny 



jwk
k
jwn ekheny 


 .)(.)(




k
jwkekhwH )()(
(4.15) 
32 
 A função H(w) na equação acima é 
conhecida como transformada de Fourier de h(n). 
Para uma seqüência x(nT) a transformada de 
Fourier, X(w), é definida como 




n
jwnenTxwX )()(
(4.16) 
33 
 Da serie de Fourier, temos: 




1
0
0
0)(
N
k
njkw
keanx




1
00
0
0)(
1 N
n
njkw
k enx
N
a
(4.17) 
34 
 Fazendo o período tender a infinito podemos 
reescrever a última equação como a seguir. 




n
njkw
k enx
N
a 0)(
1
0
(4.18) 
35 
 Substituindo a equação (4.16) na equação 
(4.18), vem: 
 
)(
1
0
0
wX
N
ak 
 Substituindo a equação (4.19) na equação 
(4.17), vem: 
(4.19) 






1
0
0
1
0 0
0
0
0
0 )(
2
1
)(
1
)(
N
k
njkw
N
k
njkw
wewXewX
N
nx 
36 
 Quando N0  , w0 = 2/N0 torna-se 
infinitesimal (w0  0). Neste caso a última 
equação torna-se 
 



2
0
)(
2
1
)( dwewXnx jwn
(4.20) 
37 
 Assim, a representação por transformada 
de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) é expressa 
como: 
 



2
0
)(
2
1
)( dwewXnx jwn




n
jwnenTxwX )()(
38 
Exemplo 
 Obtenha a Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto para: 
x(n) = anu(n) 
 Trace o espectro de amplitude e fase. 
39 
Exemplo 
 Obtenha a Transformada de Fourier de Tempo 
Discreto para: 
x(n) = u(n) – u(n – 6 ) 
 Trace o espectro de amplitude e fase. 
40 
Exemplo 
 Obtenha a Transformada de Fourier Inversa de 
Tempo Discreto para: 
 
 





  || W 0
 W || 1
 )(
w
w
eX jw
41 
Propriedades da Transformada de 
Fourier de Tempo Discreto 
 As propriedades básicas da transformada de 
Fourier são apresentadas a seguir. Há muitas 
semelhanças e várias diferenças em relação ao 
caso contínuo. Quando a R0C de X(z) contém o 
círculo unitário, muitas dessas propriedades 
tornam-se similares a transformada Z. 
42 
Periodicidade 
 
X(w + 2 ) = X(w) 
Obs: 
 0 ≤ w < 2 
 
 
Linearidade 
 
F[ax1(n)  bx2(n)] = = aX1(w)bX2(w) 
 
onde a e b são constantes arbitrárias. 
 



n
jwnenbxnax )()( 21
43 
Deslocamento de tempo 
 
 
 F [x(n - p)] = 
 
Deslocamento de freqüência 
 
 
 F [ejw0nx(n)] = X(w – wo) 
 
Inversão de Tempo 
 
 F [x(-n) ] = = X(-w) 
)()( wXeepnx jwp
n
jwn 


 




n
jwnenx )(
44 
Exemplo 
 Calcule a transformada de Fourier de tempo 
discreto das seguintes seqüências. 
 
i) x[n] = (n - n0) 
ii) x[n] = ejw0n 
iii) x[n] = cos(w0n) |w0| ≤  
45 
Multiplicação por n (ou Diferenciação em 
freqüência) 
 
 F [nx(n)] = = 
 
 
Convolução 
 
 
 
Acumulação 
 
|w|≤ 
 




n
jwnennx )( dw
wdX
j
)(
  )()()(*)( 2121 wXwXnxnxF 
)(
1
1
)()0()( wX
e
wXkxF
jw
n
k

 






 
46 
Conjugação 
 
 F[x*(n)] = =X*(-w) 
 
Relação de Parseval 
 
 
 




n
jwnenx )(*
 


 2
22
)(
2
1
][ dwwXnxE
n
x
47 
 Calcule a transformada de Fourier de tempo 
discreto das seguintes seqüências. 
i) x[n] = u[n] 
ii) x[n] = 5u[n] – 3u[n -10] 
ii) x[n] = u[-n] 
iii) x[n] = 5nu[n] 
iv) x[n] = u[n]* 3[n -10] 
Exemplos 
48 
Características dos
Sistemas LTI no 
Domínio da Freqüência 
 A saída y(n) de um sistema LTI de tempo 
discreto pode ser determinada fazendo-se a 
convolução do sinal de entrada x(n) com a 
resposta ao impulso h(n); isto é, 
y(n) = x(n)*h(n) 
49 
 Aplicando a propriedade da convolução da 
transformada de Fourier, obtemos 
Y(w) = X(w)H(w) 
onde Y(w), X(w) e H(w) são as transformadas de Fourier 
de y(n), x(n) e h(n), respectivamente. 
50 
 A transformada de Fourier de tempo 
discreto de uma resposta ao impulso é chamada 
de resposta em Frequência (ou Função de 
Transferência) de um sistema LTI e é denotada 
por 
51 
Sendo que 
 
 A função H(w) é chamada resposta em freqüência 
do sistema, |H(w)| é a resposta de magnitude ou 
amplitude do sistema e (w) é a resposta de fase do 
sistema. 
 
Obs: casos interessantes/especiais, x(n) = ejw0n , x(n) = 
Acos(w0n + 0) 
52 
Exemplo 
 Determinar a resposta em frequência H(w) 
de um sistema caracterizado por h(n) = 
(0.5)nu(n). 
 Traçar as respostas da magnitude e de fase. 
53 
 Muitos sistemas LTI de tempo discreto são 
descritos por equações de diferença lineares com 
coeficientes constantes na forma 
 
 
com M  N. 
54 
 Aplicando a transformada de Fourier de 
tempo discreto, e rearranjando a equação, vem: 
 
55 
Exemplo 
 Determinar a resposta em frequência H(w) 
do sistema 
 
Traçar as respostas da magnitude e de fase para 
0  w  π. 
56 
Relação entre as Transformadas de Fourier de 
tempo contínuo e discreto 
 Até agora tratamos de seqüências 
discretas, onde não existe qualquer informação 
sobre o intervalo de tempo físico existente entre 
a i-ésima amostra e suas vizinhas imediatas i + 1 
e i + 2. 
57 
 Em muitas aplicações as seqüências discretas 
são obtidas a partir de sinais contínuos. 
 
 
 
onde T é o período de amostragem, e fs = 1/T é a 
freqüência de amostragem. 
 Matematicamente, tratamos a amostragem (ou 
discretização) em dois estágios: 





n
aanTta
nTttxntxtxnx )().()()()( 
58 
1. Um gerador de trem de impulsos (delta de Dirac) 
2. Um conversor de impulsos para seqüências 
 Tais estágios são apresentados na figura a 
seguir, onde fica claro a modulação entre o sinal 
contínuo xa(t) e o trem de impulsos (t). O 
conversor na verdade é um dispositivo eletrônico do 
tipo sample-and-hold. 
59 
conversor 
x(n) 
(t) 
xa(t) xs(t) 
x(n) = xs(t) = xa(nT) 
 Portanto, as amostras somente serão 
definidas para os instantes 
t = nT = n/Fs=2πn/wT 
onde T é o tempo entre as amostras, Fs é a 
freqüência de amostragem e wT= 2πFs é a 
freqüência angular de amostragem. 60 
Exemplo 
xa(t) x(n) = xs(t) 
61 
 O sinal amostrado representado na 
figura anterior é obtido modulando o sinal 
contínuo xa(t) com o trem de pulsos (t), com 
isto, temos um sinal amostrado no domínio 
contínuo: 




n
as nTtnTxtx )().()( 
62 
 Então 






 
n
Tnj
a
tj
ss enTxdtetxX )()()(
 Da definição da amostragem de um sinal, temos 
x(n) = xa(nT), e a definição da DTFT nos dá 




n
jwnenxwX )()(
 Por comparação, temos: 
Tws wXX  )()(
63 
 Logo 




k
aa kX
T
TX )(
1
)(
Ou seja, X(w) é uma versão “escalada” em 
freqüência de Xs() (escala definida por w = 
T). 










k
a
T
k
T
w
X
T
wX
21
)(
64 
 Apenas reforçando, quando 
discretizamos o sinal xa(t) em xs(t) (e 
consequentemente x(n)), a sua DTFT 
corresponde a soma de réplicas da 
Transformada de Fourier do sinal contínuo 
original xa(t), espaçadas a cada 2 radianos, o 
que mantém a periodicidade implícita da DTFT. 
65 
sequencias numericas.pdf
Sequencia de números discretos 
1 
 A figura 1.1 ilustra o processamento de um 
sinal analógico por sistema digital 
Processamento 
Digital A/D D/A 
Conversor 
Analógico
Digital 
Conversor
Digital 
Analógico 
Sinal de 
entrada 
Sinal de 
Saída 
Figura 1.1 – Processamento Digital de Sinais 
2 
1.2 Sinais 
 Um sinal é definido como qualquer 
quantidade física que varia com o tempo, 
espaço, ou qualquer outra variável 
independente ou variáveis. Matematicamente, 
nós descrevemos um sinal em função de uma 
ou mais variáveis independentes. 
 
3 
 Todo sinal carrega algum tipo de 
informação e o objetivo do processamento do 
sinal é extrair ou modificar a informação 
contida no sinal. 
 
4 
1.2.1 Sinais de tempo discreto 
 
Definição: um sinal de tempo discreto possui um 
valor (informação, amplitude) somente em 
determinados pontos fixados no tempo. Dessa 
forma, a variável independente, neste caso, tem 
somente valores discretos, os quais no geral são 
uniformemente espaçados. 
 
5 
 Matematicamente, um sinal de tempo 
discreto é representado por uma função de uma 
variável independente n. Usualmente, n 
representa o tempo. Assim, um sinal é indicado 
por x(n), e sua representação gráfica é mostrada 
na figura 1.2 
 
6 
 
Figura 1.2 – Representação gráfica de um sinal de tempo discreto 
 
7 
 Além da representação gráfica de um sinal 
discreto no tempo ou seqüência, como ilustrado na 
figura 1.2, existem algumas representações alternativas 
que são muitas vezes mais fácil de usar. Estas são: 
1. Representação funcional 
 
 
2. Represntação tabular 
 
 8 
3. Representação de sequência 
 Uma sequência ou sinal de duração infinita, com a 
origem do tempo (n = 0) indicado pelo símbolo , é 
representado como 
x(n) = {, 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, } 
 
 
9 
 Uma sequência x(n), que é zero para n < 0, 
pode ser representada como 
x(n) = {0, 1, 4, 1, 0, 0, } 
 
A origem do tempo para uma seqüência x(n), que 
é zero para n < 0, é o ponto (mais à esquerda) na 
seqüência. 
10 
 Uma seqüência de duração finita pode ser 
representada como 
x(n) = {3, -1, -2, 5, 0, 4, -1} 
 
enquanto que uma seqüência de duração finita, 
que satisfaz a condição x(n) = 0 para n < 0 pode 
ser representada como 
x(n) = {0, 1, 4, 1} 
11 
 Na grande maioria das aplicações práticas 
de processamento digital de sinais. Um sinal de 
tempo discreto freqüentemente é derivado de um 
sinal de tempo contínuo fazendo-se uma 
amostragem do mesmo a uma taxa uniforme. 
12 
 1.2.1.1 – Seqüências Elementares 
 
 Há diversos sinais elementares que se 
destacam no estudo dos sinais e sistemas. 
Descreve-se a seguir estes sinais. 
13 
i) Função Impulso 
 
O impulso unitário, comumente denotada por (n), é: 
  ,0,0,1,0,0,
0 1
0 0
)( 






n
n
n
14 
ii) Função Degrau 
 
A função degrau, comumente
denotada por u(n), é: 
},1,1,1,1{
},1,1,1,1,0,0,{
0 1
0 0
)(









n
n
nu
15 
iii) Função Rampa 
 
Como um sinal de teste, a função rampa nos 
possibilita avaliar como um sistema reagiria a um 
sinal que cresce linearmente com o tempo. 
 
 r(n)=nu(n) 






0 
0 0
)(
nn
n
nr
16 
iv) Sinais Exponenciais Reais 
 Em termos de tempo discreto, é uma prática comum 
escrevermos um sinal exponencial real como 
(1.4) 
 A natureza exponencial deste sinal é prontamente 
confirmada definindo-se 
 
 para algum . 
er 
nBrnx )(
 
17 
Exponencial decrescente, para a qual 0 < r < 1 
 
18 
Exponencial crescente, para a qual r > 1 
 
19 
 
É neste ponto que o caso dos sinais 
exponenciais de tempo discreto é 
distintamente diferente dos sinais 
exponenciais de tempo contínuo. Note que 
quando r < 0, um sinal exponencial de 
tempo discreto assume sinais (+, -) que se 
alternam. 
 
20 
 
21 
Exemplo 
 Esboce os sinais exponenciais x(n) dados a 
seguir. 
 
i) x(n) = (-1/2)n 
ii) x(n) = 5n 
iii) x(n) = -3n 
22 
v) Sinais Exponenciais Complexos 
Em sua forma mais geral, pode ser escrito como 
 
 x(n)=Bejn = Brjn (1.5) 
 
onde: 
 B é a amplitude, 
 r = e 
 α = (-ja + w) 
 a = atenuação 
 w = freqüência em rad 
 
23 
a) r < 1 b) r > 1 
0 20 40 60 80 100 120
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x
[n
]
0 20 40 60 80 100 120
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[
n]
24 
vi) Sinais Senoidais 
Em sua forma mais geral, pode ser escrito como 
x(n)=A cos(wn + ) (1.6) 
onde: 
 A é a amplitude, 
 w é a freqüência em radianos por segundo, 
  é o ângulo de fase em radianos. 
 
25 
A Figura a seguir ilustra um sinal senoidal de tempo 
discreto para A = 1,  = 0 e N = 12. 
 
26 
vii) Relação entre Sinais Senoidais e 
Exponenciais Complexos 
Usando a identidade de Euler, temos 
ej = cos  + j sen  (1.7) 
Definindo 
B = Aej (1.8) 
Ou seja, podemos escrever 
A cos(w n + ) = Re {Bejwn } (1.9) 
e 
A sen(w n + ) = Im {Bejwn} (1.10) 
27 
Exemplo 
 Determine as componentes real e imaginária 
dos sinais exponenciais complexos x(n) dados a 
seguir. 
 
i) x(n) = 3e-j(3/2)n 
ii) x(n) = 5x3jn 
28 
Exemplo 
 Utilizando a identidade de Euler escreva os 
sinais exponenciais complexos em termos de sinais 
senoidais, e vice-versa, dados a seguir. 
 
i) x[n] = 5e-j(5/3)n 
ii) x[n] = 3cos(7/4) + 4sen(9/13) 
29 
viii) Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido 
 
x(n) = B rn sen(wn + )] (1.11) 
 
Para que o sinal da equação (1.11) decresça com o 
tempo, o parâmetro r deve situar-se na faixa 0 < | r | 
< 1. 
30 
0 20 40 60 80 100 120
-10
-5
0
5
10
15
x[
n]
n
31 
ix) Seqüência Aleatória 
 Muitas seqüências na prática não podem 
ser descrita por expressões matemáticas como 
mostradas anteriormente. Estas seqüências são 
chamadas de seqüências aleatórias (ou 
estocásticas) e são caracterizados por 
parâmetros de funções densidade de 
probabilidade associada aos seus momentos 
estatísticos. 32 
1.2.1.2 Classificação de Seqüências 
i) Seqüências pares e ímpares 
 
- seqüência par: x(-n) = x(n) para todo n 
- seqüência ímpar: x(-n)= -x(n) para todo n 
 
Obs: 
 seqüências pares - são simétricas em relação ao 
eixo vertical 
 
seqüências ímpares - são anti-simétricas 
(assimétricas) em relação à origem de tempo. 
(1.12) 
 
33 
Figura 1.2 – a) Seqüência x(n) par. b) Seqüência x(n) 
impar. 
b) 
a) 
 
34 
 Qualquer seqüência x(n) arbitraria de valor 
real pode ser decomposta em componentes par 
e ímpar 
x(n) = xp(n) + xi(n) (1.13) 
onde as partes pares e ímpares são dadas por 
xp(n) = [x(n) + x(-n)]/2 e xi(n) = [x(n) – x(-
n)]/2 
 
35 
ii) Seqüência periódica, seqüência não periódica. 
 
-seqüência periódica: x(n) = x(n + N) para todo n 
inteiro 
 onde N é um número inteiro positivo . 
 
período fundamental de x(n) : o menor valor inteiro 
positivo de N que satisfaz a equação 
 x(n)= x(n + N) (1.14) 
 
 freqüência angular de x(n) é definida por 
 w = 2/N (1.15) 
 
36 
Especificamente, para que o seqüência senoidal de 
tempo discreto seja periódica, a freqüência angular 
w deve ser um múltiplo na forma de razão de 2. 
 
Obs: 
 x(n + N) = A cos(wn + wN + ) 
 
em geral, exigimos que 
 w N = 2  m radianos 
 ou 
w = (2  m)/N rad/ciclo, m, N inteiros 
37 
- seqüência aperiódica ou não-periódica: qualquer seqüência 
x(n) para a qual não haja nenhum valor inteiro positivo de N para 
satisfazer a condição x(n) = x(n + N). 
Figura 1.3 – a) Onda quadrada alternando entre –1 e +1. 
 b) Seqüência aperiódica consistindo de três amostras diferentes de 
zero. 
a) 
b) 
 
38 
iii) Seqüência de potência e seqüência de energia 
A potência instantânea dissipada no resistor é definida 
por 
 (1.16) 
ou, de modo equivalente, 
 (1.17) 
se R = 1 , vem 
 (1.18) 
Rnvnp /)()( 2
)()( 2 nRinp 
)()( 2 nxnp 
 
39 
A potência média da seqüência de tempo discreto 
x(n) é; 





1
0
2 )(
2
1
lim
N
n
N
nx
N
P
Obs: como há período N (seqüências periódicas) 




1
0
2 )(
1 N
n
nx
N
P
(1.19
) 
 
40 



N
Nn
nx
N
E )(
lim 2
A energia total da seqüência de tempo discreto x(n) 
é; 
Obs: como não há período; N   (seqüências aperiódicas) 




n
nxE )(2
(1.20) 
 
41 
Uma seqüência é chamada de seqüência de energia 
se e somente se a energia total da seqüência 
satisfazer a condição 
 0 < E <  
 
Por outro lado, ela é chamada de seqüência de 
potência se e somente se a potência média da 
seqüência satisfazer a condição 
 0 < P <  
 
42 
Exemplo 
 Determine se os seguintes sinais são periódicos. 
Se forem, encontre o período fundamental 
 
i) x[n] = cos(2n) 
ii) x[n] = cos(2n) 
 
43 
Exemplo 
Os sinais senoidais x(n) dados a seguir são 
periódicos? Caso afirmativo qual o período 
fundamental. 
 







533
5
cos10][

nnx






 nsennx
7
20
5][
44 
Exemplo 
 Determine o período fundamental dos sinais 
exponenciais complexos x[n] dados a seguir.
i) x(n) = 3e-j(/2)n 
ii) x(n) = 3x5jn 
45 
Exemplo 
Determine se o sinal é de potência ou energia. 
Calcule a sua respectiva potência ou energia. 
 
i) 
 
 
ii) cos(n) n  0 
4n4- 
2






nsen

 
46 
1.2.1.3 Operações Básicas em Sinais 
 Uma questão de fundamental importância 
no estudo de sinais e sistemas é o uso de sistemas 
para processar ou manipular seqüências. Esta 
questão normalmente envolve uma combinação de 
operações básicas. A seguir identificaremos algumas 
destas operações. 
47 
i) Soma e produto de duas seqüências 
Assumindo x(n) e y(n) quaisquer, a soma e o 
produto dessas seqüências é definida, 
respectivamente, por: 
s(n) = x(n) + y(n) n|n  Z 
s(n) = x(n) . y(n) n|n  Z 
Note que as operações soma e produto são feitas 
amostra a amostra. 
(1.21) 
 
48 
ii) Produto com escalar 
Assumindo x(n) e  quaisquer, o produto do 
escalar  pela seqüência x(n) é definida por: 
s(n) = .x(n) (1.22) 
Observe que todas as amostras da seqüência 
são multiplicadas por . 
49 
iii) Deslocamento no tempo (avanço ou atraso) 
 
y(n) = x(n - m) (1.23) 
 
em que o deslocamento m deve ser um número 
inteiro; ele pode ser positivo ou negativo. 
 Se m > 0, a forma de onda que representa 
x(n) é deslocada intacta para a direita, em relação 
ao eixo do tempo. 
 Se m < 0, ela é deslocada para a esquerda. 
 
50 
 A figura a seguir ilustra a operação de deslocamento 
no tempo. 
 
51 
iv) Reflexão 
 
y(n) = x(-n) (1.24) 
 
 A seqüência y(n) representa uma versão 
refletida de x(n) em relação ao eixo de amplitude. Os 
dois casos seguintes são de especial interesse: 
 
52 
 Sinais pares, para os quais temos x(-n) = x(n) 
para todo n; ou seja, um sinal par é o mesmo que 
sua versão refletida 
 Sinais ímpares, para os quais temos x(-n) = -x(n) 
para todo n; ou seja, um sinal ímpar é o negativo de 
sua versão refletida. 
53 
 
A figura a seguir ilustra a operação de reflexão. 
54 
v) Mudança de escala de tempo 
 
y(n) = x(kn), k > 0 (1.25) 
 
Se k > 1, então alguns valores da seqüência de tempo 
discreto y(n) são perdidos, como ilustra a Figura a 
seguir. 
55 
Exemplo 
 Escreva o sinal x[n] a seguir, utilizando o sinal 
impulso unitário e a propriedade do deslocamento 
no tempo. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[
n]
56 
Exemplo 
 
 Digamos que x[n] seja dado na figura a seguir. 
Determine suas componentes par e impar. 
-5 0 5 10 15
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x[
n]
n
57 
Exemplo 
 
Digamos que x[n] seja dado na figura a seguir. 
Esboce cuidadosamente os seguintes sinais. 
 
i) y[n] = x[2n] 
ii) y[n] = x[(1/3)n] 
-5 0 5 10 15
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x[
n]
n
58 
Exemplo 
 
 Digamos que x[n] seja dado na figura a seguir. 
Esboce cuidadosamente o seguinte sinal. 
 
i) y[n] = x[-n] 
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x[
n]
n
59 
Exemplo 
 
 Digamos que x[n] seja dado na figura a seguir. 
Esboce cuidadosamente o seguinte sinal. 
 
i) z[n] = x[n].y[n] ii) z[n] = x[n]+y[n] 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
0 
0.5 
1 
1.5 
2 
2.5 
3 
3.5 
4 
4.5 
5 
n 
y
[n
] 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
-1 
-0.8 
-0.6 
-0.4 
-0.2 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
n 
x
[n
] 
60 
Exemplo 
 Digamos que x[n] seja dado na figura a 
seguir. Esboce cuidadosamente os seguintes 
sinais. 
 
i) y[n] = -x[n] 
ii) y[n] = 2x[n] 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[
n]
61 
Exercícios 
 Digamos que x[n]e y[n] sejam dados nas 
figuras a seguir. Esboce cuidadosamente os 
seguintes sinais. 
 
i) x[3n-1]; ii) y[1-n]; iii) x[n+2]+y[n-4]; iv) x[-n]y[-2-n] 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x[
n]
n
-2 -1 0 1 2 3 4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y[
n]
n
62 
Exercicios_SFTD.pdf
 Exercicios 
Dados sinais abaixo indicados, determine os 
espectros de amplitude e de fase 
28 
29