Tarefa Econometria II Doutorado UEM

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Hipótese de trabalho – Os impactos das variáveis reais e institucionais como explicação para renda e eficiência do governo.
MODELO 1
Seguindo a teoria institucionalista de que variáveis qualitativas como eficiência dos governos e baixo nível de corrupção podem contribuir de forma significativa para a renda ou crescimento econômico de um país, principalmente no longo prazo, foram levadas em consideração na regressão duas variáveis qualitativas (goveff e coraart) regredidas contra o log do produto, lngdp99, para países com renda per capita inferior a 7 mil dólares. A variável coraart, mede o grau de corrupção, e a variável goveff mede o grau de eficiência do governo, sendo ambas as variáveis números-índice referentes a nota atribuída a cada país de acordo com a avaliação de um organismo internacional.
Dada a variável dependente, podemos averiguar quais são os impactos dentro das alterações para mais ou para menos do logaritmo da renda que um determinado país incorre quando da variação de indicadores qualitativos que meçam exatamente a posição relativa de cada observação em comparação com as demais, ou seja, uma vez que tais indicadores são estabelecidos dentro de um intervalo conhecido, por meio de uma nota que está sujeita as notas atribuídas aos demais países da amostra.
Dada a forma com que as variáveis independentes foram coletadas, optou-se pelo logaritmo do produto como forma de melhor ajuste para as diferentes escalas dentro do DGP referente às variáveis explicativas, conforme será verificado abaixo nos resultados das regressões com e sem constante. O ajuste, inicialmente sem constante, também foi uma opção devido ao significado econômico dos dados, uma vez que estão sendo avaliados os impactos das classificações para corrupção e eficiência do governo nas alterações da renda, não esperamos um comportamento de média na contribuição de números que são medidos dentro de um intervalo específico, ou seja, números índices. No entanto, devido a alguns testes estatísticos que se fazem necessários para verificar a normalidade das variáveis foram realizadas estimações com constante no intuito de preencher esse requisito para mera demonstração dos resultados. Em relação à significância global das duas regressões, abaixo segue a regressão com e sem constante respectivamente realizada para os países da amostra com renda per capita inferior a 7 mil dólares.
Resultados MODELO 1
	Podemos verificar também o impacto que cada coeficiente possui em relação à variável dependente por meio do comando beta, utilizado como opção na regressão estimada. 
Verificamos que embora a variável corrupção tenha um valor numérico maior em termos de impacto na variação da taxa de crescimento é a eficiência do governo que de fato tem um maior impacto na renda de acordo com a análise dos betas.
Na regressão com constante a variável eficiência do governo se torna estatisticamente pouco significante, com um valor p de 0.255, poderíamos concluir que ela é desnecessária para explicar renda, porém, quando os dados são gerados sem constante, a mesma se torna significativa, indicando a ausência de comportamento de média por parte do DGP. Conforme dito acima, para os testes estatísticos que exigem a presença de um modelo com constante para serem realizados, utilizaremos sempre o modelo com constante.
Os valores dos coeficientes nos indicam que tanto a corrupção quanto a eficiência do governo contribuíram para que os países possuíssem uma renda mais elevada para o ano em questão, o que, a princípio contradiz a teoria, uma vez que se espera um coeficiente negativo para a nota de corrupção em termos do impacto na renda. Uma explicação poderia ser o fato de que ambas as variáveis tenham uma correlação forte o suficiente para explicarem juntas os efeitos sobre a renda, mas não para explicarem de forma separada o mesmo. Tal suposição se embasa no fato de que os dados abrangem uma parte da amostra original, levando em consideração apenas países com renda per capita inferior a 7 mil dólares, e tendo um grupo homogêneo de dados, não é esperado que outliers influenciem os coeficientes de tal forma que os faça mudar seu sentido condizente com a teoria.
Para investigar mais a fundo a questão, podemos olhar os dados mais de perto antes da realização dos testes estatísticos.
	
Conforme dito acima, as variáveis coraart e goveff são números índices que variam dentro de um intervalo, enquanto o logaritmo do produto representa a variação da renda entre os países. Não existem valores perdidos (missing values) dentro da amostra, as observações estão completas para os 57 países. Maiores detalhes são colocados acima com o comando codebook, onde podemos verificar a concentração dos dados, nenhuma das informações acima podem nos explicar com maiores detalhes o porquê do coeficiente para a variável corrupção ser positivo, portanto algumas informações a mais se fazem necessárias. O intervalo no qual incorre os valores numéricos de cada variável pode fornecer uma pista a respeito da inconsistência teórica dos dados, para tanto, abaixo estão sumarizados os dados de cada variável:
Conforme podemos notar, a variável coraart está distribuída dentro de um intervalo que vai de 0.3567 a 1, enquanto a variável goveff vai de -1.3207 a 1.1658, já a variável dependente lngdp99 vai de 5.2470 a 8.6827, a discrepância de escalas pode contribuir negativamente para os resultados estatísticos, para facilitar a compreensão foi estimada uma regressão onde as variáveis explicativas são transformadas em logaritmo conforme a variável que elas estão explicando. Os resultados aparecem logo abaixo:
Os resultados em nada se diferem dos anteriores em termos do ajuste da reta de regressão, ambas as regressões são estatisticamente significante, no entanto, os sinais das variáveis mudaram, indicando uma compreensão contrária aos resultados expostos anteriormente. Neste caso, tanto corrupção quanto eficiência do governo parecem contribuir de forma negativa para a renda. Outro fator importante foi a perda de 37 observações que são todas relativas à variável eficiência do governo, tal fato ocorre devido aos valores da variável e também influencia negativamente os resultados estatísticos acima. Uma vez que não estamos analisando as mesmas observações, não podemos compará-las. 
Como os dados acima não podem ser comparados com a regressão original, além de que não apresentam nenhuma melhora significativa, retornamos a regressão original conforme resultados abaixo, sem constante, e fazemos os testes individuais para verificar a significância estatística dos coeficientes. Os resultados dos testes nos indicam que nenhum dos coeficientes pode ser considerado nulo, seja individual ou separadamente, conforme o apresentado nos testes t realizados automaticamente nas saídas abaixo. Para efeito de comparação entre os coeficientes da regressão o comando beta foi utilizado como opção para os resultados da regressão. O comando nos permite comparar os coeficientes de cada variável para ter uma idéia da contribuição individual de cada uma delas contra a variável dependente na forma de desvios padrão. O comando seguinte, listcoef nos permite concluir essa idéia não somente em relação ao impacto individual de cada variável, mas também em relação ao conjunto da regressão.
	Dada a não compatibilidade da regressão sem constante com o comando listcoef, o comando acima foi realizado para a regressao com constante. O bStdX nos mostra o valor esperado da mudança no logaritmo da renda em relação à mudança de um desvio padrão em cada variável explicativa, confirmados os sentidos do impacto de cada uma delas, indicando uma relação negativa com o índice de corrupção e postiva com a eficiência do governo, (lembrando mais uma vez, que este resultado se refere ao modelo com constante, que em relação aos sinais das variáveis, se mostrou condizente com a teoria e com aquilo que esperávamos). O bStdY indica o valor esperado da mudança de um desvio padrão em Y devido a mudança de uma unidade em X, obStdXY representa o efeito esperado sobre o desvio padrão de Y dada a mudança de um desvio padrão em X, e por último, o SDofX é o desvio padrão de cada variável explicativa. Nas informações acima vemos que a variável corrupção possui um impacto muito maior sobre a variável dependente do que a eficiência do governo, -0.4117 contra 0.2434, além do fato de que a mesma possui um nível de significância baixo na regressão com constante. Os demais valores de bStdY e bStdXY contribuem no mesmo sentido, o de que a variável corrupção tem uma maior importância para se explicar os valores da variável dependente logaritmo da renda do que a variável eficiência do governo.
	Os resultados no que diz respeito a capacidade de previsão do modelo sem constante são analisados abaixo por meio do comando predict e plotados em um gráfico para melhor visualização dos pontos sobre a reta de regressão mostrando os valores preditos e os valores reais:
	Conforme o gráfico acima podemos ter a ideia de que, mesmo as variáveis sendo estatisticamente significantes, a capacidade de previsão do modelo é muito pequena, a aparência é de que a dispersão dos valores em torno da reta de regressão é grande o suficiente para invalidar o modelo, tais informações poderam ser verificadas pelo tamanho do desvio padrão em relação aos valores dos betas e também pelo sinal contrário ao esperado para a variável corrupção, mas ainda assim a visualização gráfica se faz necessária para confirmar essa pressuposição. Demais testes serão realizados como forma de compreender melhor os resultados apresentados.
Os gráficos abaixo mostram a distribuição das funções de probabilidade para verificarmos o quanto cada variável se aproxima de uma distribuição normal, importante no sentido de validar os pressupostos básicos do modelo, bem como para atestar a capacidade de previsão do mesmo:
	Ambas as variáveis se aproximam de uma distribuição normal, mais uma vez confirmam a significância estatística dos resultados apesar do desvio padrão dos coeficientes. Tal fato indica o quanto as variáveis se enquadram dentro dos pressupostos básicos do modelo de regressão linear de mínimos quadrados, muito embora a pouca capacidade de previsão vista no gráfico de predict anterior. Aparentemente, transformações das variáveis não se fazem necessárias uma vez que as mesmas se aproximam da distribuição normal, esse fato pode ser apresentado conforme os gráficos abaixo que analisam como poderia ser a distribuição, caso as variáveis fossem transformadas. 
	
Pontos principais							
Por fim, verificamos que a) os países mais corruptos foram os que mais cresceram no ano, contrariando a teoria anteriormente exposta, e, b) os países onde os governos são mais eficientes também cresceram mais no ano, o que nos leva a concluir que a eficiência de um governo pode ser importante o suficiente para sobrepujar demais influências negativas como, por exemplo, o nível de corrupção ou c) de que os dados não parecem condizer com a realidade, não se encaixam de fato com a teoria, seja por manipulação dos mesmos, seja pela forma com que estão distribuídos. Tal suspeita pode ser traduzida pela dispersão dos pontos de previsão plotados ao redor da reta de previsão indicando uma capacidade de previsão muito pequena do modelo, as variáveis explicativas embora forneçam significância estatística, podem não ser as mais adequadas para se explicar renda, além de que, caso as variáveis explicativas estejam correlacionadas, indicando a presença de multicolinearidade, a dispersão dos pontos tende a ser maior, para verificar se este se constitui um problema para os dados acima, foram regredidos os dados de ambas as variáveis explicativas contra si e calculado o fator de inflação da variância (VIF) a tolerância (TOL) que é o inverso do VIF.
	
Vemos no gráfico acima uma relação negativa entre as variáveis corrupção e eficiência, o que nos demonstra que pode haver problemas com multicolinearidade devido à relação quase perfeita entre as mesmas. Para um grau de corrupção mais alto está associado um grau de eficiência do governo mais baixo com praticamente nenhum outlier.
Os resultados da regressão acima corroboram a mesma idéia, indicam a existência de uma relação forte entre as variáveis explicativas, o que poderia explicar a variância o desvio padrão que encontramos quando regredimos as variáveis acima contra o log da renda. É um indício importante de que as mesmas não são independentes conforme requer os pressupostos básicos do modelo, a conseqüência desse fato se traduz em uma variância e desvio padrão altos, afetando a capacidade de previsão do modelo. Os valores de FIV e TOL, ainda teoricamente toleráveis, para a regressão com constante aparecem abaixo:
	O gráfico de matriz é uma ferramenta a mais para podermos analisar a presença de correlação entre as variáveis, bem como a presença de outliers, e mais uma vez, a idéia de que existe uma forte correlação entre corrupção e eficiência do governo nos dados é confirmada, nos indicando a necessidade de se encontrar uma variável instrumental para analisar o comportamento da variável dependente renda em relação às demais, nas próximas seções serão analisados alguns instrumentos, mas antes disso alguns testes a mais se fazem necessários para averiguar os resultados da regressão.
	
	Nesta tabela abaixo analisamos a presença de outliers em termos dos erros da regressão, apenas os dados para Malawi e Venezuela se destacam como potenciais outliers:
	O gráfico seguinte (abaixo) da soma cumulativa de uma variável binária dependente contra uma variável contínua (cusum) nos mostra que existe uma possibilidade das variáveis independentes serem explicativas somente até certo ponto desconhecido da amostra, uma vez que existem duas relações explicativas conforme mostra o gráfico no formato de “U”, nos indicando que a relação explicativa muda de sinal após determinado ponto. A idéia principal por trás deste gráfico é a de que uma vez que um determinado país atinge um nível de eficiência até o qual a corrupção apresenta uma tendência de queda, os dados passam a mostrar uma tendência reversa, na qual para um grau maior de eficiência, existe um grau maior de corrupção. Tal problema poderia ser amenizado com a utilização de variáveis binárias dentro das quais seriam separadas as amostras entre países altamente eficientes e países ainda pouco eficientes, mas sendo a amostra muito pequena, com apenas 57 observações, fica estatisticamente complicado reduzi-la ainda mais. Levando em consideração que a amostra já está representada por uma classe de países considerada similar em termos da variável dependente, lngdp99, para a qual foram selecionadas observações com produto per capita abaixo de 7 mil dólares, o gráfico abaixo nos transmite a noção de que a) não existe relação alguma entre uma ou mais variáveis explicativas e o regressando ou, b) embora exista relação, está mal especificada, havendo espaço para uma ou mais variáveis binárias explicativas até mesmo uma relação distinta entre as variáveis.
		
	
Pelos valores de leverage podemos ver que apenas os pontos correspondentes aos países Nigéria, Zimbábue e Chile representam potenciais outliers com influência significativa na amostra, um gráfico auxiliar listado para os países (Country) mostra os resíduos ao quadrado das observações e confirma os resultados da tabela acima. O segundo gráfico acima que se refere ao kernel de densidade dos erros mostra que eles seguem uma distribuição próxima a normal, embora possua uma variância um pouco maior que a esperada de acordo com a distribuição da normal. Para uma verificação mais apurada, foi realizado o teste de normalidade com base nos desvios e curtose de forma combinada, e pelos resultados podemos ver que os erros seguem um padrão de normalidade, conforme comando abaixo.
	
	Com relação a heterocedasticidade, o teste padrão do Stata realizado nos indica que existe uma probabilidade de 22% de que os resíduos possuam variância constante,atendendo ao princípio de normalidade dos mesmos. Os teste são os de Breusch-Pagan e Cook-Weisberg e são calculados de acordo com os valores estimados da variável dependente. O teste de White apresenta resultado similar no sentido de que os resíduos sejam homocedásticos com probabilidade de 30%. Os resultados seguem abaixo:
	Com relação à variável eficiência do governo que possui baixa significância estatística, utilizado o comando sureg pode-se constatar a independência das duas regressões abaixo, de tal forma que podemos verificar que ambas as regressões são independentes, e que a eficiência do governo pode ser explicada pela maior ou menor prevalência dos direitos de propriedade, aqui adicionada como variável exógena e explicada através, tal variável pode ser utilizada como em processo de regressão em dois estágios para amenizar o problema de multicolinearidade causada, provavelmente pela alta correlação entre as variáveis explicativas. Em primeiro lugar, foi verificada a relação entre as variáveis explicativas por meio de uma regressão auxiliar na qual corrupção é regredida contra a eficiência do governo conforme abaixo, logo em seguida, estão os resultados da regressão original juntamente com a regressão eficiência do governo contra tendo a variável direitos de propriedade como exógena:
	O teste de Breusch-Pagan de independência dos resíduos mostra que as ambas as equações são altamente independentes em 83%. A eficiência do governo determina o log do produto, sendo um teste de exogeneidade fraca simples. A significância das variáveis é mínima segundo os dados acima, mas quando realizamos a regressão em três estágios de forma a averiguar a correlação entre as variáveis explicativas e o erro, além da constante ser também retirada, os resultados melhoram consideravelmente, em parte devido a escala das variáveis, que sendo índices, provavelmente não representam um comportamento de média, captado pela constante; contudo, os resultados nos mostram que a variável eficiência do governo não pode ser considerada importante para determinar o log do produto, uma vez que os resultados da regressão original, embora foram melhorados, ainda assim permanecem com um desvio padrão alto que complica a capacidade de previsão em relação a variável dependente. Conforme resultado abaixo não podemos afirmar nenhuma relação de impacto entre eficiência do governo e renda.
	
MODELO 2
Com base em todos os resultados apresentados até aqui que corroboram o fato de que a eficiência do governo não pode ser utilizada para explicar a renda, verificamos a possibilidade teórica de que renda e corrupção sejam variáveis explicativas para a eficiência do governo, indo na contramão da teoria que foi apresentada até aqui, tal suspeita decorre de muitos indicativos vistos ao longo dos testes e resultados, entre eles se destacam os seguintes:
Forte correlação entre as variáveis explicativas;
Baixa significância estatística da variável eficiência do governo;
Teste de exogeneidade fraca;
Valores para o cusuum indicando uma relação inversa a partir de determinado ponto;
Análise gráfica do ajuste do modelo de previsão.
Abaixo seguem os resultados da regressão onde a variável eficiência do governo, goveff é explicada pelo nível de renda e pela corrupção, lngdp99 e coraart respectivamente, o ajuste da regressão diminui consideravelmente, no entanto os coeficientes continuam significativos conforme resultados anteriores para o modelo sem constante, o valor-p permanece inalterado, mas a grande diferença pode ser percebida pelo tamanho do desvio padrão que neste modelo é menor, principalmente para a variável renda que substitui a eficiência do governo. Para melhorar a visualização do resultado, foram realizados novamente os valores do predict e plotados os resultados no gráfico sobre a reta de regressão. Para tornar mais fácil a comparação entre os dois modelos aqui analisados, são dispostos os dois gráficos de dispersão dos valores previstos contra os valores reais de ambos os modelos. 
Resultados
	Podemos ver que existe uma relação mais forte entre corrupção e renda determinando a eficiência do governo do que entre corrupção e eficiência determinando a renda, a dispersão dos pontos referentes aos valores reais das variáveis explicativas em torno da reta de previsão é visivelmente melhor ajustada no gráfico da esquerda. No entanto para continuar a investigação acerca dos dados, os demais testes realizados para o primeiro modelo se fazem necessários também aqui a título de comparação entre as duas regressões em termos dos resultados apresentados, abaixo estão os resultados da regressão utilizando a opção beta para que possamos comparar o impacto de cada coeficiente na regressão:
	Os valores encontrados nos indicam que o índice de corrupção tem um impacto de cerca de 35% (-0.510412) a mais que a renda (0.377653) para explicar a eficiência do governo, os resultados estão de acordo com a teoria diferentemente do primeiro modelo, onde os países mais corruptos apresentaram uma renda maior. Neste modelo, países com um nível de corrupção maior possuem uma eficiência do governo menor, além de que países com uma renda maior também apresentaram uma eficiência maior do governo, indicando que o tamanho da renda de cada país pode ser um indicativo da eficiência de seu governo. Deste modo, se levarmos em consideração que ambas as variáveis explicativas são estatisticamente significantes, e que os valores encontrados para os betas possuem sentido econômico para o corte seccional realizado, temos um modelo que melhor se encaixa dentro dos resultados teóricos pretendidos pelo trabalho. 
Seguindo a descrição dos dados realizada para o primeiro modelo, nos quadros abaixo vemos o quanto as variáveis explicativas estão correlacionadas no intuito de identificar outliers. Os resultados para o cusum foram similares aos encontrados anteriormente no modelo 1.
 
	Existe uma relação negativa entre as variáveis conforme esperado pela teoria, pois espera-se que um país com uma renda maior, possua um nível de corrupção menor, mas não podemos inferir sobre nenhuma relação de causalidade entre esses dois efeitos, uma vez que tais características podem estar relacionadas a demais fatores sem que haja qualquer relação entre as variáveis. Algumas suposições podem ser feitas de acordo com os resultados encontrados, podemos esperar que, sendo ambas as variáveis estatisticamente significativas, podem estar dando significado à regressão somente enquanto analisadas em conjunto, mas não separadamente. Conforme realizado anteriormente, são testadas as hipóteses de nulidade de seus respectivos coeficientes de forma individual e conjunta e, como resultado, obtivemos que os mesmos são significativos de acordo com a saída do Stata 13 abaixo:
	 
	
	Nos últimos gráficos acima verificamos a distribuição das variáveis. Em comparação com o primeiro modelo vemos que os valores da variável renda não seguem uma distribuição normal, de acordo com a visualização do kernel de distribuição, o que torna difícil a capacidade de previsão do modelo uma vez que esse é um requisito fundamental para os pressupostos básicos do modelo de regressão de mínimos quadrados ordinários. Neste sentido a mesma poderia ser transformada conforme segue nos histogramas seguintes para as duas variáveis onde apenas a renda apresenta este tipo de problema.
	Os resultados para a hetorocedasticidade no modelo seguem abaixo segundo o teste de Breusch-Pagan/Cook-Weisberg realizados para o segundo modelo com constante e o teste de White, realizado para o modelo sem constante:
	
Os resultados melhoraram significativamente, uma vez que para o modelo anterior não foi rejeitada a hipótese de variância constante com 22% enquanto para o modelo novo não podemos rejeitar a hipótese de variância constante com 89% de probabilidade para o teste de Breusch-Pagan/Cook-Weisberg e 76% para o teste de White ante 30%. Abaixo levamos em consideração a resposta média do sistema de saúdecomo Proxy para a renda, uma vez que essas duas variáveis estão correlacionadas como forma de testar um sistema de equações conforme foi instrumentalizada a variável eficiência do governo no modelo anterior, nos modelos de 3 estágios e no modelo de seemingly unrelated regressions os resultados seguem abaixo:
	
Com relação ao reg3, os resultados são contraditórios, não existe significância estatística e os resultados nos indicam que a variável renda pode estar influenciando de forma negativa a eficiência do governo uma vez que seu intervalo de confiança abrange valores negativos. Os problemas são aparentemente resultantes da própria variável endógena, renda, que analisada em uma regressão com constante anteriormente, já não apresentava resultados significativos para o modelo, o nos impede de levá-la em consideração mesmo quando da realização do procedimento de instrumentalização da mesma por meio da variável response.
Já com relação as regressões aparentemente não-relacionadas (seemingly unrelated regressions), podemos verificar que os resultados foram satisfatórios em comparação com o primeiro modelo, uma vez que o teste de independência das regressões obteve um resultado mais expressivo, 99% de probabilidade de independência entre as duas regressões. No modelo 1 foi utilizada a variável direitos de propriedade como Proxy para eficiência do governo e o resultado obtido para o teste de Breusch-Pagan havia sido de 83%, no modelo 2 acima foi utilizada a variável response (resposta média do sistema de saúde) como Proxy para a variável renda.
Conclusão
	O primeiro modelo apresentado aqui teve como objetivo testar a hipótese de que variáveis qualitativas poderiam afetar a renda, conforme vimos os resultados não foram muito satisfatórios no que diz respeito aos testes analisados, embora a regressão original atendesse a alguns pressupostos básicos, por exemplo, quanto a variância dos resíduos, o cusum, a correlação forte entre as variáveis explicativas e baixa capacidade de previsão do modelo apresentada pela reta sobre os pontos reais plotados nos levou a levantar uma segunda hipótese. A segunda hipótese, a de que não seria a eficiência do governo a explicação para a renda, mas sim a renda a explicação para a eficiência do governo foi testada conforme as análises apresentadas para o primeiro modelo, no entanto foram constatados os mesmos problemas, porém com algumas melhoras. O resultado para a heterocedasticidade e ajuste da reta sobre os pontos reais no gráfico alcançaram um resultado melhor, mas os demais apresentaram similaridades com o modelo anterior, como por exemplo o cusum, que assim como no primeiro modelo apresentou uma relação de causalidade reversa a partir de um determinado ponto nos dados. Por fim, os problemas encontrados podem ter diversas origens, como por exemplo o tamanho da amostra, muito pequena para que se possa realizar algum tipo de inferência estatística sobre os mesmos, 57 observações, ou até mesmo a forma com que os dados foram apresentados, com diferentes intervalos e medidas, apesar das transformações desnecessárias conforme os resultados do comando gladder, por trás dos valores dos mesmos, poderia haver alguma forma de melhor ajustá-los para efeitos econométricos. A título de exercício econométrico, não podemos aceitar as hipóteses de ambos os modelos, seja o efeito da eficiência do governo e da corrupção sobre a renda de cada um dos 57 países, seja da corrupção e da renda sobre a eficiência do governo.
1.Tarefa relações entre as distribuições. 
A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média mi e variância sigma ao quadrado (de forma equivalente, desvio padrão representado por sigma) é assim definida,
A distribuição qui-quadrada serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno, em econometria é utilizada para testar a variância do modelo. Ela pode ser obtida a partir da distribuição normal pois a soma de k distribuições normais padronizadas e independentes são equivalentes a uma distribuição qui-quadrada com k graus de liberdade, logo, a soma de duas qui-quadradas também é uma qui-quadrada, conforme abaixo:
A distribuição t de Student é também similar a distribuição normal, porém não matematicamente, dependendo do número de graus de liberdade ela pode se aproximar de uma normal, no entanto ela possui valores mais extremos, ela é o resultado de uma normal dividida pela raiz quadrada da razão entre uma qui-quadrada e seus respectivos graus de liberdade.
E por fim, a distribuição F de Snedecor mede a razão entre duas qui-quadrado independentes.
2.Como tirar o anti-log -2,296106
O anti-logaritmo é a função inversa a função logarítmica, log10(100) = 2, antilog10(2) = 100
Logo anti-log -2,296106 é a mesma coisa que 10 elevado a este número, caso a base seja também 10, ou seja, 1 dividido por 10 elevado a +2,296106 = 0,00505701
3.Durbin-Watson:
É um teste utilizado para verificar a presença de auto-correlação dos resíduos, sendo a hipótese testada a de autocorrelação de primeira ordem pois se trata da diferença do erro atual com o do período exatamente anterior dividido pelos erros ao quadrado, quando mais perto de 0 ou ou 4 maior a probabilidade de autocorrelação nos resíduos.
4.Yule Walker
Assumindo uma dada média zero discreta para series temporais em um processo auto-regressivo, queremos, naturalmente estimar a ordem do processo AR(p)
xi+1 = φ1xi + φ2xi−1 + · · · + φpxi−p+1 + ξi+1
E é neste sentido que utilizamos as equações de Yule-Walker, pois através de um processo de multiplicações por xi iteradas podemos encontrar a ordem do processo auto-regressivo, uma vez que o próprio erro quando multiplicado por uma constante resulta, dada a esperança matemática do mesmo, em zero.