(4ª lista CDI - Limites infinitos e continuidade)

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL D O PARANÁ Campus Toledo Curso: Engenharia Civil Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Professora: Regiane Slongo Fagundes Lista 4 de Exercícios Conteúdo Abordado: \u2022 Limites Laterais; \u2022 Limites infinitos; \u2022 Limites no infinito; \u2022 Continuidade. 1) ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 \u2212 \u2212 = \u2212 > + = 6 5 2 6 1 sex , 6 - x se , x se , x x x f , calcule: ( ) x f x \u2212 \u2212 \u2192 6 lim , ( ) x f x + \u2212 \u2192 6 lim e ( ) x f x 6 \u2212 \u2192 lim . Resposta: -5 2) Se ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 > \u2212 = = 4 sex , 4 x se , 4 x s e , 4 3 5 2 x x x f , quanto val e ( ) x f x 4 \u2192 lim ? Resposta: 8 3) Estude os limites laterais para 1 1 2 ) ( 2 \u2212 + \u2212 = x x x x f ou seja, ache ( ) 1 lim x f x \u2212 \u2192 , ( ) 1 lim x f x + \u2192 e ( ) 1 lim x f x \u2192 . Resposta: 0 4) Esboce os gr áficos da fu nção f definida por: 2 3 , se 1 ( ) 4, se 1 1 , se 1 x x f x x x x \uf8f1 \u2212 \uf8f4 = = \uf8f2 \uf8f4 + > \uf8f3 e ache ( ) 1 lim x f x \u2212 \u2192 , ( ) 1 lim x f x + \u2192 e ( ) 1 lim x f x \u2192 . Resposta: 2 5) Esboce os gr áficos da fu nção f definida por: 2 4 , se 1 ( ) 2 , se 1 x x f x x x \uf8f1 \u2212 \u2264 = \uf8f2 + > \uf8f3 e ache ( ) 1 lim x f x \u2212 \u2192 , ( ) 1 lim x f x + \u2192 e ( ) 1 lim x f x \u2192 . Resposta: 3. 6 ) Esboce os gráf icos da f unção f defin ida por: \uf8f3 \uf8f2 \uf8f1 \u2265 \u2212 + = 3 se , 10 3 se , 1 2 ) ( x x x x x f e ache ( ) 3 lim x f x \u2212 \u2192 , ( ) 3 lim x f x + \u2192 e ( ) 3 lim x f x \u2192 . Resposta: 7 7) Dada a função ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 + \u2212 = + > \u2212 = 2 x se 2 x se 2 x se 3 1 2 3 x x x x f , calcule os lim ites abaixo ( ) x f x + \u2192 2 lim ( ) x f x \u2212 \u2192 2 lim ( ) x f x 2 \u2192 lim Resposta: N.E. 8) Observando os gráficos, de term ine os limites e o valor da função: a) b) Resposta: a) i. 1 ii. 4 iii. \u2203 / iv. 2 v. 1,6 vi. 5 vii. 4 viii. \u2203 / ix. 5 b) i. 0 i i. 1 iii. \u2203 / iv. 0 v. 4 v i. 1,5 vii. \u2203 / viii. 1,5 9) Para a f( x) dada, express e cada um dos seguintes lim ites com o + \u221e , - \u221e ou NE (n ão existe). ) ( l im ) ( ); ( lim ) ( ); ( x f c x f b x f a x a x \u2192 \u2192 \u2192 + - a x lim (a) i) 4 5 ) ( \u2212 = x x f a = 4 ii) x x f \u2212 = 4 5 ) ( a = 4 iii) x x x f + = 5 ) ( a = -5 iv) 3 ) 5 2 ( 8 ) ( + = x x f a = 2 5 \u2212 v) 2 ) 8 ( 3 ) ( + = x x x f a = -8 vi) 7 5 ) ( \u2212 = x x f a = 7 vii) 2 ) 3 ( 1 ) ( \u2212 = x x x f a = 3 viii) 6 2 ) ( + = x x x f a = -6 ix) 2 2 ) ( 2 2 \u2212 \u2212 = x x x x f a = -1 x) ( ) 2 1 1 ) ( + \u2212 = x x f a = -1 i. ( ) x f x + \u2192 0 lim ii. ( ) x f x \u2212 \u2192 0 lim iii. ( ) x f x 0 lim \u2192 iv. ( ) 0 f v. ( ) x f x + \u2192 4 lim vi. ( ) x f x \u2212 \u2192 4 lim vii. ( ) x f x 4 lim \u2192 viii. ( ) 4 f i. ( ) x f x + \u2212 \u2192 1 lim ii. ( ) x f x \u2212 \u2212 \u2192 1 lim iii. ( ) x f x 1 lim \u2212 \u2192 iv. ( ) 1 \u2212 f v. ( ) x f x 0 lim \u2192 vi. ( ) x f x + \u2192 2 lim vii. ( ) x f x \u2212 \u2192 2 lim viii. ( ) x f x 2 \u2192 lim ix. ( ) 2 f Resposta do exerc ício 9 i. - \u221e , + \u221e , NE ii. + \u221e , - \u221e , NE iii. + \u221e , - \u221e , NE iv. - \u221e , + \u221e , NE v. - \u221e , - \u221e , - \u221e vi. - \u221e , + \u221e , NE vii. + \u221e , + \u221e , \u221e viii. + \u221e , - \u221e , NE ix. + \u221e , - \u221e , NE x. - \u221e , - \u221e , - \u221e 10) Determ ine o limite se e xistir: i) ) 8 4 3 ( lim 2 + + +\u221e \u2192 x x x R: + \u221e \u221e \u221e \u221e ii) ) 4 8 4 5 ( lim 2 3 + \u2212 \u2212 \u2212\u221e \u2192 x x x x R: - \u221e \u221e \u221e \u221e iii) ) 3 ( lim 3 4 x x x \u2212 \u2212\u221e \u2192 R: + \u221e \u221e \u221e \u221e iv) ) 5 3 ( lim x x \u2212 +\u221e \u2192 R: - \u221e \u221e \u221e \u221e v) 7 4 2 1 3 5 lim 2 2 \u2212 + + \u2212 +\u221e \u2192 x x x x x R: 2 5 vi) x x x 3 2 7 4 lim + \u2212 \u2212\u221e \u2192 R: 3 7 \u2212 vii) x x x x 5 4 3 2 lim 3 2 + \u2212 \u2212\u221e \u2192 R: 0 viii) 1 4 1 3 lim 2 2 + + \u2212 +\u221e \u2192 x x x x R: 4 1 ix) 3 2 2 lim 2 3 + + \u2212 +\u221e \u2192 x x x x R: - \u221e \u221e \u221e \u221e x) 2 6 3 lim 3 3 + \u2212 +\u221e \u2192 x x x x R: 2 1 11 Determine os limites a seguir: a. 4 2 4 5 3 3 + \u2212 + +\u221e \u2192 x x x x lim b. 5 4 9 2 2 5 \u2212 + + \u2212 \u2192 x x x x x lim c. 4 6 9 6 12 4 4 + \u2212 \u2212 \u2212\u221e \u2192 x x x x lim d. 4 15 6 2 2 5 lim 7 3 7 + \u2212 + \u2212 +\u221e \u2192 x x x x x e. 2 7 2 2 2 \u2212 + + \u2212 \u2212 \u2192 x x x x lim Resposta: a) 4 b) 7/4 c) - 2 d) 1/3 e) + \u221e f) + \u221e g) - \u221e h) - \u221e i) -2 12) Determine as assí ntotas horiz ontais e verticais do gráfico das seguintes funções: a) 4 ( ) 4 f x x = \u2212 b) 3 ( ) 2 f x x \u2212 = + c) 2 4 ( ) 3 2 f x x x = \u2212 + d) 1 ( ) ( 3 )( 4) f x x x \u2212 = \u2212 + e) 1 ( ) 4 f x x = + f) 2 ( ) 3 f x x = \u2212 \u2212 g) 2 2 2 ( ) 16 x f x x = \u2212 h) 2 ( ) 12 x f x x x = + \u2212 i) 1 ( ) x f x e = j) ( ) 1 x f x e = \u2212 k) ( ) ln f x x = l ) ( ) f x t gx = f. x x x + + \u2192 2 0 2 lim g. 2 6 2 lim 2 2 1 \u2212 + + + \u2212 \u2192 x x x x x h. 12 4 2 5 2 3 2 \u2212 \u2212 + \u2212 \u2212 \u2212 \u2192 x x x x x lim i. 4 6 2 + \u2212 \u2212 \u2212\u221e \u2192 x x x lim Resposta 12: a) y = 0 é uma a ssíntota horizont al. x = 4 é uma assí ntota vertical. b) y = 0 é uma as síntota horizontal. x = -2 é uma assínto ta vertical. c) y = 0 é uma assínto ta horizontal . x = 1 e x= 4 é uma a ssíntota vertical. d) y = 0 é uma as síntota horizontal. x = -4 e x= 3 é u ma assíntota vertical. e) y = 0 é uma as síntota horizontal. x = -4 é uma assín tota vertical. f) y = 0 é uma a ssíntota horizontal . x= 3 é uma assíntota vertical. g) Não ex iste assíntota horizontal. x = 4 e x = - 4 são as síntotas verticais. h) y =1 e y = -1 são a ssíntotas horiz ontais. x = 3 e x = -4 são a ssíntotas vertic ais. i) y = 1 é uma assín tota horizontal. x = 0 é uma assíntota vertical. j) y = -1 é uma as síntota horizontal. \u2203 / uma assíntota ver tical. k) x = 0 é uma assínto ta vertical. l) 2 , par a 0, 1 , 2, , 2 x n x \u03c0 = + = ± ± ± \u22c5 \u22c5 \u22c5 são assíntotas ve rticais. 13) verifique se a função ( ) \uf8f3 \uf8f2 \uf8f1 \u2260 + = \u2212 = 4 x se 4 x se 4 2 2 3 x x x f é contínua no número 4 . Resposta: Não é contí nua 14) Verifique se a função f é contí nua no número 1: ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 > \u2212 = \u2212 \u2212 = 1 sex , 1 x se , 1 x se , 4 2 4 2 x x x f Resposta: Não é contí nua 15) Classifique as a firmações como V (ve rdadeira) ou F ( falsa): a. ( ) A função ( ) \uf8f3 \uf8f2 \uf8f1 \u2260 + = = 1 x se , 1 x se , 2 3 x x x f é contínua no número 1. b. ( ) Se ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 > + \u2212 = \u2212 = 7 x se 4 7 x se 2 7 x se 1 3 x x x x f então ( ) x f x 7 \u2192 lim não existe. c. ( ) Considerando a função ( ) x x x g 3 = , observa-se que g (0) não ex iste, ao passo que o limite de g ( x ) quando x tende a 0 é ig ual a 3. d. ( ) A função ( ) \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 > \u2212 \u2212 = + = 0 x se 2 0 x se 2 0 x se 2 6 x x x f é contínua para todos os Reais Resposta: a. V, b. V, c. V, d. F 16) Para que val ores de x as funções são descontínu as: a) f(x) = 6 3 2 \u2212 + x x Resposta: { -3,2 } b) f(x) = 2 1 2 \u2212 + \u2212 x x x Resposta: { -2,1 } c) g (x) = 1 1 2 \u2212 \u2212 x x Resposta: { } 1 d) f(x) = log(3x-4) Resposta: { x \u2264 3 4 } e) f(x) = x x x 4 1 3 2 \u2212 + Resposta: { -2,0,2 } f) h(x) = 3 . 3 4 4 \u2212 + x x e x e Respo sta: { 0 } g) g(x) = 4 3 2 \u2212 + x x Resposta: { x \u2264 4 } 17) Usando a definição , mostre que f não é contínua em x: a) f(x)= \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 = \u2260 \u2212 \u2212 3 se 4 3 3 9 2 x x se x x x=3 b) f(x) = \uf8f4 \uf8f3 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f1 = \u2260 \u2212 5 se 6 5 5 1 x x se x x=5 c) f( x) = \uf8f3 \uf8f2 \uf8f1 = \u2260 3 0 3 1 x se x se x=3 18) Investigue a descontinuidade nos pontos indicados: R: descontínua R: contínu a R: contínua R: contínua R: contínua R: descontínua R: descontínua R: descontínua 19) Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas: R: -8/3 R: 1 R: 2 20) Calcule os seguintes Limites: 4 3 2 ) lim R: 2 1 ) lim cos R : 2 x x a senx b x \u03c0 \u03c0 \u2192 \u2192 ) l im sec R:- 1 x c x \u03c0 \u2192 2 3 2 3 ) lim cos sec R: 3 x d x \u03c0 \u2192 3 4 ) l im R:- 1 x e tgx \u03c0 \u2192 2 ) lim cot R:0 x f gx \u03c0 \u2192 3 3 3 ) lim cot R: sec 2 4 x senx x g g x \u03c0 \u2192 \uf8eb \uf8f6 + \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 2 3 4 ) l im (cos ) R:0 x h x sen x \u03c0 \u2192 \u2212 0 7 ) lim R:1 7 x sen x i x \u2192 0 4 4 ) lim R: 5 5 x sen x j x \u2192 0 cos 1 2 ) lim R: 3 3 x x k x \u03c0 \u2192 \uf8eb \uf8f6 \u2212 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 0 7 ) lim R:7 x tg x l x \u2192 2 0 1 1 ) lim R: 2 x cox m x \u2192 \u2212 0 4 4 ) lim R: 3 3 x tg x n tg x \u2192 3 3 0 ) lim R: 1 x sen x o x \u2192 21) Calcule os seg uintes li mites exponenciais: 3 ) lim 5 R: 125 x x a \u2192 2 3 9 ) lim R : 2 4 x x b \u2192 \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 3 3 ) lim R: 2 2 senx x c \u03c0 \u2192 \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 1 1 1 1 1 ) lim R: 2 4 x x x d \u2212 \u2212 \u2192 \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 ( ) 0 ) lim 4 R:4 senx x x e \u2192 ) l im 8 R:+ x x f \u2192 +\u221e \u221e ) lim 8 R:0 x x g \u2192\u2212 \u221e 2 ) lim R:0 3 x x h \u2192+ \u221e \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 ) lim R:+ 3 x x i \u2192 \u2212\u221e \uf8eb \uf8f6 \u221e \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 4 1 0 ) lim 9 R:+ x x j \u2192 \u221e 5 1 ) lim R:+ 2 x x k \u2192 \u2212\u221e \uf8eb \uf8f6 \u221e \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 4 0 ) lim 3 R:+ x x l \u2192 \u221e 2 1 ) lim 6 R:+ x x m + \u2192 +\u221e \u221e 3 2 ) lim 4 R:0 x x n \u2212 \u2192\u2212 \u221e 3 4 3 1 2 4 ) lim 2 R: + x x x x o \u2212 + + \u2192 +\u221e \u221e 5 2 2 6 4 ) lim 3 R: 0 x x x x x p \u2212 \u2212 \u2212 \u2192\u2212 \u221e 8 5 4 3 2 1 ) lim R:0 2 x x x x q \u2212 + \u2192 +\u221e \uf8eb \uf8f6 \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 2 2 3 1 1 ) lim R:+ 5 x x x x r + \u2212 \u2192 \u2212\u221e \uf8eb \uf8f6 \u221e \uf8ec \uf8f7 \uf8ed \uf8f8 22) Calcule os seg uintes li mites logaritmos 5 125 ) lim log R:3 x a x \u2192 3 3 ) lim log R:2 x b x \u2192 2 1 1 2 1 ) lim log R:- 1 1 x x c x \u2192 \u2212 \u2212 4 0 ) lim log c os R:0 x d x \u2192 2 0 ) l im l og R:- x e x + \u2192 \u221e 2 ) lim log R:+ x f x \u2192 +\u221e \u221e 1 0 4 ) l im l og R:+ x g x + \u2192 \u221e 1 4 ) lim log R:- x h x \u2192+ \u221e \u221e 4 4 0 1 ) lim log R: + x i x \u2192 \u221e 1 6 0 5 1 ) lim log R: - x j x \u2192 \u221e 8 3 1 ) lim log R:- x k x \u2192 +\u221e \u221e 1 3 3 1 ) lim l og R:+ x l x \u2192 +\u221e \u221e 4 3 2 3 1 ) lim log R:+ x x x m x \u2192+ \u221e \u2212 + \u221e 3 6 0 1 ) lim log R:+ x x n x \u2192 + \u221e Limite Trigonométrico Fundamental Teorema: Consequência do Teorem a : Obs: Se m=0 , então Limite de Funções exponenciais: Propriedade: Limite de Funções Logarítmicas: Propriedade: 0 lim 1 x senx x \u2192 = ( ) lim 1 m x k sen kx m kx m \u2212 \u2192 + = + 0 ( ) lim 1 x sen kx kx \u2192 = ( ) lim ( ) lim , , ( 0 e 1 ) g x L x a x a g x L b b a a b b \u2192 \u2192 = \u21d2 = \u2200 \u2208 > \u2260 \u211d 1 2 P - Se 1 l im 0 e lim P - Se 0 1 lim 0 e lim x x x x x x x x b b b b b b \u2192 \u2212\u221e \u2192 +\u221e \u2192+ \u221e \u2192 \u2212\u221e > \u21d2 = = +\u221e \u21d2 = = +\u221e ( ( )) 3 ( ( )) 4 ( ( )) 5 6 P - Se lim ( ) e 1 , então lim P - Se lim ( ) e 0 1 , então lim 0 P - Se lim ( ) e 1 , então lim 0 P - Se lim ( ) e 0 1 , en f x x a x a f x x a x a f x x a x a x a f x b b f x b b f x b b f x b \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 = +\u221e > = +\u221e = +\u221e = = \u2212\u221e > = = \u2212\u221e ( ( )) tão lim f x x a b \u2192 = +\u221e ( ) * lim ( ) , L >0, então lim lo g l og , , g x L b b x a x a g x L a a + \u2192 \u2192 = = \u2200 \u2208 \u211d 1 0 2 0 P - Se 1 l im l og e lim log P - Se 0 1 lim log e lim l og x x b b x x x x b b x x b b + + \u2192+ \u221e \u2192 \u2192 +\u221e \u2192 > \u21d2 = \u2212\u221e = +\u221e \u21d2 = +\u221e = \u2212\u221e ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 6 P - Se lim ( ) e 1 , então lim log P - Se lim ( ) e 0 1 , então lim log P - Sendo ( ) 0, se lim ( ) 0 e 1 , então lim log P - f x b x a x a f x b x a x a f x b x a x a f x b f x b f x f x b \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 \u2192 = +\u221e > = +\u221e = +\u221e = \u2212\u221e > = > = \u2212\u221e ( ) Sendo ( ) 0, se lim ( ) 0 e 0 1 , então lim log f x b x a x a f x f x b \u2192 \u2192 > = = +\u221e

(4ª lista CDI - Limites infinitos e continuidade)

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