Resolução - lista - UFRJ - Limites e continuidade - Resolvida

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Lista de exercícios resolvida - UFRJ - Limites e Continuidade de Função - Q1 e Q2
1- Calcule, se existirem, os seguintes limites:
a x - 3) lim
x→1
3
Resolução:
basta substiutir: (Resposta) 1 - 3 = 1 - 3 = - 2( )3
 
b) lim
x→2
x - 84
Resolução:
basta substiutir: (Resposta) = = = 22 - 8( )4 16 - 8 8 2
 
c) lim
x→2
x + 2x + 3
x + 5
3
2
Resolução:
basta substiutir: = (Resposta)
2 + 2 2 + 3
2 + 5
3 ( )
2
= =
8 + 4 + 3
4 + 5
15
9
15
3
 
D) lim
x→-3
x - 9
x + 3
2
Resolução:
 
É preciso decompor a equação do númerador em um produto da soma pela diferença de 2 
termos para fazer uma simplificação:
 = (Resposta)=lim
x→-3
x - 9
x + 3
2
lim
x→-3
x + 3 x - 3
x + 3
( )( )
x - 3 = - 3 - 3 = - 6lim
x→-3
( )
 
e) lim
x→
1
3
3x - x
3x - 1
2
Resolução:
Colocamos x em evidência no númerador e fazemos a simplificação:
 
= = x =lim
x→
1
3
3x - x
3x - 1
2
lim
x→
1
3
x 3x - 1
3x - 1
( )
( )
lim
x→
1
3
1
3
f) lim
x→3
x - 27
x - 3
3
Resolução:
 
 
(Resposta)
A expressão do denominador é uma diferença de 2 cubos (
, assim, podemos chegar a uma expressão que pode a - b = a - b ⋅ a + ab + b3 3) 2 2
ser simplificada com a equação do denominador, dessa forma, chegamos ao resultado do 
limite:
 
 
 = =lim
x→3
x - 27
x - 3
3
lim
x→3
x - 3 ⋅ x + 3x + 9
x - 3
( ) 2
 
x + 3x + 9 = 3 + 3 3 + 9 = 27lim
x→3
2 ( )2 ( )
 
 
 
2- Calcule o limite, se existir:
 
a) lim
x→2
x + x - 6
x - 2
2
Resolução:
Resolvendo a equação do 2 grau do numerador:°
Δ = 12 - 4 ⋅ 1 ⋅ -6 = 25( )
x = → x' = = 2 e x" = = - 3 
 -1 ± 
2 ⋅ 1
25 -1 + 
2 ⋅ 1
25 -1 - 
2 ⋅ 1
25
Dessa forma, podemos reescrever a equação do numerador como:
x + x - 6 = x - 2 ⋅ x + 32 ( ) ( )
 
O limite fica:
 
= = x + 3 = 2 + 3 = 5lim
x→2
x + x - 6
x - 2
2
lim
x→2
x - 2 ⋅ x + 3
x - 2
( ) ( )
( )
lim
x→2
( )
 
b) lim
x→-4
x + 5x + 4
x + 3x - 4
2
2
Resolução:
Basta substituir: (Resposta)= = = 1lim
x→-4
x + 5x + 4
x + 3x - 4
2
2
-4 + 5 -4 + 4
-4 + 3 -4 - 4
( )2 ( )
( )2 ( )
-32
-32
 
 
 
(Resposta)
(Resposta)
c) lim
x→2
x - x + 6
x - 2
2
Resolução:
substituindo 2 no númerador e no denominador: numerador → 2 - 2 + 6 = 8( )2
 denominador → 2 - 2 = 0
Ou seja, temos uma indeterminação, pois o denominador não pode ser zero, assim, vamos 
estudar o gráfico da função do denominador :g x =( )
1
x - 2
 
 Percebemos que os limites pela esquerda e pela direita são diferentes;
 
 = +∞ e = -∞lim
x→2-
1
x - 2
lim
x→2+
1
x - 2
Dessa forma, o limite não existe! (Resposta)lim
x→2
x - x+ 6
x- 2
2
 
d) lim
x→4
x - 4x
x - 3x - 4
2
2
Resolução:
substituindo 4 no númerador e no denominador: numerador : 4 - 4 ⋅ 4 = 0( )2
 
 
 denominador: 4 - 3 ⋅ 4 - 4 = 0( )2
Como deu zero nas 2 equações, significa que 4 é raiz das 2 equações, resolvendo a 
equação do 
2 grau do denominador:°
Δ = -3 - 4 . 1 . -4 = 252 ( )
x = → x' = = 4 e x" = = - 1 
 3 ± 
2 ⋅ 1
25 3 + 
2 ⋅ 1
25 3 - 
2 ⋅ 1
25
Dessa forma, podemos reescrever a equação do denominador como:
x - 3x - 4 = x - 4 ⋅ x + 12 ( ) ( )
Usando o resultado anterior e colocando x em evidência no numerador, o limite fica:
 
= = = =lim
x→4
x - 4x
x - 3x - 4
2
2
lim
x→4
x ⋅ x - 4
x - 4 ⋅ x + 1
( )
( ) ( )
lim
x→4
x
x + 1
4
4 + 1
4
5
 
 
e) lim
t→-3
t - 9
2t + 7t + 3
2
2
Resolução:
substituindo 2 no númerador e no denominador: numerador -3 - 9 = 0→ ( )2
 denominador→ 2 ⋅ -3 + 7 ⋅ -3 + 3 = 0( )2 ( )
Como deu zero nas 2 equações, significa que -3 é raiz das 2 equações, resolvendo a 
equação do 
2 grau do denominador:°
Δ = 7 - 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 252
t = → t' = = - e t" = = - 3 
 -7 ± 
2 ⋅ 2
25 -7 + 
2 ⋅ 2
25 1
2
 -7 - 
2 ⋅ 1
25
 
Dessa forma, podemos reescrever a equação do denominador como:
 2t + 7t + 3 = t + ⋅ t + 32
1
2
( )
Usando o resultado anterior e a relação do quadrado da diferença 
 na equação do numerador, o limite fica:a - b = a - b ⋅ a + b2 2 ( ) ( )
 
 = lim
t→-3
t - 9
2t + 7t + 3
2
2
lim
t→-3
t - 3 ⋅ t + 3
t + ⋅ t + 3
( ) ( )
1
2
( )
 
 
(Resposta)
= = =lim
t→-3
t - 3
t +
1
2
-3 - 3
-3 +
1
2
-6
-
5
2
12
5
f) lim
x→-1
x - 4x
x - 3x - 4
2
2
Resolução:
substituindo -1 no númerador e no denominador: numerador : -1 - 4 ⋅ -1 = 5( )2 ( )
 denominador: -1 - 3 ⋅ -1 - 4 = 0( )2 ( )
Ou seja, temos uma indeterminação, pois o denominador não pode ser zero, assim, vamos 
estudar o gráfico da função do denominador , sabemos que suas raízes g x =( )
1
x - 3x - 42
são -1 e 4, o gráfico de g(x) é:
 
Perceba que o limites laterais próximos de -1 e 4 divergem:
 
= +∞ e = -∞lim
x→-1-
1
x - 3x - 42
lim
x→-1+
1
x - 3x - 42
 
= -∞ e = +∞lim
x→4-
1
x - 3x - 42
lim
x→4+
1
x - 3x - 42
 
 
(Resposta)
 
 Logo, não existe! (Resposta) lim
x→-1
x - 4x
x - 3x - 4
2
2
 
 
Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas