Rotação de Corpos Rígidos

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UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍUNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIACENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
COORDENAÇÃO DO CURSO DE GRADUAÇÃOCOORDENAÇÃO DO CURSO DE GRADUAÇÃO
LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA, MODALIDADE A LICENCIATURA PLENA EM FÍSICA, MODALIDADE A 
DISTÂNCIADISTÂNCIA
FÍSICA I - RECUPERAÇÃOFÍSICA I - RECUPERAÇÃO
Coordenador
Prof. Ildemir Ferreira dos Santos
ROTAÇÕES DE CORPOS RÍGIDOS 
 
ObjetivoObjetivo
Estudo do movimento de ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO.
Conceitos que serão abordados
●Energia Cinética de Rotação
●Momento Angular
●Torque.
 
ConteúdoConteúdo
3 ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
3.1 - Deslocamento angular, veloc. angular e aceleração angular
3.2 - Rotação com aceleração angular constante
3.3 - Energia no Movimento de Rotação
 3.3.1 - Cálculo do momento de inércia
 3.3.2 - Teorema dos eixos paralelos
 3.3.3 - Energia cinética para um sist.c/rotação e translação
3.4 - Produto Vetorial: Revisão
3.5 - Momento Angular de uma Partícula
 3.5.1 - Momento angular para movimento linear constante
 3.5.2 - Momento angular para movimento circular uniforme
 3.5.3 - Relação momento angular – velocidade angular
 3.5.4 - Teorema do momento angular
3.6 - Conservação do Momento Angular
 
Motivação: RotaçãoMotivação: Rotação
Este tipo de movimento está presente em todas as escalas
Rotação do elétron
Translação do elétron
(em torno do núcleo)
Geradores eólicos
Rotação da Terra
Movimento dos Planetas
Rotação da galáxia andrômeda
1- ATÔMICA 3-ASTRONÔMICA2-TERRESTRE
 
Corpo Rígido: conceitoCorpo Rígido: conceito
“As distâncias entre as partículas que o compõem permanecem fixas”
(mesmo quando se forças externas são aplicadas ou quando o corpo se desloca).
Distâncias fixas
Idealização
 
ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDOROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
Definição: eixo de rotação 
Eixo que permanece em repouso em relação a algum referencial inercial.
Simplificação: movimento de todas as partículas do corpo que estão situados fora do eixo de rotação.
P
 
ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDOROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
FIXANDO um ponto P no corpo rígido em movimento em torno do eixo fixo.
P
Localização do Ponto P:
r → Distância fixa do ponto P até 0
 → Coordenada angular
 
ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO
Suposição: P (que pertence ao corpo rígido) descreve um círculo em torno de 0 quando o 
corpo sofre uma rotação em torno do eixo de rotação.
 P DESCREVE UM MOVIMENTO CIRCULAR
DESLOCAMENTO ANGULAR
 
Análise
 t=t2−t1
 =2−1
Definição de velocidade (angular) média  :
=
 t
Aplicando o limite (quando t → 0), obtemos a velocidade angular instantânea:
=lim t0
 
 t
=d 
dt
DESLOCAMENTO ANGULAR
 
Análise
(Para obtermos: a velocidade tangencial vt angular de P)
= d
dt
Considerando: s = s2-s1 =r
Fazendo: ∆s/∆t:
Aplicando o limite: ∆t →0
 s
 t
=r  
 t
lim t0
 s
 t
=lim t 0 r
 
 t
=r lim t0
 
 t
ds
dt
=r d 
dt
 
Relação entre as velocidades* linear e angular
ds
dt
=r d 
dt
Sendo que:
 ds/dt =v
E, d/dt = w
v=r
* Também designada de velocidade tangencial, v=vt, devido ao fato desta ser tangente à 
tragetória no movimento circular descrito pelo ponto P, então, reescrevendo:
v t=r
 
Aceleração tangencial at de P
Por definição, aceleração angular média, é: =

 t
=lim t0

 t (Aceleração instantânea)
=ddt
= d 
dt
d
dt
=d
2
dt²=d
2
dt 2
Lembretes:
=ddt
dv t
dt
=d²s
dt²
vt=
ds
dt 
at=r
d
dt
Da definição de aceleração linear (tangencial):
at=
d²s
dt² at=
dvt
dt

v t=r
Considerando que:
at=r
 
ResumoResumo
v t=r
at=r
Relação entre aceleração tengenciais at e aceleração radial 
Relação entre velocidade tangenciais vt e velocidade angular 
 
Cada partícula sobre a circunferência de raio r possui 
uma aceleração centrípeta ac
ac=
v t ²
r
=
r ²
r
v t=r
ac=r ²
 
Observações importantes
Sobre as grandezes envolvidas no movimento circular uniforme
Lembrar que: tr  
Como r  vt
 vt= x r
Discutir REGRA DA MÃO DIREITA
 
Rotação com  = const
 = aceleração angular)
Analogias entre o movimento de translação e o movimento de rotação
x=xovo t
1
2
at²
v=voat
=oo t
1
2
 t²
=o t
 
Energia do Movimento de Rotação
E c=
1
2
mi v i ² (energia cinética da i-ésima partícula)
Para uma C O L E Ç Ã O de partículas:
E c=∑
i=1
n 1
2
mi v i ² v i=r iw (Velocidade da i-ésima partícula)
E c=∑
i=1
n 1
2
mi r i ²
E c=
1
2
∑
i=1
n
mi r i ² ²
 
Energia cinética de um corpo rígido * 
com velocidade angular  em torno de um eixo de rotação
Definindo-se 
I=∑
i=1
n
mi r i ² E c=
1
2
I ²
* 
Energia cinética de rotaçãoMomento de Inércia
 
TrabalhoTrabalho
 
TrabalhoTrabalho
realizado por uma força F durante um deslocamento infinitesimal dr
dW=F tg⋅dr dr=r d 
dW=F tg r d 
Definindo-se torque  por: =F r
dW= d 
O trabalho total
∫
0
W
dW=∫
1
1
 d 
W=2−1Desde que =const
W= 
 
PotênciaPotência
 
Potência = taxa temporal com que Potência = taxa temporal com que 
o trabalho é realizado dW/dt
P=dWdt
dW= d 
P= ddt  d 
P= d dt =
d
dt
P=
P=F v
Obs. A semelhança entre:
A Potência para o 
movimento Circular e para 
o movimento Linear
 
Momento de inérciaMomento de inércia
 
Cálculo do momento de inérciaCálculo do momento de inércia
Para uma distribuição discreta de massa
I=∑
i=1
n
mi r i ²
Para uma distribuição discreta contínua de massa
I=∫ r²dm
 
Teorema dos eixos paralelosTeorema dos eixos paralelos
 
Teorema dos eixos paralelosTeorema dos eixos paralelos
O que diz o teorema?
“ O momento de inércia de um corpo em relação ao eixo 
que passa pelo centro de massa está relacionado com o 
momento de inércia em relaçao a um outro eixo qualquer 
paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa, através 
do TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS”.
Eixo que passa pelo cm
Eixo paralelo ao eixo
que passa pelo cm
 
Teorema dos eixos paralelosTeorema dos eixos paralelos
Ri=r ih
Da definição momento de inércia
em relação a OB
I=∑
i=1
n
mi Ri ²
I=∑
i=1
n
mi r i ²∑
i=1
n
mih²2∑
i=1
n
mi r i⋅h
Ri⋅Ri=RR=R²→ R²= Ri⋅Ri=r ih⋅ r ih
R²=r i²h²2 r i⋅h
 
Teorema dos eixos paralelosTeorema dos eixos paralelos
I=∑
i=1
n
mi r i ²∑
i=1
n
mih²2∑
i=1
n
mi r i⋅h
I= I cmMh²
I=∑
i=1
n
mi r i ² I=M h ² r cm=
1
M ∑i=1
n
mi r i=0
 
Energia cinéticaEnergia cinética
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
“CONSIDERE: Um corpo extenso que gira ao mesmo tempo em 
que seu centro de massa desloca-se com uma velocidade v”
Exemplo
movimentos de rotação e translação
Aenergia total E t?
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
“CONSIDERE: Um corpo extenso que gira ao mesmo tempo em 
que seu centro de massa desloca-se com uma velocidade v”
E t=E rotaçãoE translação
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I p ²
Energia cinética de rotação
I cm=
2
5
MR²
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
I p= I cmMR²
 
Energia cinética para um sistema Energia cinéticapara um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I p ²
Energia cinética de rotação
I cm=
2
5
MR²
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
I p= I cmMR²
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I p ²
Energia cinética de rotação
I cm=
2
5
MR²
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
I p= I cmMR²
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I cm ²
1
2
M R ²
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I cm ²
1
2
M R2
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
vcm=R
E c=
1
2
I cm ²
1
2
M vcm
2
E c rot E cm
 
Energia cinética para um sistema Energia cinética para um sistema 
com rotação e translação
E c=
1
2
I cm ²
1
2
M R2
E c=
1
2
I p ²=
1
2
 I cmMR²  ²
vcm=R
E c=
1
2
I cm ²
1
2
M vcm
2
Et= Energia cinética de rotação em torno do centro de massa + Energia cinética do seu centro de massa
E c=E c rotE cm
E c rot=
1
2
I cm ²
E cm=
1
2
M vcm
2
 
PRODUTO VETORIAL: RevisãoPRODUTO VETORIAL: Revisão
 
PRODUTO VETORIAL: RevisãoPRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
a) O produto vetorial entre dois vetores é anti-comutativo
A x B=−B x A
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
b) Se os dois vetores são paralelos, segue que:
A x A=0
B=APor exemplo:
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
c) Se dois vetores são perpendiculares, segue que:
∣A x C∣=A A sen 90o
A=CPor exemplo:
Justificativa: A x B=¿
 =90o
∣A x C∣=0
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
d) O produto vetores obedece a lei distributiva:
A x  BC =A x BA x C
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
e) A derivada do produto vetorial com relação a algum parâmetro 
t se gue as regras comuns de cálculo, no entanto, mantendo a 
ordem dos fatores:
d
dt
 A x B= d
A
dt
x BA x d
B
dt
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
Três vetores unitários (versores) em um sistema de coordenadas 
ortogonais obedecem as seguints reelações
i x i=j x j=k x k=0
i x j=−j x i=k
j x k=−k x j=i
k x i=−i x k=j
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
Operação vetorial em termos de componentes
A x B=
i j k
Ax A y Az
B x B y B z
 
PRODUTO VETORIAL: Revisão
Algumas propriedades do produto vetorial
A x B=∣ i j kAx A y AzB x B y B z∣
A x B=i∣Ay AzB y B z∣−j∣Ax AzB x B z∣k∣Ax A yB x B y∣
A x B=A y B z−Az B y  iAz B x−Ax B z jAx B y−Ay B x k
 
Momento AngularMomento Angular
 
Momento Angular
(de uma partícula)
A relação entre momento linear p e momento angular:
Definição
L=r x p
Módulo de L
L=r p sen
 
Momento AngularMomento Angular
(de uma partícula)
A relação entre momento linear p e momento angular:
Definição
L=r x p
Módulo de L
L=r p sen
Discutir: direção e sentido de L através da Regra da Mão direita
 
Momento Momento angularangular para o para o movimento linear uniformemovimento linear uniforme
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
De uma partícula de massa m
movendo-se v=const
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
De uma partícula de massa m
movendo-se v=const
Possui 
Momento linear CONSTANTE
E quanto ao momento angular? …. 
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
De uma partícula de massa m
movendo-se v=const
E quanto ao momento angular ?…. a equação abaixo sugere que L pode variar
L=r x p
Origem
Possui 
Momento linear CONSTANTE
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
TESTAREMOS ESTE QUESTIONAMENTO:
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
TESTAREMOS ESTE QUESTIONAMENTO:
r1=vetor posiçãoda partícula no instante t1
r2=vetor posição da partícula no instante t 2
c/ r1=b
c/ r 2=b sen
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
TESTAREMOS ESTE QUESTIONAMENTO:
r1=vetor posiçãoda partícula no instante t1
r2=vetor posição da partícula no instante t 2
c/ r1=b
c/ r 2=b sen
Lembrando que : p1= p2=mv
L1=r1 x p1
L2=r2 x p2
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
TESTAREMOS ESTE QUESTIONAMENTO:
r1=vetor posição da partícula no instante t1
r2=vetor posição da partícula no instante t 2
c/ r1=b
c/ r 2=b sen
Lembrando que : p1= p2=mv
L1=r1 x p1
L2=r2 x p2
L1=r1 p1 sen 90⁰=mvr1=mvb
L2=r2 p2 sen =mvr 2 sen 
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
TESTAREMOS ESTE QUESTIONAMENTO:
r1=vetor posição da partícula no instante t1
r2=vetor posição da partícula no instante t 2
c/ r1=b
c/ r 2 sen =b
Lembrando que : p1= p2=mv
L1=r1 x p1
L2=r2 x p2
L1=r1 p1 sen 90⁰=mvr1=mvb
L2=r2 p2 sen =mvr 2 sen =mvb
L1=L2
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
L1=L2 Esta eq. diz que: “os módulos de L1 e L2 são iguais”
Use a regra da Regra da Mão direita para mostra que
Mostre que L1 e L2 têm mesmas direção e sentido 
apartir da figura a seguir.
 
Momento angular para o movimento linear uniformeMomento angular para o movimento linear uniforme
L1=L2 Esta eq. diz que: “os módulos de L1 e L2 são iguais”
Use a regra da Regra da Mão direita para mostra que
Mostre que L1 e L2 têm mesmas direção e sentido 
apartir da figura a seguir.
 
Momento angular para o Momento angular para o movimento circular uniformemovimento circular uniforme
 
Momento angular para o Momento angular para o movimento circular uniformemovimento circular uniforme
Caso de interesse: movimento circular uniforme
Partídula move-se em um caminho circular com 
módulo da velocidade v = constante.
L=mvrPossui: constante
 
Relação: L x 
(momento angular x velocidade angular)
L=r x p
 
Relação: L x 
(momento angular x velocidade angular)
L=r x p Está associado à rotação dos corpos
L=r x mv 
 
Relação: L x 
(momento angular x velocidade angular)
L=r x p Está associado à rotação dos corpos
L=r x mv 
Lembre-se que:
v= xr
 
Relação: L x 
(momento angular x velocidade angular)
L=r x p Está associado à rotação dos corpos
L=r x mv 
v= xr
Sendo assim,
L=mr x   x v 
Lembre-se que:
 
Relação: L x 
L=mr x   x v 
Mostre a expanssão do produto vetorial triplo
L=m[r⋅r − ⋅r r ]
L=m[r² − ⋅r r ]
0, pois  ┴ rL=mr² 
 
Relação: L x 
L=mr x   x v 
Mostre a expanssão do produto vetorial triplo
L=m[r⋅r − ⋅r r ]
L=m[r² − ⋅r r ]
0, pois  ┴ rL=mr² 
I=mr²
L= I 
(Momento de Inércia)
 
Relação: L x 
L=mr x   x v 
Mostre a expanssãodo produto vetorial triplo
L=m[r⋅r − ⋅r r ]
L=m[r² − ⋅r r ]
0, pois  ┴ rL=mr² 
I=mr²
L= I 
(Momento de Inércia)
Atente para a semelhanda entre os momentos angular e linear
p=mv
 
Teorema do momento angular
 
Teorema do momento angular
F= d
P
dt
→ a força é responsável pela variação do momento linear
 
Teorema do momento angular
F= d
P
dt
→ a força é responsável pela variação do momento angular
Quem ou o que é responsável pela variação do momento angular?
?= d
L
dt
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
=v x pr x d pdt
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
=v x pr x d pdt
0, pois v // p F= d
P
dt
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
=v x pr x d pdt
0, pois v // p F= d
P
dtd L
dt
=r x F ext
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
=v x pr x d pdt
0, pois v // p F= d
P
dtd L
dt
=r x F ext
=r x F ext
Torque
 
Variação do momento angular L
d L
dt
= d
dt
r x p
L=r x p
d L
dt
=d r
dt
x pr x d pdt
=v x pr x d pdt
0, pois v // p F= d
P
dtd L
dt
=r x F ext
=r x F ext
Torque d L
dt
=
 
Analogias entre
dinâmica linear dinâmica rotacional
P L
F 
F= d p
dt
=
d L
dt
momentos
Força - torque
Lei de movimento
 
Bom estudo!!
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