Momento angular

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Momento angular
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos o Momento Angular. Além disso, identificaremos 
suas principais características e as formas de obtê-lo. O Momento Angular é muito utilizado no 
estudo dos movimentos no espaço tridimensional e é também conhecido por quantidade de 
movimento angular de um corpo.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar características do momento angular.•
Expressar as equações que definem o momento angular.•
Diferenciar os casos particulares do momento angular.•
DESAFIO
Ao estudar os efeitos da variação do Momento Angular em sistemas com geometrias diferentes, 
um cientista resolveu validar em seus estudos fixando uma forma simples, um triângulo e 
propôs através da medição precisa de um tacômetro, obter a velocidade angular e, com isto, 
aplicou uma placa triangular mostrada na figura com massa de 8,3 kg, soldada a um eixo 
vertical AB. Observaram seu movimento de rotação e mediram a taxa constante ω=34 rad/s.
 
Desta forma, para concluir o experimento determine:
A) A quantidade de movimento angular em relação ao (a) ponto C. 
B) Quanto ficaria o HC quando se triplica a massa da figura ao utilizar material mais pesado, 
denso.
INFOGRÁFICO
Veja no esquema o que veremos nesta unidade de aprendizagem:
CONTEÚDO DO LIVRO
Para compreendermos o Momento Angular é importante entender como são desenvolvidos os 
estudos dos movimentos de um corpo rígido tridimensional.
Aprofunde seus conhecimentos com o capítulo Momento Angular do livro Dinâmica, base 
teórica para esta unidade de aprendizagem.
Boa leitura.
DINÂMICA
Ricardo Lauxen
Revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle 
Bacharel em Física
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
D583 Dinâmica / Ivan Rodrigo Kaufmann... [et al.] ; [revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle]. – Porto Alegre : SAGAH, 2018.
348 p. : il. ; 22,5 cm 
ISBN 978-85-9502-365-9
1. Física. I. Kaufmann, Ivan Rodrigo.
CDU 531.3
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Momento angular
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar características do momento angular.
  Expressar as equações que definem o momento angular.
  Diferenciar os casos particulares do momento angular.
Introdução
O momento angular é muito utilizado no estudo dos movimentos no es-
paço tridimensional e também é conhecido por quantidade de movimento 
angular de um corpo. Neste capítulo, vamos estudar o momento angular. 
Identificaremos as suas principais características e as formas de obtê-lo.
Momento angular
Em adição à quantidade de movimento (ou momento) linear de uma partícula, 
existe a quantidade de movimento (momento angular) da partícula. Essa 
quantidade representa o momento da quantidade de movimento linear da 
partícula, e, como você verá ao longo do capítulo, ela é sempre calculada com 
relação a um ponto específi co do espaço. Essa quantidade é muito importante 
no estudo de rotações e trajetórias curvas. Portanto, iniciaremos este capítulo 
com a defi nição dessa quantidade.
Para definir o momento angular, é necessário escolher um ponto O em 
relação ao qual vamos calculá-lo. Essa escolha é importante porque a partí-
cula possui uma posição diferente em relação a dois pontos distintos, o que 
altera o resultado. Considere um ponto material se movendo ao longo de uma 
trajetória curva, como mostrado na Figura 1. O momento angular em relação 
ao ponto O é definido como o produto vetorial entre o vetor posição e o 
vetor momento linear :
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Figura 1. Vetor posição, momento linear e momento angular de uma partícula 
se movendo ao longo de uma trajetória curva no espaço em torno do ponto O.
Fonte: Hibbeler (2005).
Como se trata de um produto vetorial, o cálculo de (1) pode ser feito 
encontrando o determinante da matriz:
Sendo essa uma matriz 3 × 3, o determinante pode ser encontrado pelo uso 
da seguinte técnica: copiar as duas primeiras colunas da matriz e multiplicar 
os elementos das diagonais da esquerda para a direita, diminuindo-os da 
multiplicação dos elementos das diagonais da esquerda para a direita:
Momento angular2
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O lado esquerdo da equação (3) pode ser reescrito em termos das suas 
componentes cartesianas como , de modo que é 
possível reconhecer as componentes do momento angular como:
É importante ressaltar que, como a quantidade de movimento angular é 
definida por um produto vetorial, caso seja necessário determinar apenas o 
módulo do vetor, pode-se utilizar:
em que m é a massa, r é o módulo do vetor posição, v é o módulo da velo-
cidade e θ é o ângulo formado entre os dois vetores. A equação (7) é muito 
útil quando conhecemos de antemão o ângulo θ. Se não for o caso, devemos 
utilizar .
Uma vez definida a quantidade de movimento angular na forma (1), po-
demos determinar as unidades de medida da intensidade do vetor momento 
angular:
Regra da mão direita
É possível verifi car a direção e o sentido do vetor momento angular da 
partícula utilizando a regra da mão direita, mostra na Figura 2 para o caso 
particular do movimento no plano xy. Nessa situação, o momento angular 
3Momento angular
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dado por (5) apontará na direção de z. Note que, como a trajetória faz uma 
curva em sentido anti-horário, o vetor momento angular aponta no sentido 
positivo desse eixo. Caso a curva fosse oposta, o momento angular apontaria 
no sentido negativo do eixo.
Figura 2. Movimento no plano xy. O vetor movimento angular aponta na direção 
positiva do eixo z.
Fonte: Veleri/Shutterstock.com, adaptada de Hibbeler (2005).
A solução de problemas envolvendo momento angular envolve muito 
dos conceitos fundamentais de vetores abordados comumente em cursos 
de geometria analítica. Portanto, os dois exemplos a seguir possuem o 
intuito de relembrar esses conceitos, que serão fundamentais na resolução 
de problemas.
Momento angular4
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Uma caixa de 2,0 kg desliza em uma rampa em curva de modo que, no instante em 
que ela está na posição , a sua velocidade 
é . Determine o vetor momento angular da 
caixa e o seu módulo.
Fonte: DRogatnev/Shutterstock.com, adaptado de Hibbeler (2005).
Solução:
Para resolver esse problema, você pode utilizar (2) para montar a matriz:
cujo resultado é dado pela equação (3):
Desse modo, o módulo do vetor momento angular é:
O arredondamento foi realizado para ficar compatível com os algarismos significativos 
das medidas dadas no problema.
5Momento angular
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O módulo do vetor poderia ser determinado através de (7), mas, como não temos o 
valor do ângulo entre os vetores, teríamos mais trabalho. Como comparativo, vamos 
realizar esta conta. O ângulo entre os vetores e é dado por:
O módulo do vetor posição é:
Já o modulo do vetor velocidade é:
Assim, o valor do ângulo fica:
Assim:
Note que, embora o resultado seja o mesmo, foi muito mais trabalhoso seguir por 
esse método sem ter o ângulo previamente fornecido.
Determine o momento angular da partícula em relação ao ponto 0.
Figura 4. A figura mostra a posição do ponto material e indica o módulo de sua velocidade.
Fonte: Hibbeler (2005).
Momento angular6
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Movimento circular
Na seção anterior, vimos um exemplo de uma trajetória curvilínea que pode 
ser seguida pela partícula. Uma trajetória curvilínea particular que a partícula 
pode percorrer é a trajetória circular, como mostrado na Figura 3.
Solução:
Em tese, a resolução desse exemplo é similar à do exemplo anterior, mas, aqui, devem 
ser determinados os vetores posição e velocidade primeiramente.
O vetor posição da partícula no ponto B só tem componentes ao longo do eixo y, 
então:
Agora é necessáriodeterminar o vetor velocidade. O problema nos fornece o módulo 
da velocidade, de modo que é necessário encontrar a direção e sentido do vetor. Essas 
informações são fornecidas pelo versor do vetor, também chamado de vetor unitário. O 
vetor velocidade terá a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento da 
partícula, de modo que podemos utilizar o seu versor para calcular o vetor velocidade:
Na figura, temos dois sistemas de coordenadas: um para o ponto 0 e um para a 
partícula. Focando no segundo, o vetor deslocamento da partícula é dada por:
Assim, o seu versor fica:
Assim, o vetor velocidade da partícula é:
Agora, podemos utilizar (3) para calcular o vetor quantidade de movimento angular:
7Momento angular
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Figura 3. Como o vetor velocidade é tangente a trajetória, no 
caso do movimento circular uniforme, o ângulo entre os vetores 
posição e momento linear é 90º.
Nesse caso particular, o ângulo formado entre os vetores posição e momento 
linear será sempre 90º, de modo que o módulo do vetor momento angular 
tem a forma:
Tratando-se do movimento circular, podemos escrever o vetor momento angular 
em termos das grandezas normalmente associadas a esse movimento, como 
a velocidade angular.
Movimento circular uniforme
Para o caso de a velocidade angular ser constante, o movimento é um movi-
mento circular uniforme, em que o módulo do vetor velocidade linear pode 
ser escrito como:
Momento angular8
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Assim, utilizando (10) é possível encontrar uma nova expressão para (9):
Na sua forma vetorial, essa expressão fi ca:
Mas qual é a direção em que aponta o vetor ? No caso de o movimento 
estar ocorrendo ao longo do plano xy, conforme visto na seção anterior, 
pela regra da mão direita, o vetor momento angular terá a mesma direção 
que o eixo z.
Movimento circular acelerado
Por fi m, também é possível que a velocidade angular da partícula varie, o 
que acontece quando ela está sujeita a uma força externa, de modo que o seu 
movimento seja acelerado. Como a sua velocidade angular vai variar, isso 
implica em uma variação do momento angular da partícula ao longo do tempo. 
Essa variação pode ser determinada a partir de (1). Vamos agora calcular o 
resultado dessa variação:
Reconhecendo em (12) , temos que:
Ainda é possível reconhecer, no último termo de (12), a força . 
Obtemos:
9Momento angular
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O produto vetorial que aparece do lado direito da equação (14) é o vetor torque:
Assim, obtemos:
Portanto, a variação da quantidade de movimento angular é uma grandeza 
física própria, conhecida como torque, também denominado momento de 
uma força. A expressão (17) é tão importante que é conhecida como segunda 
lei de Newton para rotações.
1. Um disco gira à taxa constante ω1 = 12 
rad/s em relação ao eixo y e tem uma 
segunda rotação à taxa constante 
ω2 = 28 rad/s com relação ao braço 
ABC. Determine a quantidade de 
movimento angular HC do disco em 
relação ao ponto C, sabendo que esse 
disco possui uma massa de 6,0 kg.
 
a) HC = (0,220 kg.m2/s)
j − (0,175 kg.m2/s)k.
b) HC = (0,384kg.m2/s)
j + (2,3435 kg.m2/s)k.
c) HC = (2,7765 kg.m2/s)
j + (0,5765 kg.m2/s)k.
d) HC = (0,5832 kg.m2/s)
j + (2,7216 kg.m2/s)k.
e) HC = (7,5463 kg.m2/s)
j + (5,8467 kg.m2/s)k.
2. Um disco gira à taxa constante 
ω1 = 20 rad/s em relação à sua 
base de apoio ABC e tem uma 
segunda rotação à taxa constante 
ω2 = 10 rad/s com relação a dois 
mancais, D e E. Determine a 
quantidade de movimento angular 
HA do disco em relação ao seu 
centro A, sabendo que esse disco 
possui uma massa de 5,0 kg.
 
Momento angular10
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a) HA = (0,14 kg.m2.s − 1)
i + (0,07 kg.m2.s − 1)j.
b) HA = (1,16 kg.m2.s − 1)
i + (2,50 kg.m2.s − 1)j.
c) HA = (0,07 kg.m2.s − 1)
i + (0,14 kg.m2.s − 1)j.
d) HA = (2,50 kg.m2.s − 1)
i + (1,16 kg.m2.s − 1)j.
e) HA = (2,05 kg.m2.s − 1)
i + (3,24 kg.m2.s − 1)j.
3. Um disco gira à taxa constante ω1 = 12 
rad/s em relação ao eixo y e tem uma 
segunda rotação à taxa constante 
ω2 = 28 rad/s com relação ao braço 
ABC. Determine a quantidade de 
movimento angular HA do disco em 
relação ao ponto A, sabendo que esse 
disco possui uma massa de 6,0 kg.
 
a) HA = − (5,583 kg.m2/s)i + (11,567 
kg.m2/s)j + 0,678 kg.m2/s)k.
b) HA = + (5,678 kg.m2/s)i − (7,4345 
kg.m2/s)j − 2,5689 kg.m2/s)k.
c) HA = − (5,678 kg.m2/s)i + (7,4345 
kg.m2/s)j + 2,5689 kg.m2/s)k.
d) HA = + (7,560 kg.m2/s)i − (12,846 
kg.m2/s)j − 0,6804 kg.m2/s)k.
e) HA = − (7,560 kg.m2/s)i + (12,846 
kg.m2/s)j + 0,6804 kg.m2/s)k.
4. Por meio de um ponto de soldagem, 
duas barras com o mesmo 
comprimento LTotal = 400 mm e igual 
massa, m = 5 kg, giram fixados pelos 
mancais A e B, com uma velocidade 
angular de intensidade constante ω 
= 8 rad/s. Determine a intensidade 
de movimento angular HD.
 
a) HD = 0,2574 kg.m2/s.
b) HD = 0,3527 kg.m2/s.
c) HD = 0,2648 kg.m2/s.
d) HD = 1,4579 kg.m2/s.
e) HD = 1,5680 kg.m2/s.
5. Um disco gira à taxa constante ω1 
= 30 rad/s em relação à sua base 
de apoio ABC e tem uma segunda 
rotação à taxa constante ω2 = 15 
rad/s com relação a dois mancais, 
D e E. Determine a quantidade 
de movimento angular HD do 
disco em relação ao seu centro 
do mancal D, sabendo que esse 
disco tem massa de 4,0 kg.
 
a) HD = (4,8743)i − (0,478)j + (2,34)k.
b) HD = − (4,8743)i + 
(0,478)j − (2,34)k.
c) HD= (3,771)i − (1,926)j + (2,31)k.
d) HD = − (3,771)i + (1,926)j − (2,31)k.
e) HD = (2,789)i - (3,766)j + (4,574)k.
11Momento angular
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HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2005.
Leituras recomendadas
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: 
dinâmica. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 
2002. v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
Referência
Momento angular12
Cap_14_Dinamica.indd 12 09/03/2018 17:21:12
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
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EXERCÍCIOS
1) Um disco gira à taxa constante ω1 = 12 rad/s em relação ao eixo y, possui uma segunda 
rotação à taxa constante ω2 = 28 rad/s com relação ao braço ABC. Determine a 
quantidade de movimento angular HC do disco em relação ao ponto C, sabendo que este 
disco possui uma massa de 6,0 kg.
A) HC = (0,220 kg.m2/s)j - (0,175 kg.m2/s)k.
B) HC = (0,384kg.m2/s)j + (2,3435 kg.m2/s)k.
C) HC = (2,7765 kg.m2/s)j + (0,5765 kg.m2/s)k.
D) HC = (0,5832 kg.m2/s)j + (2,7216 kg.m2/s)k.
E) HC = (7,5463 kg.m2/s)j + (5,8467 kg.m2/s)k.
2) Um disco gira à taxa constante ω1 = 20 rad/s em relação a sua base de apoio ABC, possui 
uma segunda rotação à taxa constante ω2 = 10 rad/s com relação a dois mancais D e E. 
Determine a quantidade de movimento angular HA do disco em relação ao seu centro A, 
sabendo que este disco possui uma massa de 5,0 kg.
A) HA = (0,14 kg.m2.s-1)i + (0,07 kg.m2.s-1)j.
B) HA = (1,16 kg.m2.s-1)i + (2,50 kg.m2.s-1)j.
C) HA = (0,07 kg.m2.s-1)i + (0,14 kg.m2.s-1)j.
D) HA = (2,50 kg.m2.s-1)i + (1,16 kg.m2.s-1)j.
E) HA = (2,05 kg.m2.s-1)i + (3,24 kg.m2.s-1)j.
3) Um disco gira à taxa constante ω1 = 12 rad/s em relação ao eixo y, possui uma segunda 
rotação à taxa constante ω2 = 28 rad/s com relação ao braço ABC. Determine a 
quantidade de movimento angular HA do discoem relação ao ponto A, sabendo que este 
disco possui uma massa de 6,0 kg.
A) HA= -(5,583 kg.m2/s)i + (11,567 kg.m2/s)j + 0,678 kg.m2/s)k.
B) HA= +(5,678 kg.m2/s)i - (7,4345 kg.m2/s)j - 2,5689 kg.m2/s)k.
C) HA= -(5,678 kg.m2/s)i + (7,4345 kg.m2/s)j + 2,5689 kg.m2/s)k.
D) HA= +(7,560 kg.m2/s)i - (12,846 kg.m2/s)j - 0,6804 kg.m2/s)k.
E) HA= -(7,560 kg.m2/s)i + (12,846 kg.m2/s)j + 0,6804 kg.m2/s)k.
Através de um ponto de soldagem, duas barras com o mesmo comprimento LTotal = 400 4) 
mm e igual massa m = 5 kg, giram fixados pelos mancais A e B, com uma velocidade 
angular de intensidade constante ω=8 rad/s, determine a intensidade de movimento 
angular HD.
A) HD= 0,2574 kg.m2/s.
B) HD= 0,3527 kg.m2/s.
C) HD= 0,2648 kg.m2/s.
D) HD= 1,4579 kg.m2/s.
E) HD= 1,5680 kg.m2/s.
Um disco gira à taxa constante ω1 = 30 rad/s em relação a sua base de apoio ABC, possui 
uma segunda rotação à taxa constante ω2 = 15 rad/s com relação a dois mancais D e E. 
5) 
Determine a quantidade de movimento angular HD do disco em relação ao seu centro do 
mancal D, sabendo que este disco possui uma massa de 4,0 Kg.
A) HD= (4,8743)i - (0,478)j + (2,34)k.
B) HD= -(4,8743)i + (0,478)j - (2,34)k.
C) HD= (3,771)i - (1,926)j + (2,31)k.
D) HD= -(3,771)i + (1,926)j - (2,31)k.
E) HD= (2,789)i - (3,766)j + (4,574)k.
NA PRÁTICA
Acompanhe um exemplo prático da aplicação do Momento Angular: 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
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