Cap 2. Elementos de Fundação em Concreto Rasas

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2. Elementos de Fundações em concreto 
 
São peças estruturais que proporcionam a transição das cargas dos pilares, geralmente 
submetidos a cargas e tensões altas, para o solo, de resistência geralmente baixa. 
 
 
Figura 2.1 – Elementos de Fundações em concreto 
 
Serão tratados neste Capítulo os elementos de fundação segundo a estrutura apresentada 
no quadro 2.1. 
 
Quadro 2.1 – Elementos de Fundação 
Elementos de 
Fundação 
Superficial 
(Rasa – Direta) 
Sapata 
Isolada 
Corrida 
Associada 
Alavancada 
Bloco Apoiada diretamente no solo 
Radier 
Placa ou Laje 
apoiada diretamente 
no solo 
Profunda 
Estaca Pré-moldada Moldada in loco 
Tubulão a céu aberto 
a ar comprimido 
Elementos de 
transição 
Bloco sobre estacas 
Laje sobre estacas 
 
2.1 Fundações Rasas 
 
São estruturas que se situam logo abaixo da infra-estrutura e se caracterizam pela 
transmissão da carga da superestrutura ou meso-estrutura ao solo, através de pressões 
distribuídas em sua base. 
 
Segundo ABNT NBR 6122 – item 3.1 - Fundação superficial (rasa ou direta) é 
Elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões 
distribuídas sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao 
terreno adjacente à fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação. 
 
Constituem fundação rasas os elementos denominados sapatas, blocos (figura 2.2) e 
radier (Figura 2.3. 
 
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Figura 2.2 – Sapatas isoladas e Blocos de concreto apoiados diretamente no solo 
 
A ABNT NBR 6122 – Item 3.2 define sapata como um elemento de fundação 
superficial, de concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele 
resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura especialmente dispostas para 
esse fim e, em seu item 3.3 define bloco como elemento de fundação superficial de 
concreto, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam 
resistidas pelo concreto, sem necessidade de armadura. 
 
 
 
Figura 2.3 – Radier – Laje apoiada diretamente no solo 
 
 
O Radier, por sua vez, é definido pela ABNT NBR 6122 em seu item 3.4 como 
sendo um elemento de fundação superficial que abrange parte ou todos os pilares de 
uma estrutura, distribuindo os carregamentos. 
 
As fundações diretas ou rasas são as primeiras a serem analisadas, devido ao seu baixo 
custo e de fácil execução. 
 
Uma análise simplista, da economia desse tipo de fundação se faz comparando a 
somatória das áreas encontradas para a fundação rasa com a área do terreno. Caso a 
somatória das áreas fique entre 50% a 70% da área do terreno, essa economia pode ser 
constatada. 
 
2.1.1 Fundações em Sapatas 
 
A ABNT NBR 6118 – Item 22.4.1 Conceitua sapata como sendo estruturas de volume 
usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso de fundação direta. 
 
 
Radier transfere cargas de pilares e 
paredes da edificação, 
distribuindo-as uniformemente ao 
solo, sendo executado em concreto 
armado ou protendido. 
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i) Classificação das sapatas 
 
a) Quanto ao tipo de carga que transferem ao solo 
 
Quadro 2.2 – Classificação das Sapatas 
Tipo Carga que transfere 
Isolada Carga concentrada de um único pilar. Distribui carga nas duas direções. 
Corrida Carga Linear (parede). Distribui a carga em apenas uma direção. 
Associada 
Cargas concentradas, de mais de um pilar, transferida 
através de uma viga que associa essas cargas. Utilizada 
quando há interferência entre duas sapatas isoladas. 
Alavancada 
Carga concentrada transferida através de viga alavanca. 
É utilizada em pilares de divisa, com o objetivo de 
centrar a carga do pilar com a área da sapata. 
 
 
Figura 2.4 – Tipos de Sapatas – Transporte de carga 
 
b) Classificação das sapatas isoladas/Corridas quanto à forma 
 
Com relação à forma volumétrica, as sapatas podem ter vários formatos, porém a mais 
comum é a cônica retangular, em virtude do menor consumo de concreto. O quadro 2.4 
apresenta uma classificação das sapatas quanto a forma e suas dimensões. 
 
 
 
 
 
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Quadro 2.3 – Classificação das Sapatas Isoladas/Corridas quanto à forma 
Forma Dimensões 
Quadrada L = B 
Retangular (L > B) e (L ≤ 3B) 
Corrida L≥≥≥≥ 3B 
Circular B = φ 
Trapezoidal 
Outras Formas 
 
 
Figura 2.5 – Formas geométricas de sapatas isoladas 
 
 
Figura 2.6 – Outras formas de sapatas isoladas 
 
 
Figura 2.7 – Fotos de sapatas isoladas 
Fonte: Fundacta / Solonet 
 
ii) Comportamento estrutural 
 
a) Sapata rígida 
 
Segundo a NBR 6118, item 22.4.1 a sapata será considerada como sapata rígida quando 
se verificar a expressão: 
 
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h ≥ (B − b) 3	 2.1 
Sendo: 
h = altura da sapata 
B = dimensão da sapata em uma determinada direção 
B = dimensão do pilar na mesma direção de “B” 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Sapata Rígida 
 
b) Sapata flexível 
 
Quando a relação indica em 2.1 não for atendida 
 
 
Figura 2.9 – Sapata Flexível 
 
iii) Hipótese de distribuição de tensões no solo 
 
A ABNT NBR 6118 – Item 22.4.1 – determina que a distribuição de tensões possa ser: 
 
Para sapata rígida pode-se admitir plana a distribuição de tensões normais no contato 
sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais detalhadas a respeito. 
 
Para sapatas flexíveis ou casos extremos de fundação em rocha, mesmo com sapata 
rígida, essa hipótese deve ser revista. 
 
Em seu item 7.8.1 a ABNT NBR 6122 define que: 
 
As sapatas devem ser calculadas considerando-se diagramas de tensão, na base, função 
das características do solo (ou rocha), representativos. 
 
 
h≥≥≥≥ tgαααα*(B-b)/2 
 
NBR6118: Tgαααα = 1/1,5 ; αααα = 33,70 
 
CEB: Tgαααα = 1/2; αααα = 26,560 
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Quadro 2.4 – Distribuição de tensões na base da sapata 
 Flexível Rígida 
Rocha 
 
 
Solo Coesivo 
 
Solo não Coesivo 
 
 
 
A Hipótese de distribuição de tensões no solo será considerada uniforme, com exceção 
nos casos de sapata (corrida) rígida em rocha e sapata flexível em solo não coesivo. Nos 
dois casos admite-se a distribuição em 2 (dois) triângulos com o vértice no centro da 
figura um acima, tensão zero e o outro para baixo, tensão máxima, respectivamente. 
 
Figura 2.10– Distribuição de tesões no solo 
 
Informações Complementares 
Solos Coesivos - Argilosos 
Individualmente os grãos destes tipos de solos são muito finos, quase farináceos, se 
aderem firmemente um a outro e não podem ser reconhecidos a olho nu. Os espaços 
vazios entre as partículas são muito pequenos. Devido à sua estrutura estes solos 
apresentam resistência à penetração de água, absorvendo-a muito lentamente. 
Entretanto, uma vez que tenha conseguido penetrar no solo, a água também encontra 
dificuldade para ser extraída do interior do mesmo. 
Ao receber água, tendem a se tornarem plásticos (surge a “lama”). Apresentam maior 
grau de estabilidade quando secos. 
Devido às forças adesivas naturais (coesão) existentes entre as pequenas partículas que 
compõem estes tipos de solo, é que a compactação por vibração não é a ideal nesta 
situação. Estas partículas tendem a agrupar-se, dificultando uma redistribuição natural 
entre elas, individualmente. 
 
Informações Complementares 
 
Solos Não Coesivos (Granulares) 
Como solos não coesivos compreendem-se os solos compostos de pedras, pedregulhos, 
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cascalhos e areias, ou seja, de partículas grandes (grossas). 
Estasmisturas, compostas por muitas partículas, individualmente soltas, que no estado 
seco não se aderem uma à outra (somente se apóiam entre si), são altamente 
permeáveis. Isto se deve ao fato de existirem, entre as partículas, espaços vazios 
relativamente grandes e intercomunicados entre si. 
Em um solo não coesivo, em estado seco, é fácil reconhecer, por simples observação, 
os tamanhos dos diferentes grãos. 
 A capacidade para suportar cargas dos solos não coesivos depende da resistência ao 
deslocamento, à movimentação, entre as partículas individuais. Ao se aumentar os 
pontos, ou superfície de contato, entre os grãos, individualmente, por meio da 
quantidade de grãos por unidade de volume (COMPACTAÇÃO), aumentam-se a 
resistência ao deslocamento entre as partículas e, simultaneamente, melhora a 
transmissão de força entre os mesmos. 
 
Informações Complementares 
 
A tensão admissível pode ser fixada a partir da utilização e interpretação de um ou 
mais dos procedimentos a seguir apresentados: 
 
• Provas de carga sobre placa; 
• Métodos teóricos; 
• Métodos semi-empíricos; 
• Métodos empíricos. 
 
Métodos empíricos 
 
São considerados métodos empíricos aqueles pelos quais se chega a uma tensão 
admissível com base na descrição do terreno (classificação e determinação da 
compacidade ou consistência através de investigações de campo e/ou laboratoriais). 
 
 
A ABNT NBR 6122 em seu item 3.27 destaca que a tensão adotada em projeto, 
aplicada ao terreno pela fundação superficial ou pela base do tubulão, atende com 
coeficientes de segurança pré-determinados, aos estados limites últimos (ruptura) e de 
serviço (recalques, vibrações, etc.). Esta grandeza é utilizada quando se trabalha com 
ações em valores característicos. No item 7.3 destaca que a determinação da tensão 
admissível ou tensão resistente de projeto é obtida a partir do estado-limite último. 
 
 
Na tabela 3.1 são apresentados valores de tensões básicas, válida para cargas verticais 
até 1.000 KN (100 tf). 
 
Tabela 2.1 – Tensões básicas (σσσσadm.) 
Classe Descrição Valores 
(MPa) 
1 Rocha sã, maciça, sem laminação ou sinal de 
decomposição 
3,0 
2 Rocha laminada, com pequenas fissuras, estratificada 1,5 
3 Rocha alterada ou em decomposição (Ver nota e) 
4 Areia muito compacta (NSPT>30) 0,5 
5 Areia compacta (20<NSPT<30) 0,4 
6 Areia medianamente compacta (10<NSPT<20) 0,2 
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7 Argila dura (20<NSPT<30) 0,4 
8 Argila rija (10<NSPT<20) 0,2 
9 Argilas médias (6<NSPT<10) 0,1 
10 Solos siltosos muito compactos (ou duros) (NSPT>30) 0,5 
11 Solos siltosos compactos (ou rijos) (20<NSPT<30) 0,4 
12 Solos siltosos medianamente compactos (ou médios) 
(10<NSPT<20) 
0,2 
Notas: 
a) Em geral as areias e argilas são solos sedimentares e os solos siltosos são residuais; 
b) Para a aplicação da tabela admite-se que as características do maciço não piorem com 
o aumento de profundidade. 
c) Os valores da tabela 2.1 já atendem aos estados limites último e de serviço. 
d) No caso de calcário ou qualquer outra rocha cáustica, devem ser feitos estudos 
especiais. 
e) Para rochas alteradas ou em decomposição, têm que ser levados em conta a natureza 
da rocha matriz e o grau de decomposição ou alteração. 
 
Informações Complementares 
O ensaio – Sondagem a Percursão, cujo resultado está apresentado abaixo, consiste na 
cravação vertical no solo de um cilindro amostrador padrão, através de golpes de um 
martelo com massa padronizada de 65 Kg, solto em queda livre de uma altura de 75 cm. 
São anotados os números de golpes necessários à cravação do amostrador em três 
trechos consecutivos de 15 cm sendo que o valor da resistência à penetração (NSPT) 
consiste no número de golpes aplicados na cravação dos 30 cm finais. Após a realização 
de cada ensaio, o amostrador é retirado do furo e a amostra é coletada, para posterior 
classificação que geralmente é feita pelo método Tátil-visual 
σadm.solo ≅ NSPT / (50 a 60) (Se obtem o valor em MPa) 
Exemplo: NSPT = 5 
5/50 = 0,10MPa = 100 KN/m2 
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2.1.2 Dimensionamento e Detalhamento 
i) Sapata Rígida 
 
Figura 2.11 – Sapata rígida – comportamento Estrutural 
 
Segundo a ABNT NBR 6118, item 22.4.2.2 o comportamento estrutural das sapatas 
rígidas pode ser caracterizado por trabalhar, tanto à flexão, quanto ao cisalhamento, nas 
duas direções. 
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Admite-se que para cada uma das direções, a tração à flexão seja uniformemente 
distribuída na largura correspondente da sapata. Na região comprimida, devido à 
flexão, as tensões se concentram na região do pilar. 
 
Ao cisalhamento a sapata rígida não apresenta ruptura por tração diagonal, e sim 
compressão diagonal junto à superfície crítica pilar-sapata. Isso ocorre pelo fato de que 
a sapata rígida o caminhamento da carga fica dentro do cone hipotético de punção, não 
havendo, portanto, possibilidade física de punção. 
 
O modelo de cálculo para o dimensionamento das sapatas segue o que preconiza a 
ABNT NBR 6118 em seu item 22.4.3: Para cálculo e dimensionamento de sapatas 
devem ser utilizados modelos tridimensionais lineares ou modelos biela-tirante 
tridimensionais, podendo, quando for o caso, ser utilizados modelos de flexão. Esses 
modelos devem contemplar os aspectos descritos em 22.4.2. Só excepcionalmente os 
modelos de cálculo precisam contemplar a interação solo-estrutura. 
 
a) Sapata Corrida 
 
Inicialmente o dimensionamento e detalhamento serão feitos para sapata rígida corrida 
(L≥3B). São sapatas utilizadas em terrenos de boa resistência em camadas próximas à 
superfície. 
 
Figura 2.12 – Sapata Rígida Corrida 
 
Para o dimensionamento das armaduras longitudinais de flexão, utiliza-se o método 
geral de bielas e tirantes. Alternativamente, as sapatas rígidas podem também ser 
dimensionadas à flexão da mesma forma que as sapatas flexíveis, obtendo-se razoável 
precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo pelo método das Bielas comprimidas 
 
 
Figura 2.13 Equilíbrio de forças na sapata 
 
Força infinitesimal que o solo aplica na sapata. 
 dp = σ���� ∗ dx ∗ 1 = �p B	 � ∗ dx 2.2
 
dz = Força infinitesimal na armadura 
 
Momento em relação ao ponto “O”, de aplicação da carga “p”. 
d� ∗ X = d� ∗ d� ∴ �� ∗ X ∗ d� = d� ∗ d� 2.3 
z = � �∗�� � X ∗ d� = ��∗�� ∗ !" ��/"�/"� = ��∗�� ∗ �!$ 2.4 
���/" = �(�%&)/" → d� = �∗�(�%&) 2.5 
 Z = ��∗�� ∗ �!$ = �$ ∗ (�%&)� 2.6 
 A� = *+,-+ ∴ 2.7 A�+./0 = 1/2 2.8 
 
Quanto ao detalhamento a ABNT NBR 6118 em seu item 22.4.4.1.1 recomenda: 
 
A armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da 
sapata, estendendo-se integralmente de face a face da mesma e terminando em gancho 
nas duas extremidades. 
 
Para barras com φ ≥ 20 mm devem ser usados ganchos de 135° ou 180°. Para barras com 
φ ≥ 25 mm deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode 
ocorrer o destacamento de toda a malha da armadura 
 
Os ganchos das armaduras de tração seguem as determinações da ABNT NBR 6118 - 
 
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item 9.4.2.3: 
 
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: 
a) semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ; 
b) em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ; 
c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ. 
 
 
NBR 6118 – item 9.4.2.5 – Comprimento de ancoragem necessário 
 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
 
3&,567 = α3& A�,79�A�,6, ≥ 3&,:;5 (0,33&, 10φ e 100 mm)Onde: 
α = 1,0 para barras sem gancho; 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do 
gancho ≥ 3 φ; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 (NBR 6118) 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 (NBR 6118) e 
gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 φ; 
 
3& = φ4 fA�f&� f&� = ηBη"ηCf7D� (η1=2,25; η2=1,0; η3=1,0 - ver 9.3.2.1) 
f7D� = 0,7f7D,:γ7 = 0,21f7H
"/C
1,4 = 0,15f7H"/C 
 
NBR 6118:2003 – Item 20.1 (Lajes) - Armadura secundária 
 
As barras da armadura principal devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2*h 
ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores. 
 
A armadura secundária deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, 
mantendo-se, ainda, um espaçamento entre as barras de, no máximo 33 cm 
 
 
 
 
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Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
 
As tensões de cisalhamento devem ser verificadas, em particular à ruptura por 
compressão diagonal do concreto na ligação sapata – pilar (contorno C – NBR 
19.5.3.1). 
 
NBR 6118:2033 - Item 19.5.1 - Definição da tensão resistente de compressão nas 
superfícies críticas C, C’ e C”. 
 
 
C = contorno do pilar 
C’ = contorno afastado de 2d 
C” = somente quando existir armadura transversal 
 
 
Na superfície C 
 
 τsd ≤ τRd2 = 0,27αvfcd 
 
 
 αv = (1-fck/250) – fck em MPa 
 
 τsd = Fsd/(µ*d) 
 
Sendo: 
 µ = perímetro do contorno crítico (C, C’) 
 d = altura útil 
 Fsd = Força aplicada 
 
 
Embora a verificação da punção seja desnecessária na sapata rígida, pois a 
transferência de carga situa-se inteiramente dentro do cone hipotético de punção, não 
havendo possibilidade física de ocorrência de tal fenômeno, há a necessidade de se 
verificar a tensão de ruptura na biela comprimida. 
 
NBR 8953/1992 - Classificação do Concreto para fins estruturais - 
 
Será por grupos de resistência 
Classe (Item 3) 
� 3.1 Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo I e grupo II, 
conforme a resistência característica à compressão (fck), determinada a partir 
do ensaio de corpos-de-prova preparados de acordo com a NBR 5738 e 
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rompidos conforme a NBR 5739.
 
� 3.2 Dentro dos grupos, os concretos normais com massa específica seca, de 
acordo com a NBR 9778, compreendida entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3, são 
designados pela letra “C” seguida do valor da resistência característica à 
compressão (fck), expressa em MPa, conforme Tabelas 1 e 2
 
 
 
NBR 6118:2003 – tem 8.2.1
 
Esta norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do
ou seja, até C50. 
 
A classe C20 ou superior se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou 
superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em 
fundações, conforme NBR6122 e, em obras provisórias.
 
Detalhamento 
 
Armadura de Espera (arranque)
 
Armadura de espera decorre da necessidade executiva, em face de necessidade de se ter 
uma junta de concretagem no início do pilar.
 
Figura 2.14 – Arranque – armadura de espera
 
 
 
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rompidos conforme a NBR 5739. 
3.2 Dentro dos grupos, os concretos normais com massa específica seca, de 
acordo com a NBR 9778, compreendida entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3, são 
dos pela letra “C” seguida do valor da resistência característica à 
compressão (fck), expressa em MPa, conforme Tabelas 1 e 2 
tem 8.2.1 - Concreto – Classes 
Esta norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do
A classe C20 ou superior se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou 
superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em 
fundações, conforme NBR6122 e, em obras provisórias. 
Armadura de Espera (arranque) 
Armadura de espera decorre da necessidade executiva, em face de necessidade de se ter 
uma junta de concretagem no início do pilar. 
 
armadura de espera 
A finalidade dessa armadura é 
transmitir para a fundação os 
esforços vindos através da 
armadura do pilar e que morrem 
na junta. 
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3.2 Dentro dos grupos, os concretos normais com massa específica seca, de 
acordo com a NBR 9778, compreendida entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3, são 
dos pela letra “C” seguida do valor da resistência característica à 
Esta norma se aplica a concretos compreendidos nas classes de resistência do grupo I, 
A classe C20 ou superior se aplica a concreto com armadura passiva e a classe C25, ou 
superior, a concreto com armadura ativa. A classe C15 pode ser usada apenas em 
Armadura de espera decorre da necessidade executiva, em face de necessidade de se ter 
A finalidade dessa armadura é 
transmitir para a fundação os 
através da 
do pilar e que morrem 
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NBR 6118 item 22.4.4.1.2 - Armadura de arranque dos pilares 
 
A sapata deve ter altura suficiente para permitir a ancoragem da armadura de arranque. 
Nessa ancoragem pode ser considerado o efeito favorável da compressão transversal às 
barras, decorrente da flexão da sapata (ver seção 9). 
 
Portanto, acima do topo da sapata a armadura de espera deve ter um comprimento de 
emenda à compressão (ou tração, no caso de pilares fletidos) que possibilite essa 
transmissão. 
 
NBR6118 - 9.5.2 - Emendas por traspasse 
 
Esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm, nem 
para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente 
tracionada). 
 
 
NBR6118 - item 9.5.2.1 - Proporção de barras emendadas 
 
Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou, 
aquelas em que extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 0,2 do 
comprimento do trecho de traspasse. 
 
 
 
 
NBR 6118 – item 9.5.2.4. - Emendas de barras comprimidas 
Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos 
uma barra de armadura transversal posicionada 4 φ além das extremidades da emenda. 
 
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas 
as barras podem ser emendadas na mesma seção. 
 
NBR 6118 – item 9.5.2.3 - Comprimento por transpasse de barras comprimidas 
isoladas 
Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para cálculo 
do comprimento de traspasse: 
 
l0c = lb,nec ≥ l0c,min 
 
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onde: l0c,min é o maior entre (0,6lb, 15φ, 200 mm) 
Sendo: 
 3J = φ4 ∗ fA�f&� (KLMN 9.4.2.4) 
 
3&,567 = α ∗ 3& ∗ A�,79�7A�,6, ≥ 3&,:;5(o maior entre: 0,33b, 10φ, 100 mm) 
 
α = 1,0 (para barras sem gancho (item 9.4.2.5) 
α = 0,7 (para barras tracionadas com ganchos, com cobrimento no normal ao do 
gancho ≥ 3φ 
 
 
NBR 6118 – item 9.3.2.1- Valores das Resistências de aderência 
 
A resistência de aderência de cálculo entre armaduras de concreto na ancoragem de 
armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão: 
 
fbd = ηηηη1ηηηη2ηηηη3fctd 
 
fctd = fctk,inf/γc = 0,7*fct,m/γc = 0,7*0,3*fck2/3/γc 
 
η1 = 2,25 para barras nervuras (tabela 8.2 – NBR6118) 
η2 = 1,0 para situações de boa aderência (ver 9.3.1 – NBR6118) 
η3 = 1,0 para φ < 32 mm 
 
fbd = η1η2η3fctd = 2,25*1,0*1,0*0,21fck2/3/γc = 0,338*fck2/3 (fck em MPa) 
 
 
Tabela 2.3 – Comprimento de ancoragem em função da bitola 
 
Resistência característica do concreto (fck em MPa) 
Comprimento 
de ancoragem 15 20 25 30 
s/gancho 
lb= φ*fyd/(4*fbd) 53φ 44φ 38φ 34φ 
c/ gancho 
lb,nec = αlb=0,7*lb 
37φ 31φ 26φ 24φ 
 
O comprimentoda armadura de espera dentro da sapata deve ser o necessário para 
permitir sua ancoragem à compressão (loc). No caso de sapata com pilar submetido a 
tração, ver detalhe no item sapata com flexão. 
 
Caso a altura da sapata seja insuficiente para proporcionar a ancoragem das barras da 
armadura de espera (h < lbc) existem alternativas para solucionar o problema sem alterar 
a altura da sapata. 
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Figura 2.15 – comprimento de ancoragem X altura da sapata 
 
1. Diminuir a tensão na barra, aumentando o “As” da armadura de espera, nesse caso o 
comprimento de ancoragem da armadura se reduz na proporção direta das tensões. 
 A�,6��6Y9 = A�,�;�9Y ∗ Z[\� 2.9 
 
2. Diminuir se possível o diâmetro da barra do pilar ou espera. Nesse caso, o 
comprimento de ancoragem se reduz na proporção das áreas das armaduras (ver tabela . 
Reduzindo apenas a bitola da armadura de espera deve-se estudar a emenda dessas 
barras com as do pilar, de maneira se obter uma disposição conveniente. 
 
 
Figura 2.16 – Redução de bitolas 
X redução do comprimento de 
ancoragem 
 
Tabela 2.2 – Bitolas padronizadas pela NBR 7480/85 
 
 
3. Fazer pescoço, ou seja, aumentar a área do pilar junto à sapata, de maneira a 
possibilitar que o inicio de transferência de carga, das barras da armadura de espera, 
ocorra antes de entrar na sapata. 
 
Exemplo: substituir 1φ25 por 2 φ20 
As2φ20 = 2*3,15 = 6,3 > As1φ25 = 5,00 cm2 
 
Redução da ancoragem 
lbc*As2φ20/As1φ25 = (5/6,3)lbc = 0,8*lbc 
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Figura 2.17 – Aumento da área do pilar com pescoço 
 fA� ∗ A� ∗ (Z[]% ^)Z[\ = ∆A7 ∗ f7� 2.10 
 ∆A7 = ,-+,\+ ∗ (Z[\% ^)Z[\ ∗ A� 2.11 
 
∆Ac = acréscimo de área de concreto no pilar, no trecho (lbc – h). 
 
Executivamente essa solução é inadequada por interromper a forma do pilar e exigir 
uma nova forma para o pescoço. 
 
 
Exercício 1 – Sapata Corrida Rígida 
 
Dimensão da sapata - Geometria: 
 
O peso próprio dos elementos de fundação, segundo a ABNT NBR 6122 – item 5.6, 
deve ser considerado, tanto no caso dos blocos de coroamento ou das sapatas, um valor 
mínimo 5% da carga vertical permanente. 
 
B = 1,05 * p = 1,05*600 = 4,2 m (sempre de 5 em 5 cm) 
 σsolo 150 
 
O fator 1,05 a 1,10 (5% a 10% da carga permanente) é utilizado para considerar o peso 
próprio da sapata. Alguns autores recomendam 5% para sapatas flexíveis e 10% para as 
sapatas rígidas. 
 
 
 
Dimensionar e detalhar a armadura da sapata 
corrida para suportar p = 600 KN/m (60 tf/m), 
sabendo-se que: 
Aço: fyk = 500 MPa (5.000 Kgf/cm2 = 50KN/cm2) 
Concreto: fck = 20 MPa 
Solo: σadmsolo = 0,15 MPa (15 tf/m2 = 150 KN/m2) 
 
Determina-se o acréscimo de área de 
concreto necessária para absorver a 
parcela de carga que não pode ser 
absorvida pela sapata. 
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Condições para sapata rígida (equação 2.1) 
 
h ≥ (B − b)3 = (4,20 − 0,20)3 = 1,35 m 
 
Para não precisar colocar formas a inclinação da parte superior da sapata deve ser 1nferior 1:3 
(ângulo de inclinação α=0,33) a 1:4 (α=0,25) 
 
 
 
Cálculo da armadura principal (Utilizando-se das equações 2.6 a 2.8) 
 
 
 
Z = pd ∗ (B − b)8 = 6001,3 ∗ 4,08 = 230,8 KN/m 
 
Z� = 1,4 ∗ 230,8 KNm = 323,08 KN/m 
 
A� = Z�fA� = 323,08 ∗ 1,1550 = 7,43 cm
"
m → Ver tabela 2.1 
 
Espaçamento 
 
 
 
Número de barras 
N.ºb = As/As1φ 
 
Espaçamento 
e = 100 cm/n.ºb = 100*As1φ/As 
O peso próprio da sapata caminha 
diretamente para o solo não provocando 
abertura de carga e, conseqüentemente, não 
sendo considerado no cálculo da força de 
tração “Z” 
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Para bitola de 16mm (ver tabela 2.1) 
 
e = A�BφA� = 2 ∗ 1007,43 = 27 cm ∴ φ16c/27 
 
NBR 6118 – Item 20.1 
As barras da armadura principal devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2*h 
ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores. 
 
Para bitola de 12,5mm (ver tabela 2.1) 
 
e = A�BφA� = 1,25 ∗ 1007,43 = 16 cm ∴ φ12,5c/16 
 
Logo, a melhor solução será utilizar φ12,5c/16 
 
Armadura de distribuição 
 
NBR 6118:2003 – Item 20.1 - Armadura secundária 
A armadura secundária deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, 
mantendo-se, ainda, um espaçamento entre as barras de, no máximo 33 cm 
 
A�+./0. = A�gh.i\.5 = 1,48 cm
"
m → φ 8 cada 33 (NBR 6118 − 20.1) 
 
Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
 
Na superfície C (pilar – sapata) 
 
τsd = Fsd/(µ*d) = 600/[2*(0,2+1)*1,30] =192,30 KN/m2/m = 0,192 MPa/m 
 
αv = (1-fck/250) = (1- 20/250) = 0,92 
 
τRd2 = 0,27αvfcd = 0,27*0,92*20/1,4 = 3,55 MPa > τsd 
 
τsd ≤ τRd2 → OK 
 
Detalhamento 
 
 
 
 
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b) Sapata Rígida Isolada 
 
São elementos de fundação, com seção não alongada (B2 ≤ 3*B1), que transmitem 
ações, de um único pilar centrado, diretamente ao solo. É o tipo de sapata mais 
freqüentemente utilizada. Como já visto podem apresentar bases quadradas, 
retangulares, circulares ou outras formas, com a altura constante (Blocos) ou variando 
linearmente entre as faces do pilar à extremidade da base. 
 
 
Figura 2.15 – Sapata Rígida Isolada 
 
Cálculo da Área da Sapata 
 
As dimensões B1 e B2, se possível, devem ser escolhidas de maneira que os momentos 
fletores nas duas direções sejam aproximadamente iguais (Z1≅ Z2). 
 A = (B,�2 9 B,B)∗klm+n,/opo 2.12 
Cálculo das armaduras 
 
Procedimento igual ao cálculo dos As para sapata corrida rígida (tração nas duas 
direções). 
 ZB = k$� (BB − bB) 2.13 
 
Dedução igual ao desenvolvido para sapata corrida 
 Z" = k$� (B" − b") 2.14 
 
Para que Z1 ≅ Z2. (B1-b1) ≅ (B2-b2) 
 
A área da sapata será B1*B2 ∴ A = B1*B2 
 BB = B" + (bB − b") ∴ B" = BB − (bB − b") 2.15 
 B" = 1�r 2.16 
 
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BB = 1�r + (bB − b") 2.17 
 (BB)" = A + BB ∗ (bB − b") ∴ (BB)" − (bB − b") ∗ BB − A = 0 2.18 
 
BB = (&r%&!)± s(&r%&!)!t u1" 2.19 
 
BB = (&r%&!)" ± v(&r%&!)!u + A 2.20 
 
 
Exercício 2: Sapata Rígida Isolada 
 
Dimensionar e detalhar a sapata isolada da figura, como sapata rígida 
 
 
 
 
Área da sapata (utilizando-se das equações 2.12 a 2.20) 
 
A = 1,10*P = 1,10*2.640 = 8,29 m2 
 σadm. 350 
 
A = B1*B2 
 BB − bB = B" − b" 
 
 
BB = (bB − b")2 ± w(bB − b")
"
4 + A = (0,8 − 0,3)2 + w(0,8 − 0,3)
"
4 + 8,29 = 3,14 m ~ 3,15 m 
 
B2 = A/B1 = 8,29/3,15 = 2,63 m ≅ 2,65 m 
Dados: 
Pilar 30X80 cm 
P = 2.640 KN 
Concreto: fck = 20,0 MPA (200 Kgf/cm2) 
Solo: σadm.solo = 0,35 MPa (35 tf/m2 = 350 KN/m2) 
Aço: Fyk = 500 MPa (5.000 Kgf/cm2 = 50KN/cm2) 
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Cálculo da altura da sapata, considerando-a como sapata rígida 
 
h = (BB − bB)3 = (3,15 − 0,8)3 = 0,78 ≅ 0,80 m 
 
(adota-se d = 0,75 m = 75 cm) 
 
Quando (B1-b1) ≠ (B2–B2), toma-se o maior valor para o cálculo de “h” 
 
 
Verificação do peso da sapata 
 
Psap. = Vsap.*γc = (Vbase + Vtronco da pirâmide)*γc 
 
Vbase = 0,5*2,65*3,15 = 4,174 m3 
VD� = h3 �A + √A ∗ a + a� = 0,33 {8,3475 + s8,3475 ∗ 0,2975 + 0,2975| = 1,022 
Sendo: 
A = área maior = 2,65*3,15 =8,3475 m2 
A = área menor = 0,35*0,85 = 0,2975 m2 
H = altura do tronco de pirâmide 
 
Psap. = (4,174+1,022)*25 =129,9 KN < 10%2.640 = 264 KN 
Observa-se que seria possível utilizar 5% da carga = 132 KN 
 
 
Conhecendo: 
 
b1 = 0,8 m 
b2 = 0,3 m 
A = 8,29 m2 
 
Calcula-se:B1 = 3,15 m 
B2 = 2,65 m 
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Cálculo da armação 
 
}~ ≅ } = € ∗ ( − ‚)ƒ ∗ „ = 2.640 ∗ (2,65 − 0,3)8 ∗ 0,75 = 1.034 KN 
 
A� = 1,4 ∗ 1.034( 501,15)
= 33,29 cm" 
 
Armadura por metro (ver tabela 2.1) 
 
As1 = 33,29/2,65 = 12,56 cm2/m ⇒ φ 16 c/15 (φ 5/8” c/15 cm) 
 
As2 = 33,29/3,15 = 10,57 cm2/m ⇒ φ 16 c/18 (φ 5/8” c/18 cm) 
 
Detalhamento 
 
 
 
 
Detalhamento em Planta 
 
 
Comprimento de ancoragem (dentro da sapata) – Tabela 2.3 
 
lb,nec = lb,min é o maior entre (0,3lb, 10φ, 100 mm) 
 
ldiponível = 75 cm; fck = 20 MPa 
 
(φ armadura do pilar) 
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A título de ilustração – cálculo da armadura do pilar curto 
 
Nk = 2.640 KN 
Concreto: fck = 20 MPa (2 KN/cm2) 
Aço CA50: fyk = 500 MPa (50 KN/cm2) 
 
Peça totalmente comprimida 
Nd*γn = Rcd + Rscd ∴ γn = 1 + 6/h = 1 + 6/30 = 1,2 
Rcd = 0,85*fcd*Ac ∴ Rscd = Asc * σscd ∴ σscd = 355,6 MPa 
 
A�7 = N� ∗ γ5 − 0,85 ∗ f7� ∗ A7σ�7� = 
2640 ∗ 1,4 ∗ 1,2 − 0,85 ∗ { 21,4| ∗ 30 ∗ 8035,6= 42,72 cm" 
 
Obtendo 22 φ de 16 ou 34 φ 12,5 
 
Utilizando-se de barras retas 
 
lb = 53φ = 53*1,25 = 66,25 cm > (0,3*lb; 10φ; 100mm) < 75 cm OK 
 
Comprimento de arranque ou emenda (acima da sapata) 
 
l0c = lb,nec ≥ l0c,min 
 
loc = lbnec = 53φ = 66,25 cm 
 
onde: l0c,min é o maior entre (0,6*lb; 15φ; 200mm) 
 
ii) Sapata Flexível 
No caso das sapatas flexíveis o andamento da carga se faz de forma análoga ao esquema 
da treliça clássica, com diagonais comprimidas e tracionadas (montantes inclinados) e 
os banzos comprimidos (superiores) e tracionados (inferiores). Deve-se verificar o 
concreto devido à Força cortante e colocar armadura para levantamento de carga, 
devido à cortante, caso Vsd seja maior do que Vc. 
 
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Figura 3.18 – Sapata flexível – Comportamento estrutural 
 
 
NBR6118 - item 22.4.2.3 - Sapatas Flexíveis 
 
Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação de cargas 
pequenas e solos relativamente fracos. Seu comportamento se caracteriza por: 
 
a) Trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão 
uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de 
flexão junto ao pilar deve ser, em princípio, avaliada; 
 
b) Trabalho ao cisalhamento pode ser analisado utilizando o pelo fenômeno da punção 
(ver 19.5 – Dimensionamento de laje à punção). 
 
A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada. 
 
 
a) Sapata Flexível Corrida 
 
 
Figura 2.17 – Sapata Flexível Corrida 
 
Determinação de “B” 
 B = B,�2∗�lm+n,/opo 2.21 
 
Deve-se, inicialmente, majorar 
a carga atuante, de 5 a 10% 
para compensar o peso próprio 
da sapara. Alguns 
profissionais recomendam de 
5% para as sapatas flexíveis e, 
de 10% para as sapatas rígidas. 
 
A tensão admissível no solo 
será especificada por 
especialista em solo 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 78 
 
Cálculo dos Esforços Solicitantes (Momento e Cortante) 
 
Figura 2.18 – Seções utilizadas no cálculo dos esforços 
 
Seção I-I 
 M†%† = l/opoB,�2 ∗ �" ∗ �u − �& ∗ &" ∗ &u = B,�2∗�B,�2∗� ∗ �!$ − �∗&$ 2.22 
 
Divide-se a tensão no solo pelo valor da majoração da carga, para considerar peso 
próprio, pelo fato de que a carga correspondente ao peso próprio descarrega diretamente 
no solo e o peso próprio não provoca momento na sapata. 
 M†%† = p ∗ (�%&)$ [unidade {F. ŠŠ| (KN. m/m) 2.23 
 V†%† = B,�2∗�B,�2∗� ∗ (�)" − �& ∗ &" = 0 2.24 
 
Para dimensionamento da seção I-I podemos admitir um aumento da altura da sapata na 
relação de 1: 3 até o eixo da parede 
 d† = d†† + {BC| ∗ {&"| = d†† + b/6 2.25 
 
Seção II-II 
 M††%†† = l/opoB,�2 ∗ (�%&)" ∗ (�%&)u = l/opoB,�2 ∗ (�%&)!$ ‹{KN. ::|Œ 2.26 
 M††%†† = B,�2∗�B,�2∗� ∗ (�%&)!$ = �� ∗ (�%&)!$ 2.27 
 V††%†† = l/opoB,�2 ∗ (�%&)" [unidade {Š| {Ž: |] 2.28 
 
Seção III – III (Somente cortante) 
 
Verificação para dispensa de armaduras transversais para força cortante 
 
Raramente se utilizam nas sapatas armaduras transversais, para transportar e resistir à 
força cortante. Deve-se, portanto, dimensionar as sapatas de modo que os esforços 
cortantes sejam resistidos apenas pelo concreto, dispensando a armadura transversal. 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 79 
 
Usualmente, a verificação da força cortante é feita numa seção de referência III-III, 
conforme figura acima 3.19. O valor dessa força cortante é dado pela expressão: 
 V†††%††† = l/opoB,�2 ∗ (�%&%�‘‘)" ‹unidade {Š| {Ž: |Œ 2.29 
 
Diagramas 
 
 
Figura 2.19 - Diagramas 
 
 
•••• Dimensionamento – Considerações 
 
No dimensionamento das peças fletidas deve-se dimensionar a peça à flexão a ao 
esforço cortante. 
 
Na prática procura-se evitar o uso de armadura de cortante (cisalhamento) em sapatas, 
em conseqüência das limitações das tensões, devido a força cortante, ou melhor, da 
capacidade do concreto devido à força cortante. 
 
Em conseqüência aumenta-se a seção para não armar à cortante e, na maioria das vezes 
recai-se em alturas que estão dentro das condições de sapatas rígidas. 
 
•••• Dimensionamento à Flexão 
 
Para o dimensionamento à flexão serão analisadas algumas hipóteses básicas, 
consideradas pela NBR 6118. 
 
NBR 6118:2003 – item 17.2.2 - Hipótese Básica de Cálculo 
 
a) As seções transversais se mantém planas após deformação 
b) A deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo de deformação das 
barras ativas aderentes em tração ou compressão deve ser o mesmo do concreto em 
 
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seu entrono; 
c) ... 
d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas obrigatoriamente no ELU; 
e) A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola – 
retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 fcd. 
 
 
 
Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8X (onde X é a 
profundidade da Linha Neutra), com tensão de 0,8 fcd, quando a seção diminuir na 
região comprimida, a partir da linha neutra 
 
 
f) A tensão nas armaduras deva ser obtida a partir dos diagramas tensão – deformação, 
com os valores indicados em 8.3.6 
 
 
 
g) O estado limite último é caracterizado, quando a distribuição das deformações na 
seção transversal, pertencer a um dos domínios abaixo 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 81 
 
 
 
Qualquer que seja a resistência do concreto, o encurtamento específico de 
ruptura vale 3,5‰ na flexão pura e 2 ‰ na compressão axial; 
O alongamento máximo permitido na armadura é de 10 ‰ a fim de 
prevenir deformações plásticas excessivas. 
 
Domínios 
 
Sub-domínio 2a Kx ≤ 0,167 
Sub-domínio 2b 0,167 < Kx ≤ 0,259 
Domínio 3 
0,259 < Kx ≤ 0,7717 (CA25) 
0,259 < Kx ≤ 0,628 (CA50) 
0,259 < Kx ≤ 0,4384 (CA60) 
 
Dimensionamento à flexão 
 K7 = &∗�!’+ → tabela e se obtem Ks 2.30 
 A� = K� ∗ ’+� 2.31 
 
Utiliza-se da tabela (Ver tabela completa no anexo) 
 
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NBR 6118 – item 19.3.3.2 - Armaduras mínimas 
 
Armaduras Armaduras 
negativas 
Armaduras 
positivas de 
lajes armadas 
nas duas 
direções 
Armadura 
positiva 
(principal) de 
lajes armadas 
em uma 
direção 
Armadura positiva 
(secundária) de lajes 
armadas em uma 
direção 
Elementos 
estruturais sem 
armaduras 
ativas 
ρρρρs ≥ ρρρρmin ρρρρs ≥ 0,67ρρρρmin ρρρρs ≥ ρρρρmin 
ρρρρs ≥ 0,5ρρρρmin; 
As/s ≥ 20% da 
armadura principal; 
As/s ≥ 0,9cm2/m 
Onde: 
ρρρρs = As/(bwh) 
Nota: Os valores de ρρρρmin. constam da tabela 17.3 
Fonte: Tabela 19.1 NBR 6118 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes 
 
 
 
 
•••• Dimensionamento à força cortante 
 
Verificação da ruptura por compressão diagonal 
 
Idem Sapata Rígida 
 
Dispensa de armaduras transversais para força cortante 
 
NBR 6118 item 19.4.1 - Lajes (sapatas) sem armadura para força cortante 
 
As lajes maciças (sapatas) ou nervuradas podem prescindir de armadura transversal para 
resistir aos esforços de tração, oriundos da força cortante, quando a força cortante de cálculo 
obedecer à expressão: 
 V�� ≤ V•�B 
 
Vsd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção (Vsk*γf); 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 83 
 
V•�B = [τ•� ∗ K ∗ 1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�]b˜d 
 
Onde: 
 
τRd = 0,25*fctd (tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento) 
 
fctd = fctk,inf/γc = 0,21*fck2/3/γc 
 
ρ1 = As1/bw*d , não maior do que 0,02 (2%) 
 
σcp = Nsd/Ac 
 
K é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
 
− Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K = 1,0 
− Para os demais casos: K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 
 
 
•••• Detalhamento 
 
Idem detalhes utilizados em Sapatas rígidas 
 
 
Figura 2.20 – Detalhamento da Sapata Flexível Corrida 
 
A necessidade de se levar a armadura de flexão, da sapata, até as extremidades se deve 
ao efeito de arco que se desenvolve quando a peça está próxima da ruptura. Colocando-
se as armaduras até as extremidades proporciona-se o aparecimento de efeito de arco, 
aumentando-se a capacidade resistente da peça. 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 84 
 
 
Figura 2.21 – Comportamento da estrutura X Tensão na armadura principal 
 
NBR 6116 – item 20. - Detalhamento das Lajes 
 
Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8 
 
As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo 
igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois na região dos maiores 
momentos fletores. 
 
A armadura secundária de flexão deve ser igual a 20% ou superior da armadura 
principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre as barras de, no máximo, 33 cm. 
A emenda dessas barras deve respeitas os mesmos critérios de emendas da armadura 
principal. 
 
 
Exercício 3 – Sapata Corrida Flexível: 
Dimensionar e detalhar a sapata corrida L>3B 
 
Dados: 
Carga da Parede: p=600 KN/m 
Solo: Argila Rija – Tensão solo 200 a 400KN/m2 = 0,2 a 0,4 MPa 
Considerar : 
Largura do pilar b = 20 cm 
σadm., solo = 0,2 MPa = 200 KN/m2 
Concreto: fck = 20 MPa; Aço CA50: fyk = 500 MPa 
 
 
 
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A�9�9D9 = B ∗ 1m (área da sapata por metro) 
 
Cálculo da Dimensão “B” 
 
B = p + pp�9�σ9�:,���� 
 
Como de antemão não se consegue determinar o peso próprio da sapata será admitido 
como 5% da carga da parede. 
 
Portanto, 
 
B = (p + 0,05 ∗ p)σ9�:,���� = 1,05 ∗ pσ9�:,���� = 1,05 ∗ 600200 = 3,15 m 
 
Cálculo dos Esforços Solicitantes (Momento e Cortante) 
 
 
 
Seção I-I 
 
M† = p ∗ (B − b)8 = 600 ∗ (3,15 − 0,20)8 = 221,25 KN. m/m 
 V† = 0 
 
Seção II-II 
 
M†† = pB ∗ (B − b)
"
8 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)
"
8 = 207,86 KN. m/m 
 
V†† = pB ∗ (B − b)2 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)2 = 280,95 KN/m 
 
Seção III – III (Somente cortante) 
 
Será calculado na oportunidade de se dimensionar à cortante 
 
 
 
 
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Dimensionamento à flexão 
Concreto: fck = 20 MPa; Aço CA50: fyk = 500 MPa 
 
Seção II-II 
 
MII,k = 207,86 KN.m/m ∴ Md = 207,86*1,4 = 291,0 KN.m/m 
 
Adotando um Kc econômico ( limite entre sub-domínio 2b e domínio 3) 
 
 
 
Kc = 4,40 
 
K7 = 100 ∗ d"M� ∴ d" = 4,4 ∗ 291,0 ∗ 100100 = 1.280,4 ∴ d = 35,8 cm 
 
A� = K� ∗ M�d = 0,0258 ∗ 2910036 = 20,86 cm" m 	 > ›œ, min = 0,15%bw ∗ h 
 
Escolhendo φ 16 mm (ver tabela 2.1) 
 
e = 100 ∗ A�BφA� = 100 ∗ 2,020,86 = 9,5 ~ φ 16 c/9,5 
 
Escolhendo φ 20 mm 
 
e = 100 ∗ A�BφA� = 100 ∗ 3,1520,86 = 15,1 ~ φ 20 c/15 
 
Obs: espaçamento máximo 20 cm ou 2h (o menor) 
 
Detalhamento da seção transversal da sapata 
 
Considerando o cobrimento mínimo nominal 
Cnom.= 40 mm ≥ φ barra (20 a 50 mm) 
 
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h = d + 4 cm = 36 + 4 = 40 cm 
 
Adota-se, normalmente, para h0 valores entre h/3 a 30 cm 
 
Para o exercício em questão h0 = 40/3 = 13,3 ≅ 15 cm 
 
tgα = h/[(B-b)/2,0] = 40*2/(315-20) = 0,27 (α = 15,20 < 33,70 – Flexível) 
 
Para não ser necessário colocar formas a inclinação deve ficar entre 1:3 (0,33) a 1:4 
(0,25) 
 
No caso a inclinação é de 25/145 = 0,17 < 0,33 (Ok) 
 
 
 
 
Verificação do peso próprio da sapata 
 
Volume = (0,15*3,15) + 2*(0,25*1,45)/2 + (0,2+0,05)*0,25 = 0,8975 m3/m 
 
PP = 0,87m3/m*25 KN/m3 = 22,44 KN/m < 5%*P = 0,05*600 = 30 KN/m 
 
Se maior, necessitaria refazer alguns cálculos 
 
Seção I- I 
 
MI,K = 221,25 KN.m/m ∴ MI,d = 221,25*1,4 = 309,75 KN.m/m 
 
Para dimensionamento da seção I-I pode-se admitir um aumento da altura da sapata na 
relação de 1: 3 até o eixo da parede 
 
dI = dII+b/6 = 36 + 20/6 = 39 cm 
 
K7 = b ∗ d†"M†,� = 100 ∗ 39
"
30975 = 4,91 → Tabela → Ks = 0,0253 
 
A�,† = K� ∗ M�d = 0,0253 ∗ 3097539 = 20,09 cm
"
m < A�,†† 
 
 
 
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Dimensionamento ao cisalhamento 
 
Verificação das tensões nas Bielas – Ruptura por compressão diagonal 
 
Na superfície C (pilar – sapata) 
 
τ�� = F��(u ∗ d) = 600[2 ∗ (0,2 + 1,0) ∗ 0,36] = 694,44KN/m" m	 
 = 0,694 MPa/m 
 
α¢ = £1 − f7H250¤ = {1 − 20 250	 | = 0,92 
 τ•�" = 0,27 ∗ α¥ ∗ f7� = 0,27 ∗ 0,92 ∗ 20 1,4	 = 3,55 MPa > τ�� 
 τ�� < τ•�" ∴ OK 
 
Verificação para se dispensar a armadura a cortante 
 
Seção II-II 
 
No caso de seção variável pode-se diminuir a cortante a ser levantada de (M/d)*tgα, 
quando a seção cresce e o momento cresce. 
 
Quando acontecer o inverso, essa parcela é somada. Isso se explica pela analogia da 
treliça, onde parte da cortante desce diretamente pela biela de compressão. 
 
 
V†† = pB ∗ (B − b)2 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,2)2 = 280,95 KNm 
 
σsolo = p*1,05/B = 600*1,05/3,15 = 200 KN/m2 = σadm.solo 
 
VŽ,††,•6�§�;�� = VŽ,†† − M††d†† ∗ tgα = cortante reudzida 
 
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VŽ,††,•6� = 280,95 − 207,860,36 ∗ 25145 = 181,40 KN/m 
 
Vsd = 1,4*181,40 = 253,96 KN/m 
 Para não armar V�� deve ser ≤ V•�B 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento vale: 
 V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�]b˜d 
 
Onde: 
τ•� = 0,25 ∗ 0,21 ∗ f7H"/C1,4 = 0,0375 ∗ f7H"/C = 0,2763 MPa 
 
ρB = A�B(b˜ ∗ d) < 0,02 ∴ ρB = 20,86(100 ∗ 36) = 0,0058 < 0,02 
 
σ7� = N��A7 = o 
 
σcp = 0 (força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva) 
 
Valores de K 
 
− Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K = 1,0 
− Para os demais casos: K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 K = (1,6 − 0,36) = 1,24 > 1,0 
 V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�] ∗ b˜d 
 V•�B = [276,3 ∗ 1,24 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0058) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ 0,36 = 
 
V•�B = 176,62 KNm < V�� = 253,96 KN/m 
 
Cálculo do novo valor de “d”, impondo VRd1 = 253,96 KN/m 
 
Para valores de “d” acima de 0,60, K=1,0 
 253,96 = [276,3 ∗ 1,0 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0058) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ d 
 d = 253,96/395,66 = 0,64 
 
d ≥ 0,64 m ≅ 65 cm, conseqüentementeh = 70 cm 
 
tem-se uma melhora em todas as condições. 
 
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Seção III – III (Somente cortante) 
 
V††† = pB ∗ (B − b − d††)2 = 6003,15 ∗ (3,15 − 0,20 − 0,39)2 = 243,80 KN/m 
 
Cálculo da altura dIII 
 
 
 
Verificação para se dispensar a armadura a cortante 
 
Vsd = 1,4*243,80 = 341,32 KN/m 
 Para não armar V�� deve ser ≤ V•�B 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento vale: 
 V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�]b˜d 
 
Onde: 
τ•� = 0,25 ∗ 0,21 ∗ f7H"/C1,4 = 0,0375 ∗ f7H"/C = 0,2763 MPa 
 
ρB = A�B(b˜ ∗ d) < 0,02 ∴ ρB = 20,86(100 ∗ 34,8) = 0,0058 < 0,02 
 
σ7� = N��A7 = o 
 
σcp = 0 (força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva) 
 
 
Valores de K 
 
− Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K = 1,0 
− Para os demais casos: K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 K = (1,6 − 0,348) = 1,252 > 1,0 
 V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�] ∗ b˜d 
(36 − 25)145 = (d††† − 25)(145 − 15,5) 
 
dIII = 34,8 cm 
 
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 V•�B = [276,3 ∗ 1,252 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0058) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ 0,348 
 
V•�B = 176,62 KNm < V�� = 341,32 KNm 
 
 
Detalhamento 
 
Seção II-II 
 A� = 20,86 cm" m 	 
e = 100 ∗ A�BφA� = 100 ∗ 3,1520,86 = 15,1 ~ φ 20 c 15	 
 
A�,�;�DY. = 15 ∗ A�,�Y;57. = 0,2 ∗ 20,86 = 4,17 cm" m	 
 
Escolhendo φ 8mm 
 
e = 50/4,17 = φ 8 c/12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Sapata Flexível Isolada 
 
Cálculo da armadura utilizando as expressões de Momento Fletor 
 
 
Figura 2.22 – Sapata Flexível Isolada 
 
O cálculo do momento fletor nas seções I-I e II-II é feito considerando-se todas as 
cargas que ficam a esquerda da seção. 
 M† = l/opo∗�!B,�2 ∗ (�r/")!" − k∗&!&r∗&! ∗ (&r/")!" = 2.32 
 M† = B,�2∗k∗�!B,�2∗�r∗�! ∗ �r!$ − k&r ∗ &r!$ = P8 ∗ (B1 − b1) 2.33 
 
M†† = l/opo∗�!B,�2 ∗ (
«r¬[r! )!" = k�r ∗ (�r%&r)!$ 2.34 
 
Exercício 4: Sapata Flexível Isolada 
 
Dimensionar e detalhar a sapata isolada da figura, como sapata flexível 
 
 
Dados: 
Pilar 30X80 cm 
P = 2.640 KN 
Concreto: fck = 20,0 MPA (200 Kgf/cm2) 
Solo: σadm.solo = 0,35 MPa (35 tf/m2 = 350 KN/m2) 
Aço: Fyk = 500 MPa (5.000 Kgf/cm2 = 50KN/cm2) 
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Área da sapata (utilizando-se das equações 2.12 a 2.20) 
 
A = 1,10*P = 1,05*2.640 = 7,92 m2 
 σadm. 350 
 
A = B1*B2 
 BB − bB = B" − b" 
 
 
BB = (bB − b")2 ± w(bB − b")
"
4 + A = (0,8 − 0,3)2 + w(0,8 − 0,3)
"
4 + 7,92 = 3,08 m ~ 3,10 m 
 
B2 = A/B1 = 7,92/3,10 = 2,55 m ≅ 2,60 m 
 
 
No caso de sapata com pilar alongado recomenda-se o cálculo na seção 0,15*b1, sendo 
b1 o lado alongado. 
 
Outro critério seria o de se calcular o momento considerando o alívio que a carga 
aplicada ao longo de b1 proporciona ao momento fletor, ou seja, o arredondamento do 
diagrama, conforme indicado na figura 
 
 
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Figura 2.23 – Arredondamento do diagrama em sapata alongada 
 
 
iii) Sapata Submetida à aplicação de Momento 
 
a) Flexão composta (N, M) 
 
 
Figura 2.34 - Distribuição de tensões no solo devido a aplicação de Momento fletor 
 
É importante observar que o formulário da Resistência dos Materiais só pode ser 
aplicado quando σ1 e σ2 são tensões de compressão. Caso uma delas seja de tração, não 
se pode utilizar a expressão de tensões da Resistência dos Materias, uma vez que o solo 
não absorve tração. Nesse caso deve-se analisar o problema como material não 
resistente à tração. 
 
• Sapata Isolada submetida à aplicação de momento 
 
Cálculo das tensões no solo 
 
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Figura 2.25 – Sapata isolada solicitada a Momento 
 
•••• Sapata Corrida submetida à aplicação de momento flexão 
 
 
Figura 2.26 – Sapata corrida submetida a 
aplicação de Momento 
 
•••• Cálculo considerando o solo como material não resistente à tração 
 
No instante em que se encontra tensão de tração, como o solo não resiste à tração, para 
que haja equilíbrio é necessário que a resultante “R” do solo comprimido esteja no 
mesmo alinhamento de “N” ou seja, de igual valor. 
 
 
Figura 2.27 – Tensão somente na região comprimida 
 
R = N 
Momento em relação ao ponto “A”: 
 R ∗ C = N ∗ (�" − e) 2.39 
 
X = 3*(B/2 – e) 2.40 
Sapata Isolada 
 σ���� = 1 ± ’­ = �r∗�! ± ’∗®�!∗�r! 2.35 
 
A = área de contato da sapata com o solo 
W = módulo de resistência da área de contato da sapata 
com o solo = B2*B12/6 
N = carga normal 
M = N*e 
e = excentricidade decorrente da carga normal, em 
relação ao CG da área de contato da sapata com o solo. 
σ = N/B± M ∗ 6/B" 2.36 
 I = &∗^°B" = B∗�°B" 2.37 
 W = †A/" = �°B"∗�/" 2.38 
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•••• Tensão de borda 
 σ = "C ∗ (� "	 %6) 2.41 
 
•••• Condição de Estabilidade 
 
De uma maneira geral o coeficiente de segurança ao tombamento deve ser ≥ 1,5, isto é, 
o ponto de tensão nula não pode ultrapassar o centro da sapata. 
 
 
Figura 2.28 – Condição de estabilidade 
 
Fazendo momento em relação ao ponto “A” tem-se: 
 
M resistente = N*B/2 2.42 
 
M solicitante = N*(B/2 – B/6) = N*B/3 2.43 
 
 
•••• Coeficiente de Segurança 
 
 
Figura 2.29 – Segurança ao tombamento 
 
 
Como se verá essa condição equivale ao 
coeficiente de segurança ao tombamento, 
de 1,5. 
 
ν = N ∗ B2 ∗ 1N ∗ B 3	 = 1,5 
ν = ’h²/.0²i0²’/op.\.0mi0² = 2.44 
 
c.q.d 
 
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•••• Roteiro para o Cálculo da área da Sapata submetida à momento 
 
Dados: 
G = peso próprio 
Q = acidental 
Mq = Momento devido à carga acidental 
 
σadm.solo 
σadm.de borda = 1,3 σadm.solo 
 
 
Figura 2.30 – Sistema de equilíbrio de cargas 
 
1. Transformar o carregamento obtido pela carga e momento fletor (P, M) em 
carregamento dado pela resultante “R” 
 
R = P(g+q) 
 
e = M/R posição da resultante 
 
2. Calcular a dimensão mínima da sapata (para a condição de estabilidade) 
 
 
Figura 2.31 – Sapata comprime parcialmente o solo 
 
Alem da condição de estabilidade deve-se verificar se a tensão máxima e a tensão 
constante não superam 1,3 σadm.,solo e σadm, respectivamente. 
 σ:á�. ≤ 1,3 ∗ σ9�:. 2.45 
Fazendo: B = Bmin. 
 
e = (2/6)*Bmin. 
 
Bmin. = 3*e 
R - Resultante do solo para que 
haja equilíbrio 
 
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 σ:9�. = ³1/mgm0m ≤ σ9�:. 2.46
 
(obtido das análises das sondagens do solo) 
 
 
3. Calculo da dimensão mínima da sapata caso ela esteja toda comprimida 
 
Figura 2.32 – Sapata comprime totalmente o solo 
 
Esse valor de “B” define a largura mínima para que se possa determinar as tensões no 
solo pela fórmula da Resistência dos Materiais; 
 σ���� = 1 ± ’­ 2.47 
 
• Detalhamento 
 
 
Figura 2.33 – Detalhe da armadura para absorver tração 
 
 
Fazendo B=Bmin. 
 
2/3*Bmin. – Bmin./2 = e 
 
B = 6*e 
A fig. 2.33 indica o esquema de treliça 
que se forma evidenciando a necessidade 
da emenda da armação do pilar com a 
armadura da sapata de maneira a 
possibilitar a configuração do nó “A”. 
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Figura 2.34 – Detalhe das armaduras positivas e negativas 
 
Esses momentos são devidos ao pesopróprio da sapata mais a terra e, eventualmente 
sobrecargas. 
 
Nesse caso é necessário fazer a emenda da armadura tracionada (quando houver) do 
pilar com a armadura de flexão da sapata. 
 
Caso o pilar esteja submetido somente à compressão, basta ancorar as barras 
comprimidas na sapata conforme se indica na figura 2.35 
 
 
Figura 2.35 – Ancoragem comprimida 
 
A armadura colocada na face superior da sapata (ver figura 2.34) é necessária naqueles 
casos em que a sapata pode se destacar do solo. A armadura deverá ser dimensionada 
para absorver o peso da sapata e do aterro que estiver sobre ela. De uma maneira geral 
os momentos fletores que atuam nas fundações são acidentais e atuam nos dois sentidos. 
 
Nesse caso o detalhamento da sapata resulta: 
 
 
Figura 2.36 – Detalhamento completo da sapata 
 
Sendo sapata isolada o detalhamento se repete nas duas direções 
 
Observa-se na figura 2.34 a 
colocação de armadura negativa, 
que, eventualmente, pode ser 
necessária para absorver os 
momentos fletores desenvolvidos na 
parte superior e no lado da sapata 
que se destaca do solo. 
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•••• Cálculo da Armadura 
 
O cálculo da armadura se faz pelo método das bielas ou de flexão. O cálculo 
considerando o diagrama trapezoidal real não apresenta, entretanto, dificuldades. 
 
Figura 2.37 – Diagrama trapezoidal para cálculo dos momentos na sapata 
 
O cálculo considerando um diagrama retangular com ordenada igual a σmáx.solo pode, 
conforme o caso, ser bastante antieconômico. Recomenda-se, portanto, utilizar o 
diagrama trapezoidal. 
 
Assim o momento na seção I-I será: 
 M† = σ���� ∗ �" ∗ �u + ∆σ ∗ �" ∗ B" ∗ "∗�C = �!$ ∗ {σ:9�,���� + "∗∆lC | 2.48 
 
No caso de sapata corrida, MI é momento por metro. 
 
Sendo sapata isolada, multiplica-se o MI pela outra dimensão da sapata, obtendo-se o 
momento total. 
 M† = �!∗�r!$ ∗ (σ:9�,���� + "∗∆lC ) 2.49 
 
 
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Exercício 5 - Dimensionamento de sapata com momento aplicado 
 
 
Área da Sapata: 
 
A = 792150 = 5,44 m" 
 
B = 5,442,0 = 2,72 ≅ 2,75 m 
 
Verificação da Tensão de borda 
 
Excentricidade devido ao carregamento 
 
e = 330792 = 0,42 m 
 
Núcleo central de inércia da sapata 
 
y = B6 = 2,756 = 0,46 m > 0,42 
 
toda a sapata está comprimida 
 
σ = − NA ± MW = − 792 ∗ 1,052,0 ∗ 2,75 ± 3302,0 ∗ 2,75"6
= −151,2 ± 130,9 = 
σ = −282,1 KNm" > ¶&�Y�9 
 
A sapata necessita ser aumentada. Impor a tensão máxima de compressão igual a tensão 
de borda, ou seja, igual a 195 KN/m2. 
 
σ&�Y�9 = −195 = − 792 ∗ 1,052 ∗ B − 330 ∗ 62 ∗ B" = 
 −195 ∗ B" = −415,8 ∗ B − 990 
 −195B" − 415,8B − 990 = 0 
σadm = 150KN/m2 
σborda = 1,3*σadm = 195 KN/m2 
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 ∆ = 415,08" + 4 ∗ 990 ∗ 195 = 945.089,64 
 
B = + 415,8 ± √∆2 ∗ 195 = + 415,8 ± 972,162 ∗ 195 = 3,56 m 
 
Verificação de tensões com B = 3,60 m 
 
σ = − 792 ∗ 1,052 ∗ 3,60 − 330 ∗ 62 ∗ 3,60" = −115,5 − 76,39 = − 191,9 
 σ = − 191,9 < 195 KN m"	 
 
Logo a sapata terá 2,0 X 3,60 m 
 
Calculando a altura da sapata como rígida, 
 
h > B − b3 = 3,60 − 0,703 = 0,97 m 
 
Será adotado para altura h= 100 cm e, a para altura útil “d” igual a 90 cm 
 
Esforços solicitantes na sapata 
 
M†6�·. = 2 ∗ 115,5 ∗ £3,602 ¤
" ∗ 12 + 2 ∗ (191,9 − 115,5) ∗ £3,602 ¤
" ∗ 12 ∗ 23= 539,24 KN. m 
 
M†�;Y. = 2 ∗ 39,11 ∗ £3,602 ¤
" ∗ 12 + 2 ∗ 76,39 ∗ £3,602 ¤
" ∗ 12 ∗ 13 = 209,22 KN. m 
 
 
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Verificação do equilíbrio do nó 
 
Cálculo da armadura de flexão (M em tf.cm e dimensões em cm) 
 
Kc = 200 ∗ 90"53924 ∗ 1,4 = 21,46 
 
 
 
A� = 0,0238 ∗ 53924 ∗ 1,490 = 19,94 cm" 
 
 
 A�m = 19,942 = 10,0 cm" m	 → ∅16c/20 
No sentido transversal 
 
Considerar: 
σborda = 191,9 KN/m2 constante 
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Altura útil d= 90 cm e largura de 70 cm (largura do pilar) 
 
M = 191,9*1,0*0,5 = 95,95 KN.m/m 
 
Mtotal = 95,95*3,60 = 345,42 KN.m 
 
Kc = 70 ∗ 90"34542 ∗ 1,4 = 1172,5 
A� = 0,0232 ∗ 34542 ∗ 1,490 = 12,47 cm" A�m = 12,473,60 = 3,47 cm" m	 → ∅10c/20 
 
 
Exercício 6 - Dimensionar e detalhar fundação em sapata, sabendo-se que: 
 
Carga permanente: 14,0 KN/m2 
Carga acidental: 5,0 KN/m2 
Revestimento: 1,0 KN/m2 
Fck: 20 MPa (200Kgf/cm2) 
Aço CA-50 
σadotado.solo = 100 KN/m2 
σmáx.solo = 1,3*100 = 130 KN/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Sapata retangular submetida à flexão composta oblíqua 
 
•••• Verificação da tensão máxima 
 
Cálculo de tensão máxima no solo para o caso de flexão oblíqua, inclusive para material 
não resistente à tração, utilizando-se de tabelas apresentas no Anuário do Concreto - 
Beton Kalender (74) 
 
Figura 2.38 – Sapata submetida à flexão composta oblíqua 
 
 
 
Figura 2.39 – Indicação da carga excêntrica na sapata 
 
Valores de µ tabelados 
 
 
Figura 2.40 – Indicações das excentricidades na tabela 
 
Zona 1 – toda seção está comprimida 
São fornecidos valores de µ tais 
que σmáx. = µ∗N/A 
 
Onde A = a*b (área da sapata) e 
N = carga vertical 
Valores de entrada na tabela: 
 6¹9 = 0 a 0,34; 6-& = 0 a 0,34 
 
Sendo: 
ex e ey as excentricidades da carga em 
relação ao CG da sapata. 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 106 
 
Zona 2 – A L.N. atinge no máximo o centro da sapata (condição de estabilidade). Isto é, 
no mínimo a metade da área da sapata colabora na resistência (está comprimida). 
 
 
Tabela 2.2 – Valores de µ, µ, µ, µ, para cálculo da tensão máxima 
 
Fonte: adaptado da tabela do BK74 pg 263 – vol.II 
 
Zona 3 – Zona inadmissível, uma vez que não apresenta a segurança necessária (ν = 
1,5) ao tombamento. Mesmo que a tensão de borda σmáx seja inferior à admissível. 
Portanto, não se pode trabalhar nessa zona, pois, trata-se de problema de estabilidade da 
sapata. 
 
 
 
Figura 2.41 - Tensões decorrentes da flexão composta oblíqua 
 
 
 
•••• Verificação de tensão máxima e posição da LN 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 107 
 
De acordo com a posição da carga, encontrada em cada uma das zonas indicadas 
na figura 2.42 pode-se calcular a tensão máxima atuante, a posição da Lina neutra 
e, em seguida as tensões, supondo variação linear, em cada posição do perímetro 
da sapata. 
 
 
Figura 2.42 - Divisão de áreas de atuação da normal excêntrica 
Fonte: BK 74 vol.II 
 
 
 
Figura 2.43 – Indicação da posição da L.N – Região comprimida da sapata. 
 
 
Zona 1 – (núcleo central de Inércia) – Quando “N estiver aplicado nessa zona, toda 
seção estará comprimida. Calculo pela R.M 
 σ = 1 ± ’»­» ± ’-­- 2.50 
 
Zona 2 – Zona inadmissível, uma vez que menos da metade da seção colabora 
(coeficiente de tombamento é insuficiente). Não existe problema de resistência, mas sim 
de estabilidade. 
 
Zona 3 – A zona de compressão é um quadrilátero conforme indica a figura 2.43 “a” 
acima. 
 
s = ¼!B" [�!6- + v(�!!6-! − 12)] 2.51 
 tanα = C" ∗ (�!%"6»)(�t6-) 2.52 
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 σ:9� = B"�! D95 ½ ∗ �!t"¾�!!tB"¾! 2.53 
 
Zona 4 – A zona de compressão é um quadrilátero do tipo indicado na figura 2.43 “b” 
acima. 
 
t = �rB" [�r6» + v{�r!6»! − 12| ] 2.54 
 tanβ = C" ∗ �r%"6-Dt6» 2.55 
 σ:9�. = B"�r D95 À ∗ �rt"D�r!tB"D! 2.56 
 
Zona 5 – Nesse caso o cálculo correto é complicado, podendo-se aplicar a fórmula 
aproximada. 
 σ:9�. = �r�! ∗ k[12 − 3,9(6k − 1)(1 − 2k)(2,3 − 2k)] 2.57Sendo: 
 k = 6»�r + 6-�! 2.58 
 
O erro que se comete com essa fórmula é de ≅ 0,5%. 
 
A zona comprimida corresponde ao pentágono da figura 2.43 “c”. As curvas que 
delimitam as várias áreas podem ser adotadas com boa aproximação para parábolas do 
2.º grau. Os valores de “e” devem ser sempre colocados positivos. 
 
 
c) Sapatas Circulares ou anelares submetida à flexão composta oblíqua 
 
Figura 2.44 – Sapatas Circulares e anelares 
 
e = M/N (excentricidade da carga) 
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As sapatas circulares ou anelares são geralmente utilizadas para fundação de torres, 
reservatórios, chaminés, etc. 
 
O cálculo das tensões máximas e a posição da LN podem ser obtidos pelas seguintes 
expressões: 
 
Núcleo central de inércia é: 
 
K1 = 0,25*R*(1 + r2/R2) 2.45 
 
Quando e ≤ K1, toda seção está comprimida (usar a fórmula da R.M.). A tensão 
máxima, nesse caso é dão por: 
 
σmáx. = N * (1 + e/K1 ) 2.46 
 F 
Sendo F = área circular ou anelar = pi(R2 – r2) ou piR2 
 
O segundo núcleo central é dado por: 
 
K2 = 3piR * (1 – r4/R4) / (1 – r3/R3) 2.47 
 16 
Quando e > K2 a LN passa além da região do centro da seção (menos da metade da 
seção está comprimida). Existe problema de estabilidade quando e > K2, isto é, no 
máximo pode-se utilizar e = K2. 
 
Quando K1 < e < K2 a LN na chega a ultrapassar o centro da seção (no mínimo ½ da 
seção colabora na resistência. Material não resiste à tração. A tensão no solo pode ser 
dada pela seguinte expressão, com erro de aproximadamente 1%. 
 
σmáx. = N * 2e [1 – 0,7*(e/14 – 1)*(1 – e/K2 )*(1 + r/R )] 2.48 
 F K1 
 
Quando a seção for cheia se faz r = 0. Na tabela 2.3. 
 
Tabela 2.3 - Fornece o valor de z/r (posição da LN) em função de e/r e r1/r 
 
Fonte: tabela da pg264 do BK74 vol.II 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 110 
 
 
 
Figura 2.45 – Zona com tensão de compressão na sapata circular 
 
Tabela 2.4 – Fornece os valore de σmáx./σmédio; (σmáx. = máxima tensão na borda) 
 
 
Tabela 2.5 - Fornecida, em função de r1/r, a posição de e/r da carga 
(excentricidade para que a LN passe pelo centro do círculo e =K2) 
 
 
È interessante observar que as seções vazadas com as mesmas dimensões externas 
possuem os núcleos centrais de inércia mais distantes do CG, isto é a excentricidade da 
força normal necessária para provocar tração em uma das bordas é maior na seção 
vazada do que na seção cheia. 
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Figura 2.46 – Seções retangulares e circulares, cheias e vazadas 
 
Em outros termos, para efeito de estabilidade, a seção vazada é mais 
favorável. Seção deve ser entendida aqui, como a área de contato da sapata 
com o solo. 
 
 
Figura 2.47 – Núcleo central de inércia 
 
Ao vazar a seção o valor de “e” será > b/6 
 
 
Figura 2.48 – Seção retangular vazada 
 
Isto ocorre porque ao se retirar a área central da seção retangular, para transformá-la em 
vazada, a diminuição do “A” (área) é proporcionalmente maior do que o de “W” 
(módulo de resistência), resultando na expressão anterior, uma acréscimo de σN em 
relação a σM. 
 
e vazada > e cheia 
 
É evidente que a tensão máxima de compressão na seção vazada será mior do que na 
seção cheia. 
 
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Figura 2.49 – Tensões na seção retangular cheia e na vazada 
 
O conhecimento dessa propriedade é importante no caso de se ter problema de 
estabilidade da sapata retangular. Optando, dessa forma, por sapata com área de contato 
vazada, pode-se eliminar o problema eventualmente, sem alterar as dimensões externas 
da sapata. Isto implica que as tensões no solo estejam folgadas e suportem o acréscimo 
de tensão de compressão decorrente da solução. A solução da sapata vazada pode ser 
feita utilizando-se isopor. 
 
 
Figura 2.50 – Sapata vazada utilizando-se de isopor 
 
A espessura do isopor é função do tipo do terreno da fundação. Evidentemente se o 
terreno for fraco, a solução em isopor pode não satisfazer, por não possuir a 
deformabilidade necessária. Outra solução seria a utilização de forma pneumática 
perdida, que é esvaziada após a concretagem e cura do concreto. 
 
Deve-se observar, entretanto, que a solução com seções vazadas é pouco usual. A 
aplicação dessa solução é feita para obras de maior porte, como por exemplo, torres de 
televisão em concreto. 
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•••• Dimensionamento da sapata 
 
 
 
Figura 2.51 – Tensões na sapata retangular, sujeita à flexão composta oblíqua 
 
O cálculo geralmente é feito a favor da segurança tomando-se para cada direção um 
diagrama envolvente. 
 
Para o cálculo na direção do corte II-II, tomar-se-á o diagrama σ1-σ2 
 
Figura 2.52 – Corte na sapata retangular submetida à flexão composta oblíqua 
 
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Procede-se ao cálculo como se a sapata estivesse submetida a flexão composta. 
 
A armadura do pilar, no caso de estar tracionada, deve ser emendada com a armadura da 
sapata. 
 
 
Figura 2.53 – Detalhamento das armaduras na sapata submetida à flexão composta 
oblíqua 
 
Exercício 7 – Dimensionar a sapata submetido à Flexão composta Obliqua. 
Dados: 
N = 700 KN; Mx = 300 KN.m; My = 250 KN.m 
 
 
 
iv) Sapata submetida a esforço horizontal 
 
 
Figura 2.54 – Sapata submetida à esforço horizontal 
 
ϕ = ângulo de atrito do solo 
 
No caso de solos arenosos o esforço horizontal é absorvido por atrito (usualmente 
utiliza-se ϕ = 300 como ângulo de atrito da areia fofa). 
 
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O coeficiente de segurança mínimo ao escorregamento é ν ≥ 1,5. 
 
ν = Â¥∗DÃÄ ≥ 1,5 ; sendo V = força cortante 2.59 
 
No caso de solos coesivos a absorção do esforço horizontal é feita pela coesão “C” 
 
Hx = A*C; sendo A = Área da sapata 
 
ν = Â1∗Æ ≥ 1,5 2.60 
 
De uma maneira geral para solos de resistência média (não orgânico ou turfosos utiliza-
se ϕ = 300) 
Quando a carga vertical é pequena deve-se observar se nas proximidades do pilar existe 
alguma outra que, com sua carga vertical, auxilie na resistência. 
A figura 2.55 abaixo ilustra este caso: 
 
 
Figura 2.55 – Ilustração da atuação do esforço horizontal 
 
H = esforço horizontal grande 
 
Neste exemplo o pilar P1 tem pouca carga vertical e muito esforço horizontal (empuxo 
de terra) de maneira que o esforço vertical de P1 é insuficiente para absorver H. Como o 
pilar P2 tem muita carga vertical optou-se por travar P1 em P2 conseguindo-se a carga 
vertical necessária para estabilização. 
 
v) Sapata Associadas 
 
Esse tipo de sapata existe quando ocorre interferência entre duas sapatas isoladas e, o 
espaço disponível não permite a solução como sapata isolada. 
 
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Figura 2.56 – Sapata Associada 
 
A viga que une os dois pilares é conhecida como Viga de Rigidez, e tem a finalidade de 
distribuir a carga dos pilares ao solo, de modo a permitir que a sapata trabalhe com 
tensão constante. 
 
Figura 2.57 – Viga de rigidez – sapata associada 
 
a) Sistema Estrutural – Roteiro de Cálculo 
 
1. Inicialmente deve se ter em mente que o CG da sapata deve coincidir com CG das 
cargas dos pilares, buscando dessa forma a distribuição uniforme de tensões no solo. 
 
Figura 2.58 – Centro de carga coincidindo com o CG da sapata 
 
2. Determinação do l1mín - O comprimento l1 é determinado pela condição de se ter o 
pilar mais distante do CG de cargas e/ou da sapata, dentro da sapata. 
 
3. O comprimento l1 deve sempre que possível ser maior que l1min parapossibilitar 
uma ancoragem conveniente das barras de flexão da viga de rigidez. 
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Figura 2.59 – Sistema de equilíbrio da sapata associada 
 
Sendo a2 maior do que a1 
 
Faz- se ΣM em relação a P1 
 
a2 = P1*a /(P1+P2) ); a1 = a – a2 
 
4. Cálculo da área da sapata 
 
A= (1,03 a 1,05)*ΣP / σadm.solo 
 
5. Cálculo da largura da sapata l2 ou “B” 
 
B = A/ l1 
 
6. Determinação da altura útil da sapata (como sapata rígida) 
 
h ≥ (B-b) / 3 (NBR6118) 
 
Caso os “b” dos pilares sejam diferentes, pode-se adotar o “b” maior. 
 
7. Dimensionamento da sapata – cálculo das armaduras (como sapara corrida. 
Necessidade de se linearizar a carga) 
 
8. Determinação da altura da viga de rigidez – impor uma altura para que não se tenha 
problema de cisalhamento 
 
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A largura “b” já está definida no item anterior (o maior “b” dentre os pilares) 
 
τd = Vd < τu ⇒ obtem-se “d” e em seguida “h” 
 (b*d) 
 
Impor ainda, a condição para que se tenha um dimensionamento à flexão, econômica. 
 
9. Dimensionar e detalhar a viga de rigidez como uma viga invertida. 
 
 
Exercício de Sapata Associada 
 
Para os três pilares da figura abaixo dimensionar e detalhar a sapata 
 
Dados: 
σadm.solo = 0,15 MPa (1,5 Kgf/cm2 = 15 tf/m2 = 150 KN/m2- argila média) 
fck = 15MPa 
Aço: CA-50 
Cargas nos pilares: P1= 1.000 KN; P2 = 1.000 KN; e P3 = 2.200 KN 
 
 
 
Cálculo do Centro de Gravidade da sapata (CGsap. = CG cargas 
 
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Fazendo momento do sistema acima, em relação ao P1 se obtém: 
 Ç MkB = 4.200 ∗ XƳ − 1.000 ∗ 3 − 2.200 ∗ 6 = 0 
 XƳ = 3,86 m 
 
Cálculo do lmin 
 3ÈÉÊ = (3,86 + 0,10) ∗ 2 = 7,92 m 
 
A�9� = 1,05 ∗ PD�Dσ9�:,���� = 105 ∗ 4.200150 = 29,4 m" 
 
Cálculo da largura da sapata l2 ou “B” 
 
Adota-se para l1 = lmin. + 1,0 m (50 cm de cada lado) = 
 3B = l:;5 + 1,0 (50 cm de cada lado) = 7,92 + 1,0 = 8,92 m 
 3B≅ 9,0 m 
 
B = A�9�3B = 29,49,0 = 3,27 ≅ 3,25 m 
 
Adotando l1 = 9,20, pode-se reduzir a largura B para 3,2 m 
 
 
 
 
Determinação da altura útil da sapata (como sapata rígida) 
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Caso os “b” dos pilares sejam diferentes, deve-se adotar o “b” maior. 
 
h ≥ (B-b)/3 ∴ h ≥ (3,20-0,65)/3 = 0,85 m 
 
 
 
 
Dimensionamento e cálculo das armaduras (sapata corrida) 
 
Necessário linearizar a carga: 
 
p = ∑ P; ∗ BB ∗ 3B = 4.2009,20 = 456,52 KN/m 
 
Cálculo como sapata rígida 
 
Z = pd ∗ (B − b)8 = 456,520,80 ∗ (3,20 − 0,65)8 = 181,89 KN/m 
 
A�B = Z�fA� = 181,89 ∗ 1,450 1,15	 = 5,86 
cm" m 	 
 
 
 
Escolhendo φ de 12,5 mm o espaçamento será: 
 
M = A�B∅ ∗ 100A� = 1,25 ∗ 1005,86 = 21 → (∅12,5 Ì 20	 ) 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 121 
 
Escolhendo φ de 10 mm o espaçamento será: 
 
M = A�B∅ ∗ 100A� = 0,8 ∗ 1005,86 = 13 → (∅10 Ì 13	 ) 
 
A�,�;�D = 1 5	 ∗ A��Y;57 = 5,865 = 1,17 cm" m	 → (∅8 c 20	 ) 
 
Cálculo com sapata flexível 
 
Seção II-II 
 
M†† = pB ∗ (B − b)
"
8 = 456,523,20 ∗ (3,20 − 0,65)
"
8 = 115,96 KN. m/m 
 
V†† = pB ∗ (B − b)2 = 456,523,20 ∗ (3,20 − 0,65)2 = 181,89 KN/m 
 
Impondo Kc econômico = 5,87 (fck = 15 MPa) 
 
 
 
K7 = 5,87 = 100 ∗ d"M††,� ∴ d = w(5,87 ∗ 11596 ∗ 1,4 100	 = 30,9 cm ≅ 35 cm 
 
h ≅ 40 cm 
 
A� = K� ∗ M††,�d = 0,0258 ∗ 11596 ∗ 1,4 35	 = 11,96 cm"/m 
 
e(φ12,5) = 125/11,96 = 10,4 ≅ φ12,5 c/10 
 
Seção I-I 
 
M† = p ∗ (B − b)8 = 456,52 ∗ (3,20 − 0,65)8 = 145,52 KN. mm 
 
VI = 0 
 
Para dimensionamento da seção I-I pode-se admitir um aumento da altura da sapata na 
relação de 1: 3 até o eixo da parede 
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dI = dII+b/6 = 35 + 65/6 = 45 cm 
 
K7 = b ∗ d†"M†,� = 100 ∗ 45
"
14552 ∗ 1,4 = 9,9 → Tabela → Ks = 0,0245 
 
A�,† = K� ∗ M�d = 0,0245 ∗ 14552 ∗ 1,445 = 11,09 cm
"
m < A�,†† 
 
 
Verificação à cortante (necessidade de se armar ou não) 
 
Redução da cortante devido à variação da seção 
 
VŽ,•6� = V†† − M†† ∗ tgαd 
 
 
 
V†† = pB ∗ (B − b)2 = 456,523,20 ∗ (3,20 − 0,65)2 = 181,89 KN/m 
 VŽ,•6� = V†† − M†† ∗ tgα d	 
tgα = (h − h�)[(1 2	 ∗ (B − b)] = 
(0,40 − 0,15) ∗ 2(3,20 − 0,65) = 0,196 
 
VŽ,•6� = V†† − M†† ∗ tgα d	 = 181,89 − 115,96 ∗ 0,1960,35 = 116,92 KN/m 
 V�� = 1,4 ∗ 116,92 = 163,70 KN/m 
 
 
Cortante admissível para não armar, segundo a NBR6118 (item 19.4.1) 
 V�� ≤ V•�B 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 123 
 
V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�]b˜d 
 
Onde: 
τ•� = 0,25 ∗ 0,21 ∗ f7H"/C1,4 = 0,0375 ∗ f7H"/C = 0,2228 MPa 
 
ρB = A�B(b˜ ∗ d) < 0,02 ∴ ρB = 11,96(100 ∗ 35) = 0,0034 < 0,02 
 
σ7� = N��A7 = o 
 
σcp = 0 (força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão 
positiva) 
 
Valores de K 
 
− Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K = 1,0 
− Para os demais casos: K = 1,6 - d , não menor que 1,0, com d em metros. 
 K = (1,6 − 0,35) = 1,25 > 1,0 
 V•�B = [τ•� ∗ K ∗ (1,2 + 40ρB) + 0,15σ7�] ∗ b˜d 
 V•�B = [222,8 ∗ 1,25 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0034) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ 0,35 = 
 V•�B = 130,23 KN m	 < V�� = 163,70 KN m	 
Portanto Vsd > VRd1 ∴ logo, para não armar necessita-se que se aumente a altura da 
peça. 
 
Impondo VRd1 ≥ 163,70 KN/m 
 163,70 = [222,8 ∗ (1,6 − d) ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0034) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ d 
 163,70 = 476,26 ∗ d − 297,66 ∗ d" 
 
d2 – 1,6*d + 0,55 = 0 ∴ d ≥ 0,50 cm 
 
d ≥ 0,50 m ≅ 50 cm, conseqüentemente h = 55 cm 
 
tem-se uma melhora em todas as condições. 
 
Obs: Caso não se reduzisse a força cortante, a altura necessária seria: 
 
VII,k = Vsk = 181,89 KN/m 
 
Impondo VRd1 = Vsd = 1,4*181,89 = 254,65 KN/m 
 
Para valores de “d” acima de 0,6 m, o valor de K deverá ser igual a 1,0, logo: 
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 254,65 = [222,8 ∗ 1,0 ∗ (1,2 + 40 ∗ 0,0034) + 0,15 ∗ 0] ∗ 1,00 ∗ d 
 
d = 254,65297,66 = 0,86 ≅ 0,90 cm (sapata rígida) 
 
 
Detalhamento 
 
Escolhendo φ de 12,5 mm o espaçamento será: 
 
M = A�B∅ ∗ 100A� = 1,25 ∗ 1005,86 = 21 → (∅12,5 Ì 20	 ) 
 
A�,�;�D = 1 5	 ∗ A��Y;57 = 5,865 = 1,17 cm" m	 → (∅8 c 20	 ) 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da viga de Rigidez 
 
Sistema de cálculo 
 
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Equações dos solicitantes: 
 
V(x) = p*x - P1 <x-0,74>0 - P2 <x-3,74>0 - P3 <x-6,74>0 
 
M(x) = px2/2 - P1 <x-0,74>1 - P2 <x-3,74>1 - P3 <x-6,74>1 
 
 
 
 
 
9. Determinação da altura da viga de rigidez – impor uma altura para que não se 
tenha problema de cisalhamento 
 
A largura “b” já está definida no item anterior (o maior “b” dentre os pilares) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 126 
 
 
vi) Sapata Vazada 
 
 
 
 
 
 
 
prof.º M.Sc. João Carlos de Campos Página 127 
 
 
 
A utilização de sapata vazada é feita quando a sapata assume dimensões muito grandes. 
O princípio que se utiliza nesse caso é o mesmo que se utiliza quando se usa laje 
nervurada no lugar de laje maciça. Esse princípio retira material de certas áreas e coloca 
em outros, de maneira a se ter elementos de alturas maiores, porém discretas. É o caso 
das sapatas vazadas, onde se retira material das lajes e os utiliza na criação das vigas V2 
e V3 (viga central) de grande altura. Com esse procedimento,