Apostila Álgebra Lienar

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATO GROSSO
CAMPUS ALTA FLORESTA
BACHARELADO EM ZOOTECNIA
Notas de Aula: Álgebra Linear
Prof. Rogério Matos
rogerio.matos@alf.ifmt.edu.br
ALTA FLORESTA - MT
2016
NOTA: Esse material didático (Notas de aula: Álgebra Linear) é uma compilação de
pesquisas feitas em livros e apostilas impressas e digitais, sendo estes devidamente
indicados nas referências bibliográficas. Material de uso exclusivamente didático.
Quaisquer sugestões e/ou críticas que possam contribuir para a melhoria deste material
são bem-vindas.
“Não
se a
pren
de m
atem
ática
por
cont
empl
ação
”
E
l
o
n
L
i
m
a
“Não há ramo da Matemática, por mais
abstrato que seja, que não possa um dia vir a
ser aplicado aos fenômenos do mundo real. ”
Nicolai Lobachevsky
2
Sumário
1 Matrizes 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Noção de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Notação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Adição de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.3 Subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar (número) . . . . . . . 12
1.5.5 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Determinante de uma matriz 18
2.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Determinante de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Determinante de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Menor complementar e complemento algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Teorema fundamental (de Laplace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.2 Cálculo da matriz inversa através do determinante . . . . . . . . . . 30
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Sistemas lineares 35
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Sistema de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Classificação de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Sistema linear homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
3.3 Sistemas e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.1 Teorema de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 As matrizes e a forma escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3 Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.4 O método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.5 O método de eliminação de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Referências Bibliográficas 58
4
Capítulo 1
Matrizes
1.1 Introdução
Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um
grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela.
Essas tabelas são chamadas na Matemática dematrizes. Com o advento da computação
e a crescente necessidade de se guardar muita informação, as matrizes adquiriram uma
grande importância. Para termos uma ideia de tal importância, basta saber que o que
vemos na tela do computador (ou no televisor) é uma enorme matriz, e que cada valor
guardado nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido (ou não) mostrado
na tela (pixel).
1.2 Noção de Matriz
Sejam m e n dois números inteiros, tal que m,n ≥ 1.
Definição 1.1. Denomina-sematriz de ordemm×n (lê-sem por n) a toda tabela
de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios, etc. A seguir
alguns exemplos de matrizes:

2x −1
2 3
0 x
 , [3 0 1], [1],

3
6
7
 .
1.2.1 Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por
letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha
e a coluna que o elemento pertence. Quando queremos especificar a ordem de uma matriz
A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos Am×n. Nesta apostila as matrizes
aparecerão sempre entre colchetes, porém, também são utilizadas outras notações para
5
1. Matrizes
matrizes, como parênteses ou duas barras. Por exemplo:1 2
3 4
 e
∥∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥∥
Assim, representamos genericamente uma matriz A, de ordemm×n, do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n com i variando de 1 am (i = 1, 2, 3, 4, · · · ,m) e
j variando de 1 a n (j = 1, 2, 3, 4, · · · , n).
Como já mencionado, no início desta seção, o primeiro índice i indica a linha a qual
pertence o elemento da matriz, e o segundo índice j a coluna a qual o elemento da matriz
pertence. Por exemplo, na matriz:
A2×3 =
1 0 −4
4 −3 2
 ,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4, isto é, a13 = −4. Ainda
nesse exemplo, temos a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
1.3 Igualdade de matrizes
Definição 1.2. Duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s são iguais, se elas
possuem o mesmo número de linhas (m = r) e o mesmo número de colunas (n = s),
e todos os seus elementos correspondentes são iguais (aij = bij).
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes
3x+ 2y 2
2 −3x+ 3y

e
7 2
2 3
.
IFMT - Alta Floresta 6 Rogério Matos
1. Matrizes
Pela definição (1.2), para que as matrizes do exemplo 2 sejam iguais devemos ter: 3x+ 2y = 7−3x+ 3y = 3
Resolvendo o sistema acima encontramos: x = 1 e y = 2.
Resolva:
1. Identifique:
a) os elementos a11, a22 e a13 na matriz
2 6 10
4 −5 −1
 .
b) os elementos a31, a23 e a33 na matriz

1 3 0
−4 10 2
6
√
3
√
2
 .
2. Escreva as matrizes:
a) A = [aij]2×2 tal que aij = i2 − j2;
b) B = [aij]3×2 tal que aij = 2i2;
c) C = [aij]3×3 tal que aij = (−1)i+j;
d) D = [aij]2×2 tal que aij = 4i− 2j + 3.
3. Determine x e y para que se tenha
x+ 3 2
9 2y − 7
 =
−5 2
9 13
 .
4. Sabendo que
a− b c
3b a+ 3d
 =
2 5
9 26
 , determine a, b, c e d.
5. Seja A = [aij] uma matriz de ordem 2 × 2 tal que aij = i + j. Determine x, y, z e t
para que se tenha
x+ y x− z
3y 2t+ z
 = A.
6. Determine m e n para que se tenha
m −2n+m
0 1
 =
1 0
0 1
.
1.4 Tipos especiais dematrizes
Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem algumas que, seja pela quan-
tidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades
que as diferenciam de uma matriz qualquer. Por isso recebem nomes especiais, vejamos
a seguir alguns tipos:
IFMT - Alta Floresta 7 Rogério Matos
1. Matrizes
Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplos:
A =

1 −2 0
3 1 4
5 6 7
 , B =
1 2
3 4
 , C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
A ordem da matriz quadrada é n× n, ou simplesmente n.
Diagonal principal e diagonal secundária
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, os elementos
a11, a22, a33, · · · , ann formam a diagonal principal da matriz. A outra
diagonal da matriz quadrada denominada diagonal secundária é formada pelos
elementos aij em que i+ j = n+ 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
Matriz Nula: é aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
0 0
0 0
 , B =
0 0 0
0 0 0
 , C =

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 .
Matriz-Coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =

1
3
4
 e B =
x
y
 .
IFMT - Alta Floresta 8 Rogério Matos
1. Matrizes
Analogamente, temos:
Matriz-Linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 2
]
e B =
[
1 0
]
.
Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i 6= j,
isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =

1 0 0
0 3 0
0 0 8
 , B =
1 0
0 2
 , C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Observação: Um exemplo importante de matriz diagonal vem a seguir.
Matriz Identidade: também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. É denotada por
In, onde n é a ordem da matriz, ou simplesmente por I.
Exemplos:
I3 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 e I2 =
1 0
0 1
 .
Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos
abaixo da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =

−2 −1 0
0 1 6
0 0 3
 e B =

1 0 4 2
0 3 −4 0
0 0 −1 5
0 0 0 12
 .
Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos
acima da diagonal principal são nulos.
IFMT - Alta Floresta 9 Rogério Matos
1. Matrizes
Exemplos:
A =

2 0 0
2 1 0
−1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 −4 −1 0
4 4 −3 1
 .
Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = aji.
Exemplos:
A =

4 3 −1
3 2 0
−1 0 5
 e B =

a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
 .
Observação:
Veja que no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da
parte inferior, em relação a diagonal principal.
1.5 Operações com matrizes
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações.
Começaremos nosso estudo das operações com matrizes, com a operação denominada
transposição de matriz, obtendo assim um outro tipo especial de matriz, denominada
matriz transposta.
1.5.1 Matriz Transposta
Definição 1.3. Dada uma matriz A de ordem m× n, chama-se transposta de A
e indica-se por At a matriz cujas linhas são, ordenadamente, as colunas da matriz A.
Observe o exemplo a seguir:
A =

−7 8
4 9
2 1
 ⇒ At =
−7 4 2
8 9 1

IFMT - Alta Floresta 10 Rogério Matos
1. Matrizes
Observação:
Note que A é de ordem 3× 2 e At é de ordem 2× 3 e que, na matriz transposta,
a primeira linha corresponde à primeira coluna da matriz original e a segunda linha
à segunda coluna, também da matriz original.
1.5.2 Adição de matrizes
Definição 1.4. A soma de duas matrizes de mesma ordem, A = [aij]m×n e
B = [bij]m×n, é uma matriz m × n, que denotaremos A + B, cujos elementos
são as somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto, é:
A+B = [aij + bij]m×n
Exemplos:
a) a11 a12 a13
a21 a22 a23
+
b11 b12 b13
b21 b22 b23
 =
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

b) 
1 −1
4 0
2 5
+

0 4
−2 5
1 0
 =

1 3
2 5
3 5

Propriedades: Dadas as matrizes A,B e C de mesma ordem m× n, temos:
i) A+B = B +A (comutatividade);
ii) A+ (B + C) = (A+B) + C (associatividade);
iii) A+ 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m× n.
1.5.3 Subtração de matrizes
Definição 1.5. A subtração de duas matrizes de mesma ordem, A = [aij]m×n e
B = [bij]m×n, é uma matriz m× n, que denotaremos A−B, cujos elementos são
as diferenças dos elementos correspondentes de A e B. Isto, é:
A−B = [aij − bij]m×n
IFMT - Alta Floresta 11 Rogério Matos
1. Matrizes
Exemplos:
a) a11 a12 a13
a21 a22 a23
−
b11 b12 b13
b21 b22 b23
 =
a11 − b11 a12 − b12 a13 − b13
a21 − b21 a22 − b22 a23 − b23

b) 
1 −1
4 0
2 5
−

0 4
−2 5
1 0
 =

1 −5
6 −5
1 5

1.5.4 Multiplicação de uma matriz por um escalar (número)
Definição 1.6. Seja A = [aij]m×n e k um número, então definimos um nova matriz,
k ·A = [kaij]m×n
Exemplo:
−2 ·
2 10
1 −3
 =
−2 · 2 −2 · 10
−2 · 1 −2 · (−3)
 =
−4 −20
−2 6

Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m× n e números k, k1
e k2, temos:
i) k(A+B) = kA+ kB;
ii) (k1 + k2) ·A = k1A+ k2A;
iii) k1(k2A) = (k1k2)A.
Resolva:
1. Dadas as matrizes A =
−2 4
0 −1
 , B =
 4 2
−6 0
 e C =
 3 0
−5 2
 , calcule:
a) A+B b) A+ C c) B + C d) A + B - C
2. Determine x, y, z e t sabendo que:
a)

x
y
z
−

3
−1
5
 =

10
−4
5
;
IFMT - Alta Floresta 12 Rogério Matos
1. Matrizes
b)
x y
3 2z
+
x 3
t z
 = 2 ·
5 −12
2 9
 .
3. Sendo A =
 2 0 −1
−4 1 3
 e B =
0 −1 2
5 0 6
 , determine:
a) 5A b) −2B c) 12A d) 2A+ 3B d) 3A−
1
2B
4. Escreva a matriz transposta das seguintes matrizes:
a) A =
[
5 2 6
]
b) B =

2 5
−1 4
0 6
 c) C =
−4 2
5 −1
 d) D =

1 3 2
0 0 5
−1 4 3

5. Observe a matriz

1 2 3
0 x 4
0 0 y
. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal forma
que seu traço seja igual a 9, e x seja o triplo de y.
6. Sendo A =
1 2
3 4
 e B =
2 0
1 2
 , determine:
a) At +B
b) A+Bt
c) (2 · A−B)t
d) (2 · A)t − 2 · At
1.5.5 Multiplicação de Matrizes
A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já
estudadas até aqui; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Sendo assim,
vejamos a seguir a definição matemática da multiplicação de matrizes.
Definição 1.7. Dada uma matriz A = [aij]m×n e uma matriz B = [bij]n×p, o
produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = [cij]m×p, tal que o elemento cij
é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A,
pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.
O produto de matrizes nem sempre está definido, como veremos na importante observação
seguinte:
IFMT - Alta Floresta 13 Rogério Matos
1. Matrizes
Observação:
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am×n e Br×p se o número de
colunas de A for igual ao número de linhas de B, isto é, n = r. Além disso a
matriz AB será de ordem m× p. Observem o esquema abaixo:
Exemplo 1: Sejam A =

3 2
5 0
1 4
 e B =
3 1
6 2
, vamos determinar AB.
Como A é uma matriz 3 × 2 e B é uma matriz 2 × 2, logo o número de colunas de A é
igual ao número de linhas de B; assim, está definido o produto AB,que neste caso será
uma matriz 3× 2, daí:
AB =

3 2
5 0
1 4
 ·
3 1
6 2
 =

3 · 3 + 2 · 6 3 · 1 + 2 · 2
5 · 3 + 0 · 6 5 · 1 + 0 · 2
1 · 3 + 4 · 6 1 · 1 + 4 · 2
 =

21 7
15 5
27 9

Exemplo 2: Sejam A =
1 −1
0 4
 e B =

2 1
4 2
5 3
, vamos determinar, se possível, o produto
AB.
Veja que a matriz A é de ordem 2× 2 e a matriz B é de ordem 3× 2, logo não é possível
efetuar o produto AB, pois o número de colunas da matriz A é diferente do número de
linhas da matriz B. E o produto BA, é possível?
Propriedades: Algumas propriedades do produto de matrizes:
i) Em geral AB 6= BA (podendo mesmo um dos membros estar definido e o outro
não)
Exemplo: Sejam A =

1 −1 1
−3 2 −1
−2 1 0
 e B =

1 2 3
2 4 6
1 2 3
.
Então: AB =

0 0 0
0 0 0
0 0 0
 e BA =

−11 6 −1
−22 12 −2
−11 6 −1

IFMT - Alta Floresta 14 Rogério Matos
1. Matrizes
Note, ainda por este exemplo, que AB = 0, sem que A = 0 ou B = 0. Observamos
por esta propriedade que o produto de matrizes não é em geral comutativo.
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas:
ii) AI = IA = A
iii) (AB)C = A(BC) (associatividade).
iv) A(B+C) = AB+AC (distributividade à esquerda da multiplicação, em relação
à soma).
v) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita da multiplicação, em relação
à soma).
1.6 Exercícios
1. Escreva as matrizes:
a) A = [aij]2×3 tal que aij = i2 + j2;
b) B = [aij]4×2 de modo que aij = 2i2 − j;
c) C = [aij]2×2 onde aij = 1 + j.
2. Sendo A =
2 1
3 2
 e B =
1 5
2 −2
, determine:
a) A+B e) Bt i) (5A−B)t
b) A−B f) At +B j) (3A)t − 3At
c) 5A g) A+Bt k) −(At +Bt)
d) At h) 3 · At l) A− 2B
3. Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo. Justifique sua resposta.
a) Se A é uma matriz 3× 1 e B é uma matriz 1× 2, existe o produto AB.
b) Se A =

1
3
5
 e B = [1 5 2], existe o produto o produto AB.
c) Se A é uma matriz 4× 3 e B é uma matriz 1× 4, existe o produto AB.
d) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2, então o produto AB será, também,
uma matriz quadrada de ordem 2.
IFMT - Alta Floresta 15 Rogério Matos
1. Matrizes
4. Sendo A =
1 2 3
2 1 −1
, B =
−2 0 1
3 0 1
, C =

−1
2
4
 e D = [2 −1]. Encontre:
a) A+ 3B c) B · C e) D · A
b) A ·B d) C ·D j) D ·B
5. Nas matrizes abaixo, calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam
iguais:
a) A =
 8 15n
12 +m 3
 e B =
8 75
6 3

b) A =
m2 − 40 n2 + 4
6 3
 e B =
41 13
6 3

c) A =
m+ 4 2
9 n2 + 4
 e B =
12 2
9 53

6. Escreva a matriz quadrada:
a) de ordem 2, cujo elemento genérico é aij = 4i− 2j + 3;
b) de ordem 3 tal que aij = i3 − 2j;
c) de ordem 2 tal que aij =
i
2 + j;
d) de ordem 3 tal que aij = i · j;
e) de ordem 4 tal que aij = −i+ 2j.
7. Sabendo que
a+ b b+ c
2b 2a− 3d
 =
9 −1
6 18
, determine a, b, c e d.
8. Determine m e n para que se tenha
m+ n m
0 n
 = I2.
9. Dadas as matrizes A =
2 3
5 1
 e B =
3 1
2 1
, determine:
a) A2, em que A2 = A · A;
b) B2, em que B2 = B ·B;
c) (A+B)(A−B);
d) A2 −B2.
10. Seja A =
 2 x2
2x− 1 0
. Determine o valor de x para que se tenha At = A.
IFMT - Alta Floresta 16 Rogério Matos
1. Matrizes
11. Determine os produtos:
a)
6 5
1 0
 ·
2 4
1 3
;
b)

1
3
6
 · [2 5 0];
c)

1 3 6
2 5 1
4 0 2
 ·

5 0
2 4
3 2
;
d)
5 1
3 2
 ·
0 5 1 6
2 −1 4 −3
;
e)

1 6
−2 1
4 3
 ·
 3 5
−1 2
;
f)
5 −4
2 1
 ·
 7 4
−6 2
.
IFMT - Alta Floresta 17 Rogério Matos
Capítulo 2
Determinante de uma matriz
Historicamente, o determinante surgiu para indicar sistemas determinados (siste-
mas que possuem solução única, como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao
longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática com diversas aplicações tais como:
classificação de sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos e triângulos; para
obter a equação de uma reta, dentre outras.
2.1 Determinante
O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes
quadradas. Toda matriz quadrada possui determinante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz
quadrada A = [aij], escrevemos:
detA ou |A| Observ
ação
Não e
xiste
deter
mina
nte d
e
matr
iz qu
e não
seja q
uadra
da.
2.1.1 Determinante de ordem 2
Vamos analisar a solução do seguinte sistema 2× 2 :
 a11x+ a12y = k1a21x+ a22y = k2
• Isolando x na primeira equação, temos:
x = k1 − a12y
a11
• Substituindo o valor de x na segunda equação, temos:
a21
(
k1 − a12y
a11
)
+ a22y = k2 ⇒ a21k1 − a12a21y + a11a22y = a11k2 ⇒
⇒ (a11a22 − a12a21)y = a11k2 − a21k1.
18
2. Determinante de uma matriz
Para que exista um único valor de y que satisfaça a igualdade anterior é necessário que
(a11a22− a12a21) não seja nulo. Existindo um único valor de y, existirá um único valor de
x, e o sistema terá solução (será determinado). Sendo assim, o número (a11a22 − a12a21)
é chamado de determinante da matriz de ordem 2, pois de acordo com seu valor
sabemos de antemão se o sistema 2× 2 é ou não determinado.
Definição 2.1. Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
a11 a12
a21 a22
, chama-se
determinante da matriz A o número real obtido pela diferença:
a11a22 − a12a21
Indica-se o determinante por:
detA = a11a22 − a12a21 ou
∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Exemplo 1: O determinante da matriz A =
6 3
2 −4
, é dado por:
detA =
∣∣∣∣∣∣6 32 −4
∣∣∣∣∣∣ = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
Fique atento!
É errado escrever
6 3
2 −4
 = −30, pois não é uma matriz, e sim seu
determinante, um número, que é −30. O correto é:
detA = −30 ou
∣∣∣∣∣∣6 32 −4
∣∣∣∣∣∣ = −30
Exemplo 2: Vamos calcular o determinante da matriz A =
1 2
2 4
.
detA = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
Exemplo 3: Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣x x+ 25 7
∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣x x+ 25 7
∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · 7− (x+ 2) · 5 = 0⇔ 7x− 5x− 10 = 0⇔ 2x = 10⇔ x = 5.
IFMT - Alta Floresta 19 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Exemplo 4: Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣x x5 x
∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣x x5 x
∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x− x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x(x− 5) = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
Observação:
O determinante de uma matriz de ordem 2, nada mais é do que o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária.
2.1.2 Determinante de ordem 3
Definição 2.2. Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
. O seu
determinante é definido como sendo o número real dado por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Veja que a expressão acima para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem
3×3 não é de fácil memorização, felizmente neste caso, dispomos de um dispositivo prático
que nos facilita e muito o processo do cálculo do determinante. Tal dispositivo é conhecido
como regra de Sarrus1, que consiste em:
i. Repetimos as duas primeiras colunas a direita da matriz, e efetuamos as seis multi-
plicações como indicado pelas setas a seguir:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
-© -© -©
+© +© +©
ii. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo
sinal;
iii. Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;
1Pierre Frédéric Sarrus (1798 - 1861): matemático francês.
IFMT - Alta Floresta 20 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
iv. O determinante é a soma dos seisprodutos assim obtidos.
Exemplo 1: Vamos calcular o determinante da matriz A =

3 1 5
2 0 2
1 4 3
 utilizando a regra
de Sarrus.
3 1 5 3 1
2 0 2 2 0
1 4 3 1 4
= 3 ·0 ·3+1 ·2 ·1+5 ·2 ·4−1 ·0 ·5−4 ·2 ·3−3 ·2 ·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
Portanto, detA = 12.
Exemplo 2: Dadas as matrizes A =
2 x
3 9
 e B =

1 −1 0
2 3 x
−1 2 1
, vamos determinar o
valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = 18− 3x.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 1 −1
2 3 x 2 3
−1 2 1 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3 + x+ 0− 0− 2x+ 2 = −x+ 5.
Segue por (i) e (ii) que:
detA = detB ⇒ 18− 3x = −x+ 5⇒ −2x = −13⇒ x = 132 .
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣1 01 −10
∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣1 +
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣3 26 4
∣∣∣∣∣∣ d)
∣∣∣∣∣∣2 101 7
∣∣∣∣∣∣ f)
∣∣∣∣∣∣−2 34 −6
∣∣∣∣∣∣
IFMT - Alta Floresta 21 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
2. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−4 5 2
2 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 4 3
0 1 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
−3 1 −4
2 2 1
1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣
3. Resolva as equações abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣−2 11 2x
∣∣∣∣∣∣ = −5 b)
∣∣∣∣∣∣x− 2 34 x+ 2
∣∣∣∣∣∣ = 0 c)
∣∣∣∣∣∣1 x1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1x 1
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣1 1x 1
∣∣∣∣∣∣
4. Sabendo que x =
∣∣∣∣∣∣1 32 2
∣∣∣∣∣∣ e y =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 1
2 2 1
3 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ , determine x
2 − 2y.
5. Sabendo que a =
∣∣∣∣∣∣3 −21 −1
∣∣∣∣∣∣ , b =
∣∣∣∣∣∣−1 32 0
∣∣∣∣∣∣ e c =
∣∣∣∣∣∣−2 44 −7
∣∣∣∣∣∣ . Calcule o número real x tal
que x = 3a− 2b+ c2.
2.2 Menor complementar e complemento algébrico
Definição 2.3. Consideremos uma matrizM de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento
de M . Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij
como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna
j de M .
Exemplos:
1o) Seja M =

4 3 4
2 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11, D21 e D31.
Temos:
4 3 4
2 1 5
3 3 2

, então: D11 =
∣∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣∣ = −13.
IFMT - Alta Floresta 22 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz

4 3 4
2 1 5
3 3 2

, então: D21 =
∣∣∣∣∣∣3 43 2
∣∣∣∣∣∣ = −6.

4 3 4
2 1 5
3 3 2

, então: D31 =
∣∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣∣ = 11.
2o) Seja M =
5 6
7 8
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
5 6
7 8
 , então: D12 = |7| = 7.

5 6
7 8
 , então: D22 = |5| = 5.
Definição 2.4. Consideremos uma matrizM de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento
de M . Definimos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij),
e indicamos por Aij , o número (−1)i+j ·Dij .
Exemplo:
Seja M =

2 3 −2
1 4 8
7 5 3
, vamos calcular A11, A12 e A13.
Temos:
2 3 −2
1 4 8
7 5 3

, então: A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣∣4 85 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28.

2 3 −2
1 4 8
7 5 3

, então: A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣∣1 87 3
∣∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53.
IFMT - Alta Floresta 23 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz

2 3 -2
1 4 8
7 5 3

, então: A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣1 47 5
∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23.
2.3 Teorema fundamental (de Laplace)
No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem, em sua maioria, apenas para
as matrizes quadradas de ordem igual ou menor que três. Para calcular o determinante das
demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2. Por isso, veremos a seguir o Teorema
de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para
regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.
Teorema 2.5. (Teorema de Laplace) O determinante de uma matrizM , de ordem
n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna)
pelos respectivos cofatores.
Isto é,
a) Se escolhermos a coluna j da matriz M , então:
detM = a1j ·A1j + a2j ·A2j + · · ·+ anj ·Anj .
b) Se escolhermos a linha i da matriz M , então:
detM = ai1 ·Ai1 + ai2 ·Ai2 + · · ·+ ain ·Ain.
Portanto, para calcularmos um determinante, não precisamos necessariamente dos ele-
mentos da 1a coluna e seus cofatores; qualquer outra coluna (ou linha) e seus cofatores
permitem o cálculo.
Para calcularmos o determinante:
1 2 1 1
2 1 4 3
3 0 0 2
4 3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Se escolhermos a terceira linha para o seu cálculo, pelo Teorema de Laplace, temos:
detM = 3 · A31 + 0 · A32︸ ︷︷ ︸
0
+0 · A33︸ ︷︷ ︸
0
+2 · A34
2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês.
IFMT - Alta Floresta 24 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Veja que nesse caso só teremos que calcular dois cofatores (A31 e A34), desse modo,
podemos concluir que quanto mais zeros houver em uma fila (linha ou coluna), mais fácil
será o cálculo do determinante se usarmos essa fila (linha ou coluna).
Voltando ao cálculo do determinante anterior de ordem 4, temos:
detM = 3 · A31 + 0 · A32︸ ︷︷ ︸
0
+0 · A33︸ ︷︷ ︸
0
+2 · A34
= 3 · A31 + 2 · A34
= 3 · (−1)3+1
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 1
1 4 3
3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣+ 2 · (−1)
3+4
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1
2 1 4
4 3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3 · 22 + 2 · (−1) · 16
= 66− 32
= 34
Resolva
1. Sendo A =

1 2 3 2
3 7 2 −3
2 0 1 1
2 4 6 4
 , determine os cofatores: A11, A12, A13, A14, A11, A32, A33 e
A34.
2. Utilizando o Teorema de Laplace, calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 9 −3 4
0 5 −2 2
0 0 1 3
0 0 0 7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 1 2
4 −1 5 2
2 0 2 4
2 3 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 2
3 7 2 −3
2 0 1 1
2 4 6 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2.4 Propriedades dos determinantes
Com o que vimos até agora é possível calcular qualquer determinante, contudo
algumas vezes, é possível simplificar o cálculo com o emprego de certas propriedades.
Vejamos algumas delas:
(P1) Matriz transposta:
Se M é uma matriz de ordem n e M t sua transposta, então:
detM t = detM .
IFMT - Alta Floresta 25 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Exemplos:
∣∣∣∣∣∣1 42 5
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1 24 5
∣∣∣∣∣∣ = −3. e
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2
3 1 3
4 5 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 4
0 1 5
2 3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 9.
(P2) Fila nula:
Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem
todos nulos, então:
detM = 0.
Exemplos:
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 4
0 0 0
a b c
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 5 x 0
3 7 y 0
4 −2 z 0
2 3 t 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
(P3) Multiplicação de uma fila por uma constante:
Se multiplicarmos uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem
n por um número k, o determinante da nova matriz M ′ obtida será o produto de
k pelo determinante de M , isto é:
detM ′ = k · detM .
Exemplo:
7 14 49
3 5 2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 7 ·
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 7
3 5 2
0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣∣
Por
(P3)
conc
luím
os q
ue:
Se A
é um
a ma
triz d
e ord
em n
, entã
o:
det(α
·A) =
α
n · detA
.
(P4) Trocas de filas paralelas:
Seja M uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas
(duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M ′ tal que:
detM ′ = − detM .
Exemplos:
1o)
∣∣∣∣∣∣3 47 2
∣∣∣∣∣∣ = −22
∣∣∣∣∣∣7 23 4
∣∣∣∣∣∣ = 22
2o)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 4 −1
3 1 2
0 3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −37
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 4 1
2 1 3
2 3 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 37
IFMT - Alta Floresta 26 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
(P5) Filas paralelas iguais:
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então:
detM = 0.
Exemplos:
a b c
4 0 2
ab c
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
1 2 1
4 10 4
5 3 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
(P6) Filas paralelas proporcionais:
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então:
detM = 0.
Exemplos:
1o)
1 2 1
3 20 7
2 4 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 (1o e 3o linhas são proporcionais.)
2o)
1 2x x
2 2y y
3 2z z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 (2o e 3o colunas são proporcionais.)
(P7) Matriz triangular:
O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto
dos elementos da digonal principal.
Exemplos:
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0
1 2 0
7 5 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 · 2 · 1 = 4 e
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 3 5
0 1 4 7
0 0 2 2
0 0 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3 · 1 · 2 · 6 = 36
(P8) Teorema de Binet:
Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então:
det(A ·B) = detA · detB
IFMT - Alta Floresta 27 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Exemplo:
Sejam as matrizes A =
1 2
3 4
 e B =
2 3
0 5
, temos:
A ·B =
2 13
6 29
⇒ det(A ·B) = 58− 78 = −20
detA = 4− 6 = −2
detB = 10− 0 = 10
⇒ detA · detB = −2 · 10 = −20.
De
co
rre
de
(P8
) q
ue:
det
A
−1 =
1
det
A
On
de:
A
−1 é
a m
atr
iz i
nve
rsa
de
A.
2.5 Matriz Inversa
2.5.1 Definição
Definição 2.6. (Matriz inversa) Dada uma matriz quadrada A de ordem n,
chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A · B = In e B · A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Escrevemos A−1 para a inversa de A.
Exemplos:
1o) Seja A =
 6 2
11 4
.
Procuremos sua inversa, isto é:
B =
a b
c d
 tal que: A ·B = I2 e B · A = I2.
Pela primeira condição A ·B = I2, temos: 6 2
11 4
a b
c d
 =
1 0
0 1
⇒
 6a+ 2c 6b+ 2d
11a+ 4c 11b+ 4d
 =
1 0
0 1

Portanto pela igualdade de matrizes: 6a+ 2c = 111a+ 4c = 0 e
 6b+ 2d = 011b+ 4d = 1
Resolvendo os sistemas, temos:
a = 2 b = −1
c = −112 d = 3
IFMT - Alta Floresta 28 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Teremos então,  6 2
11 4
 ·
 2 −1−112 3
 =
1 0
0 1

ou seja, A ·B = I2. Também 2 −1−112 3
 ·
 6 2
11 4
 =
1 0
0 1

ou seja, B · A = I2. Portanto,
B =
 2 −1−112 3

é a inversa da matriz A. (B = A−1).
2o) Seja A =
2 3
1 4
. Então A−1 =

4
5 −
3
5
−15
2
5

Pois A · A−1 = I2 e A−1 · A = I2. (Verifique!)
Observações:
i) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis
(isto é, existem A−1 e B−1), então A ·B é inversível e (A ·B)−1 = B−1 ·A−1.
De fato, basta observar que:
(A ·B)(B−1 · A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.
Analogamente: (B−1 · A−1)(A ·B) = I.
ii) Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que B ·A = In, então
A é inversível, ou seja A−1 existe e, além disso, B = A−1.
iii) Suponhamos que An×n tenha inversa, isto é, existe A−1 tal que A ·A−1 = In.
Usando o determinante temos:
det(A ·A−1) = det In ⇒ detA · detA−1 = 1
Desse produto acima concluímos que se A tem inversa, então:
detA 6= 0 e detA−1 = 1
detA
Calcular a matriz inversa, utilizando a definição, as vezes torna-se um processo muito
trabalhoso, sendo assim, a seguir estudaremos um método para o cálculo da matriz inversa
através do determinante.
IFMT - Alta Floresta 29 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
2.5.2 Cálculo da matriz inversa através do determinante
Para calcularmos a matriz inversa, por meio do determinante, precisamos das noções de
matriz dos cofatores e matriz adjunta, as quais estudaremos a seguir:
1. Matriz dos cofatores
Definição 2.7. Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de
matriz dos cofatores de M , e indicamos por M ′, a matriz que se obtém de
M , substituindo cada elemento de M por seu cofator.
Assim, se:
M =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
... ... ... . . . ...
an1 an2 an3 · · · ann

então M ′ =

A11 A12 A13 · · · A1n
A21 A22 A23 · · · A2n
A31 A32 A33 · · · A3n
... ... ... . . . ...
An1 An2 An3 · · · Ann

Exemplos:
1o) Se M =
1 2
3 4
 então M ′ =
 4 −3
−2 1
, pois:
A11 = (−1)1+1 · |4| = 4 A12 = (−1)1+2 · |3| = −3
A21 = (−1)2+1 · |2| = −2 A22 = (−1)2+2 · |1| = 1
2o) Se M =

1 0 2
2 1 3
3 1 0
 então M ′ =

−3 9 −1
2 −6 −1
−2 1 1
, pois:
A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣∣1 31 0
∣∣∣∣∣∣ = −3; A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣∣2 33 0
∣∣∣∣∣∣ = 9; A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣∣2 13 1
∣∣∣∣∣∣ = −1
A21 = (−1)2+1 ·
∣∣∣∣∣∣0 21 0
∣∣∣∣∣∣ = 2; A22 = (−1)2+2 ·
∣∣∣∣∣∣1 23 0
∣∣∣∣∣∣ = −6; A23 = (−1)2+3 ·
∣∣∣∣∣∣1 03 1
∣∣∣∣∣∣ = −1
A31 = (−1)3+1 ·
∣∣∣∣∣∣0 21 3
∣∣∣∣∣∣ = −2; A32 = (−1)3+2 ·
∣∣∣∣∣∣1 22 3
∣∣∣∣∣∣ = 1; A33 = (−1)3+3 ·
∣∣∣∣∣∣1 02 1
∣∣∣∣∣∣ = 1
2. Matriz Adjunta
Definição 2.8. SejaM uma matriz quadrada de ordem n eM ′ a matriz dos cofatores
de M . Chamamos de matriz adjunta de M , e indicamos por M à transposta da
matriz M ′ isto é:
M = (M ′)t.
IFMT - Alta Floresta 30 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
Nos exemplos dados no item anterior temos:
1o) Se M =
1 2
3 4
⇒M ′ =
 4 −3
−2 1
⇒M =
 4 −2
−3 1
.
2o) Se M =

1 0 2
2 1 3
3 1 0
⇒M ′ =

−3 9 −1
2 −6 −1
−2 1 1
⇒M =

−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
.
3. Processo de cálculo da inversa de uma matriz quadrada
Teorema 2.9. Se M é uma matriz quadrada de ordem n e detM 6= 0, então a
inversa de M é dada por:
M−1 =
1
detM
·M
Retomando os exemplos dados anteriormente temos:
1o) M =
1 2
3 4
 , M =
 4 −2
−3 1
 , detM = −2.
Logo,
M−1 = 1detM ·M ⇒M
−1 = −12 ·
 4 −2
−3 1
⇒M−1 =
−2 13
2 −
1
2

2o) M =

1 0 2
2 1 3
3 1 0
 , M =

−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
 , detM = −5.
Logo,
M−1 = 1detM ·M ⇒M
−1 = −5 ·

−3 2 −2
9 −6 1
−1 −1 1
⇒M−1 =

3
5 −
2
5
2
5
−95
6
5 −
1
5
1
5
1
5 −
1
5

Importante:
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de M
existe, se e somente se, detM 6= 0.
IFMT - Alta Floresta 31 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
2.6 Exercícios
1. Calcule os determinantes de ordem 2 abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣6 24 3
∣∣∣∣∣∣ d)
∣∣∣∣∣∣−3 −81 2
∣∣∣∣∣∣ g)
∣∣∣∣∣∣6 103 5
∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣ a ba+ b a+ b
∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣−1 32 −8
∣∣∣∣∣∣ h)
∣∣∣∣∣∣2 −13 0
∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣1 00 1
∣∣∣∣∣∣ f)
∣∣∣∣∣∣3 14 6
∣∣∣∣∣∣ i)
∣∣∣∣∣∣
√
2 0
1 2
√
2
∣∣∣∣∣∣
2. Resolva as equações abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣x− 2 63 5
∣∣∣∣∣∣ = 2 b)
∣∣∣∣∣∣x 2x3 x
∣∣∣∣∣∣ = 0 c)
∣∣∣∣∣∣x 21 x− 4
∣∣∣∣∣∣ = −6
3. Para quais valores reais de m existe a inversa da matriz A =
m 5
5 m
 .
4. Se A =
3 1
4 8
 e B =
−1 2
−2 6
, determine det(A ·B).
5. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 −1
5 0 4
2 −3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ d)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 5 −1
0 4 2
0 0 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 1 −2
3 −1 0
4 1 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣ e)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 0 8
0 7 7
4 9 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a 0 0
0 b a
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 5
8 10 3
0 7 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
6. Sejam A =
1 2
1 3
 e B =
a b
c d
 :
IFMT - Alta Floresta 32 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
a) determine B sabendo que A ·B = I2;
b) determine A−1.
7. Sejam A =
6 2
2 1
 e A−1 =
 12 −1
−1 3
, determine:
a) detA;
b) detA−1;
c) det(A · A−1).
8. Sendo A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule:
a) A11 e) A21 i) A31 m) A41
b) A12 f) A22 j) A32 n) A42
c) A13 g) A23 k) A33 o) A43
d) A14 h) A24 l) A34 p) A44
Lemb
rete
:
Aij
= (−1
)i+j ·Dij
9. Calcule os determinantes:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3 4
0 1 −5 −3
2 0 −1 9
2 4 6 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
10. Dada a matriz A =

2 1 −3
0 2 1
5 1 3
 determine:
a) a matriz adjunta de A;
b) detA;
c) A−1.
IFMT - Alta Floresta 33 Rogério Matos
2. Determinante de uma matriz
11. Verifique se as matrizes abaixo são inversíveis, em caso afirmativo, determine a inversa:
a)
4 7
1 2
 e)

2 3 0
1 −2 −1
2 0 −1
 i)

1 −1 2
3 1 2
2 3 −1

b)
4 −2
2 0
 f)

0 7 0
3 −5 6
2 11 4
 j)
1 −1
3 1

c)

1 1 0
1 0 1
0 1 1
 g)
−2 4
3 −1
 k)

1 0 0
1 1 0
0 1 1
.
d)
1 2
2 4
 h)
1 0
0 1
 l)
0 1
1 1

IFMT - Alta Floresta 34 Rogério Matos
Capítulo 3
Sistemas lineares
3.1 Introdução
Chamamos de equação linear , nas incógnitas (ou variáveis) x1, x2, · · · , xn toda
equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b.
Onde: os números a11, a12, a13, · · · , a1n, todos reais, são chamados coeficientes e b,
também real, é o termo independente da equação.
Exemplos de equações lineares:
1) 3x1 + 4x2 − 5x3 + 7x4 = 10
2) 2x1 − x2 − x3 = 0
3) x1 + x2 + x3 = 7
4) x+ 2y − z = 3
Observ
e que n
ão são
lineare
s
as equa
ções:
2x2 − 4y
= 3
2xy − z =
4
x+
√y + z = 1
Dizemos que a sequência ordenada de números reais (α1, α2, α3, · · · , αn) é uma
solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da equação linear:
2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3
Pois: 2 ·1+3 ·2−3+(−2) = 3⇔ 2+6−3−2 = 3⇔ 3 = 3, é uma sentença verdadeira.
As sequências (0, 1, 0, 0) e (3,−1, 1, 1) também são soluções da equação linear
2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3. Verifique!
35
3. Sistemas lineares
3.2 Sistema de equações lineares
Definição 3.1. Um sistema de equações lineares comm equações e n variáveis
(ou incógnitas) é um conjunto de equações do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
... ... ... ... ... ...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
com aij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, números reais, denominados coeficientes do
sistema.
A seguir exemplos de sistemas de equações lineares.
a)
 x+ y = 7−x+ 3y = 5 é um sistema linear 2× 2 (2 equações e 2 variáveis) nas variáveis x e y.
b)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3×3 (3 equações e 3 incógnitas (variáveis)).
c)
 x + 4y − 2z = 13x− y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações e 3 variáveis).
3.2.1 Solução de um sistema linear
Dizemos que a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de um sistema linear quando
(α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja,
satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.
Veja:
a) (5, 1) é solução do sistema
2x+ 3y = 133x− 5y = 10 , pois
2 · 5 + 3 · 1 = 133 · 5− 5 · 1 = 10
b) (2, 3)NÃO é solução do sistema
2x+ 3y = 133x− 5y = 10 , pois
2 · 2 + 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
IFMT - Alta Floresta 36 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
c) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x− y − z = 3
x + y − z = 6
 verifique!
Resolva:
1. Diga se são lineares as equações abaixo, em caso afirmativo, indique uma solução da
equação:
a) 5x− 2y = 6 e) 3xy = 10 i) 3x1 + 3x2 − x3 = 0
b) x+ 4y − z = 5 f) x+ y = z − 3 j) x2 − xy − yz + z2 = 1
c) x2 + y = 10 g) 2x− y + xy = 9 k) 4x− 3y − 3 = x+ y + 1
d) 2x+ 7 = x− 2y h) 2x+ y + 3z + 4 = 16 l) x2 + 3y + z2 = 10
2. Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja uma solução da equação linear
3x− 2y = 5.
3. O terno ordenado (k, 2, k+1) é uma das soluções da equação linear 4x+5y− 3z = 10.
Determine o valor de k.
4. Verifique se:
a) (3,−1) é uma solução do sistema
2x− 5y = 113x + 6y = 3
b) (0, 0, 0) é uma solução do sistema

x + y + z = 0
2x− 3y + 5z = 0
4x + 7y − 3z = 0
c) (3, 2) é solução do sistema
x + y = 5x− y = 1
d) (4, 1,−2, 1) é solução do sistema

x + y + z − 2w = 1
2x− y + 2z − w = 2
x + 5y − z − 3w = 8
3x− y + 3z − w = 4
5. Encontre uma solução para a equação linear 2a−b−c = 0, diferente da solução (0, 0, 0).
IFMT - Alta Floresta 37 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
3.2.2 Classificação de um sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
• Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
 x + y = 82x− y = 1 , encontramos uma única solução: o par ordenado
(3, 5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução
única).
• Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x+ y = 82x+ 2y = 16 , verificamos que os pares ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6),
(3, 5), (4, 4), (5, 3), · · · são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
• Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x− y = 8 , não existe nenhum par ordenado que satis-
faz simultaneamente as duas equações. Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é
impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
Sistema

Possível

Determinado ⇒ (solução única).
Indeterminado ⇒ (infinitas soluções).
Impossível ⇒ (não tem solução).
3.2.3 Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que o termo independente
de TODAS as equações é igual a zero.
IFMT - Alta Floresta 38 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
Exemplos:
a)
 x + y + z = 02x− y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x− 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
c)

3x + 4y + z − t = 0
3x− y − 3z = 0
x + 2y + z − 3t = 0
4x − z + t = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre como solução a sequência
(α1, α2, α3, · · · , αn) onde αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · , n}. Essa solução é dita solução
trivial do sistema linear homogêneo.
Nos exemplos dados temos:
• (0, 0, 0) é solução do sistema da alínea a);
• (0, 0, 0) é solução do sistema da alínea b);
• (0, 0, 0, 0) é solução do sistema da alínea c).
Observaçã
o !!!
Como um si
stema linear
homogêneo
admite
sempre, pel
o menos a
solução triv
ial, ele
será SPD o
u SPI.
• SPD: se adm
itir somente
a solução tr
ivial;
• SPI: se adm
itir a soluçã
o trivial e
outras
soluções.
3.3 Sistemas e Matrizes
Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como o produto de matrizes foi
definido, o sistema linear (definição 3.1) pode ser representado na seguinte forma matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 ·

x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm

ou A ·X = B, onde:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 é a matriz dos coeficientes.
X =

x1
x2
...
xn
 a matriz das incógnitas.
B =

b1
b2
...
bm
 a matriz dos termos independentes.
IFMT - Alta Floresta 39 Rogério Matos
3. Sistemaslineares
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
... ... ... ...
am1 am2 · · · amn bm

que chamamos matriz ampliada do sistema.
Por exemplo, o sistema abaixo 
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
é representado pela seguinte forma matricial:
1 4 3
2 5 4
1 −3 −2
 ·

x1
x2
x3
 =

1
4
5

Em termos de matrizes ampliadas, na resolução do sistema, partimos de
1 4 3 1
2 5 4 4
1 −3 −2 5

e chegamos, através de operações elementares, a:
1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2

que é a matriz ampliada do sistema
x1 + 0x2 + 0x3 = 3
0x1 + x2 + 0x3 = −2
0x1 + 0x2 + x3 = 2
⇒

x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2
Tais operações elementares (que iremos estudar posteriormente), produzem outro sistema
equivalente ao inicial, ou seja, sistemas que possuem o mesmo conjunto solução. A seguir
estudaremos um método prático, que nos permite, resolver sistemas de equações lineares
onde o número de equações é igual ao número de incógnitas (variáveis), conhecido como
regra de Cramer3.
3Gabriel Cramer (1704 - 1752): matemático suíço.
IFMT - Alta Floresta 40 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
3.3.1 Teorema de Cramer
Consideremos um sistema linear onde o número de equações é igual ao número de incóg-
nitas (variáveis). Nestas condições, a matriz dos coeficientes desse sistema é uma matriz
quadrada. Designando por A a matriz dos coeficientes desse sistema e seja D = detA,
isto é, D é o determinante da matriz dos coeficientes, temos então:
Teorema 3.2. (Teorema de Cramer) Seja S um sistema linear com número de
equações igual ao de incógnitas. Se D 6= 0, então o sistema será possível e terá
solução única (α1, α2, α3, · · · , αn), tal que:
αi =
Di
D
∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · , n}
onde Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna
pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.
Vejamos, na prática, como resolver um sistema linear (onde o número de equações é igual
ao número de incógnitas) aplicando a regra de Cramer.
Seja o sistema 3× 3

x + y + z = 6
x− y − z = −4
2x− y + z = 1
temos: D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −4 6= 0.
Como D 6= 0, o sistema tem solução única. Determinemos esta solução usando a regra de
Cramer.
D1 =
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −4, D2 =
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −12, D3 =
1 1 6
1 −1 −4
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Logo: x = D1
D
= −4−4 = 1; y =
D2
D
= −12−4 = 3; z =
D3
D
= −8−4 = 2.
Portanto, a solução única do sistema é (1, 3, 2).
Agora, considere o seguinte sistema 2×2:
 x+ y = 22x+ 2y = 4 . Logo temos que: D =
∣∣∣∣∣∣1 12 2
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Como D = 0, não podemos aplicar a regra de Cramer. O fato de D = 0 implica que
o sistema possui infinitas ou nenhuma solução. A saber, esse sistema possui infinitas
soluções que são os pares ordenados do tipo (x, 2− x).
IFMT - Alta Floresta 41 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
Resolva:
1. Escreva na forma matricial os sistemas abaixo:
a)

x− y + z = 2
−x + 2y + 2z = 5
5x− y + 5z = 1
d)
2x− y = 3x + 4y = 0
b)

3x− 5y + 4z − t = 8
2x + y − 2z = −3
−x− 2y + z − 3t = 1
−5x− y + 6t = 4
e)

√
2x− 3y + 2z = 7
7y − z = 0
4x +
√
3y + 2z = 5
c)

2x− 3y = 7
−x + 4y = 1
2x− y = 2
f)

x + y − z = 3− t
−x− y − 2z = 1− 3t
5x + 3z = 7 + t
2. Quais são os sistemas correspondentes às representações matriciais abaixo:
a)

2 4 9
−1 0 −1
3 7 3
 ·

x
y
z
 =

0
0
0

b)
 5 2 −1 3
−1 5 −2 1
 ·

x
y
z
t
 =
−2
3

c)

1 2 0
0 3 3
0 −1 0
 ·

x
y
z
 =

1
−1
2

3. Resolver os sistemas abaixo usando a regra de Cramer:
a)
−x− 4y = 03x + 2y = 5 b)

x + y + z = 1
2x− y = 2
−x + y − z = 0
c)

3x− y + z = 1
2x + 3z = −1
4x + y − 2z = 7
d)

−x+ y − z = 5
x+ 2y + 4z = 4
3x+ y − 2z = −3
IFMT - Alta Floresta 42 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
e)
 2a− b = 2−a + 3b = −3 f)

x1 + x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2 + x3 = 5
x1 − x2 − 2x3 = −5
g)

x + y + z + t = 1
−x + 2y + z = 2
2x− y − z − t = −1
x− 3y + z + 2t = 0
Observação!
Em um sistema, onde o número de equações é igual ao número de
incógnitas, temos que:
• Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero,
então o sistema terá solução única.
• Se o determinante da matriz dos coeficientes for igual a zero, então
o sistema terá infinitas ou nenhuma solução.
O teorema de Cramer tem um interesse mais teórico do que prático; pois quando o número
de equações é muito grande, fica bastante trabalhoso resolver o sistema através de sua
aplicação. Por exemplo, num sistema de 5 equações e 5 incógnitas teremos de calcular
6 determinantes de ordem 5. Os métodos de resolução que veremos a seguir são mais
simples, embora em alguns dos seus aspectos teóricos tenhamos que usar o teorema de
Cramer.
3.4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares
Nesta seção, veremos um procedimento geral e sistemático de resolução de sistemas de
equações lineares. Esse procedimento é baseado na ideia de reduzir a matriz ampliada do
sistema dado a uma forma que possa então ser resolvida por substituição de trás para a
frente. O método é direto no sentido de que leva diretamente a solução (se existir) em
um número finito de passos. Nesta seção, veremos dois métodos diretos, o Método de
Eliminação de Gauss4 e o Método de Eliminação de Gauss-Jordan5.
4Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855): matemático alemão
5Wilhelm Jordan (1842 - 1899): matemático alemão
IFMT - Alta Floresta 43 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
3.4.1 As matrizes e a forma escalonada
Definição 3.3. Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz
as seguintes propriedades:
1. Todas as linhas que consistem inteiramente em zeros estão na parte inferior da
matriz.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de elemento
líder) está em uma coluna à esquerda de qualquer outro elemento líder abaixo
dele.
Note que essas propriedades garantem que os elementos líderes fiquem posicionados
formando uma escada. Em particular, em qualquer coluna que contenha um elemento
líder, todos os elementos abaixo dele são nulos, como ilustram os exemplos a seguir.
Exemplos: As seguintes matrizes estão na forma escalonada por linhas:
2 4 1
0 −1 2
0 0 0


1 0 1
0 1 5
0 0 4


1 1 2 1
0 0 1 3
0 0 0 0


0 2 0 1 −1 3
0 0 −1 1 2 2
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 5


NOTA: Se uma matriz escalonada por linhas for a matriz completa de um sistema linear,
será fácil resolver o sistema por substituição de trás para frente.
Exercício resolvido:
1. Verifique se as matrizes abaixo estão na forma escalonada por linhas.
a)

1 0 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 0
 Está na forma escalonada.
b)

0 2 1
1 0 −3
0 0 0
 Não está na forma escalonada,pois a segunda condição não é satisfeita.
c)

0 1 −3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 −1 2
 Não está na forma escalonada, pois a primeiracondição não é satisfeita.
d)

0 1 −3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
 Está na forma escalonada.
Curio
sidade
!
A pal
avra e
scalon
ar ve
m
da pal
avra la
tina sc
ala, qu
e
signific
a “
escada
” o
u
“degra
us”.
Escalo
nar um
a
matriz
signific
a dar
a ela
a
forma
de esca
da.
IFMT - Alta Floresta 44 Rogério Matos
3. Sistemaslineares
Observação !!!
Dizemos que uma matriz está na forma escalonada, se o número de zeros
que precedem o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta, linha
por linha, até que restem eventualmente apenas linhas nulas.
3.4.2 Sistemas equivalentes
Diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes
quando admitem a mesma solução.
Exemplo: Os sistemas3x + 6y = 422x− 4y = 12 e
x + 2y = 14x− 2y = 6
são equivalentes porque admitem a mesma solução: x = 10 e y = 2.
Vamos a seguir descrever o procedimento pelo qual qualquer matriz pode ser reduzida
a uma matriz na forma escalonada por linhas. As operações permitidas, chamadas
operações elementares sobre as linhas, correspondem às operações que podem ser
realizadas em um sistema de equações lineares para transformá-lo em um sistema equiva-
lente.
3.4.3 Operações elementares
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas. (Li ←→ Lj) [Trocar duas linhas quaisquer]
Exemplo: (L2 ←→ L3)

1 0
4 −1
−3 4
 L2←→L3−−−−−−→

1 0
−3 4
4 −1

ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (Li = kLi) [Multiplicar
uma linha qualquer por uma constante não nula]
Exemplo: (L2 = −3L2)

1 0
4 −1
−3 4
 L2=−3L2−−−−−−→

1 0
−12 3
4 −1

IFMT - Alta Floresta 45 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha.
(Li = Li + kLj) [Somar um múltiplo de uma linha com outra linha]
Exemplo: (L3 = L3 + 2L1)

1 0
4 −1
−3 4
 L3=L3+2L1−−−−−−→

1 0
4 −1
−1 4

O processo de aplicar operações elementares sobre linhas para transformar uma matriz
em uma matriz escalonada é chamado escalonamento.
Exemplo: Vamos reduzir a matriz abaixo à forma escalonada:
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

Começamos por anular os elementos da primeira coluna, abaixo do líder 1 na primeira
linha: 
1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5

L2=L2−2L1
L3=L3−2L1
L4=L4+L1−−−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

A primeira coluna agora está como queremos; o próximo passo é criar um elemento líder
na segunda linha, com o objetivo de chegar à forma escalonada. Neste caso, fazemos isso
trocando as linhas 2 e 3: (Poderíamos também somar a linha 3 ou 4 à linha 2.)
1 2 −4 −4 5
0 0 8 8 −8
0 −1 10 9 −5
0 3 −1 2 10

L2←→L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

Desta vez o elemento líder é -1. Criamos zeros no restante da segunda coluna, abaixo do
elemento líder -1:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 3 −1 2 10

L4=L4+3L2−−−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

A coluna 2 agora está pronta. Vamos agora, criar zeros na coluna 3 abaixo do elemento
líder o 8. Para facilitar, vamos primeiramente dividir a linha 3 por 8:
IFMT - Alta Floresta 46 Rogério Matos
3. Sistemas lineares

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 8 8 −8
0 0 29 29 −5

L3= 18L3−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

Agora o elemento líder da terceira linha passa a ser o 1. Vamos criar zeros abaixo dele:
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 29 29 −5

L4=L4−29L3−−−−−−−→

1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24

Com esse passo final, reduzimos a matriz dada à forma escalonada.

1 2 −4 −4 5
2 4 0 0 2
2 3 2 1 5
−1 1 3 6 5
 
1 2 −4 −4 5
0 −1 10 9 −5
0 0 1 1 −1
0 0 0 0 24


Observações:
• Para escalonar uma matriz, trabalhamos coluna por coluna, da esquerda para a
direita e de cima para baixo. A estratégia é criar um elemento líder em uma coluna
e usá-lo para criar zeros sob ele. O elemento escolhido para ser o elemento líder
é chamado de pivô, e essa fase do processo é chamada pivoteamento. Embora
não seja estritamente necessário, às vezes é conveniente usar a segunda operação
elementar para transformar o elemento líder em 1.
• A forma escalonada da matriz não é única.
Operações elementares com linhas são reversíveis, isto é, podem ser “desfeitas”. Assim, se
uma operação elementar sobre as linhas converte A em B, existe também uma operação
elementar sobre as linhas que converte B em A.
Resolva:
1. Determine se as matrizes abaixo estão na forma escalonada por linhas:
a)

1 0 1
0 0 3
0 1 0
 b)
0 1 3 0
0 0 0 1
 c)

1 0 3 −4 0
0 0 0 0 0
0 1 5 0 1

IFMT - Alta Floresta 47 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
d)

1 2 3
1 0 0
0 1 1
0 0 1
 e)

7 0 10 0
0 1 −1 3
0 0 0 0
 f)

2 1 3 5
0 0 1 −1
0 0 0 3
0 0 0 0

2. Use operações elementares para reduzir as matrizes abaixo na forma escalonada por
linhas:
a)

0 0 1
0 1 1
1 1 1
 b)

3 5
5 −2
2 4
 c)

3 −2 −1
2 −1 −1
4 −3 −1

d)
4 3
2 1
 e)
2 −4 −2 6
3 1 6 6
 f)

2 1 3
0 2 5
4 2 −3

3.4.4 O método de eliminação de Gauss
Quando uma redução por linhas é aplicada à matriz ampliada do sistema de equações
lineares, criamos um sistema equivalente (possui a mesma solução) que pode ser resolvido
facilmente por substituição de trás para frente. O processo inteiro é conhecido como
método de eliminação de Gauss ou método de eliminação gaussiana. Vejamos
a seguir como consiste o método.
♦ O Método de Eliminação de Gauss ♦
1. Escreva a matriz ampliada do sistema de equações lineares.
2. Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz ampliada do
sistema à forma escalonada por linhas.
3. Usando substituição de trás para frente, resolva o sistema equivalente que
corresponde à matriz linha-reduzida.
Exemplo 1: Vamos resolver o sistema abaixo, utilizando o método de eliminação de
Gauss: 
x + y + z = 3
2x + 3y + z = 5
x− y − 2z = −5
IFMT - Alta Floresta 48 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
A matriz ampliada do sistema é 
1 1 1
2 3 1
1 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
5
−5

Continuamos o processo reduzindo essa matriz à forma escalonada por linhas:
1 1 1
2 3 1
1 −1 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
5
−5
 L2=L2−2L1L3=L3−L1−−−−−−−→

1 1 1
0 1 −1
0 −2 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−1
−8
 L3=L3+2L1−−−−−−−→

1 1 1
0 1 −1
0 0 −5
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−1
−10

O sistema correspondente a matriz escalonada por linhas é:
x+ y + z = 3
y − z = −1
− 5z = −10
Agora, utilizando substituição de trás para frente, podemos facilmente resolver o sistema
equivalente acima:
−5z = −10⇒ z = 2
y − z = −1⇒ y − 2 = −1⇒ y = 1
x+ y + z = 3⇒ x+ 1 + 2 = 3⇒ x = 0
Portanto, a solução do sistema é: (0, 1, 2), ou seja, x = 0, y = 1 e z = 2.
Vamos verificar se (0, 1, 2) é realmente solução do sistema inicial:
0 + 1 + 2 = 3
2 · 0 + 3 · 1 + 2 = 5
0− 1− 2 · 2 = −5
Exemplo 2: Vamos resolver o sistema abaixo, utilizando o método de eliminação de
Gauss: 
w − x− y + 2z = 1
2w − 2x− y + 3z = 3
−w + x− y = −3
A matriz ampliada do sistema é
1 −1 −1 2
2 −2 −1 3
−1 1 −1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
3
−3

IFMT - Alta Floresta 49 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
que pode ser reduzida por linhas, como a seguir:
1 −1 −1 2
2 −2 −1 3
−1 1 −1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
3
−3
 L2=L2−2L1L3=L3+L1−−−−−−−−→

1 −1 −1 2
0 0 1 −1
0 0 −2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
−2
 L3=L3+2L2−−−−−−−−→
L3=L3+2L2−−−−−−−→

1 −1 −1 2
0 0 1 −1
0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1
0

o sistema associado a matriz reduzida a forma escada é:
w − x− y + 2z = 1y − z = 1
veja que este sistema possui infinitas soluções. Utilizando, para resolver o sistema, substi-
tuição de tráspara frente, e escrevendo as variáveis correspondentes aos elementos líderes
(as variáveis dependentes) em termos das outras variáveis (as variáveis livres),
temos então nesse caso que as variáveis dependentes são w e y, e as variáveis livres x e z,
então:
y = 1 + z
e disso obtemos;
w = 1 + x+ y − 2z
= 1 + x+ (1 + z)− 2z
= 2 + x− z
Portanto, a solução do sistema é da forma (2 + x− z, x, 1 + z, z) com x, z ∈ R.
Nesse caso, como o sistema linear possui infinitas soluções, podemos de antemão querer
saber o número de variáveis livres, a seguir veremos um teorema que nos fornecerá tal
informação.
Foi dito, anteriormente, que a forma escalonada da matriz não é única, porém, o número
de linhas não nulas é sempre o mesmo em qualquer forma escalonada de uma matriz
dada. Sendo assim, faz sentido atribuir um nome a esse número.
Definição 3.4. O posto de uma matriz, que denotaremos por p, é o número
de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas.
No exemplo 1, visto anteriormente, o posto da matriz dos coeficientes é 3, assim como o
posto da matriz ampliada; já no exemplo 2, o posto da matriz dos coeficientes é 2, e o
posto da matriz ampliada também é 2.
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3. Sistemas lineares
A seguir será apresentado o teorema do posto, cuja demostração pode ser consultada em
[6].
Teorema 3.5. (Teorema do Posto) SejaA a matriz dos coeficientes de um sistema
de equações lineares com n incógnitas. Se o sistema for possível, então:
número de variáveis livres = n− p(A)
Assim, pelo teorema do posto, no exemplo 1 apresentado anteriormente, como n = 3 e
p = 3, logo 3 − 3 = 0 variáveis livres (em outras palavras, uma única solução), e, no
exemplo 2, temos que n = 4 e p = 2, logo 4 − 2 = 2 variáveis livres, como havíamos
encontrado.
Exemplo: Vamos resolver o sistema abaixo:
x− y + 2z = 3
x + 2y − z = −3
2y − 2z = 1
Reduzindo a matriz ampliada do sistema à forma escalonada por linhas, obtemos:

1 −1 2
1 2 −1
0 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−3
1
 L2=L2−L1−−−−−−→

1 −1 2
0 3 −3
0 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−6
1
 L2= 13L2−−−−−→
L2= 13L2−−−−−→

1 −1 2
0 1 −1
0 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−2
1
 L3=L3−2L2−−−−−−−→

1 −1 2
0 1 −1
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
3
−2
5

Conduzindo-nos a uma equação impossível 0 = 5 (linha 5). Assim, o sistema não tem
solução - sistema impossível. A seguir, veremos outro importante teorema.
Teorema 3.6. De acordo com o posto e as matrizes ampliada e dos coeficientes de
um sistema temos:
i) Um sistema dem equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto
da matriz ampliada for igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se as duas matrizes (ampliada e dos coeficientes) têm o mesmo posto p e p = n ,
então o sistema terá solução única.
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3. Sistemas lineares
Em cada um dos exemplos seguintes, é dada a matriz reduzida a forma escada da matriz
ampliada de um sistema. Usando a notação

pc = posto da matriz dos coeficientes;
pa = posto da matriz ampliada;
n = número de variáveis;
m = número de equações.
Temos:
Exemplo 1:
1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2
 pc = pa = 3 o sistema admite solução.
Como pc = pa = 3 = n, temos que a solução é única. De fato, x1 = 3, x2 = −2 e x3 = 2.
Exemplo 2:1 0 7 −10
0 1 5 −6
 pc = pa = 2 o sistema admite solução.
Como pc = pa = 2 6= 3 = n, temos que o sistema possui infinitas soluções, com 3− 2 = 1
variável livre. De fato, x1 = −10− 7x3 e x2 = −6− 5x3.
Exemplo 3: 
1 0 7 −10
0 1 5 −6
0 0 0 2
 pc = 2 e pa = 3
Como pc 6= pa, temos que o sistema não admite solução. O sistema é impossível.
Exemplo 3:
1 0 −10 −2 −10
0 1 7 1 4
0 0 0 0 0
 pc = pa = 2 o sistema admite solução.
Como pc = pa = 2 6= 4 = n, temos que o sistema possui infinitas soluções, com 4− 2 = 2
variáveis livres. De fato, x1 = −10 + 10x3 + 3x4 e x2 = 4− 7x3 − x4.
Veremos a seguir outro método direto para a resolução de sistemas de equações lineares,
conhecido como método de eliminação de Gauss-Jordan.
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3. Sistemas lineares
3.4.5 O método de eliminação de Gauss-Jordan
Ométodo de eliminação de Gauss-Jordan, consiste em uma modificação do método
de eliminação de Gauss, visto anteriormente. Esse método simplifica a fase de substituição
de trás para frente. Essa variante, baseia-se em reduzir ainda mais a matriz ampliada de
um sistema, transformando-a em uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas.
Definição 3.7. Uma matriz está na forma escalonada reduzida (por linhas) se
ela satisfaz as seguintes propriedades:
1. Quaisquer linhas que consistem inteiramente em zeros estão na parte inferior
da matriz.
2. O elemento líder em cada linha não nula é igual a 1 (chamado 1 líder).
3. Cada coluna que contém um 1 líder tem zeros em todas as outras posições.
A seguinte matriz está na forma escalonada reduzida:

1 2 0 0 −3 1 0
0 0 1 0 4 −1 0
0 0 0 1 3 −2 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0

Obser
vação
!
Diferen
tement
e do qu
e ocorr
e
com a
forma
escalon
ada po
r
linhas,
a form
a esca
lonada
reduzid
a por
linhas
de um
a
matriz
é únic
a.
No método de eliminação de Gauss-Jordan, procedemos como no método de eliminação
de Gauss, mas reduzimos ainda mais a matriz ampliada do sistema até a forma escalonada
reduzida por linhas.
♦♦ O Método de Eliminação de Gauss-Jordan ♦♦
1. Escreva a matriz ampliada do sistema de equações lineares.
2. Use operações elementares com as linhas para reduzir a matriz ampliada do
sistema à forma escalonada reduzida por linhas.
3. Se o sistema resultante for possível, resolva-o utilizando substituição de trás
para frente.
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3. Sistemas lineares
Exemplo: Consideremos o sistema linear x+ 2y − z = 32x+ 3y + z = 1
vamos resolvê-lo utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan.
Primeiro, partindo da matriz ampliada do sistema, e através das operações elementares,
devemos colocá-la na forma escalonada reduzida por linhas.
 1 2 −1
2 3 1
∣∣∣∣∣∣ 31
 L2=L2−2L1−−−−−−−→
 1 2 −1
0 −1 3
∣∣∣∣∣∣ 3−5
 L1=L1+2L2L2=−L2−−−−−−−→
 1 0 5
0 1 −3
∣∣∣∣∣∣ −75

agora com a matriz ampliada, na forma escalonada reduzida por linhas, temos o seguinte
sistema, que é equivalente ao sistema inicialx + 5z = −7y − 3z = 5
resolvendo o sistema acima (este sistema possui infinitas soluções), temos:
x = −7 + 5z e y = 5 + 3z
Portanto, a solução do sistema são os pares ordenados da forma: (5z − 7, 3z + 5, z), onde
z ∈ R.
3.5 Exercícios
1. Calcule o valor de k para que o par ordenado
(1
2 , k
)
seja uma solução da equação
linear 2x− y = 10.
2. Indique pelo menos uma solução para as equações lineares abaixo:
a) 3x− 6y = 0
b) x+ 2y + 3z = 4
c) 2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 = 5
d) 2x+ 3 = 6y
e) 3x+ 5 = 10
3. Determine o valor dem de modo que o par ordenado (m,m+1) seja solução da equação
x− 2y = 4.
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3. Sistemas lineares
4. Verifique se (2, 0,−3) é solução da equação linear 2x1 + 5x2 + 2x3 = −2.
5. Se os dois sistemas lineares
2x− y = 0x + y = 3 e
mx + ny = −1mx− ny = 1 são equivalentes, os
valores de m e n são, respectivamente:
a) 12 e −1 b) 0 e
1
2 c)
1
2 e 1 d) 0 e −
1
2 e) 1 e −2
6. Uma pequena empresa, especializada em fabricar cintos e bolsas, produz mensalmente
1200 peças. Em um determinado mês, a produção de bolsas foi três vezes maior que a
produção de cintos. Nesse caso, a quantidade de bolsas produzidas nesse mês foi de:
a) 900 b) 750 c) 600 d) 450 e) 300
7. Em uma fazenda há 1.280 animais entre bovinos e ovinos, sendo que a quantidade
de ovinos corresponde à terça parte da quantidade de bovinos. Nestas condições,a
quantidade exata de bovinos e ovinos que há nesta fazenda respectivamente é de:
a) 426 e 854 b) 854 e 426 c) 900 e 300 d) 320 e 960 e) 960 e 320
8. Use operações elementares para reduzir as matrizes abaixo às formas (a) escalonada
por linhas e (b) escalonada reduzida por linhas.
a)
12 6
5 3
 b)

−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1
 c)
1 0
3 1

d)

2 7
4 −1
4 14
 e)

−2 −1 0 2
3 1 −2 −2
−4 −1 2 3
3 1 −1 −2
 f)

−2 −4 7
−3 −6 10
1 2 −3

9. Resolva os sistemas de equações lineares abaixo:
a)
x− y = 5x + y = 1 b)

x + y + z = 0
2x− 3y + 5z = 0
4x + 7y − 3z = 0
c)

x + 2y + 3z = 1
4x− y − z = 3
x + y − z = 6
d)

a + 2b− 3c = 9
2a− b + c = 0
4a− b + c = 4
IFMT - Alta Floresta 55 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
e)

x− y + z = 0
−x + 3y + z = 5
3x + y + 7z = 2
f)

x− 3y − 2z = 0
−x + 2y + z = 0
2x + 4y + 6z = 0
g)

2w + 3x− y + 4z = 0
3w − x + z = 1
3w − 4x + y − z = 2
h)

2a+ b = 3
4a+ b = 7
2a+ 5b = −1
i)

−x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 = 0
2x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = −3
x1 − 3x2 + 4x3 − 8x4 = 2
j)

2x + 4y = 16
5x− 2y = 4
10x− 4y = 3
10. Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de proteína, utilizando milho
triturado, farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que o teor de proteína do
milho seja 10%, do farelo de algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que o
produtor disponha de 120 kg de milho triturado. Calcule as quantidades de farelo de
soja e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa ração.
11. Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar:
xC6H12O6 → yCO2 + zC2H5OH
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as quan-
tidades de átomos de cada elemento químico. Esse processo dá origem ao seguinte
sistema linear: 
6x = y + 2z
12x = 6z
6x = 2y + z
determine o conjunto-solução do sistema.
12. Determine o valor de k para que o sistema abaixo não admita solução:2x+ 3y = 3x+ ky = 1
13. Ao resolver o sistema linear possível e determinado abaixo

x + y + z = 4
2x− y − z = 5
3x + 2y − z = 14
IFMT - Alta Floresta 56 Rogério Matos
3. Sistemas lineares
encontramos como solução a tripla ordenada (a, b, c). O valor de a é:
a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) -1
“Não
há sa
ber
mais
ou s
aber
men
os: H
á sab
eres
difer
ente
s”
P
a
u
l
o
F
r
e
i
r
e
IFMT - Alta Floresta 57 Rogério Matos
Referências Bibliográficas
[1] BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3a edição. São Paulo: Harper & Row do
Brasil, 1980. 409p.
[2] DANTE, L. R. Matemática, volume único. 1a edição. São Paulo: Ática, 2005.
504p.
[3] IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, 4: sequên-
cias, matrizes, determinantes e sistemas. 8a edição. São Paulo: Atual, 2013.
[4] LAY, D. C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: JC, 1999.
[5] LEON, S. J. Álgebra Linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1998.
[6] POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 690p.
58
	Matrizes
	Introdução
	Noção de Matriz
	Notação geral
	Igualdade de matrizes
	Tipos especiais de matrizes
	Operações com matrizes
	Matriz Transposta
	Adição de matrizes
	Subtração de matrizes
	Multiplicação de uma matriz por um escalar (número)
	Multiplicação de Matrizes
	1.6 Exercícios
	Determinante de uma matriz
	Determinante
	Determinante de ordem 2
	Determinante de ordem 3
	Menor complementar e complemento algébrico
	Teorema fundamental (de Laplace)
	Propriedades dos determinantes
	Matriz Inversa
	Definição
	Cálculo da matriz inversa através do determinante
	2.6 Exercícios
	Sistemas lineares
	Introdução
	Sistema de equações lineares
	Solução de um sistema linear
	Classificação de um sistema linear
	Sistema linear homogêneo
	Sistemas e Matrizes
	Teorema de Cramer
	Métodos diretos de resolução de sistemas lineares
	As matrizes e a forma escalonada
	Sistemas equivalentes
	Operações elementares
	O método de eliminação de Gauss
	O método de eliminação de Gauss-Jordan
	3.5 Exercícios
	4 Referências Bibliográficas