Lista 2 MAT1

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UFRRJ – Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 
DEMAT – Departamento de Matemática 
Lista de matemática I 
Tópicos: Derivação implícita, Função logaritmo, taxa de variação e análise marginal 
Professor Alan Freitas 
 
1-)Determine 
dx
dy
 das curvas abaixo, por derivação implícita: 
a) xyyx =+ 33 b-) ( ) xyyx 23 522 =+ 
 
2-) Determine a equação de uma reta que seja tangente à curva dada no ponto 
especificado: 
a) ( ) 71 3 +=+− xyx ; no ponto P=(1;2) 
b) ( ) 6422 232 +=+ xyyx ; no ponto P=(0;2) 
 
3-)Esboce o gráfico da seguinte função ( ) ( ) 11ln +−= xxf 
 
4-)Utilize as propriedades de Logaritmo para simplificar as expressões abaixo: 
a-) ( )342log yx b-) 3 2ln xx − c-) ( ) 






++
−
1
3ln
2
2 32
xx
xx
 d-) ( )22ln xex − e-) 





+ 2
11ln
xx
 
5-)Determine o valor de x nas equações abaixo: 
a-) 534 =x b-) ( ) 212log3 =−x c-) xe 4523 −+= d-) ( )2ln216ln3
1ln +=x 
6-)Calcule a derivada da função dada: 
a-) ( ) xxexf ln+= d-) ( ) ( )3ln xxf = 
b-) ( ) x
xe
xf
x
ln
+
=
 
e-) ( ) 





−
+
=
1
1ln
x
x
xf 
 
7-)O responsável pelos livros de matemática de uma grande editora estima que se x mil 
exemplares fores distribuidos gratuitamente aos professores, um novo livro-texto 
venderá ( ) xexf 2,01520 −−= mil exemplares no primeiro ano. No momento, a intenção 
é distribuir 10.000 exemplares gratuitos. 
a-)Use os métodos de análise marginal para estimar o aumento das vendas no primeiro 
ano se, além, dos 10.000, mais 1.000 exemplares forem distribuidos. 
b-)Calcule qual será o aumento real das vendas no primeiro ano se mais 1.000 
exemplares forem distribuidos. A estimativa no item (a) é boa? 
 
8-)Uma organização internacional determina que o número de membros sobreviventes 
de uma espécie ameaçada de extinção t anos após ser lançada uma política de proteção 
pode ser modelado pela função: 
( )
te
tN 02,031
600
−+
= 
a-)Qual é a taxa de variação da população no instante t? 
b-)Para que valores de t a taxa de variação da população é crescente?Para que valores é 
decrescente?Interprete os resultados. 
 
9-)O gerente de uma empresa que fabrica calculadoras cientificas determina que, 
quando x mil calculadoras são produzidas, são todas vendidas quando o preço unitário é 
: 
( )
83,0
000.1
2 +
=
x
xp 
reais. 
a-)Com que taxa a demanda p(x) está variando em relação ao nível de produção x 
quando 3.000 calculadoras(x=3)são fabricadas? 
b-)A receita obtida com a venda de x mil calculadoras é R(x)=xp(x) mil reais. Com que 
taxa a receita está variando quando são produzidas 3.000 calculadoras?Para este nível 
de produção, a receita está aumentando ou diminuindo? 
 
10-)Uma empresa fabrica um drive de DVD para computadores pessoais.O gerente de 
vendas verifica que, t semanas após o inicio de uma campanha publicitária, P(t) por 
cento de mercado em potencial já conhecem o produto, onde 
( ) 





++
++
=
3010
55100 2
2
tt
tt
tp 
A que taxa a porcentagem do mercado P(t) está variando com o tempo após 5 
semanas?A porcentagem está aumentando ou diminuindo? 
 
11-)Um estudo encomendado por uma grande cidade revela que os investimentos em 
controle da poluição são eficazes apenas até um certo ponto. Suponha que se saiba que 
quando o gasto é de x milhões de reais, a porcentagem de decréscimo da poluição é 
dada por: 
( )
903,0
100
2 +
=
x
x
xp 
a-)A que taxa a porcentagem de decréscimo da poluição P(x) está variando quando 16 
milhões de reais são investidos?A porcentagem está aumentando ou diminuindo para 
este nível de gastos? 
b-)Para que valores de x a porcentagem de P(x) está aumentando?Para que valores está 
diminuindo? 
 
12-)Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela 
que os operários que chegam ao trabalho às 8 h produziram, em média, 
( ) ttttQ 158 23 ++−= unidades t horas mais tarde. 
a-)Calcule a taxa de produção dos operários 
b-)Com que taxa a taxa de produção dos operários está variando com o tempo às 9 h? 
 
13-)Um estudo realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um 
operário que chegou ao trabalho às 8h montou, em média, ( ) xxxxf 156 23 ++−= 
aparelhos de rádio x horas mais tarde.Quantos rádios são montados, em média, por um 
operário entre 9h e 9h e 15 min? 
 
14-)Em uma certa fábrica, a produção diária é 3121000.3 LKQ = unidades, onde K é o 
capital imobilizado da empresa em milhares de reais e L é a mão-de-obra em homens-
horas por dia.No momento, o capital imobilizado é R$400.000,00 e a mão de obra é de 
1.331 homens-horas por dia.Use os métodos de análise marginal para estimar o efeito 
sobre a produção diária de um aumento de R$1.000,00 no capital imobilizado, 
mantendo constante a mão-de-obra. 
 
15-)Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse 
em fabricar x unidades, onde: 
123 22 =− xp 
 Qual é a taxa de variação da oferta se o preço unitário é R$4,00 e está aumentando à 
taxa de 87 centavos por mês?