1 Bim 2014 Conversão e TRAFOS

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Conversão Eletromecânica de Energia
Notas de Aula
prof. David Calhau Jorge
2000
Índice
1−Fundamentos do indutor...............................................................................................................3
2−Variáveis de estado e variáveis de vínculo....................................................................................4
3−Energia magnética armazenada.....................................................................................................6
4−Co−energia magnética armazenada...............................................................................................8
5−Indutor linear................................................................................................................................9
6−Indutor não linear.......................................................................................................................10
7−Circuito magnético do indutor....................................................................................................11
8−Operação em C.A. e perdas por histerese e Foucault..................................................................13
9−Fator de laminação.....................................................................................................................14
10−Frangeamento...........................................................................................................................15
11−Indutor linearizado...................................................................................................................16
12−Indutor polarizado....................................................................................................................18
13−Indutância em elementos de diferentes geometrias...................................................................21
Exercícios − Primeira parte............................................................................................................22
14−Indutância mútua......................................................................................................................23
15−Análise de um circuito acoplado magneticamente.....................................................................25
15.1−Regra do ponto..................................................................................................................26
15.2−Substituição por um circuito acoplado eletricamente.........................................................27
16−Transformadores.......................................................................................................................28
16.1−Circuito equivalente do transformador...............................................................................29
16.2−Determinação dos parâmetros do circuito equivalente de um transformador......................30
16.3−Perdas no transformador....................................................................................................31
17−Autotransformadores................................................................................................................33
18−Transformadores 3 f ..................................................................................................................34
19−Rendimento de um transformador.............................................................................................35
20−Regras para Operação de transformadores em paralelo.............................................................36
21−Transdutores.............................................................................................................................37
22−Reator Saturável.......................................................................................................................38
Exercícios − Segunda parte............................................................................................................39
Bibliografia....................................................................................................................................40
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 3
1−Fundamentos do indutor
Dispositivos conversores de energia são dispositivos que armazenam energia sob uma forma
e posteriormente podem fornecê−la sob outra forma. Nos conversores eletromecânicos de energia
sob forma elétrica, magnética e mecânica.
O indutor é um dispositivo que armazena energia sob a forma magnética. O indutor é
composto basicamente por uma bobina enrolada sobre um núcleo, o núcleo é na maioria das vezes
composto por um material ferromagnético, porém pode ser composto por outros materiais ou
mesmo ar. Quando uma bobina é percorrida por uma corrente elétrica (I) nos enrolamentos da
bobina o indutor terá em seu núcleo o surgimento de um fluxo magnético ( f ). A representação
esquemática do indutor, que será utilizada nestas notas está apresentada na fig. 01 a seguir.
Figura 01 − Representação de um indutor.
Os parâmetros que caracterizam o indutor são:
a) geometria do circuito magnético;
b) composição e construção do núcleo;
c) número de espiras da bobina (n);
d) resistência do fio (r);
e) comprimento médio do núcleo (l);
f) seção reta do núcleo magnético (s).
Sempre que uma corrente i percorre a bobina será estabelecido um fluxo magnético
concatenado ( l ) resultante da soma do fluxo produzido pelo conjunto de todas as bobinas do
enrolamento:
��� �
k � 1
n �
k Weber � espira
(1)
onde f K é o fluxo concatenado com a k−ésima espira [Weber].
Para se determinar o sentido do fluxo magnético induzido utiliza−se a regra da mão direita:
tomando−se a mão direita fecham−se os dedos no sentido que a corrente percorre os enrolamentos
do indutor, o dedo indicador apontará para o sentido do fluxo magnético em questão (vide a figura
01 como referência).
A primeira hipótese simplificadora é:
�
k
�
�
para qualquer K
então
���
n �
�
(2)
I
f
L
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2−Variáveis de estado e variáveis de vínculo
Variável de estado é qualquer variável que univocamente, caracteriza o estado de excitação
em que se encontra o indutor. Portanto a cada estado do dispositivo corresponde um único valor de
suas variáveis de estado, não importando a maneira como o sistema atingiu aquele ponto.
Inversamente a cada conjunto de valores de suas variáveis de estado correspondem um único
estado.
O estado de excitação magnética do núcleo do indutor é caracterizada pelo fluxo f , não 
����� i ou i � i �
(4)
irá depender do número de espiras, geometria do núcleo e da característica magnética do núcleo do
material.
Tem−se que:
�
�
	
S
B � dS
(5)
onde S é a seção do indutor.
Pode−se considerar (de forma razoável) que B possua um valor constante ao longo de toda a
seção do indutor, então:
�
� B � S (6)
temos de (2):
���
n � B � S (7)
Porém da lei de circuito de Ampère tem−se que:
�
l
H � dl � n � i
(8)
onde H é a intensidade de campo magnético fornecido em Ampère−espira por metro [Ae/m].
Supondo:
H � l � n � i tem � se i � H � l
n
(9)
Como B e H estão interligados por uma relação funcional, conhecida por curva característica do
material do núcleo. As equações (7) e (8) mostram existir um vínculo entre as características do
indutor, pois existe um vínculo entre i e l , fig. 02.
v
i
l
Variáveis de estado
Variáveis de vínculo
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Figura 02 − Curvas características do indutor.
Na realidade porém os materiais magnéticos exibem uma relação complexa entre a indução
magnética B e a intensidade de campo aplicada H. De fato B além de depender do valor de H
depende do modo pelo qual este valor foi atingido. Não é possível, portanto, simplesmente definir
uma característica doindutor.
Devido a histerese, para um dado ciclo, B possui dois valores para cada valor de H, um
quando H aumenta e outro quando H diminui. A curva característica tem a forma de um laço (laço
de histerese); podendo existir laços simétricos e laços não simétricos, fig. 03.
histerese simétrica histerese não simétrica
Figura 03 − Laços de histerese.
Utiliza−se como hipótese que as perdas por histerese são desprezíveis e a característica do
indutor é fornecida pela curva “média” do material, fig. 02.
H
B
i
l
H
B
H
B
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3−Energia magnética armazenada
Supondo um estado inicial de não excitação em um indutor, isto é i=0 e l =0. Caso um novo
estado seja desejado, com um par de valores ( l ,i), para tal será utilizada uma fonte de corrente. A
lei de Ohm para o circuito constituído é:
v t
� R � i t 
d � t
dt
multiplicando � se por i t � dt tem � se:
i t � v t � dt � R � i2 t d t 
 i t � d � t
onde:
i t � v t � P � potência fornecida
i t � v t � dt � potênciaentregue em dt
R � i2 t � dt � perda por efeito Joule na bobinaem dt � 0
logo:
v � i � dt � R � i2 � i � d �
fazendo: d �
m
�
v � i � dt � R � i2
tem � se: d �
m
� i � d �
de umestado1 para umestado 2: ���
m 12
�
	
1
2
d �
m
�
	
1
2
i � d �
comoexiste uma relaçãoi � i �
���
m 12
��	 �
1
�
2
i � � d �
Se ao passar de 1 para 2 a corrente aumenta de i1 para i2, e o fluxo concatenado crescerá de l 1 para
l 2, a energia cedida pela fonte será a apresentada na fig. 04.
Figura 04 − Determinação da energia magnética armazenada.
Se a corrente retornar de i2 para i1 (e ocorrer o retorno de l 2 para l 1) então a fonte irá receber
energia.
i
l
i 1 i 2
l
1
l
2
( D w
m
) 12
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O princípio de conservação de energia leva a afirmar que a energia ( D w m)12 foi armazenada
no indutor, pois poderá ser extraída posteriormente, obviamente ocorrem as perdas que serão
desprezadas nestes primeiros estudos.
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4−Co−energia magnética armazenada
Como citado a energia magnética armazenada w m é função de l e, para sua determinação
deve−se conhecer a característica sob a forma i=i( l ).
Há casos onde se conhece l (i) e a inversão i( l ) é analiticamente impossível. Um exemplo é
a função de l como um polinômio de alto grau em i (por exemplo l =2.i5+6.i3−2.i2+7.i−5). Neste
caso é preferível obter a energia armazenada através de uma outra função de estado associada,
denominada co−energia magnética:
d �
m
� i � d ��� d i � � � � � di
portanto:
d i � � ���
m
���
� di
Define � se co � energia magnética �
cm
como:
�
cm
� i � � ���
m
então:
d �
cm
���
� di
tem � se:
�
cm
�
	
0
i
� i � di
E é função de estado, aqui caracterizado pela variável i. A co−energia magnética é calculada
através de l quando se conhece l (i), vide fig. 05.
Figura 05 − Determinação da co−energia magnética armazenada.
Uma vez calculada a co−energia w cm(i) a energia magnética armazenada é w m(i)=i. l (i)−
w cm(i). Que resultará aqui como uma função de i.
Deste modo o problema da inversão da função l = l (i) é contornado.
A corrente i é geralmente mais conveniente que l como variável independente. Portanto o
uso de co−energia é mais comum. Tem−se também que:
� i �
d �
cm
i
di
i
l
i1 i 2
l
1
l
2
( D w ’
cm
)12
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5−Indutor linear
Utilizar o ar como núcleo, ou um núcleo com características lineares permite a relação:
��� L � i
onde L é a indutância própria, com valor constante, como tem−se que:
i �
�
L
pode−se tomar l ou i como variável independentes.
d �
di
� L �
�
i
v
�
d �
dt
� d L � i
dt
� L di
dt
A energia magnética armazenada será:
( )
( )
2
2
:que se− temicurva a Observando
 pois ; 
22
:se− temcaso Neste
2
:serámagnética energia −coa e
2
:portanto
2
mm
2
mm
22
m
2
m
0 0
m
2
m
00
iL
iLiLii
iLiL
L
iL
iiLii
L
L
i
i i
m
×
=¢=
×
-××=¢-×=
·
×=
×
=
×
=
×
=¢
¢
¶×
¢
×=¢¶×¢=¢
×
=
¢
¶×
¢
=¢¶¢=
ò ò
òò
ww
wlw
l
l
l
w
w
lw
l
w
l
l
llw
ll
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6−Indutor não linear
Na fig. 06 tem−se a representação de uma curva típica de característica l · i de um material
ferromagnético.
Figura 06 − Curva característica de um indutor não linear.
Pode−se representar a curva por uma aproximação finita de uma séria de potências, como
por exemplo:
i � � a � � 
 b � � 3 
 c � � 5
tem � se então:
�
m
�
	
0
�
i � � d ��� 	
0
�
a �
�
 b � � 3 
 c � � 5 � d �
�
m
�
a �
� 2
2
b � � 4
4
c �
� 6
6
 constante
A co−energia não pode ser calculada diretamente porém se for utilizada a relação:
Nota−se que a energia e a co−energia são diferentes. Este é um caso onde se é forçado a
utilizar l como variável independente, evitando−se dificuldades analíticas.
i
l
i 1 i 2
l
2
l
1
( D w ’
cm
) 12
( D w
m
) 12
�
m
’ � i � � ���
m
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7−Circuito magnético do indutor
Os indutores não lineares merecem um estudo destacado. A cause da não linearidade destes
é a presença de um núcleo ferromagnético, utilizado para aumentar o fluxo concatenado por
unidade de corrente, obtendo−se um dispositivo de menores dimensões, consequentemente mais
barato.
É conveniente relacionar a indutância com as dimensões geométricas e as propriedades dos
materiais, então (7) e (8):
lH
SBn
n
lH
n
i
L
×
××
=
×
×
==
2
fl
A relação entre a indução B e a intensidade de campo magnética H é:
HB ×= m
onde:
B [Weber/m2] onde 1 Weber=108 linhas de campo magnético
H [A.espira/m]
m é a permeabilidade, uma propriedade do material. Em unidades mks a permeabilidade no vácuo é
m 0=4. p .10−7 [Weber/(A.m)]. A permeabilidade de materiais ferromagnéticos é expressa por m r, cujo
valor é relativo ao vácuo, tem−se então m = m r. m 0. Valores típicos de m r estão entre 2000 e 6000.
Tem−se então:
P
1
 que finalmente temose
relutância de chamadoserá 
 onde 
ou
permeância de chamadoserá P
 onde 
:fazendo
2
2
2
=´
´
×
=´
´
=
×
=×=
××
=
S
lnL
l
SPPnL
l
SnL
m
m
m
Para otimizar os estudos mais complexos de geometria do núcleo é conveniente decompor o
caminho magnético em trechos nos quais o vetor de indução B pode ser considerado independente
da posição, compondo e combinando a contribuição de cada trecho. Tal objetivo é atingido
realizando uma analogia entre o circuito magnético e o circuito elétrico.
Temos que:
I
v
r
inin
L
n
=
`
`
=
×
=´
×
==´
:Ohm de leia análogo
rizmagnetomotforça a ecorrespond onde ou 
22
ffl
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Resumindo:
Grandezas magnéticas Grandezas elétricas correspondentes
S
l
×=´
m
1
(relutância) s
l
r ×=
s
1
(resistência)
´
=
1P
(permeância) r
G 1=
(condutância)
f×´=`
×=` in
(força magnetomotriz − fmm)
Irv ×= (força eletromotriz)
f (fluxo magnético) I (corrente elétrica)
m (permeabilidade) s (condutividade)
A passagem docircuito magnético obtido para um circuito elétrico tomará a forma
apresentada na fig. 07.
Figura 07 − Analogia entre o circuito elétrico e o circuito magnético de um indutor
As condições para utilizar os circuitos ferromagnéticos estudados:
a) As dimensões devem ser tais que a densidade de fluxo magnético pode ser considerada constante.
Portanto:
AB ×=f
onde A é a área da seção em questão.
b) A longitude média da trajetória pode ser utilizada em todos os cálculos.
c) Tem−se a fmm como:
lHin ×=×=`
d) pode−se afirmar que em uma bifurcação a soma dos fluxos magnéticos é zero, analogamente a
lei de Kirchhoff para circuitos elétricos, vide fig. 08.
Figura 08 − Bifurcação em um indutor.
i
f
equivalente
elétrico
V
f
`
´
f
1
f
2f 3
P
em P tem−se que:
f
1=
f
2+
f
3
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8−Operação em C.A. e perdas por histerese e Foucault
Se a fmm é do tipo C.A., então a área da curva B· H, na fig. 09, é proporcional à perda de
energia (em calor) por ciclo; esta perda de energia é conhecida como perda por histerese.
Figura 09 − Perdas por histerese.
As correntes parasitas, induzidas no material do núcleo, conhecidas como correntes de
Foucault, constituem uma outra característica da operação de um circuito magnético quando ele
está excitado por uma bobina percorrida por uma C.A.. As perdas devido a histerese e correntes de
Foucault, são determinadas aproximadamente pelas equações:
Perdas por corrente de Foucault:
P
e
� K
e
� f 2 � B
m
2 W � kg
Perdas por histerese:
Ph
� Kh � f � Bm1,5 � 2,5 W � kg
onde:
Bm Þ Densidade de fluxo magnético máxima.
f Þ freqüência em C.A..
Ke Þ constante, dependente da condutividade e espessura do material.
Kh Þ constante de proporcionalidade.
B
H
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9−Fator de laminação
Ao se aplicar uma tensão alternada em um enrolamento, o mesmo reage com uma fem
alternada, porém no núcleo irá surgir também um fluxo e uma densidade de fluxo alternados, esse
fluxo alternado causa o surgimento de corrente elétrica no próprio núcleo, com conseqüentes perdas
por efeito Joule.
Para reduzir as perdas por correntes de Foucault, o núcleo deve ser constituído de um
material de maior resistência (costuma−se incluir o silício nos aço−carbono para tal finalidade) e
deve ser constituído de lâminas, ou finas chapas com uma finíssima camada de isolante entre elas.
As lâminas deverão ser orientadas paralelamente a direção do fluxo, vide fig. 10.
Figura 10 − Núcleo laminado de um indutor
A perda por corrente de Foucault é aproximadamente proporcional ao quadrado da
espessura da laminação, a qual varia entre 0,5 a 5 mm. Laminando−se o núcleo aumenta−se seu
volume. A razão do volume realmente ocupado pelo material magnético para o volume total do
núcleo é conhecido por fator de laminação (ou empilhamento). A seguir uma tabela aponta uma
relação entre o fator de laminação e a espessura da laminação, onde o fator de laminação influi
diretamente na densidade do fluxo magnético através da equação:
B
novo
�
B
anterior
fator de laminação
Espessura da laminação Fator de laminação
0,0127 mm 0,50
0,0254 mm 0,75
0,0508mm 0,85
0,10 a 0,25 mm 0,90
0,27 a 0,36 mm 0,95
f
i
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10−Frangeamento
São as linhas de fluxo que surgem ao longo das quinas das partes magnéticas, separadas pelo
ar, vide fig. 11. As perdas devido ao frangeamento são inevitáveis, podendo ser minimizadas
através da otimização das separações de ar.
Figura 10 − Exemplo de frangeamento em um núcleo.
frangeamento
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11−Indutor linearizado
Em muitas aplicações é desejável o comportamento linear do indutor. Como na maioria dos
indutores é utilizado um núcleo ferromagnético, para tal transformador pode ser necessário a
utilização de um material de alta permeabilidade magnética, visando linearizar a curva de histerese.
A utilização de um entreferro de ar permite que seja possível a linearização do indutor, vide fig. 11.
Figura 11 − Indutor linearizado, através de entreferro de ar.
Na realidade há perdas devido ao efeito de frangeamento no entreferro, a determinação do
fluxo magnético com precisão deveria ser realizado com a utilização do método dos elementos
finitos, porém para simplificar, caso a seção de entreferro seja menor que 5% do comprimento total
do núcleo apenas é somado o valor do comprimento do entreferro as suas dimensões, supondo:
Sc − área da seção transversal do núcleo ferromagnético.
Sg − área do entreferro de ar.
Lg − indutância do entreferro.
Lc − indutância do núcleo ferromagnético.
lg − comprimento médio do entreferro.
lc − comprimento médio do núcleo ferromagnético.
m c − permeabilidade do núcleo.
m 0 − permeabilidade do ar.
Tem−se:
S
c
�
a � b
S g
�
a 
 l g � b 
 l g
Tomando−se o circuito equivalente:
L �
L
c
� L g
L
c
 L g
� L g
1
1 
L g
L
c
supondo � �
L g
L
c
�ff� g
� c
�fffi o
fi c
�
l
c
l g
�
S g
S
c
supondo S g
� S
c
tem � se:
L
c
l g
� 100
lg
l
c
i
f
`
F
c
Fg
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Como a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos se encontra entre 2000 a 4000 vezes a do ar:
2000 fl fi c
fi o
fl 4000
Se o comprimento lg for menor que 5% da menor aresta da seção do núcleo, tem−se uma
linearidade do fluxo e a indutância total estará:
L g
1,0500
fl L fl
L g
1,025
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12−Indutor polarizado
A permeabilidade constante em materiais magnéticos não é aceitável, deve−se utilizar uma
curva B · H. Como:
lHin
BSnn
×=×=`
××=×= fl
A partir de B · H uma outra curva l · i pode ser encontrada.
lineares indutores em apenas Þ=
i
L l
Utiliza−se uma indutância incremental L
D
 para os estudos, observando:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
i
i
iL
t
i
i
i
t
i
tv
t
t
tv
·
¶
¶
=
¶
¶
×
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
D
l
l
ll
l
curva à eda tangent inclinaçãoa é
 :então e
A introdução de um entreferro adequado no núcleo magnético atenua a diminuição de L
D
.
Com a introdução de um entreferro ocorre uma diminuição na saturação C.C. e um aumento da
permeabilidade incremental, porém ocorre a diminuição da indutância do elemento.
Pode−se analisar o circuito apresentado com o entreferro (fig. 11) sob a forma de indutor,
tem−se então a fig. 12.
�
c
���
g
���
como:
��� L g � i g
porém:i g
� I � i
c
então: ��� L g I � i c
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Figura 12 − Curvas características l · i de um indutor com entreferro
A fig. 11 (a) mostra que os valores de L
D
quando ic=I seriam muito pequenos. Pode−se no entanto
sobrepor as duas curvas características, bastando inverter o sentido da escala do indutor linear, vide
fig. 13.
Figura 13 − Ponto de operação do indutor com entreferro de ar.
O ponto de operação ( l ,ic) do indutor Lc deve pertencer a curva l c · ic, tem−se:
Caso não existisse um entreferro o valor de ic=I e a indutância incremental seria L
D
, com a presença
do entreferro ic=I’ com L’
D
como indutância incremental no ponto de operação. A interseção do
eixo de corrente ic não depende de lg, pois a corrente I é função da carga. Porém a interseção da reta
com o eixo l c é inversamente proporcional a lg:
g
g l
SnL ××= 0
2
m
lc
lg
I
ic
ig=I−ic
l c
l g
ic ig
L
D(sem entreferro)
ic=I
Curva de magnetização do núcleo ferromagnético
(a)
Curva de magnetização do entreferro
(b)
l =Lgig
ic=I’
(ponto de operação)
icfi ‹ ig
ic=i
ig=(I−ic)
l c
l g
L
D
=d l /d i
L’
D
=d l /d i
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Aumentando−se o entreferro, L’
D
aumenta, enquanto Lg, que está em paralelo, diminui. Existe então
um valor ótimo para o comprimento lg do entreferro. A indutância a ser maximizada é a incremental
L da associação em paralelo:
gLLL
111
+
¢
=
D
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13−Indutância em elementos de diferentes geometrias
Solenóide longo:
[ ]
[ ]2
2
mWb
l
INB
H
l
ANL
××
=
××
=
m
m
Solenóide curto:
[ ]
[ ]2
22
22
2
4
4
mWb
al
IN
B
H
al
ANL
×+
××
=
×+
××
=
m
m
Figura 14 − Solenóide com núcleo ferromagnético.
Loop simples:
[ ] raio. o éa onde 
2
2
HaNL ××= m
Toróide:
Caso o raio seja muito maior que o raio dos enrolamentos:
[ ] toróide.do médio raio o ér e núcleo do raio o éa onde 
2
2
H
r
aNL
×
××
=
m
Figura 15 − Indutor toroidal.
Caso não ocorra esta situação deverá ser realizado um estudo detalhado do indutor.
 I
fa
r
I
f
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 22
Exercícios − Primeira parte
Questão 01
Cite e explique ao menos duas perdas que ocorrem em indutores.
Questão 02
Supondo a equação de um indutor:
0 fl i fl 2 � ��� i2 
 3i
2 ffi i fl�� � ��� i
20
 10
a)Esboce a curva característica � x i deste indutor.
b)Determine a energia e a coenergia deste indutor se a corrente for elevada de 1 a 3 Amperes.
Questão 03
Sendo um indutor como o abaixo:
Onde:
N=100 espiras
ln=25 cm (Comprimento médio do material ferromagnético)
m r=4000 (para o material utilizado no núcleo)
B=2,0 weber/m2 (em todo o componente)
An=5 cm2 (área da seção do núcleo)
Despreze todas as variações não citadas
a)Desenhe o equivalente elétrico do indutor, com os respectivos valores dos componentes.
b)Calcule o valor da corrente que está percorrendo os enrolamentos deste indutor.
c)Supondo que a corrente que percorre os enrolamentos do indutor seja metade do valor
observado em (b) quantas espiras deverá possuir o núcleo para que o indutor continue com uma
densidade de fluxo de 2,0 weber/m2 ? Que conclusões pode−se ter com esta situação?
Questão 04
Supondo que no problema anterior seja introduzido um gap de ar de 0,1mm. Suponha que
se deseja neste gap uma densidade de fluxo de 0,8weber/m2, qual deverá ser a corrente que irá
percorrer o enrolamento?
Questão 05
Supondo um cilindro com 10cm de comprimento e um raio de 2cm:
a) Qual será o valor da indutância deste componente caso ele possua um enrolamento com
200 espiras?
b) Efetue os cálculos do item (a) supondo que o componente teve seu número de espiras
reduzido pela metade e ao mesmo tempo dobrado seu raio.
Questão 06
Suponha um indutor com um núcleo no formato toroidal com seção reta retangular, sendo o
diâmetro médio muito maior que a espessura do núcleo na direção radial, obtendo uma densidade
de fluxo no núcleo uniforme, qual será o valor da indutância deste componente?
I
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 23
14−Indutância mútua
Em uma bobina com N espiras tem−se:
I
NL
t
IL
t
N
t
IL
t
Nv
¶
¶
=Þ
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
=
fff
 então 
O termo N¶ f é o “fluxo de ligação.
Caso próximo a bobina de um indutor se encontre uma outra bobina, é possível ocorrer a
transferência de energia entre as mesmas. Há um acoplamento magnético entre elas e é possível
determinar o surgimento de uma indutância mútua. Supondo a fig. 16, onde é possível observar a
presença de um fluxo magnético produzido pela bobina 1, nota−se que parte deste fluxo magnético
abrange a bobina 2 ( f 12) e o restante é perdido na dispersão ( f 11), tem−se que ! 1
�
! 11 
 ! 12 .
Figura 16 − Esquema fundamental de um transformador.
Pela lei de Faraday tem−se que:
como o valor de f 12 está relacionado a I1 de forma proporcional, pode−se dizer que:
v2 �
dI1
dt
� v2
� M
dI1
dt
Onde o valor de M é conhecido como mútua entre as duas bobinas, com unidade em Henry [H],
semelhante a unidade já utilizada em indutâncias.
Tem−se que:
v2
� N 2
d
�
12
dt
� M
dI1
dt
M � N 2
d
�
12
dI1
Esta equação é valida para uma situação onde um par de bobinas se encontra enrolado em um
núcleo ferromagnético, caso o núcleo em questão seja o ar, a equação seria:
M � N 2
�
12
I1
Esta análise é bilateral, e a mesma análise poderia ser realizada observando o lado 2 do esquema
proposto.
A fração do fluxo total que abrange as duas bobinas chama−se coeficiente de acoplamento
K. Tem−se que: K
�
�
12
�
1
�
�
21
�
2
v2
�
N 2 � d
�
12
dt
f
11
f
12
I 1
N1
I2
N2
V1 V2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 24
Como f 12 £ f 1 e f 21 £ f 2 Þ K£ 1.
Pode−se então realizar a analogia apresentada a seguir:
M 2 �
N 2 �
�
12
I1
�
N 1 �
�
21
I2
�
N 2 � K �
�
1
I1
�
N 1 � K �
�
2
I2
� K2
N 1 �
�
1
I1
�
N 2 �
�
2
I2
como L1
� N 1
�
1
I1
e L2
� N 2
�
2
I2
M 2 � K2 � L1 � L2 � M
� K � L1 � L2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 25
15−Análise de um circuito acoplado magneticamente
Durante a operação de um indutor presente em um entreferro, as linhas de fluxo podem ser
aproveitadas em um outro setor do indutor. Pode−se inicialmente supor que existam duas fontes de
alimentação que irão contribuir com 2 fluxos f 1 e f 2 sendo possível representar esta situação na fig.
17 apresentada a seguir. Existe a presença de uma indutância mútua (M) entre as duas bobinas
envolvidas.
Figura 17 − Diagrama fundamental de um transformador
Observando o circuito da fig. 17 tem−se que:
2
12
222
1
21
111
v
t
IM
t
ILIR
v
t
IM
t
ILIR
=
¶
¶
-
¶
¶
+×
=
¶
¶
-
¶
¶
+×
ou:
( )
( )
þ
ý
ü
=×-+
=×-+
21222
12111
vIMjILjR
vIMjILjR
ww
ww
Figura 18 − Exemplo da operação do secundário de um transformador
Supondo a fig. 18, pela Lei de Lenz a polaridade é tal que, se a chave 1 for fechada,
circulará pela bobina uma corrente que crie um fluxo que se oponha ao fluxo principal proveniente
de I1.
Tem−se que:
v1
v2L1 L2
M
R1
R2f 1 f 2
I1
I2
v1
L1 L2
M
R1
R2f 12 f 21
I1
chave 
1
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 26
( ) 2221 ILjRIMj ww +=×
No secundário o circuito equivalente poderia ser representado pela fig. 19.
Figura 19 − Representação do secundário do transformador apresentado na fig. 18.
15.1−Regra do ponto
Para simplificar a representação dos circuitos acoplados utiliza−se a chamada “regra dos
pontos”. Coloca−se um ponto nos terminais da bobina que sejam instantaneamente da mesma
polaridade, em vista da indutância mútua. Para tal procedimento escolhe−se um sentido para a
corrente em um dos terminais da bobina e coloca−se o ponto no terminal onde a corrente penetra o
enrolamento, este é instantaneamente positivo. Aplica−se a regra da mão direita para determinar o
fluxo na segunda bobina e a corrente, coloca−se o ponto onde a corrente deixa a bobina. Uma vez
identificados os pontos não há mais necessidade de incluir o núcleo no circuito.
Figura 20 − Exemplo da utilização da regra dos pontos.Para a fig. 20 o equacionamento seria:
œ
ß
ø
Œ
º
Ø
=
œ
ß
ø
Œ
º
Ø
œ
ß
ø
Œ
º
Ø
-
-
î
í
ì
=×-
=×-
0
ou
0
1
2
1
22
11
1222
12111
v
I
I
ZMj
MjZ
IMjIZ
vIMjIZ
w
w
w
w
R 2
I2
j w L2
j w M.
I
1
I1
I2
f
12
f
21
I 2I 1
V1
jw M
Z11
Z22
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 27
15.2−Substituição por um circuito acoplado eletricamente
É possível substituir na análise de circuitos elétricos um circuito acoplado magneticamente
por um circuito acoplado eletricamente, porém este circuito pode não ser fisicamente realizável,
tome−se como exemplo a fig.21.
Eletricamente:
Figura 21 − Representação elétrica de um circuito acoplado magneticamente.
Nota−se que na fig.21 a indutância própria de cada elemento é organizada em função da
indutância mútua presente no circuito, para determinar o sinal que deverá ser utilizado basta utilizar
a regra dos pontos:
− Se ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acoplados pelos terminais
que tem o ponto, os sinais em termos de L são iguais aos sinais em termos de M, pois há
contribuição da indutância mútua na indutância total do circuito (chamada de aditiva).
− Se uma das correntes entra no ponto e a outra sai do ponto (como o exemplo da fig. 21)
ocorre uma diminuição da indutância mútua na indutância total do circuito, então o sinal de M será
contrário ao sinal de L (chamada de subtrativa).
Pode−se então estimar o valor da mútua em um circuito acoplado magneticamente, se as bobinas
forem ligadas das duas possíveis maneiras têm−se que:
( )BABB LLMMLLLMLLL -»Þ-+=++= 4
1
 a)(subtrativ 2 e (aditiva) 2 2121
I1 I2
V1 V2
R1 R 2
j w L1 j w L2
j w M
I1 I2
V1 V2
R1 R2
j w M
j w (L 1 −M) j w (L 2 −M)
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 28
16−Transformadores
Um transformador é responsável pela transferência de energia em circuitos, dependendo da
ação indireta da indutância mútua entre os enrolamentos. O transformador é um dispositivo elétrico
utilizado para diversas aplicações, entre elas:
Modificar níveis de tensão e corrente em um circuito elétrico.
" Provocar isolamento elétrico.
#
Efetuar “casamento” de impedância em estágios de um sistema de sonorização.
O transformador já foi apresentado anteriormente, durante a apresentação dos circuitos
acoplados magneticamente, sua representação fundamental se encontra na fig. 22.
Figura 22 − Representação fundamental do transformador.
A f.e.m. induzida em um enrolamento de N1 espiras é:
( )21
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
11
 perdashá não se ou
44,4
: que se−tem
44,4
PP
N
I
N
I
N
V
N
V
f
N
E
N
E
NfE
mútuo
mútuo
=»Þ»
××==
×××=
f
f
A construção mais comum de transformadores utiliza núcleos de:
− ar
− ferrite
− aço−silício (1,5−3% de silício)
Os transformadores também podem ser destacados em duas categorias quanto a isolação, como
indicado na fig. 23:
(a) (b)
Figura 23 − Esquema do transformador convencional (a) e do autotransformador (b).
Nota−se que há isolação elétrica na fig.23(a), porém o mesmo não ocorre na fig.23(b).
I1
I 2
f
12
f
21
I2I 1
V1
jw M
Z 11
Z 22N2
N 1
1o 2o
1o
2o
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 29
Os transformadores podem apresentar diversos números de fases na relação entre 1o
(primário) e 2o (secundário), sendo algumas das relações mais comuns:
Número de fases do primário Número de fases do secundário
1f 1f
3f 3f
3f 1f
3f 2f
3f 6f
3f 12f
16.1−Circuito equivalente do transformador
Para freqüências iguais ou inferiores a 120Hz um transformador deveria ser representado
por um circuito com valores de indutâncias próprias dependentes dos valores de corrente e de
indutâncias mútuas dependentes da curva de magnetização do dispositivo, como na fig. 24.
Figura 24 − Representação elétrica de um transformador.
Pode−se refletir os componentes presentes no primário do transformador para seu
secundário, ou o inverso desta situação, como indicado a seguir:
( )
( )
( )
( ) 2212121112
111
12
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
V2 departir a V
:seria secundário opara primário do tensãodequeda a 
2
1
 como entre relaçãoa se−Tome
I
m
Z
m
mIZ
m
IZ
m
V
IZV
ImI
N
N
I
I
m
EE
N
N
E
E
m
N
N
×=
×
=¢DÞ
×
=
D
=¢D
×=
×=Þ=
=Þ=
I1
R
1
X
m
X 1
R
m
I2
R2
X 2
trafo ideal
primário secundário
I
m
E1 E2
V1 V2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 30
Esta relação é conhecida como impedância primária transferida ao secundário. O circuito resultante
se encontra apresentado na fig. 25, nota−se que o trafo ideal é substituído por uma impedância
fictícia.
Figura 25 − Circuito de um trafo referido ao secundário
É possível utilizar a mesma análise para o circuito primário.
16.2−Determinação dos parâmetros do circuito equivalente de um transformador
Para a determinação dos termos do circuito equivalente de um transformador são realizados
dois ensaios, um teste a vazio e um teste em curto−circuito. Para a determinação será necessário
conhecer o lado de alta tensão (AT) e baixa tensão (BT) do componente.
Inicialmente utiliza−se o lado de BT, é inserida a tensão de operação deste lado (tensão
nominal do enrolamento), mantendo o lado de AT em aberto. Determina−se a temperatura do trafo
e do líqüido isolante (se existir). São utilizados ainda um wattimetro um amperímetro e um
voltimetro, para determinar a tensão, corrente e potência ativa do lado de BT, vide fig. 26.
Figura 26 − Ensaio em aberto de um transformador
BTmag
alnoBT
BTmag
perdaBT
BT
ferroBT
AbertoBTmag
AbertoperdaBT
AbertoAbertoAberto
Aberto
Aberto
AbertoAbertoAberto
I
V
X
I
VR
II
II
VIS
S
P
PVI
.
)min(
.
.
 ; :que então se−tem
sen:é ãomagnetizaç de correntea 
cos:é ferro noperda de correntea 
 onde cos :então
,, se−tem
==
×=
×=
×==
j
j
j
V
W
A
B
a
ix
a
 
te
n
sã
o
A
lta
 
te
n
sã
o
R’
2
=R
1
/m 2
X
m
X’
2
=X
1
/m 2
R
m
R
2 X 2
trafo ideal
I
m
V1=
E
1
V2
E 2=V 1/m
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 31
No segundo ensaio faz−se passar CC pelos enrolamentos e determina−se as resistências
ohmicas. Coloca−se então em curto o lado de BT, o ensaio é não destrutivo e deve circular pelos
enrolamentos de AT uma CA igual a corrente nominal desse enrolamento, vide fig. 27. Toma−se as
medidas na alta tensão da corrente, tensão e potência ativa. 
Figura 27 − Ensaio em curto circuito de um transformador.
Para se obter a corrente nominal a diferença de potencial na AT será entre 3−7% da tensão
nominal de operação. Pode−se então equacionar esta situação.
22
22
 e 
:que lembrando termos,demais os portanto se−tem
:alconvencion trafoum Supondo
cos
cos
m
XX
m
RR
XXX
RRR
XX
RR
RZX
ZR
I
VZ
IV
P
V
SII
BT
BT
BT
BT
BTATcAT
BTATcAT
BTAT
BTAT
cATcATcAT
ccATcAT
cAT
cAT
cAT
cATcAT
cAT
c
nomAT
nom
nomATcurtoAT
=¢=¢
¢+=
¢+=
¢=
¢=
-=
×=
=
×
=
==
j
j
16.3−Perdas no transformador
O transformador possui perdas semelhantes as existentes no indutor, então serão encontradas
perdas por:
• Efeito Joule: devido a resistência dos enrolamentos
• Perdas no núcleo:
− Histerese
− Foucault
V
W
A
B
a
ixa
 
te
n
sã
o
A
lta
 
te
n
sã
o
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 32
Porém existe uma perda que é considerada nos transformadores, inicialmente desprezada
devido as dimensões dos indutores permitirem tal desprezo, as perdas por magnetostrição. As
perdas por magnetostrição ocorrem quando o núcleo do material sofre variações mecânicas,
responsáveis por deformações plásticas do mesmo. Estas deformações mecânicas ocorrem devido a
presença do campo magnético e a circulação de uma corrente elétrica, ambas alternados (a maioria
dos transformadores operam em AC), são desprezadas em unidades transformadoras de pequeno
porte, basta uma compressão das chapas do núcleo. Esta característica é função do eixo cristalino de
alguns materiais como o ferro e o cobalto, estando este eixo sob ação do campo magnético e é
proporcional a intensidade deste campo magnético. Quando o transformador atinge dimensões
maiores as perdas por magnetostrição são maiores, e mais perceptíveis por um ruído de vibração
característica do equipamento; torna−se necessário “prender” as chapas de forma firme, visando
evitar deformações na estrutura, é comum encontrar parafusos e chapas atuando como retentores do
equipamento nestes casos.
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 33
17−Autotransformadores
São equipamentos que possuem uma estrutura magnética igual aos transformadores
convencionais, porém a parte elétrica possui uma diferença crucial: os enrolamentos de AT e BT se
encontram agrupados conjuntamente em um mesmo enrolamento. O enrolamento de BT se
encontra em uma parte do enrolamento que compõem o enrolamento de AT, vide fig. 23. Pode−se
representar o autotransformador na forma da fig. 28.
Figura 28 − Representação do autotransformador.
Há uma grande economia de material neste transformador:
• As espiras necessárias para a AT são também aproveitadas para a BT.
• lado de BT deverá suportar uma corrente menor que a presente em um transformador
convencional, vide a fig. 28 onde a corrente que percorre o enrolamento de BT é I2−I0 . Supondo
que o peso do cobre seja proporcional a corrente e ao número de espiras do transformador,
fazendo:
Pa Þ peso do autotransformador
Pn Þ peso do transformador convencional
( ) ( )
1
21
1
21
1
22
0
2201
022210
 como
V
VV
N
NN
P
P
N
NII
ININ
IINNNI
P
P
n
a
n
a
-
»
-
=Þ=
+
-+-
=
Nota−se que quanto menor a relação entre (V1−V2) maior a economia de cobre.
• Apresenta menor queda de tensão e melhor rendimento.
• O autotransformador pode ser conectado a terra, é reversível e pode atuar como elevador ou
redutor de tensão.
• entre outras.
Porém o autotransformador não é utilizado em situações onde a relação entre os lados de AT
e BT ultrapassar três vezes o valor entre os mesmos.
I
o
I
1
V
1
V
2I2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 34
18−Transformadores 3 f
Para a transformação dos sistemas 3f pode−se empregar 3 trafos monofásicos distintos,
iguais entre si. Os 3 enrolamentos serão alimentados pela linha 3f primária através de
agrupamentos em estrela, triângulo ou ainda zigue−zague (semelhante a ligação U , porém possui
uma indutância a mais), vide fig.29. Dos três agrupamentos em U ou D irá sair a linha 3f
secundária.
Enquanto a carga secundária for simétrica e equilibrada o trafo 3f pode ser estudado
observando apenas uma das fases do mesmo, qualquer que seja o esquema de ligações da fase
primária e secundária; esta simplificação não mais funciona para agrupamentos 3f com cargas
desequilibradas.
(a)−estrela (b)−triângulo
Figura 29 − Ligações mais comuns empregadas em transformadores.
Os tipos mais comuns de ligações são:
a) U - U : A presença do neutro aterrado é opcional neste tipo de transformador, a corrente de linha é
igual a corrente de fase, sua tensão entre linhas é 3 vezes maior que a tensão de fase. A
presença do neutro neste transformador é muito útil pois o retorno da corrente ocorre pelo neutro,
caso a carga no secundário seja monofásica não irá ocorrer circulação de corrente em todos os
terminais do primário do transformador. A diferença entre a tensão de fase e de linha justifica sua
ampla aplicação em atividades envolvendo alta tensão.
b) D - U : Empregado em transformadores elevadores de usinas hidroelétricas, devido a circulação da
3a harmônica das correntes magnetizantes, assegurando a forma senoidal dos fluxos e das tensões.
c) U - D : Quando as fases do secundário estão conectadas em D e ocorre o desequilíbrio de uma das
fases há circulação de correntes por todas as fases. Uma carga monofásica gera uma tensão idêntica
e simétrica nas fases e ocorre elevadas perdas ôhmicas e dispersões magnéticas.
d) D - D : As tensões secundárias, desconsiderando−se as dissimetrias, são iguais e simétricas,
qualquer que seja a carga. São amplamente utilizados para alimentação de cargas fortemente
desequilibradas. Outra característica é que a eliminação de um dos lados do triângulo não impede o
surgimento das 3 fases no secundário. Esta propriedade é interessante pois permite a utilização de
dois trafos monofásicos em um sistema 3f .
e) U −zigue−zague: Possibilita a eliminação da 3a harmônica devido ao tipo de sua ligação.
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 35
19−Rendimento de um transformador
O rendimento de um transformador é definido como a relação entre a potência elétrica
fornecida pelo secundário (W2) e a potência elétrica absorvida pelo primário (W1).
fi
�
W 2
W 1
�
W fornecido
W
absorvido
�
W fornecido
W fornecido 
 W perdas
As potência podem ser calculadas por:
W 1
� V 1 I1 cos
�
1
W 2
� V 2 I2 cos
�
2
Pode−se também escrever:
W 1
� W 2 
 W perdas
� V 2 I2 cos
�
2 
 W o 
 RI2
2
onde:
 Wo = perdas por histerese e Foucault
RI2
2
= perdas por efeito Joule
Se o trafo for 3f basta multiplicar todos os termos por 3. O rendimento fica portanto:
fi
�
W 2
W 1
�
V 2 I2 cos
�
2
V 2 I2 cos
�
2 
 W o 
 RI
2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 36
20−Regras para Operação de transformadores em paralelo
As unidades transformadoras que irão trabalhar em paralelo deverão ter igual tensão
nominal e idêntica relação de transformação. Caso os trafos em paralelo possuam diferenças
assimiláveis, pode−se estabelecer entre as unidades que estão formando o paralelo uma corrente de
circulação permanente denominada “corrente equalizadora”, vide fig. 30, que poderá:
1) Elevar o consumo e a temperatura interna das unidades transformadoras.
2) Elevar a temperatura dos condutores que constituem os enrolamentos das unidades a ponto de
comprometer a isolação dos mesmos.
Figura 30 − Esquema de dois transformadores em paralelo.
As unidades transformadoras deverão ter a mesma defasagem angular ou mesmo
deslocamento de fase de secundário em relação ao primário. Devem ainda possuir a mesma
impedância percentual:
Z �
V
cc
V FN
Vcc fi tensão de curto circuito.
VFN fi tensão nominal por fase.
carga
i
trafo 1
 trafo 2
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 37
21−Transdutores
Até o momento apenas dispositivos estáticos tem sido abordados, porém é comum a
utilização das propriedades de campos magnéticos envolvendo a atuação de forças. Sendo o
desalinhamento de linhas de fluxo magnético e a interação entre campos magnéticos e condutores
as responsáveis pela atuação de forças em um componente. Supondo uma situação onde as linhas de
fluxo não se encontram alinhadas surgirá uma força visando tal alinhamento, vide fig. 31.
Figura 31 − Exemplos de linhas de forçamagnética desalinhadas.
Equipamentos conhecidos por transdutores eletromecânicos operam de tal forma, como
exemplo existem: autofalantes, microfones, relés, galvanômetros, motores de relutância, etc.. As
forças produzidas visam a diminuição da relutância magnética do componente, quando possível.
Pode−se informar que:
Energia elétrica fornecida=Trabalho mecânico + Energia magnética armazenada
Figura 32 − Indutor com m = ¥ e com uma seção deslocada x.
Cada caso deve ser analisado isoladamente por exemplo: supondo um elemento como o
mostrado na fig. 32, temos a energia produzida pela fonte de corrente e pode−se desenvolver o
restante do problema:
dW � I � e � dt � I � inicial �
�
final
aenergia magnética armazenadaem um campo magnéticoé W
m
� 1
2
	
v
B � H � dv
Logo pode � se simplificar em umaindutância como: W l
� 1
2
L � i2
O aumento de energia seria: dW l
� 1
2
L final � L inicial � I
2 � 1
2
�
final �
�
inicial I
Supondo um circuito magnéticolinear:
dW � F � dx 
 dW l e F � dx
� 1
2
�
final �
�
inicial I
Supondo dW � 0 � F � dx � � 1
2
� i final � i inicial
F
F
F
I
I
Fx
x
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 38
22−Reator Saturável
É um componente de controle de potência, ainda muito utilizado em várias aplicações. Este
componente atua como uma chave, mais precisamente um SCR, vide fig. 34.
Possuem um núcleo de Fe−Si o qual produz uma curva de histerese do tipo square
(quadrada), vide fig. 33.
Figura 33 − Curva de histerese de um reator saturável.
Operação:
$ Na região de saturação D f =0 não há queda de tensão no reator VL=0 e a corrente depende da
carga.
$ Na região de excitação D H=0 não é permitido corrente menor que um valor IX tem−se:
�
!
� 1
N
	 V L dt né o número de espiras
$ Na região de sub−excitação I<IX não ocorre variação do fluxo magnético.
Pode−se resumir a operação como:
em (I) L=0 então E=0
em (II) L=¥ (IX é constante) I=0 (note que IX são as perdas)
Figura 34 − Comportamento de um reator saturável.
Sub−excitação(III)
Excitação(II)
Saturação(I)
Excitação Saturaçã
o
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 39
Exercícios − Segunda parte
Questão 01
Supondo um trafo com razão de espiras 1:2, sendo as perdas no trafo desprezíveis,
determine os valores de tensão e corrente no primário (lado de alta−tensão) se ao secundário (lado
de baixa−tensão) for colocada uma lâmpada incandescente de 120V · 60W a qual se encontra em
operação nominal. Caso sejam mantidos os valores da fonte e da lâmpada e invertidos os terminais
do trafo, o que irá ocorrer com a lâmpada?
Questão 02
Suponha um trafo 1f 220/110 [V] , deverá ser colocado um capacitor C para atenuar o
efeito indutivo de uma carga, como este capacitor seria "visto" pelo primário? 
Questão 03
Após o ensaio a vazio de um trafo foram obtidos os valores:
V=100V I=0,1A P=9W
Determine o "fator de potência", as perdas no ferro e a corrente de magnetização deste trafo.
Questão 04
Desenhe o circuito equivalente referido ao secundário de um indutor com os valores
fornecidos abaixo:
N1/N2=3
R1=0,5W R2=0,021W Rm2=350W
X1=j3,2W X2=j0,12W Xm2=j3,92 W
* O índice 1 se refere a primário e o índice 2 se refere a secundário.
Questão 05
Deduza o circuito equivalente de um trafo referido ao primário.
Questão 06
Sendo um transformador 110/220 de 10kVA, 60Hz. No teste de circuito aberto foram
obtidos os valores de 110V; corrente de 5A e potência de 100W. No teste de curto−circuito uma
tensão de entrada de 21V; corrente de entrada de 28A e 500W. Obtenha os parâmetros do circuito
equivalente, referidos ao lado de alta tensão. Assuma que R1=a2R2 e X1=a2X2 .
Questão 07
Se um trafo 3 f D −Y possuir uma carga desequilibrada em seu secundário o que ocorrerá
com as fases do primário? Caso este trafo seja substituído por um Y−Y com neutro no primário e
no secundário haverá modificações em seu primário quando submetido a mesma situação?
Conversão Eletromecânica de Energia − Notas de Aula − prof. David Calhau Jorge 40
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