calculo IIIA VE1 gabarito - Ethan UFF

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Ca´lculo IIIA 2015-2 – VE1: Gabarito
1. (3 pontos) Calcule o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z do so´lido limitado pelas superf´ıcies
z = 16− 2x2 − 2y2 e z = 2x2 + 2y2
se a densidade do so´lido e´ δ(x, y, z) = (x2 + y2)3/2.
Soluc¸a˜o. Seja W o nosso so´lido. Por definic¸a˜o, o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z e´
Iz =
∫ ∫ ∫
W
d2(x, y, z)δ(x, y, z)dV onde d(x, y, z) e´ a distaˆncia entre (x, y, z) e o eixo z
=
∫ ∫ ∫
W
(x2 + y2)(x2 + y2)3/2dV
=
∫ ∫ ∫
W
(x2 + y2)5/2dV.
E´ mais coˆmodo avaliar esta integral em coordenadas cil´ındricas (r, θ, z). De fato, nessas coordenadas,
temos que
W = {(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi, 2r2 ≤ z ≤ 16− 2r2}.
Aplicando a fo´rmula de transformac¸a˜o para integrais sob mudanc¸as de coordenadas, deduzimos que
Iz =
∫ 2
0
∫ 2pi
0
∫ 16−2r2
2r2
r · r5dzdθdr
= 2pi
∫ 2
0
r6(16− 4r2)dr
= 2pi
(
16
7
r7 − 4
9
r9
)∣∣∣∣2
r=0
=
213pi
63
.
2. (2 pontos) Ache o centro de massa de um arame semicircular homogeˆneo de raio L cm, onde L e´ um
nu´mero real e positivo.
Soluc¸a˜o. Seja C o nosso arame. Por comec¸ar, vamos trabalhar num sistema de coordenadas (x, y) em
que o pedac¸o “reta”de C fica ao longo do eixo x, com origem no meio desse pedac¸o. Comec¸amos por
calcular a massa M de C. Como ela e´ homogeˆnea, temos que
M =
∫
C
Kds = K
∫
C
ds = piKL (1)
onde K = δ(x, y, z) e´ um constante e a u´ltima igualdade em (1) vem do fato que
∫
C
ds da´ a circunfereˆncia
de C.
Lembramos que as coordenadas do centro de massa sa˜o (x/M, y/M) onde
x =
∫
C
Kxds e y =
∫
C
Kyds. (2)
Calculamos a primeira integral em (2). a curva C e´ parametrizada por
φ(u) = (L cos t, L sen u), 0 ≤ u ≤ pi.
1
Segue que
x =
∫
C
Kxds
=
∫ pi
0
KL cosu · L
√
(−sen u)2 + cos2 udu
= KL2 sen u
∣∣∣∣u=pi
u=0
= 0.
De maneira parecida, temos que
y =
∫
C
Kyds
=
∫ pi
0
KL2 sen udu
=
∫ pi
0
−KL2 cosu
∣∣∣∣u=pi
u=0
= 2KL2.
Segue finalmente, que o centro de massa do arame se encontra ao ponto com coordenadas(
0,
2KL2
piKL
)
=
(
0,
2L
pi
)
.
3. (3 pontos) Calcule
∫
C
Pdx+Qdy +Rdz, onde (P,Q,R) = (z, x, y) e C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies
z = x2 + y2 e 6x+ 2
√
6y + z = 1,
orientada de tal maneira que a projec¸a˜o de C no plano xy seja percorrida no sentido anti-hora´rio.
Soluc¸a˜o. Comec¸amos por achar uma parametrizac¸a˜o de C. Para isso, anote que a projec¸a˜o de C no
plano xy e´ definida por
x2 + y2 = 1− 6x− 2
√
6y, i.e. por
(x2 + 6x+ 9) + (y2 + 2
√
6y + 6) = 16, i.e. por
(x+ 3)2
16
+
(y +
√
6)2
16
= 1.
Segue que uma parametrizac¸a˜o anti-hora´ria de C e´ dada por
φ : x(t) = −3+4 cos t, y(t) = −
√
6+4 sen t, z(t) = 1−6(−3+4 cos t)−2
√
6(−
√
6+4 sen t) = 31−24 cos t−8
√
6 sen t
onde 0 ≤ t ≤ 2pi.
Da´ı, calculamos que
x′(t) = −4 sen t, y′(t) = 4 cos t, e z′(t) = 24 sen t− 8
√
6 cos t.
Segue que∫
C
Pdx+Qdy +Rdz =
∫ 2pi
0
(31− 24 cos t− 8
√
6 sen t)(−4 sen t) + (−3 + 4 cos t)(4 cos t)
+ (−
√
6 + 4 sen t)(24 sen t− 8
√
6 cos t)dt.
2
Para avaliar esta u´ltima integral, observe que podemos igorar todos os termos envolvendo cosx, sen x,
ou sen x cosx, que contribuam 0. Segue que∫
C
Pdx+Qdy +Rdz =
∫ 2pi
0
(32
√
6 + 96) sen2t+ 16 cos2 tdt
=
∫ 2pi
0
16 + (32
√
6 + 80) sen2t (usando o fato que sen2t+ cos2 t = 1)
= 32pi +
∫ 2pi
0
(32
√
6 + 80) · 1− cos 2t
2
dt
= 32pi +
∫ 2pi
0
16
√
6 + 40dt
= (112 + 32
√
6)pi.
4. (2 pontos) Calcule ∫ ∫ ∫
D
sen(4x2 + y2 + z2)dxdydz
onde D = {(x, y, z) : 4x2 + y2 + z2 ≤ 1, y ≥ 0}.
Soluc¸a˜o. Trabalharemos em coordenadas esfe´ricas (ρ, φ, θ) obtidas a partir das coordenadas (x′, y, z)
com x′ = 2x. Nessas coordenadas esfe´ricas, temos que
D = {(ρ, φ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ pi}.
Da´ı segue do teorema de mudanc¸as de varia´veis para integrais que∫ ∫ ∫
D
sen(4x2 + y2 + z2)dxdydz =
1
2
∫ ∫ ∫
D
sen((x′)2 + y2 + z2)dx′dydz, pois dx =
1
2
dx′
=
1
2
∫ 1
0
∫ pi
0
∫ pi
0
ρ2 sen φ sen ρ2dθdφdρ
=
pi
2
∫ pi
0
sen φdφ
∫ 1
0
ρ2 sen ρ2dρ
= −pi
∫ 1
0
ρ2 sen ρ2dρ.
Para avaliar esta u´ltima integral, usaremos a expansa˜o de Taylor de sen x: como
sen x =
∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!
,
segue que
−pi
∫ 1
0
ρ2 sen ρ2dρ = −pi
∫ 1
0
∞∑
k=0
(−1)kρ4k+4
(2k + 1)!
dρ
=
∞∑
k=0
(−1)k+1pi
(4k + 5)(2k + 1)!
.
3