Apostila MAT02219 parte1 probabilidade e estatística

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Aula 1 a 10 – Profa. Liane MAT02219 
 
 A estatística é uma ciência rica em ferramentas para a tomada de decisão, aplicável 
em qualquer ramo do conhecimento que trabalhe com dados experimentais. O seu uso é de 
grande importância e muito difundido nos últimos tempos. 
 
 
1. Conceitos Básicos de Estatística 
 
*ESTATÍSTICA: É a ciência que compreende a coleta, a organização, análise e interpretação 
de dados. Pode ser dividida em duas grandes áreas: 
 
 * Estatística Descritiva: Esta área se interessa em descrever dados 
geralmente associados a contagens e gráficos, a informação contém os dados. A idéia é 
remover os detalhes estranhos e focar a características de interesse. Onde estão os valores 
centrais? Como os valores se estendem? Que forma tem a distribuição dos valores? Existe 
alguma mudança nos valores com o passar do tempo? O objetivo da estatística descritiva é 
providenciar respostas para este tipo de perguntas. 
 
 * Estatística Inferencial: É o ramo da Estatística que se preocupa em obter 
conclusões sobre o todo a partir de parte deste todo, isto é, tomar decisões com base nos 
dados colhidos de uma amostra. Como o processo de indução não é exato, fica-se sujeito a 
um grau de incerteza. A Estatística Inferencial irá dizer até que ponto pode-se estar errando 
em nossas induções, e com que probabilidade. 
 
*POPULAÇÃO: Conjunto de elementos que possui alguma característica em comum. 
 Pode ser finito (quando se conhece o número total de elementos) ou infinito. 
 
*AMOSTRA: É um subconjunto da população, isto é, uma parte da população retirada 
segundo alguns critérios estatísticos. 
 
* RECENSEAMENTO: É o estudo estatístico realizado em toda a população. 
 
* CENSO: É o resultado do recenseamento. 
 
* AMOSTRAGEM: É o processo de obtenção de uma amostra, são técnicas, planos a fim de 
tornar representativa a amostra extraída da população. 
 
*PARÂMETRO: É uma medida característica de uma população. 
 
 Exemplo: Temos por população todos os veículos da marca W em Porto 
Alegre, sendo que podemos compor uma amostra dos veículos que são táxis dessa marca e 
podemos estar interessados em estudar a idade média (parâmetro) dos veículos dessa marca. 
 
 
 
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*VARIÁVEIS: É a característica de interesse de uma população escolhida de acordo com o 
estudo. 
 Exemplo: Idade dos veículos da frota de Porto Alegre. 
 
 
 
 
 *Variáveis Qualitativas: Expressam uma qualidade, podem ser chamada de 
ATRIBUTO, subdividem-se em: 
 
 NOMINAIS: Fornecem categorias ou nomes a alguma variável. 
 Exemplo: Sexo, estado civil, profissão. 
 
 ORDINAIS: As categorias de uma variável são ordenadas de acordo 
com a intensidade do fenômeno. Exemplo: classe social, grau de instrução. 
 
 *Variáveis Quantitativas: Expressam uma quantidade, subdividem-se em: 
 
 DISCRETAS: Podem ter valores observados somente em pontos 
isolados ao longo de uma escala. Exemplo: no de pessoas, no carros fabricados por dia. 
 
 CONTÍNUAS: Podem assumir qualquer valor ao longo de uma 
escala. Exemplo: Altura, idade, velocidade. 
 
 
2. Descrição dos Dados 
 
 Um conjunto de números pode reduzir-se a algumas medidas numéricas que 
resumem os dados. Quando analisamos um conjunto de dados é necessário encontrar um 
ponto que represente a localização dos dados (medidas de tendência central) e estudar a 
dispersão deste grupo (medidas de variabilidade). 
 
2.1. Medidas de tendência central 
 São valores que geralmente se localizam em torno do meio ou do centro de uma 
distribuição, onde a maior parte dos dados está concentrada. 
 
 
 
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 *Média Aritmética: É o ponto de equilíbrio dos dados, é dada pela soma de 
todos os elementos divido pelo número de parcelas. 
 µ = =
∑ i
i
N
x
N
1 (média da população) 
 
Exemplo: Ao montar um determinado sistema de hardware, seu idealizador observa o 
tempo que leva para executar o sistema construído. Os dez tempos observados em segundos 
foram: 
 50 s 51 s 49 s 52 s 51 s 49 s 50 s 51 s 49 s 48 s 
 
Então: T X si
i
= ∑ =
=1
10
500 => µ = 50 s 
 
Propriedades da Média Aritmética µ: 
 1) µ (X ± k) = µ(X) ± k 
 
2) µ (k.X) = µ(X).k e µ (X/k) = µ(X)/k para k≠0 
 
 3) µ (X ± Y) = µ(X) ± µ(Y) 
 
4) µ (X .Y) = µ(X) . µ(Y) se X e Y são independentes. 
 
 
 *Mediana: É a medida estatística de tendência Central que divide a 
distribuição dos dados ordenados em duas partes de igual freqüência, de forma que 50% das 
observações a antecedem. 
 
No exemplo: Ordenamos os dados: 48 49 49 49 50 50 51 51 51 52 
 
 Calculamos a Posição da mediana dada por: P = N+1 / 2 
 P = 
10 1
2
+
= 5,5 
 
A mediana se encontra entre o 5o e o 6o elemento 
 Md
x x
=
+5 6
2
 = 
50 50
2
50
+
= s 
 
Caso N seja ímpar a mediana será o elemento posicionado em P = N +1 / 2. 
 
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 *Moda: É o valor que ocorre com maior freqüência. Pode-se classificar as 
distribuições de acordo com o número de modas, conforme segue: 
 uma moda = unimodal; 
 duas modas = bimodal; 
 várias modas = multimodal. 
 sem moda = amodal 
No exemplo: O conjunto é bimodal: 49 s e 51 s. 
 
 
2.2 Medidas de variabilidade 
Um aspecto fundamental da natureza é o fato que os objetos físicos não se repetem 
com precisão, pelo contrário são caracterizados por certa diferença entre os elementos, a 
variabilidade. 
 
Exemplo: A especificação de atuação de fornos de uma empresa é 810 oC. Suponha que se 
deseja comparar o desempenho de dois fornos, com base nas temperaturas registradas em 
lotes sucessivos de fabricação: 
 
 Forno A: 800, 810, 790, 800, 800 => µA = 800 
oC 
 
 Forno B: 700, 900, 800, 720, 930 => µB = 810 
oC 
 
 Baseados nestes únicos resultados obtidos, diríamos que o desempenho de B é 
melhor do que de A, já que B mantém, em média, na temperatura especificada. No entanto, 
se formos um pouco cuidadosos, percebemos que a temperatura de A varia de 790 a 810 oC, 
ao passo que a de B varia de 700 a 930 oC, o que indica que o desempenho de A é bem mais 
uniforme do que de B. Por isto é importante sempre avaliar uma medida de variabilidade, 
junto a uma medida de tendência central. 
 
 *Amplitude: É a medida estatística de variabilidade ou dispersão mais 
simples, definida pela diferença entre o maior e o menor valor. 
 
 H = Xmáx - Xmín 
 
No exemplo: Para o forno A tem-se: H = 810 - 790 = 20 oC 
 
 *Variância: É uma medida estatística que leva em consideração todas as 
informações do conjunto em análise, fazendo uso da soma de quadrados dos desvios em 
torno de µ. Denotada pelo símbolo σ2 (na população). 
 
2
2
1σ
µ
=
−∑
=
( )i
i
N
X
N
 (fórmula conceitual) 2
2
1 2σ µ=
∑
−=
i
i
N
X
N
(fórmula operacional) 
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No exemplo: O forno B tem variância 
 
σ2 = 
2 2 2 2 2700 810 900 810 800 810 720 810 930 810
5
( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + − + − + − = 95,52 oC2 
 
OBS: Aqui a unidade de medida é ao quadrado. 
 
 
Propriedades da variância σ2: 
1) σ2 (X ± k) = σ2(X) 
 
 2) σ2 (k.X) = σ2k2 e σ2(X/k) = σ2(X)/ k2 para k≠0 
 
 3) σ2 (X ± Y) = σ2(X) ± σ2(Y) 
 
 
 *Desvio Padrão: Para resolver o problema da unidade de medida utiliza-se 
outra medida estatística que consiste em extrair a raiz quadrada da variância. Denotado pelo 
símbolo σ (na população). 
 
 
 σ
µ
=
−∑
=
2
1
( )i
i
N
X
N
 (fórmula conceitual) ou σ µ=
∑
−=
2
1 2
i
i
N
X
N
 (fórmula operacional) 
 
 
No exemplo: O forno B tem desvio padrão: 
 
 σ = 2σ = 95 52, = 9,77 oC 
 
 
 *Coeficientede Variação: É uma medida relativa de concentração dos dados 
em torno da média para a comparação de grupos distintos com médias diferentes ou 
unidades diferentes. Quanto menor o coeficiente de variação, mais homogêneo será o grupo 
de dados. 
 γ
σ
µ
= 
 
No exemplo: Forno A: γ = 6,32 / 800 = 0,0079 
 
 Forno B: γ = 9,77 / 810 = 0,1142 
 
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2.3. Outra medida 
 
 * PROPORÇÃO: É a fração ou percentagem de itens de determinado grupo ou 
classe em relação ao total observado. 
 
 
N
X
=ππππ 
 
onde X é o número de itens com certa característica e N é o número total de observações. 
 
Exemplo: Em uma amostra de 40 esferas metálicas, 10 são defeituosas, desta forma a 
proporção de esferas defeituosas é 10/40 = 0,25 ou 25%. 
 
2.4. Exercícios 
 
1) Calcule e interprete a média e o desvio padrão do tempo, em min, para que reações 
químicas sejam concluídas: 
1 3 4 3 4 2 4 2 1 2 2 1 0 
 
 
2) Os dados abaixo representam as temperaturas de duas máquinas. Qual a máquina que 
tem temperaturas mais homogêneas? 
 
 máquina A: 23 25 24 28 21 
 máquina B: 32 29 27 32 26 
 
 
3) O desvio-padrão pode ser zero? Explique. 
 O desvio-padrão pode ser negativo? Explique. 
 
 
4) Numa indústria de produtos alimentícios, um determinado material é acondicionado em 
pacotes numa máquina automática. A máquina de empacota está regulada para pesar em 
média 200 gramas de material, porém, dado o grau de precisão da máquina, o peso real 
obtido se distribui em torno dessa média com um desvio padrão de 3 gramas. Supondo que 
a embalagem tem um peso constante de 25 gramas, qual é a média e o desvio padrão do 
peso bruto do pacote? 
 
 
5) Cite 3 variáveis qualitativas e 3 quantitativas. Classifique quanto a subclasse. 
 
 
 
 
 
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3. Distribuição de Freqüências 
 
 Representam as séries de dados onde o tempo, o espaço e a espécie do fenômeno 
permanecem constantes e as variações do fenômeno são agrupadas em subintervalos ou 
pontos dos dados observados. São dividas em: 
 
 
3.1 Distribuição de freqüências por ponto 
 É uma tabela que contém para cada valor observado o número de vezes que ele ocorre 
(freqüência). 
 
Exemplo: Em uma empresa com foi realizado um estudo sobre o tempo de falha, em horas, 
de determinado componente eletrônico. 
 
Suponha que os valores observados tenham sido:3, 2, 2, 0, 2, 1, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 
2, 1, 2 
 
Agrupando numa tabela de distribuição de freqüências por ponto , temos: 
 Classe de 
índice i 
Tempo da 
falha 
fi fri Fi Fr i 
 1 0 3 3/20=0,15 3 0,15 
 2 1 5 5/20=0,25 8 0,40 
 3 2 9 9/20=0,45 17 0,85 
 4 3 2 2/20=0,10 19 0,95 
 5 4 1 1/20=0,05 20 1,00 
 Total - 20 1,0 - - 
 
Sendo que: 
 1. Freqüência Absoluta (fi) - é o número de observações ocorridas na classe i. 
 2. Freqüência Acumulada (Fi) - é a soma das freqüências absolutas até a classe i. 
 3. Freqüência Relativa (fri) - é a freqüência absoluta da classe i em relação ao total 
observado. 
 4.Freqüência Relativa Acumulada (Fri) - é a soma das freqüências relativas até a classe i. 
 
 
3.2 Distribuição de freqüências por intervalo 
 
É uma tabela que contém divisões da variável em estudo (intervalos) onde é observado o 
número de vezes que ocorrem os valores contidos nesses intervalos (freqüência). 
 
 
 
 
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Exemplo: A voltagem de um conjunto de 40 baterias foram observadas. 
15 45 21 28 47 30 39 22 36 34 
25 35 42 26 29 30 27 23 49 43 
31 40 18 46 39 17 22 41 35 27 
38 48 35 32 24 20 44 34 28 17 
 Agrupando os dados em uma tabela de distribuição de freqüências, tem-se: 
 
 voltagem fi 
 15 |- 20 4 
 20 |- 25 6 
 25 |- 30 7 
 30 |- 35 6 
 35 |- 40 7 
 40 |- 45 5 
 45 |- 50 5 
 total 40 
 
*Uma maneira de como montar a tabela 
 
1) Encontrar o maior valor dado observado e o menor valor observado. 
 Xmáx = 49 Xmín = 15 
 
2) Calcular a amplitude total H 
 H = Xmáx - Xmín = 49 -15 = 34 
 
3) Calcular o número de classes k 
 k = N (valor aproximado) 
 k = 40 = 6,32 ≅ 7 teremos então 7 classes 
 
4) Calcular a amplitude das classes h 
 h = H / k 
 h = 34 / 7 = 4,85 ≅ 5 , isto é amplitude de 5 volts. 
 
5) Estabelecer os limites de classes 
 
Onde: li = limite inferior da classe i 
 Li = limite superior da classe i 
 
 1ª classe: Pode-se estabelecer o valor mínimo observado com o limite inferior da classe ou 
um valor inferior que melhor represente os dados. 
 
 l1 = 15 somando a amplitude h, tem-se o limite superior da classe 
 L1 = 15 + 5 =20 
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2ª classe: l2 = 20 
 L2 = 20 + 5 = 25 
 
e assim sucessivamente ... 
 
 classe i voltagem fi fri Fi Fr i Pto 
médio 
 1 15 |- 20 4 0,100 4 0,100 17,5 
 2 20 |- 25 6 0,150 10 0,250 22,5 
 3 25 |- 30 7 0,175 17 0,425 27,5 
 4 30 |- 35 6 0,150 23 0,575 32,5 
 5 35 |- 40 7 0,175 30 0,750 37,5 
 6 40 |- 45 5 0,125 35 0,875 42,5 
 7 45 |- 50 5 0,125 40 1,000 47,5 
 total 40 1,000 - - 
 
Sendo que: Ponto médio é o valor que representa a classe 
 Ponto médio = (li + Li) /2 
 Ponto médio da 1ª classe = (15+20)/2 = 17,5 
 
Interpretação: f6 = 5 => 5 baterias tem entre 40 e menos de 45 volts 
 F2 = 10 => 10 baterias têm de 15 a menos de 25 volts 
 fr5 = 0,175 => 17,5 % das baterias tem entre 35 e menos de 40 volts 
 Fr3 = 0,425 => 42,5% das baterias tem de 15 a menos de 30 volts 
 
 
4. Medidas de tendência central e variabilidade para distribuições de 
frequências 
 
 
 * Média aritmética: Os valores são multiplicados por suas respectivas freqüências e 
para dados agrupados em distribuições de freqüência por intervalos, xi são representados 
pelos pontos médios dos intervalos correspondentes. 
 
 
 µ = 
fixi
N
∑
 onde N = fi∑ 
 
 
 
 
 
 
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Como exemplo tem-se a força de tensão (em kgf/cm2) observada sobre 70 suportes 
metálicos 
 
 classe i 
 
tensão fi 
(quant. de suportes) 
Ponto 
médio (xi) 
fixi 
 1 50 |- 60 6 55 330 
 2 60 |- 70 9 65 585 
 3 70 |- 80 11 75 825 
 4 80 |- 90 22 85 1870 
 5 90 |- 100 16 95 1520 
 6 100 |- 110 4 105 420 
 7 110 |- 120 2 115 230 
 total 70 - 5780 
 
 µ = 
5780
70
 = 82,6 (em kgf/cm2) 
 
 * Mediana: Para calcular a mediana nesse caso, deve-se seguir os passos: 
 
1) Encontrar a classe mediana 
• Achar a posição da medida => P = N/ 2 
• Calcular as freqüências acumuladas Fi 
 
2) Calcular o valor da mediana 
 Md = li hi
N Fi
fi
+
− −





/ 2 1 
onde: li : limite inferior da classe mediana 
 Fi -1: freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana 
 fi: freqüência da classe mediana 
 hi: amplitude da classe mediana 
 
No exemplo da tensão dos 70 suportes metálicos: 
 Posição da mediana: P = 70/2 = 35 
 
Calculando as freqüências acumuladas 
 classe i 
 
tensão fi 
(num de suportes) 
Fi 
 1 50 |- 60 6 6 
 2 60 |- 70 9 15 
 3 70 |- 80 11 26 
 4 80 |- 90 22 48 => classe mediana 
 5 90 |- 100 16 64 
 6 100 |- 110 4 68 
 7 110 |- 120 2 70 
 total 70 - 
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 Como a mediana se encontra posicionada no 35° elemento e, este se encontra na 4ª 
classe, tem-se então a classe mediana. 
 
Calculando o valor da mediana: 
 Md = 80 10
70 2 26
22
+
−





/
= 80 10
9
22
+ . = 80 +4,09 = 84,09 (em kgf/cm2) 
 
 * Moda: Para calcular a moda nesse caso, devemos seguir os passos: 
 
1) Encontrar a classe modal, isto é, a classe com maior freqüência 
 
2) Calcular o valor da moda: (pela fórmula de Czuber)Mo = li hi
fi fi
fi fi fi
+
− −
− − − +





1
2 1 1
 
onde: li : limite inferior da classe modal 
 hi: amplitude da classe modal 
 fi: freqüência da classe modal 
 fi-1: freqüência da classe anterior a classe modal 
 fi+1: freqüência da classe posterior a classe modal 
 
No exemplo da tensão dos 70 suportes metálicos: 
 classe i tensão fi 
 1 50 |- 60 6 
 2 60 |- 70 9 
 3 70 |- 80 11 
 4 80 |- 90 22 => classe modal 
 5 90 |- 100 16 
 6 100 |- 110 4 
 7 110 |- 120 2 
 total 70 
 
Calculando o valor da moda, temos: 
 Mo= 80 10
22 11
2 22 11 16
+
−
− −






x
= 80 10
11
17
+ . = 80 + 6,47 = 86,47 (em kgf/cm2) 
 
 
 
 
 
 
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 *Variância absoluta: É uma medida estatística que leva em consideração todas as 
informações do conjunto em análise, fazendo uso da soma de quadrados dos desvios em 
torno de µ. Denotada pelo símbolo σ2 (na população). 
 
2
2
σ
µ
=
−∑ fi iX
N
( )
(fórmula conceitual) ou 2 2
2
σ µ=
∑
−
fixi
N
(fórmula operacional) 
 
classe i 
 
tensão fi Pto médio 
(xi) 
(xi-µ) (xi-µ)
2 fi(xi-µ)
2 
1 50 |- 60 6 55 -27,6 761,8 4570,6 
2 60 |- 70 9 65 -17,6 309,8 2787,8 
3 70 |- 80 11 75 -7,6 57,8 635,4 
4 80 |- 90 22 85 2,4 5,8 126,7 
5 90 |- 100 16 95 12,4 153,8 2460,2 
6 100 |- 110 4 105 22,4 501,8 2007,0 
7 110 |- 120 2 115 32,4 1049,8 2099,5 
 total 70 - 14687,2 
 
 
 2
2
σ
µ
=
−∑ fi iX
N
( )
=
70
2,14687
= 209,82 ((em kgf/cm2))2 
 
 
* Histograma 
• Os dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências são 
representados em histogramas. 
• Nos eixos cartesianos, traça-se colunas retangulares sobre os respectivos 
intervalos da distribuição de freqüência e com alturas determinadas pelas 
respectivas freqüências (absolutas ou relativas). 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
50 |- 60 60 |- 70 70 |- 80 80 |- 90 90 |- 100 100 |- 110 110 |- 120
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
50 |- 60 60 |- 70 70 |- 80 80 |- 90 90 |- 100 100 |- 110 110 |- 120
 
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* Polígono de freqüências 
• Também é utilizado para representar dados de uma tabela de distribuição de 
frequências. 
• Nesse gráfico marca-se os pontos com abscissas (x) iguais aos pontos médios 
com as ordenadas (y) iguais as respectivas freqüências, após uni-se os pontos por 
retas. 
• Para fechar o polígono de freqüências, unem os extremos com o eixo horizontal , 
nos pontos das abscissas iguais ao pontos médios de uma classe imediatamente 
anterior à primeira, e de uma classe imediatamente posterior à última. 
6 . 6 7 7 . 4 7 . 8 8 . 2
m m
0
3
6
9
1 2
1 5
f r e q
 
O polígono de freqüência suavizado é a distribuição de freqüência (absoluta ou relativa) ao 
se filtrar o ruído presente em qualquer conjunto de dados. No caso de uma amostra muito 
grande ou infinita o polígono de freqüência representa a distribuição de probabilidade de 
uma característica. 
 
 Distribuição simétrica Assimétrica à direita Assimétrica à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Relação empírica entre as principais medidas de tendência central: 
 
 
4.1. Exercícios (pontos 3 e 4) 
 
1) Ensaios em quarenta corpos de prova de concreto forneceram as seguintes resistências à 
ruptura: 
 
64 61 65 43 45 54 51 74 
30 100 91 75 78 68 80 69 
72 27 40 93 99 94 78 72 
59 78 95 62 42 96 100 95 
81 84 78 103 98 60 84 91 
 
 a) Monte uma distribuição de distribuição de freqüências. 
 b) Calcule e interprete F4, f5, fr2,Fr3 
 c) Trace o histograma e interprete. 
 
 
2) Os dados abaixo referem-se ao número de itens defeituoso por lote. Disponha os dados 
em uma tabela de distribuição de freqüências. Construa e interprete o histograma. 
 
5 12 9 1 10 11 8 7 
7 3 8 0 9 8 2 3 
8 4 4 3 3 4 5 4 
0 7 5 6 5 3 0 1 
10 8 3 7 2 6 2 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) A quilometragem que dura uma certa marca de pneu é dada na tabela abaixo, em 1000 
km. 
 a) Calcule e interprete a média, a mediana e a moda. 
 b) Construa o histograma. Verifique se a forma do histograma está associada a uma 
relação entre a média, mediana e moda. 
 c) Calcule e interprete o desvio padrão. 
 d) Encontre e interprete F2, f1, Fr3, fr4. 
 
 quilometragem freqüência 
 0 |- 5 18 
 5 |- 10 27 
 10 |- 15 53 
 15 |- 20 51 
 20 |- 25 32 
 25 |- 30 19 
 total 200 
 
 
5. Gráficos 
 
Os gráficos, utilizados com habilidade, podem evidenciar aspectos visuais dos dados 
de forma clara e de fácil compreensão. Em geral, são empregados para dar destaque a certas 
relações importantes. 
 
* Gráfico de Colunas 
• Usado para representar variáveis apresentadas em tabelas. 
• No eixo das abcissas (x) as categorias da variável em estudo e em seguida 
constroem-se colunas retangulares da altura da freqüência (absoluta ou 
relativa). 
 
Produção por região 
 
TR I M . 1 TR I M . 2 TR I M . 3 TR I M . 4
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
le s t e oe st e nort e
 
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* Gráfico de setores 
• É um gráfico particularmente apropriado para representar as divisões de um 
montante total, geralmente utiliza-se as porcentagens. 
• É também utilizado para apresentar variáveis apresentadas em tabelas, com 
poucas categorias. 
 
Vendas por produto
Produto A
6%
Produto B
30%
Produto C
46%
Produto D
18%
 
 
 
* BOX-PLOT (Gráfico de Caixa): 
• O gráfico Box-plot é um meio de mostrar estatísticas graficamente. O gráfico 
divide os dados em 4 áreas de igual freqüência chamados quartis. 
• Os quartis são calculados organizando um conjunto em ordem crescente 
dividindo os dados em quatro partes iguais de forma que: 
 - Abaixo do primeiro quartil existem 25% das observações, abaixo do segundo 
quartil existem 50% das observações e abaixo do terceiro quartil existem 75% das 
observações. 
• O Box-plot detecta dados atípicos como pontos separados do gráfico. 
• A mediana (2°Q) é a linha central do gráfico. 
 
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Passos para construção do gráfico: 
 
(1) Calcula-se os quartis: o primeiro quartil (posicionado em N/4), 
o segundo quartil ( ou mediana) e o terceiro quartil (posicionado em 3N/4). 
 
(2) Calcula-se o tamanho da caixa, isto é o Interquartil que é dado pela diferença entre o 
3°Q e o 1°Q. O interquartil é uma medida pouco afetada por valores atípicos. Iq = 3°Q - 
1°Q 
 
 O interquartil tem uma relação aproximada com o desvio-padrão: 
Iq desvio padrão= × −( / )4 3 
 
(3) O valor máximo do gráfico é o menor valor entre: 
 � 3°Q+1,5 Iq 
 � Maior valor observado 
 
( 4) O valor mínimo é dado para o maior valor entre: 
 � 1°Q-1,5 Iq 
 � Menor valor observado. 
 
 Os valores que se encontram fora do intervalo são considerados dados atípicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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* Diagrama de Pareto: 
 
A maioria das perdas deve-se a poucos tipos de defeitos que podem ser atribuídos a 
um número pequeno de causas. Identificada estas causas, podemos resolver grande parte do 
problema, isto é agir sobre poucos vitais prioritariamente. 
 Esta técnica parte do princípio do economista italiano V. Pareto: "Separar os poucos 
vitais dos muitos triviais". 
 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE PARETO: 
 (1) Organizar os dados numa distribuição de freqüência por tipo de defeito ou por 
operador, máquina, local, etc 
 (2)Listar os itens em ordem decrescente de ocorrência, calculando a freqüência 
acumulada, a freqüência relativa simples e a freqüência relativa acumulada. 
 (3) Plotar 2 eixos paralelos: um com o número de ocorrência e o outro com a 
porcentagem observada. 
 (4) Construir um gráfico de barras por tipo de defeito. 
 (5) No mesmo gráfico construir uma curva das freqüências acumuladas. 
 
 No gráfico de Pareto identifica-se onde trabalhar prioritariamente, ou seja naqueles 
itens onde a incidência de defeitos é maior e consequentemente resolve-se uma maior parte 
do problema. 
 Após identificar estes defeitos, as causas serão discutidas e um novo gráfico de 
Pareto para analisar as causas poderá ser realizado. 
 
 
Exemplo: 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
 
0 
40 
80 
120 
160 
200 
Escores
Grafico de Pareto 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
percent of total 52.0 
73.0 
83.0 
90.0 
95.0 98.0 
100.0 
 
 
 
 
 
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5.1.Exercícios 
 
1) Construa um gráfico de setores para os dados a seguir que representam a capacidade, em 
litros, do porta-malas de alguns carros populares produzidos no Brasil. 
 Celta: 240 l Fiesta: 250 l Gol: 146 l Palio: 224 l 
 
2) Os dados abaixo representam os tempos (em min) medidos em uma operação de 
soldagem. Construa um histograma e trace o polígono de freqüências. 
 
 Tempo Freq. 
 5 |- 7 3 
 7 |- 9 6 
 9 |- 11 17 
 11 |- 13 9 
 13 |- 15 5 
 total 40 
 
3) A empresa JKL fez um levantamento das vendas, obtendo as seguintes informações: 
 
 Modelo \ UF RS SP RJ 
 AB3 532 633 587 
 XP9 459 501 492 
 ZC4 146 152 149 
 KW1 721 930 773 
 
Construa: a) Um gráfico de colunas b) Um diagrama de Pareto 
 
4) Construa no mesmo eixo o boxplot para as notas de certa turma em matemática e o 
boxplot das notas de estatística. Analise. 
 
Mat 3 5 3 2 7 9 4 8 6 5 
Est 6 5 5 6 10 8 7 8 7 9 
 
5) Na operação 3 foram verificados os defeitos encontrados na montagem da bomba 
hidráulica . Construa o gráfico de Pareto e analise 
 Tipo de defeito Freq. 
 Junta 12 
 Mangueira 6 
 Selo 2 
 Compressor 7 
 Vedação 30 
 outros 3 
 
 
 
 
 
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6) Para os dados abaixo referentes aos principais defeitos encontrados no martelo 1171/16 
do Setor de Forjaria. Analise os dados por meio de um gráfico de Pareto: 
 
Defeitos encontrados para um total de 33.650 peças produzidas: 
Tipo de defeito quant. Tipo de defeito quant. 
Pré-forjada mal executada 51 Problema de Furador 41 
Falha no enchimento na forja 132 Acerto e quebra de ferramentas 16 
Problema de rebarbador 46 Falha de forja ( posic. da Bilete) 121 
 
 
6. Probabilidade 
 
 Independente da aplicação, a utilização da probabilidade indica que existe um 
elemento ao acaso (ou incerteza) quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim 
em muitos casos, pode ser impossível afirmar o que ocorrerá, mas é possível dizer o que 
pode ocorrer. 
 
 Esta área da estatística visa estabelecer um modelo matemático do fenômeno 
aleatório. O problema pode ser colocado como segue: dado um sistema que é 
completamente conhecido, tal como um baralho ou os componentes em uma mistura 
química, como pode o resultado de certos procedimentos ser descrito? Este tipo de questão 
deve ser respondido antes de técnicas estatísticas serem desenvolvidas ou utilizadas para a 
análise dos dados. Desta forma, o modelo matemático de teoria de probabilidade serve 
como base para técnicas estatísticas. 
 
 
6.1. Definições iniciais 
 
 *EXPERIMENTO: Qualquer procedimento que pode ser repetido e que, em cada 
uma das repetições produz um resultado (não necessariamente um valor, pode ser um vetor 
ou uma função). 
 
 *Experimento Determinístico: As condições sob as quais um experimento é 
executado determinam o resultado do experimento. Sob condições idênticas, os resultados 
são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. 
 
Exemplo: Ao aquecermos um determinado sólido, sabemos que a certa temperatura haverá 
a passagem para o estado líquido. 
 
 *Experimento Não-Determinístico ou Aleatório: Apesar de repetirmos o 
experimento nas mesmas condições, não podemos afirmar que resultado particular ocorrerá. 
Quando vamos realizar um experimento aleatório, não podemos predizer, com certeza, qual 
o resultado ocorrerá, pois existem mais de um resultado possível, isto é, há uma 
variabilidade nos resultados das realizações do experimento. 
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Exemplos: 
 1) Em uma linha de produção, fabricar peças em série e contar o número de peças 
defeituosas produzidas em um período de 24h. 
 2) A medição de resistência a compressão de uma liga metálica. 
 3) O tempo que uma lâmpada da empresa X dura até queimar. 
 
 *ESPAÇO AMOSTRAL: Quando estamos diante de um fenômeno aleatório podemos 
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis, A este conjunto chamamos de espaço 
amostral. Denotado pelo conjunto S. 
 Quando descrevemos um espaço amostral associado a um experimento devemos ter 
idéia bastante clara do que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de 
um espaço amostral associado a um experimento não "o" espaço amostral. 
 
Exemplos: S1 = { 0,1,2,3, ... , ∞ } 
 S2 = {Ri ≤ R ≤ Rs} 
 S3 = {t | t ≥ 0 } 
 
OBS: Um experimento é dito uniforme quando todos os elementos do espaço amostral são 
equiprováveis (tem a mesma possibilidade de ocorrerem) 
 Lançamento de um dado: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 *PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL: Dizemos que os eventos A1, A2, ... ,An 
tornam um espaço a partição do espaço amostral S se: 
 i) P(Ai ) > 0 
 ii) Ai ∩ Aj = φ para i ≠ j, ou seja, os eventos Ai são mutuamente exclusivos. 
 iii) 
i
n
iA S
=
∪ =
1
 => a união dos eventos Ai é o espaço amostral 
 
 *EVENTO: É um subconjunto de um espaço amostral S, isto é, um particular 
resultado dentre os existentes no espaço amostral. O conjunto vazio também constitui um 
evento. 
 
Exemplo: E1: Número de peças defeituosas é inferior a 2 E1={ 0, 1,2 } 
 E3: Lâmpada queimar antes de 500 h E3= { t | t < 500 } 
 
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 *Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço 
amostral. 
 
Exemplo: No lançamento de uma moeda temos dois eventos simples. 
 E1 = {K} E2 = {C} 
 
 * Evento composto: É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço 
amostral. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado podemos ter vários eventos compostos 
 E1: Ocorrência de face par E1 = {2, 4, 6} 
 E2: Ocorrência de números maiores que 3 E2 = {4, 5, 6} 
 
 * Evento certo: É aquele que ocorre sempre. 
Exemplo: No lançamento de um dado sair face de 1 a 6. 
 
 * Evento impossível: É aquele que nunca ocorre. 
Exemplo: No lançamento de um dado sair face maior que 6. 
 
 *Evento complementar: A = A complementar, É formado por todos os 
pontos que pertencem ao espaço amostral S, mas não pertencem ao evento A. 
 *Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois ou mais eventos são mutuamente 
exclusivos quando a ocorrência de um exclui a ocorrência de outro, isto é intersecção de A 
e B é vazia (o conjunto vazio). 
 
*União de Eventos: O evento A ∪ B ocorre se somente se A ocorre ou B ocorre ou 
ambos ocorrem, É formado pelos pontos que pertencem a pelo menos um dos eventos. 
 
 
 
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 *Intersecção de Eventos: O evento A ∩ B ocorre se e somente se A e B ocorrem. 
 
 
 
6,2. Conceitos de Probabilidade 
 
 As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de um 
determinado evento. 
 
 *CONCEITO CLÁSSICO: Supõe-se que todos os possíveisresultados de um 
experimento aleatório são igualmente prováveis. 
 Existem "n" resultados possíveis dos quais "a" são favoráveis a ocorrência do 
evento A, A probabilidade do evento A ocorrer é dada por: 
 
n
a
AP =)( 
 
Exemplo: Qual a probabilidade de retirar uma dama de um baralho? P(A) = 4 / 52 
 
 *CONCEITO FREQUENCIAL: Baseia-se em dados históricos, É a relação do 
número de observações de um evento e o total observado. 
 Quanto maior o número de observações realizadas, mais o valor da 
freqüência observada tenderá ao verdadeiro valor da probabilidade. 
 
 
Exemplo: Tomemos uma moeda honesta, é sabido a principio que a probabilidade de 
ocorrer face cara é 0,5. 
Se esta moeda é lançada 10 vezes e ocorre cara em 6, a probabilidade observada de 
ocorrência de face cara é 0,6. 
Se esta moeda é lançada 100 vezes e ocorre cara em 53, a probabilidade observada 
de ocorrência de face cara é 0,53. 
Se esta moeda é lançada 1000 vezes e ocorre cara em 525, a probabilidade 
observada de ocorrência de face cara é 0,525. 
Se esta moeda é lançada 10000 vezes e ocorre cara em 5127, a probabilidade 
observada de ocorrência de face cara é 0,5127. 
A medida que aumenta a quantidade de experimentos (frequências) mais próximo a 
probabilidade frequencial se aproxima da probabilidade. 
 
 
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 O valor hipotético no qual deve haver uma estabilização da freqüência relativa 
denomina-se probabilidade frequencial. 
Matematicamente temos: P(E) =
∞→n
n
felim onde fe = freqüência do evento E 
 
 
 *CONCEITO SUBJETIVO: É o grau de crença do indivíduo de que o evento irá 
ocorrer baseado em alguma evidência disponível. 
 
Exemplo: Qual a probabilidade de tirar uma nota boa em estatística, antes de iniciar a 
prova? 
 
 
6.3. Teoremas de Probabilidades 
 
 *PROBABILIDADE AXIOMÁTICA: Seja um espaço amostral e P uma função real 
definida em S, dizemos que P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer, sendo: 
 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 P(S) = 1 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma fábrica que tem 100 máquinas. Algumas dessas máquinas são N(ovas) e 
outras V(elhas), algumas são da empresa K outras da empresa L. 
 
situação\empresa K L totais 
N(ova) 35 30 65 
V(elha) 25 10 35 
Totais 60 40 100 
 
Qual a probabilidade de selecionar uma máquina da empresa K? 
 
 
Qual a probabilidade de selecionar uma máquina que não seja nova? 
 
 
Qual a probabilidade de selecionar uma máquina Nova e da empresa L? 
 
 
Qual a probabilidade de selecionar uma máquina da empresa K e que seja Velha? 
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 *TEOREMA 1: Teorema da Soma. Se A e B são dois eventos quaisquer então: 
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
Corolário: Para quaisquer eventos A, B, C temos: 
 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B)- P(A ∩ C)- P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 
 
 
 *TEOREMA 2: Probabilidade Condicional. Seja A e B são dois eventos definitos no 
espaço amostral, probabilidade condicional é a probabilidade do evento A ocorrer uma vez 
que o evento B tenha ocorrido, é denotada por P(A/B) e obtido por: 
 
 
P(A/B) = 
P A B
P B
( )
( )
∩
 
 
 
 *TEOREMA 3: Teorema do Produto. Através da definição de probabilidade 
condicional, temos que: 
 P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) 
 
 
 
 
 
 *EVENTOS INDEPENDENTES: Se A e B são independentes se P(A/B) = P(A) ou 
P(B/A) = P(B), A ocorrência de um não afeta (ou influencia) a ocorrência do outro, 
 
 P( A ∩ B ) = P(B). P(A/B) 
 
 Como P(A/B) = P(A), então: 
P( A ∩ B ) = P(B) . P(A) 
 
No exemplo: 
Um auditor escolhe uma máquina da empresa K. Qual a probabilidade de ela ser velha? 
 
 
Qual a probabilidade de uma máquina ser da empresa L e ser Velha? Use teorema 4. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo A: Um digestor químico é alimentado por material que vem de dois tanques 
independentes. O material do tanque 1 pode ser uma concentração de ácido que varia 
uniformemente entre 4 e 8, enquanto que o material do tanque 2 pode apresentar uma 
concentração de base entre 5 e 10. Sejam os seguintes eventos: 
 
A: material do tanque 1 com concentração superior a 6 
 
B: material do tanque 2 com concentração inferior a 6 
 
Calcule a P(A), P(A ), P(B), P(B), P(A ∪∪∪∪ B), P(A ∩∩∩∩ B) 
 Solução: Usando o ponto de vista das freqüências relativas, tem-se: 
P(A) = m(A) / m(S) 
P(A) = 10 / 20 = 0,5 
P(A ) = 1 - P(A) = 0,5 
P(B) = 4 / 20 = 0,20 
P(B) = 1 - P(B) = 0,80 
P(A ∩∩∩∩ B) = 2/20 = 0,10 
P(A ∪∪∪∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩∩∩∩ B) 
 = 0,50 + 0,20 - 0,10 = 0,60 
 
 
Exemplo B: Considerando os dados do exemplo anterior, e sabendo que o processo 
apresenta problemas quando a concentração de ácido supera a concentração de base, calcule 
a probabilidade ocorrência deste evento. 
 
 
Solução: 
 
P(E1) = p(E1) / p(S) 
P(E1) = 
3 3
2
20
×
/ = 0,225 
 
 
 
 
Exemplo C: Para o exemplo do digestor químico calcule a probabilidade da concentração 
de ácido superar a concentração de base quando se sabe que a concentração de ácido é 
superior a 6,0. 
 
Solução: O que se pede é a P(E1) dado A. Essa probabilidade é: 
0,40
10/20
4/20
p(A)/p(S)
A)/p(S)p(E
/A)P(E 11 ==
∩
= 
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6.4. Exercícios 
 
 
1) As falhas de diferentes máquinas são independentes umas das outras. Se há quatro 
máquinas, e suas respectivas probabilidades de falhas são 1%, 2%, 5% e 10% em 
determinado dia, calcule as probabilidades: 
 a) de todas falharem em certo dia 
 b) de nenhum falhar 
 
 
 
2) Uma empresa exploradora de petróleo perfura um poço quando acha que há pelo menos 
25% de chance de encontrar petróleo. Ela perfura 4 poços, aos quais são atribuí as 
probabilidades de 0,3 ; 0,4 ; 0,7 e 0,8. 
 a) Determine a probabilidade de nenhum poço produzir petróleo, com base nas 
estimativas da empresa. 
 b) Determine a probabilidade de os quatro poços produzirem petróleo. 
 c) Qual a probabilidade de só os poços com probabilidades 0,3 e 0,7 produzirem 
petróleo? 
 
 
 
3) Três dispositivos de alarme estão dispostos de tal maneira que qualquer deles dará 
alarme quando algo indesejável ocorrer. Se cada dispositivo tem a probabilidade 0,9 de 
trabalhar adequadamente, qual a probabilidade de que justificadamente soe o alarme? 
 
 
 
4) Um sistema de controle consta de um radar e um computador, ligados de tal forma que o 
sistema falha se falhar qualquer um desses componentes. Se a probabilidade de que o radar 
trabalhe 100 horas sem defeito é 0,9 e de que o computador funcione 100 horas sem defeito 
é 0,7. Qual é a probabilidade de que o sistema conjunto opere 100 horas sem defeito? 
 
 
 
5) Uma cidade tem 30 mil habitantes e três jornais X, Y, Z. Uma pesquisa de opinião revela 
que: 12 mil lêem X, 8 mil Y, 7 mil X e Y, 6 mil Z, 4.500 lêem X e Z, mil Y e Z e 500 lêem 
X,Y e Z. Qual a probabilidade de que um habitante leia: 
 a) pelo menos um jornal 
 b) só um jornal 
 c) ler o jornal X sabendo que ele lê o jornal Z 
 
 
 
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6.5 Teorema de Bayes 
 
 *TEOREMA 4: Teorema da Probabilidade Total: Sejam B1,B2, ... , Bk eventos que 
compõe o espaço amostral. Seja A um evento desse espaço amostral. 
 
B = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪Bk ; Bi ∩ Bj = 0 
 
 
 
 
Então: 
 P(A) = P( B1 ∩ A ) ∪ P( B2 ∩ A ) ∪ P( B3 ∩ A ) ∪ ... ∪ P( Bk ∩ A ) 
 P(A) = P(B1). P(A/B1) + P(B2). P(A/B2) + ... + P(Bk). P(A/Bk) 
 
Exemplo: 
Na construção de um edifício usa-se 1000 Kg de material por dia; desse total, 600 Kg são 
adquiridos do fornecedor B1 e 400 Kg do fornecedor B2. 
 
Assim B = B1 ∪ B2, onde B é a provisão de 1000 Kg/dia 
 
O material pode ser defeituoso e por experiência prévia sabe-se que B1 e B2 têm as 
probabilidadesde 0,03 e 0,01, respectivamente, de serem defeituosos. 
 
Chamando A o evento material defeituoso tem-se: 
 
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) 
 
Isto é, se o material é defeituoso, pode vir de B1 ou B2. Então A pode ser calculado: 
P(B1) = 0,6; P(B2) = 0,4 
P(A/B1) = 0,03; P(A/B2) = 0,01 
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) 
P(A) = (0,6) . (0,03) + (0,4) . (0,001) = 0,018 + 0,004 = 0,022 
 
Assim a probabilidade total de que o material seja defeituoso, vindo de B1 ou B2, é igual 
a 0,022. 
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Exercício (máquinas): Três máquinas A, B, C produzem 50%, 30%, 20% respectivamente 
do total de peças de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosos destas máquinas 
são 3%, 4%, 5% respectivamente. Se uma peça é selecionada aleatoriamente, encontre a 
probabilidade de ela ser defeituosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * TEOREMA 5: TEOREMA DE BAYES. 
 
O Teorema de Bayes permite calcular a probabilidade posterior de um evento B j , P(Bj/A), 
baseada em nova informação referente ao evento A e conhecendo-se a probabilidade 
anterior B j , P(Bj). 
 
Usando o conceito de probabilidade condicional, tem-se: 
 
P(Bj/A) = P(Bj ∩∩∩∩ A) / P(A) 
 
 
Como A está descrito em termos de B1,... , Bk, tem-se o Teorema de Bayes: 
 
P(Bj/A) = P(Bj ∩∩∩∩ A) / ΣΣΣΣ P(Bj) . P(A/Bj) 
P(Bj/A) = P(Bj) . P(A/Bj) / [ ΣΣΣΣ P(Bj) . P(A/Bj)] 
 
Nota-se que o Teorema de Bayes determina a probabilidade posterior de um evento B j , em 
função de um evento A e da probabilidade anterior de B j . 
 
No exercício (máquinas): Selecionamos uma peça e constatamos que era defeituosa. 
Determine a probabilidade de ela ter sido fabricada pela máquina A. 
 
 
Exercício: Um fazendeiro estima que, quando uma pessoa experiente planta árvores, 90% 
delas sobrevivem, mas quando um novato planta, apenas 50% das árvores sobrevivem. Se 
uma árvore plantada não sobrevive, qual a probabilidade de ela ter sido plantada por um 
novato, sabendo-se que 2/3 das árvores são plantadas por novatos. 
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7. Variáveis Aleatórias 
 
 Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que 
associe cada elemento em S a um número real X(S) é denominado variável aleatória (v.a.). 
 
Exemplo: Número de caras que ocorrem em dois lançamentos de uma moeda. 
 S: {CC, CK, KC, KK} 
 X(S): {0, 1, 2} 
 
 
 Chamamos de função de probabilidade à função P(X) que associa as probabilidades 
aos valores da variável. 
 
 P(x = 0) = P (KK) = 0,25 
 P(x = 1) = P (KC) ou P(CK) = 0,5 
 P(x = 2) = P (CC) = 0,25 
 
Notação: Utilizaremos letras maiúsculas, por exemplo, ‘X’, para representar a v.a. e a 
correspondente letra minúscula, nesse caso ‘x’, para representar um de seus valores. 
 
 
7.1 Variáveis Aleatórias Discretas 
 
 A variável aleatória é dita discreta quando pode assumir, com probabilidade 
diferente de zero, um número finito de valores dentro de um intervalo finito. 
 
Exemplos: O número de pontos que se obtém ao lançar um dado, pois só pode assumir 6 
valores: 
 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 4 x5 = 5 x6 = 6 
 
As probabilidades associadas são todas iguais: 
 P(x1)= P(x2)= P(x3)=...= P(x6)= 1/6 
 
 
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 *VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE UMA V.A. DISCRETA: Se X é uma 
variável que pode assumir os valores x1, x2, ... , xn e cada um desses valores estiver 
associado a uma e só uma probabilidade P(x1), P(x2), ... , P(xn). 
 
O valor esperado de X é: E[X] = P(x1)x1 + P(x2)x2, ... + P(xn)xn = ∑
=
n
i
xixiP
1
).( 
A variância de X é: VAR[X] = 
.
2
1
))(()(.2 XE
i
XP
i
X
n
i
−


∑ 




=
 
 
Exemplo: Um empreiteiro faz as seguintes estimativas: 
prazo de execução em dias (X) probabilidade P(X) 
10 dias 0,30 
15 dias 0,20 
22 dias 0,50 
 
 O prazo esperado para execução da obra é E[X] = 10x0,3+15x0,2+22x0,5 = 17 dias 
 A variação é dada por VAR[X] = 317 17
2
−( )
.
= 28 
 
*DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA V.A. DISCRETA: São todos 
resultados de uma v.a. discreta e suas respectivas probabilidades. 
 A função f(x) é a função de probabilidades de uma v.a.d. se, para cada 
possível resultado de X temos: 
 1) f(x) ≥ 0 
 2) f xi
i
n
( )
=
∑ =
1
1 
 3) P(X=x) = f(x) 
 
 
Exemplo: Distribuição de probabilidade constituída pela soma de dois dados lançados. 
 
dado 1 \ dado 2 1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
Distribuição de probabilidade: 
 
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ 
P(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1 
 
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Graficamente tem-se: 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xi
P(xi)
 
 
 *FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (F(X)): É a probabilidade acumulada de 
uma v.a.d. somando todas as probabilidades até um ponto X. 
 F X P X x f xi
i
x
( ) ( ) ( )= ≤ = ∑
=1
 
 
7.2 Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
 A variável aleatória é dita contínua quando pode assumir um número infinito de 
valores dentro de um intervalo finito, onde para cada valor xi está associado um número 
não-negativo P(xi), i=1,2, ..., cuja soma é igual a 1. 
 
Exemplos: Concavidade de uma lente de contato. 
 Altura de pessoas 
 Intensidade da corrente elétrica 
 
 
 *VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
CONTÍNUA: 
E[X] = 
−∞
+∞
∫ x f(x) dx VAR[X] = E X E X[ ] ( [ ])
2 2
− onde E X[ ]
2
 = 
−∞
+∞
∫ x2f(x)dx 
 
 
 
 *DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA V.A. CONTÍNUA: Uma variável 
aleatória contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo definido, onde não 
podemos listar todos os valores com suas respectivas probabilidades. A solução é construir 
uma função densidade de probabilidade (f.d.p.), baseada na função f(x) correspondente. 
 
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 * FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE: Seja X uma v.a. contínua, a 
função f(x) é uma função densidade de probabilidade se satisfaz as seguintes condições: 
 
 1) f(x) ≥ 0 - ∞ ≤ x ≤ + ∞ 
 
 2) 
−∞
+∞
∫ f(x) dx = 1 
 
 3) P(X ∈ A) = f(x)dx
A
∫ , A ⊂ ℜ 
 
 
Observações: 
 
* A probabilidade de X ser exatamente igual a um certo valor especificado x é 
igual a zero, isto é, P(X=x) = 0. 
 
* Se x for uma v.a. contínua então P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x < b). 
 
* A área abaixo da curva fornece a probabilidade, não a f(x). 
 
 
 * FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA F(x): Se X é uma v.a. contínua com 
função densidade de probabilidade f(X), então sua acumulada é: 
 
 F(x) = 
−∞
∫
x
f(x) dx assim f(x) = 
dF x
dx
( )
 
 
 Assim sendo X uma v.a. contínua e F(x) sua função distribuição acumulada 
(f.d.a.) para dois pontos a e b quaisquer teremos: 
 
 P(a < x < b) = F(b) - F(a) 
 
 
 
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7.3. Exercícios 
 
1) Classifique cada uma das seguintes v.a.’s como discreta ou contínua. 
 a) tempo de uso de um equipamento 
 b) número de partículas em uma lâmina 
 c) litros de gasolina vendidos em um posto de gasolina 
 d) número de elementos em uma reação química 
 
 
2) Dez por cento dos carros em um parque de carros usados tem bateria defeituosa. Se há 82 
carros no estacionamento, qual o número esperado de carros com bateria defeituosa? 
 
 
3) As chamadas diárias do corpo de bombeiros apresentam a seguinte distribuição: 
 
no chamada por dia 0 1 2 3 4 5 
% de dias 10 15 30 25 15 5 
 
Qual o número de chamadas esperadas por dia? 
 
4) Uma empresa vende três produtos, cujos lucros e probabilidadesde venda estão anotada 
na tabela. Calcular: 
 a) o lucro médio por unidade vendida, bem como a variância 
 b) o lucro total esperado, num mês em que foram vendidas 2000 unidades. 
 
Produto A B C 
Lucro/unid. 10 7 5 
prob. de venda(%) 20 30 50 
 
 
5) Um jogo consiste em se atirar um dado; se der face 1 ou 6, a pessoa ganha R$10,00 por 
ponto obtido; se der face 2 ou 5, a pessoa ganha R$5,00 por ponto obtido; se der face 3 ou 
4, a pessoa ganha R$15,00 por ponto obtido. Calcular o ganho esperado bem como a 
variância. 
 
 
6) Uma pessoa paga K reais cada vez que joga um dado e, recebe tantos reais quando 
pontos obteve. Qual o valor K para o qual o valor esperado de ganho seja nulo?