COL - Estatistica Aplicada _Reparado_

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Manual de Estatística Aplicada à 
Administração Pública 
 
 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino á Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos de autor 
Todos os direitos dos autores deste módulo estão reservados. A reprodução, a locação, a 
fotocópia e venda deste manual, sem autorização prévia da UCM-CED, são passíveis a 
procedimentos judiciais. 
 Elaborado por: 
 
Luís Cipriano Herculano Quepe, 
Natural da Beira – Sofala, Doutorando em Filosofia de Negócios, terminou o curso de 
Mestrado em Economia e Gestão na Universidade Católica de Moçambique, Faculdade de 
Economia e Gestão Beira em 2007 Trabalha como Coordenador do Curso de Economia e 
Gestão, docente de Métodos Quantitativos na Faculdade de Economia e Gestão - Beira da 
Universidade Católica de Moçambique. 
 
 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino à Distância 
825018440 
23311718 
Moçambique 
 Fax: 23326406 
 E-mail: eddistsofala@ucm.ac.mz 
 
Agradecimentos 
Agradeço a colaboração dos seguintes indivíduos e/ou pessoa colectiva na elaboração deste 
manual: 
 
Por ter financiado a elaboração deste Módulo Ao Centro de Ensino à Distância da UCM. 
Pela avaliação/revisão do Conteúdo Ao Fernando Alfredo Muchanga. 
 
 
 
 
 
 / Universidade Católica de Moçambique i 
 
Índice 
Visão geral 1 
Bem-vindo a Estatística Aplicada .................................................................................. 1 
Objectivos do curso ....................................................................................................... 1 
Quem deveria estudar este módulo ................................................................................ 1 
Como está estruturado este módulo................................................................................ 2 
Ícones de actividade ...................................................................................................... 2 
Habilidades de estudo .................................................................................................... 3 
Precisa de apoio? ........................................................................................................... 3 
Unidade 01 5 
Estatística - Introdução .................................................................................................. 5 
Introdução ............................................................................................................ 5 
Estatística - conceito ...................................................................................................... 5 
É uma disciplina cujo objecto de estudo é a recolha, compilação, análise e interpretação de 
dados. 5 
Divide-se em dois grandes grupos: 5 
 Estatística Descritiva e 5 
 Estatística Indutiva ou Inferência Estatística. 5 
Estatística Descritiva ............................................................................................ 5 
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística ......................................................... 5 
População ou Universo ......................................................................................... 5 
Censo ................................................................................................................... 6 
Amostra ............................................................................................................... 6 
Variável ............................................................................................................... 6 
Classificação das variáveis ............................................................................................ 7 
Variáveis Quantitativas ........................................................................................ 7 
Variável quantitativa de rácio ............................................................................... 7 
Variável quantitativa de intervalo ......................................................................... 7 
Variável quantitativa discreta ou contínua ............................................................ 8 
Variáveis Qualitativas .......................................................................................... 8 
Variável qualitativa ordinal .................................................................................. 8 
Variável qualitativa nominativa ............................................................................ 8 
Unidade 02 9 
Processo de amostragem ................................................................................................ 9 
Introdução ............................................................................................................ 9 
2.1.0. Processo de amostragem ...................................................................................... 9 
Amostragem ......................................................................................................... 9 
ii Índice 
Objectivo geral na extracção de uma amostra ....................................................... 9 
Amostra com reposição ........................................................................................ 9 
Amostra sem reposição ....................................................................................... 10 
Métodos de Amostragem .................................................................................... 10 
Amostragem Aleatória........................................................................................ 10 
Amostragem Aleatória Simples .......................................................................... 10 
Amostragem Aleatória Sistemática ..................................................................... 10 
Amostragem Aleatória Estratificada ................................................................... 11 
Amostragem não Aleatória ................................................................................. 11 
Tipos de Amostras não Aleatória ........................................................................ 11 
Tamanho de amostra .......................................................................................... 11 
Tarefas 01 .......................................................................................................... 13 
Unidade 03 15 
Representação de Dados Estatístico. Intervalos entre classes. ...................................... 15 
Introdução .......................................................................................................... 15 
3.1.0. Representação de dados Estatísticos ................................................................... 16 
Dados Brutos ...................................................................................................... 16 
São aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Exemplo: Conjunto das alturas 
de 100 estudantes do sexo masculino tirado de uma lista alfabética do registo da universidade;16 
Dados Agrupados ............................................................................................... 16 
São dados organizados e resumidos em forma de intervalos. 16 
Rol ..................................................................................................................... 16 
É um arranjo de dados numéricos brutos por ordem crescente ou decrescente de grandeza. 16 
Amplitude Total ................................................................................................. 16 
Frequência Absoluta (Fi) .................................................................................... 16 
Frequência Relativa (Fr) .....................................................................................17 
Frequência Relativa Percentual (fr) ..................................................................... 17 
Frequência Acumulada (fa) ................................................................................. 17 
Distribuição de frequência .................................................................................. 17 
Quadro de frequências ou tabela de frequências. .......................................................... 18 
Dados não agrupados .......................................................................................... 19 
Dados agrupados ................................................................................................ 19 
Intervalos de classes .................................................................................................... 20 
Intervalo de Classe é um símbolo que define uma classe, como 81 - 100 da tabela 
anterior. .............................................................................................................. 20 
Os números extremos, 81 e 100, são denominados limites de classe. O número 
menor, 81, é o limite inferior da classe e o maior, 100 é o limite superior. .......... 20 
Limite real Superior de classe é obtido adicionando-se o limite superior de um 
intervalo de classe ao limite inferior da classe seguinte e dividindo-se a soma por 
2. ........................................................................................................................ 20 
Regras gerais para elaborar uma distribuição de frequências ............................... 21 
 / Universidade Católica de Moçambique iii 
 
Unidade 04 22 
Representação gráfica de Dados Estatístico. ................................................................ 22 
Introdução .......................................................................................................... 22 
Tipos de representações gráficas de dados ................................................................... 22 
Representação Stem-and-Leaf (folhas e caule) .................................................... 22 
Representação por meio de diagrama de barras ................................................... 23 
Representação por meio de diagrama circular ..................................................... 24 
Representação por meio de polígono de frequências ........................................... 25 
Representação gráfica das frequências acumuladas ............................................. 25 
Representação por meio de Histograma .............................................................. 26 
Histograma com amplitudes iguais ..................................................................... 26 
Histograma com amplitudes diferentes ............................................................... 27 
Polígono de frequência para dados agrupados ..................................................... 27 
Polígono de frequência acumuladas .................................................................... 27 
Curvas de frequências......................................................................................... 28 
Tarefas 02 .......................................................................................................... 29 
Unidade 05 33 
Medidas de tendência central ....................................................................................... 33 
Introdução .......................................................................................................... 33 
Medidas de tendência central ....................................................................................... 33 
A Média para dados não agrupados .................................................................... 33 
A Média para dados não agrupados com frequências absoluta ............................ 34 
A Média para dados agrupados ........................................................................... 35 
Propriedades da média ........................................................................................ 35 
Mediana para dados não agrupados .................................................................... 35 
Mediana para dados agrupados ........................................................................... 36 
Moda para dados não agrupados ......................................................................... 37 
Moda para dados agrupados ............................................................................... 38 
Relação média, mediana e moda .................................................................................. 38 
Tarefas 03 .......................................................................................................... 39 
Unidade 06 43 
Medidas de dispersão .................................................................................................. 43 
Introdução .......................................................................................................... 43 
Medidas de dispersão .................................................................................................. 43 
Variação ou dispersão......................................................................................... 43 
Amplitude total .................................................................................................. 43 
Desvio médio ..................................................................................................... 44 
A Variância ........................................................................................................ 44 
Desvio padrão .................................................................................................... 45 
Coeficiente de variação ...................................................................................... 47 
Tarefas 04 .......................................................................................................... 48 
iv Índice 
Unidade 07 53 
Teorias de probabilidades ............................................................................................ 53 
Introdução .......................................................................................................... 53 
Introdução as teorias de probabilidades........................................................................ 53 
Experiência ........................................................................................................ 54 
Espaço Amostral ................................................................................................ 54 
Eventos .............................................................................................................. 55 
Definição de Probabilidades ........................................................................................ 55 
Teoria Clássica das Probabilidades ..................................................................... 55 
Limitações da definição clássica das probabilidades ........................................... 56 
Definição Frequencista de probabilidades ........................................................... 57 
Definição Subjectiva de probabilidades .............................................................. 57 
Propriedades das probabilidades ......................................................................... 58 
Probabilidade Condicional.................................................................................. 58 
Regra da Multiplicação das probabilidades ......................................................... 59 
Eventos Independentes ....................................................................................... 59 
Tarefas 05 .......................................................................................................... 61 
Unidade 08 65 
Variáveis aleatorias discretas (VAD) e Distribuição Binomial ..................................... 65 
Introdução ..........................................................................................................65 
Variável aleatória ........................................................................................................ 65 
Variáveis Aleatórias Discretas ............................................................................ 65 
Função densidade da variável aleatória x ............................................................ 66 
Propriedades da Média e Variância ..................................................................... 68 
Experimento Binomial ................................................................................................. 68 
gTarefas 06 ........................................................................................................ 70 
Unidade 09 74 
Variáveis aleatorias continuas ...................................................................................... 74 
Introdução .......................................................................................................... 74 
Variável aleatória Contínua ......................................................................................... 74 
Distribuição de probabilidade continua ............................................................... 74 
Propriedades da função densidades da probabilidade .......................................... 74 
Valor Esperado e Desvio padrão de v.a.c. ........................................................... 75 
Distribuição normal ou curva normal ........................................................................... 76 
Característica da distribuição normal .................................................................. 76 
Propriedades das probabilidades ......................................................................... 78 
Tarefas 07 .......................................................................................................... 80 
 
 
Visão geral 
Bem-vindo a Estatística Aplicada 
 
Neste módulo procura-se em primeiro lugar familiarizar os estudantes apresentando tarefas e 
suas respectivas resoluções que na sua maioria serão acompanhadas pelas respectivas 
explicações o que facilitará ao estudante perceber como é que se chegou a uma determinada 
solução da tarefa. 
Objectivos do curso 
Quando terminar o estudo de Estatística Aplicada será capaz de: 
 
 
Objectivos 
 Interpretar e usar correctamente os conceitos básicos da estatística; 
 Aplicar a fórmula de Yamane na extracção de uma amonstra; 
 Distinguir os dados estatístico quanto ao tipo e determinar as 
respectivas frenquencias; 
 Usar a representação gráfica e tabular de frequências; 
 Usar as medidas de tendência Central e de dispersão de uma amostra 
para estudar o comportamento de uma população; 
 Usar a definição frequencista e clássica para determinar a 
probabilidade da ocorrencia de um acontecimento; 
 Determinar a probabilidade da ocorrencia de um acontecimento em 
variáveis discretas ou contínuas; 
 
Quem deveria estudar este 
módulo 
Este Módulo foi concebido para todos aqueles que terminar as cadeiras 
curriculares do 1ºano do curso de Administração Pública com maior 
destaque para a cadeira de Matemática. 
2 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Como está estruturado este 
módulo 
Todos os módulos dos cursos produzidos por UCM - CED encontram-se 
estruturados da seguinte maneira: 
Páginas introdutórias 
 Um índice completo. 
 Uma visão geral detalhada do módulo, resumindo os aspectos-chave 
que você precisa conhecer para completar o estudo. Recomendamos 
vivamente que leia esta secção com atenção antes de começar o seu 
estudo. 
Conteúdo do módulo 
O módulo está estruturado em unidades. Cada unidade incluirá uma 
introdução, objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo 
actividades de aprendizagem. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista 
de recursos adicionais para você explorar. Estes recursos que inclui 
livros, artigos ou sites na internet podem serem encontrados na pagina de 
referencias bibliográficas. 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
Tarefas de avaliação para este módulo encontram-se no final de três ou 
quatro unidades. Sempre que necessário, inclui-se na apresentação dos 
conteúdos algumas actividades auxiliares que irão lhe ajudar a perceber a 
exposição dos restantes conteúdos. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários 
sobre a estrutura e o conteúdo do módulo. Os seus comentários serão 
úteis para nos ajudar a avaliar e melhorar este módulo. 
 
Ícones de actividade 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo 
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma 
nova actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Neste módulo destacamos particularmente a marca ( ) que foi usada 
para indicar as tarefas auxiliares que ajudarao-te a perceber os conteudos 
expostos. 
 
 
Habilidades de estudo 
Para suceder-se bem neste módulo precisará de um pouco mais da sua 
dedicação e concentração. A maior dica para alcançar o sucesso é não 
ignorar os textos que são apresentados como explicação para se chegar a 
solução da tarefa. 
Precisa de apoio? 
Em caso de dúvidas ou mesmo dificuldades na percepção dos conteúdos 
ou resolução das tarefas procure contactar o seu professor/tutor da 
cadeira ou ainda a coordenação do curso acessando a plataforma da 
UCM-CED Curso de Licenciatura em Administração Pública. 
 
 
 
Unidade 01 
Estatística - Introdução 
Introdução 
Nesta unidade pretende-se dar a noção do conceito da estatística como ciência e a 
sua subdivisão. Tambem vai-se proceder a classificação das variáveis quanto a 
natureza. 
 
Estatística - conceito 
É uma disciplina cujo objecto de estudo é a recolha, compilação, análise e 
interpretação de dados. 
Divide-se em dois grandes grupos: 
 Estatística Descritiva e 
 Estatística Indutiva ou Inferência Estatística. 
Estatística Descritiva 
É o ramo da estatística que procura somente descrever os aspectos 
importantes de um conjunto de elementos. 
 
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística 
É o ramo da estatística que consiste no uso das características de uma 
amostra para fazer generalizações sobre as características da população 
onde se obteve tal amostra. 
 
População ou Universo 
É o conjunto de elementos sobre o qual incide o estudo estatístico; a 
população deve ser definida claramente e em termos daquilo que se 
pretende conhecer. 
6 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Censo 
É o estudo de todos os elementos de uma população. 
Amostra 
É um subconjunto finito da população (razões para escolha de uma amostra: 
dimensão excessiva da população, economia e tempo). 
Variável 
É a característica estatística que se observa ou se estuda nos elementos da 
população; 
 
Exemplos 1.1 
1. O gestor de produção de uma fábrica pretende ter uma ideia da 
percentagem de peças defeituosas que a fábrica produz em determinado 
período de tempo. 
 A população em estudo é constituída por todas as peças produzidas pela 
fábrica durante aquele período. 
 
Exemplos 1.2 
2. Num estudo de mercado para construção de um centro comercial, 
interessa estudar o rendimento familiar mensal dos habitantes de uma certa 
cidade. 
A população é constituída pelas famílias daquela cidade e; 
A variável ou característica estatística é o rendimento familiar mensal. 
 
Exemplos 1.3 
3. Uma determinada empresa pretende realizar um inquérito aos seus 
trabalhadores, onde lhes é pedido para classificarem a qualidade de serviço 
do centro social, segundo a seguinte escala: fraco, razoável, bom ou muito 
bom. 
 
 
Os trabalhadores da empresa constituem a população em estudo,a 
característica estatística é a opinião acerca da qualidade de serviço do 
centro social. 
Classificação das variáveis 
Conforme a natureza dos dados as variáveis podem ser: Quantitativas ou 
Qualitativas. 
Variáveis Quantitativas 
São as que podem assumir valores numéricos que representam quantidade. 
Há dois tipos de variáveis quantitativas: Rácio e Intervalo. 
Variável quantitativa de rácio 
É uma variável quantitativa medida numa escala, tal que se pode estabelecer 
rácios entre os seus valores com algum significado e está definido o valor 
zero. 
Exemplo: 
Em cada dez moçambicanas uma é contabilista. 
Variável quantitativa de intervalo 
É uma variável quantitativa na qual rácios não têm qualquer significado. 
Exemplo: 
A temperatura (em graus centigrados) é uma variável de intervalo. Não faz 
sentido dizer que uma temperatura de 60ºC corresponde ao dobro de 
aquecimento em relação a temperatura de 30ºC. E uma temperatura de 0ºC, 
não significa que não houve temperatura. 
 
Ainda sobre variáveis quantitativas, podemos classifica-las em Discretas ou 
Contínuas. 
8 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Variável quantitativa discreta ou contínua 
Uma variável que pode assumir teoricamente qualquer valor entre dois dados, 
chama-se variável contínua; de outro modo denomina-se variável discreta. 
Exemplos 
1. O número de crianças, em uma família, que pode assumir qualquer um 
dos valores 0, 1,2,3,...., mas não pode ser 2.5 ou 3.4582! por isso é uma 
variável discreta. 
2. A altura de um individuo que pode ser 1.65 metros, 1.6662,... conforme a 
precisão da medida, é uma variável contínua. 
Variáveis Qualitativas 
São aquelas que expressam qualidade das características estatísticas. 
Exemplo: 
 A qualidade de serviço prestado por um centro social. 
 
 Há dois tipos de variáveis qualitativas: Ordinal e 
Nominativa. 
Variável qualitativa ordinal 
É uma variável qualitativa na qual a ordem e o ranking das categorias fazem 
sentido. 
Exemplo, 
 Estudantes podem ser solicitados a avaliar a efectividade dos professores, 
ordenando nas categorias de, excelente, bom, médio ou mau. 
Aqui uma categoria é superior que a categoria imediatamente a seguir. 
Variável qualitativa nominativa 
É a variável qualitativa na qual a ordem não faz qualquer sentido. 
Por exemplo, estado civil 
Solteiro, casado, divorciado, viúvo 
 
Unidade 02 
Processo de amostragem 
Introdução 
Nesta unidade vamos aprender os diferentes processos de estratificaçao de uma 
amonstra. Tambem iremos estudar as vantagens de cada um dos processos na 
avaliaçao do comportamento de uma determinada populaçao. 
 
 
 
Objectivos 
 
 
 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Saber a intenção de extracção de uma amostra; 
 Distinguir os processos de amostragem e conhecer as vantagens de 
cada um deles. 
 
 
2.1.0. Processo de amostragem 
 
Amostragem 
É o processo de selecção de uma amostra a ser pesquisada. 
Objectivo geral na extracção de uma amostra 
Obter uma representação “honesta” da população que conduza a estimativas 
das características da população com “boa” precisão relativamente aos 
custos de amostragem, isto é, obter uma amostra representativa da 
população. 
A amostra pode ser com ou sem reposição: 
Amostra com reposição 
Em que cada elemento da população pode ser escolhido mais de uma vez. 
10 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Amostra sem reposição 
Se cada elemento da população não pode ser escolhido mais de uma vez. 
Amostra sem reposição é melhor, porque dá-nos uma visão mais clara da 
população. 
Métodos de Amostragem 
Existem dois grandes grupos de métodos para seleccionar amostras: 
 Os Métodos aleatórios também chamado Amostragem 
Aleatória e; 
 Os métodos não aleatórios ou Amostragem não Aleatória. 
 
 Amostragem Aleatória 
É caracterizada por todos os elementos da população poderem ser 
seleccionados de acordo com uma probabilidade pré-definida e em que se 
podem avaliar objectivamente as estimativas das propriedades da população 
obtidas a partir da amostra. 
Métodos de amostragem aleatórias: Amostragem aleatória simples, 
Amostragem sistemática e Amostragem estratificada. 
Amostragem Aleatória Simples 
De um modo geral para seleccionarmos uma amostra aleatória devemos ter 
em primeiro, a lista ou quadro completo de todas as unidades da população. 
Isto para facilitar a enumeração da população. 
Este tipo de amostra é muito dispendioso, e muitas vezes impraticável por 
exigir a listagem e enumeração de toda a população, daí ser poucas vezes 
adoptado. Mas se a população for pequena ou se existirem listas com 
elementos da população, este método mostra-se ser bastante útil. Exemplo 
da selecção de 2 trabalhadores entre 15 (anexo). 
Amostragem Aleatória Sistemática 
Quando não é possível enumerar as unidades da população, neste caso 
escolhe-se todos os n múltiplos membros. 
 
 
Amostragem Aleatória Estratificada 
Quando dividimos a população em subgrupos ou extractos específicos 
diferentes uns dos outros, mas que juntos formam a população. 
Exemplo 1.3: Estratificação 
Uma certa empresa é composto por 320 motoristas, 80 ajudantes e 40 
mecânicos. 
Pretendemos seleccionar uma comissão de 11 trabalhadores de modo a 
obter a representatividade de todos os trabalhadores da empresa. 
 
Amostragem não Aleatória 
É um método de carácter pragmático ou intuitivo. 
Uma clara inconveniência deste método é o facto da inclusão de um 
elemento da população na amostra ser determinado por um critério 
subjectivo, normalmente uma opinião pessoal; um outro incoveniente é que 
existe elementos da população que não têm possibilidade de ser escolhidas. 
 
Tipos de Amostras não Aleatória 
 Amostra intencional; 
 Amostra por quotas; 
 Amostra por conveniência 
 Amostra “snowball” 
Tamanho de amostra 
Fórmulas de extracção de amostra (Yamane, 1967) 
Para determinar o tamanho da amostra, podemos usar a fórmula geral de 
Yamane (1967). 
 N – Número total da população 
 n – Tamanho da amostra 
 e – Nível de significância 
 
 21 eN
Nn


12 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Maior tamanho da população, menor percentagem da população necessita 
se para ter um tamanho da amostra representativo. 
 
 
Tarefas 01 
1. Defina a População. De quatro exemplos de população que poderá ser 
estudado em uma pesquisa. 
2. Abaixo apresenta-se uma lista de variáveis. Indica quais são as Variáveis 
Qualitativas e as Quantitativas justificando a sua resposta. 
 Valor monetário indicado na factura de uma certa empresa; 
 O lucro líquido da empresa Mcel em 2007: 
 O mercado de acções onde uma empresa negocia as suas acções; 
 A dívida externa de Moçambique; 
 O meio de comunicação usado por uma empresa para publicidade de 
um produto; 
 A taxa de inflação média de 2007. 
3. Indique quais das seguintes variáveis são Discretas ou Continuas: 
 Números de acções vendidas diariamente na bolsa de valores de 
Moçambique; 
 Vida média das válvulas de televisão produzidas por uma 
determinada companhia; 
 Comprimentos de 100 parafusos produzidos por uma fábrica; 
 As cores dos autocarros da Transportes Públicos Beira; 
 A altura média dos estudantes da UCM – CED; 
 Número de sapato do Sr. Caetano. 
4. Explica o significado de cada um dos seguintes termos: 
 Estatística Descritiva; 
 Inferência Estatística; 
 Amostra; 
 Censo; 
 Amostragem com reposição; 
 Amostragem estratificada. 
5. Explica com um exemplo prático porque a amostragem sem reposição é 
preferível do que a amostragem com reposição? 
14 Módulo de Estatística AplicadaBeira, Janeiro de 2012 
6. Suponha que pretende elaborar uma pesquisa na cidade da Beira, com o 
tema: Impacto sócio económico das Micro finanças no sector Informal, 
durante 2005 - 2007. Diga qual seria a fórmula apropriada para extracção do 
tamanho da amostra? Porque? e diga os passos para esta pesquisa. 
7. Os estudantes da UCM – CED, pretendem conduzir uma pesquisa com o 
tema Impacto de micro crédito no sector informal, eles apresentaram uma 
população de 1276 vendedores que beneficiaram de crédito fornecidos pelos 
Bancos Procredit e a Socremo, respectivamente, para a representatividade 
da sua amostra consideram ao 5% de nível de significância. Usando a regra 
de Yamane (1967), determina o tamanho da amostra? 
8. A MOZILIMPA apresentou a seguinte relação dos trabalhadores em 
sector de actividades. 
Sector de actividades Número de trabalhadores 
Recursos Humanos 34 
Financeiro 67 
Produção 452 
Administração 134 
Total 687 
 Calcule o tamanho de amostra na abordagem de Yamane 
(1967), considerando o nível de significância de 5%. 
 Qual será o processo de amostragem de modo a obedecer a 
representatividade da população e efectua a amostragem. 
9. Segundo o Instituto Nacional de Estatística, o censo de 2005 apresentou 
13987 famílias na cidade da Beira. Os estudantes da UCM – CED curso de 
Administração Pública, pretendem analisar o rendimento médio das famílias 
nesta cidade, qual será a amostra representativa, dando o nível de 
significância de 5%. 
 
Unidade 03 
Representação de Dados Estatístico. 
Intervalos entre classes. 
Introdução 
Nesta unidade teremos a chance de aprender a encontrar a amplitude e frequencias 
de dados agrupados e não agrupados. Ainda nesta unidade vamos determinar os 
limites inferior e superior de uma determinada classe assim como usar a regra 
prática para determinaçao do numero de classes. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Distinguir dados agrupados de nao agrupados; 
 Determinar a amplitude total dentro de um rol de dados. 
 Calcular as frequencias de dados estatístico e a sua respectiva distribuição. 
 Determinar os limites superior e inferior de uma classe de intervalos assim como 
ponto médio. 
16 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
3.1.0. Representação de dados 
Estatísticos 
Dados Brutos 
São aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Exemplo: 
Conjunto das alturas de 100 estudantes do sexo masculino tirado de uma 
lista alfabética do registo da universidade; 
Dados Agrupados 
São dados organizados e resumidos em forma de intervalos. 
Rol 
É um arranjo de dados numéricos brutos por ordem crescente ou 
decrescente de grandeza. 
Amplitude Total 
É a diferença entre o maior e o menor número do rol. 
 
Exemplo: 
Consideremos os seguintes dados 
1, 5,4,1,3,2,2,1 Dados Brutos 
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 Rol 
5 - 1 = 4 Amplitude Total 
 
Frequência Absoluta (Fi) 
é o número de vezes que um sucesso (evento) acontece. 
n
nF ii
 
 
Frequência Relativa (Fr) 
é a proporção do número de sucessos (eventos) em relação ao total de 
sucessos. 
Frequência Relativa Percentual (fr) 
 
 
Frequência Acumulada (fa) 
é aquela que vai-se acumulando; 
Distribuição de frequência 
é o arranjo tabular dos dados com as respectivas frequências. 
 
100*


fX
ffr


fX
fFr
18 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Quadro de frequências ou tabela 
de frequências. 
 
 
Exemplo: 
Os dados que se seguem são relativos às vendas (em contos) de 30 
vendedores da MundoLar durante o mês de Outubro passado. 
120 130 80 100 110 100 90 70 140 120 
140 110 100 100 110 70 90 90 130 150 
160 80 70 120 100 110 110 80 100 120 
 
 
 
 
Dados não agrupados 
 
 
 
Dados agrupados 
 
20 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Intervalos de classes 
Intervalo de Classe é um símbolo que define uma classe, como 81 - 100 da 
tabela anterior. 
Os números extremos, 81 e 100, são denominados limites de classe. O 
número menor, 81, é o limite inferior da classe e o maior, 100 é o limite 
superior. 
Limite real Superior de classe é obtido adicionando-se o limite superior de 
um intervalo de classe ao limite inferior da classe seguinte e dividindo-se a 
soma por 2. 
Limite real inferior da classe é obtido adicionando-se o limite inferior do 
intervalo ao limite superior da classe anterior e dividindo-se a soma por 2. 
Amplitude do intervalo de classe é a diferença entre os limites reais 
superior e inferior. 
Os intervalos de classe podem ter a mesma amplitude ou amplitudes 
diferentes dependendo da natureza dos fenómenos a estudar. 
Ponto médio é o ponto intermediário do intervalo de classe e é obtido 
somando-se o limite inferior ao superior e dividindo-se a soma por 2. 
Assim, o ponto médio do intervalo 81 - 100 é 90.5. 
 
Regras práticas para determinação do nº de classes: 
nº de classes ≈ 
onde n é o número de dados (usualmente empregue quando n é maior que 
25). 
 
n
 
 
Regras gerais para elaborar uma distribuição de frequências 
1. Obter a amplitude dos dados (diferença entre o maior e o menor número 
dos dados); 
2. Determinar o número de classes com recurso à formula; N° de 
classes ≈ ; 
3. Obter a Amplitude de cada Intervalo de Classe: 
 
 
30
Classes de Intervalo de Numero
otalAmplitudeTClasse de Intervalo do Amplitude 
22 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Unidade 04 
Representação gráfica de Dados 
Estatístico. 
Introdução 
Nesta unidade vamos ver a representação gráfica de dados estatísticos. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
Tipos de representações gráficas 
de dados 
 Stem-and-Leaf; 
 Diagrama de barras; 
 Diagrama circular; 
 Histograma; 
 Polígono de frequências 
 Polígono de frequências acumuladas ou Ogivas 
Representação Stem-and-Leaf (folhas e caule) 
É uma representação de dados quantitativos na forma gráfica, que ajuda a 
visualizar a forma da distribuição dos dados. 
Um Stem and Leaf básico contém duas colunas separadas por uma linha 
vertical. A coluna da esquerda contém os stems e a coluna da direita contém 
os leaves. 
 
 
Para construir um Stem-and Leaf, as observações devem estar organizadas 
na ordem crescente de grandeza. 
Exemplo: 54,56,57,59,63,64,66,68,68,68,72,72,75,76,81,84,88,106 
 
5 4 6 7 9 
6 3 4 6 8 8 8 
7 2 2 5 6 
8 1 4 8 
10 6 
Chave:5| 4 = 54 
 
Representação por meio de diagrama de barras 
É uma representação gráfica para variáveis discretas, que consiste em 
marcar num sistema de eixos coordenados, no eixo do X, o valor das classes 
e nesses pontos barras verticais de altura igual à frequência absoluta ou 
relativa. 
Nota: de preferência utilizar as frequências relativas, pois para comparar 
diagramas de barras de amostras diferentes, temos a garantia de que a 
soma das barras é igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de barras
0
1
2
3
4
5
6
7
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
Fr
eq
ue
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
24 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Representação por meio de diagrama circular 
Como o nome sugere esta representação é constituída por um circulo, em 
que se apresentam vários sectores circulares, tantos quanto as classes 
consideradas na tabela de frequências da amostra em estudo. 
Os ângulos dos sectores são proporcionais às frequências das classes. 
Por exemplo uma classe com uma frequência relativa igual a 0.20, terá no 
diagrama circular um sector comum ângulo igual a 360*0.20 = 72 graus. È 
uma representação essencialmente para dados qualitativos. 
Exemplo: 
Categoria profissional dos funcionários de uma repartição pública. 
 
Representação das frequências num diagrama circular 
 
 
 
 
 
 
 
47%
29%
17%
7%
47%
29%
17%
7%
 
 
 
Representação por meio de polígono de frequências 
Um polígono é um gráfico de linha em que as frequências são colocadas 
sobre perpendiculares levantadas nos pontos médios. 
Pode se também obtê-lo ligando-se todos os pontos médios dos topos dos 
rectângulos de um histograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação gráfica das frequências acumuladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
polígono de frequencias para dados não agrupados
0
1
2
3
4
5
6
7
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
Fr
eq
ue
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
polígono de frequencias para dados não agrupados
0
1
2
3
4
5
6
7
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
Fr
eq
ue
nc
ia
 a
bs
ol
ut
a
Representação grafica das frequencias 
acumuladas -Ogivas
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
fre
qu
en
ci
as
 re
la
tiv
as
 
ac
um
ul
ad
as
Representação grafica das frequencias 
acumuladas -Ogivas
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
fre
qu
en
ci
as
 re
la
tiv
as
 
ac
um
ul
ad
as
26 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Representação por meio de Histograma 
No histograma tomamos rectângulos justapostos, cada um com base 
proporcional á amplitude da classe respectiva e a altura é dada por: 
hi = ni / (ai+1 – ai) = (para frequências absolutas) 
hi = fi / (ai+1 – ai) = (para frequências relativas) 
Onde hi = é a altura; 
ni = frequência absoluta da classe 
ai+1 = limite superior da classe 
ai = limite inferior da classe 
 
Um histograma com amplitudes iguais consiste em um conjunto de 
rectângulos que tem: 
1. As bases sobre o eixo horizontal (eixo das abcissas) com o centro no 
ponto médio e as larguras iguais as amplitudes dos intervalos de classe; 
2. As áreas proporcionais às frequências das classes. 
No caso de histogramas com amplitudes diferentes, a altura de cada 
rectângulo deixa de ser proporcional à frequência da célula correspondente, 
passando a ser proporcional a frequência por unidade da amplitude da 
célula. 
Histograma com amplitudes iguais 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma
10%
20%
36,70%
20%
10%
3,30%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
1
Vendas
Fr
eq
u~
en
ci
as
60 - 80
80 - 100
100 - 120
120 - 140
140 - 160
160 - 180
 
 
Histograma com amplitudes diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de frequência para dados agrupados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polígono de frequência acumuladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma c' amplitudes diferentes
2
3
4
1
3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
Temperaturas
Fr
eq
./a
m
p.
 c
el
ul
as 9,5 -12,5
12,5 -15,5
15,5 - 20,5
20,5 - 30,5
30,5 - 50,5
Polígono de frequências para dados agrupados
0
2
4
6
8
10
12
60 - 80 80 - 100 100 - 120 120 - 140 140 - 160 160 - 180
vendas
Fr
eq
.A
bs
ol
ut
as
Series1
Representação grafica das frequencias 
acumuladas -Ogivas
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
Vendas
fre
qu
en
ci
as
 r
el
at
iv
as
 
ac
um
ul
ad
as
28 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Curvas de frequências 
Curvas de frequência aparecem, na prática, sob diversas formas 
características, os tipos de curvas comuns são: 
Curvas de frequência simétrica ou em forma de sino 
Caracterizam se pelo facto das observações equidistantes do ponto central 
máximo terem a mesma frequência; 
Curvas de frequência moderadamente assimétrica 
A cauda da curva de um lado da ordenada máxima é mais longa do que do 
outro lado. 
Se o ramo mais alongado fica à direita, a curva é dita desviada para 
direita, ou assimétrica positiva, enquanto que, se ocorre o inverso, diz-se 
que a curva é desviada para esquerda ou assimétrica negativa. 
 
 
 
Tarefas 02 
1. As Taxas de inflação média os anos 1997 a 2007 foram os seguintes: 17%; 
45%; 38%; 27%; 6%; 48%; 11%; 57%; 34%; 22% 
1. Apresente em Rol o crescimento da taxa de inflação média nos anos 1997 
a 2007. 
2. Determine a Amplitude Total das taxas média de inflação. 
2. Segundo uma pesquisa realizada em 2007 na cidade do Dondo, 
apresentaram a seguinte informação: 
Número de Filhos 
dependentes (X) 
Frequências 
Observada 
0 32 
1 46 
2 50 
3 40 
4 16 
5 8 
a) Represente a tabela de frequência relativa. 
b) Represente a tabela de frequência acumulada. 
c) Apresenta o diagrama de barra. 
3. A Direcção da Agricultura do Distrito de Nhamatanda apresentou uma 
amostra de 49 camponeses, em função do rendimento médio do ano 2007 
da produção de milho. 
30.8 30.9 32.0 32.3 32.6 
31.7 30.4 31.4 32.7 31.4 
30.6 32.5 30.8 31.2 31.8 
31.6 30.3 32.8 30.6 31.9 
32.1 31.3 32.0 31.7 32.8 
33.3 32.1 31.5 31.4 31.5 
30 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
31.3 32.5 32.4 32.2 31.6 
31.0 31.8 31.0 31.5 30.6 
32.0 30.4 29.8 31.7 32.2 
32.4 30.5 31.1 30.6 
Em função da tabela determine: 
a) Ilustra esta situação no sistema Steam and Leaf. 
b) Faça a tabulação de Frequências. 
4. Uma pesquisa social no Bairro da Manga (na cidade da Beira), apresentou 
os seguintes dados referentes ao número de filhos por famílias: 
1 2 3 2 2 
2 2 3 2 6 
2 1 1 0 
1 2 1 2 
2 1 2 4 
a) Apresente a tabela da distribuição de frequências 
b) Faça a apresentação do diagrama circular, que conclusão 
se pode tirar em torno dos dados apresentados. 
5. A Tabela abaixo mostra a distribuição de frequências dos salários 
semanais dos 65 trabalhadores da empresa Mafuia Comercial, em 
Meticais. 
Salários (Meticais) Numero de Empregados 
5000 – 5999 5 
6000 – 6999 12 
7000 – 7999 13 
8000 – 8999 17 
9000 – 9999 6 
 
 
10000 – 10999 9 
11000 – 11999 2 
Com base na informação da tabela determine: 
5. Faça a apresentação tabular das frequências absolutas, 
frequências acumuladas, frequências relativas, amplitude de 
intervalo de classes, pontos médios, intervalos de classes. 
6. Efectue as seguintes situações: Histograma; Polígono de 
frequências e Ogiva. 
6. Uma amostra da UCM – CED apresentou os pontos médios de uma 
distribuição de frequências de pesos dos estudantes são: 64; 68.5; 73; 77.5; 
82; 86.5 e 91 quilos. Determine: 
 Amplitude do intervalo de classe. 
 Os limites reais de classe 
 Os limites reais de classes, admitidos se que os pesos 
foram determinados com precisão ate meio quilo. 
 Represente graficamente os resultados. 
7. A menor nota do teste de Macroeconomia no universo de 150 estudantes é 
5.18 valores e a maior é 7.44 valores. Determine: 
 Intervalos de classe. 
 Limites reais de Intervalo de classe. 
 Pontos médios que podem ser usados na formação de 
distribuição de frequência dessas notas. (Hint: apresente 5 ou 6 
intervalos de classes}. 
8. Na tabela seguinte estão relacionados os pesos de 40 trabalhadores do sexo 
masculino da Mobeira, SARL. 
69 75 72 74.5 
73 70 68 76 
84 69 81.5 77 
73 71 67.5 70 
32 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
80.5 67.5 75 72.5 
82 66 62.5 78.5 
79 73.5 74 72 
63 88 59.5 82.5 
86.5 73.5 76.5 67.5 
72.5 71 78 64 
Usando a informação da tabela apresente: 
 Tabulação de frequências. 
 Construa um histograma. 
 Construa um polígono de frequências. 
8. Dada a distribuição dos salários da empresa Mobilandia, SARL. 
Salários (X, mil Meticais) Frequências 
45 – 50 10 
50 – 60 6 
60 – 64 5 
64 – 75 4 
75 – 95 15 
 Construao Histograma e Polígono de frequências acumuladas. 
 
 
Unidade 05 
Medidas de tendência central 
Introdução 
Na unidade 5, vamos abordar aspectos relacionados com parametros que nos 
ajudao a caracterizar os dados em estudo tais como a média, moda e mediana. Para 
além disso vamos ver a distribuição simétrica onde abordaremos aspectos da 
relaçao entre a média , moda e mediana. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Saber interpretar as medidas de tendencia central; 
 Relacionar as medidas de tendecias centrais 
Medidas de tendência central 
São chamados Medidas de Tendência Central às medidas que representam 
os fenómenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a 
concentrarem-se os dados. 
Três medidas de tendência central mais conhecidas são: a Média, a 
Mediana e a Moda. 
A Média para dados não agrupados 
É um valor típico ou representativo de um conjunto de dados. Como esse 
valor típico tende a se localizar em ponto central dentro de um conjunto de 
dados ordenados em rol, a média é denominada medida de tendência 
central. 
 os valores distintos de um conjunto de n 
dados, a média aritmética representa-se por e é dado por: 
nX .......... X X X Seja 3,2,1,
X
34 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
 
A Média para dados não agrupados com frequências absoluta 
Se os números ocorrem com frequências 
 a média aritmética é dada por : 
 
 
Exemplo: 
A tabela de frequências que se segue é relativa ao número de pneus 
produzidos por dia na fábrica MABOR, para uma amostra de 30 dias. 
 
Apartir dos dados da tabela podemos calcular a media usando a segunda formula 
uma vez que temos as respectivas frequencias absolutas, isto é: 
933,23
30
718
...
....
21
2211






X
fff
fXfXfX
f
fX
X
n
nn
i
ii
 
 
A Média para dados agrupados 
 
Exemplo: Dada a tabela abaixo, calcule a média aritmética 
 
 
 
Propriedades da média 
1. A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação a 
média aritmética é igual a zero. Isto é, 
2. A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de números Xj, em 
relação a qualquer número a, é um mínimo quando a = X e somente neste 
caso. 
3. Se f1 números têm média m1, f2 números têm média m2,....fk têm média 
mk, a média de todos os números. 
 
Mediana para dados não agrupados 
Trata-se do valor que divide o conjunto de dados, ordenados por ordem 
crescente, em duas partes iguais. Isto é, como o próprio nome indica, é o 
ponto mediano de um conjunto de dados ordenados em ordem crescente. 
625.20
40
825



i
im
f
fX
X
  0 XXi  0 XX i
k21
kk2211
f...........ff
mf.......mfmfX



36 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Sejam x1, x2, ....xn são n observações ordenadas por ordem crescente de 
grandeza e que constituem o conjunto de dados em análise. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o Rol: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12 (impar) 
 
Exemplo: Para os dados 3, 5, 6, 7, 8, 10. (Par) a mediana é : 
 
 
Mediana para dados agrupados 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A classe mediana é o primeiro intervalo que tem a 
frequência acumulada maior que n dividido por 2. 
 
 
 
 
 
  imparfor n o se,
2
1nMediana 
  imparfor n o se,
2
1nMediana 
parfor n o se1,
2
X
2
XMediana nn  parfor n o se1,
2
X
2
XMediana nn 
    64
2
17
2
1




 PosicaonMediana a
    5.6
2
76
2
1
22
1
22
4366 




XXXXXXMediana nn
mediana. classe da Frequencia - 
mediana. classe da Amplitude - h 
(antes). mediana classe a ate acumulada Frequencia - 
s.observacoe de numeroou totalfrequenciaou dados de Numero - n 
mediana. aconter que o e, isto media, classe dainferior real Limite - 
:
*2
)1(
)1(
mediana
medina
mediana
mediana
medina
mediana
f
f
L
Onde
h
f
fn
LMediana

 




 

 
Exemplo de mediana para dados agrupados 
 
 
 
 
 
 
 
Moda para dados não agrupados 
A moda é o valor mais frequente num conjunto de dados. 
Exemplo para dados não agrupados: 
a. {2, 3, 4, 4, 5} Mo = 4 (já que a moda é única então diz-se que a 
distribuição é Unimodal); 
b. {2, 2, 3 4, 4, 5} Mo = 2 e 4 (distribuição Bimodal) 
Havendo mais de 2 valores modais, a distribuição diz Multimodal. Quando 
os dados estão agrupados em classe, a classe modal é aquela que tem maior 
frequência por unidade de amplitude. 
75.155*
40
50
2
120
5.14
*2
)1(






 






 


Mediana
h
f
fn
LMediana
mediana
medina
mediana
38 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Moda para dados agrupados 
 
 
 
 
Observação: A classe modal é o intervalo que tem maior frequência 
Exemplo da moda para dados agrupados: 
 
 
Relação média, mediana e moda 
As distribuições de frequências podem ser Simétricas ou não Simétricas. 
Considerando apenas distribuições Unimodais, temos: 
a. Distribuições simétricas: 
b. Distribuições assimétricas positivas: a cauda direita é mais longa e 
menos abrupta do que a esquerda. 
c. Distribuições assimétricas negativas: a cauda esquerda é mais longa e 
menos abrupta do que a direita. 
Nas distribuições assimétricas os valores extremos da cauda mais longa 
puxam a média para o lado direito. A mediana, como divide a área em duas 
partes iguais, para compensar a redução de área no lado abrupto, afasta-se 
também da moda, mas menos do que a média. 
 
posterior. frequencia a relacao em modal frequencia da excesso o e - 
moda. aanterior frequencia a relacao em modal frequencia da excesso o e - 
:
*
2
1
21
1
mod
d
d
Onde
h
dd
dLimiteModa al 







4375.21*
97
72*
21
1
mod 













 h
dd
dLimiteModa al
ModaMedianaMedia 
MediaMedianaModa 
ModaMedianaMedia 
 
 
Tarefas 03 
o Determinar a média, a mediana e a moda dos conjuntos de números: 
a. 7; 4; 10; 9; 15; 12; 7 b. 8; 11; 4; 3; 2; 5; 10; 6; 4; 10. 
o Uma variável aleatória X é discreta, com uma distribuição 
caracterizada pelo seguinte: Média = Moda =10 
Tabela de frequências relativas 
X C 0 d 
F 0.2 0.3 0.5 
o Determinar os valores numéricos de c e d. 
o Os Salários mensais de quatro trabalhadores do Departamento de 
Pesquisa & Investigação da empresa “Sunsol” são, (em meticais): 15 000; 
19 000; 29 500; e 95 000. Determinar o Salário Médio dos referidos 
trabalhadores. Poder-se-ia dizer que essa média é típica dos salários? 
Explica a sua resposta. 
o Seja X o número de acidentes que ocorre num mês nesta fábrica. A 
distribuição de frequências de X é dada por: 
X 1 2 3 4 
Freq. Relativas 0.41 0.33 K L 
Determine o valor de K e L de modo que o número esperado de acidentes 
num mês seja 1.95. 
o Consideremos a distribuição salarial de 16 colaboradores de uma 
certa empresa que ocupam o mesmo cargo. 
Salários (em milhares de Meticais) 70 74 82 91 95 
Número de funcionários 3 6 10 3 1 
 
40 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Calcule a média aritmética, a moda e a mediana. O que pode concluir 
quanto assimetria da distribuição? 
o Num torneio de basquetball, realizado na cidade da Beira, 
participaram três equipas e cada equipa fez cinco jogos. Na tabela seguinte 
estão representados os resultados por jogo e por equipa. 
Equipas 
I 
jogo 
II 
Jogo 
III 
jogo 
IV 
jogo 
V 
jogo 
Ferroviário da Beira 45 77 54 99 78 
Estrela Vermelha de Maputo 85 90 44 80 46 
Académica de Maputo 95 101 65 88 55 
 
a. Suponha que você pretende juntar-se a uma das três 
equipas de basquetball.,se ordenar cada equipa pela 
média dos seus resultados, que equipa irá se juntar? 
b. No lugar de considerar a média dos resultados, se usar a 
mediana dos resultados de cada equipa para tomar a sua 
decisão, que equipa irá se juntar? 
c. Suponha que você é treinador da Académica e está 
sendo entrevistado acerca do desempeno do seu team por 
um jornal local. Seria melhor para reportar a média ou a 
mediana dos resultados? 
 
o Uma nova Universidade que está a se estabelecer na cidade da 
Beira, pretende pagar aos seus docentes um salário anual de 170 000, 00 
meticais. O administrador da universidade quer comparar este salário com 
os salários pagos por outras universidades. Para fazer este estudo, o 
administrador seleccionou aleatoriamente uma amostra de 14 docentes 
dentre milhares de docentes de diferentes Universidades. Cada docente da 
 
 
amostra foi questionado acerca do seu salário referente aos anos anteriores. 
Os 14 salários expressos em 1.000 MT, são dados abaixo: 
127 241 132 154 171 141 121 
161 192 138 177 152 146 144 
o Calcula a média e a mediana e explica porque as duas 
medidas são diferentes? 
o Qual das duas medidas melhor representa a tendência 
central? Explica a sua resposta. 
o Como é a mediana da amostra de salários pode se comparar 
com o salário de 180 000 MT proposto? Será que esta 
proposta de salário é suficientemente competitiva? Comente 
a sua resposta. 
 
o Dada a distribuição dos salários da empresa Mobilandia, SARL. 
Salários (X, mil Meticais) Frequências 
45 – 50 10 
50 – 60 6 
60 – 64 5 
64 – 75 4 
75 – 95 15 
Faça o estudo da assimetria desta distribuição de frequências. 
 
 
 
42 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
o A partir da tabela apresentada, determine a Media, Moda e Mediana 
da distribuição. 
Intervalos Frequências (fi) 
10 – 20 10 
20 – 30 20 
30 – 40 35 
40 – 50 40 
50 – 60 25 
 
o A Direcção da Agricultura do Distrito de Nhamatanda apresentou 
uma amostra de 49 camponeses, em função do rendimento médio do ano 
2007 da produção de milho. 
30.8 30.9 32.0 32.3 32.6 
31.7 30.4 31.4 32.7 31.4 
30.6 32.5 30.8 31.2 31.8 
31.6 30.3 32.8 30.6 31.9 
32.1 31.3 32.0 31.7 32.8 
33.3 32.1 31.5 31.4 31.5 
31.3 32.5 32.4 32.2 31.6 
31.0 31.8 31.0 31.5 30.6 
32.0 30.4 29.8 31.7 32.2 
32.4 30.5 31.1 30.6 
Em função da tabela faça o estudo da assimetria. 
 
 
Unidade 06 
Medidas de dispersão 
Introdução 
Tal como vimos na unidade 5, nesta unidade vamos abordar aspectos relacionados 
com parametros que tambem nos ajudarao a caracterizar os dados estatisticos tais 
como a variança e o desvio padrão. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Saber interpretar as medidas de dispersão; 
 
Medidas de dispersão 
Variação ou dispersão 
É o grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um 
valor médio. 
Dispõe-se de várias medidas de dispersão, sendo as mais comuns a 
Amplitude Total, o Desvio Médio, a Variância e o Desvio Padrão. 
 
Amplitude total 
É a diferença entre o maior e o menor elemento de um conjunto de dados. 
Exemplo: 
A amplitude total do conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 
Amplitude Total : 12-2 =10 
 
44 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Desvio médio 
Seja um conjunto de N números, X1, X2, ..., XN é definido por: 
 
 
Onde: 
 é a média aritmética dos números. 
 é o valor absoluto do desvio de Xj em relação X. (o valor 
absoluto de um número é o próprio número, sem o sinal que lhe é 
associado). 
 
Exemplo: 
 Determinar o desvio médio do conjunto de números 2, 3, 6, 8, 11. 
 
 
 
A Variância 
Dado um conjunto de dados, a variância é definida como o quadrado do 
desvio padrão e, é denotado por: s2 ou δ2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
XX i 
Medio Desvio
X
XX i 
8.2
5
61168666362
6
5
118632






oDesvioMedi
X
 
 
 











i
im
i
ii
i
f
fxX
f
xXf
n
xX
2
2
2
2
2
2
Agrupados Dados
sFrequencia com Agrupados Nao Dados
sFrequencia sem Agrupados Nao Dados



 
Exemplo: 
 
Desvio padrão 
É a raiz quadrada da variância e denota-se por σ ou s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Variância e desvio padrão para dados não agrupados. 
Seja: {5, 10, 15, 20, 25} X = 15 
 
 
 
 
 
 
 











i
im
i
ii
i
f
fxX
f
xXf
n
xX
2
2
2
Agrupados Dados
sFrequencia com Agrupados Nao Dados
sFrequencia sem Agrupados Nao Dados



46 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Variância e Desvio Padrão para dados agrupados 
 
 
 
 
 
 
07.750
50
5
250
sFrequencia sem Agrupados Nao Dados
2
2






n
xXm
 
070.34275.9
4275.96225.61
20
1421
 Agrupados Dados
2
2








i
im
f
fxX
 
 
Coeficiente de variação 
A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou 
qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão absoluta. 
Entretanto, uma variação ou dispersão de 10 cm, na medida de uma 
distância de 1000 metros, é inteiramente diferente, quanto ao efeito, da 
mesma variação de 10 cm em uma distância de 20 metros. 
A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, denominada 
por Coeficiente de variação. 
 
 
 
 
 
 
%100*Variacao de eCoeficient
%100*Variacao de eCoeficient
X
Media
aoDesvioPadr



48 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Tarefas 04 
1. Determinar a Amplitude Total dos conjuntos de dados abaixo: 
a) 7; 4; 10; 9, 15, 12, 7. 
b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7. 
 
2. Determinar o Desvio Médio absoluto dos cojuntos de números abaixo: 
a) 10, 25, 35, 15 e 50 
 
b) 
 
c) 
 
3. Calcular a Variancia e Desvio Padrão dos seguintes números: 
5, 10, 15, 20, 25. 
 
4. Somando-se 5 a cada um dos números do conjunto 3, 6, 2, 7, 5, obtém-se 
um outro cojunto de números. 
a) Mostrar que os dois conjutos têm o mesmo desvio padrão, mas médias 
diferentes; 
b) Qual é a relação entre as médias? 
 
5. Consideremos a tabela abaixo que mostra a distribuição, em toneladas, 
das cargas máximas suportadas por certos cabos fabricados por uma 
companhia : determinar o Coeficiente de Variação. 
 
X 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 
F 3 1 2 4 
X 10 25 35 15 50 
F 2 1 3 1 2 
 
 
Carga Máxima (toneladas) Número de Cabos 
9.3 – 9.7 2 
9.8 – 10.2 5 
10.3 – 10.7 12 
10.8 – 11.2 17 
11.3 – 11.7 14 
11.8 – 12.2 10 
 
6. Um fábrica de aluminio apresentou a seguintes escala de producao: 
Categorias de Aluminio Escala de Produção 
462 98 
480 75 
498 50 
516 42 
534 30 
Determinar o Coeficente de Variação. 
 
7. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência dos graus de 
um exame final de matemática. 
Grau 90-100 80-89 70 -79 60-69 50-59 
Número de Estudantes 9 32 43 21 11 
50 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Determine: 
a) Desvio Medio. 
b) Desvio Absoluto e Relativo, interprete os resultados. 
8. Em um exame final de Estatística, o grau médio de um grupo de 150 
estudantes foi 78 e o desvio padrão 8,0. Em Matemática, entretanto, o grau 
médio do grupo foi 73 e o desvio padrão 7,6. Em que disciplina foi maior: 
a) A Dispersão Absoluta; 
b) A Dispersão Relativa? 
 
9. Seja X o número de acidentes que ocorre num mês nesta fábrica. A 
distribuição de frequências de X, sabendo que a media é igual a 1.95. 
X 1 2 3 4 
Frequências 
RelativasK L 0.16 0.1 
Determine: 
a) O valor de K e L de modo que o número esperado de acidentes num mês 
seja 1.95. 
b) O Desvio médio e o Coeficiente de Variação. 
 
10. Como forma a controlar custos, uma empresa pretende estudar o 
montante que a sua forçade vendas gasta para entreter clientes. A seguir está 
indicadauma amostra de seis despesas de entretenimento, extraídas do 
relatório de despesas submetido pelos vendedores, (em milhares de 
Meticais). 
157 132 109 145 125 139 142 160 
a) Calcule a Média e o Desvio Padrão. 
 
 
b) Se um membro da força de venda submeter uma despesa de 
entretenimento decliente de 190.000, oo mts, deverá ser considerada 
excessivamente alta (com possibilidade de ser investigada)?. Explica a sua 
resposta. 
 
11. Dada a distribuição dos salários da empresa Mobilandia, SARL. 
Salários (X, mil Meticais) Frequências 
45 – 50 10 
50 – 60 6 
60 – 64 5 
64 – 75 4 
75 – 95 15 
a) Apresente o Histograma para esta estrutura de dados. 
b) Faça o estudo da assimetria desta distribuição de frequências. 
c) Determine o Coeficiente de Variação. 
 
12. Considere as distribuições A e B dos salários em duas empresas. 
Salários (em milhares de meticais) 0 - 6 6 – 12 12 - 18 18 - 24 24 - 30 
Número de trabalhadores 4 7 18 7 4 
 
Salários (em milhares de 
deMeticais) 0 - 6 6 -12 12 - 18 18 - 24 24 - 30 
Número de trabalhadores 13 17 20 17 13 
Faça o estudo da dispersão salarial em cada uma das empresas, recorrendo 
ao desvio padrão. 
52 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
 
13. A variancia de uma distribuição simétrica é 9. Sabendo que o 
coeficiente de dispersão é 12, qual é o valor da moda. 
 
14. Qual dos dois conjuntos de dados tem maior dispersão, A (em unidade 
monetárias) ou B ( em metros) 
 A = {1, 2, 6, 9, 13} B= {1.03, 2.976, 5.931, 12.652} 
 
 
 
Unidade 07 
Teorias de probabilidades 
Introdução 
Nesta unidade teremos a oportunidade de aprender alguns conceitos basicos sobre 
teoria de probabilidades tais como espaço amostral e eventos assim como o 
conceito das probabilidades. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Determinar o espaço amostral de um determinado evento; 
 Definir a probabilidade da ocorrencia de um determinado acontecimento; 
 Usar correctamente as propriedades das probabilidades na resolução de 
tarefas; 
 
Introdução as teorias de probabilidades 
Usamos o conceito de probabilidades quando lidamos com incertezas. 
Intuitivamente, a probabilidade de um evento é o número que mede a 
chance do evento ocorrer. 
 
Exemplos: 
1. Um investidor que compra acções, sabe que o ganho que vai obter com 
elas está sujeito a um certo grau de incerteza, portanto a probabilidade será 
o número que mede a chance do ganho ocorrer. 
2. O gestor de uma cadeia de lojas que toma a decisão de abrir uma nova 
loja numa determinada cidade, não consegue saber à partida se a loja vai ter 
o sucesso pretendido; aqui a probabilidade será o número que mede a 
chance de sucesso da nova loja. 
54 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Tal como a decisão de comprar acções ou de abrir uma nova loja, também 
fazer inferências acerca de uma população com base nos dados de uma 
amostra envolve um certo grau de incerteza. É importante dispor de uma 
medida do grau de incerteza de um fenómeno aleatório. Essa medida chama 
se probabilidade. 
 
Experiência 
Uma experiência é um processo de observação onde intervém o acaso, isto 
é, cujos resultados são incertos, não sendo portanto possível saber qual é o 
resultado antes de realizar a experiência. 
 
Exemplos de experiências: 
1. Um analista financeiro observa a cotação na bolsa das acções de uma 
determinada empresa para saber se esta subiu ou não; 
2. O lançamento de um dado e registo do número de pontos obtidos; 
3. Um gestor de produção observa uma linha de produção durante uma hora 
e conta o número de peças defeituosas. 
Espaço Amostral 
É o número total de resultados possíveis de uma experiência aleatória. 
É o conjunto que possui todos eventos que podem ocorrer no exercício 
(casos possíveis). 
 
Exemplos de Espaço Amostral: 
1. Lançamento de uma moeda ao ar: 
Espaço Amostral = {Face, Coroa} 
2. Lançamento de um dado: 
Espaço Amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
 
 
3. Um gestor de produção observa uma linha de produção durante uma hora 
e conta o número de peças defeituosas: Espaço Amostral = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, ….} 
4. Um casal que pretende ter 2 filhos: 
Espaço Amostral ={ MM, MF, FM, FF}. 
Isto é, 
MM Ambos rapazes; 
MF Primeiro rapaz e a seguir rapariga; 
FM Primeira rapariga e a seguir rapaz e finalmente 
FF Ambas raparigas. 
Eventos 
É um subconjunto de um espaço amostral (casos favoráveis). 
Por exemplo se considerarmos o espaço amostral do nascimento de dois 
filhos, o evento do casal ter pelo menos uma rapariga consiste no espaço 
amostral de MF, FM e FF. 
 
Definição de Probabilidades 
Teoria Clássica das Probabilidades 
A probabilidade de um evento A ocorrer é definido como sendo a razão 
entre número de resultados favoráveis do evento A, e número total de 
resultados possíveis. 
 
Suponha que um evento A possa acontecer de m maneiras diferentes, em 
um total de n modos possíveis, então a probabilidade da ocorrência do 
evento A (também designado por sucesso) é dado por: 
 
Onde: 
 
n
mAPadeProbabilid 
56 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
m – número de casos favoráveis a ocorrência de A 
n – número de casos possíveis 
p – probabilidade de sucesso de A 
 
Exemplo: 
 A probabilidade de aparecimento de uma face com um número par no 
lançamento de um dado equilibrado/honesto. 
Acontecimento A: sair uma face com numero par 
Número de resultados favoráveis a A = {2, 4, 6}. 
Como o dado é honesto, os 6 resultados são igualmente possíveis, daí que: 
P(A) = m/n = 3/6 = 0.5 
 
Obs: A probabilidade de um evento é um número compreendido entre 0 e 1. 
Se o evento não pode ocorrer, sua probabilidade é 0. Se a sua ocorrência é 
certa, sua probabilidade é 1. 
 
Limitações da definição clássica das probabilidades 
A definição clássica de probabilidades tem algumas limitações tais como: 
 Só pode ser aplicada se o número de resultados possíveis da 
experiência aleatória for finito; 
 Só pode ser aplicada se os resultados forem igualmente prováveis. 
 
Esta definição também não permite dar resposta às seguintes questões: 
 Qual é a probabilidade de uma fábrica produzir num dia 20 
unidades; 
 Qual é a probabilidade de sair uma face no lançamento de uma 
moeda não honesta (equilibrada); 
 
 
 Qual é a probabilidade de uma pessoa seleccionada ao acaso ser 
hipertensa; 
 Qual é a probabilidade de uma peça que sai de uma linha de 
produção ser defeituosa? 
 
 
Definição Frequencista de probabilidades 
A probabilidade de ocorrência do evento A é definida como sendo o valor 
para que tende a frequência relativa de A num grande número de repetições 
da experiência. 
 
Vamos admitir que realizamos uma determinada experiência aleatória n 
vezes, em idênticas condições, e que o acontecimento A se realiza m vezes. 
Seja fA a frequência relativa da ocorrência de A, isto é, 
 
 
Suponhamos que depois de examinarmos uma moeda damos conta que não 
é equilibrada, isto é, que os acontecimentos: “saída de face (F) e saída de 
coroa (C)” não são igualmente prováveis. Seja p a probabilidade do 
acontecimento F: p = P(F). 
Podemos aproximar o valor de p, realizando um grande número de 
lançamentos a frequência relativa aproximar se ia de 0.5 
 
Definição Subjectiva de probabilidades 
Uma probabilidade subjectiva surge quando uma pessoa atribui um grau decredibilidade a um certo acontecimento aleatório, baseado na sua intuição 
ou no seu conhecimento empírico. 
Exemplos de probabilidades subjectivas 
n
mfA 
58 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
1. O senhor João é um Benfiquista e acha que a probabilidade de o Benfica 
ganhar o campeonato nesta época é superior a 0.8 
2. A Maria sabe que 15% dos alunos de Estatística têm uma nota superior a 
14, no entanto ela acredita que vai tirar uma nota superior a 14 com 
probabilidade de 0.75. 
 
Propriedades das probabilidades 
1. Toda a probabilidade é um número que varia entre 0 à 1, sendo assim a 
probabilidade do evento A ocorrer 
0 ≤ P(A) ≤ 1; 
2. A probabilidade de não ocorrência do evento A, denominado insucesso é 
igual a 
P(Ā) =1– P(A); q = 1 - p 
3. A probabilidade da ocorrência da reunião de dois eventos A ou B (ou 
ambos) é: 
P(AUB) = P(A) +P(B) – P(AпB) 
4. A probabilidade da ocorrência da reunião de dois eventos mutuamente 
exclusivos (A ou B) é igual a soma das probabilidades dos eventos. 
P(A U B) = P(A)+P(B) 
 
Probabilidade Condicional 
Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória 
com espaço amostral. Se a P(B) ≠ 0, a probabilidade condicional de A dado 
B, denota-se por P(A\B), onde P(B) ≠ 0 e é dado por: 
Trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A sabendo que o evento 
B já ocorreu. 
De forma análoga, se P(A) ≠ 0. 
 
    BP
BAPBAP /
     0 para ,/ 

 A
AP
ABPABP
 
 
Exemplos: 
1. Suponhamos que dispomos da informação de que ao lançar um dado saiu 
uma face com número par de pontos, isto é, realizou-se o acontecimento. 
A Ξ “saída de face com um nº par de pontos” = {2, 4, 6} 
Qual será a probabilidade de ocorrência do acontecimento B correspondente 
a saída de uma face com mais de 5 pontos? 
B Ξ “saída de face com mais de 5 pontos” = {6} 
P(B\A) = P( B∩A)/ P(A) =P{ 6} /P{2,4,6} = (1/6)/ (3/6) = 1/3 
 
Regra da Multiplicação das probabilidades 
Uma consequência imediata da probabilidade condicional é a regra da 
multiplicação das probabilidades, a qual expressa a probabilidade da 
intersecção em termos da probabilidade individual dos eventos e da 
probabilidade condicional. 
Sejam A e B dois eventos associados a uma experiência aleatória com 
espaço de resultados Ω. A probabilidade da sua intersecção pode ser 
derivada da probabilidade condicional através de: 
 P(A∩B) = P(A\B) P(B) se P(B) ≠ 0 
 P(B∩A) = P(B\A) P(A) se P(A) ≠ 0 
 
Generalizando a regra da multiplicação a n acontecimentos vem: 
P(A1 ∩ A2 ∩ ...∩ An) = P(A1)P(A2\A1)P(A3\A1∩A2) .......P(An\A1∩ ...An-1) 
 
Eventos Independentes 
Sejam A e B dois acontecimentos ou eventos associados a uma experiência 
aleatória com espaço de resultados Ω. Estes acontecimentos dizem-se 
independentes se e só se 
P(A∩B) = P(A) X P(B) 
60 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Da regra da multiplicação segue que: 
 P(A\B) = P(A) se P(B) > 0 
 P(B\A) = P(B) se P(A) >0 
 
 
 
Tarefas 05 
1. Lançam-se ao acaso 2 moedas. 
a. Escreva o espaço amostral. 
b. Represente os eventos: A= {sair uma face}; B ={sair pelo menos uma 
face} 
 
2. Quatro pessoas entram num supermercado, cada uma delas vai fazer 
compras (C) ou não vai fazer compras (N). 
a) Desenhe o diagrama de árvore que ilustra o espaço amostral de todas 
as possíveis decisões de compra. 
 
b) Escreva os espaços amostrais que representam cada um dos seguintes 
eventos: 
1. Exactamente três pessoas vão fazer compras. 
2. Duas ou menos pessoas vão fazer compras. 
3. Uma ou mais pessoas vão fazer compras. 
4. Todas as quatro pessoas vão tomar a mesma decisão. 
 
c) Assumindo que os eventos referidos na parte b do número anterior são 
todos igualmente prováveis, calcule a probabilidade de cada um deles. 
 
3. Suponha que um casal planeia ter três filhos. Assumindo que os 
eventos abaixo são igualmente prováveis, calcule a probabilidade: 
a) Todos os filhos serem do mesmo género. 
b) Exactamente dois dos três filhos serem meninas 
c) Nenhum dos três filhos ser menina. 
 
4. Um dado é lançado ao ar, qual é a probabilidade de aparecer um 
número impar? 
62 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
 
5. Determinar a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 
ou um número ímpar. 
 
6. Numa classe de 60 aluno, 40 estudam só matemática, 10 estudam só 
física e 5 estudam física e matemática. Determinar a probabilidade de um 
aluno que estuda Matemática também estudar física. 
 
7. Joga se um dado, determinar a probabilidade de se obter o número 2 ou 
3? 
 
8. Joga se dois dados, determinar a probabilidade de se obter o número 6 
no somatório dos resultados nos dois dados. 
 
9. Um dado é atirado duas vezes ao ar. Determine a probabilidade de 
obter um número menor que 3 em ambos lançamentos. 
 
10. Uma moeda é lançada no ar de seguida atira se um dado. Qual é a 
probabilidade de obter cara na moeda e um número par no dado. 
 
11. Dois estudantes atiram a um alvo. A probabilidade da Celma atingir o 
alvo é de 1/2 e a probabilidade de não atingir o alvo é de 1/3. A Elsa atirou 
primeiro seguida da Helena. 
 
a) Qual é a probabilidade de ambas acertarem o alvo. 
b) Somente uma acertar o alvo; 
c) Nenhuma delas acertar o alvo 
 
 
 
12. A probabilidade de um trabalhador chegar atrasado ao serviço é de 
1/20. Calcule a probabilidade do trabalhador estar atrasado em duas 
manhãs consecutivas: 
a) Duas vezes; 
b) Uma vez. 
 
13. Se os eventos A e b são independentes e P(A) =0.3 e P(B) =0.5, 
determine: 
a) P(A ∩ B); 
c) P(A U B); 
b) Será que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 
 
14. Dois eventos A e B tais que a P(A) = 2/3, P(A/B) =2/3 e P(B) = 1/4. 
Determine: 
a) P(B/A); 
b) P(A∩B). 
 
15. A probabilidade de João esperar no semáforo quando vai à faculdade 
é de 0.25. Achar a probabilidade em duas manhãs consecutivas esperar 
pelo menos uma vez. 
 
16. Se P(A) = 0.4 e P(A∩ B) = 0.7. Qual é a P(B) se: 
a) A e B são independentes? 
b) A e b são mutuamente exclusivos? 
 
 
 
 
 
64 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
 
 
 
 
Unidade 08 
Variáveis aleatorias discretas (VAD) 
e Distribuição Binomial 
Introdução 
Nesta unidade vamos abordar aspectos relacionados com a distinçao entre 
variaveis discretas e cntinuas assim como a funçao densidade de variaveis 
aleatorias discretas. Para alem disso veremos a média ou valor esperado para 
variaveis continuas, variança e desvio padrão para variaveis discretas assim como a 
distribuiçao binomial. 
 
 
Objectivos 
 No fim desta unidade deves ser capaz de: 
 Distinguir variaveis aleatórias discretas das continuas; 
 Caracterizar uma função densidade de probabilidades; 
 Usar as propriedades da distribuiçao binomial no calculo de probabilidades. 
 
Variável aleatória 
É uma Variável que assume valores numéricos determinados pelo resultado 
de uma experiência, onde cada valor numérico corresponde a um e somente 
um resultado da experiência. 
Exemplo: 
Número X de nascimentos ocorridos durante uma semana no Hospital 
Central da Beira. O resultado pode ser 0, 1, 2, ........, n. 
Quando os possíveis valores da Variável Aleatória, podem ser contados ou 
listados, dissemos que são Variáveis Aleatórias Discretas (V.A.D.). 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Podem assumir um número finito de valores possíveis ou os valores 
possíveis podem ser contados ou listados em sequência. 
66 Módulo de Estatística Aplicada Beira, Janeiro de 2012 
Exemplo: