Apostila - Banco de Questões [www.osterne.com]

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Banco de Questo˜es
Vin´ıcius Silva Osterne Ribeiro
www.osterne.com
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Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 1
2 Ana´lise Combinato´ria 1
2.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Probabilidade 3
3.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Infereˆncia 7
4.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Modelos de Regressa˜o 7
5.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6 Planejamento de Experimentos 17
6.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Se´ries temporais 18
7.1 Comenta´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.2 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Considerac¸o˜es Finais 38
1 Introduc¸a˜o
O objetivo deste material e´ apresentar, de forma bem objetiva, as mais variadas questo˜es ligadas aos
assuntos das apostilas presentes no site www.osterne.com. Essas questo˜es formam um excelente acervo
para o estudo preparato´rio para concursos e mestrados realizados pelo Brasil.
Para isso, o material foi dividido em cinco to´picos principais:
• To´pico 2: Ana´lise combinato´ria
• To´pico 3: Probabilidade
• To´pico 4: Infereˆncia
• To´pico 5: Modelos de Regressa˜o
• To´pico 6: Planejamento de experimentos
• To´pico 7: Se´ries Temporais
Cada to´pico e´ dividido em duas partes. A primeira trata-se de um breve comenta´rio do to´pico em
questa˜o, visto que os detalhes melhor explicados se encontram nas sec¸a˜o de Materiais ou Apostilas do
site Materiais & Apostilas Osterne. A segunda parte e´ formada por questo˜es (apenas o enunciado ou
enunciado e resoluc¸a˜o) de provas de concursos e mestrados. O material finaliza com o to´pico composto
pelas considerac¸o˜es finais do autor sobre o material montado.
Fac¸a excelente proveito deste material e bom estudo!
2 Ana´lise Combinato´ria
2.1 Comenta´rios
O princ´ıpio das gavetas de Dirichlet, a teoria de Ramsey e o princ´ıpio da inclusa˜o e exclusa˜o sa˜o
to´picos pouco conhecidos de quem so´ pensa que a o estudo da Ana´lise Combinato´ria se baseia apenas nos
to´picos de Arranjo, Permutac¸a˜o e Combinac¸a˜o. A disciplina e´ ofertada no in´ıcio dos cursos de Estat´ıstica
como estudo base para se iniciar e se aprofundar no ca´lculo das probabilidades. Os conceitos e to´picos
principais esta˜o melhor explicados nos primeiros cap´ıtulos da apostila de Probabilidade.
2.2 Questo˜es
1. Numa sala ha´ treˆs mulheres e quatros homens. De quantas maneiras e´ poss´ıvel selecionar um casal
homem-mulher?
Soluc¸a˜o 1 (Usando o princ´ıpio aditivo): Para cada homem, temos 4 mulheres, ou seja, o homem H1
pode pegar a mulher M1 ou M2 ou M3 ou M4, da mesma forma o H2 e o H3 pode ficar com M1
ou M2 ou M3 ou M4, logo temos 4+4+4 = 12 casais.
Soluc¸a˜o 2 (Usando o princ´ıpio multiplicativo): Assim, seja:
d1: escolha do homem
d1: escolha da mulher
Enta˜o, basta fazer 3x4 = 12 casais.
2. Para se deslocar de casa ate´ o trabalho, Marcus pode ir de bicicleta, oˆnibus ou carro. De quantos
modos diferentes Marcus pode escolher para fazer esse trajeto se ele na˜o quer usar na volta o mesmo
transporte da ida.
Existem 3 modos de escolher na ida e 2 dois modos de escolher na volta, logo 3 x 2 = 6 maneiras.
3. Quantos nu´meros naturais de treˆs algarismos distintos (na base 10) existem?
Para o primeiro algarismo, temos 9 possibilidades (na˜o podemos usar o zero), para o segundo
algarismo temos 9 possibilidades (agora podemos usar o zero, mas na˜o podemos usar o algarismo
escolhido para ser o primeiro) e para o terceiro nu´mero temos 8 possibilidades. Logo 9 x 9 x 8 =
648 nu´meros.
1
4. Quantos sa˜o os nu´meros naturais pares que se escrevem (na base 10) com treˆs algarismos distintos?
Soluc¸a˜o 1: Teremos que quebrar o problema em duas partes, pois sempre que se fala que o nu´mero e´
par costumamos comec¸ar pelo u´ltimo algarismo, temos assim 0,2,4,6,8 como possibilidades. Depois
partimos para a escolha do primeiro algarismo. E e´ a que esta o problema! Teremos 9 ou 8
possibilidades? Se for 9, e´ porque o zero nao foi escolhido para ser o u´ltimo e se for 8, e´ porque o
zero foi escolhido para ser o u´ltimo. Veja a soluc¸a˜o:
I: O zero e´ o u´ltimo algarismo
II: O zero na˜o e´ o u´ltimo algarismo
Para I, temos 1 possibilidade para o u´ltimo algarismo, 9 para o primeiro e 8 para o segundo,
totalizado 72 maneiras. Para II, temos 4 possibilidades para o u´ltimo algarismo (2,4,6,8), 9 para o
primeiro e 8 para o segundo (agora o zero pode entrar) resultando em 256 maneiras. Assim, 72 +
256 = 328.
Soluc¸a˜o 2: Ignore o fato de o zero na˜o poder ser o primeiro nu´mero, logo temos 5 possibilidades
para o u´ltimo algarismo, 9 para o primeiro e 8 para o segundo, que resulta em 360 nu´meros.
Retirando agora os nu´meros que teˆm o zero como primeiro algarismo, ficamos com 1 modo de
escolher o primeiro (tem que ser o zero), 4 para escolher o u´ltimo e 8 para o segundo, ou seja, 32
possibilidades. Logo 360 - 32 = 328.
5. Numa cidade A, os nu´meros de telefones teˆm sete algarismos, sendo os treˆs primeiros constituem o
prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10 sa˜o reservados para as farma´cias e os que teˆm
os dois u´ltimos algarismos iguais, para os me´dicos e hospitais. Especifique a quantidade dos demais
nu´meros de telefone dispon´ıveis na cidade A.
Primeiro vamos saber a quantidade de nu´meros para as farma´cias:
P.P.P.10.10.1.1
Temos uma opc¸a˜o para o penu´ltimo e u´ltimo, porque eles teˆm que ser 1 e 0, respectivamente, ou
seja, ja´ esta˜o definidos.
Agora vamos saber a quantidade de nu´meros para as farma´cias:
P.P.P.10.10.10.1
A penu´ltima opc¸a˜o e´ 10, pois podemos escolher qualquer nu´mero e a u´ltim opc¸a˜o e´ 1, porque ela
depende da primeira.
Sabendo que o total e´ dado por
P.P.P.10.10.10.10
Enta˜o a resposta fica: 104 − 103 − 102 = 8900
6. Uma pessoa vai retirar dinheiro no caixa eletroˆnico de um banco, mas, na hora de digitar a senha,
esquece-se do nu´mero. Ela lembra que o nu´mero tem 5 algarismos, comec¸a com 6, na˜o tem alga-
rismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posic¸a˜o. O nu´mero ma´ximo de tentativas para
acertar a senha e´:
Se o nu´mero tem 5 algarismos e comec¸a com 6, enta˜o so´ temos um modo de escolher o primeiro
nu´mero. Logo, podemos fazer:
1.1.8.7.6
Sendo o segundo ”1”representando o nu´mero 7, que ja´ e´ fixo. Pore´m, temos um pequeno detalhe,
o algarismo 7 pode esta´ da segunda posic¸a˜o, na terceira posic¸a˜o, na quarta posic¸a˜o ou na quinta
posic¸a˜o, pois apenas foi falada que ele existe, assim temos que multiplicar por 4 (as possbilidades
de o 7 esta´). Logo, a resposta e´ (1.1.8.7.6).4 = 1344
2
3 Probabilidade
3.1 Comenta´rios
Partindo para o estudo dos fenoˆmenos aleato´rios, mais precisamente para o estudo da probabilidade,
considere a seguinte explanac¸a˜o: quando um experimento e´ realizado, o resultado e´ um elemento do
espac¸o amostral. Dessa forma, se o experimento for realizado algumas vezes, podera˜o o ocorrer diferentes
resultados a cada vezou alguns resultados podem se repetir. Essa frequeˆncia de ocorreˆncia de um
resultado pode ser considerada como probabilidade de um determinado evento vir a acontecer. A seguir,
sa˜o propostas algumas questo˜es sobre probabilidade retiradas de livros (todos citados nas refereˆncias),
provas de concurso e mestrado (todos citados no comec¸o de cada questa˜o). Os conceitos e to´picos
principais esta˜o melhor explicados na apostilas de Probabilidade.
3.2 Questo˜es
Nı´vel 1
1. Seja (X,Y ) um vetor aleato´rio cont´ınuo com
fX,Y (x, y) = xe
−x(y+1) I(0,∞)(x)I(0,∞)(y).
Mostre que:
a. X∼Exp(1).
b. Y∼F (2, 2)
c. Y |X∼Exp(x)
d. X|Y∼Gama(r = 2, λ = y + 1)
2. Seja (X,Y ) um vetor aleato´rio cont´ınuo com
fX,Y (x, y) = cx
2y I(−1,1)(x)I(x2,1)(y).
a. Esboce o gra´fico da regia˜o do plano em que fX,Y (x, y) > 0
b. Qual o valor de c ?
c. Determine P(X > Y ).
d. X|Y∼Gama(r = 2, λ = y + 1)
3. Treˆs bolas sa˜o selecionadas aleatoriamente sem reposic¸a˜o de uma urna contendo N bolas numeradas
de 1 a N , N > 3. Seja X a varia´vel aleato´ria que denota o maior valor selecionado, determinea
func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
4. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e´ dada por:
FX(x) = e
−e−x I(−∞,∞)(x)
.
Verifique se as propriedades de FX(x) sa˜o satisfeitas, encontre a densidade de X e identifique sua
distribuic¸a˜o.
5. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o de densidade de probabilidade dada por:
fX(x) = c(1− x2) I(−1, 1)(x)
.
a. Determine o valor de c.
b. Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X.
3
6. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o de densidade de probabilidade fX(x), func¸a˜o
de sobreviveˆncia SX(x) e func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(x). Calcule:∫ ∞
−∞
[FX(x)]
4[SX(x)]
3fX(x)dx.
7. A func¸a˜o densidade de probabilidade de X e´ dada por:
fX(x) = (a+ bx
2) I(0, 1)(x)
.
Se E(X) = 3/5, determine o valor de a e b.
8. Um determinado tipo de componente poder ser comprado novo ou usado. Cinquenta por cento de
todos os componentes novos duram mais do que cinco anos, mas apenas trinta por cento dos com-
ponentes usados duram mais do que cinco anos. E´ poss´ıvel que os tempos de vida dos componentes
novos tenham uma distribuic¸a˜o exponencial?
Nı´vel 2
1. Seja X o tempo de vida de uma laˆmpada (em mil horas) fabricada por uma certa companhia.
Considera-se que X|Y∼Exp(y). O paraˆmetro y vem de uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
gama de para˜metros r = 2 e λ = 4, isto e´,
fY (y) = 16ye
−4y I(0,∞)(y).
a. Encontre a conjunta de (X,Y ).
b. Identifique a condicional Y |X = x
2. Sejam X∼U(0, 2) e Y∼U(0, 2), independentes. Considere S = X + Y e U = X − Y .
a. Calcule P(X + Y < 3).
b. Calcule P(X < 2Y ).
c. Qual e´ a func¸a˜o de densidade de probabilidade conjunta de (S,U) ?
d. S e U sa˜o independentes?
3. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas, com P(X = 1) =
P(X = −1) = P(Y = 1) = P(Y = −1) = 1/2. Considere Z = XY . As varia´veis aleato´rias X, Y e
Z sa˜o independentes duas a duas?
4. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias discretas cuja func¸a˜o de probabilidade conjunta e´ dada pela
seguinte tabela
X Y 1 2
0 0,05 0,15
1 0,30 0
2 0,05 0,45
a. Obtenha as func¸o˜es de probabilidade marginais de X e Y .
b. Sa˜o X e Y independentes ?
c. Determine as seguintes probabilidades: P(X = 2|Y = 2), P(Y = 2|X < 1) e P(X + Y > 2).
d. Determine as seguintes probabilidades: P(0 < X < 2|Y = 1) e P(XY < 1).
e. Encontre as distribuic¸o˜es conjuta e marginais de U = X + Y e V = ma´x(X,Y )
5. Um laborato´rio que faz testes sangu´ıneos apresenta efica´cia de 95% na detecc¸a˜o de uma certa doenc¸a
quando, de fato, a pessoa esta´ doente. Entretanto, o teste tambe´m leva a um ”falso positivo”em
1% das pessoas sauda´veis testadas, isto e´, se uma pessoa sauda´vel e´ testada, o teste acusa que ela
tem a doenc¸a com probabilidade 0, 01. Se 0, 5% da populac¸a˜o realmente tem a doenc¸a, qual e´ a
probabilidade de que uma pessoa tenha a doenc¸a dado que o tese foi positivo ?
4
6. Em uma sala 2n pessoas esta˜o usando emblemas numerados de 1 ate´ 2n. Quatro pessoas sa˜o
escolhidas ao acaso e convidadas a sa´ırem da sala simutaneamente. O nu´mero de seu emblema e´
anotado.
a. Qual a probabilidade de que o menor nu´mero do emblema seja n ?
b. Qual a probabilidade de que o maior nu´mero do emblema seja n ?
7. Aos nu´meros inteiros pares de 2 a 2n sa˜o designadas probabilidades proporcionais aos seus valores.
Um nu´mero par e´ sorteado. Determine:
a. p(i) = P(probabilidade de sortear o nu´mero i), para i = 2, 4, 6, ..., 2n.
b. P(probabilidade de sortear um nu´mero maior que seis e menor que onze).
8. Aos nu´meros de 1 a n sa˜o designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Um nu´mero e´
sorteado. Determine:
a. p(i) = P(probabilidade de sortear o nu´mero i), para i = 1, 2, 3, ..., n.
b. P(probabilidade de sortear um nu´mero maior que dois e menor que seis).
9. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias com func¸a˜o de probabilidade conjunta
P (X = x, Y = y) =
{
kx(x+ y), se x ∈ (1, 2, 3, 4) e y ∈ (2, 3, 4, 5) e x2 + y2 > 10;
0, caso contra´rio.
a. Determine o valor da constante k.
b. X e Y sa˜o independentes ?
c. Encontre a distribuic¸a˜o marginal de X.
10. Calcule a func¸a˜o geradora de momentos (fgm) da varia´vel aleato´ria X quando:
a. P(X = x) = 16 I(−1,1)(x) +
4
6 I(0)(x)
b. P(X = x) =
(
1
6
)x I(1,2,...)(x)
c. P(X = x) = (1− p)x−1p I(1,2,...)(x)
11. (UFRJ - 2004) Suponha que X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias com densidade conjunta uniforme na
regia˜o do plano limitada pelas retas x = −1, x = 1, y = x+ 1 e y = x− 1. Determine:
a. A func¸a˜o densidade conjunta de X e Y .
b. A func¸a˜o densidade marginal de Y .
c. E(X|Y ).
12. (UFRJ - 2005) Considere duas varia´veis aleato´rias com func¸a˜o de densidade de probabilidade con-
junta dada por
fX,Y (x, y) =
{
cxy, se 0 < x < 2 e 0 < y < x
0, caso contra´rio.
a. Ache o valor de c.
b. Encontre as densidades das distribuic¸o˜es marginais de X e Y .
c. X e Y sa˜o independentes ? Justifique sua resposta.
d. Ache f1(x|y) e E(X|Y ).
13. (UFRJ - 2007) Considere duas varia´veis aleato´rias com func¸a˜o de densidade de probabilidade con-
junta dada por
fX,Y (x, y) =
{
2(x+ y), se 0 < x < 2 e 0 < y < x
0, caso contra´rio.
a. P(X < 1/2, Y < 1/2).
b. A covariaˆncia entre X e Y .
5
Nı´vel 3
1. Suponha que Y |X = x∼Poisson(x) e X∼Exp(1).
a. Qual a distribuic¸a˜o conjunta de (X,Y ) ?
b. Calcule E(Y ), Var(Y ) e Cov(X,Y ) usando condicionais.
c. Calcule a func¸a˜o geradora de probabilidade de Y |X = x.
d. Identifique a distribuic¸a˜o de Y usando G(t) = E(ty) = E[E(tY |X)] = E[GY |X=x(t)].
2. Mostre que:
a. E(XY |Y = y) = yE(X|Y = y).
b. E(g(X,Y )|Y = y) = E(g(X, y)|Y = y).
c. E(XY ) = E(Y E(X|Y )).
3. Considere dois lanc¸amentos consecutivos de um dado que suporemos equilibrado. Sejam X : nu´mero
de vezes em que e´ obtida uma face menor ou igual a 2 nos dois lanc¸amentos. Y : nu´mero de vezes
em que e´ obtida a face 5 nos dois lanc¸amentos. Z = X + Y : nu´mero de vezes em aparece ou uma
face menor ou igual a 2 ou uma face 5 nos dois lanc¸amentos. W = X − Y : a diferenc¸a entre o
nu´mero de vezes em que aparece ou uma face menor ou igual a 2 e uma face 5 nos dois lanc¸amentos.
Determine:
a. Var(X) e Var(Y ).
b. Var(Z) e Var(W ).
c. E´ verdade que Var(Z) = Var(X) + Var(Y )?
4. Seja X = (X1, X2) um vetor aleato´rio cont´ınuo cuja func¸a˜o densidade de probabilidade e´ dada por:
fX(x) =
1
4pi2
2∏
i=1
sen(xi)cos(xi) I(−pi,pi)(x1)quadI(−pi,pi)(x2)
a. Mostre que fX(x) e´ uma densidade de probabilidade.
b. Determine a distribuic¸a˜o de cada componente.
c. Determine a me´dia, variaˆncia, desvio padra˜o, covariaˆncia e coeficiente decorrelac¸a˜o de cada
componente.
d. Determine as distribuic¸o˜es condicionais.
5. Quando uma corrente I (medida em ampe`res) passa atrave´s de um resistor R (medido em ohms),
a poteˆncia gerada e´ dada por W = I2R(medidaemwatts). Suponha que I e R sejam varia´veis
aleato´rias independentes, tais que I∼Beta(2, 2) e R∼Beta(1, 1). Detemine:
a. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria W .
b. E(X).
c. A probabilidade de que a poteˆncia gerada, sob estas suposic¸o˜es seja maior que 50%.
6. A intensidade luminosa em um dado ponto e´ dada pela expressa˜o I = CD2 , na qual C e´ o poder
luminoso da fonte e D e´ a distaˆncia dessa fonte ate´ o ponto dado. Suponha que C seja unifor-
memente distribu´ıda sobre (1, 2), enquanto D∼Gama(1, 1). Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de
probabilidade da varia´vel aleato´ria I, admitindo que C e D sa˜o independentes.
7. A forc¸a magnetizante H no ponto P , distante X unidades de um condutor que conduza uma corrente
I, e´ dada por H = 2IX . Suponha que P seja um ponto mo´vel, isto e´, X seja uma varia´vel aleato´ria
uniformemente distribu´ıda sobre (3, 5). Suponha tambe´m que a corrente I, da mesma forma que
X, seja uma varia´vel aleato´ria cont´ınua, uniformemente distribu´ıda sobre (10, 20). Ademais, su-
ponha que as varia´veis aleato´ria X,Y sejam independentes. Encontre a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de
probabilidade da varia´vel aleato´ria H.
6
4 Infereˆncia
4.1 Comenta´rios
A infereˆncia estat´ıstica e´ definida como o conjunto de te´cnicas cujo objetivo e´ estudar a populac¸a˜o
de interesse atrave´s de evideˆncias fornecidas por uma amostra. Os conceitos e to´picos principais sera˜o
melhor explicados na apostila sobre Infereˆncia que esta´ sendo montada.
4.2 Questo˜es
1. Arqueo´logos estudaram uma certa regia˜o e estabeleceram
5 Modelos de Regressa˜o
5.1 Comenta´rios
Os conceitos e to´picos principais esta˜o melhor explicados na apostila de Modelos de Regressa˜o.
5.2 Questo˜es
Nı´vel 1
1. Mostre que σ̂2 e´ um estimador viciado para σ2, sendo sua esperanc¸a dada por E[σ̂2] = (n−2)σ
2
n .
Sabemos que, pelo Me´todo de Ma´xima Verossimilhanc¸a, o estimador de σ2 e´
σ̂2 =
∑n
i=1 [Yi − (β̂0 + β̂1xi)]
n
Mas podemos rescreveˆ-lo usando
SQres =
n∑
i=1
[Yi − Ŷi]2
=
n∑
i=1
[Yi − (β̂0 + β̂1xi)]2
Portanto
σ̂2 =
SQres
n
Pore´m, utilizando o Teorema de Cochran, podemos afirmar que
SQres
σ2
∼χ2(n− 2)
Enta˜o
E
[
SQres
σ2
]
= n− 2
E [SQres] = (n− 2)σ2
Consequentemente
E
[
σ̂2
]
= E
[
SQres
n
]
=
(n− 2)σ2
n
7
2. Mostre que quando β0 esta´ no modelo, a reta de regressa˜o passa pelas me´dias amostrais de X e Y .
A reta estimada e´ dada por
Ŷi = β̂0 + β̂1xi
Na qual, pelo Me´todo dos Mı´nimos Quadrados, a estimativa para β0 e´ dada por
β̂0 = Y − β̂1X
Substituindo, chegamos em
Ŷi = Y + β̂1(xi −X)
Que e´ nada mais que a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos X,Y cujo coeficiete angular e´ β̂1 E,
portanto, a reta estimada passara´ por Y , pois e´ seu coeficiente linear e por X, pois e´ seu coeficiente
angular.
3. Mostre que se o coeficiente de determinac¸a˜o e´ zero, enta˜o a melhor previsa˜o para um estimador, e´
a sua me´dia.
Ora,
R2 =
SQreg
SQtotal
Enta˜o, se R2 e´ igual a zero, e´ porque
SQreg = 0
Desenvolvendo, temos
SQreg = 0
n∑
i=1
(Ŷi − Y )2 = 0
Ŷi = Y
A previsa˜o para o estimador e´ a sua me´dia.
4. (Exerc´ıcio 2.1- Hoffmann) E´ dada uma amostra de 10 pares de valores: X=(-2, -2, -1, -1, 0, 0, 1, 1,
2, 2)
Y=(0, 0, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8)
Admite-se que as varia´veis X e Y esta˜o relacionadas de acordo com o modelo Yi = β0 + β1xi + �i ,
onde os �i sa˜o varia´veis aleato´rias independentes com distribuic¸a˜o normal de me´dia zero e variaˆncia
2.
a. Determine as estimativas dos paraˆmetros da regressa˜o linear.
Para isso, precisaremos dos seguintes valores:
10∑
i=1
xi = 0
10∑
i=1
yi = 40
10∑
i=1
xiyi = 38
10∑
i=1
xi
2 = 20
8
Agora, substituindo nas estimativas, temos:
β̂1 =
∑10
i=1 xiyi − nxy∑10
i=1 xi
2 − nx2
β̂1 =
38− 10 ∗ 0 ∗ 4
20− 10 ∗ 0
β̂1 = 1.9
β̂0 = y − β̂x
β̂0 = 4− 1.9 ∗ 0
β̂0 = 4
b. Teste H0 : β = 0 ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
De in´ıcio devemos fazer a suposic¸a˜o de que os erros sa˜o normal e idependentemente distribu´ıdos
com me´dia zero e variaˆncia σ2.
As hipo´teses a serem testadas sa˜o:
H0 : β = 0
H0 : β 6=0
Com a seguite estat´ıstica seguindo uma distribuic¸a˜o t com n-2 graus de liberdade:
T =
β̂1 − 0√
σ2/Sxx
Sabendo que
σ̂2 =
SQE
n− 2
σ̂2 =
SQT − β̂1Sxy
n− 2
SQT =
10∑
i=1
yi
2 −
(∑10
i=1 yi
)2
10
SQT = 154
Sxy = 38
Sxx = 20
σ̂2 =
154− 1.9 ∗ 38
10− 2
σ̂2 = 10.225
Logo,
T =
β̂1 − 0√
σ2/Sxx
T =
1.9√
10.225/20
T = 2.657278
E, portanto, encontrando o p-valor no R:
> 1-pt(2.657278, 8, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
[1] 0.01446367
Podemos rejeitar a hipo´tese nula.
9
c. Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o.
Para calcular o coeficiente de determinac¸a˜o, usaremos:
r2 =
b(
∑n
i=1 xy)∑n
i=1 y
2
r2 = 0.308547
d. Determine a estimativa de Y para X = 3.
A estimativa para X = 3 e´ 9.7.
Nı´vel 2
1. (Exerc´ıcio 2.3- Hoffmann) Demonstre que numa regressao linear simples o valor de F da ana´lise de
variaˆncia da regressa˜o e´ igual ao quadrado do valor de t(b), relativo a` hipo´tese da nulidade β = 0
(onde β e´ o coeficiente de regressa˜o).
Sabemos que
SQRes =
n∑
i=1
ê2
SQReg = b
n∑
i=1
xy
Se
2 =
SQRes
n− 2
Logo, para testarmos a hipo´tese nula β = 0 usamos a estat´ıstica
t(b) =
b
Se
√√√√ n∑
i=1
(xi − x)2
Se elevarmos ao quadrado,chegamos em
[t(b)]
2
=
 b
Se
√√√√ n∑
i=1
(xi − x)2
2
[t(b)]
2
=
SQReg
Se
2
Que e´ a estat´ıstica F que aparece na tabela ANOVA.
2. (Exerc´ıcio 2.5- Hoffmann) E´ dada uma amostra de 5 pares de valores. Admite-se que as varia´veis X
e Y esta˜o relacionadas de acordo com o modelo Yi = α+ βXi + ui, onde ui sa˜o varia´veis aleato´rias
independentes com distribuic¸a˜o normal de me´dia zero e variaˆncia σ2 .
X Y
1 3
2 7.5
3 7
4 11.5
5 11
a. Determine as estimativas dos paraˆmetros da regressa˜o linear.
β̂ =
∑n
i=1 xy∑n
i=1 x
2
= 2.461538
α̂ = y − β̂x = 5
10
b. Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o e fac¸a a ana´lise de variaˆncia da regressa˜o.
O coeficiente de determinac¸a˜o e´ dado por:
r2 =
S.Q.Reg
S.Q.Total
SQReg = b
n∑
i=1
xy
SQTotal =
n∑
i=1
y2
r2 = 0.1566265
Tabela 1: Ana´lise da varia˜ncia
Graus de Soma dos Me´dia dos Valor F p-valor
liberdade quadrados quadrados
x 1 64.793 64.793 1.7459e+32 ¡ 0.05
Residuals 3 0 0
c. Teste ao n´ıvel de significaˆncia de 0.5%, a hipo´tese:
H0 : β = 0
H1 : β 6=0
Usando a estat´ıstica:
t(b) =
b− β
s(b)
t(b) =
2.5454− 0√
q.m.res∑n
i=0 xi
2
t(b) =
2.5454− 0√
q.m.res∑n
i=0 xi
2
t(b) = 3.000366
Considerando o n´ıvel de significaˆncia de 0.5% e a distribuic¸a˜o assumindo 3 graus de liberdade,
encontramos o valor cr´ıtico de 7.453, assim na˜o podemos rejeitar a hipo´tese nula. Rejeitamos
a hipo´tese nula.
d. Teste ao n´ıvel de significaˆncia de 0.5%, a hipo´tese:
H0 : α = 13
H1 : α<13
Usando a estat´ıstica:
t(a) =
a− α
s(a)
t(a) =
5− 13√
q.m.res∑n
i=0 xi
2
t(a) = −2.786054
Considerando o n´ıvel de significaˆncia de 0.5% e a distribuic¸a˜o assumindo 3 graus de liberdade,
encontramos o valor cr´ıtico de 7.453, assim na˜o podemos rejeitar a hipo´tese nula. Rejeitamos
a hipo´tese nula.
3. (Exerc´ıcio 2.7- Hoffmann) Com base em 52 pares de valores das varia´veis X e Y foi obtida a equac¸a˜o
de regressa˜o
Ŷi = −0.4 +Xi
11
A estimativa do desvio padra˜o da estimativa do coeficiente de regressa˜oe´ 0.1. Calcule o coeficiente
de determinac¸a˜o e teste a hipo´tese de que o coeficiente angular e´ igual a zer, ao n´ıvel de significaˆncia
de 1%.
Foi dado na questa˜o que
s(b) = 0.1
Sabemos que a estimativa do desvio padra˜o da estimativa do coeficiente de regressa˜o e´ dado por
s2(b) =
∑n
i=1 y
2−b∑ni=1 xy
n−2∑n
i=1 x
2
Desenvolvendo, temos
s2(b) =
∑n
i=1 y
2−b∑ni=1 xy
50∑n
i=1 x
2
50.0.01.
n∑
i=1
x2 =
n∑
i=1
y2 − b
n∑
i=1
xy
Dividindo todos por
∑n
i=1 y
2
50.0.01.
∑n
i=1 x
2∑n
i=1 y
2
=
∑n
i=1 y
2 − b∑ni=1 xy∑n
i=1 y
2
r2 = 1− 0.5
∑n
i=1 x
2∑n
i=1 y
2
Para o teste de hipo´tese, temos β̂ = 1, logo
t(b) =
1− 0
0.01
t(b) = 100
Ao n´ıvel de significaˆncia de 1% temos como ponto cr´ıtico de 2.67, ou seja, rejeitamos a hipo´tese de
que o coeficiente de regressa˜o e´ zero.
4. (Exerc´ıcio 2.17- Hoffmann) Admitindo que as varia´veis X e Y esta˜o relacionadas conforme o modelo:
Yi = α+
β
Xi
+ ui
onde ui representa erros aleato´rios independentes com me´dia zero e variaˆncia constante, determine
as estimativas dos paraˆmetros α e β, com base nos seguintes dados:
x=(12,15,20,30,60) y=(9,8.5,8.5,6.5,5)
Baseando-se no me´todo dos mı´nimos quadrados, temos que minimizar a soma dos quadrados dos
desvios
L =
n∑
i=1
ui
2
que e´ o mesmo que
L =
n∑
i=1
Yi − α− β
Xi
2
Temos que fazer:
∂L
∂α
= 0
∂L
∂β
= 0
12
Chegamos nas seguintes estimativas:
α̂ =
∑n
i=1 yi − β
∑n
i=1
1
xi
n
β̂ =
∑n
i=1
yi
xi
− y∑ni=1 1xi
1−
∑n
i=1
1
xi
∑n
i=1
1
xi
n
Utilizando o R, temos as estimativas:
#Exercicio 2.17
x=c(12,15,20,30,60)
y=c(9,8.5,8.5,6.5,5)
n=length(x)
a = mean(y) - (b/n)*(sum(1/x))
num = sum(x/y) - mean(y)*sum(1/x)
den = 1 - ((sum(1/x)*sum(1/x))/n)
b = num/den
a;b
Dica: Poder´ıamos simplesmente usar a anamorfose Vi =
1
Xi
5. (Exerc´ıcio 2.21- Hoffmann) E´ dada uma amostra com 4 pares de valores:
x=(2,1,1,4)
y=(6,8,9,13)
Admite-se que as varia´veis X e Y esta˜o relacionadas de acordo com o modelo Yi = α + βXi + ui,
onde os ui sa˜o erros independentes, de me´dia zero, variaˆncia constante e distribuic¸a˜o normal.
a. Determine as estimativas dos paraˆmetros da regressa˜o linear.
(Usando o R):
Como ja´ sabemos que as estimativas sa˜o feitas pelo Me´todo dos Mı´nimos Quadrados, vamos
a partir de agora utilizar somente o co´digo do R.
> x=c(2,1,1,4)
> y=c(6,8,9,13)
> lm(y~x)
Call:
lm(formula = y ~ x)
Coefficients:
(Intercept) x
6.0 1.5
Utilizaremos o modelo Yi = 6 + 1.5x.
b. Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o da regressa˜o.
Para calcular o coeficiente de determinac¸a˜o, usaremos:
r2 =
b(
∑n
i=1 xy)∑n
i=1 y
2
r = 0.5891883
c. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, a hipo´tese H0 : β = 5 contra a hipo´tese alternativa
H0 : β 6=5.
Usaremos a estat´ıstica:
t(b) =
b− β
s(b)
Que resulta na estat´ıstica -3.43, sendo na˜o significativo, pois t0 = 4.3
13
6. (Exerc´ıcio 2.31- Hoffmann) Em estudos da variac¸a˜o do consumo de certo produtos em func¸a˜o da
renda da famı´lia tem sido usada a func¸a˜o Y = exp
[
α− βX
]
, onde Y e´ o dispeˆndio com o produto
considerado e X e´ a renda da famı´lia. Mostre as anamorfoses que devem ser feitas para que as
fo´rmulas de regressa˜o linear simples sejam usadas para ajustar essa func¸a˜o, utilizando dados obtidos
de uma amostra aleato´ria.
Se aplicarmos o logaritmo em Y, obtemos:
logYi = α− β
X
Onde:
Zi = logYi
Vi = − 1
Xi
O que nos leva a aplicar o modelo:
Zi = α+Viβ
7. (Exerc´ıcio 2.34 - Hoffmann - Adaptada) E´ dada uma amostra de 12 pares de valores. Com base
nela, responda aos itens.
Xi Yi Xi Yi
1 2 4 9
1 4 4 13
1 3 5 11
1 5 5 10
2 8 5 16
2 6 5 9
a. Determine as estimativas de regressa˜o linear.
Suma´rio:
n = 12
n∑
i=1
XiYi = 360
n∑
i=1
Xi = 36
n∑
i=1
X2i = 144
n∑
i=1
Yi = 96
n∑
i=1
Y 2i = 962
X = 3
Y = 8
14
Portanto:
β̂1 =
Sxy
Sxx
=
∑n
i=1XiYi − nXY∑n
i=1X
2
i − nX
2
=
72
36
= 2
β̂0 = Y − β̂1X
= 2
b. Fac¸a a ana´lise de variaˆncia considerando o n´ıvel de significaˆncia de 5%
Suma´rio:
SQreg =
n∑
i=1
(Ŷi − Y )2
= β̂1
2
Sxx
= 144
SQtotal =
n∑
i=1
(Yi − Y )2
=
∑
i = 1nY 2i − nY
2
= 194
SQres = SQtotal − SQreg
= 194− 144
= 50
QMreg =
SQreg
1
= 144
QMres =
SQres
n− 2
= 5
A estat´ıstica para o teste
H0 : β1 = 0
H1 : β1 6=0
E´ a seguinte:
F0 =
QMreg
QMres
∼F (1, n− 1)
F0 =
144
5
F0 = 28.8
Assim, o p-valor e´ dado por 2P (F0 < F (1, 10)) < 0.05, pois o valor cr´ıtico e´ dado por 6.936728.
O que nos faz rejeitar a hipo´tese nula, ou seja, a regressa˜o e´ significativa. Montando a tabela,
temos:
c. Teste a hipo´tese de que o intercepto e´ nulo contra a hipo´tese de na˜o nulidade considerando um
n´ıvel de significaˆncia de 5%.
H0 : β0 = 0
H1 : β0 6=0
15
Tabela 2: ANOVA
Fonte de variac¸a˜o GL SQ QM F p-valor
Regressa˜o 1 144 144 28.8 < 0.05
Res´ıduo 10 50 5
Total 11 194
Sob H0 verdade, teˆm-se:
Calcular o valor da estat´ıstica associada a esse paraˆmetro:
t0 =
β̂0 − β0√
QMres
∑n
i=1X
2
i
nSxx
∼t(n− 2)
= 1.54
Assim, o p-valor sera´ 2P (t0 < t(10)) > 0.05, pois o valor cr´ıtico para essa situac¸a˜o vale 2.223.
Chegamos a conclusa˜o de que podemos rejeitar a hipo´tese nula.
d. Fac¸a o teste bilateral da hipo´tese nula de que o intercepto vale 3, considerando um n´ıvel de
significaˆncia de 5%.
H0 : β1 = 3
H1 : β1 6=3
Sob H0 verdade, teˆm-se:
Calcular o valor da estat´ıstica associada a esse paraˆmetro:
t0 =
β̂1 − β1√
QMres
Sxx
∼t(n− 2)
= −2.73
Assim, o p-valor sera´ 2P (t0 < t(10)) < 0.05, pois o valor cr´ıtico para essa situac¸a˜o vale 2.223.
Chegamos a conclusa˜o de que na˜o podemos rejeitar a hipo´tese nula.
e. Determine a estimativa de Y para X = 5 e o intervalo de confianc¸a para E[Y |X = 5], ao n´ıvel
de confianc¸a de 95%.
Neste caso trata-se de um intervalo de confianc¸a para a me´dia de determinado valor X, enta˜o
usamos:
I.C.[β0 + β1x0] =
[
(Ŷi|x = x0)±t1−α2 (n− 2)
√
QMres
[
1
n
+
(x0 − x)2
Sxx
]]
=
[
12±2.223
√
144
[
1
12
+
(5− 3)2
108
]]
= [5.623725; 18.376275]
g. Determine um intervalo de previsa˜o para [Y |X = 6], ao n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Neste caso trata-se de um intervalo de previsa˜o para um determinado valor X, e na˜o a me´dia,
enta˜o usamos:
I.C.[β0 + β1x0] =
[
(Ŷi|x = x0)±t1−α2 (n− 2)
√
QMres
[
1 +
1
n
+
(x0 − x)2
Sxx
]]
=
[
12±2.223
√
144
[
1 +
1
12
+
(6− 3)2
108
]]
= [3.98014; 24.01986]
8. (Exerc´ıcio 2.37- Hoffmann) Considere o modelo Yi = βXi + ui com Xi fixos, E[ui] = 0, E[ui
2] = 0
e E[uiuj ] = 0 para i6=j. Sabe-se que os estimador de mı´nimos quadrados para β e´ b =
∑n
i=1XiYi∑n
i=1Xi
2 ,
na˜o-tendecioso, com V (b) = σ
2∑n
i=1Xi
2 . Um estimador alternativo para β β̂ =
Y
X
, que e´ a inclinac¸a˜o
da reta unindo a origem do sistema de eixos ao ponto Y , X.
16
a. Prove que β̂ e´ um estimador linear na˜o-tendecioso.
b =
X
Y
=
∑n
i=1
Yi
n∑n
i=1
Xi
n
=
∑n
i=1 (βXi + ui)∑n
i=1Xi
= β +
∑n
i=1 ui∑n
i=1Xi
E[b] = β + E
[ ∑n
i=1 ui∑n
i=1Xi
]
E[b] = β
b. Deduza a expressa˜o que da´ V (β̂) em func¸a˜o de σ2 e dos valores de X.
Denotando
(β̂) = E[β̂ − β]2
Sabemos que no item a:
b− β =
∑n
i=1 ui∑n
i=1Xi
Substituindo
V (b) =
E[
∑n
i=1 ui]
2∑n
i=1Xi
2
Sabemos tambe´m que
E
[
n∑
i=1
ui
]2
= E[u1
2 + u2
2 + ...+ un
2] = nσ2
Enta˜o
V (b) =
nσ2∑n
i=1Xi
2
6 Planejamento de Experimentos
6.1 Comenta´rios
Em planejamento de experimentos estuda-sediferentes tipos de modelos para avaliar o efeito de
diferentes tratamentos com a presenc¸a ou auseˆncia de blocos e/ou fatores. Dentre os mais conhecidos
teˆm-se os modelos chamados de Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC), que avalia o efeito apenas
de tratamentos, o modelo de Blocos Inteiramente Casualizados (BIC), que estuda o efeito de tratamentos
e blocos, o modelo Fatorial, que estuda o efeitos de diversos fatores sobre os tratamentos utilizando ou
na˜o blocos, entre outros.
Para cada modelo e´ necessa´rio construir uma tabela denominada ANOVA (Ana´lise de Variaˆncia) para
avaliar o efeito das diferentes componentes do modelo. Se um modelo em estudo e´ o Fatorial, enta˜o nesta
ana´lise sera´ estudado o efeito dos tratamentos, o efeito dos blocos o efeito de cada fator e o efeito da
interac¸a˜o dos fatores. Posteriormente a isso, faz-se o estudo da adequac¸a˜o do modelo e, caso a hipo´tese
de igualdade de me´dia seja rejeitada, sera´ aplicado testes de comparac¸o˜es mu´ltiplas de me´dias para
verificac¸a˜o de qual me´dia e´ maior que outra.
As questo˜es aqui expostas fazem parte desta brilhante a´rea da estat´ıstica aplicada, denominada de
Estat´ıstica Experimental. A maiorias delas sa˜o extra´ıdas de concursos.
6.2 Questo˜es
1. EM BREVE
17
7 Se´ries temporais
7.1 Comenta´rios
Os conceitos e to´picos principais esta˜o melhor explicados no material sobre Se´ries Temporais.
Observac¸a˜o:
O banco de dados referentes as se´ries citadas nas questo˜es a seguir sa˜o encontradas no site presente
na pa´gina Materiais & Apostilas Osterne, na sec¸a˜o Se´ries Temporais.
7.2 Questo˜es
Nı´vel 1
1. Defina se´rie temporal. Deˆ 2 exemplos de se´ries temporais em:
a. Economia.
b. Medicina
c. Atua´ria
d. Epidemiologia
e. Meteorologia
2. Classifique as se´ries a seguir (discreta ou cont´ınua, univariada ou multivariada, unidimensional ou
multidimensional). Especifique Z(t), t, r, p :
a. ı´ndices dia´rios da bolsa de valores de Sa˜o Paulo, de janeiro de 1960 a dezembro de 2001;
b. registro de mare´s no porto de Santos, atrave´s de um aparelho medidor (mare´grafo), durante
30 dias;
c. medidas de pressa˜o uterina e pressa˜o sangu´ınea de uma mulher durante o parto;
d. nu´mero de ocorreˆncias de meningite po meˆs e por munic´ıpio de Sa˜o Paulo;
e. medidas das treˆs componentes de velocidade de um fluxo turbulento (como o oceano) durante
certo intervalo de tempo.
3. Considere a Se´rie A10(M-ICV):
a. Fac¸a o gra´fico da se´rie; ela e´ estaciona´ria?
b. Obtenha a primeira diferenc¸a da se´rie e fac¸a o gra´fico correspondente; a primeira diferenc¸a e´
estaciona´ria?
c. Mesmas questo˜es de (b) para a segunda diferenc¸a.
4. Considere a Se´rie A7(a) (Temperatura):
a. A se´rie e´ estaciona´ria?
b. Obtenha ∆Zt e ∆
2Zt; estas se´ries sa˜o estaciona´rias?
5. Considere a Se´rie A5 (Energia):
a. A se´rie e´ estaciona´ria? Tem tendeˆncia?
b. Considere a se´rie diferenc¸a ∆Zt; e´ estaciona´ria?
c. Tome agora logZt; e´ estaciona´ria?
d. Investique se a se´rie ∆ logZt e´ estaciona´ria ou na˜o?
6. Responda as questo˜es (a) - (d) do problema 4 para a Se´rie A9(b)(D-PETRO).
7. Responda as questo˜es (a) - (d) do problema 4 para a Se´rie A9(d)(M-IBV).
8. Considere os log-retornos obtidos da Se´rie A9(c) (D-BANESPA):
18
a. calcule as estat´ısticas: me´dia, variaˆncia, coeficientes de assimetria e curtose, quartis,ma´ximo
e mı´nimo. Use algum programa, como o Minitab. (Pode usar o R ou o SPSS)
b. Obtenha um histograma dos dados e comente sobre a forma da distribuic¸a˜o. Compare com
uma distribuic¸a˜o normal, com me´dia e variaˆncia obtidas em (a).
c. Qual e´ o log-retorno me´dio anual (um ano igual a 252 dias) sobre o per´ıodo de dados?
d. Se voceˆ investisse R$10.000,00 em ac¸o˜es do Banespa, no comec¸o de janeiro de 1995, qual seria
o valor do investimento no final de dezembro de 2000?
9. Mesmo problema para os log-retornos dia´rios obtidos da Se´rie A9(b) (D-PETRO).
Nı´vel 2
1. Suponha que os prec¸os dia´rios da fechamento de uma ac¸a˜o seja
dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
prec¸o 47,9 46,0 45,8 48,9 49,4 50,7 50,6 51,2 50,1 51,3
a. Qual e´ o retorno simples do dia 1 para o dia 2? e do dia 1 para o dia 6?
b. Qual e´ o log-retorno do dia 4 para o dia 5? do dia 4 para o dia 10 ?
c. Verifique que 1 +R5(3) = (1 +R3)(1 +R4)(1 +R5).
d. Verifique que r10(5) = r6 + r7 + . . . r10.
2. Note que, se os retornos sa˜o dados em porcentagem, teremos:
rt = 100× ln(1 +Rt/100), Rt = (ert/100 − 1)× 100.
Se os log-retornos mensais de um ativo sa˜o 5,2%, 3,8%, -0,5% e 2,6%:
a. Calcule os correspondentes retornos simples;
b. Qual e´ o log-retorno no trimestre ?
c. Qual e´ o retorno simples no trimestre ?
Esta questa˜o vai ter que ser mudada para:
Note que , se os retornos sa˜o dados em porcentagem, teremos:
rt = 100× ln(1 +Rt/100), Rt = (ert/100 − 1)× 100.
Se os log-retornos de um ativo nos primeiros quatro meses de um ano foram 5,2%, 3,8%, -0,5% e
2,6%:
a. Calcule os correspondentes retornos simples;
b. Qual e´ o log-retorno no per´ıodo ?
c. Qual e´ o retorno simples no per´ıodo?
3. Dizemos que a varia´vel Y tem distribuic¸a˜o log-normal se X = ln(Y ) tiver distribuic¸a˜o normal.
Pode-se verificar que se X ∼ N(µ, σ2), enta˜o Y = eX e´ log-normal, com
E(Y ) = eµ+σ
2/2 V ar(Y ) = e2µ+σ
2
(eσ
2 − 1).
Suponha que o log-retorno rt ∼ N(0, 025; (0, 012)2).. Enta˜o, 1 + Rt tem distribuic¸a˜o log-normal.
Calcule a me´dia e a variaˆncia de Rt.
4. (INMETRO- Analista Executivo em Metrologia e Qualidade-CESPE-UNB) O total mensal de re-
clamac¸o˜es recebidas por uma central de atendimento ao consumidor segue um processo na forma
Yt = 0, 6Yt−1 − 0, 09Yt−2 + �t − 0, 3�t−1, em que Yt = Rt − µ, e Rt representa o total mensal de
reclamac¸o˜es recebidas no meˆs t; µ e´ o total mensal me´dio de reclamac¸o˜es e �t representa um ru´ıdo
branco no meˆs t; com me´dia zero e variaˆncia σ2. Com base nessas informac¸o˜es, julque os itens que
se seguem.
19
[ ] A se´rie temporal {Yt} segue um processo autorregressivo de primeira ordem.
[ ] A autocorrelac¸a˜o entre Yt e Yt−1 e´ igual a 0,6.
[ ] A autocorrelac¸a˜o parcial entre Yt e Yt−2 e´ igual a zero.
[ ] A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o inversa entre Yt e Yt−h e´ igual a
3(−0, 3)h
1 + 0, 6h + 0, 092h
, em que
h = 0, 1, 2, . . ..
[ ] A densidade espectral do processo Yt e´ igual a f(w) =
σ2
2pi(1 + 0, 6 cos(w))
, em que 0 ≤ w ≤ pi.
Texto para as questo˜es de 1 a 4.
Um processo estoca´stico de tempo discreto forma uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias Wt, t =
1, 2, . . . , n com me´dia nula e func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o apresentada a seguir, em que γ > 0 e α 6= 0.
ϕ(h) =
 γ
2(1 + α2) se h = 0
γ2 se |h| = 1
0 se |h| > 1
5. Considerando as informac¸o˜es apresentadas no texto , julque os pro´ximos itens.
I. A autocovariaˆncia entre Wt+5 e Wt+6 e´ igual a zero.
II. A autocorrelac¸a˜o entre Wt+3 e Wt+4 e´ igual a
1 + α2
α
.
III. |ϕ(h)| ≤ 1.
A quantidade de itens certos e´ igual a
A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.
6. Dado um nu´mero real R e sabendo que i e´ o nu´mero imagina´rio, a densidade espectral do processo
mencionado no texto pode ser corretamente representada como
A)
γ2(1 + α2)
2pi
.
B)
γ2(αe−iR + αeiR)
2pi
.
C)
γ2αeiR
pi
.
D)
γ2{(1 + α2) + αe−iR + αeiR}
2pi
.
7. A variaˆncia do processo Wt, referido no texto, e´ igual a
A) γ2(1 + α2).
B) γ2α.
C) γ2.
D) (1 + α2).
8. Acerca do processo {Wt} mencionado no texto, asinale a opc¸a˜o correta.
A) A variaˆncia do ru´ıdo aleato´rio e´ igual a (1 + α2).
B) O processo {Wt} e´ auto-regressivo de primeira ordem.
C) A autocorrelac¸a˜o parcial entre Wt e Wt+h e´ { α
1 + α
}h.
D) O processo {Wt} e´ estaciona´rio.
9. (CHESF-Concurso Pu´blico-Questa˜o 20) Dada a seguinte fo´rmula de auto-correlac¸a˜o:
R(k) =
E[(Xt − µ)(Xt+k− µ)]
σ2
,
onde:
20
– Xt : Varia´vel aleato´ria discreta estaciona´ria, dependente do tempo.
– µ : Me´dia
– R(k) : Autocorrelac¸a˜o
– E[ ] : Valor me´dio.
– k : Deslocamento no tempo.
– σ2 : Variaˆncia da varia´vel Xt.
A partir dos dados anteriores podemos afirmar que:
A) O valor 1 significa total auseˆncia de correlac¸a˜o.
B) Correlac¸a˜o perfeita( valor da autocorrelac¸a˜o esta´ pro´ximo de 1).
C) Correlac¸a˜o perfeita( valor da autocorrelac¸a˜o esta´ pro´ximo de -1).
D) Anti-correlac¸a˜o perfeita( valor da autocorrelac¸a˜o esta´ pro´ximo de 1).
E) Anti-correlac¸a˜o perfeita( valor da autocorrelac¸a˜o esta´ pro´ximo de 0).
10. (CHESF-Concurso Pu´blico-Questa˜o 22) O modelo ARIMA e´ um modelo auto-regressivo, integrado
e de me´dia mo´vel. E´ um modelo utilizado em:
A) Curva normal.
B) Controle de qualidade apenas.
C) Se´ries temporais.
D) Amostragem na˜o probabil´ıstica
E) Custo de log´ısticos.
11. (CHESF-Concurso Pu´blico-Questa˜o 24) Dadas as afirmativas:
I. Uma se´rie temporal e´ uma colec¸a˜o de observac¸o˜es feitas sequencialmente ao longo do tempo.
II. Em modelos de regressa˜o linear a ordem das observac¸o˜es e´ irrelevante para a ana´lise.
III. Em se´ries temporais a ordem dos dados e´ irrelevante.
IV. Uma previsa˜o a partir da se´rie temporal procura construir um modelo matema´tico a partir do
qual seja poss´ıvel prever valores futuros da se´rie.
Esta´(a˜o) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):
A)I, II e III B)I, III e IV C)I, II e IV D) III e IV B)I, II, III e IV.
12. ( Concurso Pu´blico- Ceara´-Questa˜o 78) Considere o ru´ıdo branco com me´dia zero e variaˆncia σ2.
Assinale a opc¸a˜o que corresponde a` expressa˜o se sua densidade espectral num ponto w ∈ [−pi;pi].
A)
σ2
2pi
.
B)
|w|σ2
2pi
.
C)
σ2
2pi
(1− cos(w) + 0, 25)−1.
D)
σ2
2pi
(1, 06 + 0, 25cos(w)).
E) 0.
13. ( Concurso Pu´blico- Ceara´-Questa˜o 80) Considere o processo AR(1) estaciona´rio Xt = φXt−1 + �t,
com t ∈ Z (conjunto dos inteiros). A sequeˆncia �t e´ o ru´ıdo branco com variaˆncia unita´ria e φ = 0, 5.
Assinale a opc¸a˜o que da´ o valor da func¸a˜o de autocovariaˆncia γ(h) do processo para h = 2.
A) 0,210 B)0,333 C)0,500 D) 1,000 E)1,250.
14. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2012 - Questa˜o 7 )
Suponha que ∆t pode ser representado pelo seguinte processo:
∆t = �t − 0.6 �t para t = 1,
∆t = ∆t−1 + �t − 0.6 �t para t ≥ 2,
em que �t, t = 1, 2, . . . e´ uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias independentes e identicamente
distribu´ıdas com me´dia igual a 0. Se Yt = 10 , quando t = 0, calcule o valor da E[Y3].
21
15. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2014 - Questa˜o 5 ) Suponha que Yt seja representado pelo se-
guinte processo auto-regressivo de primeira ordem:
Yt = 10 + 0, 6Yt−1 + et,
em que et e´ um ru´ıdo branco que satisfaz as condic¸o˜es: E(et) = 0 , E(e
2
t ) = σ
2 e
E(etes) = 0 para t 6= s. Suponha tambe´m que Y0 = 0. Obtenha E(Yt) para t = 2.
16. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2014 - Questa˜o 10 ) Considere o seguinte processo:
Yt = ρYt−1 + et, t = 1, 2, . . . ,
em que Y0 = 0 e et e´ um ru´ıdo branco que satisfaz as condic¸o˜es:E(et) = 0 , E(e
2
t ) = 1 e E(etes) =
0 para t 6= s.
Sa˜o corretas as afirmativas:
a. Se ρ = 1, E(Yt) = 0 para todo t.
b. Se ρ = 1, V (Yt) = 0 para todo t.
c. Se ρ = 1, E(Yt+h|Yt) > E(Yt) para todo h ≥ 1.
d. Se |ρ| < 1, V (Yt) = 1 para todo t.
e. Se |ρ| < 1, E(Yt+h|Yt) = ρh Yt para todo h ≥ 1.
17. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2013 - Questa˜o 5 ) Um pesquisador corretamente postula o
seguinte modelo de regressao:
yt = β1 + β2 t+ ut, t = 1, 2, . . . , T, (1)
em que ut e uma variavel aleatoria independente e identicamente distribuida ao longo do tempo,
com media zero e variancia finita.
Julgue as afirmativas:
a. yt e´ um processo estciona´rio.
b ∆yt = yt − yt−1 e´ um processo estciona´rio de segunda ordem.
c. Mı´nimos quadrados ordina´rios aplicado a` equac¸a˜o (1) produz uma estimativa na˜o viesada de
β2.
d. Seja
βˆ2 =
T∑
t=1
(yt − yt−1)2
T − 1 .
βˆ2 e´ um estimador consistente de β2?
e. Suponha que ut = ρ ut−1 + �t, |ρ| < 1 e que �t seja uma variavel aleatoria independente e
identicamente distribuida ao longo do tempo, com me´dia zero e variaˆncia finita. O estimador
de mı´nimos quadrados ordina´rios de β2 na equac¸a˜oo (1) e´ nao viesado.
18. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2013 - Questa˜o 10 ) Julgue as seguintes afirmativas:
0 O passeio aleato´rio com drift, yt = c + yt−1 + �t, y0 = 0, em que �t e´ um ru´ıdo branco, com
me´dia zero e variaˆncia σ2, e´ um processo estaciona´rio de segunda ordem se c = 0.
1 O processo MA(1), yt = �t+θ1 �t−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco, com me´dia zero e variaˆncia
σ2, estaciona´rio de segunda ordem se e somente se, a raiz do polinoˆmio 1 + θ1x cair fora do
c´ırculo unita´rio.
2 O processo MA(1), yt = �t−θ1 �t−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco, com me´dia zero e variaˆncia
σ2, e´ invers´ıvel se e somente se, |θ1| < 1.
3 O processo AR(2), yt = θ1yt−1 + θ2yt−2 + �t + �t−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco, com me´dia
zero e variaˆncia σ2 e´ estaciona´rio de segunda ordem se:
|θ2| < 1, θ1 + θ2 < 1 e θ2 − θ1| < 1.
22
4 O passeio aleato´rio yt = yt−1 + �t, y0 = 0, em que �t e´ um ru´ıdo branco, com me´dia zero e
variaˆncia σ2, a variaˆncia de yt varia com t.
19. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2013 - Questa˜o 13 ) Considere o seguinte processo xt = µ+et−
α1 et−1, para t = 1, 2, . . ., no qual et e´ uma sequeˆncia i.i.d. com me´dia zero e variaˆncia σ2e .
Julgue as seguintes afirmativas:
0 V ar(xt) = (1 + α
2
1).
1 Cov(xt, xt+h) = 0, h > 1.
2 E(xt) = µ+ t.
3 O processo descrito e´ estaciona´rio em covariaˆncia.
4 A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o deste processo e´:
ρ1 =
α1
1 + α21
e ρj = 0, j > 1.
20. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2012 - Questa˜o 8 ) Suponha que Yt seja descrito por um processo
auto-regressivo de ordem 3, isto e´,
Yt = Yt−1 − 0, 5 Yt−3 + ut,
e que ut|Yt−j ∼ N(µ, σ2),∀j > 0.
Calcule a correlac¸a˜o entre Yt e Yt−2. Multiplique o resultado por 100.
21. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2011 - Questa˜o ) Julgue as afirmativas;
(0) O processo AR(2), yt = ρ1 yt−1 + ρ2 yt−2 + �t, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia zero e
variaˆncia σ2, e´ estaciona´rio de segunda ordem se e somente as ra´ızes do polinoˆmio x2 − ρ1 x + ρ2
esta˜o fora do c´ırculo unita´rio.
(1) O processo MA(2), yt = �t + θ1 �t−1 + θ2 �t−2, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia zero e
variaˆncia σ2, a covariaˆncia entre yt e yt−3 e´ igual a zero.
(2) No passeio aleato´rio com drift,yt = c+ yt−1 + �t, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia zero
e variaˆncia σ2, a me´dia de yt varia com t.
(3) No processo MA(1), yt = �t + θ1 �t−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia zero e variaˆncia
σ2, a correlac¸a˜o entre yt e yt−1 e´ menor ou igual a 0,5 em valor absoluto.
(4) O processo ARMA(1, 1), yt = ρ yt−1 + �t + θ �t−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia
zero e variaˆncia σ2, e´ estaciona´rio de segunda ordem se |ρ| < 1 e |θ| < 1.
22. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2009 - Questa˜o 15 ) Julgue as proposic¸o˜es:
(0) No processo AR(1), yt = φ0 + φ1 yt−1 + et, em que |φ1| < 1 e que et e´ um ru´ıdo branco com
me´dia nula e variaˆncia σ2, a me´dia de yt sera´ igual a φ0.
(1) O processo MA(1), yt = et + θ et−1, em que �t e´ um ru´ıdo branco com me´dia zero e variaˆncia
constante, sera´ estaciona´rio se |θ| > 1.
(2)Seja a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o do processo AR(1) definido no item (0) dada por ρt. E´ correto
afirmar que ρt = φ
t
1.
(3) O processo AR(2), yt = φ0 + φ1 yt−1 + φ2 yt−2 + et, em que et e´ um ru´ıdo branco com me´dia
zero e variaˆncia σ2, sera´ estaciona´rio de segunda ordem se e somente se φ1 < 1 e φ2 < 1.
(4) O processo ARMA(1, 1), yt = φ0 + φ1 yt−1 + et + θ et−1, em que et e´ um ru´ıdo branco com
me´diazero e variaˆncia σ2, a variaˆncia de yt e´ dada por
σ2(1 + θ2)
1− φ21
.
23. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2008 - Questa˜o 11 ) Julgue as afirmativas;
(0) Toda serie temporal estaciona´ria com variancia finita pode ser escrita como um modelo de media
movel com termo de erro serialmente nao correlacionado.
23
(1) Um modelo de series temporais nao estacionario tem pelo menos uma raiz unitaria.
(2) O teste de Dickey-Fuller e´ monocaudal.
(3) Um modelo AR(2) dado por Yt = a + φ1Yt−1 + φ2Yt−2 + �t , t = 1, 2, 3, . . . , em que �t e´ um
ru´ıdo branco com me´dia zero e variaˆncia σ2 , sera´ estaciona´rio se φ1 < 1e φ2 < 1.
(4) Um passeio aleato´rio e´ um processo estaciona´rio.
24. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2008 - Questa˜o 15 ) Suponha que yt = α+ βyt−1 + ut , em que
{ut} e´ independente e igualmente distribuido, com distribuic¸a˜o normal de me´dia zero e variaˆncia
σ2. Sabe-se que α = 35, β = 3/5 e σ2 = 2. Voceˆ e´ informado de que y2 = 50. Determine a melhor
previsa˜o para y4 .
25. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2007 - Questa˜o 03 ) Considere o modelo autorregressivo de
primeira ordem, AR(1), definido por Yt = a + bYt−1 + ut , em que a e b sao paraˆmetros e {ut} e´
uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias independentes e igualmente distribuidas, com me´dia nula e
variaˆncia σ2. Suponha que |b| < 1. A previsao n passos-a-frente para a variavel Y convergira´ para :
(0) a. (1) a me´dia de ut. (2)b/(1-a) (3)E(Yt) (4)∞.
26. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2007 - Questa˜o 09 ) Julgue as proposic¸o˜es:
(0) . A soma de dois processos estoca´sticos independentes e estaciona´rios de segunda ordem sera´
estaciona´ria de segunda ordem.
(1) A soma de dois processos estoca´sticos nao-estaciona´rios sera´ nao-estaciona´ria.
(2) Seja L o operador defasagem tal que LYt = Yt−1. Se Yt segue um processo AR(1) estaciona´rio
de segunda ordem, entao (1− L)2Yt e´ um processo ARMA(2,2).
(3) O processo ARMA(2, 2) definido na forma (1− L− 0, 25L2)Yt = (1− 0, 5L− 0, 06L2)ut e´ na˜o
estaciona´rio, em que ut e´ o erro aleato´rio com me´dia nula e variaˆncia constante.
(4) Todo processo MA e´ estaciona´rio de segunda ordem.
27. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2006 - Questa˜o 11 ) Dois economistas usam os modelos abaixo
para a analisar a relac¸a˜o entre a demanda da moeda (m) e a renda nacional (y). As varia´veis esta˜o
todas em logaritmos e a peridiocidade e´ mensal.
Economista A: Economista B:
mt = 1, 099yt + uˆt (Equac¸a˜o 1) ∆mt = 1, 099δyt + eˆt (Equac¸a˜o 2)
(0,0086) (0,145)
Os valores entre pareˆnteses sa˜o os erros-padra˜o.
Testes Dickey-Fuller aumentado(ADF), com nu´mero apropriado de defasagens maiores que zero em
todos os casos , para as varia´veis e para os res´ıduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:
Varia´vel mt yt uˆt ∆mt ∆yt eˆt
Estat´ıstica-ADF -2,191 -1,952 -2,993 -5,578 -6,312 -8,456
O valor cr´ıtico da tabela de Dickey-Fuller a 5% e´ igual a -2,886. Sa˜o corretas as afirmativas:
• Tanto a se´rie de demanda de moeda quanto a renda nacional sa˜o integradas de primeira ordem.
( )
•As se´ries de demanda de moeda e de renda nacional na˜o sa˜o cointegradas de ao n´ıvel de significaˆncia
de 5%. ( )
• Se a se´rie de demanda de moeda for estaciona´ria na diferenc¸a( difference stationarity) ela na˜o
pode ser estaciona´ria na tendeˆncia (trend stationarity) . ( )
• Se as se´ries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o economista B deve
incluir o erro defasado uˆt−1 em seu modelo. ( )
• A se´rie de renda nacional e´ um passeio aleato´rio puro.
28. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2006 - Questa˜o 15 ) Uma se´rie temporal Yt t = 1, 2, . . . T , foi
gerada por um processo da classe ARIMA(p, d, q) e apresenta os seguintes formatos para a Func¸a˜o
de Autocorrelac¸a˜o(FAC) e Func¸a˜o de Autocorrelac¸a˜o Parcial(FACP)
Supondo que a me´dia da se´rie seja 100 e que YT−3 = 35,YT−2 = 28, YT−1 = 38 e YT = 30, calcule
a previsa˜o para YT+1 feita no instante T , isto e´ E(YT+1|YT , YT−1, YT−2, YT−3, . . .).
24
29. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2005 - Questa˜o 07 ) Com respeito a` teoria das se´ries temporais,
sa˜o corretas as afirmativas:
(0) Considere uma se´rie temporal auto-regressiva de ordem 1 com paraˆmetro ρ . No modelo Yt −
Yt−1 = δYt−1 + ut: , em que ut e´ um ru´ıdo branco e δ = ρ− 1 , se δ for de fato igual a zero, a se´rie
Yt sera´ na˜o estaciona´ria.
(1) Numa regressa˜o linear simples de duas se´ries temporais na˜o estaciona´rias de ordem 1, o teste
usual t de Student ainda e´ va´lido.
(2) Numa regressa˜o linear mu´ltipla de se´ries temporais de ordem 1, mas cointegra´veis, na˜o se corre
o risco de os resultados serem espu´rios.
(3) Numa regressa˜o linear mu´ltipla de se´ries temporais de ordem 1, mas cointegra´veis, os res´ıduos
da regressa˜o sa˜o estaciona´rios.
(4) Se uma se´rie temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estaciona´ria, a se´rie
original e´ integrada de ordem (n -1).
30. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2005 - Questa˜o 09 ) Sa˜o corretas as afirmativas:
(0) No processo AR(1):yt = φ0 + φ1yt−1 + et , em que |φ1| < 1 e et e´ um ru´ıdo branco de me´dia
zero e variaˆncia σ2, a variaˆncia de yt sera´
σ2
1− φ21
.
(1) Seja a func¸a˜o de autocovariaˆncia do processo AR(1) definido no quesito anterior γj = E[(yt−j−
µ)(yt − µ)] , em que E(yt) e´ a me´dia do processo do processo yt . E´ correto afirmar que γj =
(φ0 + φ1)
j
1− φ21
?
(2) O processo AR(2),yt = φ0 + φ1yt−1 + φ2yt−2 + et , em que e´ et um ru´ıdo branco de me´dia nula
e variaˆncia σ2 , sera´ estaciona´rio de segunda ordem se, e somente se, φ1 < 1 e φ2 < 1.
(3) A me´dia do processo MA(1),yt = et + θet−1 , em que et e´ um ru´ıdo branco, e´ igual a zero.
(4) No modelo ARMA(1,1),yt = φ0 + φ1yt−1 + et + θet−1 , em que e´ um ru´ıdo branco de me´dia
nula e variaˆncia constante, a me´dia de Yt e´ dada por
φ0
1− φ1 .
31. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2004 - Questa˜o 10 ) Em relac¸a˜o aos modelos de se´ries temporais,
sa˜o corretas as afirmativas:
(0) No processo AR(1), Zt = φZt−1 + at + θ0, |φ| < 1 ,at e´ um ru´ıdo branco, a me´dia de Zt sera´
θ0
1− φ .
(1) O processo MA(1), Zt = at − at−1 , em que at e´ um ru´ıdo branco, na˜o e´ estaciona´rio.
(2) O processo AR(1), Zt = 0, 8Zt−1 + at , em que at e´ um ru´ıdo branco, e´ estaciona´rio.
(3) No processo AR(1),Zt = φZt−1 + at , em que at e´ um ru´ıdo branco com V ar(at) = σ2a , a
variaˆncia de Zt e´
σ2a
1− φ2 .
(4) No modelo ARMA(1,1),Zt = φZt−1 + atθat−1 , em que at e´ um ru´ıdo branco, a me´dia de Zt e´
diferente de zero.
32. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2003 - Questa˜o 15 )
Considere o modelo ARMA(1,1) definido por: yt = 0, 5yt−1 − 0, 2�t−1 + �t, t = 1, 2, . . . , T, . . . em
que a variaˆncia de �t e´ igual a 1. Encontre a variaˆncia de yt. (Multiplique o resultado final por 10.
Marque somente a parte inteira na folha de resposta).
33. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2002 - Questa˜o 12 ) Em relac¸a˜o aos modelos de Se´ries de Tempo
pode-se afirmar que:
(0) No modelo autoregressivo de ordem 1 Zt = φZt−1+ut+θ0, |φ| < 1, em que ut um ru´ıdo branco,
o paraˆmetro θ0 e´ a me´dia do processo.
(1) O modelo misto Autoregressivo-Me´dia Mo´veis, ARMA(1, 1),pode ser representado pela ex-
pressa˜o Zt = φZt + ut − θut−1 + θ0, em φ e θ sa˜o paraˆmetros e ut um ru´ıdo branco.
25
(2) Se um processo estoca´stico possui uma tendeˆncia determin´ıstica , yt = β1 + β2t + ut, enta˜o
este e´ dito na˜o estaciona´rio e sua na˜o-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz
unita´ria.
(3) Em uma regressa˜o com duas se´ries temporais, se estas sa˜o I(1), ou seja,na˜o estaciona´rias, as sa˜o
cointegradas, pode-se empregar a estat´ıstica t-Student para testar a significaˆncia dos coeficintes de
regressa˜o.
(4) O teste de Engle-Granger para co-integrac¸a˜o entre treˆs varia´veis consiste em utilizara estat´ıstica
e a tabela de valores cr´ıticos Dickey-Fuller nos res´ıduos de um regressa˜o entre estas varia´veis.
34. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2001 - Questa˜o 10 ) Seja o processo auto-regressivo yt = φ1yt−1+
�t. pode-se afirmar que:
• O processo e´ estaciona´rio para φ1 < 1.
• Se φ1 = 1, o processo e´ dito um caminho aleato´rio(random walk).
• O estimador de mı´nimos quadrados ordina´rios do paraˆmetro φ1 e´ na˜o tendencioso.
• A estat´ıstica t-Student pode ser usada para testar a presenc¸a da raiz unita´ria.
• O processo pode ser escrito em forma alternativa como ∆yt = δyt−1+�t em que δ = φ1−1,∆yt =
yt − yt−1.
35. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-2000 - Questa˜o 15 ) Considere um processo AR(1)
Yt = φYt−1 + �t, �t ∼ NID(0, σ2), t = 1, 2, . . . , T,
em que , por hipo´tese, |φ| < 1, a na˜o ser que seja dito o contra´rio. Considere Y0 fixo e que t seja
muito distante da origem.
(0) A condic¸a˜o |φ| < 1 e´ necessa´ria para que o processo apresente me´dia e variaˆncia incondicionais
independentes do tempo.
(1) A me´dia incondicional do processo e´ zero.
(2) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o deste processo e´ diferente de zero para o ”lag”1 , e e´ igual a zero
para todos os outros ”lags”.
(3) A previsa˜o dois-passos a` frente e´ dada por: E(Yt+2|Yt) = (φ + 1) + φ2Yt, em que Yt =
{Y1, Y2, . . . , YT }.
(4) Se φ = 1, o processo sera´ na˜o estaciona´rio.
36. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-1999 - Questa˜o 1 ) Com relac¸a˜o aos modelos Auto-Regressivo,
Me´dia-Mo´vel e Misto pode-se afirmar que:
(0) No modelo AR(1), Zt = φZt−1 + at, onde E(at) = 0,E(a2t ) = σ
2
a, Cov(at, as) = 0, t 6= s, a
variaˆncia de Zt e´ finita qualquer que seja o valor de φ.
(1) No modelo MA(1),Zt = µ + at − θat−1,onde E(at) = 0,E(a2t ) = σ2a, enta˜o E(Zt) = µ e
V ar(Zt) = (1 + θ
2)σ2a.
(2) O processo ARMA(p, q)(Auto-Regressivo Me´dia-Mo´vel) pode ser escrito na forma Φ(L)Zt =
Θ(L)at , onde Φ(L) = 1 − φ1L − φ2L2 − . . . − φpLp e Θ(L) = 1 − θ1L − θ2L2 − . . . − θqLq
sa˜o , respectivamente, os operadores Auto-Regressivo e de Me´dia-Mo´vel de ordem p e q onde
LnZt = Zt−n.
(3) Se o processo gerador de dados pose ser escrito como (1 − L)Zt = µ + at, enta˜o a raiz de sua
equac¸a˜o caracter´ıstica sera´ diferente de um.
37. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-1999 - Questa˜o 2 ) Uma se´rie temporal mensal de treˆs anos
, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o prec¸o de um produto agr´ıcola , apresentou a
seguinte tendeˆncia linear Y = 3 + 0, 25X. estime o prec¸o do produto Y para o meˆs de janeiro de
1998, sabendo que as variac¸o˜es sazonais calculadas com base num modelo aditivo para os treˆs anos
considerados foram:
Meˆs Jan Fev Mar Abr Mai Jun
Variac¸a˜o sazonal -1,25 -0,52 0,84 1,50 3,00 3,85
26
38. (ANPEC-Prova de Estat´ıstica-Ano-1998 - Questa˜o 15 ) Com relac¸a˜o aos modelos Auto-Regressivo,
Me´dia-Mo´vel e Misto pode-se afirmar que:
(0) No modelo Zt = φZt−1 + at + θat−1 + θ0, onde θ0 e´ uma constante e at um ru´ıdo branco, a
me´dia do processo sera´ igual a zero se θ0 = 0.
(1) No modelo Auto-Regressivo de ordem p, Zt = φ1Zt−1 + φ2Zt−2 . . .+ φpZt−p + +at, se 1− φ1−
φ2 − . . .− φp = 0, o modelo na˜o sera´ estaciona´rio.
(2) O processo ARMA(p, q)(Auto-Regressivo Me´dia-Mo´vel) sera´ estaciona´rio, se todas as ra´ızes dos
operadores Auto-Regressivo e de Me´dia-Mo´vel ca´ırem dentro do c´ırculo unita´rio.
(3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, Zt = ρZt−1 + at, at um ru´ıdo branco, o verdadeiro
valor de ρ e´ um, enta˜o Zt = at + at−1 + at−2 + . . .+ a1, desde que Z0 = 0.
39. (Tribunal Superior Eleitoral- Analista Judicia´rio-14/01/2007) Texto para as questo˜es de 62 a 64
Uma se´rie temporal estaciona´ria {Yt}, t = 1, 2, . . . , n, segue um processo definido pelas equac¸o˜es a
seguir, em que {Zt} e´ uma sequeˆncia de ru´ıdos com me´dia nula e variaˆncia σ2.
Yt =
[
A 1
] [ αt−1
αt
]
[
αt
αt+1
]
=
[
0 1
0 B
] [
αt−1
αt
]
+
[
0
Zt+1
]
40. (QUESTA˜O 62) A partir das informac¸o˜es apresentadas no texto, julque os seguintes itens.
I |A| < 1.
II |B| < 1.
III Yt segue um proceso ARMA(1, 1).
A quantidade de itens certos e´ igual a
A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.
41. (QUESTA˜O 63) Com base nas informac¸o˜es apresentadas no texto, se A = 0 e B = 0, 5, enta˜o, a
correlac¸a˜o entre Yt e Yt+2 sera´ igual a
A) 0. B0 0,25. C) 0,50. D) 1.
42. (QUESTA˜O 64) Considerando as informac¸o˜es do texto, se B = 0 , enta˜o, a correlac¸a˜o entre Yt e
Yt+2 sera´ igual a
A) 0. B) B2. C0 B. D) 1.
43. (QUESTA˜O 65) Uma se´rie temporal estaciona´ria {Xt}, t = 1, 2, . . . , n,
e´ definida por Xt = λXt−1 + at, em qe at representa o ru´ıdo aleato´rio observado no instante t,
E(at) = 0 e variaˆncia V ar(at) = σ
2. Seja Xˆn+1 o melhor preditor linear para a pro´xima observac¸a˜o
Xn+1.
Considerando as informac¸o˜es acima , julque os itens que se seguem.
I A variaˆncia do processo {Xt} e´ igual a λ.
II Xˆn+1 = λXn.
III E(Xn+1 − Xˆn+1)2 = λ2.
A quantidade de itens certos e´ igual a
A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.
44. Seja Zt = at− 0, 5at−1 em que at e´ uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias independentes com me´dia
nula e variaˆncia σ2a .Mostre que:
a. E(Zt) = 0.
b. V ar(Zt) = γ(0) = 1, 25σ
2
a.
c. Cov(Zt, Zt−1) = −0, 5σ2a.
27
d. Cov(Zt, Zt+1) = −0, 5σ2a.
e. Cov(Zt, Zt−2) = 0.
f. ρt,s = I{t=s}(t, s)− 0, 4I{|t−s|=1}(t, s).
g. A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o e´ de um processo estaciona´rio?
45. A tabela 1 mostra uma se´rie temporal de valores trimestrais da varia´vel econoˆmica Y.
Tabela 1
Y 29 18 13 22 27 21 11 11
Trimestre 1 2 3 4 5 6 7 8
a.) Admitindo que a se´rie apresenta variac¸o˜es c´ıclicas estacionais, estime os paraˆmetros
β0, β1, β2 do modelo
Yt = β0 + β1 cos
(
2pit
T
)
+ β2 sin
(
2pit
T
)
+ ut,
onde t = 1, 2, . . . , 8 indica o tempo (em trimestres) e T e´ o per´ıodo do ciclo.
b.) Coloque a equac¸a˜o estimada na forma Yˆ = b0 + C cos
(
2pit
T −Ψ
)
;
c.) Teste a hipo´tese H0 : β1 = β2 = 0
d.) Teste a hipo´tese H0 : β2 = 0
46. A tabela 2 mostra uma se´rie de 8 valores trimestrais ( dois anos) da varia´vel Y . Admite-se que essa
varia´vel apresenta variac¸o˜es c´ıclicas estacionais.
Tabela 2
Y 37 32 25 30 33 32 25 34
Trimestre 0 1 2 3 4 5 6 7
a. Ajuste aos dados um modelo harmoˆnico completo ( com 3 coeficientes de regressa˜o, ale´m do
termo constante ).
b. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, a hipo´tese de que os 3 coeficientes de regressa˜o sa˜o iguais
a zero.
c. Determine o intervalo de previsa˜o para o valor de Y no terceiro trimestre do terceiro ano, ao
n´ıvel de confianc¸a de 90%.
47. A tabela 3 mostra uma se´rie temporal de valores bimestrais da varia´vel econoˆmica Y.
Tabela 3
Y 122 93 71 92 119 106 110 99 65 100 113 110
Bimestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a.) Admitindo que a se´rie apresenta variac¸o˜es c´ıclicas estacionais, estime os paraˆmetros de um
modelo com dois componentes harmoˆnicos (com per´ıodos de T1 = 6 e T1 = 3 bimestres);
Yt = β0 +
2∑
i=1
βi cos
(
2pit
Ti
)
+
4∑
i=3
βisen
(
2pit
Ti
)
+ ut,
onde t = 1, 2, . . . , 12 indica o tempo (em bimestres) e Ti e´ o per´ıodo do i-e´simo ciclo.
b.) Coloque a equac¸a˜o estimada na forma Yˆ = b0 +
∑2
i=1 Ci cos
(
2pit
Ti
+ Ψi
)
, com Ci > 0 e −pi ≤
Ψi ≤ pi;
c.) Verifique se a contribuic¸a˜o do segundo componente harmoˆnico (com per´ıodo de 3 bimestres) e´
estatisticamente significativa.
d.) Teste a hipo´tese H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0
e.) Determine as estimativas dos desvios padro˜es dos estimadores de M.Q. dos paraˆmetros.
f.) Estime o valor de Y e determine o respectivo intervalo de previsa˜o para t = 13 e t = 15, ao
n´ıvel de confianc¸a de 95%..
28
48. A tabela 4 mostra uma se´rie de 8 valores trimestrais da varia´vel econoˆmica Y .
Tabela 4
Y 28,5 19,0 12,5 21,0 27,5 21,0 11,5 19,0Trimestre 1 2 3 4 5 6 7 8
a. Admitindo que a se´rie apresenta variac¸o˜es c´ıclicas estacionais, estime os paraˆmetros β0, β1 e
β2 do modelo:
Yt = β0 + β1 cos
(
2pi
T
t
)
+ β2 sen
(
2pi
T
t
)
+ ut,
t = 1, 2, . . . , 8 indica o tempo (em trimestres) e T e´ o per´ıodo do ciclo.
b. Coloque a equac¸a˜o estimada na forma:
Yˆt = b0 + Aˆ cos
(
2pi
T
t− Ψˆ
)
c. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 1%, a hipo´tese H0 : β1 = β2 = 0.
d. Estime o valor de Y e determine o respectivo intervalo de previsa˜o para t = 11 , ao n´ıvel de
confianc¸a de 90%.
49. Para os dados da questa˜o anterior, estabelec¸a um modelo onde o efeito das variac¸o˜es estacionais e´
captado por varia´veis bina´rias. Estime a equac¸a˜o e calcule a correspondente soma de quadrados dos
desvios. Compare esse modelo com aquele analisado na questa˜o anterior ( regressa˜o harmoˆnica).
Ha´ raza˜o para dar prefereˆncia a um dos dois modelos nesse caso? Explique.
50. A tabela 5 mostra uma se´rie de 6 valores da varia´vel econoˆmica Y , observada de 8 em 8 meses
( o intervalo entre duas observac¸o˜es consecutivas e´ de 8 meses ou 2/3 de ano). Admite-se que Y
apresente variac¸o˜es c´ıclicas estacionais
Tabela 5
Y 36 42 12 42 36 18
Tempo 8 16 24 32 40 48
t 0 1 2 3 4 5
Note que t =
Tempo− 8
8
.
a. Ajuste aos dados um modelo harmoˆnico completo, com 2 coeficientes de regressa˜o (ale´m do
termo constante).
b. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, a hipo´tese de que os dois coeficientes de regressa˜o sa˜o
iguais a zero.
c. Coloque a equac¸a˜o estimada na forma:
Yˆt = b0 + Aˆ cos
(
2pi
T
t− Ψˆ
)
.
d. Determine o intervalo de previsa˜o para o pro´ximo valor de Y , ao n´ıvel de confianc¸a de 90%.
51. A tabela 6 mostra uma se´rie temporal de 12 valores trimestrais da varia´vel econoˆmica Y . Admite-se
que Y apresente variac¸o˜es c´ıclicas estacionais.
Tabela 6
Y 57 14 18 55 42 23 12 46 42 26 21 40
Trimestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a. Obtenha estimativas dos paraˆmetros do modelo harmoˆnico
Yt = α+ δ cos
(
2pi
T
t−Ψ
)
+ ut,
onde ut e´ chamado de ru´ıdo branco.
29
b. Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o da regressa˜o ajustada e verifique se e´ estatisticamente
diferente de zero ao n´ıvel de significaˆncia de 1%.
c. Determine o intervalo de previsa˜o para para Y no terceiro trimestre do quarto ano,ao n´ıvel de
confianc¸a de 90%.
d. O modelo harmoˆnico completo para dados trimestrais teria um termo adicional ficando com
um total de 4 paraˆmetros. Fac¸a um teste ( t ou F ) para verificar se a contribuic¸a˜o desse termo
adicional e´ significativa ao n´ıvel de 10
e. Descreva um modelo com varia´veis bina´rias que levaria a um coeficiente de determinac¸a˜o igual
ao do modelo harmoˆnico completo. Tendo em vista o resultado obtido no item (d), na ana´lise
dessa se´rie temporal voceˆ daria prefereˆncia a este modelo com varia´veis bina´rias ou ao modelo
dado no item (a)?. Justifique.
52. A tabela 7 mostra uma se´rie temporal de 8 valores trimestrais da varia´vel econoˆmica Y . Admite-se
que as variac¸o˜es de Y podem ser explicadas pelo modelo.
Yt = α+A cos
(
2pi
T
t−Ψ
)
+ ut,
com T = 4 trimestres,
Pressupo˜e-se que os ut sa˜o erros aleato´rios independentes com distribuic¸a˜o normal de me´dia zero.
Pressupo˜e-se, tambe´m, que a variaˆncia dos ut e´ σ
2 para os dois primeiros trimestres e 2σ2 para os
dois u´ltimos trimestres de cada ano.
Tabela 7
Y 8 8 16 22 14 2 20 14
t 1 2 3 4 5 6 7 8
a. Apo´s colocar o modelo na forma de um regressa˜o linear mu´ltipla com duas varia´veis expla-
nato´rias, obtenha as estimativas lineares na˜o tendenciosas de variaˆncia mı´nima dos seus 3
paraˆmetros.
b. Estime σ2.
c. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, a hipo´tese de que o coeficiente de cos
(
2pi
T
t
)
e´ igual a
zero.
d. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, a hipo´tese H0 : A = 0 ( que equivale a afirmar que os
dois coeficientes de regressa˜o sa˜o iguais a zero).
e. Determine a estimativa de Y no quarto trimestre do terceiro ano.
f. Determine o intervalo de previsa˜o para para Y no quarto trimestre do terceiro ano,ao n´ıvel de
confianc¸a de 90%.
53. A tabela 8 mostra uma se´rie temporal de 12 valores trimestrais (3 anos) da varia´vel econo´mica Y .
Verifica-se que
12∑
i=1
Yi = 276 e
12∑
i=1
Y 2i = 6950.
Tabela 8
Y 17 18 12 14 25 23 13 25 33 34 28 30
Trimestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a. Estime os paraˆmetros do modelo
Yt = α+ β t+A cos
(
2pi
T
t−Ψ
)
+ ut,
onde ut e´ um ru´ıdo branco e T + 4 trimestres.
b. Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o da regressa˜o
c. Verifique se a contribuic¸a˜o do componente harmoˆnico e´ estatisticamente significativa a 1%.
d. Determine a estimativa pontual e intervalar a 95% de Y no terceiro semestre do quarto ano.
Dica: Para a soluc¸a˜o manual transforme a varia´vel t em x = 2∗(t−6, 5). Justifique tal transformac¸a˜o
30
Nı´vel 3
1. A tabela 9 mostra uma se´rie temporal de valores bimestrais da varia´vel econoˆmica Y.
Tabela 9
Y 103 119 121 105 85 79 83 95 105 101 85 71
Bimestre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a.) Admitindo que a se´rie apresenta variac¸o˜es c´ıclicas estacionais, estime os paraˆmetros
do modelo:
Yt = α+ γt+ β1 cos
(
2pit
T
)
+ β2sen
(
2pit
T
)
+ ut,
onde t = 1, 2, . . . , 12 indica o tempo (em bimestres) e T = 6 e´ o per´ıodo das variac¸o˜es c´ıclicas.
b.) Determine a fase inicial ( −pi ≤ Ψ ≤ pi) e a amplitude das variac¸o˜es c´ıclicas;
c.) Teste a hipo´tese H0 : γ = 0
d.) Teste a hipo´tese H0 : β1 = β2 = 0
2. Seja Zt uma se´rie estaciona´ria com facv γk. Seja Z¯ =
n∑
t=1
Zt
n
. Mostrar que :
V ar(Z¯) =
n−1∑
k=−n+1
(1− |k|
n
) γk
n
=
γ0
n
+
2
n
n−1∑
k=1
(1− k
n
) γk.
3. Prove que o passeio aleato´rio, definido em (2.20), tem facv dada por γ(t1, t2) = σ
2
�min(t1, t2).
4. Seja Z(t) =
n∑
j=1
(Aj cosλjt + Bj senλjt), onde t = 0,±1;±2, . . . e λ1, λ2, . . . , λn sa˜o constantes
positivas e Aj , Bj sa˜o varia´veis aleato´rias independentes entre si com me´dias 0 e variaˆncias σ
2
j =
V ar(Aj) = V ar(Bj), j = 1, 2, . . . , n. O processo Z(t) e´ estaciona´rio? Encontre a me´dia e a facv de
Z(t).
5. Considere o modelo (2.34), com at satisfazendo (2.36) e suponha que
Z∗(t) =
n∑
k=−n
bkZt+k, t = n+ 1, . . . , N − n.
a. Escrevendo Z∗(t) = f∗(t) + a∗t , deˆ as expresso˜es para f
∗(t) e a∗t .
b. Calcule V ar(a∗t ); e´ poss´ıvel escolher os bi de modo que V ar(a
∗
t ) < V ar(at)? Como?
c. Prove que:
Cov(a∗t , a
∗
t+h) =

σ2a
n∑
k=−n
bkbk−h , h = 0, 1, , . . . , 2n,
0 , h = 2n+ 1, . . . .
6. Responda as questo˜es do Problema 4 para o caso em que:
bk =
1
2n+ 1
, para todo k.
7. Considere as observac¸o˜es:
t 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967
Zt 15 19 13 17 22 18 22
31
Calcule ck e rk, k = 0, 1, . . . , 6.
8. Considere o modelo (2.35) com as suposic¸o˜es (2.36) e com f(t) = α + βt. Obtenha os estimadoes
de mı´nimos quadrados de α e β para os dados do Problema 6.
9. Suponha f(t) dada por (2.41), com m = 2. Obtenha ∆2f(t) e ∆3f(t). De modo geral, para um d
qualquer, calcular ∆df(t), isto e´, a d-e´sima diferenc¸a de f(t), d um inteiro qualquer.
10. Obtenha os valores suavizados Z∗t definidos no Problema 4, para os dados do Problema 6. Fac¸a
um gra´fico para Zt e Z
∗
t . Use n = 1 e bk = 1/3, para todo k.
11. Para o problema anterior, supondo V ar(at) = σ
2
a = 1, obtenha V ar(a
∗
t ) e Cov(a
∗
t , a
∗
t+h).
12. Considere os dados da Se´rie A10(M-ICV). Calcule a me´dia amostral Z¯, c0,c1, c2,c3,c4,r0, r1,r2,r3,r4
e fac¸a o gra´fico de rj , j = 0, 1, 2, 3, 4.
13. Considere o processo estoca´stico Zt = at, onde at e´ um ru´ıdo branco, com t = 0,±1,±2, . . . e
at =
 +1 , com probabilidade1/2;−1 , com probabilidade 1/2.
a. Obtenha a me´dia do processo Zt;
b. Calcule γ(τ), τ = 0,±1,±2, . . .;
c. Calcule ρ(τ), τ = 0,±1,±2, . . . e fac¸a o seu gra´fico.
14. Prove que ∆rZ(t) =
r∑
j=0
(−1)j
(
r
j
)
Zt−j .
15. Suponha {at, t = 1, 2, . . .} uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias e identicamente distribu´ıdas, com:
P (at = 0) = P (at = 1) = 1/2.
a. O processo a1 + a2cost e´ estaciona´rio?
b. O processo a1 + a2cost+ a3cost+ sent e´ estaciona´rio?
16. Se {Xt, t ∈ T} e {Yt, t ∈ T} sa˜o estaciona´rios e independentes, {aXt+bYt, t ∈ T} sera´ estaciona´rio?
17. Seja {Zt} um processo estaciona´rio com me´dia µZ e func¸a˜o de autocovariaˆncia γZ . Um novo
processo e´ definido por Yt = Zt − Zt−1. Obtenha a me´dia e a func¸a˜o de autocovariaˆncia de {Yt}
em termos de µZ e γZ . Mostre que {Yt} e´ um processo estaciona´rio.
18. Prove que {Z(t), t ∈ R} for Gaussiano e estaciona´rio de segunda ordem, enta˜o ele sera´ fracamente
estaciona´rio.
19. Use um programa computacional para calcular:
a. a me´dia amostral;
b. ck e rk, para k = 1, 2, . . . , 36;
das se´ries A4 (Ozoˆnio) e A5 (Energia). Fac¸a os gra´ficos da se´ries e de rk. Comente quanto a` presenc¸a
de tendeˆncias, sazonalidades, ciclos. Comente a natureza dos gra´ficos de rk para cada se´rie.
20. Use um programa computacional (o EViews, por exemplo) e a se´rie dos log-retornos mensais do
IBOVESPA (Se´rie A9(d)) para calcular:
a. me´dia e variaˆncia amostrais, coeficientes de assimetria e curtose, ma´ximo e mı´nimo, histo-
grama;
b. autocorrelac¸o˜es amostrais.
32
21. Considere {at, t = 1, 2, . . .} obtido de uma sequeˆncia ut ∼ N(0, 1) independentes, da seguinte forma:
at =

ut , t par;
2−1/2(u2t−1 − 1) , t ı´mpar,
{at} e´ um processo estaciona´rio?
22. A func¸a˜o γ(τ) = sen(τ) e´ uma poss´ıvel func¸a˜o de autocovariaˆncia? Justifique sua resposta.
23. Quais das seguintes func¸o˜es definidas em Z sa˜o func¸o˜es de autocovariaˆncia de um processo esta-
ciona´rio?
a.
γ(h) =
 1 , se h = 0;1
h , se h 6= 0,
b. γ(h) = (−1)|h|.
c. γ(h) = 1 + cospih2 + cos
pih
4 .
d. γ(h) = 1 + cospih2 − cospih4 .
e.
γ(h) =

1 , se h = 0;
0, 4 , se h = ±1
0 , se h 6= 0,±1.
24. Mostre que se uma se´rie estaciona´ria satisfaz a equac¸a˜o de diferenc¸as
Yt − Yt−1 = et, et ∼ N(0, σ2e)
independentes, enta˜o V ar(et) = 0.
25. Seja Zt = at + cat−1 + cat−2 + . . .+ ca1, t ≥ 1, onde c e´ uma constante e at ∼ RB(0, σ2a).
a. Encontre a me´dia e a autocovariaˆncia de Zt. Ela e´ estaciona´ria?
b. Encontre a me´dia e a autocovariaˆncia de (1−B)Zt. Ela e´ estaciona´ria?
26. Suponha que {Xt, t = 0,±1, . . .} seja uma sequeˆncia de varia´veis aleato´rias independentes, todas
com a mesma distribuic¸a˜o, com E(Xt) = µ, para todo t, e V ar(Xt) = σ
2, para todo t. Considere
o processo {Yt, t = 0,±1, . . .},
onde Yt =
Xt
2 +
Xt−1
4 +
Xt−2
8 . O processo {Yt} e´ estaciona´rio? Calcule E(Yt), V ar(Yt) e Cov(Yt, Ys).
27. Dado o processo Xt, definimos a primeira diferenc¸a como ∆Xt = Xt − Xt−1 e, sucessivamente,
∆2Xt = ∆(∆Xt), ∆
3Xt = ∆(∆
2Xt), etc. Suponha que Yt = α+ βt+ γt
2 +Xt, onde α, β e γ sa˜o
constantes e Xt e´ estaciona´rio com func¸a˜o de autocovariaˆncia γX(t). Mostre que ∆
2Yt e´ estaciona´rio
e encontre sua func¸a˜o de autocovariaˆncia.
28. Suponha que �t seja RB(0, σ
2
� ). Defina o processo
Xt =
 �0 , t = 0;
Xt−1 + �t , t = 1, 2 . . . .
O processo Xt e´ estaciona´rio?
29. Suponha Xt ∼ RB(0, σ2) e seja Yt = Xt + cos(2pif0t+ φ), 0 < f0 < 1/2 fixada.
a. Mostre que, se φ e´ uma constante, Yt na˜o e´ estaciona´rio;
33
b. Mostre que, se φ for uma v.a. uniformemente distribu´ıda sobre o intervalo [−pi , pi] e indepen-
dente de Xt, enta˜o Yt e´ um ru´ıdo branco.
30. As seguintes observac¸o˜es representam os valores Z91, Z92, Z93, Z94, Z95, Z96, Z97, Z98, Z99, Z100 de
uma se´ries temporal ajustada pelo modelo
Zt − Zt−1 = at − 1.1at−1 + 0.3at−2
166, 172, 172, 169, 164, 168, 171, 167, 168, 172
a. Calcule as previso˜es Ẑ100(h), h = 1, 2, ..., 10 (utilize a90 = 0 e a91 = 0)
Soluc¸a˜o:
Dado o modelo
Zt − Zt−1 = at − 1.1at−1 + 0.3at−2
Podemos escrever
Zt = Zt−1 + at − 1.1at−1 + 0.3at−2
E assim, identificar que o modelo e´ ARMA(1,2).
Para fazermos as previso˜es de Zt no tempo t e horizonte h, precisamos colocar a se´rie no
seguinte formato:
Zt+h = Zt+h−1 + at+h − 1.1at+h−1 + 0.3at+h−2
Pede-se no item que se calcule Ẑ100(h) para h = 1, 2, ..., 10. Isso e´ bem simples, entretanto, ao
substituir h = 1, por exemplo, precisaremos de a99 e a100, valor que na˜o temos. Dessa forma,
precisaremos dos valores passados de Zt para encontrar tais resultados de previsa˜o.
Sabendo que podemos escrever o modelo como
Zt+h = Zt+h−1 + at+h − 1.1at+h−1 + 0.3at+h−2
Enta˜o, vamos substituir:
– Econtrando a92:
Z92 = Z91 + a92 − 1.1a91 + 0.3a90
172 = 166 + a92 − 0 + 0
a92 = 6
– Econtrando a93:
Z93 = Z92 + a93 − 1.1a92 + 0.3a91
172 = 172 + a93 − 1.1 ∗ 6.6 + 0
a93 = 6.6
– Econtrando a94:
Z94 = Z93 + a94 − 1.1a93 + 0.3a92
169 = 172 + a94 − 1.1 ∗ 6.6 + 0.3 ∗ 6
a94 = 2.46
– Econtrando a95:
Z95 = Z94 + a95 − 1.1a94 + 0.3a93
164 = 169 + a95 − 1.1 ∗ 2.46 + 0.3 ∗ 6.6
a95 = −3.274
34
– Econtrando a96:
Z96 = Z95 + a96 − 1.1a95 + 0.3a94
168 = 164 + a96 − 1.1 ∗ (−3.274) + 0.3 ∗ 2.46
a96 = −0.3394
– Econtrando a97:
Z97 = Z96 + a97 − 1.1a96 + 0.3a95
171 = 168 + a97 − 1.1 ∗ (−0.3394) + 0.3 ∗ (−3.274)
a97 = 3.60886
– Econtrando a98:
Z98 = Z97 + a98 − 1.1a97 + 0.3a96
167 = 171 + a98 − 1.1 ∗ (3.60886) + 0.3 ∗ (−0.3394)
a98 = 0.071566
– Econtrando a99:
Z99 = Z98 + a99 − 1.1a98 + 0.3a97
168 = 167 + a98 − 1.1 ∗ (0.071566) + 0.3 ∗ (3.60886)
a99 = −0.003935
– Econtrando a100:
Z100 = Z99 + a100 − 1.1a99 + 0.3a98
172 = 168 + a98 − 1.1 ∗ (−0.003935) + 0.3 ∗ (0.071566)
a100 = 4.0258
Encontrado a99 = −0.003935 e a100 = 4.0258, podemos fazer a previsa˜o para a se´ries em
estudo, com h = 1, 2, ..., 10:
– Encontrando Ẑ101:
Z100(1) = Z100 + a101 − 1.1a100 + 0.3a99
Z100(1) = 172 + 0− 1.1 ∗ (4.0258) + 0.3 ∗ (−0.003935)
Z100(1) = 176.4272
Ẑ101 = 176.4272
– Encontrando Ẑ102:
Z100(2) = Z101 + a102 − 1.1a101 + 0.3a100
Z100(2) = Ẑ101 + 0− 0 + 0.3 ∗ (4.0257983)
Z100(2) = 176.4272 + 0.3 ∗ (4.0257983)
Z100(2) = 177.6349
Ẑ102 = 177.6349
35
– Encontrando Ẑ103:
Z100(3) = Z102 + a103 − 1.1a102 + 0.3a101
Z100(3) = Ẑ102 + 0− 0 + 0
Z100(3) = Ẑ102
Z100(3) = 177.6349
Ẑ103 = 177.6349
– Para h > 3, o valor de Z100(h) e´ :
Z100(h) = 177.6349
b. Sabendo que σ̂2 = 1.1, calcule V̂ ar(e100(h)), h = 0, 1, 2, ..., 10 e construa intervalos de confianc¸a
para valores Z100+h.
Soluc¸a˜o:
Para calcular a variaˆncia do erro de previsa˜o, usamos:
V (h) = (1 + Ψ1
2 + Ψ2
2 + ...+ Ψh−12)
Nosso objetivo agora e´ encontrar os valores de Ψj . Usaremos o artif´ıcio o seguinte artif´ıcio:
φ(B)Ψ(B) = θ(B)
Aplicando em nosso modelo:
(1−B)Zt = (1− 1.1 + 0.3)at
(1−B)(1 + Ψ1B + Ψ2B2 + ...) = (1− 1.1 + 0.3)at
1 + (Ψ1 − 1)B + (Ψ2 −Ψ1)B2 + ...) = (1− 1.1 + 0.3)at
Ψ1 − 1 = −1.1
Ψ1 = −0.1
Ψ1 −Ψ1 = 0.3
Ψ2 = 0.2
Assim, Ψ1 = −0.1 e Ψ2 = 0.2, com Ψh = 0, para h > 2.
Portanto, para os horizontes definidos, temos:
– Variaˆncia para horizonte 1:
V (1) = 1.(1.1)
V (1) = 1.1
– Variaˆncia para horizonte 2:
V (2) = (1 + Ψ1
2).(1.1)
V (2) = 1.221
– Variaˆncia para horizonte 3:
V (3) = (1 + Ψ1
2 + Ψ2
2).(1.1)
V (3) = 2.75
36
– Variaˆncia para horizonte h, com h > 3:
V (h) = 2.75
Para a construc¸a˜o dos intervalos de confianc¸a, devemos fazer algumas suposic¸o˜es adicionais:
– E[at] = 0
– V ar[at] = σa
2
– E[at.at] = 0, t 6=s
– at∼N(0, σa2)
Segue-se, portanto, que dados os valores passados e presentes da se´rie, Zt, Zt−1, ... a distribuic¸a˜o
condicional de Zt+h sera´ N(Ẑt(h), V (h)), ou seja,