Gerencia_Riscos_LOGICA

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Cornélio Procópio 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM 
ENGENHARIA DE SEGURANÇA DO TRABALHO 
 
DISCIPLINA: GERÊNCIA DE RISCOS 
TEMA: LÓGICA – OPERAÇÕES E ARGUMENTOS 
Prof. Me. Armando Paulo da Silva 
 
CORNÉLIO PROCÓPIO – 2012 
 
 
 
 
 
LÓGICA – Ciência que estuda as leis e regras estruturadoras da coerência 
interna de qualquer pensamento e de qualquer discurso. 
 
A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser 
formulados como segue: 
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. 
Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), 
uma delas é falsa. 
Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é 
verdadeira. 
 Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas – 
sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. 
 Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas 
(moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem 
usaremos a tabela-verdade. 
 
TABELA-VERDADE 
 
Uma tabela-verdade é uma tabela em que constam todos os possíveis valores 
lógicos de uma proposição composta a partir dos valores lógicos de suas componentes e 
conectivos. 
O número de linhas de uma tabela-verdade: cada proposição simples (atômica) tem 
dois valores lógicos 0 ou 1, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades 
quantos são os arranjos com repetição de 2 (0 ou 1) elementos tomados n a n. Segue-se que o 
número de linhas da tabela-verdade é 
2n
. 
 
CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE 
 
 Tomemos uma proposição composta p:(p1, p2, ...,pn) formada por n proposições 
simples. O valor lógico de P dependerá do valor lógico de suas componentes e das operações 
efetuadas entre elas. O valor lógico de P é expresso em sua tabela-verdade, cujo procedimento 
de construção damos abaixo: 
1º Passo: Determinar o número de linhas da tabela verdade que se vai construir. O número de 
linhas da tabela verdade é dado por 2
n
 onde n é o número de proposições simples que compõe 
p. Esta quantia de linhas nos vão permitir escrever todas as possíveis combinações dos valores 
lógicos das proposições componentes. 
 Exemplo: 
 
1) Para duas variáveis teremos 4 linhas 
P q 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
 
 
 
2) Para três variáveis teremos oito linhas: 
P q r 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
2º Passo: Observar a precedência dos conectivos e escrever passo a passo em ordem a 
seqüência de operações efetuadas para obter P. 
 A ordem de precedência das operações é a seguinte: 
a) Negação (’) 
b) Conjunção (

 ou

) 
c) Disjunção inclusiva (
 ou 
) ou disjunção exclusiva (

) 
d) Condicional (

) 
e) Bicondicional (

) 
Ao efetuar as operações lógicas vale a mesma regra utilizada em expressões numéricas: 
“na presença de parênteses efetuam-se primeiro as operações no parênteses”. 
 
3º Passo: Aplicar as definições das operações lógicas que o problema exigir. 
 
Estudaremos a seguir os conectivos e veremos então alguns exemplos de tabela-
verdade. 
 
OPERAÇÕES LÓGICAS: 
 
A criação de proposições novas a partir de outras proposições é chamada operações 
lógicas. Cada conectivo indica uma operação lógica diferente. 
 
a) Conjunção ou produto lógico (intersecção ou circuito em série): Duas 
proposições quaisquer podem ser combinadas pelo conectivo “e” para formar uma nova 
proposição. Tal proposição recebe o nome de conjunção das proposições originais. 
Simbolicamente representamos a conjunção de duas proposições p e q por 
qpou  qp
ou 
qp
. Utilizaremos em nossos estudos as duas últimas notações por serem as simbologias 
utilizadas em gerência de riscos. 
O conectivo e traduz a idéia de simultaneidade. A proposição 
q p 
 será verdadeira se 
e somente se p e q forem verdadeiras. 
A tabela-verdade da operação conjunção é: 
pa q 
 
 
 
 
 
b) Disjunção inclusiva ou soma lógica(união ou circuito em paralelo): A palavra ou 
na linguagem do dia a dia pode traduzir tanto a idéia de duas hipóteses mutuamente exclusivas 
(ou ocorre isso ou ocorre aquilo) quanto a idéias de que pelo menos uma das hipóteses ocorre. 
Por exemplo, na proposição: “Irei ao clube ou ao cinema” o conectivo “ou” traduz a idéia de 
exclusão. O mesmo não ocorre na proposição: “Os alunos desta turma jogam futebol ou 
basquete”. Aqui a idéia é que os alunos praticam pelo menos um dos dois esportes, nada 
impedindo que pratiquem os dois. É este último sentido que devemos interpretar quando entre 
duas proposições usarmos o conectivo “ou”. 
A proposição p ou q, simbolizado por 
q pq pq p  ouou
 é denominado disjunção 
de p e q. Tal proposição será verdadeira se pelo menos uma de suas componentes for 
verdadeira. 
A tabela-verdade da operação disjunção é: 
p q 
 
 
 
 
c) Disjunção exclusiva: Vimos que na disjunção inclusiva a palavra “ou” indicava que 
pelo menos uma das proposições seja verdadeira. 
A lógica digital necessitou da criação de mais uma operação: a disjunção exclusiva, 
onde o “ou” é usado no sentido de exclusão de uma das possibilidades. 
A proposição 
q p 
 (lê-se p ou q, mas não ambas) é denominada disjunção exclusiva 
de p e q e será verdadeira somente quando os valores lógicos das componentes p e q forem 
diferentes. 
A tabela-verdade da operação disjunção exclusiva é mostrada abaixo: 
p q 
 
 
 
 
d) Negação (Complementação ou inversora do circuito): Dada uma proposição p 
qualquer, podemos formar a partir dela uma nova proposição escrevendo-se “É falso que...” ou 
“não é verdade que...” ou ainda se possível, inserindo-se um não na proposição p. Tal 
proposição é denominada negação de p, e é simbolizada por ~ p ou p’ ou 
p
. 
Se p é verdadeira, p’ é falsa e se p é falsa, p’ é verdadeira, não havendo outra 
possibilidade. 
Assim a tabela-verdade da negação é dada por: 
p p 
 
 
Observação: 
1) Embora a negação de uma proposição pareça algo extremamente simples convém 
ressaltar que negar uma proposição p não é simplesmente afirmar algo diferente do que 
p afirma. Exemplo: A proposição q: Brasília é capital do Brasil não é negação de p: São 
Paulo é a capital do Brasil. 
 
2) A negação da negação de p é a própria p. 
e) Condicional: Dadas duas proposições p e q a proposição da forma “se p, então q” é 
chamada proposição condicional de p e q e é simbolizada por 
q p
. 
 A condicional 
q p
 podem também ser lida por: 
 p implica q 
 p somente se q 
 p é suficiente para q 
 q é necessário para p. 
 
Na condicional p é chamada antecedente e a proposição q conseqüente. 
 
 A proposição do tipo “se p, então q” só será falsa se tivermos p verdadeira e q 
falsa; em qualquer outro caso ela é verdadeira. 
 A tabela verdade da condicional é dada abaixo: 
p q 
 
 
 
 
 
f) Bicondicional: Dadas duas proposições p e q a proposição na forma “p se, e somente 
se, q” é chamada proposição bicondicional e representada por 
qp
. O valor lógico da 
proposição 
qp
 é verdade se os valores lógicos de p e q forem iguais, caso contrário, ou 
seja, se os valores lógicos de p e q forem diferentes 
qp
 será falsa. 
 A tabela verdade da condicional é dada abaixo: 
p q 
 
 
 
 
São utilizadas, sobretudo na linguagem matemática, as seguintes formas de leiturade 
proposições bicondicionais 
qp
: 
 p se, e somente se, q 
 p equivale a q 
 p é uma condição necessária e suficiente para q. 
Exemplo: Construa a tabela-verdade da proposição P(p,q,r): p+r’

q.r’ 
P q r r’ p+ q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 
 
Tautologia ou Fórmula logicamente válida: Quando uma proposição composta é 
sempre verdadeira sejam quais forem os valores lógicos de suas componentes. 
Exemplo: p + p’ 
 
 
 
Contradição ou contra-tautologia ou fórmula logicamente falsa: Quando uma 
proposição composta é sempre falsa sejam quais forem os valores lógicos de suas 
componentes. 
Exemplo: p

p’ 
 
 
 
Contingência ou indeterminada: Quando na tabela-verdade de uma proposição 
composta ocorrerem os valores 1 e 0. 
Exemplo: p + q 
 
 
 
 
 
Exercício 
Construa a tabela verdade das seguintes proposições: 
a) (p

q)’ 
b) (p

q’)’ 
c) (p  q) 

(p + q) 
d) (p  q)’+ (q 

 p)’ 
e) p’

( q 

 p) 
f) (p

q) 

 ( p

q ) 
g) q 

 q’  p 
h) p

(p

r’) 

q + r 
i) (p + q 

r)+(p’

q+r’) 
 
Resumo das portas lógicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMBOLOGIA MATÉMÁTICA DESIGNAÇÃO 
 ou XX Y Y X Y Y X   
 
Leis Comutativas 
 ou X Y Y X X Y Y X   
 
( ) ( ) ou X ( ) ( )X Y Z X Y Z Y Z X Y Z     
 
Leis Associativas 
( ) ( ) ou X ( ) ( )X Y Z X Y Z Y Z X Y Z     
 
( ) ( ) ( ) ouX Y Z X Y X Z     ( ) ( ) ( )X Y Z X Y X Z
 
Leis Distributivas 
( ) ( ) ( ) ouX Y Z X Y X Z     ( ) ( ) ( )X Y Z X Y X Z
 
 ouX X X 
X X X
 
Leis Idempotentes 
 ou X X X X X X  
 
( ) ou ( )X X Y X X X Y X   
 
Leis de Absorção 
( ) ou ( )X X Y X X X Y X   
 
 ou X X X X   
 
Complementação 
1 ou 1X X X X  
 
( ) 1 ou ( 1 )  
 
( ) ou ( )X Y X Y X Y X Y   
 Teorema de 
Morgan 
(X+Y) • ou ( )X Y X Y X Y 
 
 ou X X     
 
Leis de Identidades 
 ou X X X X   
 
1 X X ou 1 X X  
 
1 1 ou 1 1X X  
 
Obs: ( = conjunto vazio; 1 = conjunto universo) 
FIGURA 5.9 - Regras da Álgebra Booleana 
 
 
 
ARGUMENTOS E REGRA DE INFERÊNCIA (EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS) 
 
DEFINIÇÃO: 
Argumentar é apresentar uma proposição como sendo conseqüência de uma ou mais 
proposições p1, p2 ...pn ( 1n ). 
As proposições P1, P2 ...Pn são chamadas de premissas do argumento e a proposição 
C é chamada de conclusão. 
 Um argumento de premissas p1, p2, ...,pn e conclusão C, indica-se por: 
 
 p1, p2, ...,pn C 
 Exemplo: 
 p1: Todos os homens são mortais. 
 p2: Sócrates é homem. 
 C: Logo Sócrates é mortal. 
 
 Um argumento p1, p2,...,pn C é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira 
sempre que as premissas forem verdadeiras. 
 Quando ocorrer de todas as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa, o 
argumento não é válido, sendo chamado de sofisma ou falácia. 
 Exemplo: 
 P1: Todos os tubarões são antropófagos. 
 P2: Existem índios que são antropófagos. 
 C: Existem índios que são tubarões. 
 
CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO VÁLIDO: 
 
 Seja o argumento p1, p2, ...,pn C. Este argumento será válido se a 
proposição p1, p2,...,pn 

C ou em outras palavras se p1, p2 ...pn 

C for uma 
tautologia. 
 De fato, a proposição condicional só é falsa se tivermos a conjunção de todas as 
proposições como verdadeira (o que só ocorre quando p1, p2 ...pn são verdadeiras) e a 
conclusão como falsa, o que não pode ocorrer em um argumento válido. 
 Exemplo: Verifique se o argumento p + q , p’ 

 q é válido. 
 Construindo a tabela – verdade, temos: 
p q p+q p’ (p+q).p’ (p+q).p’

q 
 
 
 
 
 Como observamos pela tabela – verdade (p+q).p’

q é uma tautologia, logo o 
argumento é válido. 
 
 
 
 
 
REGRAS DE INFERÊNCIA: 
 
 As regras de inferência são argumentos válidos simples: 
1) União (

): p, q 

 p.q 
2) Modus Ponens (MP): p

q, p 

 q 
3) Modus Tollens (MT): p

q, q’ 

 p’ 
4) Adição (A): p 

 p + q 
5) Simplificação (S): p.q 

 p ou p.q 

 q. 
6) Silogismo hipotético (SH): p 

 q , q 

 r 

 p 

 r 
7) Silogismo disjuntivo (SD): p + q , p’ 

 q 
8) Dupla negação (DN): (p’)’ 

 p ou p 

 (p’)’ 
 
VALIDADE DE UMA PROPOSIÇÃO MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA OU 
EQUIVALÊNCIA. 
 
 Veremos a seguir alguns exemplos de como se pode demonstrar que um argumento 
é válido utilizando-se as regras de inferência e as equivalências lógicas. Para isso partimos 
das premissas e utilizando as regras de inferência ou equivalências chegamos à conclusão. 
DEMONSTRAÇÃO DIRETA 
Exemplo 1: Provar s’ dadas as premissas. 
1) t 
2) t 

 q’ 
3) q’

s’ 
 
Demonstração: 
1) t premissa 
2) t 

 q’ premissa 
3) q’

s’ premissa 
4) q’ Modus Ponens 1 e 2 
5) s’ Modus Ponens 3 e 4 c.q.d. 
 
Exemplo 2: Provar r + s’ dadas as premissas: 
1) s. q 
2) t 

 q’ 
3) t’

 r 
 
Demonstração: 
1) s.q premissa 
2) t 

 q’ premissa 
3) t’

 r premissa 
4) q s 1 
5) (q’)’ DN 4 
6) t’ MT 2 e 5 
7) r MP 3 e 6 
8) r + s’ A 7 c.q.d. 
 
 
Exemplo 3: Provar a dadas as premissas: 
 
1) a’

 b 
2) b

 c 
3) c’ 
Demonstração: 
1) a’

 b premissa 
2) b 

 c premissa 
3) c’ premissa 
4) b’ MT 2 e 3 
5) (a’)’ MT 1 e 4 
6) a DN 5 c.q.d. 
 
Exemplo 4: Provar a dadas as premissas: 
 
1) a’

 c 
2) c

 m’ 
3) m + r 
4) r’ 
Demonstração: 
1) a’

 c premissa 
2) c

 m’ premissa 
3) m + r premissa 
4) r’ premissa 
5) m SD 3 e 4 
6) (m’)’ DN 5 
7) c’ MT 2 e 6 
8) (a’)’ MT 1 e 7 
9) a DN 8 c.q.d 
 
Utilizando as regras de inferência faça as demonstrações abaixo, indicando a cada passo as 
regras utilizadas: 
a) Provar t’dadas as premissas: b) Provar s dadas as premissas: 
1. p

 s 1. t

 r 
2. p . q 2. r’ 
3. s.r 

 t’ 3. t+ s 
4. q

 r 
 
c) Provar t.s dadas as premissas: d) Provar s dadas as premissas: 
1. c 

 s 1. p

 q.r 
2. t’

 j’ 2. p 
3. c.j 3. t

q’ 
 4. t+s 
 
 
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CAPITULO 8 
 
Fundamentos Matemáticos de Confiabilidade 
 
8.1) ÁLGEBRA BOOLEANA 
 
A álgebra Booleana foi desenvolvida pelo matemático George Boole para o 
estudo da lógica. Suas regras e expressões em símbolos matemáticos permitem aclarar e 
simplificar problemas complexos. Ela é especialmente útil onde condições podem ser 
expressas em não mais do que dois valores, tais como “”sim” ou “não”, “falso” ou 
“verdadeiro”, “alto” ou “baixo”, “0 (zero)” ou “1 (um)”, etc. 
A lógica Booleana é largamente aplicada em diversas áreas como, por exemplo, a 
de computadores e outras montagens eletromecânicas, que incorporam um grande número de 
circuitos “liga-desliga”. É também utilizada em análises de probabilidade, em estudos que 
envolvem decisões, e mais recentemente, em Segurança de Sistemas. 
A principal diferença entre as várias disciplinas que se utilizam à Álgebra 
Booleana está na notação e na simbologia. Neste capítulo, apresentaremos somente os 
elementos básicos e as expressões comumente encontradas nas análises de segurança. 
Da chamada “Matemática Moderna” temosque um conjunto pode ser uma 
coleção de elementos, condições, eventos, símbolos, idéias ou identidades matemáticas. A 
totalidade de um conjunto será aqui expressa pelo número 1 (um), e um conjunto vazio pelo 
número 0 (zero). 
Os números 1 e 0 não são valores quantitativos: 1 + 1 não é igual a 2. Eles são 
meramente símbolos. Não há valores intermediários entre os dois como nos cálculos de 
probabilidade. 
Com o desenvolvimento da lógica Booleana para sistemas eletrônicos, foi 
introduzido o conceito de módulos ou comportas. Seus símbolos são usados em diagramas 
lógicos para indicar os inter-relacionamentos em circuitos. Estes circuitos empregam 
numerosos dispositivos bi-estáveis ou de dois estados, que podem ser considerados abertos 
ou fechados, ligados ou desligados. 
As tabelas de verdades são recursos para indicar quando uma condição 
específica resultará uma saída, quando qualquer combinação de entradas estará presente. 
Como vimos até aqui, o símbolo 1 indica que uma entrada ou saída está ou estará presente, e 
o 0 indica que não está ou não estará presente. As tabelas de verdades, mostradas a seguir, 
são para um módulo de duas entradas. Módulos com mais entradas são mais freqüentes, 
diferindo apenas em complexidade.