Apostila: Estatística Descritiva

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Parte I
Introduc¸a˜o a` Teoria dos
Erros
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O Que Sa˜o Erros ?
A teoria dos erros e´ a a´rea da estat´ıstica que trata a imprecisa˜o da medida
efetuada e dos erros sucessivos na inserc¸a˜o de dados nume´ricos nos modelos
matema´ticos. Isto se deve a` imprecisa˜o dos dados.
Figura 1: Precisao
Origem dos Erros
Ao mensurarmos qualquer varia´vel, grac¸as a suas fluturac¸o˜es naturais, nunca
saberemos qual e´ o verdadeiro valor da medida. Dizemos verdadeiro aquele
valor puro e real, somente definido pela natureza do fenoˆmeno.
Observe este exemplo: suponha que queiramos mensurar o comprimento de
qualquer objeto com uma re´gua simples. Digamos, o tamanho do la´pis, depen-
dendo da constituic¸a˜o do material em que a re´gua e´ composta, o seu tamnaho
e expessura variara´ grac¸as ao seu coeficiente de dilatac¸a˜o te´rmico - problema
termodinaˆmico. Sob dias de sol havera´ aumento da temperatura e por sequinte
a dilatac¸a˜o da mesma supervalorizando a medida do tamanho do la´pis, ocasio-
nando assim um erro para cima. Por outro lado, em dias frios, a re´gua tende a
compactar-se aproximando as marcas milimetradas subvalorizando o valor me-
dido do comprimento do la´pis, agora o erro e´ para baixo.
Vamos para o exemplo matema´tico: sabemos que existem nu´meros irra-
cionais (I), aqueles que na˜o podem ser descritos sob forma de raza˜o. Suponha
um modelo matema´tico polinomial, qualquer fog para o polinomio afetara´ a
3
4
precisa˜o do valor amplificando a variac¸a˜o causada pelo erro - propagac¸a˜o dos
erros. Agora respoda esta pergunta: como um c´ırculo de raio r = 1 pode ser
fechado se o valor de pi = 3, 141592654... e´ um nu´mero irracional e portanto
infinito? Matematicamente nunca. Outros exemplos sa˜o:
• Natural: Sa˜o os erros oriundos do meio em que vivemos e por isso na˜o
podemos isola´-los completamente. Podemos sim diminuir seus efeitos sob
condic¸a˜o de controle experimental. Sa˜o exemplos de erros naturais a di-
latac¸a˜o te´rmica, as condic¸o˜es clima´ticas, as oscilac¸o˜es sonoras (ru´ıdos),
efeitos ele´tricos (descargas), etc...
Figura 2: A dilatac¸a˜o te´rmica de uma re´gua afeta a precisa˜o da mensurac¸a˜o.
• Humano: Sa˜o aqueles erros inerentes ao indiv´ıduo humano. Podem ser
considerados os efeitos de cansac¸o, falta de atenc¸a˜o, limitac¸o˜es pessoais
entre outros motivos.
Figura 3: Falta de atenc¸a˜o humana.
• Te´cnico: Sa˜o os erros devidos aos procedimentos cient´ıficos ou te´cnicos
atualmente aceitos. Uma vez que achamos que chegamos no melhor e
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mais avanc¸ado do conhecimento te´cnico-cient´ıfico, pelo menos em nossa
e´poca histo´rica, esperamos que na˜o haja mais descobertas. Breve engano!
Pois como sabemos, quanto mais estudamos muito mais informac¸o˜es novas
aparecem a cada segundo. Talvez, a falta do conhcecimento cient´ıfico mais
apurado em determinado assunto (exemplo da relac¸a˜o de nanotransmis-
sores cerebrais e os efeitos da distorc¸a˜o de memo´ria) ou pela incapacidade
tecnolo´gica atual (contagem a tempo real da populac¸a˜o brasileira) podem
interferir na boa conduc¸a˜o das medidas. Exemplo C = 2 ∗Π ∗R.
Definic¸a˜o
O erro tambe´m e´ uma medida. E´ definido como o valor nume´rico da
diferenc¸a entre a medic¸a˜o efetuada e o valor verdadeiro (real ou natural). Alguns
teo´ricos consideram o valor verdadeiro como a medida ”de fato desconhecida µ”,
enquanto outros consideram-a como a convergeˆncia da me´dia. Apresentaremos
aqui as duas formas de interpretac¸a˜o sobre o tratamento destes erros.
A definic¸a˜o de erro puro e´
� = valor medido − valor verdadeiro (1)
Considera-se o erro puro como sendo a diferenc¸a entre o valor medido
e o real sem levar em considerac¸a˜o o mo´dulo. Portanto, na˜o se trata de uma
distaˆncia mas sim do deslocamento para mais (+) ou para menos (-) do valor real
e verdadeiro. Aqui o valor do sinal torna o ca´lculo importante para a distinc¸a˜o
do sentido do erro.
Figura 4: Valor verdadeiro e valor medido
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Erro absoluto de x |�x|
O erro absoluto de x e´ a distaˆncia do valo verdadeiro (real) ao valor medido. Na˜o
faz sentido o sinal no qual o erro esta´ atribu´ıdo (se para mais ou para menos),
mas sim a amplitude do erro, ou melhor, o qua˜o distante esta´ o valor medido do
verdadeiro valor. Devido a esta interpretac¸a˜o, devemos levar em considerac¸a˜o
o mo´dulo para caraterizar distaˆncia.
�x = |valor medido− valor verdadeiro| (2)
e´ o erro absoluto.
O erro na˜o se mede, o erro se estima pelo simples motivo de na˜o conhe-
cemos o valor verdadeiro da medida. Da´ı a necessidade da interpretac¸a˜o do
desvio onde trocamos o valor verdadeiro por uma medida de tendenciosidade
central como substituto (considerado va´lido). Veremos isso em outro cap´ıtulo:
Medida de Dispersa˜o ou Variabilidade.
Erro relativo de x |δx|
E´ o quanto que a diferenc¸a esta´ longe do valor verdadeiro. Mede a precisa˜o da
medida. Se ocorrer que: valor verdadeiro = valor medido, o erro relativo e´
nulo e dificilmente isto ocorrera´.
δ� =
�x
valor verdadeiro
=
|valor medido− valor verdadeiro|
valor verdadeiro
(3)
Experimentac¸a˜o
E´ o estudo dos fenoˆmenos em condic¸o˜es determinadas pelo pesquisador - con-
toladas.
Enquanto a observac¸a˜o esta´ sujeita ao erro sistema´tico, devido a variac¸a˜o
na˜o controlada do fenoˆmeno (ou do fato), a experimentac¸a˜o, ao contra´rio, exige
que toda a ana´lise obtida tenha a precisa˜o mı´nima requerida (rigor). Isto na˜o
ocorre na observac¸a˜o que esta´ sujeita a` gerac¸a˜o do erro sistema´tico (por exem-
plo na coleta). O na˜o controle experimental pode induzir a uma interpretac¸a˜o
equivocada dos dados. A ana´lise torna-se uto´pica, a interpretac¸a˜o na˜o esta´
sendo assistida por nenhuma teoria de controle, pois a sua base observacional
esta´ sob as condic¸o˜es dos nossos sentidos. Segue, portanto, um cara´ter pessoal,
viesado e sem relac¸a˜o alguma com o experimento em si. A experimentac¸a˜o deve
ser planejada por te´cnicas de controle, de custo, na˜o condicionada e com um
bom desempenho de seguranc¸a.
A parte da estat´ıstica que trata da formatac¸a˜o da experimentac¸a˜o chama-se
Planejamento de Experimentos (Design of Experiments DOE), constitui-se de
variadas te´cnicas de ajustes e modelagens experimentais que formulam croquis
espec´ıficos para o bom levantamento/isolamento das causas de variac¸a˜o.
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Tipos de Erros
Toda medida realizada sera´ afetada por fontes de erros. Por maior que a pre-
cisa˜o possa ser alcanc¸ada nunca e´ suficiente sendo poss´ıvel a sua melhora. O
problema e´ saber ate´ quando/quanto a precisa˜o pode ser mantida. Na˜o levando
em considerac¸a˜o o tamanho da precisa˜o veremos quais podem ser as suas causas.
• Sistema´ticos: E´ o erro devido a desvios da conduc¸a˜o experimental. Toda
falta de planejamento gera erros sistema´ticos de controle podendo acar-
retar uma simples ma´ calibrac¸a˜o dos equipamentos ate´ a erroˆnea for-
matac¸a˜o do preparo experimental (croqui). Este erro e´ responsa´vel pelas
flutuac¸o˜es origina´rias. Sa˜o falhas normalmente ocasionadas pelo me´todo
empregado na experimentac¸a˜o.
Figura 5: Erro Sistema´tico: Paralaxe
1. instrumental: Erros de ajuste da calibrac¸a˜o dos equipamentos/escala.
Ex. Ajuste da cronometragem zerada do relo´gio.
2. observacional: Erro devido ao tempo da leitura (adiantada/atrazada).
Ex. paralaxe na leitura de escalas de instrumentos.
3. ambiental: Erro devido a subestimar ou superestimar os valores a
serem medidos. Ex. Num experimento qu´ımico na˜o limpar o recipi-
ente apo´s uma reac¸a˜o qu´ımica.
Devido a sua natureza, este erro afeta igualmente todas as medic¸o˜es,
desloca a informac¸a˜o para mais ou para menos. Os erros sistema´ticos
produzem distorc¸o˜es que alteram a acuracidade.
As te´cnicas para diminuir estes efeitos sa˜o: a amostragem, o planejamento
experimental, uso de equipamentos de qualidade, procedimentos dos bonsha´bitos na pesquisa - lavar as ma˜os, zerar os medidores, uso de taras, entre
outras formas.
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• Aleato´rios ou Acidentais: Sa˜o erros inesperados de origem normal-
mente desconhecidas e incertas, oriundas das causas acidentais e fortuitas.
Decorrem da pro´pria experieˆncia, afetam a precisa˜o e a reprodutibilidade
dos dados.
Figura 6: Erro Acidental
1. Paralaxe1: capacidade de observac¸a˜o. Ex. Posicionamento para efe-
tuar a leitura.
2. Reflexivo: Erro devido ao operador. Ex. Ao apertar o cronoˆmetro.
3. Natural: Erros devidos aos eventos naturiais. Ex. Oxidac¸a˜o devido
a umidade.
As te´cnicas para diminuir estes efeitos sa˜o: maior cuidado e atenc¸a˜o para
evitar alguns efeitos inesperados. Boas pra´ticas de manutenc¸a˜o preventiva
ajudam a diminuir os efeitos acidentais como a troca perio´dica dos extin-
tores, cuidados ao formatar ma´quinas e equipamentos, atenc¸a˜o no uso e
instalac¸a˜o do sistemas hidra´ulico e ele´trico.
• Grosseiros: Sa˜o erros devidos a` imper´ıcia e negligeˆncia do operador.
Normalmente ccaracterizam-se pela falta de atenc¸a˜o. Os erros grosseiros
podem ser provocados por falhas ocasionais e/ou anormlias dos instru-
mentos causados por quedas. Produzem leituras/medic¸o˜es distorcidas do
restante da amostra afetando uma ou todas a coletas.
1. : Imper´ıcia: Incapacidade da habilidade. O que e´ imperfeito naquilo
que se faz. Na˜o ha´ destreza ou experieˆncia adequada para a te´cnica
ou func¸a˜o - dizemos: ”algo mal feito.”
2. Negligeˆncia: Incapacidade de cuidado. Indoleˆncia, isto e´, desleixo em
proceder algo.
1Muitos autores consideram apenas como observacional sistema´tico e na˜o como aleato´rio
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Figura 7: Erro Grosseiro
3. Necessidades Ba´sicas: O sono e´ um dos maiores resposa´veis por danos
em ma´quinas e equipamentos. O dormir bem na˜o e´ um luxo, mas
uma necessidade orgaˆnica como qualquer outra. A organizac¸a˜o efi-
caz das informac¸o˜es processadas pelo ce´rebro ajuda na eficieˆncia da
memo´ria e do racic´ınio.
As te´cnicas para diminuir estes efeitos sa˜o: nos casos em que de-
sconhec¸as alguma a´rea ou te´cnica, por exemplo a da eletricidade,
passe adiante a`quele que e´ detentor da pra´tica, evite que a sua in-
abilidade se tranforme em imper´ıcia. No caso da negligeˆncia foque
o trabalho naquilo que se faz, exclusivamente sob aquele momento.
Na˜o pratique outra decisa˜o com base em distrac¸a˜o. Erros deste tipo
podem causar perda de vidas. Na˜o existe controle estat´ıstico para
isso, apenas procedimentos e´ticos e atenciosos.
Vemos que a origem dos erros sa˜o as mais variadas poss´ıveis, devido a pre-
senc¸a da incerteza na precisa˜o das medidas. O erro na˜o pode ser exclu´ıdo, mas
pelo contra´rio, deve ser tratado. Veremos na parte II deste assunto algumas
te´cnicas de tratamento dos erros.
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Parte II
Revisa˜o em Ana´lise
Combinato´ria
1
ANA´LISE
COMBINATO´RIA
Se existe algo dif´ıcil de executar e´ contar. A parte da matema´tica responsa´vel
pela contagem e´ conhecida por Ana´lise Combinato´ria. Muitas sa˜o as neces-
sidades da contagem: uma simples disposic¸a˜o de um conjunto de letras (ANA-
GRAMA) ou a mais complexa ligac¸a˜o de/entre redes neurais sa˜o extremos de
exemplos de contagem. Muitos cientistas se debruc¸aram horas a fio para enten-
der o fenoˆmeno da contagem, foram eles: Pascal, Newton, Leibniz, Bernoulli,
entre outros ta˜o importantes quanto os citados aqui. A contagem carrega
as cla´ssicas propriedades matema´ticas para auxiliar no desenvolvimento, tal
como os polinoˆmios, progresso˜es geome´tricas, aritime´ticas, matrizes, geome-
tria anal´ıtica entre outras. Portanto, caso tenha du´vias em algum ponto da
matema´tica ba´sica, aconselhamos o reforc¸o.
Contar
Alguns exemplos de contagem:
1. A palavra AMOR, sem repetic¸a˜o das letras, pode ser reformulada de quan-
tas formas poss´ıveis? (ANAGRAMA)
2. Das palavras formadas no ı´tem anterior quais sa˜o encontradas na l´ıngua
portuguesa?
3. Em uma corrida com 8 participantes treˆs lugares no po´dium esperam para
serem ocupados, quantas opc¸o˜es existem?
4. Seis candidatos a` duas vagas na CIPA devem ser preenchidas. Quantos
grupos de pessoas podem ser formados?
5. Em um jogo de azar seis casas podem ser ocupadas por seis coelhos di-
ferentes e numerados de 0 a 5. Quais as opc¸o˜es de alocac¸a˜o dos coelhos
sa˜o poss´ıveis?
O maior problema de toda a contagem e´ a quantidade e a ordem na dis-
posic¸a˜o dos elementos dentro de um conjunto.
3
4
O PRINCI´PIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Boa parte da matema´tica necessita de um princ´ıpio lo´gico. Este princ´ıpio deve
ser ou pode carregar alguma propriedade de padra˜o. O padra˜o e´ o responsa´vel
pelas mais diversas leis do universo. Grac¸as a ela, todas as leis sa˜o formuladas
gerando-se um teorema e por fim o seu colora´rio (consequeˆncias). Garante-se
aqui um regra do funcionamento dos sistemas naturais: o padra˜o. Por exemplo,
o crescimento de uma a´rvore, embora tortuosa, exibe um padra˜o no crescimento
de seus galhos. Ou as leis regentes do movimento planeta´rio tambe´m seguem
alguns padro˜es de reconhecimento orbital. A pro´pria matema´tica apresenta seus
padro˜es, intr´ıscico, e´ verdade, entre elas o Princ´ıpio Fundamental da Con-
tagem.
Observe a figura abaixo:
Suponha que um elemento reproduz outros dois elementos. Se esta sequeˆncia
for evolutiva, a n-e´sima etapa sera´ dada por 2n, ou a evoluc¸a˜o=1,2,4,8,16,....
Portanto a contagem e´ efetuada no n´ıvel n. Existe algum modelo matema´tico
que possa descrever a evoluc¸a˜o deste seistema sem que tenhamos que contar
toda a vez que necessitamos?
Sim, existe e sa˜o dois modelos. O primeiro modelo e´ a func¸a˜o exponencial
f(x) = ax, com base a = 2, portanto: f(n) = 2n. A sequeˆncia tambe´m pode ser
definida por uma progressa˜o geome´trica, ou P.G. an = an−1qn, com q = 2
e a1 = a0 = 1, tal que an = 2
n. Isto mostra o quanto uma contagem pode
ser complexa em termos evolutivos. Mesmo assim e´ poss´ıvel encontrar algum
padra˜o - reprodutibilidade em 2 co´pias, u´til em dois modelos matema´ticos dis-
tintos. Observamos que tanto a P.G quanto a func¸a˜o exponencial f(x) = ax o
valor 2 determina a quantidade de elementos n´ıvel a n´ıvel na evoluc¸a˜o do sistema.
Figura 8: A´rvore 2n
5
Evoluc¸a˜o em um u´nico sub-sistema recorre tanto a func¸a˜o exponencial como
a progressa˜o geome´trica. No caso demais de um sub-sistema interagindo en-
tre si a fenomenologia torna-se mais complexa. Gera-se portanto uma interac¸a˜o
entre va´rias func¸o˜es exponenciais ou entre va´rias P.G.’s de cada conjunto evo-
lutivo.
Devido a este problema os matema´ticos tentaram encontrar algum outro
padra˜o evolutivo. Desta vez a observac¸a˜o levou a dois padro˜es evolutivos:
a) ordem b) natureza. A primeira refere-se a alocac¸a˜o ou a posic¸a˜o dentro
de algum conjunto, portanto a ordem faz diferenc¸a: AMOR e ROMA. A se-
gunda refere-se a` formac¸a˜o dos elementos componentes (conjuntos): {A}, {R},
{M}, {O}, {AR}, {MO}, {MA}...{ROMA} Para melhor exemplificar o pada˜o,
suponha 4 sub-sistemas: verde (c1), vermelho (c2), amarelo (c3)e azul (c4); tal
que procuramos todas as opc¸o˜es de natureza e ordem.
• Inicialmente temos 4 opc¸o˜es originais
• Na primeira evoluc¸a˜o 3 formas de ordem distintas sa˜o poss´ıveis
• Na segunda evoluc¸a˜o 2 formas de ordem podemos gerar
As opc¸o˜es de natureza foram 1 conjunto com 4 possibilidades (1 • 4 = 4),
4 conjuntos com 3 possibilidades (4•3 = 12) e 12 conjuntos com 2 sossibilidades
(12 • 2 = 24).
==> 1 • 4 = 4→ 4 • 3 = 12→ 12 • 2 = 24
As opo˜es de ordem foram 24 ou 4 • 3 • 2 = 24. Tomamos como princ´ıpio
fundamental da contagem a seguinte regra:
Figura 9: Princ´ıpio Fundamental da Contagem
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A caracter´ıstica observada e´ n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n− 4)...3.2.1. Define-se
por esta caracter´ıstica o fatorial de n.
n! = n(n− 1)(n− 2)(n− 3)(n−4)...3.2.1
sendo
• n e´ um valor conta´bil e discreto pertencente aos nu´meros naturais.
n ∈ N ;n > 1
• Define-se a identidade por
0! = 1
1
0!
= 1
Resumo: O Princ´ıpio Fundamental da Contagem e´ o princ´ıpio mul-
tiplicativo das possibilidades das ocorreˆncias de eventos distintos.
ARRANJO PERMUTAC¸A˜O E COMBINAC¸A˜O
Observe a figura abaixo. Arranjo e´ a forma de alocac¸a˜o de elementos em difer-
entes ordens e em diferentes formas de natureza (conjuntos). Mais simplesmente
e´ uma organizac¸a˜o ine´dita e sem repetic¸a˜o. A permutac¸a˜o e´ tambe´m um arranjo,
mas com todos os elementos participantes - u´ltima escala do arranjo. A com-
binac¸a˜o e´ um arranjo onde a ordem na˜o importa, apenas a natureza (conjuntos).
ARRANJO
O Arranjo e´ a ordenac¸a˜o de elementos em diferentes agrupamentos.
Ao organizar suas canetas, la´pis e borracha em um u´nico penal voceˆ esta´
arranjando. Mesmo quando sepa´ra-los em penais diferentes voceˆ tambe´m esta´
os arranjando em grupos separados (conjuntos). Ao arrumar uma mesa de sala
ou de jantar voceˆ esta´ arranjando. Pornanto arranjar e´ organizar em ordenac¸a˜o
independente da quantidade de elementos sendo organizados.
Encontramos os fenoˆmenos de arranjos em va´rias a´reas do conhecimento:
nas aplicac¸o˜es financeiras, na gene´tica, na ecologia de agrupamentos de seres
vivos, na gerac¸a˜o de cores, nas composic¸o˜es musicais, na ordenac¸a˜o de filas em
bancos, supermercados... Quando arrumamos objetos em nossa casa estamos
institivamente gerando arranjos. Todas os eventos poss´ıveis sa˜o dados pelo
arranjo.
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Figura 10: Arranjo - Permutac¸a˜o - Combinac¸a˜o
8
A equac¸a˜o do arranjo
Como o arranjo depende de quantos conjuntos ”r”sera˜o formados, o arranjo
ordena em func¸a˜o da quantidade de elementos que queira ordenar, isto e´, An,r
e´ o nu´mero de arranjo simples tomados r em r.
PrincipioFundamentalContagem = n(n− 1)(n− 2)(n− 3)...[n− (r − 1)]
PrincipioFundamentalContagem = [n− (r − 1)]! = (n− r + 1)!
ou seja,
An,r =
{PrincipioFundamentalContagem} · {[n− r + 1 + (−1)]!}
[n− r + 1 + (−1)]!
An,r =
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1) · [(n− r)!]
(n− r)!
pore´m n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)(n− r)! = n!
An,r =
n!
(n− r)!
Portanto, o aranjo nada mais e´ do que o nu´mero de alocac¸o˜es poss´ıveis dos n
elementos cohecidos em grupos de r elementos agrupados, ou conjuntos de r
elementos.
9
Exercise 1
a Suponha ordenar cinco funciona´rios de uma rede se supermercado em grupos
de um caixa e um empacotador.
n = 5
p = 2
An,p =
n!
(n− p)!
A5,2 =
5!
(5− 2)! =
5!
3!
=
1 · 2 · 3 · 4 · 5
1 · 2 · 3 = 20
Sa˜o 20 opc¸o˜es de grupos
Figura 11: Opc¸o˜es caixa empacotador
b E se fossem:
• 1 caixa: An,p = A5,1 = 24
• 1 caixa e 1 empacotador: An,p = A5,2 = 20 (desenvolvido acima)
• 1 caixa, 1 empacotador e 1 fiscal:An,p = A5,3 = 60
• 1 caixa, 1 empacotador, 1 fiscal e 1 gerente:An,p = A5,4 = 120
• 1 caixa, 1 empacotador, 1 fiscal, 1 gerente e 1 auxiliar:An,p = A5,5 = 120
c Quantas senhas de treˆs algarismos sem repetic¸a˜o de 0 a 9 existem?
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 10 elementos
10
p = 3
An,p =
n!
(n− p)!
A10,3 =
10!
(10− 3)! =
10!
7!
=
7!8 · 9 · 10
7!
= 8 · 9 · 10 = 720
Sa˜o 720 opc¸o˜es de senhas.
PERMUTAC¸A˜O
E´ simplesmente o limite ma´ximo poss´ıvel do arranjo.
Permutamos quando trocamos todas as posic¸o˜es de todos os elementos. Por
exemplo, no jogo de futebol temos 11 jogadores, ao pemuta´-los em posic¸o˜es
difeentes obteremos 39.916.800 formas de arranja´-los. Este e´ o limite ma´ximo
de trocas que o te´cnico consiguira´ fazer sem repitir alguma forma anterior.
Onde permutamos? Permutamos quando trocamos o pneu do carro, quando
procuramos a chave certa para abria a porta em um molho de chaves, quando
retiramos todos os la´pis, canetas e borrachas dentro de um penal e os reton-
amos de volta ao mesmo penal, simplesmente estamos permutando o dia todo.
A permutac¸a˜o e´ uma ferramenta muito u´til na formac¸a˜o de anagramas. Um
anagrama e´ a ordenac¸a˜o de todas as letras de uma palavra ou um conjunto de
letras que geram outras formas de escrita, por exemplo: a palavra TIO tem seis
anagramas que sa˜o eles: TIO, IOT, OIT, ITO, TOI e OTI. Para que serve isso?
Senhas.
Def. Permutac¸a˜o e´ o tipo de agrupamento ordenado, sem repetic¸a˜o, em que
todos os elementos participam.
A equac¸a˜o da permutac¸a˜o
Na˜o e´ nada mais do que o caso especial do arranjo: p=n.
An,p =
n!
(n− p)!
An=p,p =
n!
(p− p)!
Ap,p =
n!
(0)!
Ap,p =
n!
1
Ap,p =
n!
1
11
Pn = Ap,p = n!
Pn = n!
O pro´prio fatorial simples e´ uma permutac¸a˜o.
Exercise 2
a De quantas formas posso colocar 5 camisas no guarda roupa?
Pn = n! = P5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
sa˜o 120 formas de organizac¸a˜o.
b Um artista pode pintar uma tela usando 3 cores (verde-azul-vermelho). Quais
opc¸o˜es de arte no ma´ximo ele consequira´ executar?
P3 = 3! = 6
c A pol´ıcia sabe que quatro informantes indicaram outros 3 envolvidos no caso
criminal. O problema e´ que a rede e´ composta por todos eles e, tendo ela que
encontrar a forma de organizac¸a˜o do grupo, do chefe ao executador, a pol´ıcia
precisa montar a hierarquia do bando. Quantas sa˜o as opc¸o˜es de chefia da rede
criminosa?
Pn = n!
P(n+m) = (n+m)!
P(3 + 4) = (3 + 4)! = 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 40.320
Formam-se 40.320 formas de hierarquia criminosa
COMBINAC¸A˜O
A combinac¸a˜o e´ outro caso especial do arranjo. Desta vez e´ simplesmente a
exclusa˜o da ordenac¸a˜o.
Em outras palavras a combinac¸a˜o e´ a organizac¸a˜o de elementos diferentes
em va´rias formas de agrupamentos, desde que na˜o leve em conta a troca da
posic¸a˜o dos elementos. Por exemplo: ”na casa moram treˆs pessoas”. Na˜o ha´
a necessidade de dizer quem sa˜o estas pessoas, pois ja´ se sabe a quantidade de
moradores e pronto! Na˜o interessa se mora ”Joa˜o, Maria e Carla”ou ”Carla,
Maria e Joa˜o”ou qualquer outra forma de permutac¸a˜o. Basta saber que moram
treˆs indiv´ıduos e basta.
Vamos a um exemplo pra´tico. Suponha um partido pol´ıtico participara´ da
eleic¸a˜o, podera´ eleger 5 cargos para vereador, 1 para prefeito e 2 para deputado
estadual em um total de 30 candidatos para vereador, 1 para prefeito e 8 para
deputado. Quantas combinac¸o˜es sa˜o poss´ıveis para a eleic¸a˜o? 142.506 opc¸o˜es
para vereador com 5 candidatos, 1 opc¸a˜o para prefeito e 56 opc¸o˜es de 2 can-
didatos para deputado estadual. Como fizemos isso?
12
Por isso que para um partido pol´ıtico a representac¸a˜o por vereadores e´ mais
fa´cil do que consequir um representante para deputado ou para prefeito, devido
a` quantidade de opc¸o˜es, que e´ maior.
Def. A combinac¸a˜o simples e´ o tipo de agrupamento sem repetic¸a˜o em que
um grupo e´ diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Desta forma combinac¸o˜es simples de ne elementos distintos tomados p a p, sa˜o
todos os subconjuntos de p elementos que e´ poss´ıvel formar a partir de um
conjunto com n elementos.
A equac¸a˜o da combinac¸a˜o
Considere um conjunto p de treˆs lugares p1, p2 e p3 sendo p = {[p1], [p2], [p3]}.
Quantas sa˜o as permutac¸o˜es existentes para alocar estes elementos? Existem
p! - Isso no´s ja´ vimos em permutac¸a˜o e neste caso 3! = 6. E´ o equivalemte
anagrama.
Como a combinac¸a˜o e´ o arranjo sem levar em conta a ordem dos elemen-
tos dentro do conjunto, enta˜o:
Cn,p =
An,p
p!
por isso da divisa˜o. Queremos apenas um conjunto representativo. De novo, a
combinac¸a˜o e´ um caso especial do arranjo:
Cn,p =
n!
p!(n− p)!
Exercise 3
a) Com 30 candidatos para ocupar 5 vagas para vereador, quantas opc¸o˜es tere-
mos?
Cn,p =
n!
p!(n− p)! =
30!
5!(30− 5)! =
30!
25!
=
25!26 · 27 · 28 · 29 · 30
25!
= 26·27·28·29·30 = 142.506
teremos 142.506combinac¸o˜es de grupos com 5 candidatos. Observe que na˜o
interessa que foi eleito por primeiro ou por u´ltimo, o que interessa e´ que foi
eleito e pronto! Isso e´ combinac¸a˜o - aordem na˜o faz sentido.
a) Com 1 candidatos para ocupar 1 vagas para prefeito, quantas opc¸o˜es teremos?
Cn,p =
n!
p!(n− p)! =
1!
1!(1− 1)! =
1!
0!
=
1
1
= 1
apenas um conjunto unita´rio com um candidato apenas.
c) Com 8 candidatos para ocupar 2 vagas para deputado estadual, quantas opc¸o˜es
teremos?
Cn,p =
n!
p!(n− p)! =
8!
2!(8− 2)! =
8!
6!
=
6!7 · 8
6!
= 7 · 8 = 56
13
existem portanto 56 conjuntos distintos formados com 2 elementos representa-
tivos para deputado estadual.
Exercise 4
a) Qual a distribuic¸a˜o da combinac¸a˜o de um concurso pu´blico com 20 can-
didatos? Observe que a maior combinac¸a˜o e´ quando houver a metade de vagas
sendo a metade de candidatos.
14
BINOˆMIO DE NEWTON
Isaac Newton foi o f´ısico ingleˆs que ficou mundialmente conhecido por inter-
pretar a gravitac¸a˜o com a queda de uma mac¸a˜ em sua cabec¸a. Histo´rias a
parte, Newton tambe´m foi responsa´vel por deduzir de forma clara os chamados
nu´meros binomiais.
O que e´ um binoˆmio?
Binoˆmio e´ aquilo que tem dois nomes. De fato, mas neste caso seriam dois
numeros n e p. Como estamos tratando de contagem, estes dois nu´meros n e
p, que definem a contagem binomial, sa˜o nada mais e nada menos do que a
quantidade n de elementos e o tamanho do conjunto p formado (natureza).
A fo´rmula do binoˆmio de Newton
E´ a pro´pria fo´rmula da combinato´ria, mas com uma ressalva: como todo
nu´mero os binomiais tambe´m podem somar, subtrair, dividir e multi-
plicar. Numero binomiais sa˜o chamados assim por apresentarem em sua com-
posic¸a˜o dois nu´meros naturais N ou contadores.
Cn,p =
An,p
p!(
n
p
)
= Cn,p =
n!
p!(n− p)!
Esta escrita
(
n
p
)
na˜o e´ uma divisa˜o, mas um duplo nu´mero ou um binoˆmio.
Este nu´mero apresenta treˆs propriedades importantes:
Propriedades do binoˆmio de Newton
As treˆs principais propriedades do binoˆmio de newton sa˜o:
• Identidade na extremidade 0!:(
n
0
)
= 1 ∀n ∈ ℵ
15
16
• Identidade na extremidade n:(
n
n
)
= 1 ∀n ∈ ℵ
• Quantidade: (
n
1
)
= n ∀n > 1 e n ∈ ℵ
Outras propriedades do binoˆmio de Newton
• Propriedade Complementar: A utilizac¸a˜o das propriedades acima com
a equac¸a˜o binomial
Cn,p =
n!
p!(n− p)!
gera outras propriedades u´teis da binomial, observe:
Cn,n−p =
n!
(n− p)!(n− (n− p))! =
n!
(n− p)!(n− n+ p))! =
n!
(n− p)!p!
Cn,p = Cn,n−p =
n!
p!(n− p)! =
n!
(n− p)!p!
Portanto: (
n
p
)
=
(
n
n− p
)
sa˜o chamados complementares pois p+ (n− p) = n.
• A relac¸a˜o de STIFFEL: E´ o resultado das propriedades do Triaˆnculo
de Pascal. Cada binomial e´ a soma sequenciada de dois binomiais da linha
anterior. Veremos esta propriedade mais adiante.(
n− 1
p− 1
)
+
(
n− 1
p
)
=
(
n
p
)
• A fo´rmula do Termo Geral Qualquer polinoˆmio gerado por (x + a)n,
com n ∈ ℵ pode ser descrito por
(x+ a)n =
(
n
0
)
a0 · xn +
(
n
1
)
a1 · xn−1 +
(
n
2
)
a2 · xn−2 + ...+
(
n
n
)
an · x0
geramos assim uma equac¸a˜o a` diferenc¸a;
Tp+1 =
(
n
p
)
ap · xn−p
17
TRIAˆNGULO DE PASCAL
O triaˆngulo de pascal e´ uma disposic¸a˜o nume´rica conta´bil formatada por nu´meros
binomiais, ou melhor, por dois coeficientes. A figura abaixo mostra o triangulo
de Pascal: uma figura triangular com padro˜es pro´prios expansivos dos pro-
dutos notaveis de ordem n. Por exemplo: (x + a)2 = x2 + 2 · x · a + a2 sa˜o
os coeficientes 1-2-1 na segunda linha do triaˆngulo, representativo do expoente
quadra´tico. O mesmo acontece para (x+ a)0, (x+ a)1, (x+ a)3 ... (x+ a)n.
Figura 12: Triaˆngulo de Pascal I: Padro˜es
Uma propriedade interessante do triaˆngulo de Pascal e´ que a soma da linha
do triaˆngulo e´ exatamente o pro´prio valor da func¸a˜o exponencial f(n) = 2n. Este
fenoˆmeno esta´ realacionado com a quantidade dos termos elevados ao expoente
n. O termo da expansa˜o e´ (x + a)n, sendo o par (x,a), possui 2 elementos.
Como ambos esta˜o elevados a` n-esima poteˆncia os produtos nota´veis gerara˜o
polinoˆmios de inu´meras ordens (x+ a)n → 2n
Observe o seguite:
• Expansa˜o de 0 ordem:
(x+ a)0 = 1 · x0 · a0
1. coeficientes: 1
2. Expoentes de x: x0
3. Expoentes de a: a0
18
• Expansa˜o de 1o ordem:
(x+ a)2 = x2 + 2 · x · a+ a2
1. coeficientes: 1-2-1
2. Expoentes decrescentes de x: x2 − x1 − x0
3. Expoentes crescentes de a: a0 − a1 − a2
• Expansa˜o de 2o ordem:
(x+ a)2 = x3 + 3 · x2 · a+ 3 · x · a2 + a3
1. coeficientes: 1-3-3-1
2. Expoentes decrescentes de x: x3 − x2 − x1 − x0
3. Expoentes crescentes de a: a0 − a1 − a2 − a3
• Expansa˜o de no ordem:
(x+ a)n = xn + [?] · xn−1 · a+ ...+ [?] · x · an−1 + an
1. coeficientes: 1-[?]-[?]-1 *problema !!!!!!*
2. Expoentes decrescentes de x: xn − xn−1 − xn−2...x0
3. Expoentes crescentes de a: a0 − a1 − a2 − a3...xn
Veja se consegue reconhecer a existeˆncia de algum padra˜o nas expanso˜es acima.
Observe a dificuldade quando obtemos a n-e´sima ordem, esta complicac¸a˜o dos
coeficientes so´ pode ser corrigida pela substituic¸a˜o dos nu´meros naturais dentro
do triaˆngulo de pascal pelos binoˆmios de Newton.
Uma outra caracter´ıstica do triaˆngulo de pascal e´ devido ao padra˜o interno.
Existem cinco principais padro˜es de reconhecimento que sa˜o:
1. O primeiro elemento da linha vale a unidade, ou identidade:
(
n
0
)
= 1
2. O u´ltimo elemento da linha vale a unidade, ou identidade:
(
n
n
)
= 1
3. Binomiais equidistantes sa˜o iguais:
- 1o linha: 1 (1)
- 2o linha: 1-2-1 (1)
- 3o linha: 1-3-3-1 (3,1)
- 4a linha: 1-4-6-4-1 (4,1)
- 5o linha: 1-5-10-10-5-1 (1,5,10)
4. A soma da linha fornece o valor da func¸a˜o exponencial f(n) = 2n. Exem-
plo:
19
- 1o linha 1→ 20
- 2o linha 1 + 1→ 21
- 3o linha 1 + 2 + 1→ 22
- 4o linha 1 + 3 + 3 + 1→ 23
- 5o linha 1 + 4 + 6 + 4 + 1→ 24
5. Em uma linha a soma de dois coeficientes consecutivos e´ igual ao valor do
coeficiente da linha inferior
- 2o linha 1+1→ 21. Observe que 1+1 = 2→ 2, o segundo coeficiente
da 3o linha.
- 3o linha 1 + 2+ 1→ 22. Observe que 1 + 2 = 3→ 3, e´ o segundo e o
terceiro coeficiente da 4o linha.
- 4o linha 1+ 3+ 3+ 1→ 23. Observe que 1+ 3 = 4→ 4, e´ o segundo
e o quarto coeficiente da 5o linha. Observe que 3 + 3 = 6 → 6, e´ o
terceiro coeficiente da 5o linha
- 5o linha 1 + 4 + 6 + 4 + 1→ 24 ....segue...
Figura 13: Triaˆngulo de Pascal II
20
A fo´rmula do binoˆmio de Newton
E´ poss´ıvel escrever os coeficientes do triaˆngulo de Pascal em substituic¸a˜o ao
nu´mero binomial de Newton? Sim e e´ isso que faremos agora:
1o linha
(
0
0
)
= 1
2o linha
(
1
0
)
= 1 e
(
1
1
)
= 1
3o linha
(
2
0
)
= 1 e
(
2
1
)
= 2 e
(
2
2
)
= 1
4o linha
(
3
0
)
= 1 e
(
3
1
)
= 3 e
(
3
2
)
= 3 e
(
3
3
)
= 1
5o linha
(
4
0
)
= 1 e
(
4
1
)
= 4 e
(
4
2
)
= 6 e
(
4
3
)
= 4 e
(
4
4
)
= 1
Devido a estes recursos podemos substituir os nu´meros naturais dentro do
triaˆngulo de Pascal pelos nu´meros binomiais de Newton e desta forma desen-
hamos um novo triaˆngulo, desta vez com duas informac¸ eos, ou melhor, dois
nu´meros: n e p.
Figura 14: Triaˆngulo de Pascal III
As propriedades do triaˆngulo de Pascal sa˜o:
• Substituic¸a˜o dos Coeficientes Nume´ricos por Binoˆmios nas Ex-
panso˜es
21
1. Expansa˜o de 2o linha:(x+ a)2 = 1 · x2 + 2 · x · a+ 1 · a2 para
2. Expansa˜o de 2o linha:(x+ a)2 =
(
2
0
) · x2 + (21) · x · a+ ( 212) · a2
3. Existeˆncia da relac¸a˜o de troca: 1→ (20); 2→ (21); 1→ (22);
• Relac¸a˜ode Stiffel
1. Observe que 4 + 6 = 10
2. Observe que
(
4
1
)
+
(
4
2
)
=
(
5
2
)
3. A relac¸a˜o torna-se, por induc¸a˜o matema´tica:
(
n−1
p−1
)
+
(
n−1
p
)
=
(
n
p
)
A fo´rmula do Termo Geral
Quando expandimos os termos em func¸a˜o do triaˆngulo de Pascal modificado por
nu´mero binomial envontramos as sequintes expanso˜es:
• (x+ a)0 = (00)x0 · a0
• (x+ a)1 = (10)x1 · a0 + (11)x0 · a1
• (x+ a)2 = (20)x2 · a0 + (21)x1 · a1 + (22)x0 · a2
• (x+ a)3 = (30)x3 · a0 + (31)x2 · a1 + (32)x1 · a2 + (33)x0 · a3
• ...”Adivinha”
Finalmente encontramos a fo´rmula do bino˜mio de Newton por induc¸a˜o:
(x+ a)n =
(
n
0
)
a0 · xn +
(
n
1
)
a1 · xn−1 +
(
n
2
)
a2 · xn−2 + ...+
(
n
n
)
an · x0d
Podemos reescrever termos da equac¸a˜o acima como:
Tp+1 =
(
n
p
)
ap · xn−p
Finalmente a expansa˜o binomial pode ser escrita como:
(x+ a)n =
n∑
p=1
(
n
p
)
ap · xn−p
ou
(x+ a)n =
n∑
p=1
Cn,pa
p · xn−p
22
Natureza dos Dados
Natureza dos dados significa classificar os dados de acordo com as suas pro-
priedades e caracter´ısticas.
Conjuntos Nume´ricos
A finalidade dos conjuntos nume´ricos e´ organizar os dados de acordo com a
sua utilidade, por exemplo, quando comec¸amos a contar iniciamos por um,
dois, treˆs, etc... e na˜o por ”um terc¸o”ou ”menos um”ou algo parecido. Existem
casos em que o interesse na˜o e´ uma simples contagem, mas sim uma gerac¸a˜o
de refereˆncias, isto e´, algo que nos proporcione a indicac¸a˜o de direc¸a˜o e sen-
tido, quando queremos saber se estamos distantes de algo suficientemente para
a ”esquerda”ou para a ”direita”. Vemos que o importante e´ identificar no qual
grupo-conjunto o valor nume´rico pertence conforme a sua utilizac¸a˜o. Equivale
em descobrir a qual famı´lia ou grupo de origem a varia´vel pode ser classi-
ficada. De acordo com a teoria dos conjuntos nume´ricos podemos classificar os
dados em:
• Naturais: Sa˜o aqueles nu´meros que naturalmente contamos objetos
ou eventos. Uma contagem de fato. A inclusa˜o do algarismo zero, sim-
bolizado por 0, e´ devido ao caso em que a inexisteˆncia do elemento em
cotagem pode ocorrer - auseˆncia. Por exemplo, conte quantas pessoas
vivem dentro de um vulca˜o: nenhuma. E´ aqui que a contagem dita e´ ”na˜o
existe”, ”na˜o tem”, ”na˜o ha´”ou ”na˜o pertence”. Os nu´meros naturais sa˜o
classificados como contagem natural.
ℵ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
• Inteiros: Sa˜o aqueles nu´meros em que classificamos como referenciais
ou, como muitos autores preferem dizer, base posicional. O zero de
novo! Atribu´ımos a este, o zero, o conceito de ”partida”ou ”origem”da
distaˆncia para mais ”+”ou para -”cuja interpretac¸a˜o deduz o conceito
de ”esquerda/direita”, ”para cima/ para baixo”, ”frente/tra´s”de modo a
compatibilizar a ordenac¸a˜o dos valores em sentido. Portanto, a simbolo-
gia dos sinais ”+”ou -”serve para gerar o conceito de equidistaˆncia entre
23
24
valores. Portanto os nu´meros inteiros representam refereˆncia de escala.
Z = {...− 7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} ou
Z = {...− 7,−6,−5,−4,−3,−2,−1, (ℵ)}
• Racionais: Devido a motivos histo´ricos os nu´meros inteiros na˜o apresen-
tam as propriedades de subdivisa˜o de escala. Na˜o e´ poss´ıvel com eles
dizer - Vou para a esquerda a 2 metros e meio”; mas somente - Vou para
a esquerda a 2 metros”. Esta falta de subdivisa˜o atrapalha a utilizac¸a˜o
de escalas. Imagine a dificuldade em medir uma sala, por exemplo, sem a
subdivisa˜o da medida de metro! Seria imposs´ıvel. Dessa forma necessita-
mos de particionar os inteiros, o que equivale a dizer em racionaliza´-los:
Q = ZZ ou
Q = {...−12 , 0, 12 ...} ou
Q = {−Z∗Z∗ , 0, Z
∗
Z∗ }
Obs: O s´ımbolo * significa a auseˆncia do zero. Por isso o zero dentro do
conjunto.
• Irracionais: simples. Todos os nu´meros que na˜o podem ser calssifi-
cados em nenhum dos casos acima dizemos ser irracionais. Por isso
este conjunto esta´ posicionado fora dos demais, nao˜ sendo nem um sub-
conjunto e ta˜o menos um conjunto maior.
A figura 15 demonstra, por diagrama de Venn, como as classes dos conjuntos
esta˜o organizadas (classificados).
Figura 15: Conjuntos Nume´ricos
25
Resumo:
1. ℵ → Contagem
2. Z → Refereˆncia
3. Q→ Subdivisa˜o (frac¸a˜o)
4. I → Outros na˜o classificados
Mas esta classificac¸a˜o somente e´ va´lida para os dados ditos quantitativos
ou nume´ricos. Os demais dados, como por exemplo a classificac¸a˜o de sexo
masculino e feminino, na˜o podem ser agrupados em nenhum dos conjuntos
referidos acima devido a sua propriedade de classe na˜o nume´rico, afinal que
nu´mero e´ ”masculino”? Que nu´mero e´ ”feminino”? Em outras palavras exis-
tem outros tipos de varia´veis que devemos nos atentar de sua existeˆncia. Na
estat´ıstica ha´ outras varia´veis de interesse ta˜o importantes quanto as nume´ricas:
o me´dico quer saber se o tratamento surtiu ou na˜o surtiu o efeito desejado no
paciente, o administrador quer saber se suas vendas foram classificadas como
o´timas, boas, regulares ou insuficientes, o psico´logo quer saber se um teste
psicote´cnico tem o poder de selecionar as pessoas como aptas ou na˜o aptas,
enfim existem inumerosas outras varia´veis que na˜o esta˜o dentro do conjunto
nume´rico dos reais <. Estas mensurac¸o˜es sa˜o poss´ıveis sob classes de dados
qualitativos: ”gosto (sim,na˜o)”,”alto/me´dio/baixo”, ”apto/na˜o apto”, ”classe
A,B,C,D,E...”entre outras varia´veis ditas na˜o nume´ricas. Portanto, na˜o basta
apenas classificar as varia´veis nume´ricas!
Dados quantitativos e qualitativos
• Quantitativos: Constituem nu´meros que representam contagens ou medi-
das, como as discutidas na sec¸a˜o anterior.
1. Discretos: Resultam num conjunto finito de valores poss´ıveis, ou
de um conjunto enumera´vel de valores poss´ıveis.
2. Cont´ınuos: Resultam em nu´mero infinito de valores poss´ıveis que
podem ser assiciados a pontos em uma escala cont´ınua de tal maneira
que na˜o haja lacunas ou interrupc¸o˜es.
• Qualitativos: Sa˜o atributos que podem ser separados em diferentes cate-
gorias que se destinguem por alguma caracter´ıstica na˜o-nume´rica. Esta
classificac¸a˜o deve ser cuidadosa, pois muitas das vezes no´s mesmos nos
confundimos se as espe´cies das varia´veis podem (ou na˜o) apresentar al-
guma ordenac¸a˜o, como o que ocorre com os conjuntos nume´ricos. Vide
a varia´vel ”stress”: em um sentido mais restrito esta varia´vel pode estar
presente ou ausente em uma determinada pessoa e, neste caso, classifi-
camos tal como ”sim”ou ”na˜o”. Neste formato a sua resposta n~ao pode
ser ordenada. Afinal, a sequ¨eˆncia correta e´ ”sim-na˜o”ou ”na˜o-sim”? Por
26
outro lado podemos propor ”graus de stress”referindo-nos aos estados de
n´ıveis estressantes ”maior, me´dio e menor”e, que desta forma, pode sim e
deve ser ordenado.
Nı´veis de Mensurac¸a˜o dos dados
Iniciaremos este estudo por uma pergunta: ”Como voceˆ classificaria estas varia´veis:
Maior/Menor; Feminino/Masculino; Pequeno/Me´dio/Alto e os anos de 2010/2011/2014?”
Por incr´ıvel que parec¸a estas varia´veis qualitativas tambe´m apresentam inu´meras
propriedades suficientes e classificato´rias. Estas possibiliades propciam a criac¸a˜o
de subconjuntos que podem ser dispostos em diagramas de Venn - iguais aos
conjuntos nume´ricos.
Figura 16: Nı´veis de Mensurac¸a˜o
• Nominal: e´ o n´ıvel que caracteriza-se apenas por nomes, ro´tulos ou
categorias. Sa˜o muito comuns nas varia´veis ditas dicotomizadas, isto
e´, sa˜o respostas com ”dupla entrada”como as representadas por 0 e 1
(sim/na˜o). Uma restric¸a˜o importante deste n´ıvel de mensurac¸a˜o e´ a im-
possibilidade da disposic¸a˜o ordenada - na˜o tem sentido! Um exemplo
simples e´ saber qual a ordem correta dos sexos, se Feminino/Masculino ou
Masculino/Feminino, qual seria a mais adequada? Por vezes, os nu´meros
inteirosZ podem aparecer como unidades deste n´ıvel nominal, mas classi-
ficados na˜o como nu´meros mas sim como categorias na˜o ordenadas. Na˜o
teˆm significado algum em termos de ordenac¸a˜o. Estes casos sa˜o cla´ssicos
em n´ıveis nominiais de estados de status: ligado (1) ou desligado (0) - e-
xemplo de sistemas eletroˆnicos, ou em estados de alocac¸a˜o: ”voto em...”(1)
”na˜o voto em...”(0) nos estudos de opinia˜o pu´blica, ou em estados de
27
aceitac¸a˜o: ”aceito”(1) ”na˜o aceito”(0) como nos casos do controle de quali-
dade dos atributos de pec¸as em compras. A classificac¸a˜o nominal e´ o n´ıvel
qualitativo de rotulac¸a˜o ou categorizac¸a˜o da varia´vel desde que
na˜o ordenado.
• Ordinal: e´ o n´ıvel que caracteriza-se por dados que podem ser dispostos
por alguma ordem. Este n´ıvel de mensurac¸a˜o e´ mais evoluido que o
n´ıvel anterior nominal de mensurac¸a˜o, uma vez que a sua ordenac¸a˜o ja´ faz
sentido. E´ comum algum n´ıvel de mensurac¸a˜o nominal dividir-se em va´rios
subn´ıveis ordina´rio, e´ o caso da varia´vel de estados status. Embora a sua
resposta e´ pela presenc¸a ou pela falta de algum fator de reconhecimento
(sim ou na˜o - por exemplo), pode-se atribuir ao reconhecimento de padra˜o
os subn´ıveis de ordenac¸a˜o chamado de subestados de gradac¸a˜o (grau).
Vamos a um exemplo: pessoas com/sem stress. Esta medida pode ser
decomposta em subn´ıveis de stress alto, stress me´dio e stress baixo, ou
enta˜o a gradac¸a˜o A,B,C. Por outro lado este n´ıvel de mensurac¸a˜o na˜o
e´ completo! Existe a impossibilidade de mensurar a diferenc¸a entre os
subn´ıveis. Na˜o faz sentido tirar a diferenc¸a entre o nu´meros de pessoas
com stress alto do nu´mero de pessoas com stress baixo, pois sa˜o n´ıveis de
gradac¸a˜o distintos, e portanto, qualidades bem diferentes. E´ o mesmo caso
que ocorre com os subn´ıveis ”alto”, ”me´dio”e ”baixo”. Teria algum sentido
a diferenc¸a entre 10 pessoas baixas com 5 pessoas altas? A resposta seria
enta˜o 5 pessoas, mas seriam elas altas ou baixas? A classificac¸a˜o ordinal
e´ o n´ıvel qualitativo de categorizac¸a˜o ordinal da varia´vel desde que
as diferenc¸as entre os n´ıveis na˜o fac¸am sentido.
• Intervalar: e´ o n´ıvel que caracteriza-se por dados que permitem a
diferenc¸a entre seus valores. Equivalente e ana´logo ao n´ıvel ordi-
nal com a possibilidade do sentido da diferenc¸a entre as suas varia´veis
tornarem-se reais. Faz com que o n´ıvel intervalar e´ o n´ıvel mais evolu´ıdo
que o ordinal e, por sua vez, bem mais evolu´ıdo que o nominal. Podemos
determinar diferenc¸as significativas entre dados. Vamos a um exemplo
simples: suponha um partido pol´ıtico que ganhou as eleic¸o˜es para va´rios
cargos pol´ıticos no munic´ıpio durante os anos de 1990, 1998, 2003, 2007,
2009 e 2010. Nota-se que a sequeˆncia de vito´rias foram em 8 anos (1998-
1990), 5 anos (2003-1998), 4 anos (2007-2003), 2 anos (2009-2007) e 1
ano (2010 - 2009), o que podemos concluir? Conclu´ımos que a ac¸a˜o par-
tida´ria foi eficaz para alcanc¸ar a vito´ria nas urnas, a diferenc¸a entre as
seguidas vito´rias nas urnas tendem a ser menores no decorrer da evoluc¸a˜o
dos anos. Isto e´ um exemplo de medida intervalar. Mas qual seria a in-
terpretac¸a˜o da raza˜o entre 2010 e 1990? Seria 20101990 = 1, 01005? Qual o
significado deste nu´mero? Seria um ano e treˆs dias? Vemos que a raza˜o
entre as varia´veis na˜o tem sentido. E´ o que dizemos ”inexisteˆnia de um
ponto de partida inerente”, isto e´, na˜o existe uma refereˆncia de escala
”zero”atribu´ıvel a` raza˜o entre varia´veis. Como nem tudo e´ perfeito, este
n´ıvel de mensurac¸a˜o ainda na˜o e´ completo porque e´ incapaz de interpretar
a raza˜o entre as varia´veis. A classificac¸a˜o nominal e´ o n´ıvel qualitativo
28
ou o quantitativo de escala particionada cuja varia´vel apresenta
sentido na diferenc¸a entre varia´veis, mas, por outro lado, na˜o ha´
interpretac¸a˜o na raza˜o entre as suas varia´veis.
Idade
0 —- 7
7 —- 12
12 —- 14
14 —- 16
16 —- 18
18 —- 21
21 —- 24
24 —- 63
63 —- ...
Tabela 1: Exemplo de Classes Intervalares
• Raza˜o: e´ o n´ıvel que caracteriza-se por dados que permitem a raza˜o
entre seus valores e todas as propriedades antecessoras a ele.
Sendo o mais evolu´ıdo dos n´ıveis de mensurac¸a˜o na˜o ha´ restric¸o˜es. Esta´
associado a alguma escala de mensurac¸a˜o. Em sua maioria e´ classificado
como qualitativo cont´ınuo e e´ o caso das escalas te´rmicas, bariome´tricas ou
qualquer medida poss´ıvel de particionamento do valor em teste. Vamos
a um exemplo da calibrac¸a˜o dos pneus de um carro. Suponhamos os
sequintes calibres (em libras): 25 lb, 30 lb, 32 lb e 50 lb. A diferenc¸a
entre valores faz sentido? Sim, significa que 30 lb carregou 5 libras a mais
que as 25lb, por exemplo. Enta˜o ”possui”as caracter´ısticas intervalares.
A raza˜o faz sentido? Sim, 50 lb e´ o dobro de 25lb. O que isto significa?
Queremos dizer que 50lb25lb = 2 ou 50lb = 2X25lb, de fato e´ uma raza˜o em Q.
A classificac¸a˜o racional e´ o n´ıvel mais alto e completo, caracteriza-se
pela propriedade de raza˜o entre varia´veis e e´ na˜o restitivo.
Nı´vel Caracter´ıstica Principal Restric¸a˜o Exemplo
Nominal Nomes, ro´tulos ou categorias ordem Machos e Feˆmeas
Ordinal Catego´rico ordina´rio diferenc¸a Alto/ Me´dio/ Baixo
Intervalar Permite determinar diferenc¸as entre raza˜o Idade: 0—-7 / 7—-12 ...
Raza˜o Permite determinar raza˜o entre na˜o ha´ 16km/h, 32km/h ...
Tabela 2: Niveis de Mensurac¸a˜o dos Dados
Exerc´ıcios
Exercise 5 Identifique se Qualitativo ou Quantitativo. No caso Quantitativo
atribua os conceitos de cont´ınuo ou discreto.
29
1. A pesquisa IBOPE entrevistou 5000 pessoas nas duas principais cidades
brasileras Sa˜o Paulo e Rio de Janeiro.
2. Cada comprimido tem 9,87 mg de a´cido asco´rbico.
3. Os escores de marcac¸a˜o das pessoas fumantes variam de 0 a 100 unidades.
4. Considera-se dois grupos: um caso e outro controle.
5. Sa˜o entrevistados 3.858 pessoas para respoder um questiona´rio de 6 per-
guntas.
6. Dois grupos meninos e meninas foram avaliadas em seu grau de concen-
trac¸a˜o numa escala que varia entre 0 a 10.
7. Ao terminar o trabalho no computador, este ficou ligado 22h34min45seg.
Exercise 6 Classifique quanto ao n´ıvel de mensurac¸a˜o
1. Nu´mero de participantes em um campeonato de footbal.
2. Dificulade da prova: 1, 2 ou 3.
3. Idade entre classes dos grupos de menores:
Idade
0 —- 7
7 —- 12
12 —- 14
4. Considera-se dois grupos: I) distaˆncias em 2 e 20 metros e II) distaˆncias
em 21 a 34 metros.
5. Sa˜o entrevistados 3.858 pessoas para respoder um questiona´rio de 6 per-
guntas nas Classes A, B, D, D e E.
6. Mede-se a voltagem nos terminais de um cicuito ele´trico de 12 Volts e 24
Volts.
30
Medidas de Tendeˆncia
Central
A categoria das medidas estat´ısticas que sa˜o representadas por um u´nico valor
e que definem o conceito de centralidade, para quaisquer conjunto de dados,
e´ dita ser uma ”Medida de Tendeˆncia Central (Central Tendence of Measuring
- CTM)”. Esta medida e´ conhecida como sendo a primeira das duas medidas
estat´ısticas. Sua principal caracter´ıstica e´ a capacidade de gerac¸a˜o ou de criac¸a˜o
de um e u´nico nu´mero com valor pontual, o qual exprime alguma propriedade
matema´tica de refereˆncia: equil´ıbrio, meio ou aglomerac¸a˜o.
Pre´ requisitos
Antes de nos aprofundarmos nas medidas de centralidade, iremos apresentar
resumidamente alguns conceitos importantes de sequeˆncias, se´ries, notac¸a˜o
de somato´rio e de produto´rio.
Conceitos Iniciais
Sabemos que a soma e´ efetuada por um conjunto de parcelas, cujo resultado e´
a soma propriamente dita. Por exemplo:
5 + 3 + 1 = 9
Por outro lado, a soma dos termos com de mesma parcela e´ dita ser um
produto (ou uma multiplicac¸a˜o):
3 + 3 + 3 + 3 = 3X4 = 12
e
4 + 4 + 4 = 4X3 = 12
Sequeˆncias e Se´ries
O conjunto de valores somados S = {5, 3, 1} e oconjunto dos valores multipli-
cados M1 = {3, 3, 3, 3} e M2 = {4, 4, 4} sa˜o ditas sequeˆncias. Qualquer colec¸a˜o
31
32
de dados que define um conjunto nu´me´rico e que apresentem em sua es-
trutura alguma regra de relac¸a˜o entre os seus elementos e´ dito ser uma
sequeˆncia.
• Definic¸a˜o de sequeˆncia: A sequeˆncia e´ qualquer conjunto de nu´meros
dispostos ordenamente, de forma que seja poss´ıvel indicar o primeiro ele-
mento do conjunto, o segundo, o terceiro e o n-e´simo elemento do conjunto.
• Definic¸a˜o de se´rie: Se o conjunto {an} e´ uma sequeˆncia infinita,
enta˜o uma expressa˜o da forma a1+a2+ ...+an−k+ ... e´ dita ser uma se´rie
infinita ou simplesmente se´rie.
Observe a sequinte sequeˆncia: S = {5, 3, 1}.
x1 = 5 (4)
x2 = 5-2 = 3 (5)
x3 = 3-2 = 1 (6)
a regra de relac¸a˜o entre os termos de S = {x1, x2, x3} e´ uma progressa˜o a-
ritime´tica (P.A.) de passo r = −2. Como existe alguma relac¸a˜o lo´gica interna
entre todos os termos do conjunto S e, ale´m disso, podemos indentificar or-
denadamente todos os termos que pertencem ao conjunto, onde o primeiro
elemento do conjunto esta´ identificado por x1, o segundo elemento do conjunto
por x2 e o u´ltimo termo do conjunto por x3. Dizemos que o conjunto S e´ uma
sequeˆncia.
Notac¸a˜o de Somato´rio
Por outro lado ficaria dif´ıcil representar o conjunto S por inu´meros termos. Re-
presentar qualquer conjunto por 14 elementos ja´ e´ suficientemente extenso, ob-
serve: S = {5, 3, 1,−1,−3,−5,−7,−9,−11,−13,−15,−19,−21,−23}. Imagine
a representac¸a˜o com 1289 elementos? Isto com certeza e´ invia´vel e impratica´vel.
Suponha agora que queiramos somar todos os termos do conjunto S:
(5) + (3) + (1) + (−1) + (−3) + (−5) + (−7) + (−9) + (−11) + (−13) + (−15) +
(−19) + (−21) + (−23). Seria via´vel a soma com 1289 elementos? Por este
motivo, representaremos adiante todas as sequeˆncias de dados nu´me´ricos
pela inclusa˜o da notac¸a˜o matema´tica do somato´rio: Σ. Esta notac¸a˜o grega
e´ acompanhada por termos representativos de inicializac¸a˜o da soma chamado
de initial value i e da finalizac¸a˜o da mesma pelo n-e´simo valor n, dada uma
sequeˆncia de soma:
∑n
i . Poder´ıamos reescrever a soma da sequeˆncia acima
como sendo:
S = {5, 3, 1,−1,−3,−5,−7,−9,−11,−13,−15,−19,−21,−23}
S =
n=14∑
i=0
(5− 2i)
33
onde o somato´rio
∑n=14
i=0 pode ser verificado por:
S =
n=14∑
i=0
(5− 2i)
i = 0→ (5− 2[0]) = 5
i = 1→ (5− 2[1]) = 3
i = 2→ (5− 2[2]) = 1
i = 3→ (5− 2[3]) = −1
...
i = n = 14→ (5− 2[14]) = −23
soma = 5 + 3 + 1− 1− 3− 5− 7− 9− 11− 13− 15− 19− 21− 23 = −135
portanto,
S =
n=14∑
i=0
(5− 2i) = −135
De fato, podemos representar as somas das sequeˆncias por
S = {a1, a2, a3..., an}
ou pela notac¸a˜o de somato´rio, quaisquer que sejam os termos que compo˜em
o conjunto. Desde que os elementos apresentem alguma lo´gica:
s =
n∑
i=1
ai
Se a soma fosse realizada com os 1289 elementos transcrever´ıamos no formato
de somato´rio como
S =
n=1289∑
i=1
(5− 2i)
Por outro lado, se o conjunto S apresentar uma quantidade infinita de
elementos (∞), torna-se muito mais pra´tico e agrada´vel reescrever a se´rie com
o aux´ılio do somato´rio. Ficaria representado na sequinte forma:
S = {5, 3, 1,−1,−3,−5,−7,−9,−11,−13,−15,−19,−21,−23, ...}
S =
∞∑
i=0
(5− 2i)
ou mesmo para as soma em todo o espectro de (−∞) ate´ (∞):
34
S = {..., 5, 3, 1,−1,−3,−5,−7,−9,−11,−13,−15,−19,−21,−23, ...}
S =
∞∑
i=−∞
(5− 2i)
Notac¸a˜o de Produto´rio
A mesma proposta pode ser utilizada para o produto. A diferenc¸a e´ que ao
inve´s de usarmos o s´ımbolo de somato´rio Σ utilizaremos o s´ımbolo do pi: Π.
Exemplo: Representar´ıamos a multiplicac¸a˜o dos termos da sequeˆncia
S = {5, 3, 1,−1,−3,−5,−7,−9,−11,−13,−15,−19,−21,−23}
por
S =
n=14∏
i=0
(5− 2i)
Produto = (5)∗(3)∗(1)∗(−1)∗(−3)∗(−5)∗(−7)∗(−9)∗(−11)∗(−13)∗(−15)∗(−19)∗(−21)∗(−23)
que fornece o valor de 4, 744.1012.
Quando a necessidade for a multipicac¸a˜o dos termos da sequeˆncia utilizamos
o s´ımbolo do produto´rio Π. Todas as regras explicitadas acima valem comu-
mente para ambos os procedimentos de soma e do produto.
Exercise 7 Desenvolva o somato´rio∑4
i=0(2
2
i − 1)∑5
i=1
(
ai+3
i+1
)
∑n
i=0 ai
Exercise 8 Desenvolva o produto´rio∏4
i=1 2
i+1∏5
i=2(−1)i∏n
i=0 ai
Exercise 9 Escreva as sequeˆncias em forma de somato´rio
Soma de A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
Soma de B = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...
Soma de C = ...− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1...
Exercise 10 Escreva as sequeˆncias em forma de produto´rio
35
Produto de A = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ 6 ∗ 7 ∗ 8
Produto de B = 2 ∗ 22 ∗ 23 + 24 + ...
Produto de C = ...− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1...
Exercise 11 Problema: Dada a progressa˜o geome´trica PG: {2,4,8,16,32}. Qual
a soma destes termos?
36
Tipos de Medidas CTM
Me´dia
E´ a medida que representa o ponto de equil´ıbrio de um conjunto de dados.
O conceito de me´dia vai ale´m da conhecida me´dia aritime´tica. Em f´ısica, por
exemplo, a posic¸a˜o exata do equil´ıbrio mecaˆnico para um sistema de part´ıculas
e´ dada pela me´dia poderada entre a distribuic¸a˜o das massas e a distaˆncia destas
massas ate´ um certo ponto de refereˆncia cartesiano, normalmente escolhido pelo
calculista. Sua equac¸a˜o e´ dada por:
xcm =
m1x1 +m2x2
m1 +m2
(7)
Figura 17: Sistemas de Part´ıculas
Por este motivo e´ que a me´dia foi comparada pelos estat´ısticos como sendo
uma medida de equil´ıbrio. De fato, todo e qualquer equil´ıbrio dependera´ da
distribuic¸a˜o das part´ıculas (ou das massas, ou da disposic¸a˜o dos corpos) em
torno de algum eixo de refereˆncia. A melhor medida de equil´ıbrio para qualquer
distribuic¸a˜o das part´ıculas, ou da massa, ou dos corpos e´ calculada atrave´s da
centralidade dada pela me´dia poderada em relac¸a˜o a` disposic¸a˜o destas massas
ate´ o eixo de refereˆncia.
• Definic¸a˜o Cla´ssica: E´ uma medida de centralidade que designa o ponto
de equil´ıbrio dos dados.
• S´ımbolo: barra acima da letra representante do conjunto de dados: x¯
(ex. me´dia dos pesos p¯, me´dia das alturas h¯, etc...).
37
• Formalismo: Em um conjunto de valores, a me´dia aritime´tica e´ sim-
plesmente dada pela soma de todos os valores pertencentes ao conjunto
dividindo-os pelo total da quantidade destes dados pertencentes a este
conjunto de interesse.
x¯ =
x1 + x2 + x3 + ...+ xn−2 + xn−1 + xn
n
(8)
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
(9)
A medida de me´dia no formato aritime´tico na˜o e´ a u´nica, existem outras
formas que tambe´m representam algum ponto de equil´ıbrio dos dados, sa˜o
elas:
– Aritime´tica: e´ a formulac¸a˜o mais simples.
x¯ =
∑n
i=1 xi
n
=
x1 + x2 + x3 + ...+ xn−2 + xn−1 + xn
n
Exemplo: Qual a me´dia do conjunto de observac¸o˜es C = {2, 5, 6, 7, 8}?
C¯ =
∑5
i=1 xi
n
=
2 + 5 + 6 + 7 + 8
5
= 5, 6
Interpretac¸a˜o: A me´dia do conjunto C e´ dado por 5,6 valores.
– Geome´trica: e´ devido aos resultados dos valores oriundos das se-
queˆncias em progressa˜o geome´trica (P.G.). Muito utilizadas em econo-
mia, conta´beis e administrac¸a˜o como sendo o valor de equil´ıbrio das
taxas me´dias de variac¸a˜o, crescimento ou das razo˜es me´dias. Esta me-
dida geome´trica torna os ca´lculos de variac¸a˜o de taxas mais fided´ıgnas
do que a me´dia aritime´tica, por exemplo. Estudos em ana´lise finan-
ceira dependem de algumas das propriedades de crescimento (de-
crescimento) geome´trico. Portanto, a me´dia, como consequeˆncia de
processos geome´tricos, e´ formulada por:
x¯ = (
n∏
i=1
xi)
1
n = n
√
x1 ∗ x2 ∗ ...xn
Exemplo: De acordo com os juros estipulados pelo Banco Central
do Brasil, calcule o fator de crescimento me´dio para o dinheiro, com-
posto por taxas mensais de juro durante os treˆs primeiros meses do
38
ano Taxas = {4%, 3%, 2%}?
¯Taxas = (
n∏
i=1
xi)1
n = 3
√
1, 04 ∗ 1, 03 ∗ 1, 02 = 1, 0299 = 2, 99%
Interpretac¸a˜o: A me´dia das taxas trimenstrais foram de 2,99% ao
meˆs.
– Harmoˆnica: Sinais e sistemas harmoˆnicos dependem de ca´lculos
mais avanc¸ados para caracterizar va´rios comportamentos oscilantes.
Existem inu´meros detalhes quanto a`s taxas de variac¸a˜o, os quais na˜o
veremos neste curso devido a dependeˆncia da ana´lise em se´ries de
Fourier. Mas, e´ justamente o tempo a principal varia´vel responsa´vel
pelo controle:
x¯ =
n∑n
i=1
1
xi
=
n
1
x1
+ 1x2 +
1
x3
...+ 1xn
Exemplo: Um torno CNC trabalha com as sequintes velocidades
angulares: ω = {1 rad/s, 4 rad/s, 8 rad/s}. Qual me´dia harmoˆnica
das velocidades de trabalho do torno?
x¯ =
n∑n
i=1
1
xi
=
3
1
1 +
1
4 +
1
8
= 2, 182 rad/s
Interpretac¸a˜o: A me´dia harmoˆnica das velocidades que o torno
sustenta esta´ em 2,182 radianos por segundo.
– Quadra´tica (RMS): Sa˜o medidas mais frequentemente utilizadas em
experimentos f´ısicos, como por exemplo nos casos da distribuic¸a˜o de
sistemas de energia ele´trica, sendo a sua tensa˜o e a corrente fornecidas
em termos de valores RMS.
x¯ =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
x2i =
√
x21 + x
2
2 + x
2
3...+ x
2
n
n
Exemplo: Suponha que o tranformador opere nas seguintes tenso˜es
de linha VAB = {221, 220, 224, 219}. Quanto vale a a tensa˜o de
operac¸a˜o me´dia V¯ em RMS deste transformador?
x¯ =
√√√√ 1
n
n∑
i=1
x2i =
√
2212 + 2202 + 2242 + 2192
4
= 221, 00V olts
39
Interpretac¸a˜o: O transformador opera a uma tensa˜o nominal de
221 Volts (RMS).
– Generalizada: E´ a extensa˜o para a RMS em termos superiores
de poteˆncia e radiciac¸a˜o. Esta te´cnica e´ muito utilizada em bioin-
foma´tica.
x¯ = p
√√√√ 1
n
n∑
i=1
xpi =
p
√
xp1 + x
p
2 + x
p
3...+ x
p
n
n
Exemplo: Um contador e um adminstrador precisam utilizar uma
me´dia generalizada para compor o ca´lculo das bolsas de Mercado-
rias e de Futuros M&F . Com base nos sequintes ı´ndices de mercado
Dts = {47, 70, 120} encontre a me´dia generalizada para compor o
ca´lculo da bolsa?
x¯ = p
√√√√ 1
n
n∑
i=1
xpi =
3
√
473 + 703 + 1203
3
= 89, 8pontos
Interpretac¸a˜o: I´ndice de composic¸a˜o da taxa: 89,8 pontos na˜o per-
centuais.
– Aparada: Na˜o muito conhecida pore´m muito importante quando
se trata da computac¸a˜o avanc¸ada (High Computer Analisys - HC).
Como a me´dia e´ muito sens´ıvel aos valores extremos, alguns progra-
mas computacionais podem ser prejudicados por valores de fronteiras
devido ao problema do ca´lculo nume´rico na˜o apresentar aproximac¸o˜es
das propriedades matema´ticas devidas. Utiliza-se do mecanismo da
me´dia aparada com a finaldiade de corrigir os valores discrepantes
que viesam o ca´lculo anal´ıtico em deterimento do ca´lculo nume´rico.
x¯ =
∑n
i=1 xi [−(k%) ↑↓]
n
– Heroniana: Seu uso e´ mais abrangente na matema´tica pura e avanc¸ada,
principalmente em teoria da medida.
x¯ =
2
n(n+ 1)
n∑
i=1
n∑
j=1
√
xixj
– Poderada: Esta sera´ discutida mais profundamente por se tratar da
mais importante de todas as me´dias.
40
Como mostramos, a me´dia pode ser formulada das mais diversas maneiras,
desde que as suas equac¸o˜es contenham o conceito matema´tico de equil´ıbrio.
• Definic¸a˜o Formal: A definic¸a˜o formal da me´dia e´ dada por:
E(X) =
∞∑
i=1
xiP (xi) → discretos (10)
E(X) =
∫ ∞
i=1
xiP (xi)dx → continuos (11)
que chamamos de Esperanc¸a Matema´tica. Todas as equac¸o˜es acima que
apresentamos, tais como a me´dia aritime´tica, a geome´trica, a harmoˆnica e
entre outras formas sa˜o originadas a partir da pro´pria definic¸a˜o formal
apresentada aqui. Os ca´lculos na˜o sa˜o tiviais e muitas das vezes necessitam
de ca´lculos da computac¸a˜o avanc¸ada.
Me´dia Poderada
Iniciaremos este conceito com um exemplo pra´tico.
Exemplo: Suponha os pesos e as notas de um certo aluno na disciplina de
estat´ıstica. Qual seria a me´dia do aluno?
Peso Nota
Prova 1 40% 97
Prova 2 40% 80
Trabalho 20% 68
Tabela 3: Notas da Prova
x¯ =
40% ∗ 97 + 40% ∗ 80 + 20% ∗ 68
40% + 40% + 20%
= 84, 4
o que equivale a escrever como:
x¯ =
∑n
i=1 ωixi∑n
i=1 ωi
(12)
onde ωi sa˜o os pesos referentes a` prova. Dizemos que a equac¸a˜o 12 e´ a me´dia
ponderada dos valores de xi vinculados e dependentes dos pesos ωi. Isto significa
que cada peso da´ uma maior importaˆncia a determinadas varia´veis. Em
nosso caso seriam ambas as provas terem valores de importaˆncia maior do que
o valor do trabalho.
41
Figura 18: Media Ponderada
• Definic¸a˜o da Me´dia Poderada: E´ a soma de todos os valores com as
suas respectivas e destintas importaˆncias em relac¸a˜o a todos os outros
dados do conjunto. Define-se o formalismo por:
x¯ =
∑n
i=1 ωixi∑n
i=1 ωi
(13)
x¯ =
n∑
i=1
xi ∗
(
ωi∑n
i=1 ωi
)
(14)
fazendo p(xi) =
(
ωi∑n
i=1 ωi
)
(15)
x¯ =
n∑
i=1
xipi (16)
Define-se a me´dia ponderada por
x¯ =
∑n
i=1 ωixi∑n
i=1 ωi
(17)
ou x¯ =
n∑
i=1
xipi (18)
onde pi pode ser a func¸a˜o referente a uma proporc¸a˜o - p̂i, a algum peso
qualquer-ω ou a alguma frequeˆncia de observac¸o˜es-f nos (dos) da-
42
dos.
– Quando os pesos referem-se a`s proporc¸o˜es escrevemos a me´dia pon-
derada por
x¯ =
n∑
i=1
xip̂(xi) (19)
com p̂(xi) =
(
p̂i∑n
i=1 p̂i
)
(20)
– Quando os pesos referem-se a quaisquer ponderac¸a˜o ω escrevemos
a me´dia ponderada por
x¯ =
n∑
i=1
xipi (21)
com pi =
(
ωi∑n
i=1 ωi
)
(22)
Este formato e´ utilizado em todos os casos.
– Quando os pesos referem-se a`s frequeˆncias escrevemos a me´dia pon-
derada por
x¯ =
n∑
i=1
xifi(xi) (23)
com f(xi) =
(
fi∑n
i=1 fi
)
(24)
Ete formato e´ oficialmente utilizado em tabelas de frequeˆncias.
Espereanc¸a Matema´tica
Se definirmos pi como sendo a probabilidade de ocorrer xi, a equac¸a˜o 18
torna-se a esperanc¸a matema´tica:
x¯ =
n∑
i=1
xip(xi, θ) (25)
com p(xi, θ) =
(
p(θ)∑n
i=1 p(θ)
)
(26)
• Definic¸a˜o rigorosa da esperanc¸a matema´tica: Se X e´ uma varia´vel
aleato´ria discreta com probabilidade p(xi, θ), tal que
∑∞
i=1 p(xi, θ) = 1 e
0 < p(xi, θ) < 1, temos que a esperanc¸a matema´tica e´ definida por:
43
E(X) =
∞∑
i=1
xip(xi; θ) =
∞∑
i=1
P (X = xi) (27)
se o espectro e´ discreto com p(xi) a probailidade e,
E(X) =
∫ ∞
i=1
xif(xi; θ)dx =
∫ ∞
i=1
F (X = xi)dx (28)
se o espectro for cont´ınuo, dizemos que f(xi) e´ a densidade de probabili-
dade. Se o espectro for discreto, dizemos que p(xi) e´ a probabilidade
verdadeira. Para o caso discreto, a soma na˜o depende da ordem dos termos
e a se´rie em particular devera´ ser absolutamente convergente - quanto a`
soma
∑
i |xi|p(xi) < ∞. A definic¸a˜o tambe´m sera´ va´lida para o espectro
cont´ınuo sob condic¸o˜es de extrapolac¸a˜o via o teorema fundamental do
ca´lculo. A esperanc¸a de X e´ tambe´m chamada de me´dia.
Mediana
E´ a medida que representa o valor do meio entre os dados. Numericamente
este dado encontra-se exatamente entre os 50% dos valores maiores e 50% dos
valores menores. Antes de nos aprofundarmos mais sobre o assunto, entenda
sobre a definic¸a˜o de Rol.
Rol
Grupos que se diferenciam pela ordem ou pela natureza dos seus elementos
sa˜o chamados de arranjos. Para n elementos distintos, o nu´mero de grupos
com k elementos cada pode ser expresso por
Akn =
n!
(n− k)! (29)
desde que sem repetic¸a˜o e k ≤ p.
Por exemplo, os elementos do conjunto S = {2, 8, 4} podem ser alocados da
sequinte forma:
• Treˆs conjuntos cada qual com um e u´nico elemento (k = 1), isto e´:
– Ca´lculo: A13 =
3!
(3−1)! =
3!
2! = 3,
– Conjuntos: S1 = {2}, S2 = {4} e S3 = {8}.
• Seis conjuntos com dois elementos cada (k = 2), isto e´:
–Ca´lculo: A23 =
3!
(3−2)! =
3!
1! = 6,
44
– Conjuntos: S1 = {2, 8}, S2 = {8, 2}, S3 = {2, 4}, S4 = {4, 2},
S5 = {8, 4} e S6 = {4, 8}.
• Seis conjuntos com treˆs elementos cada (k = 3), isto e´:
– Ca´lculo: A23 =
3!
(3−3)! =
3!
0! = 6,
– Conjuntos: S1 = {2, 8, 4}, S2 = {2, 4, 8}, S3 = {8, 2, 4}, S4 =
{2, 4, 8}, S5 = {8, 4, 2}, S6 = {4, 8, 2}.
Observe a u´ltima formac¸a˜o (k = 3). Neste arranjo, em que k = n, mostra-nos
que sempre havera´ uma classe de arranjos com a mesma quantidade de elemen-
tos de sua formac¸a˜o original, isto e´, seis conjuntos com a quantidade de treˆs
elementos cada. Isto significa que para um arranjo a ordem da alocac¸a˜o faz
muito sentido. Portanto, podemos propor a composic¸a˜o da sequinte formac¸a˜o
k = n:
Ann = P
n = n!, (30)
em que dizemos ser uma permutac¸a˜o do conjunto S.
Classificamos como rol qualquer um dos conjuntos formados pela permutac¸a˜o
de seus elementos desde que os seus dados estejam em ordem crescente
ou em ordem decrescente. No caso acima, o rol crescente e´ formado por
S4 = {2, 4, 8} e o rol decrescente por S5 = {8, 4, 2}.
Caracter´ısticas da Mediana
• Definic¸a˜o Cla´ssica: E´ uma medida de centralidade que designa o valor
do meio em um rol de valores dos dados.
• S´ımbolo: Til abaixo da letra representante do conjunto de dados: x (ex.
me´dia dos pesos p, me´dia das alturas h, etc...).
• Formalismo:Dado um rol crescente de valores oriundos de um conjunto
de observac¸o˜es, a mediana e´ calculada pela posic¸a˜o
– I´mpar: Uma vez formado o rol crescente, o valor desconhecido da
mediana X esta´ alocado na posic¸a˜o [n+12 ] dentro dos colhetes.
x = X
[
n+ 1
2
]
, (31)
– Par: Uma vez formado o rol crescente, o valor desconhecido da
mediana de X esta´ alocado entre as posic¸o˜es [n2 ] e [
n
2 + 1]. Este
caso em espec´ıfico precisara´ da ajuda de outra medida de tendeˆncia
central: a me´dia. Devido a esta complicac¸a˜o a mediana torna-se
dependente de conceito quando a quantidade de elementos de um
conjunto qualquer e´ par. Torna-se comum retirar a me´dia de ambos
os valores alocados nas posic¸o˜es referidas.
x =
X[n2 ] +X[
n
2 + 1]
2
, (32)
45
Em um conjunto de valores, a mediana e´ dada pelo valor alocado na
posic¸a˜o do segundo quartil pela ordenac¸a˜o do rol crescente. E´ o
valor do aritime´tico de valor ”inter-meio”e por isso e´ chamado de ”medi-
ana”do conjunto.
Exemplo 1 . Suponha o sequinte conjunto de medidas do comprimento da
circunfereˆncia C = {6.280; 6.282; 6.284; 6.294; 6.282}
Figura 19: Uma vez alocado em rol crescente, o valor da mediana e´ 6,282 por
exclusa˜o dos valores extremos.
Podemos encontrar o valor da mediana pelo ca´lculo2 # ı´mpar:
1. Nu´mero de elementos do conjunto C: #C = 5 valores
2. A mediana e´ dada por x = X
[
n+1
2
]
= X
[
5+1
2
]
= X[3],
3. A mediana X encontra-se exatamente na 3o posic¸a˜o, isto e´, X[3] = 6, 282
Exemplo 2. Suponha a inclusa˜o de mais uma medida de circunfereˆncia:
C = {6.280; 6.282; 6.284; 6.294; 6.282;6.300}
Podemos encontrar o valor da mediana pelo ca´lculo # ı´mpar:
1. Nu´mero de elementos do conjunto C: #C = 6 valores
2. A mediana e´ dada por x =
X[n2 ]+X[
n
2+1]
2 =
X[ 62 ]+X[
6
2+1]
2 =
X[3]+X[4]
2 ,
2O s´ımbolo # aqui representado significa a quantidade, ou o nu´mero total de elementos
que compo˜em o conjunto de dados. Ex. A = {2, 8, 3, 9} enta˜o #A = 4
46
3. A mediana X encontra-se entre a 3o e a 4o posic¸a˜o, isto e´, x = X[3]+X[4]2 =
6, 283
Moda
E´ a medida que representa o valor com a maior repetic¸a˜o dos dados.
Temos que tomar cuidado com a distinc¸a˜o em func¸o˜es de ma´ximo local e
ma´ximo global. A moda e´ o ma´ximo global de uma func¸a˜o ou distribuic¸a˜o.
Nem todas as func¸o˜es apresentam moda, e´ o caso da func¸a˜o afim y = ax + b.
Seu ma´ximo global encontra-se no infinito (±∞), o que inviabiliza a utilizac¸a˜o
da moda como uma medida de tendeˆncia central.
• Definic¸a˜o Cla´ssica: E´ uma medida de centralidade que designa o valor
com a maior repetic¸a˜o de valores no conjunto de dados ou, no caso de
func¸o˜es, o ma´ximo global.
• S´ımbolo: A mediana pode ser representada por um ı´ndice de MOda:
xmo; ou por um chape´u: xˆ.
• Formalismo:A moda pode ser encontrada por duas formas: ou pelo valor
de maior repetic¸a˜o em um conjunto de dados ou pelo estudo das func¸o˜es.
– Maior Repetic¸a˜o: E´ dada pela frequeˆncia com que determinado
valor aparece. xˆ =Max{freq(x)}
– Ma´ximo Global: E´ dado pela maximizac¸a˜o da func¸a˜o quando sua
primeira derivada e´ nula e a segunda derivada for negativa, o que
exprime a concavidade para baixo.
df(x)
dx
= 0 (33)
d2f(x)
dx2
< 0 (34)
Exemplo 1: Suponha o conjunto de dados C = {2,3,5,5,5,5,6,8,7}.
Qual a moda? A moda sera´ dada pelo valor nume´rico que mais se
repete (ma´ximas repetic¸o˜es). Neste caso e´ o nu´mero xˆ = 5, pois o
valor 5 repete-se quatro vezes (ou #5 = 4).
Exemplo 2: Dada a equac¸a˜o y = −3x2 + 2x+ 10 representativa de
alguma distribuic¸a˜o de frequeˆncias. Qual o valor da moda?
A resoluc¸a˜o e´ dada por
df(x)
dx
=
d(−3x2 + 2x+ 10)
dx
= −3(2)x+ 2 = 0→ x = 6
2
= 3 (35)
d2f(x)
dx2
=
d2(−3x2 + 2x+ 10)
dx2
=
d(−3(2)x+ 2)
dx
= −6 < 0→ c.q.d (36)
47
A moda e´ xˆ = 3, cuja frequencia e´ dada por y = −3(3)2+2(3)+10 =
7.
Exemplo 3: Existe moda em C = {2, 4, 5, 6, 7}? Na˜o, pois na˜o ha´
repetic¸a˜o de valores.
Ponto Me´dio
E´ a medida que representa o ponto de pseudo-equil´ıbrio entre os extremos
dos valores. Na˜o e´ uma medida muito utilizada devido a sua fragilidade de
interpretac¸a˜o. Normalmente aplica-se esta medida de ponto me´dio em ca´lculos
que envolvam varia´veis intervalares como nas tabelas de frequeˆncias para
encontrar o ponto me´dio da classe.
• Definic¸a˜o Cla´ssica: E´ uma medida de quasi centralidade que designa o
valor de pseudo-equil´ıbrio entre os extremos dos valores no conjunto
de dados.
• S´ımbolo: O ponto me´dio pode ser representada pelo pro´prio s´ımbolo da
me´dia, mas com o ı´ndice PM: x¯PM .
• Formalismo:Simplesmente a me´dia dos extremos
x¯PM =
X[maior] +X[menor]
2
No caso de tabelas de frequeˆncias a me´dia de uma tabela destas e´ dada pela
me´dia poderada:
x¯ =
n∑
i=1
xifi(xi) (37)
com f(xi) =
(
fi∑n
i=1 fi
)
(38)
sendo que a varia´vel xi ≡ x¯PM em uma classe e´ definida pelo ponto me´dio como
x¯pm =
valor superior + valor inferior
2
(39)
Exemplo 1 . Frequeˆncia de pessoas e jovens que apresentam distu´rbios
alimentares nos u´ltimos 20 dias em um consulto´rio:
Relac¸a˜o Emp´ırica entre as Treˆs Principais Medidas de CTM:
Me´dia/Moda/Mediana
Para curvas de frequeˆncia unimodal moderadamente inclinadas podemos rela-
cionar empiricamente a distaˆncia entre as treˆs medidas principais de tendeˆncia
48
Classes (Idade) frequencias Ponto medio
01-09 9 x¯[01−09] = 09+012 = 4
10-19 3 x¯[10−19] = 19+102 = 14, 5
20-29 5 x¯[20−29] = 20+292 = 24, 5
Tabela 4: Se´rie Espec´ıfica
central. Esta verificac¸a˜o na˜o e´ uma propriedade geral das distribuic¸o˜es e por-
tanto devemos tomar cuidado com a sua utilizac¸a˜o e principalmente com a sua
interpretac¸a˜o.
A relac¸a˜o emp´ırica pode ser modelada por:
Media − Moda = 3( Media − Mediana) (40)
ou (x¯− xˆ) = 3(x¯− x) (41)
Figura 20: Curvatura.
Esta relac¸a˜o sera´ u´til para caracterizar futuramente as treˆs possibilidades de
deslocamento da curva: assimetria para a esquerda, assimetria para a direita e
simetria completa. Ale´m destas opc¸o˜es existem ainda outras treˆs possibilidades
de achatamento da curva que sa˜o: leptocurticidade, platicurticidade e mesocur-
ticidade. Veremos na sequeˆncia deste estudo como mensurar estas formas de
caracterizac¸a˜o das distribuic¸o˜es dos dados e, que em muitas das vezes, sa˜o de-
pendentes das demais propriedades demedida de tendeˆncia central e de medida
de dispersa˜o (ou variabilidade). Para isso, torna-se necessa´rio interpretar a
segunda medida estat´ıstica: Medidas de Dispersa˜o e Variabilidade.
49
RESUMO
TCM (nome) S´ımbolo Definic¸a˜o Fo´rmula Existeˆncia
Me´dia x¯ ”Equil´ıbrio”
∑∞
i=1 xip(xi) Existe Sempre∫∞
i=1
xif(xi)dx Existe Sempre
Mediana x ”Meio” impar → X [n+12 ] Pode Existir
par → X[n2 ]+X[n2+1]2 Pode Existir
Moda xˆ ”Maior repetic¸a˜o” Max{freq(x)} Pode Na˜o Existir
Ponto Me´dio x¯PM ”Entre extremos”
maior+menor
2 Existe Sempre
Tabela 5: Resumo
50
Exerc´ıcios
Exercise 12 Encontre a me´dia, a moda e a mediana dos sequintes conjuntos:
1. Conjunto A = {1, 8, 7, 6, 8, 7, 5, 2, 3, 7, 8, 1, 5}.
2. Conjunto B = {2.054; 1.658; 2.365; 0.635; 2.602}.
3. Conjunto C = {7%; 8%}
4. Conjunto D = {6.280; 6.282; 6.284; 6.294; 6.282}.
5. Conjunto E = {−5.6;−8.47; 9.3;−9.45; 8.00; 4.58}.
Exercise 13 Utilize a me´dia ponderada nos sequintes problemas:
1. Quantidade de produtos vendidos. O peso e´ a importaˆncia do produto para
o vendedor (participac¸a˜o nos lucros).
Peso ωi Quantidade
2 5
4 9
6 6
8 7
Tabela 6: Exercicio 2.1
2. Frequeˆncia dos crimes X Nu´mero de criminosos envolvidos no u´ltimo car-
naval.
Tipo de Ac¸a˜o Criminosa Frequeˆncia fi Nu´mero
Roubo de Cargas 1 28
Assalto a ma˜o armada 4 19
Roubo em joalherias 12 8
Estelionato 20 2
Tabela 7: Exercicio 2.2
51
3. Quantidade de pessoas satisfeitas com um certo produto por classe de
idade.
Faixa de Idade Frequeˆncia
20 - 25 1024
26 - 31 580
32 - 37 256
38 - 43 128
44 - 49 45
Tabela 8: Exercicio 2.3
Exercise 14 Defina o arranjo em conjuntos de um, treˆs e quatro elementos; a
permutac¸a˜o e o rol do seguinte conjunto de dados: A = {1, 8, 7, 6, 8, 5}. Ache a
mediana.
Exercise 15 Teste a relac¸a˜o emp´ırica nos conjuntos abaixo e fac¸a o gra´fico (se
existir):
Conjunto A = {1, 9, 5, 4, 8, 5, 6, 5, 2, 5, 5}.
Conjunto B = {1.65, 1.59, 1.56, 1.65, 1.65, 1.62}.
Conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
52
Medidas de Dispersa˜o ou
Variabilidade
Medidas de Dispersa˜o ou de Variabilidade e´ a mensurac¸a˜o do grau de distan-
ciamento, afastamento ou deslocamento em que todos os dados medidos
esta˜o dispostos em relac¸a˜o a uma Medida de Tendeˆncia Central (sempre).
Conceitos Matema´ticos Fundamentais
Diferenc¸a entre Distaˆncia e Deslocamento
• Deslocamento: tambe´m conhecida como variac¸a˜o na posic¸a˜o ∆x. O
deslocamento e´ a diferenc¸a matema´tica entre o valor da posic¸a˜o final
e da posic¸a˜o inicial. Assume os sinais positivo e negativo como sendo
refereˆncias por convenc¸a˜o, ora para mais ora para menos, respecti-
vamente. Ex: −2 + 3 = −1 ou 4 − 2 = 2. Os sinais podem pressupor
tambe´m os n´ıveis de mensurac¸a˜o de ”ganho (+)”e ”perda (−)”, ”direita
(+)”e ”esquerda (−)”, ”para cima (+)”e ”para baixo (−)”, etc...
• Distaˆncia: e´ somente uma aritime´tica de subtrac¸a˜o, apenas. Na˜o leva
em conta o sinal dos valores. Na˜o faz sentido nenhum qualquer convenc¸a˜o
de grupo, apenas exprime uma diferenc¸a nume´rica. Em matema´tica a
simbologia para estes casos e´ o uso do mo´dulo |x|, indicativo de distaˆncia.
”Qual a distaˆncia entre o trabalho e a sua casa? Talvez 42 km”. Na˜o
dizemos se para mais ou para menos.
Teorema de Pita´goras
O teorema de pita´goras e´ um dos principais teoremas matema´ticos. A sua uti-
lizac¸a˜o e´ ilimitada, inclusive nos conceitos em estat´ıstica. Mas o que vem a ser
este teorema de Pita´goras? Tudo parte de uma figura, portanto vide o desenho
esquema´tico em 21. Note que o triaˆngulo retaˆngulo e´ formado por treˆs arestas
conhecidas como: cateto 1, cateto 2 e a maior aresta chamada de hipotenusa.
Se criarmos treˆs a´reas quadradas, cada qual com os seus lados formados pelas
arestas do triaˆngulo retaˆngulo, um resultado interessante encontraremos: ”a
53
54
soma das a´reas dos quadrados formados pelos catetos e´ igual ao quadrado cuja
a´rea e´ formada pela hipotenusa”, ou como conhecido ”a soma do quadado dos
catetos e´ igual ao quadrado da hipotenusa”.
Figura 21: Pita´goras
Matematicamente poderemos expressar este conceito por:
h2 = c21 + c
2
2
h2 =
n=2∑
i=1
c2i
A definic¸a˜o da hipotenusa pode ser extendida para inu´meros catetos no hiper-
espac¸o:
h2 =
n=k∑
i=1
c2i
Erros
Qual o valor de Π exato? Pois bem, esta e´ uma questa˜o que nunca saberemos.
O u´nico conhecimento seguro sobre a constante de Π e´ que ela e´ o resultado da
raza˜o sempre existente entre o comprimento de qualquer circunfeˆncia com o seu
diaˆmetro, isto e´, Π = CD . O fato da aproximac¸a˜o do valor exato ser imprecisa,
gera-se o conceito de erro34, isto e´, o erro � e´ a diferenc¸a entre o valor
medido e o valor verdadeiro, esta u´ltima nunca e jamais teremos acesso.
� = valor medido − V ERDADE (42)
3Existe um cap´ıtulo apenas para esta definic¸a˜o.
4Muitos autores o tratam como sendo � = valor real − valor medido, na verdade tanto
faz, desde que fique impl´ıcito a diferenc¸a existente entre ambos valores.
55
A equac¸a˜o acima e´ conceitual pelo simples motivo de na˜o podermos jamais
calcular o seu valor �. Se na˜o soubermos qual e´ o valor verdadeiro nunca sabe-
remos a diferenc¸a entre este e o medido.
Figura 22: Valor Pi Natural
Para resolver esta questa˜o teremos que voltar ao conceito da ”Medida de
Tendeˆncia Central”.
Desvio
E´ uma medida de deslocamento. Lembramos que a me´dia pode ser interpre-
tada como um ponto de equil´ıbrio entre os dados. Foi definido exatamente pela
esperanc¸a matema´tica E(x), esta u´ltima que nos faz remeter a uma medida de
centralidade de equil´ıbrio: a me´dia; a melhor estimativa para representar o
valor desconhecido e, de fato, verdadeiro. Pois bem, iremos substituir o valor
verdadeiro (natural) de Π por um valor artificial, uma medida retirada da me´dia
das inu´meras sequeˆncias sucessivas cujas aproximac¸o˜es sa˜o poss´ıveis ora por
arredondamento, ora por truncamento, ora por outra aproximac¸a˜o justamente
para encontrar uma medida de tendeˆncia central para a constante Π¯ =
∑n
i=1 Πi
n .
Mecanismo Valor Aproximado
Exclusa˜o 3,140
Truncamento 3,141
Arredondamento 3,142
Erro Grosseiro 3,143
Truncamento 3,141
Valor da Me´dia: Π¯ p¯i = 3,1414
Tabela 9: Aproximac¸o˜es do valor de Π→ Π¯: Medida de Tendeˆncia Central
Designaremos uma nova medida: o desvio, como sendo a diferenc¸a entre
o valor medido x e a me´dia do conjunto de observac¸o˜es x¯, em troca
56
Figura 23: Valor Pi aproximado (me´dio)
deste u´ltimo pelo valor verdadeiro. Ta´ı a diferenc¸a entre o erro � e o desvio d:
a substituic¸a˜o do valor verdadeiro e imposs´ıvel por um certo valor conhecido,
fict´ıcio, poss´ıvel e acess´ıvel, existente na maioria de todos os conjuntos de dados:
a me´dia.
d = valor medido − MEDIA (43)
d = valor medido − x¯ (44)
Mecanismo Valor Aproximado Me´dia calculada desvio d
Exclusa˜o 3,140 p¯i =3,1414 -0,00140
Truncamento 3,141 p¯i =3,1414 -0,00040
Arredondamento 3,142 p¯i =3,1414 0,00060
Erro Grosseiro 3,143 p¯i =3,1414 0,00160
Truncamento 3,141 p¯i =3,1414 0,00040
Valor da Me´dia: Π¯ p¯i = 3,1414
Tabela 10: Ca´lculo do desvio d = medido− p¯i
O valor verdadeiro e´ natural e somente a natureza sabe e teˆm acesso im-
prescidivelmente. Totalmente contra´rio de no´s. Temos inu´meras fontes de erros
que podem influenciar na mensurac¸a˜o dos dados, esta incerteza gera a impre-
cisa˜o impl´ıcita na coleta e no registro dos mesmos. Ja´ a me´dia e´ um valor
artificial com base em alguns teoremas e colora´rios matema´ticos que demons-
tram a sua capacidade de convergeˆncia para o valor natural.
Vamos analisar a tabela 9. Observamos que os valores aproximados para Π
dependem apenas do tipo de erro que estamos comentendo. Devido ao erro
sistema´tico e por forc¸a de arredondamento, aproximac¸a˜o