Cálculo 1 José Adonai Pereira Seixas

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Ca´lculo 1
sa x
θ θQ
Pb
Q
t
Qγ
QQ
Q l
lQ
lQ
lQ
y lQ
lQ lQ
s = a + ∆x xa
θ θQ
∆x
Pf(a)
γ : y = f(x)
f(a + ∆x)− f(a)
l
t = f(a + ∆x) Q
y lQ
por
Jose´ Adonai Pereira Seixas
Maceio´-2010
Conteu´do
1 Func¸o˜es e Gra´ficos 1
1.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Limite e Continuidade 11
2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . 18
2.4 Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Operac¸o˜es com Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . 22
2.6 Limites Trigonome´tricos Fundamentais . . . . 23
2.8 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Derivadas 26
3.1 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 A Func¸a˜o Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Regras de Derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Derivadas de Func¸o˜es Elementares . . . . . . 31
3.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . 37
3.7 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.9 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Aplicac¸o˜es da Derivada 41
4.1 Taxa de Variac¸a˜o – Cinema´tica . . . . . . . . . 42
4.2 Variac¸a˜o das Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . 43
4.2.2 Func¸o˜es Mono´tonas . . . . . . . . . . . 45
4.3 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Sugesto˜es & Respostas . . . . . . . . . . . . . . 54
Refereˆncias Bibliogra´ficas 55
UFAL – EAD – Ca´lculo 1
J. Adonai
Parte 1: Func¸o˜es e Gra´ficos
Objetivos Espec´ıficos
• Definir Func¸a˜o Real de Uma Varia´vel Real •
• Visualizar o Gra´fico de uma Func¸a˜o •
• Construir as Func¸o˜es Trigonome´tricas •
Objetivo Geral
•• Construir as Bases para o Estudo do Ca´lculo Diferencial ••
Maceio´-2010
1
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 2
Um dos mais importantes conceitos matema´ticos do ensino ba´sico
e´ o conceito de func¸a˜o, pois, praticamente, todos os demais temas do
Ensino Me´dio podem ser tratados a partir desse conceito. E´ frequente
encontrarmos na natureza duas grandezas uma dependendo da outra:
uma dela e´ a varia´vel independente e a outra e´ a varia´vel dependente.
Sempre que isto ocorre, estamos diante de fatos que podem ser repre-
sentados por uma func¸a˜o. Se indicamos por x a varia´vel independente
e por y, a dependente, dizemos que y e´ func¸a˜o de x, o que sera´ posto
assim: y = f(x). O que falta, agora, e´ determinar onde, e como, x e y
variam, isto e´, devemos definir o domı´nio e contradomı´nio da func¸a˜o f .
A t´ıtulo de exemplo, vejamos algumas situac¸o˜es:
• O espac¸o y percorrido por um automo´vel (ou part´ıcula) depende
do tempo t decorrido. Esta dependeˆncia e´ indicada por y = S(t),
e e´ dada por:
y = S (t) = S0 + v0t+
1
2
at2,
onde a posic¸a˜o inicial S0 e a velocidade inicial v0 sa˜o conhecidas.
Neste caso, a varia´vel independente e´ o tempo t, pode ser medido
em segundos e pode assumir valores maiores ou iguais a zero.
• A diagonal d de um quadrado depende do lado l desse quadrado:
d (l) = l
√
2.
• A altura h de um triaˆngulo equila´tero depende do seu lado l:
h (l) =
l
√
3
2
.
• O Volume V de um cubo depende de sua aresta a:
V (a) = a3.
Formalizando, temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1. Sejam A e B dois conjuntos na˜o vazios. Uma lei de
correspondeˆncia que a cada elemento de A associa um u´nico elemento
de B determina uma func¸a˜o f . O conjunto A e´ chamado de domı´nio
de func¸a˜o f . O conjunto B e´ chamado de contra-domı´nio de func¸a˜o f .
Se um elemento y de B esta´ associada a um elemento x de A, dizemos
que y e´ o valor da func¸a˜o f no ponto x e indicamos y = f(x). O
subconjunto de B dado por
I(f) = {y ∈ B : y = f(x), x ∈ A}
e´ a imagem de f . Usaremos o diagrama
f : A −−−−−→ B
x −−−−−→ y = f(x)
para indicar uma func¸a˜o f com domı´nio A e contra-domı´nio B.
Ligado a uma func¸a˜o f esta´ um
subconjunto muito especial do pro-
duto cartesiano A×B, que chamamos
de gra´fico de f , e que definido por
G(f) = {(x, y) ∈ A×B; y = f(x)}.
A importaˆncia deste conjunto reside
no fato de que o seu conhecimento
determina completamente f . No caso
em que A e B sa˜o subconjuntos de R,
Figura 1: Curva y = f(x), x ∈ [a, b]
ba xx x0
f(x)
y
(em geral, intervalos) G(f) e´, tambe´m, chamado curva y = f(x). Note
que a projec¸a˜o desta curva sobre o eixo-x coincide com o domı´nio de
f , e sua projec¸a˜o sobre eixo-y e´ exatamente a imagem da func¸a˜o. Deve
ser observado, tambe´m, que as retas perpendiculares ao domı´nio de f
tocam a curva em um ponto apenas: isto e´ a definic¸a˜o de func¸a˜o.
Em muitos caso, e´ importante saber se a func¸a˜o cresce ou decresce,
e isto e´ facilmente obtido a partir do conhecimento da curva y = f(x).
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 3
Por exemplo, na figura 1, vemos que f e´ crescente no intervalo [x0, b].
E´ poss´ıvel desenvolver ferramentas que permitem esboc¸ar G(f)
com precisa˜o. Uma delas e´ a derivada de uma func¸a˜o, que estudaremos
em aulas futuras. Por enquanto, nos limitaremos a esboc¸ar, em alguns
casos grosseiramente, alguns gra´ficos de func¸o˜es relativamente simples.
Exemplo 1.2. [Func¸a˜o Afim] Dadas as constantes a, b ∈ R, consi-
dere a func¸a˜o f (x) = ax+ b, x variando em R. Em outras palavras,
f : R −−−−−→ R
x −−−−−→ y = f(x) = ax+ b .
Func¸o˜es deste tipo sa˜o chamadas func¸o˜es afins. No caso, b = 0, ficamos
com f(x) = ax, que sa˜o as func¸o˜es lineares de R em R. Assim
G(f) = {(x, y) ∈ R2; y = ax+ b}.
Portanto, esboc¸ar o gra´fico de f , significa desenhar todas as duplas da
forma (x, y), onde y = ax+ b e x percorrendo os nu´meros reais. Vimos,
em Geometria Anal´ıtica, que as soluc¸o˜es de y − ax − b = 0 e´ uma
reta. Portanto, o gra´fico procurado e´ esta reta. Posto isto, basta dois
pontos para desenhar o gra´fico de f . Um modo simples de fazer isto
e´ fazer x = 0, que da´ y = b e x = 1, que produz y = a + b. Assim,
trac¸ando a reta que passa por P = (0, b) e Q = (1, a+ b), temos a figura
desejada. Abaixo vemos o gra´fico de f , representando o caso geral, e o
caso particular, linear, y = x, x variando em todo R.
Figura 2: O gra´fco de y = ax+ b
1 x
b
a + b
Q
y
Figura 3: O gra´fco de y = x
1 x
1
y
Vale observar que uma lei do tipo y = c, onde c e´ uma constante,
tambe´m representa uma func¸a˜o afim. Seu gra´fico e´ uma reta horizontal,
paralela ao eixo-x e passando por y = c. A imagem dessa func¸a˜o e´ o
conjunto {c}. Uma equac¸a˜o do tipo x = c representa uma reta vertical,
passando por x = c, mas na˜o representa uma func¸a˜o (y = f(x)). Por
queˆ?
1-1 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce os gra´ficos das func¸o˜es afins abaixo, des-
tacando os pontos onde elas furam os eixos co-
ordenados.
(a) y = x+ 1, x ∈ R.
(b) y = −x, x ∈ R.
(c) y = 2x, x ∈ R.
(d) y = −2x+ 2, x ∈ [−2, 2].
Exemplo 1.3. [Func¸a˜o quadra´tica] Seja
f (x) = ax2 + bx+ c,
onde a, b, c ∈ R, a 6= 0, sa˜o constantes. No nosso curso de Geometria
Anal´ıtica, vimos que
y = ax2 + bx+ c
descreve uma para´bola com reta diretriz paralela ao eixo-x e eixo para-
lelo ao eixo-y. Assim, podemos esboc¸ar o gra´fico de f a partir de treˆs
pontos escolhidos com certo cuidado. A escolha destes pontos depende
essencialmente do discriminante,4 = b2−4ac. Inicialmente, calculamos
o ponto do gra´fico que e´ o ve´rtice da para´bola, que e´ dado por
V = (
−b
2a
, f(
−b
2a
)) = (
−b
2a
,
−4
4a
).
Os outros dois pontos, digamos Q1 e Q2, podem ser escolhidos com
abscissas x1 e x2 sime´tricascom relac¸a˜o a` abscisa de V . Quando ∆ > 0,
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 4
x1 e x2 podem ser as ra´ızes de f , isto e´, Q1 = (x1, 0) e Q2 = (x2, 0),
onde
x1 =
−b−√4
2a
e x2 =
−b+√4
2a
.
Figura 4: y = ax2 + bx+ c, a > 0
− ∆4a
x1 x2x x
x0
x0
− ∆4a
∆ > 0
∆ < 0
yy
Figura 5: y = x2
1 2 x−1
1
4
y
Observe que, quando a > 0, a func¸a˜o quadra´tica e´ decrescente antes de
−b
2a
e cresce a partir da´ı. Em outras palavras, se a > 0, f(x) = ax2+bx+c
decresce no intervalo (−∞, −b
2a
] e cresce no intervalo [−b
2a
,∞). Voceˆ seria
capaz de descrever o que acontece se a < 0? A figura 5 mostra o caso
f(x) = x2.
1-2 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce os gra´ficos e descreva as imagens das se-
guintes func¸o˜es quadra´ticas. Indique os inter-
valos onde as func¸o˜es crescem e decrescem. (Atente para o domı´nio,
em cada caso.)
(a) y = x2, 1 ≤ x ≤ 2.
(b) y = −x2 + 1, −2 ≤ x ≤ 2.
(c) y = x2 + 3x, x ∈ R.
(d) y = x2 − 3x+ 2, x ∈ R.
Para o esboc¸o dos gra´ficos, nos exemplos acima, tivemos o aux´ılio
de alguns conhecimentos obtidos em Geometria Anal´ıtica quando estu-
damos retas e coˆnicas. O que fazer quando na˜o temos um conhecimento
pre´vio da forma do gra´fico de uma func¸a˜o? Bem, o que fazemos e´ esco-
lher alguns valores para a varia´vel x, calcular o valor de f nestes pontos,
marcar as duplas (x, f(x)) obtidas e a seguir construir uma poligonal
ligando tais duplas, obtendo assim uma grosseira aproximac¸a˜o para a
curva y = f(x). A` medida que escolhemos mais pontos melhoramos a
aproximac¸a˜o poligonal e, portanto, nos aproximamos cada vez mais da
forma correta da curva.
Figura 6: Aproximac¸a˜o Poligonal para y = f(x), x ∈ [a, b]
xa x5 x8x6 x7x3x2 bx4
y
Exemplo 1.4. Considere a func¸a˜o
f : R −→ R,
dada por f(x) = x3. Como na˜o co-
nhecemos esta func¸a˜o, para desenhar
o seu gra´fico tabelamos alguns valores
e, a partir deles, obtemos um primeiro
esboc¸o. Depois, deixamos a intuic¸a˜o
trabalhar.
x −1 −2
3
−1
3
0 1
3
2
3
1
y −1 − 8
27
− 1
27
0 1
27
8
27
1
Ao lado, vemos parte da curva y = x3,
que corresponde ao intervalo [−1, 1].
x
y
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 5
Observe que a imagem desta func¸a˜o coincidem com conjunto dos nu´meros
reais, isto e´, I(f) = R. Outra observac¸a˜o que podemos fazer e´ que f as-
sume valores negativos para x negativo, valores positivos para x positivo
e, finalmente, que ela e´ uma func¸a˜o crescente.
Exemplo 1.5. Indicando por R∗ o conjunto dos nu´meros reais dife-
rentes de zero, definimos a func¸a˜o rec´ıproco, f : R∗ −→ R∗, dada por
y = f(x) = 1
x
. Tabelando alguns valores e em seguida localizando os
pontos no plano cartesiano, obtemos um esboc¸o do gra´fico de f .
x y
−5 −1
5
−4 −1
4
−3 −1
3
−2 −1
2
−1 −1
1 1
2 1
2
3 1
3
4 1
4
5 1
5
x
y
Conve´m observar neste ponto que a curva acima e´ uma hipe´rbole. De
fato, os argumento que usamos ao girar uma coˆnica (veja o exerc´ıcio 4.12
do curso de Geometria Anal´ıtica), mostram facilmente que a rotac¸a˜o de
45o no sentido anti-hora´rio em torno da origem da hipe´rbole equila´tera
x2
2
− y2
2
= 1 produz a hipe´rbole xy = 1, que e´ exatamente a curva y = 1
x
.
Exemplo 1.6. [Valor Absoluto] Considere f : R −→ [0,+∞), defi-
nida por f(x) = |x|, onde |x| e´ o valor absoluto de x
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0.
Este e´ outro exemplo que podemos desenhar a curva y = f(x) a partir
do nosso conhecimento de retas, pois para x ≥ 0, temos y = x e para
x < 0, temos y = −x. A seguir vemos a curva y = |x| e uma tabela com
alguns valores de f .
x |x|
−4 4
−3 3
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
x
y
Exemplo 1.7. Podemos construir novas func¸o˜es a partir da colagem
de outras func¸o˜es conhecidas. No que segue, usaremos uma func¸a˜o
quadra´tica e uma afim para construir uma nova, cujo gra´fico e´ um arco
de para´bola colado a um segmento de reta. De fato, defina f : R −→ R
por
f(x) =
{−x2 + 2x, se x ≤ 2
x− 1, se x > 2.
Portanto, para x abaixo de 2, temos
y = f(x) e´ um arco da para´bola
y = −x2 + 2x
e para x maior do que 2, obtemos a
reta
y = x− 1.
Como sabemos esboc¸ar para´bolas e re-
tas, fica fa´cil desenhar y = f(x).
x
y
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 6
Exemplo 1.8. A func¸a˜o maior inteiro, indicada por [ ] : R −→ R, e´
definida por
[x] = maior inteiro ≤ x.
Vejamos alguns valores desta func¸a˜o. Se x = 1/2, enta˜o [x] = 0, pois o
zero e´ o maior inteiro menor ou igual a 1/2. De modo ana´logo, vemos
que [x] = 0, se x ∈ [0, 1) e, claro, [1] = 1. Mais geralmente, se m ∈ Z,
enta˜o [x] = m, para x ∈ [m,m + 1) e [m + 1] = m + 1. Note que o seu
gra´fico e´ constitu´ıdo por segmentos de retas formando uma escada. Por
esta raza˜o, muitas vezes, chamamos [ ] de func¸a˜o escada.
x
y
1-3 Exerc´ıcio
Resposta
Esboce os gra´ficos das func¸o˜es abaixo, desta-
cando os pontos onde elas furam os eixos coor-
denados.
(a) y = 1
1−x , x 6= 1.
(b) f(x) =
{
x2, se x ≤ 0
x+ 1, se x > 0.
Uma famı´lia de func¸o˜es que desempenha papel de grande re-
levaˆncia no Ca´lculo e´ a das func¸o˜es trigonome´tricas que introduziremos
agora.
1.1 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Na figura ao lado, temos o c´ırculo unita´rio S1, cuja equac¸a˜o carte-
siana e´ x2 + y2 = 1 e, como sabemos, tem comprimento 2pi. As func¸o˜es
trigonome´tricas ba´sicas, a saber, o seno, indicada por sen e a func¸a˜o cos-
seno, cos, sera˜o definidas usando este c´ırculo. O domı´nio destas func¸o˜es
sera´ R. Vejamos suas construc¸o˜es.
Seja t ∈ R um nu´mero real do intervalo [0, 2pi], isto e´, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Agora constru´ımos, a partir do ponto A = (1, 0), um arco de compri-
mento t, trac¸ado no sentido anti-hora´rio, se t > 0 ou no sentido hora´rio,
Figura 12: C´ırculo Trigonme´trico
t < 0
O A = (1, 0) xcos t
sen t
t > 0
B
y
se t < 0. O arco termina no ponto B cujas coordenadas, por sua vez,
determinam o que chamaremos de cos t e sen t, como vemos na figura.
Portanto, a abscissa de B e´ o cos t e a ordenada de B e´ o sen t. Em
outras palavras, {
cos t = projec¸a˜o de OB no eixo-x,
sen t = projec¸a˜o de OB no eixo y,
o que pode ser reescrito como B = (cos t, sen t).
Note que cos t ≥ 0, para t ∈ [0, pi
2
] ∪ [3pi
2
, 2pi] e cos t < 0, para
t ∈ (pi
2
, 3pi
2
). Observe, tambe´m, que se t = pi/2, o arco correspondente a
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 7
t tem comprimento pi/2, que e´ um quarto do comprimento de S1. Logo,
B = (0, 1) e, portanto, cos pi
2
= 0 e sen pi
2
= 1. Discussa˜o semelhante
pode ser feita para o sen, obtendo sen t ≥ 0, para t ∈ [0, pi] e sen t < 0,
para t ∈ (pi, 2pi).
Agora, dado t ∈ R, t > 0, contamos quantas vezes 2pi cabe em
t, no caso t > 0, ou quantas vezes −2pi cabe em t, se t < 0, isto e´,
procuramos o inteiro m tal que t = 2mpi + t0, onde t0 ∈ [−2pi, 2pi]
e definimos cos t = cos t0 e sen t = sen t0. Conve´m observar que isto
equivale a pensar num corda˜o de comprimento t, prendeˆ-lo por uma
extremidade ao ponto A e enrola´-lo sobre S1, no sentido anti-hora´rio,
se t > 0 ou no sentido hora´rio, no caso em que t < 0. No final deste
processo a outra extremidade atingira´ o final do arco AB que mede t0.
t cos t sen t
0 1 0
pi
6
√
3
2
1
2
pi
3
1
2
√
3
2
pi
4
√
2
2
√
2
2
pi
2
0 1
pi −1 0
3pi
2
0 −1
2pi 1 0
√
2
2 B
′O xA = (1, 0)
45◦
√
2
2
t = pi4
B
y
A seguir, mostraremos como calcular o seno e o cosseno de pi/4 e
pi/6. Na figura acima, vemos desenhado o arco de comprimento pi/4, que
divide o primeiro quadrante do c´ırculo S1 em dois arcos de comprimento
pi/4. Portanto, o aˆngulo BOB′ deve medir 45◦. Donde conclu´ımos que o
triaˆngulo 4OB′B e´ retaˆngulo e iso´sceles, e seus catetos sa˜ocos t e sen t,
com cos t = sen t. Como a hipotenusa mede 1, segue-se que 2 cos2 t = 1
e, portanto,
cos
pi
4
= sen
pi
4
=
√
2/2.
Na figura a seguir, vemos desenhado o arco de comprimento pi/6,
que divide o primeiro quadrante do c´ırculo S1 em treˆs arcos de com-
primento pi/6. Portanto, o aˆngulo BOB′ deve medir 30◦. Donde con-
√
3
2
B′O A = (1, 0) x
30◦
1
2
t = pi6
B
y
clu´ımos que o triaˆngulo4OB′B e´ retaˆngulo e o aˆngulo OBB′ mede 60◦.
Logo, cos pi
6
e sen pi
6
sa˜o, respectivamente, a altura e a metade o lado de
um triaˆngulo equila´tero de aresta 1. Portanto,
cos
pi
6
=
√
3
2
e sen
pi
6
=
1
2
.
O leitor atento, agora, deve observar que, da mesma figura, decorre que
cos
pi
3
=
1
2
e sen
pi
3
=
√
3
2
.
A partir da definic¸a˜o, obtemos a seguinte identidade fundamental.
Proposic¸a˜o 1.9. Dado t ∈ R, enta˜o (cos t)2 + (sen t)2 = 1.
Demonstrac¸a˜o. De fato, temos que B = (cos t, sen t) e B ∈ S1, que
tem equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Logo, cos2 t+ sen2 t = 1.
Agora enunciamos algumas propriedades nota´veis das func¸o˜es sen
e cos.
Proposic¸a˜o 1.10. Dados s, t ∈ R e m ∈ Z, valem as seguintes propri-
edades.
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 8
(i) cos(−s) = cos s.
(ii) cos(s+ 2mpi) = cos s.
(iii) cos(s+ t) = cos s cos t− sen s sen t.
(iv) cos(s− t) = cos s cos t+ sen s sen t.
(v) cos 2s = cos2 s− sen2 s.
(vi) cos(pi
2
− s) = sen s.
(vii) sen(−s) = − sen s.
(viii) sen(s+ 2mpi) = sen s.
(ix) sen(pi
2
− s) = cos s.
(x) sen(s+ t) = sen s cos t+ sen t cos s.
(xi) sen(s− t) = sen s cos t− sen t cos s.
(xii) sen 2s = 2 sen s cos s.
Demonstrac¸a˜o. Comec¸amos observando que (i), (ii), (vii) e (viii)
seguem da definic¸a˜o de sen e cos. Vamos admitir por um instante
que (iii) e´ verdadeira, e veremos que, a partir dela obtemos todas as
outras. Com efeito,
cos(s− t) = cos(s+ (−t))
= cos s cos(−t)− sen s sen(−t)
= cos s cos t− sen s sen t,
onde usamos (i), (vii) e (iii). Portanto, temos (iv). Agora,
cos(2s) = cos(s+ s) = cos s cos s− sen s sen s = cos2 s− sen2 s,
o que da´ (v). Para (vi), usamos (iv) juntamente com cos(pi
2
) = 0 e
sen(pi
2
) = 1:
cos(
pi
2
− s) = cos(pi
2
) cos s+ sen(
pi
2
) sen s = sen s.
Para (ix), simplesmente escrevemos
cos s = cos((s− pi
2
) +
pi
2
)
= cos(s− pi
2
) cos(
pi
2
)− sen(s− pi
2
) sen(
pi
2
) = sen(
pi
2
− s).
Com o mesmo tipo de ide´ia, obtemos (x). As identidades (xi) e (xii),
sera˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Provaremos, agora, (iii).
A figura abaixo mostra os arcos s, t e −t, juntamente com os
pontos
A = (1, 0),
B = (cos s, sen s),
C = (cos(s+ t), sen(s+ t)),
D = (cos(−t), sen(−t)) = (cos t,− sen t).
D = (cos t,− sen t)
−t
O A = (1, 0)x
s
B = (cos t, sen t)
t
C = (cos(s + t), sen(s + t))
y
A distaˆncia de A a C, que indicamos por d(A,C), obtemos
d(A,C) =
√
(cos(s+ t)− 1)2 + sen2(s+ t)
=
√
2− 2 cos(s+ t).
Func¸o˜es e Gra´ficos (J. Adonai) - 9
Donde, (d(A,C))2 = 2− 2 cos(s+ t). Agora, a distaˆncia de B a D e´
d(B,D) =
√
(cos s− cos t)2 + (sen s+ sen t)2
=
√
2− 2 cos s cos t+ 2 sen s sen t.
Portanto, d(B,D)2 = 2 − 2 cos s cos t + 2 sen s sen t. De d(A,B) =
d(B,D), segue-se que
cos(s+ t) = cos s cos t− sen s sen t,
o que prova (iii) e termina a demonstrac¸a˜o.
Vejamos, agora, os gra´ficos do sen e do cos. Notamos que o sen
cresce no intervalo [0, pi
2
], onde seus valores variam de sen 0 = 0 ate´
sen pi
2
= 1. Enta˜o comec¸a a decrescer em [pi
2
, 3pi
2
], onde atinge 0 em pi e
comec¸a a atingir valores negativos no intervalo aberto (pi, 2pi). Final-
Figura 16-(a): y = senx Figura 16-(b): y = cosx
xx
y y
mente, atinge 0 em 2pi. Para fazer o esboc¸o total de y = senx, usa-
mos a propriedade sen(x + 2mpi) = senx, conhecida como periodici-
dade da func¸a˜o sen (tambe´m dizemos que sen tem per´ıodo 2pi), que
permite repetir o esboc¸o em [0, 2pi] nos intervalos da [2pi, 4pi], [4pi, 6pi],
[6pi, 8pi], [8pi, 10pi], . . .. O mesmo fato vale para os intervalos [−2pi,−4pi],
[−4pi,−6pi], [−6pi,−8pi], [−8pi,−10pi]. . . A propriedade cosx = sen(x+
pi
2
) mostra que a curva y = cosx pode ser obtida a partir de y = senx
por uma translac¸a˜o de −pi
2
ao longo do eixo OX. Conve´m observar que
a func¸a˜o cos tambe´m e´ perio´dica de per´ıodo 2pi.
1-4 Exerc´ıcio
Resposta
Verifique as seguintes identidades trigonome´tri-
cas.
(a) (cos x+ senx)2 = 1 + sen 2x.
(b) (cos x− senx)2 = 1− sen 2x.
(c) (cos x)4 − (senx)4 = cos 2x.
1-5 Exerc´ıcio
Resposta
Sabendo que
cos a+ sen a = 1 e cos b+ sen b = 0,
determine todos os valores poss´ıveis para a e b.
1-6 Exerc´ıcio
Resposta
Dado x ∈ (−pi
2
, pi
2
), definimos a tangente de x
por tg x = senx
cosx
e a secante de x por secx =
1
cosx
.
(a) Mostre que 1 + (tg x)2 = (secx)2.
(b) Se x ∈ (−pi
4
, pi
4
), mostre que tg 2x = 2 tg x
1−(tg x)2
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 10
Parte 1
Sugesto˜es & Respostas
1-1 Voltar
(a) E´ a reta que passa por P = (0, 1) e Q = (1, 2).
(b) E´ a reta que passa por P = (0, 0) e Q = (1,−1). Ela e´
perpendicular a` reta y = x.
(d) Deve ser considerado, apenas, o segmento da reta y = −2x+2
que se projeta sobre o intervalo [−2, 2] .
1-2 Voltar
(a) O domı´nio e´ o intervalo [1, 2]. Portanto, o gra´fico de f e´ o
arco da para´bola y = x2 que se projeta sobre este intervalo.
A imagem e´ o intervalo [1, 4] e a func¸a˜o e´ crescente.
1-3 Voltar
(a) Hipe´rbole. Fac¸a u = x− 1 e v = y − 1. Assim, v = 1/u. Por-
tanto, nos novos eixos, de coordenadas u e v, temos a mesma
hipe´rbole do exemplo 1.5 .
x
x− 1 u
y − 1
y v
(b) Observe que, em x = 0, f da´ um salto ao mudar da para´bola
para a reta.
1-4 Voltar
(a) Use (xii) da proposic¸a˜o 1.10 .
1-5 Voltar Use o exerc´ıcio 1-4 -(a) para concluir que sen 2a = 0.
Logo 2a = 2kpi, onde k ∈ Z.
1-6 Voltar
(a) Divida a relac¸a˜o fundamental (cos x)2+(senx)2 = 1 por (cosx)2.
(b) Use (v) e (xii) da proposic¸a˜o 1.10 .
UFAL – EAD – Ca´lculo 1
J. Adonai
Parte 2: Limite e Continuidade
Objetivos Espec´ıficos
• Estabelecer da Noc¸a˜o de Limite, a Partir de Exemplos •
• Visualizar o Limite no Gra´fico •
• Calcular de Limites •
Objetivo Geral
•• Estabelecer Condic¸o˜es para o Ca´lculo de um Limite Especial: a Derivada ••
Maceio´-2010
11
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 12
A noc¸a˜o de limite de func¸o˜es constitui a base do Ca´lculo Diferen-
cial. Neste parte, estudaremos este conceito, aproveitando, inicialmente,
o lado intuitivo e culminando com uma definic¸a˜o de limite mais elabo-
rada.
Ja´ que falamos em intuic¸a˜o, considere um objeto mo´vel que se
desloca, ao longo de uma reta, no sentido de um ponto P fixado a` sua
frente, distante, digamos 1.000 metros. Suponha que, por alguma raza˜o,
a cada segundo, contado a partir de agora, o objeto percorre a metade
da distaˆncia entre ele e o ponto P . Para ser mais claro, por exemplo,
no primeiro segundo ele percorre 500 metros, no segundo segundo ele
percorre 250 metros, no terceiro segundo ele percorre mais 125 metros,
1000 m
500 m
250 m
Pt = 2 st = 0 s t = 1 s
e assim sucessivamente. O leitor atento certamente ja´ deduziu que no
n-e´simo segundo, a distaˆncia entre o objeto e o ponto P e´ D = 1.000
2n
metros. Em que tempo o objeto mo´vel atingira´ o ponto P? A resposta
e´ simples: nunca! Sempre havera´ entre o objeto e P , pelo menos a
metade da distaˆncia entre eles, atingida no segundo anterior. Mais
formalmente, D = 1.000
2n
> 0, para todo valor de n. Entretanto, algo
nota´vel deve ser dito: qualquer ponto X 6= P situado entre o objeto
mo´vel e o ponto P sera´ deixado para tra´s pelo nosso objeto. Portanto,mesmo na˜o atingindo P , com o passar do tempo, o objeto estara´ cada
vez mais pro´ximo deste ponto. Em outras palavras, o limite do ponto
mo´vel e´ P .
Em se tratando de func¸o˜es reais, estaremos interessados em estu-
dar o comportamento de seus valores, quando estes se aproximam de
um certo valor limite, desde que sua varia´vel independente x esteja su-
ficientemente pro´xima de um nu´mero real a, mesmo que a func¸a˜o na˜o
esteja definida a´ı. Em outras palavras, iremos estudar o limite de uma
func¸a˜o f , que depende de x, quando x se aproxima de a.
A distaˆncia entre dois nu´meros reais e´ medida usando o valor
absoluto da diferenc¸a entre eles, isto e´, dados s, t ∈ R, a distaˆncia entre
eles e´ d(s, t) = |s−t|. Portanto, antes de estudarmo limite, e´ conveniente
estalecermos logo as propriedades ba´sicas do valor absoluto.
Proposic¸a˜o 2.1. Dados s, t, u ∈ R e � > 0, temos que
(i) |s| ≥ 0, e |s| = 0 se, e somente se, s = 0;
(ii) |st| = |s||t|;
(iii) |s+ t| ≤ |s|+ |t|;
(iv) ||s| − |t|| ≤ |s− t|;
(v) |s− t| < �⇔ t− � < s < t+ �⇔ s ∈ (t− �, t+ �), onde (t− �, t+ �)
e´ o intervalo aberto centrado em t de raio �;
(vi) d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t).
t
� �
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a prova de (iii), onde usaremos (ii).Temos
que
(s+ t)2 = s2 + 2st+ t2 ≤ s2 + 2|st|+ t2 = s2 + 2|s||t|+ t2.
Logo,
(s+ t)2 ≤ (|s|+ |t|)2.
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, a desigualdade
segue-se. Assim, fica provado (iii). Para (vi) observe que
d(s, t) = |s−t| = |(s−u)+(u−s)| ≤ |s−u|+ |u−s| = d(s, u)+d(u, t),
onde usamos (iii).
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 13
Exemplo 2.2. Vamos considerar a func¸a˜o f : R −→ R definida por
y = f(x) = 2x− 1.
Podemos obter valores de y ta˜o
pro´ximos de 3 quanto quisermos, bas-
tando para isso tomarmos valores de x
suficientemente pro´ximos de 2. Vamos
descobrir para que valores de x, perto
de 2, vale:
2, 9 < y < 3, 1.
Temos:
x
y
2, 9 < y < 3, 1⇒ 2, 9 < 2x− 1 < 3, 1⇒ 1, 95 < x < 2, 05.
Logo,
3− 0, 1 < y < 3 + 0, 1 para 2− 0, 05 < x < 2 + 0, 05,
ou seja,
−0, 1 < f(x)− 3 < 0, 1 quando − 0, 05 < x− 2 < 2 + 0, 05.
Usando o valor absoluto, isto e´ o mesmo que,
|f(x)− 3| < 0, 1 quando |x− 2| < 0, 05.
Portanto, a distaˆncia de f(x) a 3 fica menor do que 0, 1, se consideramos
os x que distam de 2 menos de 0.05. Agora vamos ver se e´ poss´ıvel
tornar os valores de f um pouco mais pro´ximos de 3. Vamos fazer suas
distaˆncias a 3 menores do que 0.001, isto e´, |(2x − 1) − 3| < 0.001, ou
2, 99 < 2x − 1 < 3, 01. Um ca´lculo simples mostra que isto e´ poss´ıvel,
se 2− 0, 005 < x < 2 + 0, 005, ou |x− 2| < 0, 005. Portanto,
|x− 2| < 0, 005⇒ |f(x)− 3| < 0, 01.
E´ claro que se x = 2, f(x) = 3, mas isto na˜o importa agora. O que
importa, isto sim, e´ que valores pro´ximos de 2 produzem para f valores
pro´ximos de 3. Generalizando os argumentos acima, imagine que quere-
mos fazer as distaˆncias dos valores de f(x) a 3 bem pequenas. Ja´ fizemos
menores do que 0.1 e 0.001, considerando x em um intervalo adequado.
Agora vamos fazeˆ-las menores que � > 0, uma distaˆcia arbitra´ria, que
imaginamos bem pequena. O problema e´ enta˜o: determinar um nu´mero
real δ > 0 tal que
|x− 2| < δ ⇒ |f(x)− 3| < �.
ou
2− δ < x < 2 + δ ⇒ 3− � < f(x) = 2x− 1 < 3 + �.
Partindo de
3− � < 2x− 1 < 3 + �,
deduzimos que
2− �/2 < x < 2 + �/2.
Podemos, portanto, escolher δ = �/2. De fato,
2− �/2 < x < 2 + �/2⇒ 4− � < 2x < 4 + �⇒ 3− � < f(x) < 3 + �.
Logo, para cada � > 0 dado, existe por exemplo δ =
�
2
de modo que:
2− δ < x < 2 + δ =⇒ 3− � < f(x) < 3 + �.
ou, usando o valor absoluto,
|x− 2| < δ =⇒ |f(x)− 3| < �.
Este resultado pode ser escrito assim: limx→2 f(x) = 3, o limite de f
quando x tende a 1 e´ 3.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 14
2-1 Exerc´ıcio
Resposta
Considere f como no exemplo anterior. Ache
δ > 0 de modo que
|x− 1| < δ =⇒ |f(x)− 1| < �.
Qual o limite de f quando x tende a 1?
Exemplo 2.3. Considere a func¸a˜o g definida em R − {2} por
g(x) =
(2x− 1)(x− 2)
x− 2 .
Como x−2
x−2 = 1, sempre que x 6= 2, vemos que g coincide com f , do
exemplo anterior, em seu domı´nio R − {2}. Portanto, seu limte em
x = 2 existe e deve ser 3, isto e´: limx→2 g(x) = 3.
x
y
Note, agora, que,
lim
x→0
g(x) = −1, lim
x→1
g(x) = 1, e lim
x→ 1
2
g(x) = 0.
E quando x se aproxima de 2, o que ocorre com os correspondentes
valores de f(x)? Quando x se aproxima de 2, ou por valores menores que
2 (pela esquerda) ou por valores maiores que 2 (pela direita), mantendo-
se diferente de 2, notamos que f(x) toma valores ta˜o pro´ximos de 3
quanto quisermos. Enta˜o, limx→2 f(x) = 3 embora na˜o exista f(2).
Exemplo 2.4. Consideremos h : R −→ R definida por
h(x) =
 (2x− 1)(x− 2)x− 2 , se x 6= 25, se x = 2
Note que a diferenc¸a entre h e g, do exemplo anterior, e´ que conhecemos
o valor de h em x = 2. Temos limx→2 h(x) = 3, mas h(2) = 5, e,
portanto, limx→2 h(x) 6= f(2).
x
y
Observando os exemplos anteriores, notamos que a frase “x tende
a a”, x → a, quer dizer: x se aproxima de a por valores maiores que
a ou por valores menores que a, mantendo-se diferente de a. Portanto,
quando calculamos limx→a f(x) na˜o precisamos considerar o valor que
f possa atingir em x = x0, caso este exista.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 15
2.1 Limite
Agora, vamos formalizar a noc¸a˜o de limite.
Definic¸a˜o 2.5. Dada a func¸a˜o f definida num intervalo I ⊂ R, ex-
ceto possivelmente, em a, dizemos que o limite de f(x) quando x tende
a a e´ L, e escreveremos
lim
x→a
f(x) = L,
se para cada nu´mero real � > 0 dado arbitrariamente, existe um
nu´mero δ > 0, que pode depender de �, tal que para x ∈ I com
(a− δ < x < a+ δ e x 6= a) =⇒ L− � < f(x) < L+ � .
Em outras palavras,
∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < �.
Conve´m observar que a definic¸a˜o de limite permite provar que
limx→a f(x) = L, mas na˜o indica como obter L. Ale´m disso, sa˜o grandes
as dificuldades que surgem ao aplica´-la para func¸o˜es um pouco mais
elaboradas. Veremos agora algumas propriedades que eliminam parte
dessas dificuldades.
Teorema 2.6. [Propriedades dos Limites] Consideremos duas fun-
c¸o˜es f, g : I −→ R tendo limite em um certo ponto a ∈ I, digamos
limx→a f(x) = L e limx→a g(x) = S. Enta˜o, valem os seguintes resulta-
dos:
(i) [Limite da soma] Quando x tende a a, a func¸a˜o soma de f
com g,f(x) + g(x), tende a L+ S, ou seja,
lim
x→a
(f(x) + g(x)) = L+ S,
isto e´, o limite da soma e´ a soma dos limites, desde que as
parcelas tenham limite.
(ii) [Limite do produto] Quando x tende a a, a func¸a˜o produto
de f por g, f(x)g(x) tende a LS, ou seja,
lim
x→a
(f(x)g(x)) = LS,
isto e´, o limite do produto e´ o produto dos limites, desde que os
fatores tenham limite.
(iii) [Limite do quociente] Quando x tende a a, se S 6= 0, a func¸a˜o
quociente de f por g f
g
tende a L
S
, ou seja,
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
S
,
isto e´, o limite do quociente e´ o quociente dos limites, desde que
o numerador e o denominador tenham limite, e este u´ltimo seja
na˜o-nulo.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a prova de (i). Seja � > 0. Temos que
existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− L| < �
2
,
e
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |g(x)− S| < �
2
.
(Note que aplicamos simplesmente a definic¸a˜o de limite para f e g,
obtendo δ1 e δ2, a partir de �/2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duas
implicac¸o˜es obtidas ocorrem simultaneamente, isto e´,
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < �
2
e |g(x)− S| < �
2
.
Logo, se x ∈ I, 0 < |x− a| < δ, enta˜o
|f(x) + g(x)− (L+ S)| ≤ |f(x)− L|+ |g(x)− S| < �
2
+
�
2
= �.
Isto significa que limx→a(f(x) + g(x)) = L+ S.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 16
Exemplo 2.7.
lim
x→−2
(3x) = lim
x→−2
3 · lim
x→−2
x= 3 · (−2) = −6.
Exemplo 2.8.
lim
x→2
x3 = lim
x→2
(x · x · x) =
(
lim
x→2
x
)
·
(
lim
x→2
x
)
·
(
lim
x→2
x
)
= 23 = 8.
Exemplo 2.9.
lim
x→1
(2x2 − 3x+ 3) = lim
x→1
2x2 + lim
x→1
(−3x) + lim
x→1
3 = 2 + (−3) + 3 = 2.
Exemplo 2.10. Se m e b sa˜o constantes quaisquer, enta˜o
lim
x→a
(mx+ b) = ma+ b.
Exemplo 2.11. Se f e´ dada pelo polinoˆmio
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0,
temos limx→a f(x) = f(a).
Exemplo 2.12. limx→5
x+ 1
x− 1 =
lim
x→5
(x+ 1)
lim
x→5
(x− 1) =
6
4
=
3
2
.
Exemplo 2.13.
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x+ 1)
(x− 1) = limx→1(x+ 1) = 2.
2-2 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule os seguintes limites.
(a) limx→0 x
2+x−1
x2+1
.
(b) limx→2 x
2−4
x−2 .
(c) limx→2 x
3−8
x−2 .
(d) limx→10 x
30−1030
x−10 .
(e) limx→a x
n−an
x−a , onde n ∈ N.
Exemplo 2.14. Dada
f(x) =
{
x2 − 1, se x < 1
x
2
, se x ≥ 1,
temos que
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(x2 − 1) = −1 e lim
x→2
f(x) = lim
x→0
x
2
= 1
Exemplo 2.15. Consideremos
f(x) =
{
x2 − 1, , se x < 1
x
2
, se x ≥ 1
Temos que:
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(x2 − 1) = −1 e lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x
2
= 1.
x
y
Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se apro-
xima de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se
aproxima de zero. Neste caso, dizemos que na˜o existe limx→1 f(x).
Entretanto, podemos falar nos limites laterais:
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 17
(i) limx→1+ f(x) = 12 , onde x→ 1+, e diremos que o limite a` direita
de f em x = 1 e´ 1/2;
(ii) limx→1− f(x) = 0, e diremos que o limite a` esquerda de f em
x = 1 e´ 0.
Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima
de 1/2 e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima
de zero, dizemos que na˜o existe limx→1 f(x).
2.2 Limites Laterais
Nesta sec¸a˜o, abordaremos as noc¸a˜o de limite lateral com um pouco
mais de rigor.
Definic¸a˜o 2.16. Seja f definida em um intervalo aberto (a, c), para
algum c > a. Diremos que L ∈ R e´ o limite a` direita de f em x = a,
o que sera´ denotado por, limx→a+ f(x) = L, se
∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ |f(x)− L| < �.
Definic¸a˜o 2.17. Seja f definida em um intervalo aberto (b, a), para
algum b < a. Diremos que L ∈ R e´ o limite a` esquerda de f em x = a,
o que sera´ denotado por, limx→a− f(x) = L, se
∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ |f(x)− L| < �.
Exemplo 2.18. Defina f(x) =
√
x− 4 que, claro, esta´ definida para
x ≥ 4. Temos que limx→4+ f(x) = 0. Entretanto, na˜o faz sentido se
falar no limite a` esquerda em a = 4, posto que f na˜o esta´ definida para
valores de x menores do que 4, e pro´ximos a 4. O gra´fico de f vem a
seguir.
x
y =
√
x− 4
y
Exemplo 2.19. Se
f(x) =

−1, se x > 0
0, se x = 0
1, se x < 0,
enta˜o limx→0− f(x) = −1, limx→0+ f(x) = 1. Em particular, observe
que f na˜o tem limite em a = 0.
x
y
O seguinte teorema relaciona as noc¸o˜es de limite e limites laterais,
e sua prova sera´ deixada como exerc´ıcio.
Teorema 2.20.
lim
x→a
f(x) = L⇔ lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = L.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 18
2.3 Limites Infinitos e no Infinito
Consideremos f(x) = 1
x
(x 6= 0), x 6= 0, cujo gra´fico mostramos
abaixo.
x
y
Observamos que a` medida que x cresce, atingindo cada vez mais valores
positivos, os valores de f se aproximam, e se manteˆm pro´ximos de zero.
Este fato sera´ indicado por
lim
x→+∞
f(x) = 0,
o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a mais infinito e´ zero.
Analogamente, a` medida que x decresce, assumindo valores negativos,
os valores de f se aproximam, e se manteˆm pro´ximos de zero. Este fato
sera´ indicado por
lim
x→−∞
f(x) = 0,
o que leremos: o limite de f(x) quando x tende a menos infinito e´ zero.
Ainda olhando para o gra´fico de f , agora para valores de x perto
de zero com x > 0, notamos que f atinge valores cada vez maiores.
Representaremos isto, escrevendo:
lim
x→0+
f(x) = +∞.
De modo ana´logo, podemos tambe´m escrever:
lim
x→0−
f(x) = −∞.
Vejamos agora outro exemplo. Vamos estudar
g(x) =
1
(x− 1)(x− 2)2 ,
que, claro, esta´ bem definida para x 6= 1 e x 6= 2. O seu gra´fico e´
y = 1(x−1)(x−2)
x
y
Observe que
(i) limx→+∞ g(x) = 0.
(ii) limx→−∞ g(x) = 0.
(iii) limx→1− g(x) = +∞.
(iv) limx→1+ g(x) = −∞.
(v) limx→2− g(x) = +∞.
(vi) limx→2+ g(x) = +∞.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 19
Os resultados em (v) e (vi) permitem escrever limx→2 g(x) = +∞, sig-
nificando que os limites laterais sa˜o infinitos e iguais a +∞.
Agora, formalizaremos as noc¸o˜es de limites infinitos.
Definic¸a˜o 2.21. Seja f definida em algum conjunto D contendo um
intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limite
a` direita de f em x = a e´ mais infinito, o que sera´ denotado por,
limx→a+ f(x) = +∞, se
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ f(x) > M.
Definic¸a˜o 2.22. Seja f definida em algum conjunto D contendo um
intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite a`
esquerda de f em x = a e´ mais infinito, o que sera´ denotado por,
limx→a+ f(x) = +∞, se
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ f(x) > M.
Definic¸a˜o 2.23. Seja f definida em algum conjunto D contendo um
intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Diremos que o limite a`
direita de f em x = a e´ menos infinito, o que sera´ denotado por,
limx→a+ f(x) = −∞, se
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ f(x) < −M.
Definic¸a˜o 2.24. Seja f definida em algum conjunto D contendo um
intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Diremos que o limite a`
esquerda de f em x = a e´ menos infinito, o que sera´ denotado por,
limx→a+ f(x) = +∞, se
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ f(x) < −M.
Definic¸a˜o 2.25. Dada a func¸a˜o f , definida num conjunto D con-
tendo intervalos (b, a) e (a, b) , para alguns b < a < c, dizemos que o
limite de f(x) quando x tende a a e´ +∞, e escreveremos
lim
x→a
f(x) = +∞,
se para cada nu´mero real M > 0 dado arbitrariamente, existe um
nu´mero δ > 0, que pode depender de M , tal que para x ∈ I com
a− δ < x < a+ δ e x 6= a =⇒ f(x) > M.
Em outras palavras
∀M > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x− a| < δ =⇒ f(x) > M.
Para os limites no infinito, no´s temos as definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 2.26. Dada a func¸a˜o f definida num conjunto D con-
tendo um intervalo do tipo [a,+∞) dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a +∞ e´ L, e escreveremos
lim
x→+∞
f(x) = L,
se para cada nu´mero real � > 0 dado arbitrariamente, existe um
nu´mero N > 0, que pode depender de �, tal que para x ∈ D com
N < x =⇒ L− � < f(x) < L+ � .
Em outras palavras
∀ � > 0, ∃N > 0 tal que x ∈ D e N < x =⇒ |f(x)− L| < �.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 20
Definic¸a˜o 2.27. Dada a func¸a˜o f definida num conjunto D con-
tendo um intervalo do tipo (−∞, a] dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a −∞ e´ L, e escreveremos
lim
x→−∞
f(x) = L,
se para cada nu´mero real � > 0 dado arbitrariamente, existe um
nu´mero N > 0, que pode depender de �, tal que para x ∈ D com
x < −N =⇒ L− � < f(x) < L+ � .
Em outras palavras
∀ � > 0, ∃N > 0 tal que x ∈ D e x < −N =⇒ |f(x)− L| < �.
Agora, convidamos o leitor para definir limx→±+∞ f(x) = ±∞.
Exemplo 2.28. Para a func¸a˜o f(x) =
{
1− x2, se x < 1
x, se x > 1
, temos
lim
x→−∞
f(x) = −∞ e lim
x→+∞
f(x) = +∞ .
x
y
2-3 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule os seguintes limites no infinito.
(a) limx→+∞ x
3+x−1
x2+1
.
(b) limx→+∞ x
2−4
2x2+2
.
(c) limx→+∞
p(x)
q(x)
, onde
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a0
e
q(x) = bnx
n + bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + · · ·+ b0
sa˜o dois polinoˆmios de grau n.
2.4 Func¸o˜esCont´ınuas
Comecemos examinando os dois gra´ficos abaixo. Inicialmente,
consideremos o gra´fico de
f(x) =
{
x3 − 1, se − 1 ≤ x ≤ 2
4x+ 1, se 2 < x ≤ 4
x
y
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 21
Agora vejamos o gra´fico de g(x) = x3 − 2.
x
y
Podemos observar que a curva y = f(x) da´ um “salto”em x = 2.
Em geral, se o gra´fico de uma func¸a˜o e´ uma curva que na˜o apresenta
“saltos” ou “furos”, como no caso da curva y = g(x), dizemos que a
func¸a˜o e´ cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio.
Definic¸a˜o 2.29. Uma func¸a˜o f : I −→ R definida no intervalo I e´
dita cont´ınua em x = a ∈ I, se existe limx→a f(x) e este limite coincide
com o valor da func¸a˜o em a, ou seja: limx→a f(x) = f(a). f e´ cont´ınua
em I, ou simplesmente cont´ınua, se ela e´ cont´ınua em todos pontos
de I.
Isto significa que f e´ cont´ınua num ponto a somente quando se
verificam as treˆs condic¸o˜es seguintes:
(i) Existe f(a).
(ii) Existe limx→a f(x).
(iii) limx→a f(x) = f(a).
Exemplo 2.30. Sa˜o cont´ınuas as seguintes func¸o˜es:
(i) f(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, x ∈ R.
(ii) g(x) = |x|, x ∈ R.
(iii) r(x) =
√
x, x ≥ 0.
(iv) h(x) = 2x, x ∈ R.
(v) l(x) = cos x, x ∈ R.
(vi) s(x) = sen x, x ∈ R.
Vejamos os gra´ficos de r e h.
x x
y =
√
x
y = 2x
y
y
Exemplo 2.31. A func¸a˜o f(x) = |x|
x
, x ∈ R∗, e´ cont´ınua. Entretanto,
se quisermos estendeˆ-la a todo R, deveremos defini-la em x = 0. A
nova func¸a˜o obtida assim nunca sera´ cont´ınua em x = 0. Por queˆ?
x
y
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 22
2-4 Exerc´ıcio
Resposta
Em cada caso, determine o valor da constante
a para que f seja uma func¸a˜o cont´ınua. Feito
isto, esboce o gra´fico de f .
(a) f(x) =
{
x2, se x ≤ 1
x+ a, se x > 1.
(b) f(x) =
{
senx, se x ≤ pi
2
pi
2
− x+ a, se x > pi
2
.
2.5 Operac¸o˜es com Func¸o˜es Cont´ınuas
Enunciaremos, agora, alguns resultados sobre as operac¸o˜es com
func¸o˜es cont´ınuas.
Teorema 2.32. Seja I ⊂ R, um intervalo. Se f, g : I −→ R sa˜o fun-
c¸o˜es cont´ınuas no ponto a ∈ I, enta˜o as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o cont´ınuas
em a.
(i) [Soma]
f + g : D −−−−−→ R
x −−−−−→ (f + g)(x) = f(x) + g(x);
(ii) [Produto]
fg : D −−−−−→ R
x −−−−−→ (fg)(x) = f(x)g(x);
(iii)
1
f
: D −−−−−→ R
x −−−−−→ 1
f
(x) =
1
f(x)
,
se f(x) 6= 0, para todo x ∈ I.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a prova de (i). Como f e g sa˜o cont´ınuas
em a, vem que limx→a f(x) = f(a) e limx→a g(x) = g(a). Usando o
item (i) do teorema 2.6, obtemos que
lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x) = f(a) + g(a) = (f + g)(a).
Logo, obtemos a continuidade de f + g em a.
Vejamos mais uma pec¸a u´til para a verificac¸a˜o da continuidade de
certas func¸o˜es, a partir do conhecimento da continuidade de outras.
Teorema 2.33. Considere f : I ⊂ R −→ R, g : J ⊂ R −→ R, com
f(I) ⊂ J , a ∈ I e b = f(a) ∈ J . Se f e´ cont´ınua em a e g e´ cont´ınua
em b, enta˜o g ◦ f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o. Seja � > 0. Como g e´ cont´ınua em b = f(a), existe
δ1 > 0 tal que
y ∈ E, ‖y − b‖ < δ1 =⇒ ‖g(y)− g(b)‖ < �.
Ja´ a continuidade de f em a produz δ > 0 tal que
x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖f(x)− f(a)‖ = ‖f(x)− b‖ < δ1.
Logo, se y = f(x), para x ∈ D e ‖x− a‖ < δ, vale
‖y − b‖ = ‖f(x)− f(a)‖ < δ1,
a qual implica que
‖g(y)− g(b)‖ = ‖g(f(x))− g(f(a))‖ = ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < �.
Em resumo, temos que
x ∈ D, ‖x− a‖ < δ =⇒ ‖(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)‖ < �,
isto e´, g ◦ f e´ cont´ınua em a.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 23
Exemplo 2.34. A func¸a˜o h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = 2cosx e´ con-
tinua porque e´ a composta de g(x) = 2x com f(x) = cosx que sa˜o
cont´ınuas. Em particular, limx→0 h(x) = 2. De fato,
lim
x→0
h(x) = h(0) = 2cos 0 = 2.
Tambe´m temos
lim
x→pi
2
h(x) = h(
pi
2
) = 2cos
pi
2 = 20 = 1.
2-5 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Em cada caso, ache D, o maior domı´nio de h e
justifique sua continuidade a´ı.
(a) h(x) =
√
x2 − 1.
(b) h(x) =
√
1− x2.
2.6 Limites Trigonome´tricos Fundamentais
Nesta sec¸a˜o, estudaremos dois limites especiais que desempenha-
ram papel importante nos cap´ıtulos seguintes.
Vamos considerar a func¸a˜o f(x) =
senx
x
, definida em R − {0}.
Na˜o chegaria a ser um problema o ca´lculo de limites como:
lim
x→pi
2
f(x) = lim
x→
pi
2
senx
x
=
1
pi
2
=
2
pi
,
lim
x→pi
f(x) = lim
x→pi
senx
x
= 0,
lim
x→pi
4
f(x) = lim
x→pi
4
senx
x
=
√
2
2
pi
4
=
2
√
2
pi
,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
senx
x
= sen 1,
posto que f e´ o quociente de func¸o˜es cont´ınuas, e, nos pontos onde os
limites foram avaliados,o denominador x na˜o se anula. Mas, e em x = 0,
senx
x
tem limite? Consideremos a seguinte a tabela.
x senx
senx
x
0, 10 0, 0998333 0, 99833
0, 09 0, 0898785 0, 99865
0, 08 0, 0799147 0, 99893
0, 07 0, 0699428 0, 99917
0, 06 0, 0599640 0, 99940
0, 05 0, 0499792 0, 99958
0, 04 0, 0399893 0, 99973
0, 03 0, 0299955 0, 99985
0, 02 0, 0199987 0, 99993
0, 01 0, 0099998 0, 99998
x
y = 1
x
y = sen x
x
y
E´ isso mesmo que ocorre, ou seja, temos o seguinte teorema.
Teorema 2.35.
lim
x→0
senx
x
= 1.
Limite e Continuidade (J. Adonai) - 24
Demonstrac¸a˜o. Na figura ao lado, vemos o arco x, seu seno e sua
tangente. Notamos inicialmente que para 0 < x <
pi
2
, temos
senx < x < tanx.
Dividindo por senx (senx > 0), obte-
mos
1 <
x
senx
<
1
cosx
.
Como limx→0 1 = 1 e
lim
x→0
1
cosx
= 1,
xsen x
tg x
conclu´ımos que
lim
x→0+
x
senx
= 1
e, portanto,
lim
x→0+
senx
x
= 1.
Para concluir, observe que para x < 0, temos
senx
x
= −sen−x
x
=
sen−x
−x .
Portanto, pondo u = −x,
lim
x→0−
senx
x
= lim
u→0+
senu
u
= 1,
o que prova o teorema.
Outro limite importante, e que pode ser obtido do limite anterior,
aparece no teorema abaixo.
Teorema 2.36.
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0.
Demonstrac¸a˜o. Comec¸amos observando que
cosx− 1
x
=
cos(x
2
+ x
2
)− 1
x
=
cos2(x
2
)− sen2(x
2
)− 1
x
= −2sen
2(x
2
)
x
= −sen
2(x
2
)
x
2
Logo, podemos escrever
cosx− 1
x
= − senusenu
u
,
onde u = x
2
. Portanto,
lim
x→0
cosx− 1
x
= − lim
u→0
senu
senu
u
= lim
u→0
senu lim
u→0
senu
u
= 0 · 1 = 0.
x
y = 1
x
y = cos x−1
x
y
2-6 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Use os resultados desta sec¸a˜o para verificar os
seguintes limites.
(a) limx→0
tg x
x
= 1.
(b) limx→0
(cosx−1) senx
x2
= 0.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 25
Parte 2
Sugesto˜es & Respostas
2-1 Voltar δ = �/2 e limx→2 f(x) = 1.
2-2 Voltar
(a) −1.
(b) 4. Use o fato que x2−4 = (x−2)(x+2), e que, para o ca´lculo
do limite, deve-se supor que x 6= 2.
(c) 12. Use o fato que x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4), e que, para
o ca´lculo do limite, deve-se supor que x 6= 2.
(d) 102930. Use o fato que x30 − 1030 = (x − 10)(x29 + x2810 +
x27102 + · · · + 1029), e que, para o ca´lculo do limite, deve-se
supor que x 6= 10.
(e) nan−1. Fatore xn − an.
2-3 Voltar
(a) +∞. Escreva x3+x−1
x2+1
= x
(
1+ 1
x2
− 1
x3
1+ 1
x2
)
e passe ao limite obser-
vando que limx→+∞ 1xk = 0, se k ∈ N.
(b) 1/2. Escreva x
2−2
2x2+1
=
(
1− 2
x2
2+ 1
x2
)
e passe ao limite observando
que limx→+∞ 1xk = 0, se k ∈ N.
(c) an
bn
. Ponha xn em evideˆncia no numerador e no denominador
de p(x)
q(x)
.
2-4 Voltar
(a) a = 0.
(b) a = 1.
2-5 Voltar
(a) Observe que D e´ determinado por x2 − 1 ≥ 0. Logo, D =
(−∞,−1]∪[1,−∞). h = g◦f , onde f(x) = x2−1 e g(x) = √x.
(b) D = [−1, 1]. h = g ◦ f , onde f(x) = 1− x2 e g(x) = √x.
2-6 Voltar
(a) Escreva tg x
x
= 1
cosxsenx
x
.
UFAL – EAD – Ca´lculo 1
J. Adonai
Parte 3: Derivadas
Objetivos Espec´ıficos
• Interpretar Reta Tangente a uma Curva como Limite se Retas Secantes •
• Introduzir Derivada de uma Func¸a˜o como Inclinac¸a˜o da Reta Tangente ao seu Gra´fico •
• Calcular Derivadas •
• Calcular Ma´ximo e Mı´nimo de Func¸o˜es Reais •
Objetivo Geral
• Identificar Func¸o˜es Deriva´veis •
Maceio´-2010
26
Derivadas (J. Adonai) - 27
A derivada e´ um conceito matema´tico, que teve origem nos pro-
blemas geome´tricos cla´ssicos de tangeˆncia, que se aplica sempre que
queremos medir a rapidez com que um certo fenoˆmeno acontece. Por-
tanto, ele e´ aplica´vel na F´ısica, quando queremos medir a velocidade
de um part´ıcula; na Biologia, quando queremos medir o crescimento de
uma determinada populac¸a˜o; na Qu´ımica, quando queremos medir a
velocidade numa reac¸a˜o qu´ımica; em Engenharia, quando queremos es-
tudar deformac¸o˜es; em Economia e Financ¸as, ela aparece como o custo
marginal.
Podemos motivar a construc¸a˜o da derivada, a partir da noc¸a˜o
intuitiva que temos de reta tangente a uma curva em um ponto. E´
exatamente isto que faremos. Dada uma curva γ e um ponto P nela,
a reta tangente em P e´ a reta que conte´m P sobre a qual a curva
tende a deitar-se. Claro que esta e´ uma forma carinhosa de se falar
da tangente. A formalizac¸a˜o desta reta pode ser feita assim: considere
um ponto mo´vel Q, ao longo de γ, aproximando-se cada vez mais de
P . Agora olhe para as retas secantes lQ, que passam por P e Q. Estas
retas, quando Q se aproxima de P , se aproximam do que chamamos reta
tangente a` curva γ em P . Portanto, so´ nos resta achar uma maneira
sa x
θ θQ
Pb
Q
t
Qγ
QQ
Q l
lQ
lQ
lQ
y lQ
lQ lQ
de obter o limite destas secantes. A estrate´gia sera´ usar as inclinac¸o˜es
(coeficientes angulares, declividades) das retas secantes. Se P = (a, b) e
Q = (s, t), a inclinac¸a˜o de lQ, que indicaremos por iQ, e´ a tangente do
aˆngulo θQ que ela faz com o eixo-x, isto e´,
iQ = tg θQ =
t− b
s− a.
Agora e´ so´ fazer Q caminhar para P , ou, equivalentemente, fazer s
tender para a e t tender para b, e esperar que o limite
lim
t→b
s→a
in = lim
t→b
s→a
tg θQ = lim
t→b
s→a
t− b
s− a
exista, caso no qual deve coincindir com a inclinac¸a˜o da tangente l, a
saber tg θ, onde θ e´ o aˆngulo que l faz com eixo-x.
Agora, vamos adaptar tudo isto ao caso em que γ e´ um gra´fico,
isto e´, uma curva y = f(x), para x variando em um intervalo I. Neste
s = a + ∆x xa
θ θQ
∆x
Pf(a)
γ : y = f(x)
f(a + ∆x)− f(a)
l
t = f(a + ∆x) Q
y lQ
caso, P = (a, b) = (a, f(a)) e o ponto mo´vel Q e´ dado por
Q = (s, t) = (a+ ∆x, f(a+ ∆x)),
onde ∆x, que chamaremos de acre´scimo, tende para zero, o que faz com
que Q tenda para P . Portanto, a declividade da reta tangente l, tg θ,
deve ser o limite, caso exista,
tg θ = lim
Q→P
tg θQ = lim
∆x→0
f(s)− f(a)
s− a = lim∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
. (E1)
Derivadas (J. Adonai) - 28
Vejamos alguns exemplos de retas tangentes.
Exemplo 3.1. Consideremos a para´bola y = x2, x ∈ R. Vamos obter
a reta tangente a esta curva no ponto P = (1, 1). Neste caso, a = 1 e
x
1 + ∆x
f(1 + ∆x) Q
l : y = 2x− 1
lQ
y
b = f(a) = 1. Logo, a inclinac¸a˜o da reta procurada e´ dada por
tg θ = lim
∆x→0
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
= lim
∆x→0
(1 + ∆x)2 − f(1)
∆x
= lim
∆x→0
2∆x+ (∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(2 + ∆x) = 2
e, portanto,
y − 1 = 2(x− 1), ou y = 2x− 1
e´ a equac¸a˜o da reta tangente procurada. Note que a inclinac¸a˜o 2 da
reta tangente em (1, 1) mostra que a func¸a˜o f(x) = x2 e´ crescente perto
de x = 1. Em outras palavras, f herda, para pontos pro´ximos de 1, a
propriedade de ser crescente de y = 2x− 1.
Mais geralmente, num ponto arbitra´rio da para´bola, P = (a, a2),
a inclinac¸a˜o da reta tangente a´ı, e´ dada por
lim
∆x→0
(a+ ∆x)2 − f(a)
∆x
= lim
∆x→0
2a∆x+ (∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
(2a+ ∆x) = 2a.
Isto implica que a reta tangente tem equac¸a˜o y − a2 = 2a(x− a).
3-1 Exerc´ıcio
Resposta
Considere f(x) = x3 + 1, x ∈ R. Esboce o
gra´fico de f , isto e´, a curva y = x3 + 1 e calcule
a sua reta tangente no ponto P = (−1, 0).
3.1 A Derivada
Bem, agora chegou o momento mais esperado: vamos definir deri-
vada de f(x) no ponto a. E´ simples. Ela e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente
a` curva y = f(x) no ponto (a, f(a)), isto e´, ela e´ o limite dado na
equac¸a˜o (E1) , pa´gina 27. Mais precisamente, temos a seguinte de-
finic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.2. Seja f : I −→ R uma func¸a˜o definida no intervalo I.
Seja a um ponto de I. A derivada de f em a, indicada por f ′(a), ou
dy
dx
(a), e´ definida por
f ′(a) =
dy
dx
(a) = lim
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
caso o limite exista. Quando a derivada de f em a existe, dizemos que
f e´ deriva´vel em a. Quando a derivada de f existe em todo ponto de I,
dizemos que f e´ deriva´vel em I, ou, simplesmente, que f e´ deriva´vel.
Observac¸a˜o 3.3. Na definic¸a˜o acima, se o ponto a e´ uma extremidade
de I, o limite e´ computado como o limite lateral que faz sentido. Por
exemplo, se I = [a, b] ou I = [a, b), enta˜o
f ′(a) =
dy
dx
(a) = lim
∆x→0+
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
= lim
x→a+
f(x)− f(a)
x− a ,
que em alguns textos e´ indicada por f ′(a+), e e´ chamada derivada a`
direita de f em a.
Derivadas (J. Adonai) - 29
Observac¸a˜o 3.4. Escrevendo ∆y = f(a + ∆x) − f(a), podemos es-
crever
f ′(a) =
dy
dx
(a) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
Observac¸a˜o 3.5. Devido a` sua importaˆncia dentro do Ca´lculo, o quo-
ciente usado na definic¸a˜o de derivada
∆y
∆x
=
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
=
f(x)− f(a)
x− a ,
definido para ∆x 6= 0 (ou para x 6= a), recebe um nome especial: quo-
ciente de Newton de f em torno de x = a.
Exemplo 3.6. Retomemos f(x) = x2, como no exemplo 3.1 . Naquele
exemplo vimos que
lim
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = 2a.
Portanto, f ′(a) = 2a, em qualquer a. Portanto, podemos dizer que
f(x) = x2 e´ uma func¸a˜o deriva´vel em R. Observe que, em particular,
f ′(1) = 2, f ′(−1) = −2, f ′(3) = 6, f ′(5) = 10 e f ′(√2) = 2√2.
Exemplo 3.7. Seja
y = f(x) = |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0,
cujo gra´fico, vemos ao lado. Como
vemos na figura, o ponto P = (0, 0)
da curva y = |x|, na˜o pode admitir
uma reta tangente bem definida. Isto
x
y
revela que a derivada de |x| na˜o existe em x = 0. De fato, o quociente
de Newton de |x| em torno de x = 0 e´ dado por
f(x)− f(0)
x− 0 =
|x|
x
=
{
1, se x > 0
−1, se x < 0.
Este quociente na˜o tem limite quando x tende a zero, porque o seu limite
a` direita e´ 1, e o seu limite a` esquerda e´ −1. Logo, a func¸a˜o y = |x|
x
na˜o tem derivada no ponto a = 0, como ja´ hav´ıamos previsto. Tudo se
passa como se tive´ssemos duas tangentes em (0, 0): uma pela direita, a
reta y = x, e a outra pela direita, a rteta y = −x. Entretanto, em todo
ponto x = a 6= 0, a derivada de y = |x| existe e e dada por
f ′(a) =
{
1, se a > 0
−1, se a < 0,
como o leitor pode verificar facilmente.
Observac¸a˜o 3.8. Se uma func¸a˜o admite derivada num ponto a, enta˜o
seu gra´fico admite uma reta tangente no ponto (a, f(a)) e, portanto,
deve ser “suave” pro´ximo desse ponto, Um gra´fico “anguloso” em um
ponto implica a na˜o existeˆncia da reta tangente e, portanto, da deri-
vada da func¸a˜o na abscissa do ponto correspondente. A existeˆncia da
reta tangente em um ponto da curva tambe´m mostra que a curva na˜o
pode ter salto a´ı: ela deve ser cont´ınua. Este e´ o conteu´do do pro´ximo
teorema.
Teorema 3.9. Se f : I −→ R tem derivada em x = a, enta˜o ela e´
cont´ınua a´ı.
Demonstrac¸a˜o. Temos que
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Mostremos, agora, que limx→a (f(x)− f(a)) = 0. Com efeito, def(x)− f(a) = f(x)− f(a)
x− a · (x− a)
vem que
lim
x→a
(f(x)− f(a)) = f ′(a) · 0 = 0,
como quer´ıamos.
Derivadas (J. Adonai) - 30
Observac¸a˜o 3.10. A rec´ıproca dessa proposic¸a˜o e´ falsa. No exem-
plo 3.7 , vimos que a func¸a˜o f(x) = |x| na˜o tem derivada em x = 0.
Entretanto, f e´ continua em todos os pontos.
3.2 A Func¸a˜o Derivada
Seja y = f(x) uma func¸a˜o definida num intervalo aberto I. Se
a derivada existe para todo x ∈ I, dizemos que f e´ deriva´vel em I, e
denotamos por f ′(x) e´ a func¸a˜o derivada da func¸a˜o f(x). Assim,
f ′ : I −−−−−→ R
x −−−−−→ y′ = f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
.
Exemplo 3.11. Seja a func¸a˜o f(x) = x2 , definida em R. Como vimos
no exemplo 3.6 , para cada a, f ′(a) = 2a. Logo, podemos escrever
f ′(x) = 2x que e´ a func¸a˜o derivada de f(x) = x2.
Exemplo 3.12. Seja a func¸a˜o f(x) = x3 , definida em R. Calculemos
a derivada de f(x) num ponto qualquer x. Temos
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
(x+ ∆x)3 − x3
∆x
= lim
∆x→0
x3 + 3x2∆x+ 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3
∆x
= lim
∆x→0
[3x2 + 3x∆x+ (∆x)2] = 3x2.
Portanto, f ′(x) = 3x2, x ∈ R, e´ a func¸a˜o derivada de f(x) = x3. Em
particular, se queremos obter a reta tangente da curva y = x3 no ponto
A = (2, 8), basta calcular f ′(2) = 3(2)2 = 12, e escrever
y = 8 + 12(x− 2) = 12x− 16,
que e´ a equac¸a˜o da reta procurada.
y = x3
x
y = 12x− 16
y
3.3 Regras de Derivac¸a˜o
Esta sec¸a˜o compora´ um teorema que estabelece as propriedades
operato´rias da derivada.
Teorema 3.13. [Operac¸o˜es com Derivadas] Se f, g : I ⊂ R −→ Rn
sa˜o func¸o˜es deriva´veis em x ∈ I, enta valem as seguintes propriedades:
(iv) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
(v) (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
(vi) (
f
g
)′(x) =
f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
(g(x))2
.
Demonstrac¸a˜o. Vejamos a prova de (i). Notemos, inicialmente, que
existem os limites
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
e
g′(x) = lim
∆x→0
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
.
Derivadas (J. Adonai) - 31
Logo,
lim
∆x→0
(f + g)(x+ ∆x)− (f + g)(x)
∆x
= lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
+
+ lim
∆x→0
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
= f ′(x) + g′(x).
Para (ii), escrevemos o quociente de Newton
(fg)(x+ ∆x)− (fg)(x)
∆x
=
f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x)
∆x
ao qual adicionamos e subtraimos f(x+ ∆x)g(x) e obtemos
(fg)(x+ ∆x)− (fg)(x)
∆x
=
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
g(x) +
+ f(x+ ∆x)
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
.
Portanto,
(fg)′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
g(x) +
+ lim
∆x→0
f(x+ ∆x)
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),
ja´ que lim∆x→0 f(x+∆x) = f(x) e lim∆x→0 g(x+∆x) = g(x), pois f e g
sa˜o cont´ınuas em x. Para finalizar, vejamos (iii). Vamos, inicialmente,
estudar a func¸a˜o 1
g
. Temos que
(1
g
)(x+ ∆x)− (1
g
)(x)
∆x
=
1
g(x+∆x)
− 1
g(x)
∆x
= − 1
g(x+ ∆x)
1
g(x)
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
.
Portanto,(
1
g
)′
(x) = − lim
∆x→0
1
g(x+ ∆x)
1
g(x)
g(x+ ∆x)− g(x)
∆x
= − g
′(x)
(g(x))2
.
A passagem para o caso geral segue-se agora de (ii). De fato,
(
f
g
)′
(x) =
(
f · 1
g
)′
(x) = f ′(x)
1
g(x)
+ f(x)
(
1
g
)′
(x)
=
f ′(x)
g(x)
− f(x) g
′(x)
(g(x))2
= (
f
g
)′(x) =
f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
(g(x))2
,
e esta´ conclu´ıdo o teorema.
3.4 Derivadas de Func¸o˜es Elementares
Inicialmente, veremos algumas identidades alge´bricas que sera˜o
u´teis nesta sec¸a˜o.
Lema 3.14. Sejam r, a, b ∈ R. Dado n ∈ N, valem:
(i) 1− rn = (1− r)(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1).
(ii) bn − an = (b− a)(bn−1 + bn−2a+ bn−1a2 + · · ·+ ban−2 + an−1).
(iii) n
√
b − n√a = b−a
( n
√
b)
n−1
+( n
√
b)
n−2 n√a+( n
√
b)
n−3
( n
√
b)
2
+···+( n√a)n−1
. Aqui,
estamos supondo a, b > 0.
Derivadas (J. Adonai) - 32
Demonstrac¸a˜o. Seja
Sn = 1 + r + r
2 + · · ·+ rn−1.
Logo,
rSn = r + r
2 + r3 + · · ·+ rn
e, portanto,
Sn − rSn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn−1 − r − r2 − r3 − · · · − rn = 1− rn.
Donde,
1− rn = (1− r)Sn = (1− r)(1 + r + r2 + · · ·+ rn−1),
o que prova (i). Para provar (ii), vamos supor b 6= 0, definir r = a/b
e usar (i). Assim
(1−
(a
b
)n
) = (1− a
b
)(1 +
a
b
+
(a
b
)2
+ · · ·+
(a
b
)n−1
).
Multiplicando ambos os membros por bn, segue-se (ii). Agora, usando (ii),
vem que
b− a =
(
n
√
b
)n
− ( n√a)n = ( n√b− n√a)(( n√b)n−1 +
+
(
n
√
b
)n−2
n
√
a · · ·+ ( n√a)n−1) ,
o que prova (iii) e termina o lema.
Proposic¸a˜o 3.15. [Derivada de uma func¸a˜o constante] Dado um
nu´mero real c, a func¸a˜o constante y = f(x) = c, x ∈ R, tem derivada
nula em todo x ∈ R.
Demonstrac¸a˜o. Temos que o numerador do quociente de Newton e´
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) = c− c = 0.
Logo,
∆y
∆x
= 0, e isto implica que
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
0 = 0,
como quer´ıamos.
Proposic¸a˜o 3.16. [Derivadas de xn e n
√
x]
(i) Se n ∈ N, enta˜o dxn
dx
= nxn−1, x ∈ R.
(ii) Se n ∈ N, enta˜o dx−n
dx
= −nx−n−1, x 6= 0.
(iii) d
n√x
dx
= 1
n( n
√
x)
n−1 ou, equivalentemente,
dx
1
n
dx
= 1
n
x
1
n
−1.
Demonstrac¸a˜o. Escrevendo f(x) = xn, temos que
f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)n − xn
= ∆x((x+ ∆x)n + (x+ ∆x)n−1x+ · · ·+ xn−1),
onde usamos o item (ii) do lema 3.14 . Logo,
∆y
∆x
= (x+ ∆x)n + (x+ ∆x)n−1x+ · · ·+ xn−1.
Da´ı vem que
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= nxn−1,
ou, dx
n
dx
= nxn−1, o que prova (i). Para (ii), notamos que x−n = 1
xn
.
Logo, usando o item (iii) do teorema 3.13 ,
dx−n
dx
=
d
(
1
xn
)
dx
= −nx
n−1
(xn)2
= −nxn−1x−2n = −nx−n−1.
Agora, escrevendo r(x) = n
√
x, tomando x > 0 e ∆x de modo que
x+ ∆x > 0, temos que, usando o item (iii) do lema 3.14 ,
Derivadas (J. Adonai) - 33
r(x+ ∆x)− r(x) = ∆x(
n
√
x + ∆x
)n−1 + ( n√x + ∆x)n−2 n√x + · · ·+ ( n√x)n−1
e, portanto,
r′(x) = lim
∆x→0
1(
n
√
x + ∆x
)n−1 + ( n√x + ∆x)n−2 n√x + · · ·+ ( n√x)n−1
=
1
n ( n
√
x)n−1
,
e esta´ terminada a proposic¸a˜o.
Observac¸a˜o 3.17. Quando n e´ um nu´mero ı´mpar, a func¸a˜o n
√
x esta´
definida, tambe´m, para x < 0: n
√
x = − n√−x. Portanto, a fo´rmula que
obtivemos na proposic¸a˜o anterior funciona para x < 0, tambe´m, isto e´:
se n e´ ı´mpar e x 6= 0, enta˜o d n
√
x
dx
= 1
n( n
√
x)
n−1 .
Observac¸a˜o 3.18. Os itens (i), (ii) e (iii) da proposic¸a˜o 3.16 mos-
tram que para derivar uma poteˆncia de x, basta “baixar” esta poteˆncia
e substitu´ı-la por ela menos um: dx
r
dx
= rxr−1, onde r e´ um inteiro ou
uma frac¸a˜o do tipo 1/n. Veremos oportunamente que esta regra se es-
tende para qualquer poteˆncia racional (proposic¸a˜o 3.30 ), ou mesmo
irracional.
Exemplo 3.19.
(i) f(x) = 7 =⇒ f ′(x) = 0.
(ii) f(x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2x.
(iii) f(x) = x5 =⇒ f ′(x) = 5x4.
(iv) f(x) = 4
√
x =⇒ f ′(x) = dx
1
4
dx
= 1
4
x
1
4
−1 = 1
4
x−
3
4 = 1
4
1
x
3
4
= 1
4
1
( 4
√
x)
3 .
(v) f(x) = x5 + 2x2 − x+ 7 =⇒ f ′(x) = 5x4 + 2x− 1.
(vi) f(x) = x−4 =⇒ f ′(x) = −4x−4−1 = 4x−5.
3-2 Exerc´ıcio
Resposta
Calcular derivada de y = 3
√
x em x = 8. Ache,
tambe´m, a reta tangente da curva em (8, 2).
Fac¸a figuras.
3-3 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Considere y = f(x) = 2x3 + 5x2 − 4x+ 4.
(a) Calcule f ′(0) e f ′(2).
(b) Determine a onde a reta tangente de y = f(x) em (a, f(a)) e´
paralela ao eixo-x.
Proposic¸a˜o 3.20. [Derivada da func¸a˜o e seno] d senx
dx
= cosx.
Demonstrac¸a˜o. Seja y = f(x) = sen x. Temos que
f(x+ ∆x)− f(x) = sen(x+ ∆x)− senx
= senx cos ∆x+ sen ∆x cosx− senx
= senx(cos(∆x)− 1) + sen(∆x) cos(x).
Logo,
∆y
∆x
=
senx(cos ∆x− 1) + sen ∆x cosx
∆x
= senx
cos ∆x− 1
∆x
+
sen ∆x
∆x
cosx.
Como
lim
∆x→0
sen ∆x
∆x
= 1 e lim
∆x→0
cos ∆x− 1
∆x= 0
(veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= cosx.
Derivadas (J. Adonai) - 34
3-4 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
Mostre que d cosx
dx
= − senx.
3.5 A Regra da Cadeia
Na sec¸a˜o 3.3 , estudamos as derivadas de uma soma de um pro-
duto de func¸o˜es deriva´veis. Agora estudaremos a derivada de mais uma
operac¸a˜o com o func¸o˜es, a saber, a composic¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.21. [Func¸a˜o Composta] Consideremos duas func¸o˜es
f : A −→ B e g : C −→ D tais que a imagem da primeira, f(A), es-
teja contida no domı´nio da segunda, isto e´, f(A) ⊂ C. Neste caso,
podemos calcular g(f(x)), para todo x ∈ A. Isto da´ origem a uma nova
func¸a˜o, com o mesmo domı´nio de f , e o mesmo contra-domı´nio de g,
que chamaremos de composta de g com f , que indicaremos por g ◦ f , e
que funciona assim:
g ◦ f : A −−−−−→ D
x −−−−−→ (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Exemplo 3.22. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x+ 1, enta˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+ 1) = sen(3x+ 1).
Como obter a derivada de g ◦ f?
A questa˜o rece´m-formulada no exemplo 3.22 sera´ respondida
pelo teorema abaixo.
Teorema 3.23. [Regra da Cadeia] Dada as func¸o˜es f : I ⊂ R −→ R
e g : J ⊂ R −→ R com f(I) ⊂ J , considere a ∈ I e b = f(a) ∈ J . Se
f e´ deriva´vel em a e g e´ deriva´vel em b, enta˜o g ◦ f e´ deriva´vel em a e
vale (g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).
I
R
f
-
f ′(a)
-
g
-
g′(b)
-
J
R
R
R
?
a - b 6
g ◦ f
(g ◦ f)′(a) = g′(b)f ′(a)
Demonstrac¸a˜o. Vamos, inicialmente, supor que existe δ > 0 tal que
f(a+ ∆x)− f(a) 6= 0,
sempre que |∆x| < δ. Agora, notando que
f(a+ ∆x) = f(a) + ∆y = b+ ∆y,
onde ∆y 6= 0,sempre que |∆x| < δ e, como f e´ cont´ınua em a, ∆y → 0,
quando ∆x→ 0. Neste caso, podemos escrever
(g ◦ f)(a + ∆x)− (g ◦ f)(a)
∆x
=
g(f(a + ∆x))− g(f(a))
∆x
=
g(f(a + ∆x))− g(f(a))
f(a + ∆x)− f(a)
f(a + ∆x)− f(a)
∆x
=
g(b + ∆y)− g(b)
∆y
f(a + ∆x)− f(a)
∆x
.
Logo,
(g ◦ f)′(a) = lim
∆x→0
(g ◦ f)(a + ∆x)− (g ◦ f)(a)
∆x
= lim
∆y→0
g(b + ∆y)− g(b)
∆y
lim
∆x→0
f(a + ∆x)− f(a)
∆x
= g
′
(b)f
′
(a).
Derivadas (J. Adonai) - 35
Portanto,
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a) = g′(b)f ′(a).
O caso onde f(a+∆x)−f(a) sempre se anula em toda proximidade de
a, e´ tratado assim. Sejam (∆x)1, (∆x)2, . . . (∆x)n, . . . uma sequ¨eˆncia
de nu´meros reais que tendem a zero e tal que f(a+(∆x)n)−f(a) = 0.
Usando esta sequ¨eˆncia, devemos ter
f(a+ (∆x)n)− f(a)
(∆x)n
→ f ′(a),
porque lim∆x→0
f(a+∆x)−f(a)
∆x
= f
′
(a). Mas f(a + (∆x)n) − f(a) = 0.
Logo, f
′
(a) = 0. Ao longo desta sequ¨eˆncia, tambe´m temos que
(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)
(∆x)n
=
g(f(a+ (∆x)n)− g(f(a))
(∆x)n
= 0.
Logo,
(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)
(∆x)n
→ 0.
Ficamos, enta˜o diante do seguinte quadro:
(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)
(∆x)n
→ g′(b)f ′(a) = g′(b)0 = 0,
se, ao longo da sequeˆncia (∆x)n, f(a+ (∆x)n)− f(a) 6= 0 e
(g ◦ f)(a+ (∆x)n)− (g ◦ f)(a)
(∆x)n
→ 0,
se ao longo da sequeˆncia (∆x)n, f(a + (∆x)n) − f(a) = 0. Portanto,
podemos afirmar que
lim
∆x→0
(g ◦ f)(a+ ∆x)− (g ◦ f)(a)
∆x
= 0 = g
′
(b)f
′
(a),
o que termina o teorema.
Observac¸a˜o 3.24. A segunda parte da demonstrac¸a˜o acima pode ser
omitida numa primeira leitura.
Observac¸a˜o 3.25. Fixando atenc¸a˜o no teorema acima, vamos colocar
y = f(x), notac¸a˜o que permite escrever f ′(a) = dy
dx
(a). Analogamente,
se indicamos por z a func¸a˜o g(y), isto e´ z = g(y), escrevemos g′(b) =
dz
dy
(b). Note agora que como o contra-domı´nio da composta g ◦ f e´ o
mesmo de g somos obrigados a indicar, tambe´m, com z os seus valores,
isto e´, z = (g ◦ f)(x). Isto posto, temos (g ◦ f)′(a) = dz
dx
(a). Com estas
notac¸o˜es a regra da cadeia fica:
dz
dx
(a) =
dz
dy
(b)
dy
dx
(a),
ou, mais simplesmente,
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
,
a qual e´ chamada forma cla´ssica da regra da cadeia, e que pode ser
olhada (so´ olhada!) como um produto de “frac¸o˜es”, onde simplificamos
o dy. Note que isto ajuda a memorizar o teorema, ale´m de justificar
o seu nome: regra da cadeia, cadeia de frac¸o˜es. Vejamos o caso que
temos treˆs func¸o˜es deriva´veis, f : I −→ J , g : J −→ L e h : L −→ R e
queremos derivar a composta F : I −→ R, que e´ definida por
F (t) = (h ◦ g ◦ f)(t) = h(g(f(t))),
num ponto t ∈ I. A regra da cadeia, aplicada duas vezes, da´ que
F ′(t) = h′(g(f(t)))(g ◦ f)′(t) = h′(g(f(t)))g′(f(t))f ′(t). (E2)
Sob a forma cla´ssica, nomeamos treˆs varia´veis: x = f(t) ∈ J , y =
g(x) ∈ L e z = h(y). Portanto, z = F (t). O que queremos e´ calcular
F ′(t) = dz
dt
. Apelando para o “produto de frac¸o˜es” temos
dz
dt
=
dz
dy
dy
dx
dx
dt
,
onde dz
dy
e´ calculada em y = g(x), dy
dx
e´ calculada em x = f(t), e dx
dt
e´ calculada em t. Note que (∗∗), traduzida com cuidado, reproduz a
equac¸a˜o (E2) .
Derivadas (J. Adonai) - 36
Exemplo 3.26. Considere h(x) = (x5 + 1)50. Vamos calcular h′(1).
Uma soluc¸a˜o, bem trabalhosa, seria expandir h, obtendo um polinoˆmio
de grau 250, e depois calcular sua derivada. Na˜o faremos assim: usare-
mos a regra da cadeia. Para isto sejam
y = f(x) = x5 + 1 e z = g(y) = y50.
Logo, o que queremos devemos calcular dz
dx
(1). Para x = 1, obtemos
y = f(1) = 2, Agora, a regra da cadeia da´:
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
= 50y495x4.
Portanto,
dz
dx
(1) = 50 · 249 · 5 · 14 = 250 · 249.
Mais geralmente, h′(x) = 250(x5 +1)49x4, como o leitor pode facilmente
verificar.
Retomemos, agora, o exemplo 3.22 .
Exemplo 3.27. Seja g(y) = sen(y) e f(x) = 3x+ 1, enta˜o
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x+ 1) = sen(3x+ 1).
A derivada de g ◦ f em um ponto x e´ dada por
(g ◦ f)′(x) = sen′(3x+ 1)(3x+ 1)′ = 3 cos(3x+ 1).
Podemos reobter (veja o exerc´ıcio 3-4 ) a derivada do cosseno a
partir da derivada do seno junto com a regra da cadeia.
Proposic¸a˜o 3.28. [Derivada da func¸a˜o cosseno] d cosx
dx
= − senx.
Demonstrac¸a˜o. Seja f(x) = cosx. Temos que f(x) = sen(x + pi
2
).
Logo, usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ), temos que
f ′(x) = sen′(x+
pi
2
)(x+
pi
2
)′ = cos(x+
pi
2
) = − senx.
Exemplo 3.29.
(i) Se f(x) = x2 senx, enta˜o f ′(x) = 2x senx+ x2 cosx.
(ii) Se f(x) = tg(x) = senx
cosx
, enta˜o
f ′(x) =
cosx cosx− senx (− senx)
cos2 x
=
1
cosx
1
cosx
= sec2 x.
3-5 Exerc´ıcio
Resposta
Use a regra da cadeia para calcular a derivada
das seguintes func¸o˜es.
(a) h(t) = (1− t2)250.
(b) h(t) = tg(1 + t2).
(c) h(x) = sen(cos(x2)).
Agora podemos estender, para uma poteˆncia racional qualquer, a
regra de derivac¸a˜o de uma poteˆncia de x, conforme observac¸a˜o 3.18 .
Proposic¸a˜o 3.30. Se r ∈ Q, e y = xr, x > 0, enta˜o
dy
dx
=
dx
dx
r
= rxr−1.
Demonstrac¸a˜o. Considere r = p
q
> 0, p, q ∈ Z, q 6= 0, e escreva
h(x) = xr. Temos que
h(x) = (xp)
1
q = (x
1
q )p.
Logo, h = g ◦ f , onde g(y) = y 1q , y > 0 e f(x) = xp, x > 0. E´ claro
que g e f sa˜o deriva´veis. Usando a regra da cadeia (teorema 3.23 ),
vem que h e´ deriva´vel e
h′(x) = g′(f(x))f ′(x) =
1
q
(xp)
1
q
−1pxp−1 =
p
q
x
p
q
−1.
Derivadas (J. Adonai) - 37
3-6 Exerc´ıcio
Soluc¸a˜o
Derive as seguintes poteˆncias.
(a) f(x) = (
√
x)3.
(b) f(t) = tg(1 + t
3
2 ).
3-7 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Demonstre a proposic¸a˜o anterior para o caso
r < 0.
3.6 Derivadas de Ordem Superior
Seja f : I −→ R uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo I, e seja I1 o
conjunto dos pontos de I onde f e´ deriva´vel. Em I1, ja´ definimos a
func¸a˜o f ′, chamada derivada de f , ou primeira derivada de f . Seja,
agora, I2 o conjunto dos pontos de I1 em que f
′ e´ deriva´vel. Definimos,
enta˜o, em I2, a func¸a˜o derivada de f
′, que chamaremos de segunda
derivada de f , e representaremos por f ′′, ou pord
2y
dx2
, no caso em que
estamos usando y = f(x). Assim: f ′′(x) = (f ′)′(x).
Func¸a˜o 1a derivada 2a derivada
f : I −−−−−→ R
x −−−−−→ f(x)
f ′ : I1 −−−−−→ R
x −−−−−→ f ′(x)
f ′′ : I2 −−−−−→ R
x −−−−−→ f ′′(x)
Procedendo de modo ana´logo, teremos, enta˜o, a terceira, a quarta,
a quinta derivadas, etc. de f. A derivada de ordem n de f sera´ indicada
por f (n), ou por d
ny
dxn
. Temos, portanto, que
f (n)(x) =
(
f (n−1)
)′
(x),
definida, claro, onde a derivada de ordem n− 1 for deriva´vel.
Exemplo 3.31. Se f(x) = 5x3 − 2x2 − 1, enta˜o f ′(x) = 15x2 − 4x,
f ′′(x) = 30x− 4, f ′′′(x) = 30 e f (n)(x) = 0 se n ≥ 4.
Exemplo 3.32. Se y = p(x) e´ um polinoˆmio de grau m, enta˜o d
ny
dxn
= 0,
para n > m e d
my
dxm
= m!.
Exemplo 3.33. Se y = senx, enta˜o d
2y
dx2
= − senx = −y. Tambe´m, se
z = cosx, enta˜o d
2z
dx2
= − cosx = −z. Logo, as func¸o˜es sen x e cosx sa˜o
soluc¸o˜es da equac¸a˜o d
2y
dx2
+ y = 0. (Uma equac¸a˜o que envolve func¸o˜es e
suas derivadas e´ chamada de equac¸a˜o diferencial.)
3-8 Exerc´ıcio
Resposta
Calcule a segunda derivada das seguintes fun-
c¸o˜es.
(a) h(t) = (1− t2)250.
(b) h(t) = tg(1 + t2).
(c) h(x) = sen(cos(x2)).
3.7 Derivac¸a˜o Impl´ıcita
As func¸o˜es que estudamos ate´ aqui foram descritas expressando-se
uma varia´ve, a dependente, explicitamente em termos de outra, a inde-
pendente. Neste caso, dizemos que a func¸a˜o e´ definida explicitamente.
Por exemplo,
y =
√
x3 + 1 ou y = x senx
ou, em geral, y = f(x). Algumas func¸o˜es, entretanto, sa˜o definidas
implicitamente por uma relac¸a˜o envolvendo x e y, tal como
x2 + y2 = 25 (E3)
ou mesmo
x3 + y3 = 6xy. (E4)
Em alguns casos e´ poss´ıvel resolver uma equac¸a˜o para y como uma
func¸a˜o explicita (ou va´rias func¸o˜es) de x. Por exemplo, se resolvermos
Derivadas (J. Adonai) - 38
a equac¸a˜o ( (E3) ) para y, poderemos explicitar y como func¸a˜o de x de
duas formas:
y = f(x) =
√
25− x2, x ∈ [−5, 5],
ou
y = g(x) = −
√
25− x2, x ∈ [−5, 5].
Portanto, f g sa˜o func¸o˜es definidas implicitamente pela equac¸a˜o ( (E3) ).
Os gra´ficos de f e g sa˜o os semic´ırculos superior e inferior do c´ırculo
x2 + y2 = 25.
y = g(x) =
√
5− x2x2 + y2 = 25 y = g(x) = −
√
5− x2
xx x
−5 5
−5 5
5
y = f(x)
y y y
Felizmente na˜o precisamos resolver uma equac¸a˜o para y em ter-
mos de x para encontrar a derivada de y. Em vez disso, podemos usar o
me´todo de diferenciac¸a˜o impl´ıcita, o qual consiste em diferenciar ambos
os lados da equac¸a˜o em relac¸a˜o a x, admitindo que y e´ uma func¸a˜o de-
riva´vel de x, e a seguir resolver a equac¸a˜o resultante para y
′
. O teorema
da func¸a˜o impl´ıcita, estudado em cursos mais avanc¸ados, garante, medi-
ante certas condic¸o˜es sobre a equac¸a˜o, a existeˆncia da func¸a˜o impl´ıcita
e de sua derivabilidade. Nos exemplos e exerc´ıcios desta sec¸a˜o admi-
tiremos sempre que a equac¸a˜o dada determina y implicitamente como
uma func¸a˜o deriva´vel de x, de forma tal que o me´todo da diferenciac¸a˜o
impl´ıcita possa ser aplicado.
Exemplo 3.34. Se x2 +y2 = 25, vamos calcular dy
dx
no ponto (3, 4) e, a
partir da´ı, determinar a reta tangente ao c´ırculo x2 + y2 = 25 no ponto
(3, 4). Temos, diferenciando ambos os lados da equac¸a˜o x2 + y2 = 25, e
admitindo y como func¸a˜o de x, que
d
dx
x2 +
d
dx
y2 =
d
dx
25 = 0
Lembrando que y e´ uma func¸a˜o de x e usando a regra da cadeia, ou a
regra da derivac¸a˜o de um produto, temos
d
dx
y2 = 2y
dy
dx
.
Assim, 2x + 2y dy
dx
= 0 e, portanto, dy
dx
= −x
y
. No ponto (3, 4), temos
x = 3 e y = 4. Logo, dy
dx
= −3
4
. A reta tangente ao c´ırculo em (3, 4) e´
portanto:
y − 4 = −3
4
(x− 3) ou 3x+ 4y = 25.
Exemplo 3.35. Se x3 + y3− 6xy = 0, vamos encontrar dy
dx
para x = 3,
supondo que y e´ func¸a˜o de x e que vale 3 em x = 3. Depois, va-
mos encontrar a reta tangente ao fo´lio de Descartes x3 + y3 − 6xy = 0
Figura 41: Fo´lio de Descartes x3 + y3 = 6xy
−2
3−2 x
3
y
x + y = 6
no ponto (3, 3). Derivando ambos os membros de x3 + y3− 6xy = 0 em
relac¸a˜o a x, obtemos
3x2 + 3y2
dy
dx
− 6y − 6xdy
dx
ou x2 + y2
dy
dx
− 2y − 2xdy
dx
.
Sugesto˜es & Respostas 39
Donde,
dy
dx
=
2y − x2
y2 − 2x
Para x = 3 e y = 3, temos
dy
dx
=
2 · 3− 32
32 − 2 · 3 = −1
e uma observac¸a˜o da figura 41 confirma que este e´ um valor razoa´vel
pra a inclinac¸a˜o em (3, 3). Logo, uma equac¸a˜o da tangente ao fo´lio de
Descartes em (3, 3) e´
y − 3 = −1 (x− 3) ou x+ y = 6.
3-9 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Se xy3 + y2x5 + xy + x2 + y2 − x + sen y = 0
define y = f(x) com f(0) = 0, calcule f ′(0) e
f ′′(0).
3-10 Exerc´ıcio
Sugesta˜o
Considere o fo´lio de Descartes
x3 + y3 − 6xy = 0,
que estudamos no exemplo 3.35 .
(a) Mostre que o ponto P = (3,
3 (−1−
√
5)
2
) e´ um ponto do fo´lio.
(b) Suponha que x3 + y3 − 6xy = 0 define implicitamente y como
func¸a˜o de x em torno do ponto P . Calcule dy
dx
para x = 3 e
y =
3 (−1−
√
5)
2
.
(c) Qual a inclinac¸a˜o da reta tangente ao fo´lio de Descartes em P?
Parte 3
Sugesto˜es & Respostas
3-1 Voltar A inclinac¸a˜o da reta e´
lim
∆x→0
(−1 + ∆x)3 − f(−1)
∆x
= lim
∆x→0
3∆x− 3(∆x)2 + (∆x)3
∆x
= lim
∆x→0
(3− 3∆x+ ∆x)2) = 3.
Logo, a reta procurada e´ y = 3x+ 3.
3-2 Voltar A derivada e´ dy
dx
= 1
3( 3
√
x)
2 . Em particular,
dy
dx
(8) = 1
12
.
Logo, a reta procurada e´ y − 8 = 1
12
(x− 2).
3-3 Voltar
(a) f ′(0) = −4 e f ′(2) = 40.
(b) A inclinac¸a˜o da reta deve ser nula. Logo, f ′(a) = 0 e, por-
tanto, a = −2 ou a = 1/3.
3-4 Voltar
∆y
∆x
=
cosx(cos ∆x− 1)− senx sen ∆x
∆x
= cosx
cos ∆x− 1
∆x
−senxsen ∆x
∆x
.
Como
lim
∆x→0
sen ∆x
∆x
= 1 e lim
∆x→0
cos ∆x− 1
∆x
= 0
(veja os teoremas 2.35 e 2.36 ), segue-se que
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
= − senx.
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 40
3-5 Voltar
(a) h′(t) = −500t(1− t2)249.
(b) h′(t) = 2t sec2(1 + t2).
(c) h′(x) = −2x sen(x2) cos(cos(x2)).
3-6 Voltar
(a) Temos que f(x) = x
3
2 . Logo, f ′(x) = 3
2
x
3
2
−1 = 3
2
x
1
2 = 3
2
√
x.
(b) Usando a regra da cadeia,
f ′(t) = tg′(1 + t
3
2 )(1 + t
3
2 )′ =
3
√
t
(
sec(1 + t
3
2 )
)2
2
.
3-7 Voltar Se r < 0, escreva y = xr = 1
x−r e agora derive usando a
regra de derivac¸a˜o para um quociente junto como o caso r > 0, ja´
provado.
3-8 Voltar
(a) h′′(t) = 249000 t2 (1− t2)248 − 500 (1− t2)249.
(b) h′′(t) = 2 sec(1 + t2)2 + 8 t2 sec(1 + t2)2 tg(1 + t2).
(c) h′′(x) = −4x2 cos(x2) cos(cos(x2))− 2 cos(cos(x2)) sen(x2)−
4x2 sen(x2)
2
sen(cos(x2)).
3-9 Voltar Derivando os dois membros da equac¸a˜o, obtemos
−1 + 2x+ dy
dx
x+y+ 2
dy
dx
y+ 2
dy
dx
x5 y+ 3
dy
dx
x y2 + 5x4 y2 +y3 +
dy
dx
cos y = 0.
(E5)
Substituindo x = 0 e y = 0, vem que dy
dx
(0) = f ′(0) = 1. Para
calcular a segunda derivada, derive (E5) , fac¸a x = 0, y = 0 e
y′ = 1 e obtenha f ′′(0) = −6.
3-10 Voltar
(a) Se x = 3 e y =
3 (−1−
√
5)
2
, verifique que x3 + y3 − 6xy = 0.
(b) dy
dx
= 5−7
√
5
10
.
(c) A inclinac¸a˜o e´ 5−7
√
5
10
.
UFAL – EAD – Ca´lculo 1
J. Adonai
Parte 4: Aplicac¸o˜es da Derivada
Objetivos Espec´ıficos
• Definir Velocidade e Acelerac¸a˜o •
• Identificar uma Func¸a˜o Mono´tona a Partir do Sinal de sua Derivada •
• Calcular Ma´ximo e Mı´nimo de Func¸o˜es Reais •
• Calcular Limites via a Regra de L’Hospital •
Objetivo Geral
• Aplicar o Conceito de Derivada em Situac¸o˜es Teo´ricas e Pra´ticas •
Maceio´-2010
41
Aplicac¸o˜es da Derivada (J. Adonai) - 42
Um aplicac¸a˜o nota´vel da derivada e´ o ca´lculo das retas tangentes
de um gra´fico. Afinal, ela foi